Xem mã nguồn của Đại số

{{1000 bài cơ bản}}
{{Về||dạng cấu trúc đại số|Đại số trên một trường|các định nghĩa khác}}
{{nhiều hình
|perrow=1 / 1
|total_width=350
|image1=Polynomial2.svg
|alt1=Phương trình đa thức
|link1=Phương trình đa thức
|caption1=[[Đại số sơ cấp]] tìm hiểu đâu là giá trị nghiệm đúng những phương trình được hình thành từ các phép toán số học.
|image2=Ring of integers2.svg
|alt2=Ký hiệu vành số nguyên
|link2=Vành số nguyên
|caption2=[[Đại số trừu tượng]] nghiên cứu các [[cấu trúc đại số]], chẳng hạn như [[vành số nguyên]] cho bởi tập hợp các [[số nguyên]] (<math>\Z</math>) đi cùng với [[Phép toán đại số|phép toán]] [[Phép cộng|cộng]] (<math>+</math>) và [[Phép nhân|nhân]] (<math>\times</math>).
}}
{{Thanh bên chủ đề Toán học}}
'''Đại số''' là một nhánh của [[toán học]] nghiên cứu những [[hệ thống]] trừu tượng nhất định gọi là [[cấu trúc đại số]] và sự biến đổi [[Biểu thức (toán học)|biểu thức]] trong các hệ thống này. Đây là dạng tổng quát hóa của [[số học]] có sự xuất hiện của [[biến số]] và [[phép toán đại số]] ngoài các phép toán số học cơ bản như [[phép cộng]] và [[phép nhân]].

[[Đại số sơ cấp]] là loại hình đại số được giảng dạy chủ yếu tại trường học. Lĩnh vực trên suy xét các mệnh đề toán học chứa biến với giá trị chưa biết và hướng đến xác định xem ở những giá trị nào thì chúng là mệnh đề đúng. Để làm được điều này, đại số sơ cấp áp dụng nhiều phương pháp biến đổi phương trình khác nhau nhằm cô lập biến. [[Đại số tuyến tính]] là một lĩnh vực mật thiết tìm hiểu về [[phương trình tuyến tính]] và tổ hợp nhiều phương trình loại này gọi là ''[[hệ phương trình tuyến tính]]''. Nhánh này cung cấp các phương pháp để tìm giá trị nghiệm đúng đồng thời tất cả các phương trình trong hệ cũng như nghiên cứu tập hợp các nghiệm tìm được. 

[[Đại số trừu tượng]] khảo sát các cấu trúc đại số, [[Tập hợp (toán học)|tập hợp]] những [[đối tượng toán học]] cùng với một hoặc nhiều [[phép toán]] xác định trên tập đó. Đại số trừu tượng là dạng khái quát của đại số sơ cấp và đại số tuyến tính nhờ có thêm các đối tượng toán học không phải số và phép toán phi số học. Trong lĩnh vực này, các loại cấu trúc đại số khác nhau như [[Nhóm (toán học)|nhóm]], [[vành]] và [[Trường (đại số)|trường]] được phân biệt qua số phép toán chúng sử dụng và các luật mà chúng tuân theo, gọi là [[tiên đề]]. [[Đại số phổ dụng]] và [[lý thuyết phạm trù]] đưa ra khuôn khổ chung nhằm phân tích những quy luật trừu tượng tạo nên điểm đặc trưng cho các lớp cấu trúc đại số khác nhau.

Phương pháp đại số được nghiên cứu trước hết ở [[Thời kỳ cổ đại|thời cổ đại]] để giải quyết các bài toán cụ thể trong nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như [[hình học]]. Các nhà toán học trong thời kỳ tiếp theo đã khảo sát những kỹ thuật giải phương trình tổng quát không gắn liền với ứng dụng cụ thể nào. Họ chỉ mô tả phương trình và tập nghiệm của chúng bằng từ ngữ và chữ viết tắt đến khi một hệ hình thức biểu tượng nghiêm ngặt được phát triển vào thế kỷ 16 và 17. Đến giữa thế kỷ 19, tầm vực của đại số mở rộng vượt ra khỏi phạm vi [[lý thuyết phương trình]] và bao hàm đa dạng các loại phép toán và cấu trúc đại số. Đại số có liên hệ với nhiều lĩnh vực của toán học như hình học, [[tô pô]], [[lý thuyết số]] và [[vi tích phân]], cũng như một số lĩnh vực tra vấn khác như [[logic]] và [[khoa học thực nghiệm]].

== Định nghĩa và từ nguyên ==
Đại số là một nhánh của toán học nghiên cứu các [[cấu trúc đại số]] và [[Phép toán đại số|phép toán]] mà chúng sử dụng.<ref>{{multiref | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=Phần mở đầu}} | {{harvnb|Gilbert|Nicholson|2004|p=[https://books.google.com/books?id=paINAXYHN8kC&pg=PA4 4]}} }}</ref> Cấu trúc đại số là một [[Tập hợp (toán học)|tập hợp]] khác rỗng chứa [[đối tượng toán học]], ví dụ như [[số nguyên]], đi cùng với các phép toán đại số xác định trên tập đó như [[phép cộng]] và [[phép nhân]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Fiche|Hebuterne|2013|p=[https://books.google.com/books?id=TqkckiuuXg8C&pg=PT326 326]}} | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ The Subject Matter of Algebra, Its Principal Branches and Its Connection with Other Branches of Mathematics.}} | {{harvnb|Gilbert|Nicholson|2004|p=[https://books.google.com/books?id=paINAXYHN8kC&pg=PA4 4]}} }}</ref>{{efn|Hiểu theo nghĩa rộng nhất, phép toán đại số là một [[hàm số|hàm]] từ [[Tích Descartes#Lũy thừa Descartes|lũy thừa Descartes của một tập hợp sang chính tập hợp đó]], biểu diễn dưới dạng {{nowrap|<math>\omega: A^n \to A</math>.}} Phép cộng số thực là một ví dụ của phép toán đại số: nó lấy hai số làm đầu vào và cho đầu ra là một số khác. Phép toán trên có dạng {{nowrap|<math>+: \R^2 \to \R</math>.<ref>{{harvnb|Baranovich|2023|loc=Phần mở đầu}}</ref>}}}} Đại số khám phá các luật, đặc điểm chung và những loại hình cấu trúc đại số khác nhau. Trong một số cấu trúc nhất định, đại số khảo sát sự hiện diện của [[biến số]] trong [[Phương trình đại số|phương trình]] và cách thức biến đổi các phương trình này.<ref>{{multiref | {{harvnb|Pratt|2022|loc=Phần mở đầu, § 1. Elementary Algebra, § 2. Abstract Algebra, § 3. Universal Algebra}} | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ The Subject Matter of Algebra, Its Principal Branches and Its Connection with Other Branches of Mathematics.}} }}</ref>{{efn|Đại số nằm ở mục 512 trong [[khung phân loại thập phân Dewey]]<ref>{{harvnb|Higham|2019|p=[https://books.google.com/books?id=ferEDwAAQBAJ&pg=PA296 296]}}</ref> và phân lớp QA 150{{hyphen}}272.5 trong [[khung phân loại Thư viện Quốc hội Hoa Kỳ]],<ref>{{harvnb|Library of Congress|p=3}}</ref> đồng thời cũng bao hàm một số lĩnh vực trong khung [[Phân loại các lĩnh vực toán học]] (MSC).<ref>{{harvnb|zbMATH Open|2024}}</ref>}}

Đại số thường được hiểu là dạng suy rộng của [[số học]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Maddocks|2008|p=129}} | {{harvnb|Burgin|2022|p=[https://books.google.com/books?id=rWF2EAAAQBAJ&pg=PA45 45]}} }}</ref> Số học tìm hiểu các phép toán như cộng, [[phép trừ|trừ]], nhân, [[phép chia|chia]] trên một miền số cụ thể, chẳng hạn như số thực.<ref name="auto1">{{multiref | {{harvnb|Romanowski|2008|pp=302–303}} | {{harvnb|HC Staff|2022}} | {{harvnb|MW Staff|2023}} | {{harvnb|Bukhshtab|Pechaev|2020}} }}</ref> [[Đại số sơ cấp]] cấu thành nên cấp độ trừu tượng đầu tiên. Tương tự số học, đại số sơ cấp chịu ràng buộc ở các loại số và phép toán cụ thể. Những phép toán trên được khái quát hóa qua sự hiện diện đại lượng không xác định dưới dạng biến số đi cùng với các số.<ref>{{multiref | {{harvnb|Maddocks|2008|pp=129–130}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=Phần mở đầu, § 1. Elementary Algebra}} | {{harvnb|Wagner|Kieran|2018|p=[https://books.google.com/books?id=uW4ECwAAQBAJ&pg=PT225 225]}} }}</ref> Thuộc về cấp độ trừu tượng cao hơn là [[đại số trừu tượng]], vốn không bị giới hạn ở một miền cụ thể nào và đi sâu vào các cấu trúc đại số như [[Nhóm (toán học)|nhóm]] và [[vành]]. Đại số trừu tượng mở rộng phạm vi ra ngoài tập hợp phép toán số học điển hình qua việc bao hàm thêm những loại phép toán khác.<ref>{{multiref | {{harvnb|Maddocks|2008|pp=131–132}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=Phần mở đầu, § 2. Abstract Algebra}} | {{harvnb|Wagner|Kieran|2018|p=[https://books.google.com/books?id=uW4ECwAAQBAJ&pg=PT225 225]}} }}</ref> Đại số phổ dụng có độ trừu tượng cao hơn nữa bởi mảng này không quan tâm đến một vài cấu trúc cụ thể mà chỉ nghiên cứu các đặc trưng của cấu trúc đại số nói chung.<ref>{{multiref | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 3. Universal Algebra}} | {{harvnb|Grillet|2007|p=[https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-0-387-71568-1_15 559]}} | {{harvnb|Denecke|Wismath|2018|p=[https://books.google.com/books?id=2UlZDwAAQBAJ&pg=PR5 v]}} | {{harvnb|Cohn|2012|p=[https://books.google.com/books?id=6tbuCAAAQBAJ&pg=PR13 xiii]}} }}</ref>

[[Tập tin:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|upright=.8|nhỏ|alt=Trang bìa cuốn Cuốn cẩm nang về tính toán bằng hoàn thiện và cân bằng|Chữ {{lang|en|algebra}} bắt nguồn từ tiêu đề cuốn sách {{transliteration|ar|[[Al-Jabr]]}} của [[Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī|al-Khwārizmī]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Cresswell|2010|p=[https://books.google.com/books?id=J4i3zV4vnBAC&pg=PA11 11]}} | {{harvnb|OUP Staff}} | {{harvnb|Menini|Oystaeyen|2017|p=722}} }}</ref>]]

Thuật ngữ "đại số" đôi lúc được dùng theo nghĩa hẹp để chỉ đại số sơ cấp hoặc đại số trừu tượng.<ref>{{multiref | {{harvnb|Weisstein|2003|p=46}} | {{harvnb|Walz|2016|loc=[https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/algebra/12062 Algebra]}} }}</ref> Ở dạng [[danh từ]] đếm được, đại số là [[Đại số trên một trường|một loại cấu trúc đại số cụ thể]] gồm một [[không gian vectơ]] được trang bị [[Ánh xạ song tuyến tính|một loại phép toán hai ngôi nhất định]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Weisstein|2003|p=46}} | {{harvnb|Brešar|2014|p=[https://books.google.com/books?id=PkvPBAAAQBAJ&pg=PR33 xxxiii]}} | {{harvnb|Golan|1995|pp=[https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-015-8502-6_18 219–227]}} }}</ref> Tùy theo ngữ cảnh, "đại số" còn có thể chỉ một số cấu trúc đại số khác như [[đại số Lie]] hay [[đại số kết hợp]].<ref>{{harvnb|EoM Staff|2017}}</ref>

Từ {{lang|en|algebra}} ("đại số") trong tiếng Anh bắt nguồn từ [[Tiếng Ả Rập|chữ Ả Rập]] {{lang|ar|الجبر}} ({{transliteration|ar|al-jabr}}), ban đầu chỉ liệu pháp phẫu thuật [[chỉnh cốt]]. Ở thế kỷ 9, thuật ngữ bắt đầu mang thêm nghĩa toán học khi được nhà toán học người Ba Tư [[Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī]] sử dụng để mô tả một phương pháp giải phương trình và lấy làm tiêu đề của cuốn chuyên luận về đại số {{transliteration|ar|[[Al-Jabr|al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah]]}} [''Cuốn cẩm nang về tính toán bằng hoàn thiện và cân bằng''], về sau được dịch sang tiếng Latinh với tên {{lang|la|Liber Algebrae et Almucabola}}.{{efn|Nghĩa chính xác của chữ {{transliteration|ar|al-jabr}} trong tác phẩm của al-Khwārizmī vẫn còn gây tranh cãi. Ở một số đoạn, sách nêu rằng một đại lượng bị giảm đi bởi phép trừ sẽ được khôi phục về giá trị ban đầu, tương tự như cách người nắn xương phục hồi xương bị gãy qua việc đưa chúng về đúng vị trí.<ref>{{multiref | {{harvnb|Oaks|Alkhateeb|2007|pp=45–46, 58}} | {{harvnb|Gandz|1926|p=437}} }}</ref>}} Từ trên du nhập vào ngôn ngữ tiếng Anh vào thế kỷ 16 từ [[tiếng Ý]], [[tiếng Tây Ban Nha]] và [[tiếng Latinh]] trung đại.<ref>{{multiref | {{harvnb|Cresswell|2010|p=[https://books.google.com/books?id=J4i3zV4vnBAC&pg=PA11 11]}} | {{harvnb|OUP Staff}} | {{harvnb|Menini|Oystaeyen|2017|p=722}} | {{harvnb|Hoad|1993|p=10}} }}</ref> Nghĩa của nó ban đầu chỉ gói gọn trong [[lý thuyết phương trình]], tức là nghệ thuật biến đổi [[phương trình đa thức]] nhằm mục đích giải chúng, nhưng đã có sự thay đổi ở thế kỷ 19{{efn|Thay đổi này một phần đến từ những khám phá mới nhằm giải quyết nhiều bài toán lâu đời của đại số. Ví dụ, việc chứng minh [[định lý cơ bản của đại số]] đã làm sáng tỏ sự tồn tại nghiệm phức của một đa thức<ref name="auto7">{{multiref | {{harvnb|Tanton|2005|p=10}} | {{harvnb|Kvasz|2006|p=308}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ The Fundamental Theorem of Algebra}} }}</ref> và [[lý thuyết Galois]] ra đời làm định rõ đặc điểm của các đa thức với [[Nghiệm đại số|nghiệm tổng quát]].<ref name="auto2">{{multiref | {{harvnb|Kvasz|2006|pp=314–345}} | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ Historical Survey}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Galois Theory, § Applications of Group Theory}} }}</ref>}} khi tầm vực của đại số được mở rộng để bao hàm cả nghiên cứu về đa dạng các phép toán và cấu trúc đại số cùng với những [[tiên đề]], tức luật mà chúng tuân theo, làm cơ sở cho chúng.<ref>{{multiref | {{harvnb|Tanton|2005|p=10}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Structural Algebra}} | {{harvnb|Hazewinkel|1994|pp=[https://books.google.com/books?id=PE1a-EIG22kC&pg=PA73 73–74]}} }}</ref>

Trong tiếng Việt, "đại số" là [[từ Hán-Việt]] được đọc từ [[chữ Hán]] {{lang-zh|t=代數|p=dàishù|labels=no}}, có nghĩa là "môn toán học dùng chữ thay số để suy tìm cái quan hệ của số".<ref>{{harvnb|Đào Duy Anh|2001|pp=[https://archive.org/details/ebook-han-viet-tu-dien-phan-1-dao-duy-anh-993020/page/n215 198]}}</ref>

== Các nhánh chính ==
=== Đại số sơ cấp ===
{{chính|Đại số sơ cấp}}

[[Tập tin:algebraic equation notation.svg|nhỏ|right|class=skin-invert-image|alt=Hình minh họa một biểu thức đại số|Ký hiệu biểu thức đại số:<br />&nbsp; 1 – lũy thừa (số mũ)<br />&nbsp; 2 – hệ số<br />&nbsp; 3 – hạng tử<br />&nbsp; 4 – toán tử<br />&nbsp; 5 – hạng tử không đổi<br />&nbsp; <math>c</math> – hằng số<br />&nbsp; <math>x</math> <math>y</math> – biến số]]

Đại số sơ cấp{{efn|Trong tiếng Anh có một số tên gọi khác cho đại số sơ cấp, bao gồm {{lang|en|school algebra}} (tạm dịch "đại số trung học"), {{lang|en|college algebra}} ("đại số cao cấp") và {{lang|en|classical algebra}} ("đại số cổ điển").<ref>{{multiref | {{harvnb|Arcavi|Drijvers|Stacey|2016|p=[https://books.google.com/books?id=N2R9DAAAQBAJ&pg=PA2 2]}} | {{harvnb|Benson|2003|pp=[https://books.google.com/books?id=nNbnCwAAQBAJ&pg=PA111 111–112]}} }}</ref>}} là hình thức đại số lâu đời nhất và cơ bản nhất. Đây là dạng suy rộng của [[số học]] phụ thuộc nhiều vào [[biến số]] (còn gọi là "biến" hay "ẩn") và khảo sát cách thức mà các [[mệnh đề toán học]] có thể được biến đổi.<ref name="auto4">{{multiref | {{harvnb|Maddocks|2008|p=129}} | {{harvnb|Berggren|2015|loc=Phần mở đầu}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 1. Elementary Algebra}} | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ 1. Historical Survey}} }}</ref>

Số học là nghiên cứu về các phép toán số, tìm hiểu cách kết hợp và biến đổi các số qua phép toán [[Phép cộng|cộng]], [[Phép trừ|trừ]], [[Phép nhân|nhân]], [[Phép chia|chia]], phép [[lũy thừa]], [[căn bậc n|khai căn]] và [[logarit]]. Chẳng hạn, phép toán cộng kết hợp hai số gọi là số hạng thành một số thứ ba gọi là tổng, ví dụ như {{nowrap|<math>2 + 5 = 7</math>.<ref name="auto1"/>}}

Đại số sơ cấp lệ thuộc vào những phép toán trên nhưng có biến số xuất hiện đi kèm với các số. Biến là [[ký hiệu]] cho đại lượng chưa biết hoặc chưa được cho trước. Nhờ biến mà chúng ta có thể phát biểu các quan hệ toán học với giá trị chính xác không biết trước, cũng như diễn đạt các luật tổng quát với kết quả luôn đúng bất kể giá trị số nào đang sử dụng. Ví dụ, [[phương trình]] <math>2 \times 3 = 3 \times 2</math> thuộc về số học và biểu diễn một đẳng thức chỉ cho các số cụ thể đó. Khi thay các số bằng biến, ta có thể diễn đạt một luật chung áp dụng được cho bất kỳ tổ hợp số nào có thể có, chẳng hạn như [[Tính giao hoán|tính chất giao hoán của phép nhân]] biểu diễn qua phương trình {{nowrap|<math>a \times b = b \times a</math>.<ref name="auto4"/>}}

[[Biểu thức đại số]] được hình thành sử dụng các phép toán số học để kết hợp giữa số và biến. Theo quy ước, chữ cái viết thường <math>x</math>, <math>y</math> và <math>z</math> đại diện cho biến. Trong một số trường hợp, chỉ số dưới được thêm vào để phân biệt giữa các biến, ví dụ như <math>x_1</math>, <math>x_2</math> và <math>x_3</math>. Chữ cái <math>a</math>, <math>b</math> và <math>c</math> chủ yếu dùng cho [[hằng số]] và [[hệ số]].{{efn|Hằng số là số có giá trị cố định không thay đổi trong nghiên cứu một bài toán cụ thể.<ref>{{harvnb|Sobolev|2015}}</ref>}} Biểu thức <math>5x + 3</math> là một biểu thức đại số được tạo ra bằng cách nhân số 5 cho biến <math>x</math> rồi cộng kết quả cho số 3. Tương tự <math>32xyz</math> và {{nowrap|<math>64x_1^2 + 7x_2 - c</math>}} cũng là biểu thức đại số.<ref>{{multiref | {{harvnb|Maddocks|2008|pp=129–130}} | {{harvnb|Young|2010|p=[https://books.google.com/books?id=9HRLAn326zEC&pg=RA1-PA999 999]}} | {{harvnb|Majewski|2004|p=347}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 1. Elementary Algebra}} | {{harvnb|Sorell|2000|p=[https://books.google.com/books?id=EksSDAAAQBAJ&pg=PA19 19]}} }}</ref>

Một số biểu thức đại số có dạng mệnh đề liên hệ hai biểu thức với nhau. Phương trình là một mệnh đề được tạo thành qua so sánh hai biểu thức và cho biết chúng bằng nhau, biểu diễn thông qua dấu bằng (<math>=</math>) chẳng hạn như {{nowrap|<math>5x^2 + 6x = 3y + 4</math>.}} [[Bất đẳng thức]] là một dạng so sánh khác, cho biết hai vế là khác nhau. Sự khác nhau đó có thể được biểu diễn bằng các ký hiệu như dấu nhỏ hơn (<math><</math>), dấu lớn hơn (<math>></math>) và dấu khác (<math>\neq</math>). Không giống như biểu thức khác, mệnh đề có thể đúng hoặc sai, và [[chân trị]] của chúng thường phụ thuộc vào giá trị của biến. Ví dụ, mệnh đề <math>x^2 = 4</math> là đúng nếu <math>x</math> bằng 2 hoặc −2, còn lại là sai.<ref>{{multiref | {{harvnb|Maddocks|2008|pp=129–130}} | {{harvnb|Tsokos|Wooten|2015|p=[https://books.google.com/books?id=zu7HBQAAQBAJ&pg=PA451 451]}} | {{harvnb|Mishra|2016|p=1.2}} }}</ref> Phương trình chứa biến có thể được chia thành phương trình đồng nhất và phương trình có điều kiện. Phương trình đồng nhất luôn đúng với mọi giá trị có thể được gán cho biến, ví dụ như {{nowrap|<math>2x + 5x = 7x</math>.}} Phương trình có điều kiện chỉ đúng với một giá trị nào đó: chẳng hạn, <math>x + 4 = 9</math> chỉ đúng nếu <math>x</math> bằng 5.<ref>{{multiref | {{harvnb|Musser|Peterson|Burger|2013|p=16}} | {{harvnb|Goodman|2001|p=[https://books.google.com/books?id=TvY7DQAAQBAJ&pg=PA5 5]}} | {{harvnb|Williams|2022}} }}</ref>

