Xem mã nguồn của Đường cong elliptic

{{Confuse|Ellipse}}
[[Tập tin:EllipticCurveCatalog.svg|phải|nhỏ|392x392px|Một bảng các đường cong elliptic. Vùng hiển thị là [−3,3]<sup>2</sup> (Với ''a'' = 0 và ''b'' = 0 hàm số không trơn và do vậy không là đường cong elliptic.)]]
Trong [[toán học]], một '''đường cong elliptic''' là một đường cong đại số phẳng được định nghĩa bằng phương trình có dạng

:<math>y^2 = x^3 + ax + b</math>

mà không có điểm đơn; nghĩa là, nó không có đỉnh nhọn hoặc tự cắt chính nó. (Khi đặc tính của trường hệ số bằng 2 hoặc 3, phương trình trên không phải đủ chung để bao gồm tất cả [[Đường cong bậc ba Neuberg|đường cong bậc ba]] không có điểm đơn; xem dưới đây để biết một định nghĩa chính xác hơn.)

Đại thể thì một đường cong elliptic là một đường cong đại số trơn, đối xứng bậc 1, trong đó có một điểm xác định O. Một đường cong elliptic là một loại biến đổi Abel - nghĩa là nó có một phép nhân được định nghĩa kiểu đại số, đối với nó là một [[Nhóm giao hoán|nhóm Abel]] – và điểm ''O'' tồn tại với tư cách phần tử đơn vị. Thông thường bản thân đường cong, bỏ qua điểm ''O'' nói trên, được gọi là một đường cong elliptic. Điểm ''O'' trên thực tế là "điểm tại vô cực" trên mặt phẳng chiếu.

Nếu ''y''<sup>2</sup> = ''P''(''x''), trong đó P là bất kỳ đa thức bậc ba đối với x mà không có nghiệm kép, thì chúng ta có được một đường cong phẳng không có điểm đơn bậc một, và là một đường cong elliptic. Nếu đa thức P có bậc 4 và không có nghiệm kép thì phương trình này lại mô tả một đường cong phẳng bậc 1; tuy nhiên, nó không có sự lựa chọn tự nhiên của phần tử đơn vị. Nhìn chung, bất kỳ đường cong đại số nào bậc 1, ví dụ giao điểm của hai [[mặt bậc hai]] trong không gian ba chiều, đều được gọi là một đường cong elliptic, với điều kiện nó phải có ít nhất một điểm đóng vai trò phần tử đơn vị.

