Xem mã nguồn của Đường thẳng Euler

[[Hình:Triangle.EulerLine.svg|thumb|right|300px|{{legend-line|solid red|Đường thẳng Euler kèm với tâm của [[đường tròn chín điểm]] nằm trên}}
{{legend-line|solid #D2691E|Các [[Đường trung tuyến|trung tuyến]] đồng quy tại [[trọng tâm]]}}
{{legend-line|solid blue|Các [[đường cao]] đồng quy tại [[trực tâm]]}} 
{{legend-line|solid green|Các [[đường trung trực]] đồng quy tại [[Đường tròn ngoại tiếp|tâm đường tròn ngoại tiếp]]}}]]

Trong [[hình học]], '''đường thẳng Euler''' (tiếng Anh: ''Euler line)'', được đặt tên theo nhà toán học [[Leonhard Euler]] là một [[đường thẳng]] được xác định từ bất kỳ [[tam giác]] nào không [[tam giác đều|đều]]. Đường thẳng này đi qua các điểm quan trọng trong [[tam giác]] như [[trực tâm]], [[Đường tròn ngoại tiếp|tâm đường tròn ngoại tiếp]], [[trọng tâm]], và tâm của [[đường tròn chín điểm]].<ref name=":0">{{Chú thích tạp chí|last=Parry|first=C. F.|date=2001-03|title=Triangle centers and central triangles, by Clark Kimberling (<i>Congress
                     Numerantium</i> Vol. 129) Pp. 295. $42.50 1998. ISSN 0316-1282 (Utilitas
                  Mathematica Publishing, Inc., Winnipeg).|url=http://dx.doi.org/10.2307/3620531|journal=The Mathematical Gazette|volume=85|issue=502|pages=172–173|doi=10.2307/3620531|issn=0025-5572}}</ref>

Đường thẳng Euler trong tam giác cũng giúp người ta định nghĩa đường thẳng Euler cho các hình khác, ví dụ như [[tứ giác]] hay [[tứ diện]].

== Đường thẳng Euler trong tam giác ==

=== Tính thẳng hàng ===
Năm 1765, Euler đã chứng mình rằng trong [[tam giác]], các điểm như [[trực tâm]], [[Đường tròn ngoại tiếp|tâm đường tròn ngoại tiếp]], [[trọng tâm]], và [[Đường tròn chín điểm|tâm đường tròn chín điểm]]{{Efn|Tâm đường tròn chín điểm chưa được người ta biết tới vào thời điểm này.}} cùng nằm trên một [[đường thẳng]].<ref>{{chú thích tạp chí|author=Euler, Leonhard|authorlink=Leonhard Euler|year=1767|title=Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum|trans-title=Easy solution of some difficult geometric problems|url=https://books.google.com/books?id=e1Y-AAAAcAAJ&pg=PA103|journal=Novi Commentarii Academiae Scientarum Imperialis Petropolitanae|volume=11|pages=103–123|id=<!--Enestrom number-->E325}} Reprinted in ''Opera Omnia'', ser. I, vol. XXVI, pp.&nbsp;139–157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausanne, 1953, {{MR|0061061}}.  Summarized at:  [http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E325.html Dartmouth College.]</ref> Trong [[tam giác]] đều, bốn điểm này trùng nhau, nhưng trong các trường hợp còn lại thì không, và chỉ cần hai điểm trong số bốn điểm có thể xác định được đường thẳng Euler.

Các điểm đặc biệt đáng chú ý khác nằm trên đường thẳng Euler bao gồm [[điểm de Longchamps]], [[điểm Schiffler]], và [[điểm Exeter]].<ref name=":0" /> Tuy nhiên [[Đường tròn nội tiếp và bàng tiếp|tâm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp]] chỉ thuộc đường thẳng Euler trong trường hợp [[tam giác cân]].<ref>{{chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=lR0SDnl2bPwC&pg=PA4|title=Geometry Turned On: Dynamic Software in Learning, Teaching, and Research|author1=Schattschneider, Doris|author2=King, James|publisher=The Mathematical Association of America|year=1997|isbn=978-0883850992|pages=3–4}}</ref><ref>{{citation|last1=Edmonds|first1=Allan L.|title=Orthocentric simplices and biregularity|journal=[[Results in Mathematics]]|volume=52|issue=1–2|pages=41–50|year=2008|doi=10.1007/s00025-008-0294-4|mr=2430410|quote=It is well known that the incenter of a Euclidean triangle lies on its Euler line connecting the centroid and the circumcenter if and only if the triangle is isosceles|last2=Hajja|first2=Mowaffaq|last3=Martini|first3=Horst|s2cid=121434528}}.</ref>

