Xem mã nguồn của Ánh xạ bảo giác

{{short description|Hàm toán học bảo toàn góc}}

[[Hình:Conformal map.svg|right|thumb|Hình chữ nhật kẻ ô (ảnh trên) và ảnh của nó dưới ánh xạ bảo giác <math>f</math> (ảnh dưới). Có thể thấy rằng <math>f</math> ánh xạ các cặp đường vuông góc với nhau tại 90° sang các đường cong cũng tạo với nhau góc 90°.]]
{{Thanh bên giải tích phức}}
Trong [[toán học]], '''ánh xạ bảo giác''' là [[hàm số]] bảo toàn [[góc]], nhưng không nhất thiết kể cả độ dài.

Cụ thể hơn, gọi <math>U</math> và <math>V</math> là các tập con mở của <math>\mathbb{R}^n</math>. Hàm <math>f:U\to V</math> được gọi là '''bảo giác''' (hay '''bảo toàn góc''') đại điểm <math>u_0\in U</math> nếu nó bảo toàn góc giữa các [[đường cong]] có hướng đi qua <math>u_0</math>, cũng như bảo toàn hướng. Ánh xạ bảo giác bảo toàn cả góc và hình dạng, nhưng không nhất thiết phải bảo toàn độ lớn hay [[độ cong]].

Tính bảo giác có thể được mô tả bằng ma trận đạo hàm [[ma trận Jacobian và định thức|Jacobian]] của [[biến đổi tọa độ]]. Biến đổi này bảo giác bất cứ khi nào các ma trận Jacobian tại mỗi điểm là tích của một scalar dương với [[ma trận quay]] (hoặc [[ma trận trực giao|trực giao]] với định thức bằng 1). Một số tác giả trong định nghĩa tính bảo giác cho phép ánh xạ có thể đảo ngược hướng, khi đó, các ma trận Jacobian có thể viết thành tích của bất kỳ scalar với bất kỳ ma trận trực giao nào.<ref>{{Chú thích sách|title=Inversion Theory and Conformal Mapping|volume = 9|last=Blair|first=David|s2cid = 118752074|date=2000-08-17|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-2636-2|series=The Student Mathematical Library|location=Providence, Rhode Island|doi = 10.1090/stml/009}}</ref>

Đối với ánh xạ trong hai chiều, các ánh xạ bảo giác và bảo toàn hướng là các hàm [[hàm chỉnh hình|giải tích phức]] khả nghịch địa phương. Đối với 3 chiều trở lên, [[Định lý Liouville (ánh xạ bảo giác)|Định lý Liouville]] giới hạn ánh xạ bảo giác về một số loại.

Thuật ngữ bảo giác thường dùng để tổng quát hóa cho các ánh xạ giữa các đa tạp [[đa tạp Riemann|Riemannian]] hay [[đa tạp nửa Riemann]].

==Ánh xạ bảo giác trong hai chiều==
Nếu <math>U</math> là [[tập mở|tập con mở]] của mặt phẳng phức <math>\mathbb{C}</math>, thì [[hàm số]] <math>f:U\to\mathbb{C}</math> bảo giác [[khi và chỉ khi]] hàm đó là [[hàm chỉnh hình]] và [[đạo hàm]] của nó khác không mọi điểm trên <math>U</math>. Nếu <math>f</math> [[hàm phản chỉnh hình|phản chỉnh hình]] (tức là [[liên hợp phức|liên hợp]] của hàm chỉnh hình), nó vẫn bảo toàn góc nhưng đổi ngược hướng.

Ngoài ra, còn có định nghĩa khác cho ánh xạ bảo giác như sau: là ánh xạ <math>f</math> có tính 1-1 và chỉnh hình trên một tập mở của mặt phẳng phức. Định lý ánh xạ mở buộc hàm ngược của nó (định nghĩa trên ảnh của <math>f</math>) cũng phải là hàm chỉnh hình. Do đó, dưới định nghĩa này, hàm là ánh xạ bảo giác [[khi và chỉ khi]] nó đối chỉnh hình. Hai định nghĩa này không tương đương nhau. Có tính 1-1 và chỉnh hình thì sẽ suy ra có đạo hàm khác không. Song hàm mũ là hàm chỉnh hình với đạo hàm khác không nhưng không có tính 1-1 bởi hàm số có tính tuần hoàn.<ref>Richard M. Timoney (2004), [http://www.maths.tcd.ie/~richardt/414/414-ch7.pdf Riemann mapping theorem] from [[Trinity College, Dublin]]</ref>

[[Định lý ánh xạ Rieman]], một trong những kết quả nổi bật của [[giải tích phức]], phát biểu rằng bất kỳ tập con mở thực sự [[đơn liên]] của <math>\mathbb{C}</math> đều có [[song ánh]] bảo giác từ nó sang [[hình tròn đơn vị]] mở trong <math>\mathbb{C}</math>.

=== Ánh xạ bảo giác toàn cục trên mặt cầu Riemann  ===

Ánh xạ từ [[mặt cầu Riemann]] [[toàn ánh|lên]] chính nó là ánh xạ bảo giác khi và chỉ khi ánh xạ là phép [[biến đổi Möbius]].