Mục tiêu chính của đại số sơ cấp là xác định được giá trị sao cho một mệnh đề là đúng, bằng cách biến đổi mệnh đề theo một số quy tắc nhất định. Một nguyên lý quan trọng cho quá trình trên là phép toán khi áp dụng cho một vế của phương trình thì cũng phải áp dụng cho vế còn lại. Chẳng hạn khi trừ vế trái của phương trình cho 5 thì ta cũng phải trừ vế phải cho 5 để hai vế cân bằng. Các bước như vậy thường nhắm đến cô lập ẩn mà ta quan tâm ở một vế, một quá trình được gọi là [[giải phương trình]] theo ẩn đó. Ví dụ, phương trình <math>x - 7 = 4</math> được giải theo <math>x</math> bằng cách cộng cả hai vế cho 7 để cô lập <math>x</math> ở vế trái và dẫn đến phương trình {{nowrap|<math>x = 11</math>.<ref>{{multiref | {{harvnb|Maddocks|2008|p=130}} | {{harvnb|McKeague|1986|pp=[https://books.google.com/books?id=sq7iBQAAQBAJ&pg=PA51 51–54]}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 1. Elementary Algebra}} | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ 1. Historical Survey}} }}</ref>}}

Có nhiều kỹ thuật khác được sử dụng để giải phương trình. Đơn giản hóa là kỹ thuật được áp dụng để thay thế một biểu thức phức tạp bằng biểu thức tương đương đơn giản hơn. Ví dụ, biểu thức <math>7x - 3x</math> có thể thay bằng biểu thức <math>4x</math> vì <math>7x - 3x = (7-3)x = 4x</math> theo tính chất phân phối giữa phép nhân và phép cộng.<ref>{{multiref | {{harvnb|Tan|Steeb|Hardy|2012|p=[https://books.google.com/books?id=UDb0BwAAQBAJ&pg=PA306 306]}} | {{harvnb|Lamagna|2019|p=[https://books.google.com/books?id=8PSDDwAAQBAJ&pg=PA150 150]}} }}</ref> Đối với mệnh đề nhiều ẩn, phép thế là một kỹ thuật phổ biến khác để thay một ẩn bằng một biểu thức tương đương không chứa ẩn đó. Chẳng hạn nếu đã biết <math>y = 3x</math> thì ta có thể đơn giản biểu thức <math>7xy</math> trở thành {{nowrap|<math>21x^2</math>.}} Tương tự, nếu đã biết giá trị của một ẩn thì ta cũng có thể sử dụng nó để xác định giá trị của ẩn khác.<ref>{{multiref | {{harvnb|Berggren|2015|loc=§ Solving Systems of Algebraic Equations}} | {{harvnb|McKeague|2014|p=[https://books.google.com/books?id=nI7iBQAAQBAJ&pg=PA386 386]}} | {{harvnb|McKeague|1986|p=[https://books.google.com/books?id=sq7iBQAAQBAJ&pg=PA148 148]}} }}</ref>

[[Tập tin:Graph (y = 0.5x - 1).svg|thumb|class=skin-invert-image|alt=Đồ thị phương trình "y = 0,5x − 1"|Phương trình đại số có thể được dùng để vẽ hình học. Mọi giá trị <math>x</math> và <math>y</math> nghiệm đúng phương trình được biểu diễn bằng điểm. Chúng được nối lại thành đường thẳng màu đỏ đi lên trong đồ thị ở trên.]]

Phương trình đại số có thể được biểu diễn bằng [[hình học]] để vẽ các hình không gian dưới hình thức [[Đồ thị của hàm số|đồ thị]]. Để làm được điều này, các biến khác nhau trong phương trình được xem là [[Hệ tọa độ Descartes|tọa độ]] và giá trị nghiệm đúng phương trình được biểu diễn thành các điểm trên đồ thị. Ví dụ, nếu cho <math>x</math> bằng 0 trong phương trình <math>y=0,5x - 1</math> thì <math>y</math> phải bằng −1 để phương trình này nghiệm đúng. Điều này có nghĩa là cặp số <math>(0, -1)</math> thuộc đồ thị của phương trình. Ngược lại, cặp <math>(0, 7)</math> không nghiệm đúng phương trình và do đó không thuộc đồ thị. Đồ thị này bao hàm toàn bộ các cặp số <math>(x, y)</math> thỏa mãn phương trình đã cho.<ref>{{multiref | {{harvnb|Maddocks|2008|pp=130–131}} | {{harvnb|Rohde|Jain|Poddar|Ghosh|2012|p=[https://books.google.com/books?id=vk2XbZpsBOwC&pg=PT89 89]}} | {{harvnb|Walz|2016|loc=[https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/algebra/12062 Algebra]}}}}</ref>

==== Đa thức ====
{{chính|Đa thức}}

Đa thức là biểu thức chứa một hoặc nhiều hạng tử được cộng vào hoặc trừ đi lẫn nhau, ví dụ như {{nowrap|<math>x^4+3xy^2+5x^3-1</math>.}} Mỗi hạng tử có thể là hằng số, biến số, hoặc tích giữa hằng số và biến. Mỗi biến có thể được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương. Đơn thức là đa thức một hạng tử còn đa thức với hai và ba hạng tử lần lượt được gọi là nhị thức và tam thức. Bậc của đa thức là giá trị lớn nhất của tổng các số mũ của biến trong mỗi hạng tử (trong ví dụ ở trên là 4).<ref>{{multiref | {{harvnb|Bracken|Miller|2014|pp=386–387}} | {{harvnb|Kaufmann|Schwitters|2011|p=220}} | {{harvnb|Markushevich|2015}} }}</ref> Đa thức bậc một được gọi là ''đa thức tuyến tính''. Hệ đa thức tuyến tính là đối tượng nghiên cứu chính của đại số tuyến tính.<ref>{{multiref | {{harvnb|Sahai|Bist|2002|p=[https://books.google.com/books?id=yjkgNYfApj4C&pg=PA21 21]}} | {{harvnb|Maddocks|2008|p=131}} | {{harvnb|Barrera-Mora|2023|pp=[https://books.google.com/books?id=Xmu8EAAAQBAJ&pg=PR9 ix, 1–2]}} }}</ref> Một đa thức có thể là ''một ẩn'' hoặc ''nhiều ẩn'' tùy thuộc vào việc nó chứa một hay nhiều biến.<ref>{{harvnb|Geddes|Czapor|Labahn|2007|p=[https://books.google.com/books?id=9fOUwkkRxT4C&pg=PA46 46]}}</ref>

[[Phân tích nhân tử]] là một phương pháp được áp dụng để đơn giản hóa đa thức, giúp dễ dàng giải tích và xác định giá trị sao cho chúng [[Không điểm của hàm số|có giá trị bằng 0]]. Phân tích nhân tử là viết lại đa thức dưới dạng tích của nhiều nhân tử. Đa thức <math>x^2 - 3x - 10</math>, chẳng hạn, có thể được viết lại thành {{nowrap|<math>(x + 2)(x - 5)</math>.}} Đa thức trên có giá trị bằng 0 khi và chỉ khi một trong các nhân tử của nó bằng 0, tức là nếu <math>x</math> bằng −2 hoặc 5.<ref>{{multiref | {{harvnb|Lukas|2022|pp=[https://books.google.com/books?id=1-dvEAAAQBAJ&pg=PA47 47–49]}} | {{harvnb|Berggren|2015|loc=§ Algebraic Expressions, § Solving Algebraic Equations}} }}</ref> Trước thế kỷ 19, hầu hết lĩnh vực đại số là dành cho [[phương trình đa thức]], tức [[phương trình]] thu được khi cho một đa thức bằng 0. Những nỗ lực ban đầu trong việc giải phương trình đa thức là biểu diễn nghiệm theo [[Căn bậc n|căn bậc {{mvar|n}}]]. Nghiệm của phương trình đa thức bậc hai dạng <math>ax^2 + bx + c = 0</math> được cho bởi [[Công thức bậc hai|công thức nghiệm bậc hai]]<ref>{{multiref | {{harvnb|Berggren|2015|loc=§ Solving algebraic equations}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Classical algebra}} }}</ref>
:<math>x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}.</math>
Nghiệm đối với bậc 3 và 4 được xác định lần lượt từ công thức nghiệm [[Công thức bậc ba|bậc ba]] và [[Công thức bậc bốn|bậc bốn]]. Nghiệm tổng quát ở bậc cao hơn không tồn tại, theo kết quả của [[định lý Abel–Ruffini]] được chứng minh vào thế kỷ 19.<ref name="auto3"/> Ngay cả khi không tồn tại nghiệm tổng quát, nghiệm gần đúng của phương trình vẫn có thể tìm được qua các công cụ số học như [[phương pháp Newton–Raphson]].<ref>{{harvnb|Igarashi|Altman|Funada|Kamiyama|2014|p=[https://books.google.com/books?id=58ySAwAAQBAJ&pg=PA103 103]}}</ref>

[[Định lý cơ bản của đại số]] khẳng định mọi phương trình đa thức một ẩn bậc dương với hệ số [[số thực|thực]] hoặc [[số phức|phức]] có ít nhất một nghiệm phức. Kéo theo đó, mọi đa thức bậc dương có thể được [[Phân tích đa thức|phân tích]] thành nhiều đa thức tuyến tính. Định lý trên được chứng minh vào đầu thế kỷ 19, nhưng việc này chưa thể giải quyết toàn vẹn vấn đề do định lý không đưa ra bất kỳ cách nào để tính toán giá trị nghiệm.<ref>{{multiref | {{harvnb|Berggren|2015|loc=§ Solving algebraic equations}} | {{harvnb|Tanton|2005|p=10}} | {{harvnb|Kvasz|2006|p=308}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ The Fundamental Theorem of Algebra}} }}</ref>

=== Đại số tuyến tính ===
{{chính|Đại số tuyến tính}}

Đại số tuyến tính bắt đầu với khảo sát về [[hệ phương trình tuyến tính]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Maddocks|2008|p=131}} | {{harvnb|Barrera-Mora|2023|pp=[https://books.google.com/books?id=Xmu8EAAAQBAJ&pg=PR9 ix, 1–2], }} }}</ref> Một [[Phương trình tuyến tính|phương trình được gọi là tuyến tính]] nếu nó biểu diễn được dưới dạng <math>a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = b</math>, trong đó <math>a_1</math>, <math>a_2</math>, ..., <math>a_n</math> và <math>b</math> là hằng số. Ví dụ, <math>x_1 - 7x_2 + 3x_3 = 0</math> và <math display=inline>\frac14x - y = 4</math> là phương trình tuyến tính. ''Hệ phương trình tuyến tính'' là tập hợp phương trình tuyến tính mà ở đó ta quan tâm đến nghiệm chung giữa các phương trình.<ref>{{multiref | {{harvnb|Anton|Rorres|2013|pp=2–3}} | {{harvnb|Maddocks|2008|p=131}} | {{harvnb|Voitsekhovskii|2011}} }}</ref>

[[Ma trận (toán học)|Ma trận]] là mảng giá trị hình chữ nhật ban đầu ra đời làm ký hiệu mang tính tổng hợp và cô đọng cho hệ phương trình tuyến tính.<ref>{{multiref | {{harvnb|Saikia|2008|p=[https://books.google.com/books?id=KhM7BAAAQBAJ&pg=PA1 1]}} | {{harvnb|Lal|2017|p=[https://books.google.com/books?id=FwPNDgAAQBAJ&pg=PA31 31]}} | {{harvnb|Mirakhor|Krichene|2014|p=[https://books.google.com/books?id=G6XNAwAAQBAJ&pg=PT107 107]}} }}</ref> Chẳng hạn, hệ phương trình
:<math> \begin{align}
 9x_1 + 3x_2 - 13x_3 &= 0 \\
 2,3x_1 + 7x_3 &= 9 \\
 -5x_1 - 17x_2 &= -3
\end{align}
</math>
có thể viết lại thành
:<math>AX=B,</math>
trong đó <math>A,X</math> và <math>B</math> là các ma trận
:<math>A=\begin{bmatrix}9 & 3 & -13 \\ 2,3 & 0 & 7 \\ -5 & -17 & 0 \end{bmatrix}, \quad X= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix}0 \\ 9 \\ -3 \end{bmatrix}.</math>

Dưới một vài điều kiện về số dòng và số cột, ma trận có thể được thực hiện [[Phép cộng ma trận|phép cộng]], [[Phép nhân ma trận|phép nhân]] và đôi lúc [[Nghịch đảo của một ma trận|lấy nghịch đảo]]. Mọi phương pháp giải hệ tuyến tính đều được diễn đạt thành phép biến đổi ma trận qua các phép toán nêu trên. Hệ phương trình trong ví dụ trên được giải bằng cách tính ma trận nghịch đảo <math>A^{-1}</math> sao cho <math>A^{-1}A = I</math> với <math>I</math> là [[ma trận đơn vị]]. Sau đó, nhân hai vế của phương trình ma trận đã nêu cho <math>A^{-1}</math> về phía bên trái, ta được nghiệm của hệ phương trình tuyến tính là<ref>{{multiref | {{harvnb|Brown|2015|pp=[https://books.google.com/books?id=POlVBgAAQBAJ&pg=PA30 30–31]}} | {{harvnb|Waerden|2003|pp=70–72}} }}</ref>
:<math>X=A^{-1}B.</math>

Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính dao động từ cấp độ nhập môn như phép thế<ref>{{multiref | {{harvnb|Young|2010|pp=[https://books.google.com/books?id=9HRLAn326zEC&pg=PA697 697–698]}} | {{harvnb|Maddocks|2008|p=131}} | {{harvnb|Sullivan|2010|pp=[https://books.google.com/books?id=6NKaDwAAQBAJ&pg=PA53 53–54]}} }}</ref> và cộng đại số<ref>{{multiref | {{harvnb|Anton|Rorres|2013|pp=7–8}} | {{harvnb|Sullivan|2010|pp=[https://books.google.com/books?id=6NKaDwAAQBAJ&pg=PA55 55–56]}} | {{harvnb|Atanasiu|Mikusinski|2019|p=[https://books.google.com/books?id=VbySDwAAQBAJ&pg=PA75 75]}}}}</ref> đến các kỹ thuật nâng cao sử dụng ma trận như [[quy tắc Cramer]], [[phép khử Gauss]] và [[phân tích LU]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Maddocks|2008|p=131}} | {{harvnb|Anton|Rorres|2013|pp=7–8, 11, 491}} }}</ref> Một số hệ phương trình là [[Phương trình tương thích và không tương thích|không tương thích]] do chúng vô nghiệm;<ref name="auto10">{{multiref | {{harvnb|Anton|Rorres|2013|pp=3–7}} | {{harvnb|Mortensen|2013|pp=[https://books.google.com/books?id=KYDrCAAAQBAJ&pg=PA73 73–74]}} | {{harvnb|Young|2023|pp=[https://books.google.com/books?id=pMSZEAAAQBAJ&pg=PA714 714–715]}} }}</ref>{{efn|Hệ không tương thích có các phương trình trong hệ mâu thuẫn với nhau. Một ví dụ là cặp <math>x_1 - 3x_2 = 0</math> và <math>x_1 - 3x_2 = 7</math> do không tồn tại giá trị <math>x_1</math> và <math>x_2</math> nghiệm đúng cho cả hai phương trình.<ref name="auto10"/>}} hệ tương thích có thể có một nghiệm duy nhất hoặc vô số nghiệm.<ref name="auto11">{{multiref | {{harvnb|Maddocks|2008|p=131}} | {{harvnb|Harrison|Waldron|2011|p=[https://books.google.com/books?id=_sisAgAAQBAJ&pg=PT464 464]}} | {{harvnb|Anton|2013|p=[https://books.google.com/books?id=neYGCwAAQBAJ&pg=PA255 255]}} }}</ref>{{efn|Việc một hệ phương trình tương thích có nghiệm duy nhất hay không phụ thuộc vào số ẩn và số [[phương trình độc lập]]. Một tập hợp nhiều phương trình được gọi là độc lập với nhau nếu chúng không thể suy ra được từ nhau. Hệ có nghiệm duy nhất nếu số ẩn bằng với số phương trình độc lập trong hệ. Ngược lại, [[hệ chưa đầy đủ]] ({{lang|en|underdetermined}}) có số ẩn nhiều hơn số phương trình độc lập và có vô số nghiệm nếu là hệ tương thích.<ref name="auto11"/>}}

Nghiên cứu về [[không gian vectơ]] và [[ánh xạ tuyến tính]] cấu thành một bộ phận lớn trong đại số tuyến tính. Không gian vectơ là cấu trúc đại số được hình thành từ một tập hợp cùng với phép cộng (vốn khiến nó trở thành [[nhóm Abel]]) và [[phép nhân vô hướng]] tương hợp với phép cộng. Ánh xạ tuyến tính là hàm giữa các không gian vectơ tương hợp với phép cộng và phép nhân vô hướng. Trong trường hợp của [[Chiều (không gian vectơ)|không gian vectơ hữu hạn chiều]], vectơ và ánh xạ tuyến tính có thể được ký hiệu bằng ma trận. Theo đó, lý thuyết về ma trận và không gian vectơ hữu hạn chiều về cơ bản là giống nhau, và đặc biệt không gian vectơ cho ta một cách thức thứ ba để biểu diễn và biến đổi hệ phương trình tuyến tính.<ref>{{multiref | {{harvnb|Valenza|2012|p=[https://books.google.com/books?id=7x8MCAAAQBAJ&pg=PR7 vii]}} | {{harvnb|Chahal|2018|loc=[https://books.google.com/books?id=BGR8DwAAQBAJ&pg=PT10 § 1.1 What is Linear Algebra?]}} | {{harvnb|Solomon|2014|pp=[https://books.google.com/books?id=BpvSBQAAQBAJ&pg=PA57 57–58, 61–62]}} | {{harvnb|Ricardo|2009|p=[https://books.google.com/books?id=s7bMBQAAQBAJ&pg=PA389 389]}} }}</ref> Dưới góc độ này, ma trận là biểu diễn của ánh xạ tuyến tính: nếu ta chọn một [[Cơ sở (đại số tuyến tính)|cơ sở]] nhất định để mô tả những vectơ được biến đổi thì các phần tử trong ma trận cho ta kết quả của phép ánh xạ tuyến tính áp dụng cho các vectơ cơ sở.<ref>{{multiref | {{harvnb|Solomon|2014|p=[https://books.google.com/books?id=BpvSBQAAQBAJ&pg=PA57 57]}} | {{harvnb|Ricardo|2009|pp=[https://books.google.com/books?id=s7bMBQAAQBAJ&pg=PA395 395–396]}} }}</ref>

[[Tập tin:Linear Function Graph.svg|nhỏ|alt=Đồ thị của hai phương trình tuyến tính|Phương trình tuyến tính hai ẩn có thể được biểu diễn hình học dưới dạng đường thẳng. Nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính là nơi mà các đường thẳng giao nhau.]]

Hệ phương trình có thể được biểu diễn dưới dạng hình học. Đối với hệ hai ẩn, mỗi phương trình tương ứng với một [[đường thẳng]] trong [[không gian hai chiều]]. Giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ vì đây là điểm duy nhất nghiệm đúng cả hai phương trình trong hệ. Đối với hệ không tương thích, hai đường thẳng này sẽ song song với nhau, có nghĩa là hệ vô nghiệm do chúng không cắt nhau. Nếu hai phương trình không độc lập với nhau thì chúng cùng đại diện cho một đường thẳng, tức là mọi nghiệm của phương trình thứ nhất đều là nghiệm của phương trình thứ hai. Nhờ các quan hệ nói trên mà chúng ta có thể tìm được nghiệm về mặt hình học bằng cách vẽ đồ thị các phương trình và xác định nơi giao nhau giữa chúng.<ref>{{multiref | {{harvnb|Anton|Rorres|2013|pp=3–5}} | {{harvnb|Young|2010|pp=[https://books.google.com/books?id=9HRLAn326zEC&pg=PA696 696–697]}} | {{harvnb|Sneyd|Fewster|McGillivray|2022|p=[https://books.google.com/books?id=zqd3EAAAQBAJ&pg=PA211 211]}} }}</ref> Nguyên lý này cũng áp dụng cho hệ phương trình nhiều hơn hai ẩn với điểm khác biệt là mỗi phương trình đại diện cho một đối tượng hình học nhiều chiều thay vì đường thẳng. Chẳng hạn, phương trình ba ẩn tương ứng với [[Mặt phẳng (toán học)|mặt phẳng]] trong [[không gian ba chiều]] và giao điểm của tất cả các mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình.<ref>{{multiref | {{harvnb|Anton|Rorres|2013|pp=3–5}} | {{harvnb|Young|2010|p=[https://books.google.com/books?id=9HRLAn326zEC&pg=PA713 713]}} | {{harvnb|Sneyd|Fewster|McGillivray|2022|p=[https://books.google.com/books?id=zqd3EAAAQBAJ&pg=PA211 211]}} }}</ref>

=== Đại số trừu tượng ===
{{chính|Đại số trừu tượng}}

Đại số trừu tượng, còn gọi là đại số hiện đại,<ref>{{multiref | {{harvnb|Gilbert|Nicholson|2004|p=[https://books.google.com/books?id=paINAXYHN8kC&pg=PA1 1]}} | {{harvnb|Dominich|2008|p=[https://books.google.com/books?id=uEedNKV3nlUC&pg=PA19 19]}} }}</ref> là nghiên cứu về các [[cấu trúc đại số]]. Cấu trúc đại số là khuôn mẫu để hiểu biết các [[phép toán]] trên [[đối tượng toán học]], ví dụ như phép cộng các số. Trong khi đại số sơ cấp và đại số tuyến tính có hiệu lực trong khuôn khổ một vài cấu trúc đại số cụ thể, đại số trừu tượng đi theo hướng tổng quát hơn nhằm so sánh xem các cấu trúc đại số khác nhau như thế nào và tồn tại những loại cấu trúc đại số gì, ví dụ như [[Nhóm (toán học)|nhóm]], [[vành]] và [[trường (toán học)|trường]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Maddocks|2008|pp=131–132}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=Phần mở đầu, § 2. Abstract Algebra}} | {{harvnb|Gilbert|Nicholson|2004|pp=[https://books.google.com/books?id=paINAXYHN8kC&pg=PA1 1–3]}} | {{harvnb|Dominich|2008|p=[https://books.google.com/books?id=uEedNKV3nlUC&pg=PA19 19]}} }}</ref> Điểm khác biệt chủ yếu giữa các dạng cấu trúc nói trên là ở số lượng phép toán mà chúng sử dụng và các luật mà chúng tuân theo.<ref name="auto9"/> Trong [[giáo dục toán học]], đại số trừu tượng chỉ một học phần nâng cao của chương trình đại học mà sinh viên chuyên ngành toán theo học sau khi hoàn tất các học phần đại số tuyến tính.<ref>{{harvnb|Hausberger|2020|loc=Abstract Algebra Teaching and Learning}}</ref>

[[Tập tin:Binary operations as black box.svg|thumb|class=skin-invert-image|alt=Hình vẽ phép toán hai ngôi|Nhiều cấu trúc đại số phụ thuộc vào phép toán hai ngôi với hai đối tượng đầu vào được tổng hợp thành một đối tượng duy nhất làm đầu ra, tương tự như phép cộng và phép nhân.]]