=== Chứng minh ===

==== Chứng minh sử dụng vecto ====
Trong chứng minh này, tam giác ABC được xét tới có [[Đường tròn ngoại tiếp|tâm đường tròn ngoại tiếp]] <math>O</math>, [[trọng tâm]] <math>G</math> và [[trực tâm]] <math>H</math>. Chứng minh này dựa trên tính chất của [[vecto]], khi trước hết điểm <math>G</math> thỏa mãn đẳng thức

:<math>\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=0.</math>

Tiếp đó, dựa theo [[bài toán tam giác của Sylvester]]<ref name=Dorrie>Dörrie, Heinrich, "100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Solution". Dover Publications, Inc., New York, 1965, {{ISBN|0-486-61348-8}}, pages 141 (Euler's Straight Line) and 142 (Problem of Sylvester)</ref>, hai điểm <math>O</math> và <math>H</math> cùng nhau thỏa mãn đẳng thức

:<math>\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}.</math>

Sử dụng tính chất phép cộng các vecto, ta có

:<math>\vec{GO}=\vec{GA}+\vec{AO}\,,\,\vec{GO}=\vec{GB}+\vec{BO}\,,\,\vec{GO}=\vec{GC}+\vec{CO}\,{}.</math>

Kết hợp các đẳng thức trên vế theo vế, ta thu được

:<math>3\cdot\vec{GO}=\left(\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{GA}\right)+\left(\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{AO}\right)=0-\left(\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{OA}\right)=-\vec{OH}.</math>

Từ đó, ta suy ra <math>3\cdot\vec{OG}=\vec{OH}</math>, dẫn tới việc ba điểm <math>O</math>, <math>G</math> và <math>H</math> (theo thứ tự trên) thẳng hàng.

==== Chứng minh sử dụng hình học thuần túy ====
[[Tập_tin:Hình_vẽ_chứng_minh_đường_thẳng_Euler.png|thumb|300px|{{legend-line|solid red|Đường thẳng Euler kèm với tâm của [[đường tròn chín điểm]] nằm trên}}
{{legend-line|solid #D2691E|Các [[Đường trung tuyến|trung tuyến]] đồng quy tại [[trọng tâm]]}}
{{legend-line|solid blue|Các [[đường cao]] đồng quy tại [[trực tâm]]}} 
{{legend-line|solid green|Các [[đường trung trực]] đồng quy tại [[Đường tròn ngoại tiếp|tâm đường tròn ngoại tiếp]]}}
{{legend-line|solid #800080|[[Hình bình hành]] BHCA' được dựng thêm}}]]
<blockquote>''Tóm tắt đề bài: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn'' <math>(O)</math> ''có trực tâm'' <math>H</math> ''và trọng tâm'' <math>G</math>''. Chứng minh <math>H</math>'', <math>G</math>, <math>O</math> thẳng hàng và <math>\overline{GH} = -2\overline{GO}</math></blockquote>Chứng minh:

* Lấy <math>M</math> làm trung điểm <math>BC</math>, kẻ đường kính <math>AA'</math> của đường tròn <math>(O)</math>.
* Do <math>H</math> là trực tâm tam giác ABC, ta có <math>BH</math> vuông góc với <math>AC</math>. Do <math>AA'</math> là đường kính của <math>(O)</math>, suy ra <math>A'C</math> vuông góc với <math>AC</math>. Hai đường thẳng <math>BH</math> và <math>A'C</math> cùng vuông góc với <math>AC</math>, từ đó ta thu được <math>BH \parallel A'C</math>, kéo theo đó tứ giác <math>BHCA'</math> là một hình bình hành.
* Do <math>M</math> là trung điểm <math>BC</math>, nên theo tính chất của hình bình hành,{{Efn|Sử dụng tính chất: Trong một [[hình bình hành]], hai đường chéo của nó giao nhau tại trung điểm mỗi đường.}} <math>M</math> đồng thời là trung điểm <math>A'H</math>. Ta thấy <math>O</math> là trung điểm <math>AA'</math>,{{Efn|Do AA' là đường kính đường tròn tâm O}} <math>M</math> là trung điểm <math>A'H</math>, từ đó <math>OM</math> là [[đường trung bình]] của tam giác <math>AA'H</math>. 
* Xét tứ giác <math>AHMO</math>, ta thấy <math>AH = 2 MO</math>,{{Efn|Do OM là đường trung bình của tam giác A'AH}} <math>AG = 2GM</math>,{{Efn|Do G là trọng tâm tam giác ABC}} nên theo [[định lý Thales]], ba điểm <math>O</math>, <math>G</math>, ''<math>H</math>'' thẳng hàng và <math>\overline{GH} = -2\overline{GO}</math>.