==Tham khảo==
{{tham khảo|30em}}

==Sách tham khảo==

* {{chú thích sách
 | author = I. Blake |author2=G. Seroussi |author3=N. Smart
 | year = 2000
 | title = Elliptic Curves in Cryptography
 | series=LMS Lecture Notes
 | publisher = Cambridge University Press
 | isbn=0-521-65374-6
 }}
* {{chú thích sách
 | author = [[Richard Crandall]]
 |author2=[[Carl Pomerance]] 
 | year = 2001
 | title = Prime Numbers: A Computational Perspective
 | url = https://archive.org/details/primenumberscomp0000cran
 | publisher = Springer-Verlag
 |edition=1 | isbn=0-387-94777-9
 | chapter = Chapter 7: Elliptic Curve Arithmetic
 | pages = [https://archive.org/details/primenumberscomp0000cran/page/285 285]–352
 }}
* {{chú thích sách
 | first=John | last=Cremona  | authorlink = John Cremona
 | year = 1997 |edition=2 | title = Algorithms for Modular Elliptic Curves
 | publisher = Cambridge University Press
 | url = http://www.warwick.ac.uk/staff/J.E.Cremona//book/fulltext/index.html
 | isbn=0-521-59820-6
 }}
*{{chú thích sách
 |    author = Darrel Hankerson, [[Alfred Menezes]] và [[Scott Vanstone]]
 |      year = 2004
 |     title = Guide to Elliptic Curve Cryptography
 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
 |        isbn = 0-387-95273-X
 |       url = http://www.cacr.math.uwaterloo.ca/ecc/
 }}
* {{Hardy and Wright}}  Chapter XXV
* {{chú thích sách | last1=Hellegouarch | first1=Yves | title=Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles | publisher=Dunod | location=Paris | isbn=978-2-10-005508-1 | year=2001 | postscript=<!--None-->}}
* {{chú thích sách
 | first=Dale | last=Husemöller
 | authorlink=Dale Husemöller
 | year = 2004
 | title = Elliptic Curves
 |edition=2 | series = [[Graduate Texts in Mathematics]]
 | volume=111
 | publisher = Springer
 | isbn=0-387-95490-2
 }}
* {{chú thích sách
 | author = Kenneth Ireland | authorlink = Kenneth Ireland
 |author2=[[Michael I. Rosen]] 
 | year = 1998
 | title = A Classical Introduction to Modern Number Theory
 | volume=84 | series=Graduate Texts in Mathematics
 | publisher = Springer
 |edition=2 | chapter = Chapters 18 and 19
 | isbn=0-387-97329-X
 }}
* {{chú thích sách
 | author = Anthony W. Knapp | authorlink = Anthony W. Knapp
 | year = 1992
 | title = Elliptic Curves
 | series = Math Notes | volume=40
 | publisher = Princeton University Press
 }}
* {{chú thích sách
 | author = Koblitz |first=Neal | authorlink = Neal Koblitz
 | year = 1993 |edition=2 | title = Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | volume=97
 | publisher = Springer-Verlag
 | isbn=0-387-97966-2
 | postscript = <!--None-->
 }}
* {{chú thích sách
 | author = Koblitz |first = Neal | authorlink = Neal Koblitz
 | year = 1994
 | title = A Course in Number Theory and Cryptography
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | volume=114
 | publisher = Springer-Verlag
 |edition=2 | isbn = 0-387-94293-9
 | chapter = Chapter 6
 | postscript = <!--None-->
 }}
* {{chú thích sách | author=Serge Lang | authorlink=Serge Lang | title=Elliptic curves: Diophantine analysis | series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | volume=231 | publisher=Springer-Verlag | year=1978 | isbn=3-540-08489-4 }}
* {{chú thích sách|author=Henry McKean |author2=Victor Moll
 |title=Elliptic curves: function theory, geometry and arithmetic
 |url=https://archive.org/details/ellipticcurvesfu0000mcke |publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-65817-9|year=1999}}
* {{chú thích sách | author1=Ivan Niven | author2=Herbert S. Zuckerman | author3=Hugh Montgomery | authorlink3=Hugh Montgomery (mathematician) | title=An introduction to the theory of numbers |edition=5 | publisher=John Wiley | year=1991 | isbn=0-471-54600-3 | chapter=Section 5.7}}
* {{chú thích sách
 | author = Silverman | first=Joseph H. | authorlink=Joseph H. Silverman
 | year = 1986
 | title = The Arithmetic of Elliptic Curves
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | volume=106
 | publisher = Springer-Verlag
 | isbn=0-387-96203-4
 | postscript = <!--None-->
 }}
* {{chú thích sách
 | author = Joseph H. Silverman | authorlink=Joseph H. Silverman
 | year = 1994
 | title = Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | volume=151
 | publisher = Springer-Verlag
 | isbn=0-387-94328-5
 }}
* {{chú thích sách
 | author = Joseph H. Silverman | authorlink=Joseph H. Silverman
 |author2=[[John Tate]] 
 | year = 1992
 | title = Rational Points on Elliptic Curves
 | url = https://archive.org/details/rationalpointson0000silv | publisher = Springer-Verlag
 | isbn=0-387-97825-9
 }}
* {{chú thích tạp chí | author=John Tate | authorlink=John Tate | title=The arithmetic of elliptic curves | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | volume=23 | pages=179–206 | year=1974 | doi=10.1007/BF01389745 | issue=3–4 }}
* {{chú thích sách
 | author = Lawrence Washington | year = 2003
 | title = Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography
 | url = https://archive.org/details/ellipticcurvesnu0000wash | publisher = Chapman & Hall/CRC
 | isbn=1-58488-365-0
 }}

==Liên kết ngoài==
{{commons|Elliptic curve|Elliptic curve}}
* {{springer|title=Elliptic curve|id=p/e035450}}
* [http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/14H52.html The Mathematical Atlas: 14H52 Elliptic Curves] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20030223074754/http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/14H52.html |date = ngày 23 tháng 2 năm 2003}}
* {{MathWorld | title = Elliptic Curves | urlname = EllipticCurve }}
* [https://web.archive.org/web/20131109074631/http://planetmath.org/thearithmeticofellipticcurves The Arithmetic of elliptic curves] from PlanetMath
* [http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Polya/07468342.di020792.02p05747.pdf Three Fermat Trails to Elliptic Curves] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100713214250/http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Polya/07468342.di020792.02p05747.pdf |date = ngày 13 tháng 7 năm 2010}}, Ezra Brown, The College Mathematics Journal, Vol. 31 (2000), pp.&nbsp;162–172, winner of the MAA writing prize the George Pólya Award.
* [http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/loadFile.do?objectId=300&objectType=File Matlab code for implicit function plotting] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060317005441/http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/loadFile.do?objectId=300&objectType=file |date=2006-03-17 }} – Can be used to plot elliptic curves.
* [https://web.archive.org/web/20120301091325/http://sagenb.org/home/pub/1126/ Interactive introduction to elliptic curves and elliptic curve cryptography with Sage] by [http://www.maths.unsw.edu.au/~maikemassierer/ Maike Massierer] and the [https://www.cryptool.org/en/ CrypTool] team
* [http://www.certicom.com/ecc_tutorial/ecc_javaCurve.html Geometric Elliptic Curve Model(Java-Applet drawing curves)]
* [http://danher6.100webspace.net/ecc#ER_interactivo Interactive elliptic curve over R] and [http://danher6.100webspace.net/ecc#EFp_interactivo over Zp] - Web application that requires HTML5 capable browser.
* [http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/ Comprehensive database of Elliptic Curves over Q]

{{sơ khai toán học}}

[[Thể loại:Lý thuyết nhóm]]