Ở cấp độ hình thức, cấu trúc đại số là một [[Tập hợp (toán học)|tập hợp]]{{efn|Tập hợp là một bộ các phần tử phân biệt như số, vectơ hay tập hợp khác, không có thứ tự. [[Lý thuyết tập hợp]] mô tả các luật và tính chất của tập hợp.<ref>{{multiref | {{harvnb|Tanton|2005|p=460}} | {{harvnb|Murthy|2012|p=[https://books.google.com/books?id=CBc8BAAAQBAJ&pg=PA3 1.3]}} }}</ref>}} các đối tượng toán học, gọi là tập nền, đi cùng với một hoặc một số phép toán.{{efn|Theo một số định nghĩa, cấu trúc đại số bao gồm một phần tử đặc biệt làm thành phần thêm vào, ví dụ như phần tử đơn vị trong trường hợp phép nhân.<ref name="auto5">{{harvnb|Ovchinnikov|2015|p=[https://books.google.com/books?id=UMbXBgAAQBAJ&pg=PA27 27]}}</ref>}} Đại số trừu tượng chủ yếu quan tâm đến [[phép toán hai ngôi]],{{efn|Một số cấu trúc mà đại số trừu tượng nghiên cứu bao gồm [[phép toán một ngôi]] đi kèm các phép toán hai ngôi. Chẳng hạn, [[không gian định chuẩn]] có một phép toán một ngôi gọi là [[Chuẩn (toán học)|chuẩn]], thường dùng để gắn liền một vectơ với độ dài của nó.<ref>{{harvnb|Grillet|2007|p=[https://books.google.com/books?id=LJtyhu8-xYwC&pg=PA247 247]}}</ref>}} vốn lấy đầu vào là hai đối tượng bất kỳ từ tập nền và ánh xạ chúng sang một đối tượng khác từ tập đó làm đầu ra.<ref>{{multiref | {{harvnb|Whitelaw|1995|p=[https://books.google.com/books?id=f2hyf0QoB_0C&pg=PA61 61]}} | {{harvnb|Nicholson|2012|p=[https://books.google.com/books?id=w-GaLpapRcEC&pg=PA70 70]}} | {{harvnb|Fiche|Hebuterne|2013|p=[https://books.google.com/books?id=TqkckiuuXg8C&pg=PT326 326]}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=Phần mở đầu, § 2. Abstract Algebra}} }}</ref> Chẳng hạn, cấu trúc đại số <math>\langle \N, + \rangle</math> có tập nền là tập hợp [[số tự nhiên]] (<math>\N</math>) và phép toán hai ngôi là phép cộng (<math>+</math>).<ref name="auto5"/> Tập nền có thể chứa các đối tượng toán học khác không phải số, và phép toán trong cấu trúc không bị giới hạn ở những phép toán số học thông thường.<ref>{{multiref | {{harvnb|Maddocks|2008|pp=131–132}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=Phần mở đầu, § 2. Abstract Algebra}} }}</ref> Ví dụ, tập nền trong [[nhóm đối xứng]] của một đối tượng hình học bao gồm các phép [[biến đổi hình học]], chẳng hạn như phép [[quay]], sao cho đối tượng đó [[Bất biến (toán học)|không thay đổi]]. Phép toán hai ngôi của nó là [[hàm hợp]], trong đó đầu ra là phép biến đổi hình học thu được sau khi lần lượt áp dụng hai phép biến hình đầu vào.<ref>{{multiref | {{harvnb|Olver|1999|pp=[https://books.google.com/books?id=1GlHYhNRAqEC&pg=PA55 55–56]}} | {{harvnb|Abas|Salman|1994|pp=[https://books.google.com/books?id=5snsCgAAQBAJ&pg=PA58 58–59]}} | {{harvnb|Häberle|2009|p=[https://books.google.com/books?id=McvSa-cFZCMC&pg=PA640 640]}} }}</ref>

==== Lý thuyết nhóm ====
{{chính|Lý thuyết nhóm}}
Đại số trừu tượng phân lớp các cấu trúc đại số dựa trên các luật hay [[tiên đề]] mà chúng tuân theo và số phép toán chúng sử dụng. Nhóm là một trong những loại cơ bản nhất, bao gồm một phép toán và yêu cầu phép toán đó phải có [[tính kết hợp]] cũng như có một [[phần tử đơn vị]] và [[phần tử nghịch đảo]]. Một phép toán có tính kết hợp nếu thứ tự thực hiện nó nhiều lần không ảnh hưởng đến kết quả, tức là {{nowrap|<math>(a \circ b) \circ c</math>{{efn|Ký hiệu <math>\circ</math> và <math>\star</math> được sử dụng trong bài viết này để chỉ bất kỳ phép toán nào, có thể giống hoặc không giống với phép toán số học.<ref>{{harvnb|Gilbert|Nicholson|2004|p=[https://books.google.com/books?id=paINAXYHN8kC&pg=PA4 4]}}</ref>}}}} luôn bằng với {{nowrap|<math>a \circ (b \circ c)</math>.}} Một phép toán có phần tử đơn vị hay phần tử trung hòa nếu tồn tại một phần tử <math>e</math> không làm thay đổi giá trị của bất kỳ phần tử nào khác, hay {{nowrap|<math>a \circ e = e \circ a = a</math>.}} Một phép toán có phần tử nghịch đảo nếu với mọi phần tử <math>a</math> tồn tại một phần tử <math>a^{-1}</math> đối ứng lại <math>a</math>. Nếu một phần tử được thực hiện phép toán với phần tử nghịch đảo của nó thì kết quả là phần tử trung hòa <math>e</math>, phát biểu dưới dạng {{nowrap|<math>a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e</math>.}} Mọi cấu trúc đại số đáp ứng các yêu cầu trên là một nhóm.<ref>{{multiref | {{harvnb|Kargapolov|Merzlyakov|2016|loc=§ Definition}} | {{harvnb|Khattar|Agrawal|2023|pp=[https://books.google.com/books?id=7-nIEAAAQBAJ&pg=PA4 4–6]}} | {{harvnb|Maddocks|2008|pp=131–132}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=Phần mở đầu, § 2. Abstract Algebra}} | {{harvnb|Neri|2019|p=[https://books.google.com/books?id=NMOlDwAAQBAJ&pg=PA258 258]}} }}</ref> Ví dụ, <math>\langle \Z, + \rangle</math> là một nhóm hình thành từ tập hợp [[số nguyên]] cùng với phép cộng. Phần tử trung hòa của nhóm này là 0 và phần tử nghịch đảo của một số <math>a</math> bất kỳ là {{nowrap|<math>-a</math>.<ref>{{multiref | {{harvnb|Khattar|Agrawal|2023|pp=[https://books.google.com/books?id=7-nIEAAAQBAJ&pg=PA6 6–7]}} | {{harvnb|Maddocks|2008|pp=131–132}} | {{harvnb|Adhikari|Adhikari|2013|p=[https://books.google.com/books?id=lBO7BAAAQBAJ&pg=PA72 72]}}}}</ref>}} Trái lại, tập hợp số tự nhiên cùng với phép cộng không tạo nên một nhóm do chỉ chứa các số nguyên dương và vì vậy không có phần tử nghịch đảo nào.<ref>{{multiref | {{harvnb|McWeeny|2002|p=[https://books.google.com/books?id=x3fjIXY93TsC&pg=PA6 6]}} | {{harvnb|Kramer|Pippich|2017|p=[https://books.google.com/books?id=nvM-DwAAQBAJ&pg=PA49 49]}} }}</ref>

[[Lý thuyết nhóm]] khảo sát bản chất của nhóm với các định lý sơ cấp như [[định lý cơ bản của các nhóm Abel hữu hạn]] và [[định lý Feit–Thompson]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Tanton|2005|p=242}} | {{harvnb|Bhattacharya|Jain|Nagpaul|1994|p=[https://books.google.com/books?id=hiQ8e0b48swC&pg=PA141 141]}} | {{harvnb|Weisstein|2003|p=[https://books.google.com/books?id=D_XKBQAAQBAJ&pg=PA1020 1020]}} }}</ref> Định lý Feit–Thompson là bước đi đầu cho một trong những thành tựu toán học quan trọng nhất thế kỷ 20: một quá trình cộng tác kéo dài với hơn 10.000 trang bài báo được xuất bản chủ yếu từ năm 1960 đến năm 2004 đi đến định lý [[phân loại nhóm đơn hữu hạn]] toàn vẹn.<ref>{{multiref | {{harvnb|Elwes|2006}} | {{harvnb|Wilson|2009|p=2}} }}</ref>

====Lý thuyết vành và lý thuyết trường====
{{chính|Lý thuyết vành|Trường (toán học)}}
Vành là một cấu trúc đại số với hai phép toán hoạt động tương đồng với phép cộng và phép nhân các số, được đặt tên và ký hiệu tương tự. Vành là một [[nhóm giao hoán]] dưới phép cộng: phép cộng của vành có tính kết hợp, tính giao hoán và có một phần tử đơn vị cùng với phần tử nghịch đảo. Phép nhân có tính kết hợp và [[Thuộc tính phân phối|phân phối]] theo phép cộng; tức là <math>a (b + c) = a b + a c</math> và <math>(b + c) a = b a + c a.</math> Hơn nữa, phép nhân còn có thêm một [[phần tử đơn vị]] thường được ký hiệu là {{math|1}}.<ref>{{multiref | {{harvnb|Weisstein|2003|p=2579}} | {{harvnb|Maxwell|2009|pp=[https://books.google.com/books?id=yD0irRUE_u4C&pg=PA73 73–74]}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 2.3 Rings}} }}</ref>{{efn|Một số tác giả không yêu cầu vành phải tồn tại đơn vị nhân. Vành không có đơn vị nhân đôi khi được gọi là {{not a typo|[[rng (đại số)|rng]]}}.<ref>{{harvnb|Silverman|2022|p=[https://books.google.com/books?id=PKFnEAAAQBAJ&pg=PA64 64]}}</ref>}} Phép nhân không nhất thiết phải có tính giao hoán; nếu có thì vành đó là một [[vành giao hoán]].<ref>{{harvnb|Geddes|Czapor|Labahn|2007|p=[https://books.google.com/books?id=9fOUwkkRxT4C&pg=PA24 24]}}</ref> [[Vành số nguyên]] (<math>\Z</math>) là một trong những vành giao hoán đơn giản nhất.<ref>{{harvnb|Smith|2015|p=[https://books.google.com/books?id=MXu9CgAAQBAJ&pg=PA161 161]}}</ref>

''[[Trường (toán học)|Trường]]'' là một vành giao hoán sao cho {{tmath|1\ne 0}} và mỗi phần tử khác không có một [[nghịch đảo phép nhân]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Geddes|Czapor|Labahn|2007|p=[https://books.google.com/books?id=9fOUwkkRxT4C&pg=PA24 24]}} | {{harvnb|Weisstein|2003|pp=1047, 2579}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 2.4 Fields}} }}</ref> Vành số nguyên không tạo nên một trường do không có nghịch đảo phép nhân. Chẳng hạn, nghịch đảo phép nhân của <math>7</math> là {{nowrap|<math>\tfrac{1}{7}</math>,}} không phải là số nguyên. Mỗi tập hợp [[số hữu tỉ]], [[số thực]] và [[số phức]] tạo thành một trường với phép cộng và phép nhân.<ref>{{multiref | {{harvnb|Irving|2004|pp=77, 236}} | {{harvnb|Weisstein|2003|pp=1047, 2579}} | {{harvnb|Hohn|2013|pp=[https://books.google.com/books?id=9XlFu4XQ6nUC&pg=PA83 83–84]}} }}</ref>

[[Lý thuyết vành]] là nghiên cứu về vành, khám phá các khái niệm như [[vành con]], [[vành thương]], [[vành đa thức]] và [[i-đê-an]] cũng như định lý quan trọng như [[định lý cơ sở Hilbert]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Serovajsky|2020|loc=§ Room 4B.5 Rings}} | {{harvnb|Kleiner|2007|p=[https://books.google.com/books?id=udj-1UuaOiIC&pg=PA63 63]}} | {{harvnb|Kline|1990|p=[https://books.google.com/books?id=8YaBuGcmLb0C&pg=PA1153 1153]}} }}</ref> Lý thuyết trường quan tâm đến các trường và khảo sát về [[mở rộng trường]], [[đóng đại số]] và [[trường hữu hạn]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Waerden|2003|pp=110–114, 231, 246}} | {{harvnb|Karpilovsky|1989|p=[https://books.google.com/books?id=-2WR0fw9gLMC&pg=PA45 45]}} | {{harvnb|Kleiner|2007|p=[https://books.google.com/books?id=udj-1UuaOiIC&pg=PA63 63]}} }}</ref> [[Lý thuyết Galois]] đi sâu vào mối quan hệ giữa lý thuyết trường và lý thuyết vành, phụ thuộc vào [[định lý cơ bản của lý thuyết Galois]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Lang|2005|pp=[https://books.google.com/books?id=Fge-BwqhqIYC&pg=PA261 261–262]}} | {{harvnb|Cox|2012|pp=[https://books.google.com/books?id=vBKrOch1AkYC&pg=PA161 161–162]}} }}</ref>

====Lý thuyết về quan hệ tương hỗ giữa các cấu trúc====

[[Tập tin:Magma to group4 vi.svg|thumb|class=skin-invert-image|alt=Hình vẽ mối quan hệ giữa một số cấu trúc đại số|Hình vẽ mối quan hệ giữa một số cấu trúc đại số. Chẳng hạn, phần phía trên bên trái cho thấy một [[Magma (đại số)|magma]] sẽ trở thành [[nửa nhóm]] nếu phép toán của nó có tính kết hợp.]]

Ngoài nhóm, vành và trường, đại số còn nghiên cứu nhiều loại cấu trúc khác như [[Magma (đại số)|magma]], [[nửa nhóm]], [[monoid]], [[nhóm Abel]], [[vành giao hoán]], [[Mô đun (toán học)|mô đun]], [[dàn]], [[không gian vectơ]], [[đại số trên một trường]], [[đại số kết hợp]] và [[đại số phi kết hợp]]. Chúng khác nhau về loại đối tượng được mô tả và ràng buộc mà các phép toán trong chúng phải thỏa mãn. Nhiều cấu trúc có liên hệ với nhau ở chỗ một cấu trúc cơ bản có thể được chuyển thành cấu trúc nâng cao hơn thông qua đáp ứng các yêu cầu bổ sung.<ref name="auto9">{{multiref | {{harvnb|Pratt|2022|loc=Phần mở đầu, § 2. Abstract Algebra}} | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=The Subject Matter of Algebra, Its Principal Branches and Its Connection with Other Branches of Mathematics.}} | {{harvnb|Bourbaki|1998|pp=[https://books.google.com/books?id=STS9aZ6F204C&pg=PA428 428–430, 446]}} }}</ref> Chẳng hạn, một magma trở thành nửa nhóm nếu phép toán của nó có tính kết hợp.<ref>{{harvnb|Cooper|2011|p=[https://books.google.com/books?id=Fybzl6QB62gC&pg=PA60 60]}}</ref>

[[Phép đồng cấu]] là công cụ khảo sát các yếu tố cấu trúc qua việc so sánh hai cấu trúc đại số.<ref>{{multiref | {{harvnb|Rowen|2006|p=[https://books.google.com/books?id=AhEPCgAAQBAJ&pg=PA12 12]}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 3.3 Birkhoff's Theorem}} | {{harvnb|Grätzer|2008|p=34}} }}</ref> Đồng cấu là một hàm từ tập nền của một cấu trúc đại số sang tập nền của một cấu trúc đại số khác bảo toàn các đặc trưng cấu trúc nhất định. Nếu hai cấu trúc đại số sử dụng phép toán hai ngôi và có dạng <math>\langle A, \circ \rangle</math> và <math>\langle B, \star \rangle</math> thì hàm <math>h: A \to B</math> là một đồng cấu khi nó thỏa mãn {{nowrap|<math>h(x \circ y) = h(x) \star h(y)</math>.}} Sự tồn tại của một đồng cấu chỉ ra rằng phép toán <math>\star</math> ở cấu trúc thứ hai có cùng vai trò với phép toán <math>\circ</math> ở cấu trúc thứ nhất.<ref>{{multiref | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 3.3 Birkhoff's Theorem}} | {{harvnb|Rowen|2006|p=[https://books.google.com/books?id=AhEPCgAAQBAJ&pg=PA12 12]}} | {{harvnb|Gowers|Barrow-Green|Leader|2010|pp=[https://books.google.com/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA27 27–28]}} | {{harvnb|Adhikari|2016|pp=[https://books.google.com/books?id=MIAXDQAAQBAJ&pg=PA5 5–6]}} }}</ref> [[Phép đẳng cấu]] là một dạng đặc biệt của đồng cấu biểu thị mức độ tương đồng cao giữa hai cấu trúc đại số. Đẳng cấu là phép đồng cấu [[song ánh]], có nghĩa là nó thiết lập mối quan hệ một–một giữa các phần tử của hai cấu trúc đại số. Điều này mang hàm ý rằng mọi phần tử của cấu trúc thứ nhất đều được ánh xạ sang một phần tử duy nhất trong cấu trúc thứ hai mà không có phần tử nào không được ánh xạ ở cấu trúc thứ hai đó.<ref>{{multiref | {{harvnb|Neri|2019|pp=[https://books.google.com/books?id=NMOlDwAAQBAJ&pg=PA278 278–279]}} | {{harvnb|Ivanova|Smirnov|2012}} | {{harvnb|Deo|2018|p=[https://books.google.com/books?id=HjtRDwAAQBAJ&pg=PA295 295]}} | {{harvnb|Ono|2019|p=[https://books.google.com/books?id=SR2nDwAAQBAJ&pg=PA84 84]}}}}</ref>

[[Tập tin:Venn A subset B.svg|thumb|alt=Biểu đồ Venn của một tập hợp và tập con của nó|[[Đại số con]] giới hạn các phép toán về một tập hợp con thuộc tập nền của cấu trúc đại số ban đầu.]]

Một công cụ so sánh khác là quan hệ giữa một cấu trúc đại số với [[Đại số con#Đại số con trong đại số phổ dụng|đại số con]] của nó.<ref name="auto8">{{multiref | {{harvnb|Indurkhya|2013|pp=[https://books.google.com/books?id=foTrCAAAQBAJ&pg=PA217 217–218]}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 3.3 Birkhoff's Theorem}} | {{harvnb|Grätzer|2008|p=34}} }}</ref> Cả cấu trúc đại số này và đại số con đều sử dụng chung các phép toán,{{efn|Theo một số định nghĩa, một đại số con còn có thể có ít phép toán hơn cấu trúc ban đầu.<ref name="auto6">{{harvnb|Indurkhya|2013|pp=[https://books.google.com/books?id=foTrCAAAQBAJ&pg=PA217 217–218]}}</ref>}} đồng thời các phép toán đó tuân thủ cùng những tiên đề. Điểm khác nhau duy nhất là tập nền của đại số con là tập con của tập nền của cấu trúc đại số ứng với nó.{{efn|Điều này tức là mọi phần tử của tập hợp thứ nhất đều là phần tử của tập hợp thứ hai nhưng tập hợp thứ hai có thể chứa những phần tử không thuộc tập hợp thứ nhất.<ref>{{harvnb|Efimov|2014}}</ref>}} Mọi phép toán trong đại số con phải là [[Đóng (phép toán)|đóng]] trên tập nền, tức là chúng chỉ cho ra phần tử thuộc tập nền này.<ref name="auto8"/> Chẳng hạn, tập hợp các [[Tính chẵn lẻ|số nguyên chẵn]] cùng với phép cộng là một đại số con của tập hợp các số nguyên cùng với phép cộng, do tổng của hai số chẵn là một số chẵn. Song, tập hợp các số nguyên lẻ cùng với phép cộng không phải là đại số con do nó không có tính đóng: tổng của hai số lẻ là một số chẵn không thuộc tập hợp con đã chọn.<ref name="auto6"/>