== Biểu diễn ==
Cho <math>A, B, C</math> là tên của ba đỉnh [[tam giác]] bất kỳ, và cho <math>x: y: z</math> điểm bất kỳ có [[tọa độ tam tuyến]]; hệ thức của đường thẳng Euler là:

:<math>\sin 2A \sin(B - C)x + \sin 2B \sin(C - A)y + \sin 2C \sin(A - B)z = 0.\,</math>

Một cách hữu hiệu khác để biểu diễn cho đường thẳng Euler là dùng tham số <math>t</math>. Bắt đầu với tâm đường tròn ngoại tiếp (với tọa độ là <math>\cos A: \cos B: \cos C</math>) và trực tâm (với tọa độ là <math>\sec A: \sec B: \sec C = \cos B \cos C: \cos C \cos A: \cos A \cos B)</math>, bất cứ điểm này trên đường thẳng Euler có thể được biểu diễn dưới một hệ thức như sau

:<math>\cos A + t \cos B \cos C: \cos B + t \cos C \cos A: \cos C + t \cos A \cos B\,</math>

úng mới một giá trị ''t''' nhất định''.''

Ví dụ:

* [[Trọng tâm]] = <math>\cos A + \cos B \cos C: \cos B + \cos C \cos A: \cos C + \cos A \cos B</math>
* [[Đường tròn Euler|Tâm đường tròn chín điểm]] = <math>\cos A + 2 \cos B \cos C: \cos B + 2 \cos C \cos A: \cos C + 2 \cos A \cos B</math>
* [[Điểm de Longchamps]] = <math>\cos A - \cos B \cos C: \cos B - \cos C \cos A: \cos C - \cos A \cos B</math>
* [[Điểm vô cực Euler]] = <math>\cos A - 2 \cos B \cos C: \cos B - 2 \cos C \cos A: \cos C - 2 \cos A \cos B</math>
==Đường thẳng Euler đồng quy==
* [[Tam giác]] <math>ABC</math> với hai [[điểm Fermat]] <math>F_1</math> and <math>F_2</math>. Khi đó đường thẳng Euler tạo bởi 10 [[tam giác]] tạo bởi các đỉnh <math>A, B, C, F_1, F_2</math> sẽ đồng quy tại trọng tâm [[tam giác]] <math>ABC</math>.<ref>{{chú thích web | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200924index.html | tiêu đề = FG200924index | author =  | ngày =  | ngày truy cập =  | nơi xuất bản =  | ngôn ngữ =  | archive-date = 2021-01-22 | archive-url = https://web.archive.org/web/20210122214328/https://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200924index.html | url-status = dead }}</ref>
* [[Định lý Thébault|Định lý Thebault IV]]: Cho [[tam giác]] <math>ABC</math> với các đường cao <math>AA', BB', CC'</math>. Các đường thẳng Euler của các [[tam giác]] <math>AB'C', BC'A',CA'B'</math> sẽ đồng quy trên [[đường tròn chín điểm|đường tròn Euler]] của [[tam giác]] <math>ABC</math> tại một điểm <math>P</math> thoả mãn moả một trong các khoảng cách <math>PA', PB', PC'</math> bằng tổng 2 khoảng cách còn lại. Điểm đồng quy này được biết đến là [[Tâm Jerabek]], ký hiệu <math>X_{125}</math>, là tâm của [[Hyperbol Jerabek]].
* [[Điểm Schiffler|Định lý Schiffler]]: Cho [[tam giác]] <math>ABC</math> với <math>I</math> [[tâm đường tròn nội tiếp]] bốn đường thẳng Euler của bốn [[tam giác]] <math>BCI, CAI, ABI</math> và <math>ABC</math> đồng quy. Điểm đồng quy này gọi là ''điểm Schiffler (ký hiệu'' <math>X_{21}</math>'')'' của [[tam giác]] <math>ABC</math>.
* Điểm đánh số <math>X_{4240}</math> trong [[bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác]] là điểm đồng quy của 12 đường thẳng Euler, điểm này gọi là ''điểm Đào 12 đường thẳng Euler đồng quy''.<ref>[http://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2014/10/8.pdf Telv Cohl, 'Dao's Theorem on the Concurrence of Three Euler Lines,' International Journal of Geometry 3 (2014) 70-73]</ref><ref>[http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETCPart3.html#X4240 X(4240) = DAO TWELVE EULER LINES POINT]</ref><ref name=DaoThanhOai>{{chú thích sách| last=Dao Thanh| first=Oai| title=International Journal of Computer Discovered Mathematics | volume=1| chapter=A generalization of the Zeeman-Gossard perspector theorem| date=2016| publication-date=2016| editor-last=Deko| editor-first=Dekov| pages=76-79| issn=2367-7775| url=http://www.journal-1.eu/2016-1/Dao-Thanh-Oai-Zeeman-Gossard-pp.76-79.pdf| access-date=}}</ref>
* Cho [[tam giác]] <math>ABC</math> không đều. Tập hợp các điểm <math>P</math> thỏa mãn đường thẳng Euler các [[tam giác]] <math>PBC, PCA, PAB</math> đồng quy là [[đường cong bậc ba Neuberg]]. Đặc biệt khi [[tam giác]] đều, tập hợp các điểm thỏa mãn tính chất này là toàn mặt phẳng.
==Đường thẳng Euler trong đa giác==
Trong [[tứ giác lồi]], đường thẳng Euler tồn tại và nối các điểm quasi-trực tâm, trọng tâm, quasi-tâm đường tròn ngoại tiếp và quasi-tâm đường tròn chín điểm.
== Chú thích ==

