Xem mã nguồn của Đơn đạo

[[Tập tin:Imaginary_log_analytic_continuation.png|nhỏ| Phần ảo của logarit phức. Cố gắng xác định logarit phức trên '''C'''\{0} sẽ cho các giá trị khác nhau với các đường dẫn khác nhau. Điều này dẫn đến một nhóm đơn đạo vô hạn và một phủ của '''C'''\{0} bởi một helicoid (một ví dụ về [[mặt Riemann]]).]]
Trong [[toán học]], '''đơn đạo''' là ngành nghiên cứu về cách các đối tượng trong [[giải tích toán học]], [[tô pô đại số]], [[hình học đại số]] và [[hình học vi phân]] hành xử khi chúng "chạy vòng quanh" một điểm kỳ dị. Như tên của nó, ý nghĩa cơ bản của ''đơn đạo'' xuất phát từ "đường chạy vòng quanh một điểm đơn". Nó liên quan chặt chẽ với các [[Không gian phủ|ánh xạ phủ]] và sự phân nhánh của chúng. Một hiện tượng mô tả sự thiếu đơn đạo là việc một số [[hàm số]] nhất định không còn là đơn trị khi "chạy vòng quanh" một đường cong bao quanh một điểm kỳ dị. Độ thiếu đơn đạo được đo bởi '''nhóm đơn đạo''': một [[Nhóm (toán học)|nhóm]] các phép biến đổi tác động lên dữ liệu mã hóa những gì xảy ra khi chúng ta "chạy vòng" theo một đường cong.

== Định nghĩa ==
Đặt {{Mvar|X}} là một [[Không gian tô pô|không gian tôpô]] liên thông địa phương có gốc với gốc {{Mvar|x}} và đặt <math>p:\tilde{X}\to X</math> là một [[Không gian phủ|ánh xạ phủ]] với [[Thớ (toán học)|thớ]] (rời rạc) <math>F = p^{-1}(x)</math>. Đối một với vòng lặp {{Math|γ: [0, 1] → ''X''}} tại {{Mvar|x}}, ký hiệu một [[Tính nâng đồng luân|phép nâng]] qua ánh xạ phủ, bắt đầu từ một điểm <math>\tilde{x}\in F</math>, bởi <math>\tilde{\gamma}</math>. Ký hiệu <math>\tilde{x}\cdot \tilde{\gamma}</math> là điểm cuối <math>\tilde{\gamma}(1)</math>, thường khác với <math>\tilde{x}</math>. Có những định lý nói rằng việc xây dựng này đưa ra một [[tác động nhóm]] được định nghĩa tốt của [[Tác động nhóm|nhóm]] [[Nhóm cơ bản|cơ bản]] {{Math|π<sub>1</sub>(''X'', ''x'')}} lên {{Mvar|F}}, và rằng [[Tác động nhóm|nhóm ổn định]] của <math>\tilde{x}</math> là <math>p_{*}(\pi_1(\tilde{X},\tilde{x}))</math>, nghĩa là, một phần tử {{Math|[γ]}} cố định một điểm trong {{Mvar|F}} khi và chỉ khi nó được biểu thị bằng ảnh của một vòng lặp trong <math>\tilde{X}</math> tại điểm <math>\tilde{x}</math>. Tác động này được gọi là '''tác động đơn đạo''' và đồng cấu tương ứng {{Math|{{pi}}<sub>1</sub>(''X'',&nbsp;''x'')&nbsp;→&nbsp;Aut(''H''<sub>*</sub>(''F<sub>x</sub>''))}} vào nhóm tự đẳng cấu trên {{Mvar|F}} đựoc gọi là '''đơn đạo đại số'''. Ảnh của đồng cấu này là '''nhóm đơn đạo'''. Có một ánh xạ khác {{Math|{{pi}}<sub>1</sub>&nbsp;(''X'',&nbsp;''x'')&nbsp;→&nbsp;Diff(''F<sub>x</sub>'')/Is(''F<sub>x</sub>'')}} có ảnh được gọi là '''nhóm đơn đạo hình học'''.

== Ví dụ ==
Những ý tưởng này xuất hiện rõ ràng đầu tiên trong [[giải tích phức]]. Trong quá trình [[thác triển giải tích]], một hàm [[Hàm giải tích|giải tích]] {{Math|''F''(''z'')}} trong một số tập con mở {{Mvar|E}} của {{Math|'''ℂ'''&nbsp;\&nbsp;{0}}} có thể được thác triển trở lại vào {{Mvar|E}}, nhưng với các giá trị mới.

Chẳng hạn, đặt

:<math>
\begin{align}
&F(z)=\log(z) \\
&E = \{z\in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}(z)>0\}
\end{align}
</math>

thì thác triển giải tích theo đường tròn

: <math>|z| = 1</math>

ngược chiều kim đồng hồ sẽ không cho {{Math|''F''(''z'')}} mà cho

: <math>F(z)+2\pi i</math>

Trong trường hợp này, nhóm đơn đạo là [[Nhóm cyclic|nhóm xiclic vô hạn]] và không gian phủ là phủ phổ dụng của mặt phẳng phức bị thủng. Phủ này có thể được hình dung như helicoid thu hẹp về {{Math|''ρ'' > 0}}.
== Tham khảo ==
{{tham khảo}}

*{{PlanetMath reference|id=4000|title=Monodromy}}
* O. Mucuk, B. Kılıçarslan, T. Sahan, N. Alemdar, "Groupoids và monodromy groupoids", Topology và các ứng dụng của nó 158 (2011) 2034
* PJ Higgins, "Phạm trù và nhóm", van Nostrand (1971) [http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/7/tr7abs.html In lại TAC]
* R. Brown [http://groupoids.org.uk/topgpds.html Topo và Groupoids] (2006).
* {{SpringerEOM|author=V. I. Danilov|title=Monodromy|id=M/m064700}}

== Liên kết ngoài ==

* http://math.ac.vn/vi/hinh-hoc-va-topo/icalrepeat.detail/2020/07/09/4068/-/mot-chung-minh-cho-gia-thuyet-don-dao-phien-ban-topo-cua-duong-cong-phang-phuc.html

[[Thể loại:Lý thuyết đồng luân]]
[[Thể loại:Tô pô đại số]]
[[Thể loại:Hình học vi phân]]
[[Thể loại:Giải tích phức]]
[[Thể loại:Giải tích toán học]]