[[Đại số phổ dụng]] là nghiên cứu về các cấu trúc đại số nói chung. Trong quan điểm chung, đại số phổ dụng không quan tâm tới các phần tử cụ thể tạo nên tập nền và xem xét cả những phép toán với nhiều hơn hai đầu vào, chẳng hạn như [[phép toán ba ngôi]]. Lĩnh vực này cho chúng ta một khuôn mẫu để tìm hiểu xem các cấu trúc đại số khác nhau có chung những đặc điểm cấu trúc nào.<ref>{{multiref | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 3. Universal Algebra}} | {{harvnb|Cohn|2012|p=[https://books.google.com/books?id=6tbuCAAAQBAJ&pg=PR13 xiii]}} }}</ref>{{efn|Một hướng tiếp cận khác xem đại số phổ dụng là nghiên cứu về một dạng cấu trúc đại số cũng có tên gọi là đại số phổ dụng. Đại số phổ dụng theo định nghĩa tổng quát bao gồm hầu hết cấu trúc đại số khác. Chẳng hạn, nhóm và vành là dạng đặc biệt của đại số phổ dụng.<ref>{{multiref | {{harvnb|Smirnov|2020}} | {{harvnb|Grätzer|2008|pp=7–8}} | {{harvnb|Bahturin|2013|p=[https://books.google.com/books?id=8RbvCAAAQBAJ&pg=PA346 346]}} }}</ref>}} Một trong những đặc điểm trên có liên quan đến các [[đồng nhất thức]] luôn đúng trong các cấu trúc đại số khác nhau. Trong trường hợp này, đồng nhất thức là một phương trình [[Lượng từ với mọi|phổ dụng]] hoặc phương trình luôn đúng với mọi phần tử trong tập nền. Ví dụ, tính giao hoán là một phương trình phổ dụng phát biểu rằng <math>a \circ b</math> bao giờ cũng đồng nhất với {{nowrap|<math>b \circ a</math>.<ref>{{multiref | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 3.2 Equational Logic}} | {{harvnb|Mal’cev|1973|pp=210–211}} }}</ref>}} [[Đa tạp (đại số phổ dụng)|Đa tạp]] là một lớp chứa tất cả các cấu trúc đại số thỏa mãn một số đồng nhất thức nào đó. Nếu hai cấu trúc đại số cùng thỏa mãn tính giao hoán, chẳng hạn, thì chúng đều thuộc về đa tạp tương ứng.<ref>{{multiref | {{harvnb|Mal’cev|1973|pp=210–211}} | {{harvnb|Cohn|2012|p=[https://books.google.com/books?id=6tbuCAAAQBAJ&pg=PA162 162]}} | {{harvnb|Rosen|2012|p=[https://books.google.com/books?id=-oVvEAAAQBAJ&pg=PA779 779]}} | {{harvnb|Hazewinkel|1994|p=[https://books.google.com/books?id=PE1a-EIG22kC&pg=PA406 406]}} }}</ref>{{efn|Không phải mọi loại cấu trúc đại số đều hợp thành một đa tạp. Nhóm và vành đều hợp thành đa tạp nhưng trường thì không.<ref>{{harvnb|Cohn|1995|p=[https://books.google.com/books?id=u-4ADgUgpSMC&pg=PA8 8]}}</ref>}}{{efn|Ngoài đồng nhất thức, đại số phổ dụng còn quan tâm các đặc điểm cấu trúc gắn với [[giả đồng nhất thức]]. Giả đồng nhất thức là một đồng nhất thức chỉ nhất thiết xảy ra trong những điều kiện nhất định (biểu thị dưới dạng [[mệnh đề Horn]]<ref>{{harvnb|Mal’cev|1973|p=211}}</ref>). Đây là dạng khái quát hóa từ đồng nhất thức theo nghĩa rằng mọi đồng nhất thức đều là giả đồng nhất thức nhưng một giả đồng nhất thức có thể không phải là đồng nhất thức. [[Giả đa tạp]] là một lớp chứa tất cả các cấu trúc đại số thỏa mãn một số giả đồng nhất thức nào đó.<ref>{{multiref | {{harvnb|Mal’cev|1973|pp=210–211}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 3. Universal Algebra}} | {{harvnb|Artamonov|2003|p=[https://books.google.com/books?id=sLDGY4Hk8V0C&pg=PA873 873]}} }}</ref>}}

[[Lý thuyết phạm trù]] sử dụng khái niệm [[Phạm trù (toán học)|phạm trù]] để tìm hiểu xem các đối tượng toán học có liên hệ với nhau như thế nào. Phạm trù là một bộ các đối tượng cùng với một bộ [[cấu xạ]] hoặc "mũi tên" giữa những đối tượng đó. Hai bộ trên phải đáp ứng một vài điều kiện nhất định. Chẳng hạn, cấu xạ có thể được liên kết hay ''hợp nối'' lại: nếu tồn tại một cấu xạ từ đối tượng <math>a</math> sang đối tượng <math>b</math> và một cấu xạ khác từ đối tượng <math>b</math> sang đối tượng <math>c</math> thì cũng phải tồn tại một cấu xạ từ đối tượng <math>a</math> sang đối tượng <math>c</math>. Phép hợp nối cấu xạ cần có tính kết hợp và mỗi đối tượng phải có một "cấu xạ đồng nhất" tương ứng.<ref>{{multiref | {{harvnb|Weisstein|2003|pp=347–348}} | {{harvnb|Gowers|Barrow-Green|Leader|2010|pp=[https://books.google.com/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA6 6, 165]}} | {{harvnb|Cheng|2023|p=102}} }}</ref> Phạm trù được ứng dụng phổ biến trong toán học đương đại do chúng cung cấp một khuôn khổ thống nhất để mô tả và phân tích nhiều khái niệm toán học cốt lõi. Ví dụ, tâp hợp có thể được mô tả bằng [[phạm trù tập hợp]], và một nhóm bất kỳ có thể xem là các cấu xạ của một phạm trù với chỉ một đối tượng.<ref>{{multiref | {{harvnb|Gowers|Barrow-Green|Leader|2010|pp=[https://books.google.com/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA6 6, 165]}} | {{harvnb|Borceux|1994|p=[https://books.google.com/books?id=YfzImoopB-IC&pg=PA20 20]}} | {{harvnb|Laos|1998|p=[https://books.google.com/books?id=1r7dSn4ZqogC&pg=PA100 100]}} | {{harvnb|Cheng|2023|pp=128–131}} }}</ref>

== Lịch sử ==
{{chính|Lịch sử đại số|<!--Niên biểu đại số-->}}

[[Tập tin:Rhind Mathematical Papyrus.jpg|thumb|alt=Cuộn giấy Rhind|[[Cuộn giấy Rhind]] từ [[Ai Cập cổ đại]], có niên đại khoảng năm 1650 TCN, là một trong những tài liệu cổ xưa nhất bàn về các bài toán đại số.]]

Nguồn gốc đại số đến từ những nỗ lực giải quyết bài toán liên quan đến tính toán số học và đại lượng chưa biết. Các tiến trình này diễn ra trong thời cổ đại ở nền [[văn minh cổ Babylon]], [[Ai Cập cổ đại|Ai Cập]], [[Hy Lạp cổ đại|Hy Lạp]], [[Trung Quốc cổ đại|Trung Quốc]] và [[Ấn Độ cổ đại|Ấn Độ]]. Một trong những tài liệu lâu đời nhất về bài toán đại số là [[cuộn giấy Rhind]] của Ai Cập cổ đại, viết vào khoảng năm 1650&nbsp;TCN.{{efn|Niên đại chính xác vẫn chưa có sự thống nhất và một số nhà sử học đưa ra một mốc thời gian khác ở khoảng năm 1550 TCN.<ref>{{multiref | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Problem Solving in Egypt and Babylon}} | {{harvnb|Brezinski|Meurant|Redivo-Zaglia|2022|p=[https://books.google.com/books?id=4IGhEAAAQBAJ&pg=PA34 34]}} }}</ref>}} Văn bản này có nội dung về nghiệm của [[phương trình tuyến tính]] như được diễn đạt trong các bài toán như "Một đại lượng; một phần tư được thêm vào nó. Nó thành mười lăm. Hỏi đại lượng đó bằng mấy?" Các phiến đất sét Babylon từ cùng khoảng thời gian này đã giải thích một số phương pháp giải phương trình tuyến tính và [[Phương trình bậc hai|đa thức bậc hai]], ví dụ như phương pháp [[phần bù bình phương]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Tanton|2005|p=9}} | {{harvnb|Kvasz|2006|p=290}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Problem Solving in Egypt and Babylon}} }}</ref>

Nhiều trong số vốn hiểu biết trên được lan truyền đến Hy Lạp cổ đại. Từ thế kỷ 6 TCN, người Hy Lạp quan tâm chủ yếu đến hình học thay vì đại số nhưng đã áp dụng phương pháp đại số để giải bài toán hình học. Chẳng hạn, họ đã nghiên cứu các đối tượng hình học với kích thước và diện tích là đại lượng chưa biết cần xác định, như được minh họa trong phát biểu phương pháp [[hiệu hai số chính phương]] của [[Pythagoras]] và bộ [[Cơ sở (Euclid)|''Cơ sở'' của Euclid]] sau đó.<ref>{{multiref | {{harvnb|Tanton|2005|p=9}} | {{harvnb|Kvasz|2006|p=290}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ The Pythagoreans and Euclid}} }}</ref> Vào thế kỷ 3 CN, [[Diophantus]] đưa ra luận bàn chi tiết về cách giải phương trình đại số trong một bộ sách có tên ''[[Arithmetica]]''. Ông là người đầu tiên thử nghiệm ký hiệu biểu tượng để biểu diễn đa thức.<ref>{{multiref | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ Historical Survey}} | {{harvnb|Sialaros|2018|p=[https://books.google.com/books?id=2PZYDwAAQBAJ&pg=PT55 55]}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Diophantus}} }}</ref> Tác phẩm của Diophantus đã truyền cảm hứng cho sự phát triển của đại số Ả Rập với nhiều phương pháp từ ông được phản ánh ở các khái niệm và kỹ thuật áp dụng trong đại số Ả Rập trung cổ.<ref>{{multiref | {{harvnb|Hettle|2015|pp=139–141, 160–161}} | {{harvnb|Christianidis|Megremi|2019|pp=16–17}} }}</ref> Tại Trung Hoa cổ đại, ''[[Cửu chương toán thuật]]'', một quyển sách được biên soạn trong giai đoạn từ thế kỷ 10 TCN đến thế kỷ 2 CN,<ref>{{harvnb|Burgin|2022|p=[https://books.google.com/books?id=rWF2EAAAQBAJ&pg=PA10 10]}}</ref> đã khám phá nhiều kỹ thuật giải phương trình đại số bao gồm ý tưởng tương tự như xây dựng ma trận ngày nay.<ref>{{harvnb|Higgins|2015|p=[https://books.google.com/books?id=QANiCgAAQBAJ&pg=PA89 89]}}</ref>

Những bước phát triển sớm trên có phải là bộ phận hay chỉ là tiền thân của đại số vẫn chưa có sự đồng thuận. Chúng nhằm đưa ra lời giải cho các bài toán đại số nhưng không thể nhận thức những bài toán đó theo cách trừu tượng và tổng quát, mà chỉ tập trung vào các trường hợp và ứng dụng cụ thể.<ref>{{multiref | {{harvnb|Kvasz|2006|pp=290–291}} | {{harvnb|Sialaros|2018|p=[https://books.google.com/books?id=2PZYDwAAQBAJ&pg=PT55 55]}} | {{harvnb|Boyer|Merzbach|2011|p=[https://books.google.com/books?id=bR9HAAAAQBAJ&pg=PA161 161]}} | {{harvnb|Derbyshire|2006|p=[https://books.google.com/books?id=mLqaAgAAQBAJ&pg=PT39 31]}} }}</ref> Điều này đã thay đổi khi nhà toán học Ba Tư [[Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī|al-Khwārizmī]]{{efn|Một số sử gia xem ông là "cha đẻ của đại số" còn số khác cho rằng Diophantus giữ danh vị này.<ref>{{multiref | {{harvnb|Boyer|Merzbach|2011|p=[https://books.google.com/books?id=bR9HAAAAQBAJ&pg=PA161 161]}} | {{harvnb|Derbyshire|2006|p=[https://books.google.com/books?id=mLqaAgAAQBAJ&pg=PA31 31]}} }}</ref> }} cho xuất bản ''[[Al-Jabr|Cuốn cẩm nang về tính toán bằng hoàn thiện và cân bằng]]'' vào năm 825&nbsp;CN. Cuốn sách này trình bày luận bàn chi tiết đầu tiên về các phương pháp chung có thể được áp dụng để biến đổi phương trình bậc nhất và bậc hai bằng cách "giảm trừ" và "cân bằng" hai vế.<ref>{{multiref | {{harvnb|Tanton|2005|p=10}} | {{harvnb|Kvasz|2006|pp=291–293}} | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ Historical Survey}} }}</ref> Một số đóng góp quan trọng khác cho đại số đến từ nhà toán học Ả Rập [[Thābit ibn Qurra]] cũng vào thế kỷ 9 và nhà toán học Ba Tư [[Omar Khayyám]] vào thế kỷ 11 và 12.<ref>{{multiref | {{harvnb|Waerden|2013|pp=3, 15–16, 24–25}} | {{harvnb|Jenkins|2010|p=[https://books.google.com/books?id=giEkCQAAQBAJ&pg=PA82 82]}} | {{harvnb|Pickover|2009|p=[https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC&pg=PA90 90]}} }}</ref>

Tại Ấn Độ, [[Brahmagupta]] đã nghiên cứu cách thức giải phương trình bậc hai và hệ phương trình nhiều ẩn từ thế kỷ 7 và lần đầu tiên sử dụng số không và số âm trong phương trình đại số.<ref>{{multiref | {{harvnb|Tanton|2005|pp=9–10}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ The Equation in India and China}} }}</ref> Các phương pháp và khái niệm từ Brahmagupta về sau được hoàn thiện hơn nữa bởi nhà toán học [[Mahāvīra]] vào thế kỷ 9 và [[Bhāskara II]] ở thế kỷ 12.<ref>{{multiref | {{harvnb|Seshadri|2010|p=[https://books.google.com/books?id=w_JdDwAAQBAJ&pg=PA156 156]}} | {{harvnb|Emch|Sridharan|Srinivas|2005|p=[https://books.google.com/books?id=qfJdDwAAQBAJ&pg=PA20 20]}} }}</ref> Năm 1247, nhà toán học Trung Quốc [[Tần Cửu Thiều]] chắp bút ''[[Số thư Cửu chương]]'' trong đó nêu [[Lược đồ Horner|một thuật toán]] để tính giá trị của đa thức, bao gồm đa thức bậc cao.<ref>{{multiref | {{harvnb|Smorynski|2007|p=[https://books.google.com/books?id=qY657eFq7UgC&pg=PA137 137]}} | {{harvnb|Zwillinger|2002|p=[https://books.google.com/books?id=gE_MBQAAQBAJ&pg=PA812 812]}} }}</ref>

{{nhiều hình
|perrow=2
|total_width=350
|image1=Francois Viete.jpeg
|alt1=Drawing of François Viète
|image2=Frans Hals - Portret van René Descartes (cropped).jpg
|alt2=Painting of René Descartes
|footer=[[François Viète]] (trái) và [[René Descartes]] đã phát minh hệ ký hiệu biểu tượng để biểu diễn phương trình một cách trừu tượng và súc tích.
}}

Nhà toán học người Ý [[Fibonacci]] là người mang các ý tưởng và kỹ thuật của al-Khwārizmī sang châu Âu trong nhiều đầu sách, trong đó gồm tác phẩm ''[[Liber Abaci]]'' của mình.<ref>{{multiref | {{harvnb|Waerden|2013|pp=32–35}} | {{harvnb|Tanton|2005|p=10}} | {{harvnb|Kvasz|2006|p=293}} }}</ref> Năm 1545, học giả Ý [[Gerolamo Cardano]] xuất bản ''[[Ars Magna]]'', một tác phẩm có nội dung bao hàm nhiều chủ đề trong đại số, có bàn luận về [[số ảo]] và là tác phẩm đầu tiên trình bày phương pháp khái quát để giải [[phương trình bậc ba]] và [[phương trình bậc bốn|bậc bốn]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Tanton|2005|p=10}} | {{harvnb|Kvasz|2006|p=293}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Cardano and the Solving of Cubic and Quartic Equations}} | {{harvnb|Miyake|2002|p=[https://books.google.com/books?id=G0P2BwAAQBAJ&pg=PA268 268]}} }}</ref> Trong thế kỷ 16 và 17, hai nhà toán học người Pháp [[François Viète]] và [[René Descartes]] cho ra đời chữ cái và biểu tượng để ký hiệu biến số và phép toán, giúp việc biểu diễn phương trình trở nên trừu tượng và súc tích hơn thay vì lệ thuộc vào mô tả bài toán và lời giải bằng câu chữ như trước.<ref>{{multiref | {{harvnb|Tanton|2005|p=10}} | {{harvnb|Kvasz|2006|pp=291–292, 297–298, 302}} | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ Historical Survey}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Viète and the Formal Equation, § Analytic Geometry}} }}</ref> Một số nhà sử học xem đây là bước ngoặt trong lịch sử đại số và xem giai đoạn trước đó là tiền sử đại số do bị thiếu vắng bản chất trừu tượng dựa trên biến đổi ký hiệu.<ref>{{multiref | {{harvnb|Hazewinkel|1994|p=[https://books.google.com/books?id=PE1a-EIG22kC&pg=PA73 73]}} | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ Historical Survey}} }}</ref>

Thế kỷ 17 và 18 chứng kiến nhiều cố gắng để tìm ra nghiệm tổng quát cho đa thức bậc năm trở lên, nhưng tất cả đều thất bại.<ref name="auto3">{{multiref | {{harvnb|Tanton|2005|p=10}} | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ Historical Survey}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Impasse with Radical Methods}} }}</ref> Cuối thế kỷ 18, nhà toán học người Đức [[Carl Friedrich Gauss]] chứng minh [[định lý cơ bản của đại số]], vốn chỉ ra sự tồn tại [[Không điểm của hàm số|nghiệm số]] của đa thức bậc tùy ý mà không đưa ra công thức nghiệm tổng quát nào.<ref name="auto7"/> Đầu thế kỷ 19, nhà toán học Ý [[Paolo Ruffini]] và nhà toán học Na Uy [[Niels Henrik Abel]] [[Định lý Abel–Ruffini|chứng minh được rằng]] nghiệm tổng quát cho đa thức bậc năm trở lên không tồn tại.<ref name="auto3"/> Không lâu sau phát kiến của hai người, nhà toán học Pháp [[Évariste Galois]] đã phát triển cái về sau được gọi là [[lý thuyết Galois]] nhằm đưa ra phân tích chi tiết hơn về nghiệm của đa thức cũng như đồng thời đặt nền móng cho [[lý thuyết nhóm]].<ref name="auto2"/> Giới toán học sớm nhận ra mối liên quan giữa lý thuyết nhóm với các lĩnh vực khác và áp dụng nó cho các bộ môn như hình học và lý thuyết số.<ref>{{multiref | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Applications of Group Theory}} | {{harvnb|Bueno|French|2018|pp=[https://books.google.com/books?id=kmZaDwAAQBAJ&pg=PA73 73–75]}} }}</ref>

[[Tập tin:Garrett Birkhoff.jpeg|thumb|alt=Chân dung Garrett Birkhoff|[[Garrett Birkhoff]] đã phát triển nhiều khái niệm cốt lõi của đại số phổ dụng.|left|upright=0.8]]

Từ giữa thế kỷ 19, mối quan tâm chủ yếu của đại số chuyển hướng từ nghiên cứu về đa thức gắn với đại số sơ cấp sang tra vấn tổng quát hơn về các cấu trúc đại số, đánh dấu sự xuất hiện [[đại số trừu tượng]]. Cách tiếp cận này khai phá cơ sở tiên đề của các phép toán đại số bất kỳ.<ref>{{multiref | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ Historical Survey}} | {{harvnb|Tanton|2005|p=10}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Structural Algebra}} | {{harvnb|Hazewinkel|1994|pp=[https://books.google.com/books?id=PE1a-EIG22kC&pg=PA73 73–74]}} }}</ref> Gắn liền với quá trình phát triển nói trên là việc phát minh các hệ đại số mới dựa trên những phép toán và phần tử khác nhau như [[đại số Boole]], [[Không gian vectơ|đại số vectơ]] và [[đại số ma trận]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ Historical Survey}} | {{harvnb|Tanton|2005|p=10}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Matrices, § Quaternions and Vectors}} }}</ref> Các nhà toán học người Đức [[David Hilbert]], [[Ernst Steinitz]] và [[Emmy Noether]] cũng như nhà toán học người Áo [[Emil Artin]] là những người làm nên tiến triển ban đầu có tầm ảnh hưởng trong đại số trừu tượng, khi họ đã nghiên cứu các dạng cấu trúc đại số khác nhau và phân chia thành nhiều loại dựa trên tiên đề làm cơ sở cho chúng như nhóm, vành và trường.<ref>{{multiref | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ Historical Survey}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Hilbert and Steinitz, § Noether and Artin}} | {{harvnb|Hazewinkel|1994|pp=[https://books.google.com/books?id=PE1a-EIG22kC&pg=PA73 73–74]}} }}</ref>

Ý tưởng về hướng tiếp cận tổng quát hơn nữa gắn với đại số phổ dụng do nhà toán học người Anh [[Alfred North Whitehead]] hình thành trong cuốn sách ''A Treatise on Universal Algebra'' năm 1898, sau đó được nhà toán học người Mỹ [[Garrett Birkhoff]] mở rộng thêm với nhiều khái niệm cốt lõi của lĩnh vực được phát triển từ thập niên 1930.<ref>{{multiref | {{harvnb|Grätzer|2008|p=[https://books.google.com/books?id=8lNkXPJas4wC&pg=PR7 vii]}} | {{harvnb|Chang|Keisler|1990|p=[https://books.google.com/books?id=uiHq0EmaFp0C&pg=PA603 603]}} | {{harvnb|Knoebel|2011|p=[https://books.google.com/books?id=VWS_sgO2uvgC&pg=PA5 5]}} | {{harvnb|Hazewinkel|1994|pp=[https://books.google.com/books?id=PE1a-EIG22kC&pg=PA74 74–75]}} }}</ref> Sự phát minh của đại số phổ dụng dẫn đến nhiều lĩnh vực mới ra đời tập trung vào đại số hóa toán học&nbsp;–&nbsp;tức là áp dụng các phương pháp đại số cho các nhánh toán học khác. Đại số tô pô xuất hiện vào đầu thế kỷ 20 nhằm tìm hiểu các cấu trúc đại số như [[nhóm tô pô]] và [[nhóm Lie]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Hazewinkel|1994|pp=[https://books.google.com/books?id=PE1a-EIG22kC&pg=PA74 74–75]}} | {{harvnb|Kleiner|2007|p=[https://books.google.com/books?id=udj-1UuaOiIC&pg=PA100 100]}} | {{harvnb|Carlson|2024|loc=§ History of topology}} }}</ref> [[Đại số đồng điều]] nổi lên vào thập niên 1940 và 1950, ứng dụng các kỹ thuật đại số để nghiên cứu tính [[đồng điều]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Hazewinkel|1994|pp=[https://books.google.com/books?id=PE1a-EIG22kC&pg=PA74 74–75]}} | {{harvnb|Weibel|1995|p=[https://books.google.com/books?id=UtIhAwAAQBAJ&pg=PR11 xi, 4]}} }}</ref> Cùng khoảng thời gian đó, [[lý thuyết phạm trù]] được triển khai và sau này đóng vai trò chủ chốt trong [[nền tảng toán học]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Krömer|2007|p=[https://books.google.com/books?id=41bHxtHxjUAC&pg=PA61 61]}} | {{harvnb|Laos|1998|p=[https://books.google.com/books?id=1r7dSn4ZqogC&pg=PA100 100]}} }}</ref> Ngoài ra, [[lý thuyết mô hình]] và nghiên cứu về [[đại số tự do]] là những bước phát triển quan trọng khác.<ref>{{multiref | {{harvnb|Hazewinkel|1994|pp=[https://books.google.com/books?id=PE1a-EIG22kC&pg=PA74 74–75]}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 6. Free Algebras}} }}</ref>

== Ứng dụng ==
{{xem thêm|Toán học ứng dụng}}
Đại số có tầm ảnh hưởng rất rộng rãi cả trong toán học và trong ứng dụng ở nhiều lĩnh vực khác.<ref>{{multiref | {{harvnb|Houston|2004|p=[https://books.google.com/books?id=jsWL_XJt-dMC&pg=PA319 319]}} | {{harvnb|Neri|2019|p=[https://books.google.com/books?id=NMOlDwAAQBAJ&pg=PR12 xii]}} | {{harvnb|Lidl|Pilz|1997|pp=[https://books.google.com/books?id=_49AmSWo4_AC&pg=PR7 vii–viii]}} }}</ref> Đại số hóa toán học là quá trình áp dụng phương pháp và nguyên lý đại số cho các nhánh toán học khác như [[hình học]], [[tô pô]], [[lý thuyết số]] và [[vi tích phân]]. Việc này được thực hiện bằng cách sử dụng ký hiệu dưới dạng biến số để biểu diễn tri thức toán học ở cấp độ tổng quát hơn, cho phép các nhà toán học phát triển mô hình hình thức để mô tả cách mà các đối tượng tương tác và liên hệ lẫn nhau.<ref>{{multiref | {{harvnb|Kleiner|2007|p=[https://books.google.com/books?id=udj-1UuaOiIC&pg=PA100 100]}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 5. Algebraization of Mathematics}} | {{harvnb|Maddocks|2008|p=130}} | {{harvnb|Mancosu|1999|pp=[https://books.google.com/books?id=60qaEePdqcoC&pg=PA84 84–85]}} }}</ref>

[[Tập tin:Sphere Quadric.png|thumb|alt=Ảnh kết xuất một hình cầu|Phương trình đại số <math>x^2 + y^2 + z^2 = 1</math> biểu diễn [[mặt cầu]] có tâm ở gốc tọa độ và bán kính là 1.]]