=== Ghi chú ===
{{Notelist}}

=== Tham khảo ===
{{tham khảo}}

==Xem thêm==
* {{chú thích tạp chí|author=Euler, Leonhard|authorlink=Leonhard Euler|title=Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum|journal=Novi Commentarii academiae scientarum imperialis Petropolitanae|volume=11|year=1767|pages=103–123|url=http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E325.html|id=<!--Enestrom number-->E325}} Reprinted in ''Opera Omnia'', ser. I, vol. XXVI, pp.&nbsp;139–157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausanne, 1953, {{MathSciNet | id = 0061061}}.
* {{chú thích tạp chí

 | author = Kimberling, Clark

 | title = Triangle centers and central triangles

 | journal = Congressus Numerantium

 | volume = 129

 | year = 1998

 | pages = i–xxv, 1–295}}

== Liên kết ngoài ==
* [http://www.cut-the-knot.org/triangle/altEuler.shtml Altitudes and the Euler Line] and [http://www.cut-the-knot.org/triangle/EulerLine.shtml Euler Line and 9-Point Circle] at [[cut-the-knot]]
* [http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/eulerline.html Triangle centers on the Euler line], by Clark Kimberling.
* [http://www.mathopenref.com/eulerline.html An interactive applet showing several triangle centers that lies on the Euler line].
* {{mathworld | title = Euler Line | urlname = EulerLine}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/EulerLine/ "Euler Line"] by Eric Rowland, the [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.
* [http://math.kennesaw.edu/~mdevilli/conicEuler.html Nine-point conic and Euler line generalization] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110928154520/http://math.kennesaw.edu/~mdevilli/conicEuler.html |date=2011-09-28 }} at [http://math.kennesaw.edu/~mdevilli/JavaGSPLinks.htm Dynamic Geometry Sketches] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090321024112/http://math.kennesaw.edu/~mdevilli/JavaGSPLinks.htm |date=2009-03-21 }} Generalizes nine-point circle to a nine-point conic with an associated generalization of the Euler line.

[[Thể loại:Hình học tam giác]]
[[Thể loại:Khái niệm toán học mang tên Euler]]
[[Thể loại:Hình học sơ cấp]]
[[Thể loại:Định lý hình học]]
[[Thể loại:Định lý trong hình học phẳng]]
[[Thể loại:Hình học phẳng Euclid]]