Liên hợp phức của biến đổi Möbius bảo toàn góc nhưng đảo ngược hướng. Ví dụ như [[Hình học nghịch đảo|nghịch đảo đường tròn]].

==Ánh xạ bảo giác khi nhiều hơn hai chiều==
===Hình học Riemann===
{{see also|Hình học bảo giác}}
Trong [[hình học Riemann]], hai [[mêtric Riemannian]] <math>g</math> và <math>h</math> trên đa tạp trơn <math>M</math> được gọi là '''tương đương bảo giác ''' với nhau nếu <math> g = u h </math> với một số hàm dương <math>u</math> trên <math>M</math>. Hàm số <math>u</math> được gọi là '''phân tử bảo giác'''.

Một [[vi đồng phôi]] giữa hai đa tạp Riemann được gọi là '''ánh xạ bảo giác''' nếu mêtric kéo về tương đương bảo giác với metric gốc.  Lấy ví dụ, [[phép chiếu nổi]] của [[mặt cầu]] lên [[mặt phẳng (toán học)|mặt phẳng]] đi thêm với [[điểm vô cực]] là ánh xạ bảo giác.

Ta cũng có thể định nghĩa '''cấu trúc bảo giác''' trên đa tạp trơn là lớp các [[mêtric Riemann]] tương đương bảo giác với nhau.

===Không gian Euclid===
Từ [[Định lý Liouville (ánh xạ bảo giác)|định lý cổ điển]] của [[Joseph Liouville]] chứng minh được rằng có ít ánh xạ bảo giác trong trường hợp ba chiều trở lên hơn là trong hai chiều. Bất kỳ ánh xạ bảo giác từ tập con mở của [[không gian Euclid]] sang không gian Euclid có chiều bằng ba hoặc lớn hơn có thể được hợp từ ba biến đổi sau: phép [[biến đổi vị tự|vị tự]], phép [[đẳng cự]], và [[biến đổi bảo giác đặc biệt]].

==Các ứng dụng==
===Bản đồ học===
{{main|Phép chiếu bản đồ bảo giác}}
Trong [[bản đồ học]], một số [[phép chiếu bản đồ]] được đặt tên như [[phép chiều Mercator]] và [[phép chiếu nổi]] là các ánh xạ bảo giác.

===Vật lý và kỹ thuật===

===Các hàm Maxwell===

==Xem thêm==
* [[Ánh xạ đối chỉnh hình]]
* [[Định lý Carathéodory (ánh xạ bảo giác)|Định lý Carathéodory]] – ánh xạ bảo giác mở rộng tính liên tục cho biên
* [[Biểu đồ Penrose]]
* [[Ánh xạ Schwarz–Christoffel mapping]] – biến đổi bảo giác từ nửa mặt phẳng trên vào trong đa giác đơn
* [[Nhóm tuyến tính đặc biệt]] – các biến đổi bảo toàn thể tích và hướng (nhưng không bảo toàn góc)

== Tham khảo ==
{{Tham khảo}}

== Đọc thêm ==
* {{Citation | last1=Ahlfors | first1=Lars V. | title=Conformal invariants: topics in geometric function theory | publisher=McGraw–Hill Book Co. | location=New York | mr=0357743 | year=1973}}
* [[Constantin Carathéodory]] (1932) ''Conformal Representation'', Cambridge Tracts in Mathematics and Physics
* {{Citation |last=Chanson |first=H. |author-link=Hubert Chanson |title=Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows |url=http://espace.library.uq.edu.au/view/UQ:191112 |publisher=CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, The Netherlands, 478 pages |year=2009 |isbn=978-0-415-49271-3}}
* {{Citation | last1=Churchill | first1=Ruel V. | author-link=Ruel Churchill | title=Complex Variables and Applications | publisher=McGraw–Hill Book Co. | location=New York | isbn=978-0-07-010855-4 | year=1974 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/complexvariable00chur }}
* {{springer|id=C/c024780|title=Conformal mapping|author=E.P. Dolzhenko}}
* {{Citation | last1=Rudin | first1=Walter | author1-link=Walter Rudin | title=Real and complex analysis | publisher=McGraw–Hill Book Co. | location=New York | edition=3rd | isbn=978-0-07-054234-1 | mr=924157 | year=1987}}
* {{MathWorld | urlname=ConformalMapping | title=Conformal Mapping }}

== Liên kết ngoài ==
{{Thể loại Commons|Conformal mapping}}
* [http://virtualmathmuseum.org/ConformalMaps/index.html Interactive visualizations of many conformal maps]
* [http://demonstrations.wolfram.com/ConformalMaps/ Conformal Maps] by Michael Trott, [[Wolfram Demonstrations Project]].
* [http://www.bru.hlphys.jku.at/conf_map/index.html Conformal Mapping images of current flow] in different geometries without and with magnetic field by Gerhard Brunthaler.
* [https://www.flickr.com/photos/sbprzd/362529354 Conformal Transformation: from Circle to Square].
* [http://www.davidbau.com/conformal Online Conformal Map Grapher].
* [http://airfoil.dimanov.com/ Joukowski Transform Interactive WebApp]

{{Authority control}}

[[Thể loại:Ánh xạ bảo giác]]
[[Thể loại:Hình học Riemann]]
[[Thể loại:Phép chiếu bản đồ]]
[[Thể loại:Góc]]