Một ứng dụng có trong hình học là sử dụng phát biểu đại số để mô tả các đối tượng hình học. Ví dụ, phương trình <math>y = 3x - 7</math> biểu diễn một đường thẳng trong không gian hai chiều còn phương trình <math>x^2 + y^2 + z^2 = 1</math> biểu diễn một [[mặt cầu]] trong không gian ba chiều. [[Hình học đại số]] đặc biệt chú ý đến [[đa tạp đại số]],{{efn|Đa tạp đại số trong hình học khác với đa tạp tổng quát được nghiên cứu trong đại số phổ dụng.<ref>{{multiref | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 1.4 Cartesian geometry, § 3. Universal Algebra}} | {{harvnb|Danilov|2006|p=[https://books.google.com/books?id=-QMWR-x66XUC&pg=PA174 174]}} }}</ref>}} tập nghiệm của [[hệ phương trình đa thức]] vốn có thể được sử dụng để mô tả các đối tượng hình học phức tạp.<ref>{{multiref | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 5.1 Algebraic Geometry}} | {{harvnb|Danilov|2006|pp=[https://books.google.com/books?id=-QMWR-x66XUC&pg=PA172 172, 174]}} }}</ref> Lập luận đại số còn có thể giúp giải quyết các bài toán hình học. Chẳng hạn ta có thể xác định vị trí tương đối và giao điểm giữa đường thẳng có phương trình <math>y = x + 1</math> và đường tròn có phương trình <math>x^2 + y^2 = 25</math> bằng cách giải hệ gồm hai phương trình đã nêu.<ref>{{harvnb|Vince|2007|p=[https://books.google.com/books?id=B574tQbP6WcC&pg=PA133 133]}}</ref> Tô pô học nghiên cứu tính chất của đối tượng hình học hoặc [[không gian tô pô]] vốn luôn bất biến dưới các phép toán [[Đồng luân|biến đổi liên tục]]. [[Tô pô đại số]] dựa vào các lý thuyết đại số như [[lý thuyết nhóm]] để phân lớp không gian tô pô. Ví dụ, [[nhóm đồng luân]] phân lớp không gian tô pô dựa trên sự tồn tại [[Nút (tô pô)|nút]] hoặc lỗ trong chúng.<ref>{{multiref | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 5.3 Algebraic Topology}} | {{harvnb|Rabadan|Blumberg|2019|pp=[https://books.google.com/books?id=2967DwAAQBAJ&pg=PA49 49–50]}} | {{harvnb|Nakahara|2018|p=[https://books.google.com/books?id=p2C1DwAAQBAJ&pg=PA121 121]}} | {{harvnb|Weisstein|2003|pp=52–53}} }}</ref>

Lý thuyết số quan tâm đến tính chất và quan hệ giữa các số nguyên. [[Lý thuyết số đại số]] ứng dụng các phương pháp và nguyên lý của đại số trong lĩnh vực tra vấn này, chẳng hạn như dùng biểu thức đại số để mô tả các luật tổng quát như [[định lý lớn Fermat]] hay áp dụng cấu trúc đại số để phân tích dáng điệu của các số, ví dụ như [[vành số nguyên]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 5.2 Algebraic Number Theory}} | {{harvnb|Jarvis|2014|p=[https://books.google.com/books?id=0j0qBAAAQBAJ&pg=PA1 1]}} | {{harvnb|Viterbo|Hong|2011|p=[https://books.google.com/books?id=d89QRR24jbMC&pg=PA127 127]}} }}</ref> Một lĩnh vực liên quan là [[toán học tổ hợp]] sử dụng kỹ thuật đại số để giải quyết những bài toán liên quan đến đếm, sắp xếp và tổ hợp các đối tượng rời rạc. Một ví dụ trong [[đại số tổ hợp]] là ứng dụng lý thuyết nhóm để phân tích [[Đồ thị (lý thuyết đồ thị)|đồ thị]] và đối xứng.<ref>{{multiref | {{harvnb|Gowers|Barrow-Green|Leader|2010|pp=[https://books.google.com/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA550 550, 561]}} | {{harvnb|Godsil|2017|p=[https://books.google.com/books?id=hLs6DwAAQBAJ&pg=PR8 viii]}} | {{harvnb|Betten|Kohnert|Laue|Wassermann|2013|p=[https://books.google.com/books?id=G1TmCAAAQBAJ&pg=PP9 ix]}} }}</ref> Kiến thức đại số cũng có ý nghĩa đối với vi tích phân, vốn sử dụng biểu thức toán học để khảo sát [[Đạo hàm|tốc độ thay đổi]] và [[Tích phân|tích lũy]] của đại lượng. Vi tích phân phụ thuộc vào đại số để hiểu được cách biến đổi các biểu thức đó và vai trò của biến số trong chúng, chẳng hạn.<ref>{{multiref | {{harvnb|Kilty|McAllister|2018|pp=x, 347, 589}} | {{harvnb|Bressoud|2021|p=[https://books.google.com/books?id=GkgHEAAAQBAJ&pg=PA64 64]}} }}</ref> [[Logic đại số]] áp dụng các phương pháp của đại số để mô tả và phân tích các cấu trúc và quy luật nền tảng cho [[luận cứ logic]],<ref>{{multiref | {{harvnb|Halmos|1956|p=363}} | {{harvnb|Burris|Legris|2021|loc=§ 1. Introduction}} }}</ref> khám phá bản thân các cấu trúc toán học và ứng dụng của chúng trong những vấn đề logic cụ thể.<ref>{{harvnb|Andréka|Németi|Sain|2001|pp=[https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-017-0452-6_3 133–134]}}</ref> Logic đại số bao gồm tìm hiểu [[đại số Boole]] để mô tả [[Mệnh đề toán học|logic mệnh đề]]<ref>{{multiref | {{harvnb|Andréka|Madarász|Németi|2020|loc=§ Concrete Algebraic Logic}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 5.4 Algebraic Logic}} | {{harvnb|Plotkin|2012|pp=[https://books.google.com/books?id=-v3xCAAAQBAJ&pg=PA155 155–156]}} | {{harvnb|Jansana|2022|loc=Phần mở đầu}} }}</ref> cũng như việc tạo thành và phân tích cấu trúc đại số ứng với các [[Logic#Hệ logic|hệ logic]] phức tạp.<ref>{{multiref | {{harvnb|Andréka|Madarász|Németi|2020|loc=§ Abstract Algebraic Logic}} | {{harvnb|Jansana|2022|loc=§ 4. Algebras}} }}</ref>

[[Tập tin:Rubik's cube.svg|thumb|upright=0.8|alt=Hình khối Rubik|Các mặt của một [[Lập phương Rubik|khối Rubik]] có thể được quay để thay đổi thứ tự sắp xếp ô màu. Các hoán vị thu được hợp thành một nhóm gọi là [[nhóm lập phương Rubik]].<ref>{{harvnb|Joyner|2008|p=92}}</ref>]]

Phương pháp đại số cũng được sử dụng phổ biến trong các lĩnh vực khác, chẳng hạn như khoa học tự nhiên. Một ví dụ là chúng được áp dụng để diễn đạt các [[định luật]] và giải phương trình trong [[Vật lý học|vật lý]], [[hóa học]] và [[sinh học]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Houston|2004|p=[https://books.google.com/books?id=jsWL_XJt-dMC&pg=PA319 319]}} | {{harvnb|Neri|2019|p=[https://books.google.com/books?id=NMOlDwAAQBAJ&pg=PR12 xii]}} | {{harvnb|Anton|Rorres|2010|p=[https://books.google.com/books?id=1PJ-WHepeBsC&pg=PA327 327]}} }}</ref> [[Kinh tế học]], [[địa lý]], [[kỹ thuật]] (bao gồm [[điện tử học]] và [[robot học]]) và [[khoa học máy tính]] cũng có ứng dụng tương tự nhằm diễn đạt các mối quan hệ, giải quyết vấn đề và mô hình hóa hệ thống.<ref>{{multiref | {{harvnb|Neri|2019|p=[https://books.google.com/books?id=NMOlDwAAQBAJ&pg=PR12 xii]}} | {{harvnb|Aleskerov|Ersel|Piontkovski|2011|pp=[https://books.google.com/books?id=ipcSD8ZGB8cC&pg=PA1 1–9]}} | {{harvnb|Straffin|1980|p=[https://www.jstor.org/stable/2689388 269]}} | {{harvnb|Menini|Oystaeyen|2017|p=[https://books.google.com/books?id=3mlQDwAAQBAJ&pg=PR5 v]}} | {{harvnb|Lovett|2015|p=[https://books.google.com/books?id=jRUqCgAAQBAJ&pg=PR9 ix]}} | {{harvnb|Lidl|Pilz|1997|pp=[https://books.google.com/books?id=_49AmSWo4_AC&pg=PR7 vii–viii]}} }}</ref> Đại số tuyến tính đóng vai trò quan trọng trong [[trí tuệ nhân tạo]] và [[học máy]] nhờ cho phép xử lý và phân tích các [[tập dữ liệu]] lớn một cách hiệu quả chẳng hạn.<ref>{{multiref | {{harvnb|Wheeler|2023|p=[https://books.google.com/books?id=IqQIEQAAQBAJ&pg=PA29 29, 36–37]}} | {{harvnb|Gallier|Quaintance|2020|pp=[https://books.google.com/books?id=jWLcDwAAQBAJ&pg=PA1 1–2]}} }}</ref> Một số lĩnh vực có phụ thuộc vào các cấu trúc do đại số trừu tượng khảo sát. Các môn khoa học vật lý như [[tinh thể học]] và [[cơ học lượng tử]] áp dụng lý thuyết nhóm rất nhiều,<ref>{{multiref | {{harvnb|Klimov|2014|p=[https://books.google.com/books?id=DZK3DwAAQBAJ&pg=PR9 ix]}} | {{harvnb|Bengtsson|Życzkowski|2017|pp=313–353}} }}</ref> và lý thuyết nhóm cũng được ứng dụng để nghiên cứu các câu đố như [[Sudoku]] và [[lập phương Rubik]],<ref>{{harvnb|Terras|2019|pp=63–64, 142}}</ref> cũng như [[origami]].<ref>{{harvnb|Hull|2021|p=[https://books.google.com/books?id=LdX7DwAAQBAJ&pg=PA180 180]}}</ref> [[Lý thuyết mã hóa]] và [[mật mã học]] dựa vào đại số trừu tượng để giải quyết các vấn đề liên quan đến [[truyền dữ liệu]], bao gồm giảm thiểu tác động từ [[tiếng ồn]] và bảo đảm [[bảo mật dữ liệu]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Lidl|Pilz|1997|pp=183–184, 239–240}} | {{harvnb|Carstensen|Fine|Rosenberger|2011|pp=[https://books.google.com/books?id=Xo6iSxRfXz0C&pg=PA326 326–327]}} }}</ref>

== Giáo dục ==
{{xem thêm|Giáo dục toán học}}

[[Tập tin:Balance scale.svg|thumb|upright=1.3|class=skin-invert-image|alt=Hình vẽ một cán cân|[[Cân (dụng cụ đo)|Cán cân]] thường được sử dụng trong giảng dạy môn đại số nhằm giúp học sinh hiểu cách biến đổi phương trình để xác định giá trị chưa biết.<ref>{{multiref | {{harvnb|Kieran|2006|p=[https://books.google.com/books?id=OTCsKu0BZ0kC&pg=PA15 15]}} | {{harvnb|Kaput|2018|p=[https://books.google.com/books?id=1GUPEAAAQBAJ&pg=PA186 186]}} |{{harvnb|Gardella|DeLucia|2020|pp=[https://books.google.com/books?id=HBXFDwAAQBAJ&pg=PA19 19–22]}} }}</ref>]]

Giáo dục đại số chủ yếu tập trung vào đại số sơ cấp, một trong những lý do khiến đại số sơ cấp có tên gọi khác trong tiếng Anh là "đại số trung học" ({{lang|en|school algebra}}). Bộ môn này thường không được giới thiệu trước giai đoạn [[giáo dục trung học|trung học]] do vừa yêu cầu phải thành thạo kiến thức cơ bản của số học và vừa đặt ra những đòi hỏi nhận thức mới gắn liền với lý luận trừu tượng và tổng quát hóa.<ref>{{multiref | {{harvnb|Arcavi|Drijvers|Stacey|2016|p=xiii}} | {{harvnb|Dekker|Dolk|2011|p=[https://books.google.com/books?id=7sVFaMhwackC&pg=PA69 69]}} }}</ref> Đại số hướng đến giúp học sinh làm quen với khía cạnh hình thức của toán học qua việc hỗ trợ các em thông hiểu ký hiệu toán học, chẳng hạn như biến có thể được sử dụng như thế nào để đại diện cho đại lượng chưa biết. Một khó khăn khác với học sinh nằm ở chỗ không giống như tính toán số học, biểu thức đại số thường khó đi đến lời giải trực tiếp và các em cần học cách biến đổi chúng theo một số quy tắc nhất định với mục tiêu thường là xác định một đại lượng chưa biết.<ref>{{multiref | {{harvnb|Arcavi|Drijvers|Stacey|2016|pp=2–5}} | {{harvnb|Drijvers|Goddijn|Kindt|2011|pp=[https://books.google.com/books?id=7sVFaMhwackC&pg=PA8 8–10, 16–18]}} }}</ref>

Một số công cụ giới thiệu học sinh đến khía cạnh trừu tượng của đại số phụ thuộc vào mô hình và trực quan hóa cụ thể các phương trình, bao gồm liên tưởng hình học, dụng cụ hỗ trợ như que hoặc ly, hay "cỗ máy hàm số" biểu diễn phương trình theo dạng [[lưu đồ]]. Một trong các phương pháp này sử dụng [[Cân (dụng cụ đo)|cán cân]] làm hình tượng để giúp học sinh nắm vững những vấn đề cơ bản của đại số. Khối lượng của một vật nào đó trên cán cân là chưa biết và đại diện cho biến số. Giải phương trình ở đây có nghĩa là thêm vào và bớt đi các vật ở cả hai bên sao cho cán cân vẫn cân bằng đến khi vật còn lại duy nhất ở một bên là vật có khối lượng chưa biết.<ref>{{multiref | {{harvnb|Kieran|2006|p=[https://books.google.com/books?id=OTCsKu0BZ0kC&pg=PA15 15]}} | {{harvnb|Kaput|2018|p=[https://books.google.com/books?id=1GUPEAAAQBAJ&pg=PA186 186]}} |{{harvnb|Gardella|DeLucia|2020|pp=[https://books.google.com/books?id=HBXFDwAAQBAJ&pg=PA19 19–22]}} | {{harvnb|Star|Foegen|Larson|McCallum|2015|pp=16–17}} }}</ref> [[Bài toán có lời văn]] là công cụ khác để cho thấy đại số được áp dụng vào tình huống thực tế như thế nào. Một ví dụ là học sinh có thể được cho trước tình huống mà em trai của A có số quả táo nhiều gấp đôi A. Với dữ kiện rằng cả hai người có 12 quả táo, học sinh sẽ được yêu cầu tìm ra phương trình đại số mô tả đúng tình huống đó (<math>2x + x = 12</math>) và xác định xem A có bao nhiêu quả táo {{nowrap|(<math>x = 4</math>).<ref>{{multiref | {{harvnb|Arcavi|Drijvers|Stacey|2016|pp=58–59}} | {{harvnb|Drijvers|Goddijn|Kindt|2011|p=[https://books.google.com/books?id=7sVFaMhwackC&pg=PA13 13]}} }}</ref>}}

Ở cấp độ đại học, sinh viên ngành toán đi đến các chủ đề đại số nâng cao sau đại số tuyến tính và đại số trừu tượng. Đầu tiên, các học phần đại số tuyến tính tập trung chủ yếu vào ma trận, không gian vectơ và ánh xạ tuyến tính. Sau khi hoàn tất, thông thường sinh viên sẽ được giới thiệu về đại số trừu tượng với nội dung về các cấu trúc đại số như nhóm, trường và vành, cũng như mối quan hệ giữa chúng. Chương trình học cũng thường bao gồm các thí dụ cụ thể về cấu trúc đại số như hệ thống số hữu tỉ, số thực và đa thức.<ref>{{harvnb|Hausberger|Zandieh|Fleischmann|2021|pp=147–148}}</ref>

== Xem thêm ==
{{div col|colwidth=30em}}
* [[Căn đơn vị]]
* [[Chứng minh của Wiles về Định lý cuối cùng của Fermat]]
* [[Đại số Clifford]]
* [[Đại số giao hoán]]
* [[Đại số máy tính]]
* [[Đại số quan hệ]]
* [[Đại số sigma]]
* [[Đại số trên một trường]]
* [[Giá trị riêng và vectơ riêng]]
* [[Hàm phân thức]]
* [[Không gian con]]
* [[Không gian đối ngẫu (không gian liên hiệp)|Không gian đối ngẫu]]
* [[Không gian Hilbert]]
* [[Lớp tương đương]]
* [[Lưới (nhóm)]]
* [[Lý thuyết biểu diễn]]
* [[Nhóm Lie]]
* [[Phân rã ma trận]]
* [[Phiếm hàm tuyến tính]]
* [[Phương trình Diophantos]]
* [[Quan hệ tương đương]]
* [[Quaternion]]
* [[Tenxơ]]
* [[Trường hữu hạn]]
{{div col end}}

== Tham khảo ==
=== Ghi chú ===
{{notelist|30em}}

=== Chú thích tham khảo ===
{{Reflist|22em}}

=== Thư mục ===
{{Refbegin|30em}}
* {{cite book |last1=Abas |first1=Syed Jan |last2=Salman |first2=Amer Shaker |title=Symmetries Of Islamic Geometrical Patterns |trans-title=Đối xứng trong các quy luật hình học Hồi giáo |date=1994 |publisher=World Scientific |isbn=978-981-4502-21-4 |url=https://books.google.com/books?id=5snsCgAAQBAJ |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Adhikari |first1=Mahima Ranjan |title=Basic Algebraic Topology and its Applications |trans-title=Tô pô đại số cơ bản và ứng dụng |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-81-322-2843-1 |url=https://books.google.com/books?id=MIAXDQAAQBAJ&pg=PA5 |language=en |date=2016 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Adhikari |first1=Mahima Ranjan |last2=Adhikari |first2=Avishek |title=Basic Modern Algebra with Applications |trans-title=Đại số hiện đại cơ bản và ứng dụng |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-81-322-1599-8 |url=https://books.google.com/books?id=lBO7BAAAQBAJ&pg=PA72 |language=en |date=2013 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Aleskerov |first1=Fuad |last2=Ersel |first2=Hasan |last3=Piontkovski |first3=Dmitri |title=Linear Algebra for Economists |trans-title=Đại số tuyến tính cho nhà kinh tế học |date=2011 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-3-642-20570-5 |url=https://books.google.com/books?id=ipcSD8ZGB8cC&pg=PA1 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite web |last1=Andréka |first1=H. |last2=Madarász |first2=J. X. |last3=Németi |first3=I. |title=Algebraic Logic |trans-title=Logic đại số |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebraic_logic |language=en |website=[[Bách khoa toàn thư Toán học]] |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |access-date=December 18, 2024 |date=2020 |archive-date=January 24, 2024 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240124094606/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebraic_logic |url-status=live }}
* {{cite book |last1=Andréka |first1=H. |last2=Németi |first2=I. |last3=Sain |first3=I. |title=Handbook of Philosophical Logic |trans-title=Sổ tay Logic Triết học |date=2001 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-94-017-0452-6 |chapter-url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-017-0452-6_3 |language=en |chapter=Algebraic Logic |doi=10.1007/978-94-017-0452-6_3 |access-date=December 18, 2024 |archive-date=January 24, 2024 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240124094523/https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-017-0452-6_3 |url-status=live }}
* {{cite book |last1=Anton |first1=Howard |title=Elementary Linear Algebra |trans-title=Đại số tuyến tính sơ cấp |date=2013 |publisher=[[John Wiley & Sons]] |isbn=978-1-118-67730-8 |url=https://books.google.com/books?id=neYGCwAAQBAJ&pg=PA255 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Anton |first1=Howard |last2=Rorres |first2=Chris |title=Elementary Linear Algebra: Applications Version |trans-title=Đại số tuyến tính sơ cấp: Phiên bản Ứng dụng |publisher=[[John Wiley & Sons]] |isbn=978-0-470-43205-1 |url=https://books.google.com/books?id=1PJ-WHepeBsC&pg=PA327 |language=en |date=2010 }}
* {{cite book |last1=Anton |first1=Howard |last2=Rorres |first2=Chris |title=Elementary Linear Algebra: Applications Version |trans-title=Đại số tuyến tính sơ cấp: Phiên bản Ứng dụng |date=2013 |publisher=[[John Wiley & Sons]] |isbn=978-1-118-47422-8 |url=https://books.google.com/books?id=D9xoDwAAQBAJ |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Arcavi |first1=Abraham |last2=Drijvers |first2=Paul |last3=Stacey |first3=Kaye |title=The Learning and Teaching of Algebra: Ideas, Insights and Activities |trans-title=Dạy và học Đại số: Ý tưởng, hiểu biết và các hoạt động |date=2016 |publisher=[[Routledge]] |isbn=978-1-134-82077-1 |url=https://books.google.com/books?id=XGR9DAAAQBAJ |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Artamonov |first1=V. A. |editor1-last=Hazewinkel |editor1-first=M. |title=Handbook of Algebra |trans-title=Sổ tay Đại số |date=2003 |publisher=[[Elsevier]] |isbn=978-0-08-053297-4 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=sLDGY4Hk8V0C&pg=PA873 |language=en |chapter=Quasivarieties |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Atanasiu |first1=Dragu |last2=Mikusinski |first2=Piotr |title=A Bridge To Linear Algebra |trans-title=Con đường đến với đại số tuyến tính |date=2019 |publisher=World Scientific |isbn=978-981-12-0024-3 |url=https://books.google.com/books?id=VbySDwAAQBAJ&pg=PA75 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Bahturin |first1=Y. |title=Basic Structures of Modern Algebra |trans-title=Các cấu trúc cơ bản của đại số hiện đại |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-94-017-0839-5 |url=https://books.google.com/books?id=8RbvCAAAQBAJ&pg=PA346 |language=en |date=2013 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite web |last1=Baranovich |first1=T. M. |title=Algebraic Operation |trans-title=Phép toán đại số |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebraic_operation |language=en |website=[[Bách khoa toàn thư Toán học]] |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |access-date=December 18, 2024 |date=2023 |archive-date=August 23, 2023 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230823194536/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebraic_operation |url-status=live }}
* {{cite book |last1=Barrera-Mora |first1=Fernando |title=Linear Algebra: A Minimal Polynomial Approach to Eigen Theory |trans-title=Đại số tuyến tính: Cách tiếp cận bằng đa thức tối tiểu đến với lý thuyết riêng |date=2023 |publisher=Walter de Gruyter GmbH & Co KG |isbn=978-3-11-113591-5 |url=https://books.google.com/books?id=Xmu8EAAAQBAJ&pg=PR9 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Bengtsson |first1=Ingemar |last2=Życzkowski |first2=Karol |title=Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement |trans-title=Hình học của các trạng thái lượng tử: Giới thiệu về vướng víu lượng tử |language=en |edition=2nd |year=2017 |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Cambridge]] |isbn=978-1-107-02625-4}}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Benson |first1=Donald C. |title=A Smoother Pebble: Mathematical Explorations |trans-title=Một hòn sỏi mịn hơn: Những cuộc khám phá về toán học |date=2003 |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Oxford]] |isbn=978-0-19-514436-9 |url=https://books.google.com/books?id=nNbnCwAAQBAJ&pg=PA111 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite web |last1=Berggren |first1=John L. |title=Elementary Algebra |trans-title=Đại số sơ cấp |url=https://www.britannica.com/science/elementary-algebra |website=[[Encyclopædia Britannica]] |access-date=December 18, 2024 |language=en |date=2015 |archive-date=January 14, 2024 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240114180506/https://www.britannica.com/science/elementary-algebra |url-status=live }}
* {{cite book |editor1-last=Betten |editor1-first=Anton |editor2-last=Kohnert |editor2-first=Axel |editor3-last=Laue |editor3-first=Reinhard |editor4-last=Wassermann |editor4-first=Alfred |title=Algebraic Combinatorics and Applications |trans-title=Đại số tổ hợp và ứng dụng |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-3-642-59448-9 |url=https://books.google.com/books?id=G1TmCAAAQBAJ&pg=PP9 |language=en |date=2013 }}
* {{cite book |last1=Bhattacharya |first1=P. B. |last2=Jain |first2=S. K. |last3=Nagpaul |first3=S. R. |title=Basic Abstract Algebra |trans-title=Đại số trừu tượng cơ bản |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Cambridge]] |isbn=978-0-521-46629-5 |url=https://books.google.com/books?id=hiQ8e0b48swC&pg=PA141 |language=en |date=1994 }}
* {{cite book |last1=Borceux |first1=Francis |title=Handbook of Categorical Algebra: Basic category theory |trans-title=Sổ tay Đại số phạm trù: Lý thuyết phạm trù cơ bản |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Cambridge]] |isbn=978-0-521-44178-0 |url=https://books.google.com/books?id=YfzImoopB-IC&pg=PA20 |language=en |date=1994 }}
* {{cite book |last1=Bourbaki |first1=N. |title=Algebra I: Chapters 1-3 |trans-title=Đại số I: Chương 1-3 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-3-540-64243-5 |url=https://books.google.com/books?id=STS9aZ6F204C&pg=PA446 |language=en |date=1998 }}
* {{cite book |last1=Boyer |first1=Carl B. |last2=Merzbach |first2=Uta C. |title=A History of Mathematics |trans-title=Lịch sử Toán học |date=2011 |publisher=[[John Wiley & Sons]] |isbn=978-0-470-63056-3 |url=https://books.google.com/books?id=bR9HAAAAQBAJ&pg=PA161 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Bracken |first1=Laura J. |last2=Miller |first2=Edward S. |title=Elementary Algebra |url=https://archive.org/details/elementaryalgebr0000brac_y1m1 |trans-title=Đại số sơ cấp |publisher=Cengage Learning |isbn=978-0-618-95134-5 |language=en |date=2014 }}
* {{cite book |last1=Bressoud |first1=David M. |title=Calculus Reordered: A History of the Big Ideas |trans-title=Vi tích phân sắp xếp lại: Lịch sử của những ý tưởng lớn |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Princeton]] |isbn=978-0-691-21878-6 |url=https://books.google.com/books?id=GkgHEAAAQBAJ&pg=PA64 |language=en |date=2021 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Brezinski |first1=Claude |last2=Meurant |first2=Gérard |last3=Redivo-Zaglia |first3=Michela |title=A Journey through the History of Numerical Linear Algebra |trans-title=Hành trình khám phá Lịch sử Đại số tuyến tính |publisher=SIAM |isbn=978-1-61197-723-3 |url=https://books.google.com/books?id=4IGhEAAAQBAJ&pg=PA34 |language=en |date=2022 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Brešar |first1=Matej |title=Introduction to Noncommutative Algebra |trans-title=Nhập môn đại số phi giao hoán |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-3-319-08693-4 |url=https://books.google.com/books?id=PkvPBAAAQBAJ&pg=PR33 |language=en |date=2014 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Brown |first1=Jonathon D. |title=Linear Models in Matrix Form: A Hands-On Approach for the Behavioral Sciences |trans-title=Mô hình tuyến tính dưới dạng ma trận: Cách tiếp cận thực tế cho khoa học hành vi |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-3-319-11734-8 |url=https://books.google.com/books?id=POlVBgAAQBAJ&pg=PA30 |language=en |date=2015 }}
* {{cite book |last1=Bueno |first1=Otávio |last2=French |first2=Steven |title=Applying Mathematics: Immersion, Inference, Interpretation |trans-title=Áp dụng Toán học: Đắm chìm, Suy luận, Diễn giải |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Oxford]] |isbn=978-0-19-881504-4 |url=https://books.google.com/books?id=kmZaDwAAQBAJ&pg=PA73 |language=en |date=2018 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite web |last1=Bukhshtab |first1=A. A. |last2=Pechaev |first2=V. I. |title=Arithmetic |trans-title=Số học |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Arithmetic |language=en |website=[[Bách khoa toàn thư Toán học]] |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |access-date=December 18, 2024 |date=2020 |archive-date=October 4, 2009 |archive-url=https://web.archive.org/web/20091004230123/http://eom.springer.de/a/a013260.htm |url-status=live }}
* {{cite book |last1=Burgin |first1=Mark |title=Trilogy Of Numbers And Arithmetic – Book 1: History Of Numbers And Arithmetic: An Information Perspective |trans-title=Bộ ba về Số và Số học – Quyển 1: Lịch sử Số và Số học: Một góc nhìn thông tin |date=2022 |publisher=World Scientific |isbn=978-981-12-3685-3 |url=https://books.google.com/books?id=rWF2EAAAQBAJ&pg=PA45 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite web |last1=Burris |first1=Stanley |last2=Legris |first2=Javier |title=The Algebra of Logic Tradition |trans-title=Truyền thống đại số logic |language=en |url=https://plato.stanford.edu/entries/algebra-logic-tradition/ |website=[[Stanford Encyclopedia of Philosophy]] |publisher=Phòng Nghiên cứu Siêu hình học, Đại học Stanford |access-date=December 18, 2024 |date=2021 }}
* {{cite web |last1=Carlson |first1=Stephan C. |title=Topology – Homology, Cohomology, Manifolds |trans-title=Tô pô – Đồng điều, Đối đồng điều, Đa tạp |url=https://www.britannica.com/science/topology/Algebraic-topology |website=[[Encyclopædia Britannica]] |access-date=December 18, 2024 |language=en  |date=2024 }}
* {{cite book |last1=Carstensen |first1=Celine |last2=Fine |first2=Benjamin |last3=Rosenberger |first3=Gerhard |title=Abstract Algebra: Applications to Galois Theory, Algebraic Geometry, and Cryptography |trans-title=Đại số trừu tượng: Ứng dụng vào lý thuyết Galois, hình học đại số và mật mã học |publisher=Walter de Gruyter |isbn=978-3-11-025008-4 |url=https://books.google.com/books?id=Xo6iSxRfXz0C&pg=PA326 |language=en |date=2011 }}
* {{cite book |last1=Chahal |first1=J. S. |title=Fundamentals of Linear Algebra |trans-title=Cơ sở của Đại số tuyến tính |publisher=CRC Press |isbn=978-0-429-75810-2 |url=https://books.google.com/books?id=BGR8DwAAQBAJ&pg=PT10 |language=en |date=2018 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Chang |first1=C. C. |last2=Keisler |first2=H. J. |title=Model Theory |trans-title=Lý thuyết mô hình |date=1990 |publisher=[[Elsevier]] |isbn=978-0-08-088007-5 |url=https://books.google.com/books?id=uiHq0EmaFp0C&pg=PA603 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last=Cheng |first=Eugenia |title=The Joy of Abstraction |trans-title=Niềm vui của sự trừu tượng |year=2023 |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Cambridge]] |language=en |isbn=978-1-108-47722-2 |doi=10.1017/9781108769389 }}
* {{cite journal |last1=Christianidis |first1=Jean |last2=Megremi |first2=Athanasia |title=Tracing the Early History of Algebra: Testimonies on Diophantus in the Greek-speaking World (4th–7th Century CE) |trans-title=Theo dõi Lịch sử ban đầu của Đại số: Lời chứng thực về Diophantus trong Thế giới nói tiếng Hy Lạp (Thế kỷ thứ 4–7 CN) |language=en |journal=Historia Mathematica |volume=47 |doi=10.1016/j.hm.2019.02.002 |date=2019 |pages=16–38 }}
* {{cite book |last1=Cohn |first1=P. M. |title=Skew Fields: Theory of General Division Rings |trans-title=Trường ghềnh: Lý thuyết về vành chia tổng quát |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Cambridge]] |isbn=978-0-521-43217-7 |url=https://books.google.com/books?id=u-4ADgUgpSMC&pg=PA8 |language=en |date=1995 }}
* {{cite book |last1=Cohn |first1=P. M. |title=Universal Algebra |trans-title=Đại số phổ dụng |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-94-009-8399-1 |url=https://books.google.com/books?id=6tbuCAAAQBAJ&pg=PR13 |language=en |date=2012 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Cooper |first1=Ellis D. |title=Mathematical Mechanics: From Particle to Muscle |trans-title=Cơ học toán học: Từ hạt đến cơ |date=2011 |publisher=World Scientific |isbn=978-981-4289-70-2 |url=https://books.google.com/books?id=Fybzl6QB62gC&pg=PA60 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite web |last1=Corry |first1=Leo |title=Algebra |trans-title=Đại số |url=https://www.britannica.com/science/algebra |website=[[Encyclopædia Britannica]] |access-date=December 18, 2024 |language=en |date=2024 |archive-date=January 19, 2024 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240119233613/https://www.britannica.com/science/algebra |url-status=live }}
* {{cite book |last1=Cox |first1=David A. |title=Galois Theory |trans-title=Lý thuyết Galois |publisher=[[John Wiley & Sons]] |isbn=978-1-118-21842-6 |url=https://books.google.com/books?id=vBKrOch1AkYC&pg=PA161 |language=en |date=2012 }}
* {{cite book |last1=Cresswell |first1=Julia |title=Oxford Dictionary of Word Origins |trans-title=Từ điển Oxford về nguồn gốc của từ |date=2010 |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Oxford]] |isbn=978-0-19-954793-7 |url=https://books.google.com/books?id=J4i3zV4vnBAC&pg=PA11 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Danilov |first1=V. I. |title=Algebraic Geometry I: Algebraic Curves, Algebraic Manifolds and Schemes |trans-title=Hình học đại số I: Đường cong đại số, Đa tạp đại số và Lược đồ |date=2006 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-3-540-51995-9 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=-QMWR-x66XUC&pg=PA172 |language=en |chapter=II. Algebraic Varieties and Schemes |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |author=Đào Duy Anh |author-link=Đào Duy Anh |title=Hán-Việt từ điển: Giản yếu |url=https://archive.org/details/ebook-han-viet-tu-dien-phan-1-dao-duy-anh-993020 |publisher=Nhà xuất bản Văn hóa Thông tin |language=vi |access-date=December 18, 2024 |date=2001 |orig-date=1932 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Dekker |first1=Truus |last2=Dolk |first2=Maarten |editor1-last=Drijvers |editor1-first=Paul |title=Secondary Algebra Education: Revisiting Topics and Themes and Exploring the Unknown |trans-title=Giáo dục đại số trung học: Xem lại các chủ đề, đề tài và khám phá điều chưa biết |date=2011 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-94-6091-334-1 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=7sVFaMhwackC&pg=PA5 |language=en |chapter=3. From Arithmetic to Algebra |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Denecke |first1=Klaus |last2=Wismath |first2=Shelly L. |title=Universal Algebra and Applications in Theoretical Computer Science |trans-title=Đại số phổ dụng và ứng dụng trong khoa học máy tính lý thuyết |publisher=CRC Press |isbn=978-1-4822-8583-3 |url=https://books.google.com/books?id=2UlZDwAAQBAJ&pg=PR5 |language=en |date=2018 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Deo |first1=Satya |title=Algebraic Topology: A Primer |trans-title=Tôpô đại số: Nhập môn vỡ lòng |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-981-10-8734-9 |url=https://books.google.com/books?id=HjtRDwAAQBAJ&pg=PA295 |language=en |date=2018 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Derbyshire |first1=John |title=Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra |trans-title=Đại lượng chưa biết: Lịch sử đại số thực và ảo |date=2006 |publisher=National Academies Press |isbn=978-0-309-09657-7 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=mLqaAgAAQBAJ&pg=PT39 |language=en |chapter=2. The Father of Algebra |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Dominich |first1=Sándor |title=The Modern Algebra of Information Retrieval |trans-title=Đại số hiện đại trong truy vấn thông tin |date=2008 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-3-540-77659-8 |url=https://books.google.com/books?id=uEedNKV3nlUC&pg=PA19 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Drijvers |first1=Paul |last2=Goddijn |first2=Aad |last3=Kindt |first3=Martin |editor1-last=Drijvers |editor1-first=Paul |title=Secondary Algebra Education: Revisiting Topics and Themes and Exploring the Unknown |trans-title=Giáo dục đại số trung học: Xem lại các chủ đề, đề tài và khám phá điều chưa biết |date=2011 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-94-6091-334-1 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=7sVFaMhwackC&pg=PA5 |language=en |chapter=1. Algebra Education: Exploring Topics and Themes |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite web |last1=Efimov |first1=B. A. |title=Set theory |trans-title=Lý thuyết tập hợp |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Set_theory |website=[[Bách khoa toàn thư Toán học]] |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |access-date=January 11, 2023 |date=2014 |archive-date=November 29, 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221129153653/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Set_theory |language=en |url-status=live }}
* {{cite web |last=Elwes |first=Richard |url=http://plus.maths.org/issue41/features/elwes/index.html |title=An enormous theorem: the classification of finite simple groups |trans-title=Một định lý to lớn: phân lớp nhóm đơn hữu hạn |language=en |website=Plus Magazine |date=December 7, 2006 |access-date=2011-12-20 |archive-date=2009-02-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090202092008/http://plus.maths.org/issue41/features/elwes/index.html |url-status=live }}
* {{cite book |last1=Emch |first1=Gerard G. |last2=Sridharan |first2=R. |last3=Srinivas |first3=M. D. |title=Contributions to the History of Indian Mathematics |trans-title=Những đóng góp cho Lịch sử Toán học Ấn Độ |date=2005 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-93-86279-25-5 |url=https://books.google.com/books?id=qfJdDwAAQBAJ&pg=PA20 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite web |author1=EoM Staff |title=Algebra |trans-title=Đại số |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebra |website=[[Bách khoa toàn thư Toán học]] |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |access-date=December 18, 2024 |date=2017 |archive-date=November 29, 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221129153630/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebra |language=en |url-status=live }}
* {{cite book |last1=Fiche |first1=Georges |last2=Hebuterne |first2=Gerard |title=Mathematics for Engineers |trans-title=Toán học cho kỹ sư |date=2013 |publisher=[[John Wiley & Sons]] |isbn=978-1-118-62333-6 |url=https://books.google.com/books?id=TqkckiuuXg8C&pg=PT326 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Gallier |first1=Jean H. |last2=Quaintance |first2=Jocelyn |title=Linear Algebra And Optimization With Applications To Machine Learning – Volume II: Fundamentals Of Optimization Theory With Applications To Machine Learning |trans-title=Đại số tuyến tính và tối ưu hóa với ứng dụng trong máy học – Tập II: Cơ sở của lý thuyết tối ưu hóa với ứng dụng trong máy học |publisher=World Scientific |isbn=978-981-12-1658-9 |url=https://books.google.com/books?id=jWLcDwAAQBAJ&pg=PA1 |language=en |date=2020 }}
* {{cite journal |last1=Gandz |first1=Solomon |title=The Origin of the Term "Algebra" |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1926-11_33_9/page/n1 |trans-title=Nguồn gốc của thuật ngữ "Đại số" |language=en |journal=The American Mathematical Monthly |volume=33 |issue=9 |doi=10.2307/2299605 |date=1926 |pages=437–440 |jstor=2299605 }}
* {{cite book |last1=Gardella |first1=Francis |last2=DeLucia |first2=Maria |title=Algebra for the Middle Grades |trans-title=Đại số cho học sinh trung học cơ sở |date=2020 |publisher=IAP |isbn=978-1-64113-847-5 |url=https://books.google.com/books?id=HBXFDwAAQBAJ&pg=PA19 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Geddes |first1=Keith O. |last2=Czapor |first2=Stephen R. |last3=Labahn |first3=George |title=Algorithms for Computer Algebra |trans-title=Các thuật toán cho đại số máy tính |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-0-585-33247-5 |url=https://books.google.com/books?id=9fOUwkkRxT4C&pg=PA46 |language=en |date=2007 }}
* {{cite book |last1=Gilbert |first1=William J. |last2=Nicholson |first2=W. Keith |title=Modern Algebra with Applications |trans-title=Đại số hiện đại và ứng dụng |date=2004 |publisher=[[John Wiley & Sons]] |isbn=978-0-471-46989-6 |url=https://books.google.com/books?id=paINAXYHN8kC&pg=PA4 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Godsil |first1=Chris |title=Algebraic Combinatorics |trans-title=Đại số tổ hợp |publisher=[[Routledge]] |isbn=978-1-351-46750-6 |url=https://books.google.com/books?id=hLs6DwAAQBAJ&pg=PR8 |language=en |date=2017 }}
* {{cite book |last1=Golan |first1=Jonathan S. |title=Foundations of Linear Algebra |trans-title=Cơ sở đại số tuyến tính |date=1995 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-94-015-8502-6 |chapter-url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-015-8502-6_18 |language=en |chapter=Algebras Over A Field |series=Kluwer Texts in the Mathematical Sciences |volume=11 |pages=219–227 |doi=10.1007/978-94-015-8502-6_18 |access-date=December 18, 2024 |archive-date=January 12, 2024 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240112171825/https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-015-8502-6_18 |url-status=live }}
* {{cite book |last1=Goodman |first1=A. W. |title=Algebra From A To Z |trans-title=Đại số từ A đến Z |volume=1 |date=2001 |publisher=World Scientific |isbn=978-981-310-266-8 |url=https://books.google.com/books?id=TvY7DQAAQBAJ&pg=PA5 |language=en |access-date=December 11, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |editor1-last=Gowers |editor1-first=Timothy |editor2-last=Barrow-Green |editor2-first=June |editor3-last=Leader |editor3-first=Imre |title=The Princeton Companion to Mathematics |trans-title=Sổ tay Princeton về toán học |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Princeton]] |isbn=978-1-4008-3039-8 |url=https://books.google.com/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA1 |language=en |date=2010 }}
* {{cite book |last1=Grätzer |first1=George |title=Universal Algebra |trans-title=Đại số phổ dụng |date=2008 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-0-387-77487-9 |url=https://books.google.com/books?id=8lNkXPJas4wC |language=en |edition=2 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Grillet |first1=Pierre Antoine |title=Abstract Algebra |trans-title=Đại số trừu tượng |date=2007 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-0-387-71568-1 |chapter-url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-0-387-71568-1_15 |language=en |chapter=Universal Algebra |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=242 |pages=559–580 |doi=10.1007/978-0-387-71568-1_15 |access-date=December 18, 2024 |archive-date=January 12, 2024 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240112171841/https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-0-387-71568-1_15 |url-status=live }}
* {{cite book |last1=Häberle |first1=L. |editor1-last=Fink |editor1-first=Andreas |editor2-last=Lausen |editor2-first=Berthold |editor3-last=Seidel |editor3-first=Wilfried |editor4-last=Ultsch |editor4-first=Alfred |title=Advances in Data Analysis, Data Handling and Business Intelligence |trans-title=Tiến bộ trong Phân tích dữ liệu, Xử lý dữ liệu và Trí tuệ kinh doanh |date=2009 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-3-642-01044-6 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=McvSa-cFZCMC&pg=PA640 |language=en |chapter=On Classification of Molecules and Species of Representation Rings |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite journal |last1=Halmos |first1=Paul R. |title=The Basic Concepts of Algebraic Logic |trans-title=Các khái niệm cơ bản của logic đại số |language=en |journal=The American Mathematical Monthly |date=1956 |volume=63 |issue=6 |pages=363–387 |doi=10.2307/2309396 |jstor=2309396 |issn=0002-9890 }}
* {{cite book |last1=Harrison |first1=Michael |last2=Waldron |first2=Patrick |title=Mathematics for Economics and Finance |trans-title=Toán học cho kinh tế và tài chính |date=2011 |publisher=[[Routledge]] |isbn=978-1-136-81921-6 |url=https://books.google.com/books?id=_sisAgAAQBAJ&pg=PT464 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Hausberger |first1=Thomas |editor1-last=Lerman |editor1-first=Stephen |title=Encyclopedia of Mathematics Education |trans-title=Bách khoa toàn thư Giáo dục toán học |language=en |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-3-030-15788-3 |edition=2 |chapter=Abstract Algebra Teaching and Learning |date=2020 }}
* {{cite book |last1=Hausberger |first1=Thomas |last2=Zandieh |first2=Michelle |last3=Fleischmann |first3=Yael |editor1-last=Durand-Guerrier |editor1-first=Viviane |editor2-last=Hochmuth |editor2-first=Reinhard |editor3-last=Nardi |editor3-first=Elena |editor4-last=Winsløw |editor4-first=Carl |title=Research and Development in University Mathematics Education: Overview Produced by the International Network for Didactic Research in University Mathematics |trans-title=Nghiên cứu và Phát triển trong Giáo dục Toán học Đại học: Thông tin tổng quan thực hiện bởi Mạng lưới Quốc tế về Nghiên cứu Giáo dục trong Toán học Đại học |publisher=[[Routledge]] |isbn=978-1-000-36924-3 |language=en |chapter=Abstract and Linear Algebra |date=2021 }}
* {{cite book |last1=Hazewinkel |first1=Michiel |title=Encyclopaedia of Mathematics (Set) |trans-title=Bách khoa toàn thư Toán học (Tập hợp) |date=1994 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-1-55608-010-4 |url=https://books.google.com/books?id=PE1a-EIG22kC&pg=PA73 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite web |author1=HC Staff |title=Arithmetic |trans-title=Số học |language=en |url=https://www.ahdictionary.com/word/search.html?q=arithmetic |website=American Heritage Dictionary |publisher=[[HarperCollins]] |access-date=December 18, 2024 |date=2022 |archive-date=October 26, 2023 |archive-url=https://web.archive.org/web/20231026223958/https://www.ahdictionary.com/word/search.html?q=arithmetic |url-status=live }}
* {{cite journal |last1=Hettle |first1=Cyrus |title=The Symbolic and Mathematical Influence of Diophantus's Arithmetica |trans-title=Ảnh hưởng biểu tượng và toán học từ Arithmetica của Diophantos |language=en |journal=Journal of Humanistic Mathematics |volume=5 |issue=1 |doi=10.5642/jhummath.201501.08 |date=2015 |pages=139–166 |doi-access=free }}
* {{cite book |last1=Higgins |first1=Peter M. |title=Algebra: A Very Short Introduction |trans-title=Đại số: Nhập môn cực ngắn |date=2015 |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Oxford]] |isbn=978-0-19-104746-6 |url=https://books.google.com/books?id=QANiCgAAQBAJ&pg=PA89 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Higham |first1=Nicholas J. |title=Handbook of Writing for the Mathematical Sciences |trans-title=Sổ tay cách viết cho khoa học toán học |date=2019 |publisher=SIAM |isbn=978-1-61197-610-6 |edition=3 |url=https://books.google.com/books?id=ferEDwAAQBAJ&pg=PA296 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Hoad |first1=T. F. |title=The Concise Oxford Dictionary of English Etymology |trans-title=Từ điển Oxford giản lược về từ nguyên tiếng Anh |date=1993 |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Oxford]] |language=en |isbn=978-0-19-283098-2 }}
* {{cite book |last1=Hohn |first1=Franz E. |title=Elementary Matrix Algebra |trans-title=Đại số ma trận sơ cấp |publisher=Dover Publications |isbn=978-0-486-14372-9 |url=https://books.google.com/books?id=9XlFu4XQ6nUC&pg=PA83 |language=en |date=2013 }}
* {{cite book |last1=Houston |first1=Stephen D. |title=The First Writing: Script Invention as History and Process |trans-title=Chữ viết đầu tiên: Lịch sử và quá trình phát minh chữ viết |date=2004 |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Cambridge]] |isbn=978-0-521-83861-0 |url=https://books.google.com/books?id=jsWL_XJt-dMC&pg=PA319 |language=en }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Hull |first1=Thomas C. |title=Origametry: Mathematical Methods in Paper Folding |trans-title=Origametry: Phương pháp toán học trong gấp giấy |language=en |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Cambridge]] |isbn=978-1-108-47872-4 |url=https://books.google.com/books?id=LdX7DwAAQBAJ&pg=PA5 |date=2021 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Igarashi |first1=Yoshihide |last2=Altman |first2=Tom |last3=Funada |first3=Mariko |last4=Kamiyama |first4=Barbara |title=Computing: A Historical and Technical Perspective |trans-title=Máy tính: Góc nhìn lịch sử và kỹ thuật |date=2014 |publisher=CRC Press |isbn=978-1-4822-2741-3 |url=https://books.google.com/books?id=58ySAwAAQBAJ&pg=PA103 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Indurkhya |first1=Bipin |title=Metaphor and Cognition: An Interactionist Approach |trans-title=Ẩn dụ và Nhận thức: Một cách tiếp cận tương tác |date=2013 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-94-017-2252-0 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=foTrCAAAQBAJ&pg=PA217 |language=en |chapter=6.5 Algebras and Structures |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Irving |first1=Ronald S. |title=Integers, Polynomials, and Rings: A Course in Algebra |trans-title=Số nguyên, Đa thức và Vành: Một học phần trong Đại số |date=2004 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-0-387-40397-7 |url=https://books.google.com/books?id=-7OM1OtOFJgC |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite web |last1=Ivanova |first1=O. A. |last2=Smirnov |first2=D. M. |title=Isomorphism |trans-title=Đồng cấu |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Isomorphism |language=en |website=[[Bách khoa toàn thư Toán học]] |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |date=2012 |access-date=December 18, 2024 |archive-date=August 6, 2024 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240806082014/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Isomorphism |url-status=live }}
* {{cite web |last1=Jansana |first1=Ramon |title=Algebraic Propositional Logic |trans-title=Logic mệnh đề đại số |url=https://plato.stanford.edu/entries/logic-algebraic-propositional/ |language=en |website=[[Stanford Encyclopedia of Philosophy]] |publisher=Phòng Nghiên cứu Siêu hình học, Đại học Stanford |access-date=December 18, 2024 |date=2022 }}
* {{cite book |last1=Jarvis |first1=Frazer |title=Algebraic Number Theory |trans-title=Lý thuyết số đại số |date=2014 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-3-319-07545-7 |url=https://books.google.com/books?id=0j0qBAAAQBAJ&pg=PA1 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Jenkins |first1=Everett |title=The Muslim Diaspora (Volume 1, 570-1500): A Comprehensive Chronology of the Spread of Islam in Asia, Africa, Europe and the Americas |trans-title=Cuộc di cư của người Hồi giáo (Tập 1, 570-1500): Biên niên sử toàn tập về sự lan truyền của Hồi giáo ở Châu Á, Châu Phi, Châu Âu và Châu Mỹ |date=2010 |publisher=McFarland |isbn=978-0-7864-4713-8 |url=https://books.google.com/books?id=giEkCQAAQBAJ&pg=PA82 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Joyner |first1=David |title=Adventures in Group Theory: Rubik's Cube, Merlin's Machine, and Other Mathematical Toys |trans-title=Những cuộc phiêu lưu trong lý thuyết nhóm: Khối Rubik, Cỗ máy Merlin và các đồ chơi toán học khác |publisher=Nhà xuất bản Đại học Johns Hopkins |isbn=978-0-8018-9012-3 |edition=2 |language=en |date=2008 }}
* {{cite book |last1=Kaput |first1=James J. |editor1-last=Wagner |editor1-first=Sigrid |editor2-last=Kieran |editor2-first=Carolyn |title=Research Issues in the Learning and Teaching of Algebra: The Research Agenda for Mathematics Education |trans-title=Các vấn đề nghiên cứu trong dạy và học đại số: Chương trình nghiên cứu cho giáo dục toán học |volume=4 |publisher=[[Routledge]] |isbn=978-1-135-43414-4 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=1GUPEAAAQBAJ&pg=PA186 |language=en |chapter=Linking Representations in the Symbol Systems of Algebra |date=2018 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite web |last1=Kargapolov |first1=M. I. |last2=Merzlyakov |first2=Yu. I. |title=Group |trans-title=Nhóm |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Group |language=en |website=[[Bách khoa toàn thư Toán học]] |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |access-date=December 18, 2024 |date=2016 |archive-date=December 5, 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221205014207/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Group |url-status=live }}
* {{cite book |last1=Karpilovsky |first1=G. |title=Topics in Field Theory |trans-title=Các chủ đề trong lý thuyết trường |publisher=[[Elsevier]] |isbn=978-0-08-087266-7 |url=https://books.google.com/books?id=-2WR0fw9gLMC&pg=PA45 |language=en |date=1989 }}
* {{cite book |last1=Kaufmann |first1=Jerome E. |last2=Schwitters |first2=Karen L. |title=Elementary Algebra |url=https://archive.org/details/elementaryalgebr0000kauf_t3x5 |trans-title=Đại số sơ cấp |publisher=Cengage Learning |isbn=978-1-4390-4917-4 |language=en |date=2011 }}
* {{cite book |last1=Khattar |first1=Dinesh |last2=Agrawal |first2=Neha |title=Group Theory |trans-title=Lý thuyết nhóm |date=2023 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] and Ane Books Pvt. Ltd. |isbn=978-3-031-21307-6 |url=https://books.google.com/books?id=7-nIEAAAQBAJ&pg=PA4 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Kieran |first1=Carolyn |editor1-last=Gutiérrez |editor1-first=Angel |editor2-last=Boero |editor2-first=Paolo |title=Handbook of Research on the Psychology of Mathematics Education: Past, Present and Future |trans-title=Sổ tay nghiên cứu về tâm lý giáo dục toán học: Quá khứ, hiện tại và tương lai |publisher=Sense Publishers |isbn=978-90-77874-19-6 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=OTCsKu0BZ0kC&pg=PA15 |language=en |chapter=Research on the Learning and Teaching of Algebra |date=2006 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Kilty |first1=Joel |last2=McAllister |first2=Alex |title=Mathematical Modeling and Applied Calculus |trans-title=Mô hình hóa toán học và Giải tích ứng dụng |date=2018 |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Oxford]] |isbn=978-0-19-255813-8 |url=https://books.google.com/books?id=YVRuDwAAQBAJ&pg=PA347 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Kleiner |first1=Israel |title=A History of Abstract Algebra |trans-title=Lịch sử đại số trừu tượng |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-0-8176-4685-1 |url=https://books.google.com/books?id=udj-1UuaOiIC&pg=PA100 |language=en |date=2007 }}
* {{cite book |last1=Klimov |first1=D. M. |title=Group-Theoretic Methods in Mechanics and Applied Mathematics |trans-title=Phương pháp lý thuyết nhóm trong cơ học và toán ứng dụng |publisher=CRC Press |isbn=978-1-4822-6522-4 |url=https://books.google.com/books?id=DZK3DwAAQBAJ&pg=PR9 |language=en |date=2014 }}
* {{cite book |last1=Kline |first1=Morris |title=Mathematical Thought From Ancient to Modern Times: Volume 3 |trans-title=Tư tưởng toán học từ thời cổ đại đến hiện đại: Tập 3 |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Oxford]] |isbn=978-0-19-506137-6 |url=https://books.google.com/books?id=8YaBuGcmLb0C&pg=PA1153 |language=en |date=1990 }}
* {{cite book |last1=Knoebel |first1=Arthur |title=Sheaves of Algebras Over Boolean Spaces |trans-title=Chùm đại số trên không gian Boole |date=2011 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-0-8176-4218-1 |url=https://books.google.com/books?id=VWS_sgO2uvgC&pg=PA5 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Kramer |first1=Jürg |last2=Pippich |first2=Anna-Maria von |title=From Natural Numbers to Quaternions |trans-title=Từ Số tự nhiên đến Quaternion |date=2017 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-3-319-69429-0 |url=https://books.google.com/books?id=nvM-DwAAQBAJ&pg=PA49 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Krömer |first1=Ralph |title=Tool and Object: A History and Philosophy of Category Theory |trans-title=Công cụ và Đối tượng: Lịch sử và Triết lý của Lý thuyết Phạm trù |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-3-7643-7524-9 |url=https://books.google.com/books?id=41bHxtHxjUAC&pg=PA61 |language=en |date=2007 }}
* {{cite journal |last1=Kvasz |first1=L. |title=The History of Algebra and the Development of the Form of Its Language |trans-title=Lịch sử Đại số và Sự phát triển của Hình thức Ngôn ngữ đại số |language=en |journal=Philosophia Mathematica |date=2006 |volume=14 |issue=3 |pages=287–317 |doi=10.1093/philmat/nkj017 |doi-access=free |issn=1744-6406 }}
* {{cite book |last1=Lal |first1=Ramji |title=Algebra 2: Linear Algebra, Galois Theory, Representation Theory, Group Extensions and Schur Multiplier |trans-title=Đại số 2: Đại số tuyến tính, Lý thuyết Galois, Lý thuyết biểu diễn, Mở rộng nhóm và Bội số Schur |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-981-10-4256-0 |url=https://books.google.com/books?id=FwPNDgAAQBAJ&pg=PA31 |language=en |date=2017 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Lamagna |first1=Edmund A. |title=Computer Algebra: Concepts and Techniques |trans-title=Đại số máy tính: Khái niệm và Kỹ thuật |date=2019 |publisher=CRC Press |isbn=978-1-351-60583-0 |url=https://books.google.com/books?id=8PSDDwAAQBAJ&pg=PA150 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Lang |first1=Serge |title=Algebra |trans-title=Đại số |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-0-387-95385-4 |url=https://books.google.com/books?id=Fge-BwqhqIYC&pg=PA261 |language=en |date=2005 }}
* {{cite book |last1=Laos |first1=Nicolas K. |title=Topics in Mathematical Analysis and Differential Geometry |trans-title=Các chủ đề trong giải tích toán học và hình học vi phân|publisher=World Scientific |isbn=978-981-02-3180-4 |url=https://books.google.com/books?id=1r7dSn4ZqogC&pg=PA100 |language=en |date=1998 }}
* {{cite book |title=Library of Congress Classification: Class Q - Science |trans-title=Khung phân loại Thư viện Quốc hội Hoa Kỳ: Lớp Q - Khoa học |publisher=[[Thư viện Quốc hội (Hoa Kỳ)|Thư viện Quốc hội Hoa Kỳ]] |language=en |url=https://www.loc.gov/aba/cataloging/classification/lcco/lcco_q.pdf |access-date=December 18, 2024 |archive-date=April 5, 2024 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240405210545/https://www.loc.gov/aba/cataloging/classification/lcco/lcco_q.pdf |url-status=live |ref={{SfnRef|Library of Congress}} }}
* {{cite book |last1=Lidl |first1=Rudolf |last2=Pilz |first2=Günter |title=Applied Abstract Algebra |trans-title=Đại số trừu tượng ứng dụng |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-0-387-98290-8 |url=https://books.google.com/books?id=_49AmSWo4_AC&pg=PR7 |language=en |date=1997 }}
* {{cite book |last1=Lovett |first1=Stephen |title=Abstract Algebra: Structures and Applications |trans-title=Đại số trừu tượng: Cấu trúc và Ứng dụng |publisher=CRC Press |isbn=978-1-4822-4891-3 |url=https://books.google.com/books?id=jRUqCgAAQBAJ&pg=PR9 |language=en |date=2015 |access-date=July 27, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Lukas |first1=Andre |title=The Oxford Linear Algebra for Scientists |trans-title=Đại số tuyến tính dành cho nhà khoa học từ Oxford |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Oxford]] |isbn=978-0-19-258347-5 |url=https://books.google.com/books?id=1-dvEAAAQBAJ&pg=PA47 |language=en |date=2022 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Maddocks |first1=J. R. |editor1-last=Lerner |editor1-first=Brenda Wilmoth |editor2-last=Lerner |editor2-first=K. Lee |title=The Gale Encyclopedia of Science |trans-title=Bách khoa toàn thư khoa học Gale |language=en |date=2008 |publisher=Thompson Gale |isbn=978-1-4144-2877-2 |edition=4th |chapter=Algebra |url=https://www.encyclopedia.com/science-and-technology/mathematics/mathematics/algebra |access-date=December 18, 2024 |archive-date=January 12, 2024 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240112102551/https://www.encyclopedia.com/science-and-technology/mathematics/mathematics/algebra |url-status=live }}
* {{cite book |last1=Majewski |first1=Miroslaw |title=MuPAD Pro Computing Essentials |trans-title=Tính toán cơ bản trên MuPAD Pro |date=2004 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-3-540-21943-9 |language=en |edition=2 }}
* {{cite book |last1=Mal’cev |first1=A. I. |title=Algebraic Systems |trans-title=Hệ thống đại số |date=1973 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-3-642-65374-2 |chapter-url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-65374-2_5 |language=en |chapter=Quasivarieties |pages=210–266 |doi=10.1007/978-3-642-65374-2_5 |access-date=January 21, 2024 |archive-date=June 18, 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180618183135/https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-65374-2_5 |url-status=live }}
* {{cite book |last1=Mancosu |first1=Paolo |title=Philosophy of Mathematics and Mathematical Practice in the Seventeenth Century |trans-title=Triết học toán học và thực hành toán học trong thế kỷ 17 |date=1999 |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Oxford]] |isbn=978-0-19-513244-1 |url=https://books.google.com/books?id=60qaEePdqcoC&pg=PA84 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite web |last1=Markushevich |first1=A. I. |title=Polynomial |trans-title=Đa thức |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Polynomial |language=en |website=[[Bách khoa toàn thư Toán học]] |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |access-date=January 11, 2023 |date=2015 |archive-date=December 18, 2024 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240806082025/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Polynomial |url-status=live }}
* {{cite book |last1=Maxwell |first1=E. A. |title=Algebraic Structure and Matrices Book 2 |trans-title=Cấu trúc đại số và ma trận Quyển 2 |date=2009 |publisher=Nhà xuất bản Đại học Syracuse |isbn=978-0-521-10905-5 |url=https://books.google.com/books?id=yD0irRUE_u4C&pg=PA73 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=McKeague |first1=Charles P. |title=Elementary Algebra |trans-title=Đại số sơ cấp |publisher=[[Academic Press]] |isbn=978-1-4832-6384-7 |url=https://books.google.com/books?id=sq7iBQAAQBAJ&pg=PA148 |language=en |date=1986 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=McKeague |first1=Charles P. |title=Intermediate Algebra: A Text/Workbook |trans-title=Đại số trung cấp: Sách giáo khoa/Sách bài tập |date=2014 |publisher=[[Academic Press]] |isbn=978-1-4832-1417-7 |url=https://books.google.com/books?id=nI7iBQAAQBAJ&pg=PA386 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=McWeeny |first1=R. |title=Symmetry: An Introduction to Group Theory and Its Applications |trans-title=Đối xứng: Nhập môn lý thuyết nhóm và ứng dụng |date=2002 |publisher=Courier Corporation |isbn=978-0-486-42182-7 |url=https://books.google.com/books?id=x3fjIXY93TsC&pg=PA6 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Menini |first1=Claudia |last2=Oystaeyen |first2=Freddy Van |url=https://books.google.com/books?id=3mlQDwAAQBAJ&pg=PA722 |title=Abstract Algebra: A Comprehensive Treatment |trans-title=Đại số trừu tượng: Luận bàn toàn tập |date=2017 |publisher=CRC Press |isbn=978-1-4822-5817-2 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite web |last1=Merzlyakov |first1=Yu. I. |last2=Shirshov |first2=A. I. |title=Algebra(2) |trans-title=Đại số(2) |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebra(2) |language=en |website=[[Bách khoa toàn thư Toán học]] |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |access-date=December 18, 2024 |date=2020 |archive-date=April 7, 2023 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230407165656/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebra(2) |url-status=live }}
* {{cite book |last1=Mirakhor |first1=Abbas |last2=Krichene |first2=Noureddine |title=Introductory Mathematics and Statistics for Islamic Finance |trans-title=Toán học và Thống kê nhập môn cho Tài chính Hồi giáo |publisher=[[John Wiley & Sons]] |isbn=978-1-118-77972-9 |url=https://books.google.com/books?id=G6XNAwAAQBAJ&pg=PT107 |language=en |date=2014 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Mishra |first1=Sanjay |title=Fundamentals of Mathematics: Algebra |trans-title=Nền tảng Toán học: Đại số |publisher=Pearson India |isbn=978-93-325-5891-5 |language=en |date=2016 }}
* {{cite book |last1=Miyake |first1=Katsuya |editor1-last=Kanemitsu |editor1-first=Shigeru |editor2-last=Jia |editor2-first=Chaohua |title=Number Theoretic Methods: Future Trends |trans-title=Phương pháp lý thuyết số: Xu thế tương lai |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-1-4419-5239-4 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=G0P2BwAAQBAJ&pg=PA268 |chapter=Some Aspects on Interactions between Algebraic Number Theory and Analytic Number Theory |language=en |date=2002 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Mortensen |first1=C. E. |title=Inconsistent Mathematics |trans-title=Toán học không tương thích |date=2013 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-94-015-8453-1 |url=https://books.google.com/books?id=KYDrCAAAQBAJ&pg=PA73 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Murthy |first1=Swamy and |title=Algebra: Abstract and Modern |trans-title=Đại số: Trừu tượng và Hiện đại |publisher=Pearson Education India |isbn=978-93-325-0993-1 |url=https://books.google.com/books?id=CBc8BAAAQBAJ&pg=PA3 |language=en |date=2012 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Musser |first1=Gary L. |last2=Peterson |first2=Blake E. |last3=Burger |first3=William F. |title=Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach |trans-title=Toán học cho giáo viên tiểu học: Phương pháp tiếp cận hiện đại |date=2013 |publisher=[[John Wiley & Sons]] |isbn=978-1-118-48700-6 |url=https://books.google.com/books?id=8jh7DwAAQBAJ |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite web |author1=MW Staff |title=Definition of Arithmetic |trans-title=Định nghĩa Arithmetic |url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/arithmetic |website=[[Merriam-Webster]] |access-date=December 18, 2024 |language=en |date=2023 |archive-date=November 14, 2023 |archive-url=https://web.archive.org/web/20231114193352/https://www.merriam-webster.com/dictionary/arithmetic |url-status=live }}
* {{cite book |last1=Nakahara |first1=Mikio |title=Geometry, Topology and Physics |trans-title=Hình học, Tô pô và Vật lý |date=2018 |publisher=[[Taylor & Francis]] |isbn=978-1-4200-5694-5 |url=https://books.google.com/books?id=p2C1DwAAQBAJ&pg=PA121 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Neri |first1=Ferrante |title=Linear Algebra for Computational Sciences and Engineering |trans-title=Đại số tuyến tính cho Khoa học và Kỹ thuật tính toán |date=2019 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-3-030-21321-3 |url=https://books.google.com/books?id=NMOlDwAAQBAJ&pg=PR12 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Nicholson |first1=W. Keith |title=Introduction to Abstract Algebra |trans-title=Nhập môn Đại số trừu tượng |publisher=[[John Wiley & Sons]] |isbn=978-1-118-13535-8 |url=https://books.google.com/books?id=w-GaLpapRcEC&pg=PA70 |language=en |date=2012 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite journal |last1=Oaks |first1=Jeffrey A. |last2=Alkhateeb |first2=Haitham M. |title=Simplifying equations in Arabic algebra |trans-title=Đơn giản phương trình trong đại số Ả Rập |language=en |journal=Historia Mathematica |volume=34 |issue=1 |doi=10.1016/j.hm.2006.02.006 |date=2007 |pages=45–61 }}
* {{cite book |last1=Olver |first1=Peter J. |title=Classical Invariant Theory |trans-title=Lý thuyết bất biến cổ điển |date=1999 |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Cambridge]] |isbn=978-0-521-55821-1 |url=https://books.google.com/books?id=1GlHYhNRAqEC&pg=PA55 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Ono |first1=Hiroakira |title=Proof Theory and Algebra in Logic |trans-title=Lý thuyết chứng minh và Đại số trong Logic |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-981-13-7997-0 |url=https://books.google.com/books?id=SR2nDwAAQBAJ&pg=PA84 |language=en |date=2019 }}{{cbignore}}
* {{cite web |url=http://www.lexico.com/definition/algebra |archive-url=https://web.archive.org/web/20200103195129/https://www.lexico.com/definition/algebra |url-status=dead |archive-date=January 3, 2020 |access-date=December 18, 2024 |title=Algebra |trans-title=Đại số |language=en |website=Lexico |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Oxford]] |author=OUP Staff }}
* {{cite book |last1=Ovchinnikov |first1=Sergei |title=Number Systems |trans-title=Các hệ thống số |date=2015 |publisher=[[Hội Toán học Hoa Kỳ]] |isbn=978-1-4704-2018-5 |url=https://books.google.com/books?id=UMbXBgAAQBAJ&pg=PA27 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Pickover |first1=Clifford A. |title=The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics |trans-title=Sách Toán học: Từ Pythagoras đến Chiều thứ 57, 250 Cột mốc trong Lịch sử Toán học |date=2009 |publisher=Sterling Publishing Company, Inc. |isbn=978-1-4027-5796-9 |url=https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC&pg=PA90 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Plotkin |first1=B. |title=Universal Algebra, Algebraic Logic, and Databases |trans-title=Đại số phổ dụng, Logic đại số và Cơ sở dữ liệu |date=2012 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-94-011-0820-1 |url=https://books.google.com/books?id=-v3xCAAAQBAJ&pg=PA155 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite web |last1=Pratt |first1=Vaughan |title=Algebra |trans-title=Đại số |url=https://plato.stanford.edu/entries/algebra/ |language=en |website=[[Stanford Encyclopedia of Philosophy]] |publisher=Phòng Nghiên cứu Siêu hình học, Đại học Stanford |access-date=December 18, 2024 |date=2022 }}
* {{cite book |last1=Rabadan |first1=Raul |last2=Blumberg |first2=Andrew J. |title=Topological Data Analysis for Genomics and Evolution: Topology in Biology |trans-title=Phân tích dữ liệu tô pô cho hệ gen và tiến hóa: Tô pô trong sinh học |date=2019 |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Cambridge]] |isbn=978-1-107-15954-9 |url=https://books.google.com/books?id=2967DwAAQBAJ&pg=PA49 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Ricardo |first1=Henry |title=A Modern Introduction to Linear Algebra |trans-title=Nhập môn đại số tuyến tính hiện đại |publisher=CRC Press |isbn=978-1-4398-9461-3 |url=https://books.google.com/books?id=s7bMBQAAQBAJ&pg=PA389 |language=en |date=2009 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Rohde |first1=Ulrich L. |last2=Jain |first2=G. C. |last3=Poddar |first3=Ajay K. |last4=Ghosh |first4=A. K. |title=Introduction to Differential Calculus: Systematic Studies with Engineering Applications for Beginners |trans-title=Nhập môn giải tích vi phân: Nghiên cứu hệ thống với các ứng dụng kỹ thuật dành cho người mới bắt đầu |date=2012 |publisher=[[John Wiley & Sons]] |isbn=978-1-118-13014-8 |url=https://books.google.com/books?id=vk2XbZpsBOwC&pg=PT89 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Romanowski |first1=Perry |editor1-last=Lerner |editor1-first=Brenda Wilmoth |editor2-last=Lerner |editor2-first=K. Lee |title=The Gale Encyclopedia of Science |trans-title=Bách khoa toàn thư khoa học Gale |language=en |date=2008 |publisher=Thompson Gale |isbn=978-1-4144-2877-2 |edition=4th |chapter=Arithmetic |url=https://www.encyclopedia.com/science-and-technology/mathematics/mathematics/arithmetic |access-date=December 18, 2024 |archive-date=November 1, 2023 |archive-url=https://web.archive.org/web/20231101124957/https://www.encyclopedia.com/science-and-technology/mathematics/mathematics/arithmetic |url-status=live }}
* {{cite book |last1=Rosen |first1=Kenneth |title=Discrete Maths and Its Applications Global Edition 7e |trans-title=Toán rời rạc và ứng dụng Ấn bản Toàn cầu 7e |publisher=McGraw Hill |isbn=978-0-07-715151-5 |url=https://books.google.com/books?id=-oVvEAAAQBAJ&pg=PA779 |language=en |date=2012 }}
* {{cite book |last1=Rowen |first1=Louis Halle |title=Graduate Algebra: Commutative View |trans-title=Đại số sau đại học: Góc nhìn giao hoán |publisher=[[Hội Toán học Hoa Kỳ]] |isbn=978-0-8218-0570-1 |url=https://books.google.com/books?id=AhEPCgAAQBAJ&pg=PA12 |language=en |date=2006 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Sahai |first1=Vivek |last2=Bist |first2=Vikas |title=Linear Algebra |trans-title=Đại số tuyến tính |publisher=CRC Press |isbn=978-0-8493-2426-0 |url=https://books.google.com/books?id=yjkgNYfApj4C&pg=PA21 |language=en |date=2002 }}
* {{cite book |last1=Saikia |first1=Promode Kumar |title=Linear Algebra |trans-title=Đại số tuyến tính |publisher=Pearson Education India |isbn=978-81-317-4276-1 |url=https://books.google.com/books?id=KhM7BAAAQBAJ&pg=PA1 |language=en |date=2008 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Serovajsky |first1=Simon |title=Architecture of Mathematics |trans-title=Kiến trúc Toán học |publisher=CRC Press |isbn=978-0-429-89353-7 |url=https://books.google.com/books?id=6EX1DwAAQBAJ&pg=SA3-PA89 |language=en |date=2020 }}
* {{cite book |last1=Seshadri |first1=C. S. |title=Studies in the History of Indian Mathematics |trans-title=Các nghiên cứu trong lịch sử toán học Ấn Độ |date=2010 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-93-86279-49-1 |url=https://books.google.com/books?id=w_JdDwAAQBAJ&pg=PA156 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Sialaros |first1=Michalis |title=Revolutions and Continuity in Greek Mathematics |trans-title=Các cuộc cách mạng và sự tiếp nối trong toán học Hy Lạp |date=2018 |publisher=Walter de Gruyter GmbH & Co KG |isbn=978-3-11-056527-0 |url=https://books.google.com/books?id=2PZYDwAAQBAJ&pg=PT55 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Silverman |first1=Joseph H. |title=Abstract Algebra: An Integrated Approach |trans-title=Đại số trừu tượng: Một cách tiếp cận tích hợp |publisher=[[Hội Toán học Hoa Kỳ]] |isbn=978-1-4704-6860-6 |url=https://books.google.com/books?id=PKFnEAAAQBAJ&pg=PA64 |language=en |date=2022 }}
* {{cite web |last1=Smirnov |first1=D. M. |title=Universal Algebra |trans-title=Đại số phổ dụng |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Universal_algebra |language=en |website=[[Bách khoa toàn thư Toán học]] |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |date=2020 |access-date=December 18, 2024 |archive-date=March 1, 2024 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240301115432/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Universal_algebra |url-status=live }}
* {{cite book |last1=Smith |first1=Jonathan D. H. |title=Introduction to Abstract Algebra |trans-title=Nhập môn Đại số trừu tượng |publisher=CRC Press |isbn=978-1-4987-3162-1 |url=https://books.google.com/books?id=MXu9CgAAQBAJ&pg=PA161 |language=en |date=2015 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Smorynski |first1=Craig |title=History of Mathematics: A Supplement |trans-title=Lịch sử Toán học: Tài liệu Bổ sung |date=2007 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-0-387-75481-9 |url=https://books.google.com/books?id=qY657eFq7UgC&pg=PA137 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Sneyd |first1=James |last2=Fewster |first2=Rachel M. |last3=McGillivray |first3=Duncan |title=Mathematics and Statistics for Science |trans-title=Toán và thống kê cho khoa học |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-3-031-05318-4 |url=https://books.google.com/books?id=zqd3EAAAQBAJ&pg=PA211 |language=en |date=2022 }}{{cbignore}}
* {{cite web |last1=Sobolev |first1=S. K. |title=Constant |trans-title=Hằng |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Constant |language=en |website=[[Bách khoa toàn thư Toán học]] |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |access-date=December 18, 2024 |date=2015 |archive-date=December 18, 2024 |archive-url=https://web.archive.org/web/20241218113835/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Constant |url-status=live }}
* {{cite book |last1=Solomon |first1=Bruce |title=Linear Algebra, Geometry and Transformation |trans-title=Đại số tuyến tính, Hình học và Biến đổi |publisher=CRC Press |isbn=978-1-4822-9930-4 |url=https://books.google.com/books?id=BpvSBQAAQBAJ&pg=PA57 |language=en |date=2014 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Sorell |first1=Tom |title=Descartes: A Very Short Introduction |trans-title=Descartes: Giới thiệu cực ngắn |date=2000 |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Oxford]] |isbn=978-0-19-285409-4 |url=https://books.google.com/books?id=EksSDAAAQBAJ&pg=PA19 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Star |first1=Jon R. |last2=Foegen |first2=Anne |last3=Larson |first3=Matthew R. |last4=McCallum |first4=William G. |last5=Porath |first5=Jane |last6=Zbiek |first6=Rose Mary |title=Teaching Strategies for Improving Algebra Knowledge in Middle and High School Students |trans-title=Chiến lược giảng dạy để nâng cao kiến thức đại số ở học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông |language=en |publisher=Bộ Giáo dục Hoa Kỳ / Viện Khoa học Giáo dục |date=2015 |oclc=5867417164 }}
* {{cite journal |last1=Straffin |first1=Philip D. |title=Linear Algebra in Geography: Eigenvectors of Networks |trans-title=Đại số tuyến tính trong địa lý: Vectơ riêng của mạng |journal=Mathematics Magazine |language=en |date=1980 |volume=53 |issue=5 |pages=269–276 |doi=10.2307/2689388 |jstor=2689388 |url=https://www.jstor.org/stable/2689388 |issn=0025-570X }}
* {{cite book |last1=Sullivan |first1=Michael |title=Finite Mathematics: An Applied Approach |trans-title=Toán học Hữu hạn: Một hướng tiếp cận ứng dụng |date=2010 |publisher=[[John Wiley & Sons]] |isbn=978-0-470-87639-8 |url=https://books.google.com/books?id=6NKaDwAAQBAJ&pg=PA53 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Tan |first1=Kiat Shi |last2=Steeb |first2=Willi-Hans |last3=Hardy |first3=Yorick |title=SymbolicC++: An Introduction to Computer Algebra Using Object-Oriented Programming |trans-title=SymbolicC++: Nhập môn đại số máy tính bằng lập trình hướng đối tượng |date=2012 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-1-4471-0405-6 |url=https://books.google.com/books?id=UDb0BwAAQBAJ&pg=PA306 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Tanton |first1=James |title=Encyclopedia of Mathematics |url=https://archive.org/details/encyclopediaofma0000tant |trans-title=Bách khoa toàn thư Toán học |language=en |date=2005 |publisher=Facts On File |isbn=978-0-8160-5124-3 }}
* {{cite book |last1=Terras |first1=Audrey |title=Abstract Algebra with Applications |trans-title=Đại số trừu tượng và ứng dụng |language=en |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Cambridge]] |isbn=978-1-107-16407-9 |date=2019 }}
* {{cite book |last1=Tsokos |first1=Chris P. |last2=Wooten |first2=Rebecca D. |title=The Joy of Finite Mathematics: The Language and Art of Math |trans-title=Niềm vui của Toán học Hữu hạn: Ngôn ngữ và nghệ thuật của toán học |publisher=[[Academic Press]] |isbn=978-0-12-802985-5 |url=https://books.google.com/books?id=zu7HBQAAQBAJ&pg=PA451 |language=en |date=2015 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Valenza |first1=Robert J. |title=Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics |trans-title=Đại số tuyến tính: Nhập môn toán học trừu tượng |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-1-4612-0901-0 |url=https://books.google.com/books?id=7x8MCAAAQBAJ&pg=PR7 |language=en |date=2012 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Vince |first1=John |title=Vector Analysis for Computer Graphics |trans-title=Phân tích vectơ cho đồ họa máy tính |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-1-84628-803-6 |url=https://books.google.com/books?id=B574tQbP6WcC&pg=PA133 |language=en |date=2007 |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Viterbo |first1=Emanuele |last2=Hong |first2=Yi |editor1-last=Hlawatsch |editor1-first=Franz |editor2-last=Matz |editor2-first=Gerald |title=Wireless Communications Over Rapidly Time-Varying Channels |trans-title=Giao tiếp không dây qua các kênh thay đổi nhanh theo thời gian |date=2011 |publisher=[[Academic Press]] |isbn=978-0-08-092272-0 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=d89QRR24jbMC&pg=PA127 |language=en |chapter=3.4 Algebraic Number Theory |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite web |last1=Voitsekhovskii |first1=M. I. |title=Linear Equation |trans-title=Phương trình tuyến tính |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Linear_equation |language=en |website=[[Bách khoa toàn thư Toán học]] |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |access-date=January 10, 2024 |date=2011 |archive-date=November 23, 2023 |archive-url=https://web.archive.org/web/20231123235759/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Linear_equation |url-status=live }}
* {{cite book |last1=Waerden |first1=Bartel L. van der |title=Algebra |trans-title=Đại số |language=en |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=0-387-40624-7 |volume=1  |date=2003 }}
* {{cite book |last1=Waerden |first1=Bartel L. van der |title=A History of Algebra: From al-Khwārizmī to Emmy Noether |trans-title=Lịch sử đại số: Từ al-Khwārizmī đến Emmy Noether |date=2013 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-3-642-51599-6 |url=https://books.google.com/books?id=W6DwCAAAQBAJ |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Wagner |first1=Sigrid |last2=Kieran |first2=Carolyn |title=Research Issues in the Learning and Teaching of Algebra: The Research Agenda for Mathematics Education |trans-title=Các vấn đề nghiên cứu trong dạy và học đại số: Chương trình nghiên cứu cho giáo dục toán học |volume=4 |date=2018 |publisher=[[Routledge]] |isbn=978-1-135-43421-2 |url=https://books.google.com/books?id=uW4ECwAAQBAJ&pg=PT225 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Walz |first1=Guido |title=Lexikon der Mathematik: Band 1: A bis Eif |date=2016 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=978-3-662-53498-4 |url=https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/algebra/12062 |language=de |chapter=Algebra |access-date=December 18, 2024 |archive-date=January 12, 2024 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240112171819/https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/algebra/12062 |url-status=live |trans-title=Bách khoa toàn thư Toán học: Tập 1: A đến Eif }}
* {{cite book |last1=Weibel |first1=Charles A. |title=An Introduction to Homological Algebra |trans-title=Nhập môn Đại số đồng điều |publisher=[[Nhà xuất bản Đại học Cambridge]] |isbn=978-1-139-64307-8 |url=https://books.google.com/books?id=UtIhAwAAQBAJ&pg=PR11 |language=en |date=1995 }}
* {{cite book |last1=Weisstein |first1=Eric W. |title=CRC Concise Encyclopedia of Mathematics |trans-title=Bách khoa toàn thư Toán học Tóm lược CRC |language=en |date=2003 |publisher=Chapman & Hall/CRC |isbn=978-1-58488-347-0 |edition=2nd }}
* {{cite book |last1=Wheeler |first1=Jeffrey Paul |title=An Introduction to Optimization with Applications in Machine Learning and Data Analytics |trans-title=Giới thiệu về Tối ưu hóa và Ứng dụng trong Học máy và Phân tích dữ liệu |publisher=CRC Press |isbn=978-1-003-80359-1 |url=https://books.google.com/books?id=IqQIEQAAQBAJ&pg=PA29 |language=en |date=2023 }}
* {{cite book |last1=Whitelaw |first1=T. A. |title=Introduction to Abstract Algebra |trans-title=Nhập môn đại số trừu tượng |edition=3rd |publisher=CRC Press |isbn=978-0-7514-0147-9 |url=https://books.google.com/books?id=f2hyf0QoB_0C&pg=PA61 |language=en |date=1995 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Williams |first1=G. Arnell |title=Algebra the Beautiful: An Ode to Math's Least-Loved Subject |trans-title=Đại số xinh đẹp: Bài ca ngợi môn học ít được yêu thích nhất của toán học |date=2022 |publisher=Basic Books |isbn=978-1-5416-0070-6 |url=https://books.google.com/books?id=581CEAAAQBAJ&pg=PT62 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last=Wilson |first=Robert A. |title=The Finite Simple Groups |trans-title=Nhóm đơn hữu hạn |language=en |publisher=[[Springer-Verlag]] |series=Graduate Texts in Mathematics |isbn=978-1-84800-987-5 |doi=10.1007/978-1-84800-988-2 |year=2009 |zbl=1203.20012 |volume=251 }}
* {{cite book |last1=Young |first1=Cynthia Y. |title=Precalculus |trans-title=Tiền giải tích |date=2010 |publisher=[[John Wiley & Sons]] |isbn=978-0-471-75684-2 |url=https://books.google.com/books?id=9HRLAn326zEC&pg=RA1-PA999 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite book |last1=Young |first1=Cynthia Y. |title=Precalculus |trans-title=Tiền giải tích |date=2023 |publisher=[[John Wiley & Sons]] |isbn=978-1-119-86940-5 |url=https://books.google.com/books?id=pMSZEAAAQBAJ&pg=PA714 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
* {{cite web |author1=zbMATH Open |author-link1=Zentralblatt MATH |title=Classification |trans-title=Phân lớp |url=https://zbmath.org/classification/ |website=[[Zentralblatt MATH|zbMATH Open]] |publisher=Mathematical Reviews and zbMATH Open |access-date=December 18, 2024 |language=en |date=2024 |archive-date=July 19, 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200719184539/https://zbmath.org/classification/ |url-status=live }}
* {{cite book |last1=Zwillinger |first1=Daniel |title=CRC Standard Mathematical Tables and Formulae |trans-title=Bảng và công thức toán học tiêu chuẩn CRC |date=2002 |publisher=CRC Press |isbn=978-1-4200-3534-6 |url=https://books.google.com/books?id=gE_MBQAAQBAJ&pg=PA812 |language=en |access-date=December 18, 2024 }}{{cbignore}}
{{Refend}}

== Liên kết ngoài ==
{{Cổng thông tin|Toán học}}
{{Wiktionary|đại số}}
{{Wikibooks|Sách đại số}}
* {{thể loại Commons nội dòng|Algebra}}
* {{PlanetMath|urlname=algebra|title=Đại số}}
* {{TĐBKVN|32742}}
* {{cite SEP |url-id=algebra |title=Algebra |last=Pratt |first=Vaughan}}
* {{Britannica|14885|Algebra (mathematics)}}
{{Đại số}}
{{Đa thức}}
{{Toán}}
{{Kiểm soát tính nhất quán}}
{{Sao chọn lọc |phiên bản chọn lọc=72097758 |thời gian=18 tháng 1 năm 2025}}
[[Thể loại:Đại số| ]]
[[Thể loại:Bài cơ bản dài]]
[[Thể loại:Toán học thuần túy]]