Xem mã nguồn của Đẳng thức lượng giác

{{chú thích trong bài}}
 
{{Lượng giác}}
Trong [[toán học]], các '''đẳng thức lượng giác''' là các [[phương trình]] chứa các [[hàm lượng giác]], đúng với một dải lớn các giá trị của [[biến số]].

Các [[đẳng thức]] này hữu ích cho việc rút gọn các biểu thức chứa hàm lượng giác. Ví dụ trong việc [[tính tích phân]] với các hàm không phải là lượng giác: có thể thay chúng bằng các hàm lượng giác và dùng các đẳng thức lượng giác để đơn giản hóa phép tính.

== Định nghĩa ==
{{Xem thêm|Hàm lượng giác}}
: <math> \tan (x) = \frac {\sin (x)} {\cos(x)} \qquad \operatorname{cot}(x) = \frac {\cos (x)} {\sin(x)} = \frac{1} {\tan(x)} </math>

== Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến ==

Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên [[vòng tròn đơn vị]]:

{| class="wikitable"
|- align="center"
! Tuần hoàn (''k'' [[số nguyên|nguyên]])
! Đối nhau:
! Phụ nhau
!Bù nhau
!Hơn kém nhau <math>\pi </math>
!Hơn kém nhau <math> \frac{\pi}{2} </math>
|-
| <math> \sin(x) = \sin(x + 2k\pi) \,</math>
| <math> \sin(-x) = -\sin(x) \,</math>
| <math> \sin(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) </math>
|<math>\sin(\pi-x) = \sin(x) </math>
|<math>\sin(\pi+x) = -\sin(x) </math>
|<math> \sin(x) = -\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) </math>
|-
| <math> \cos(x) = \cos(x + 2k\pi) \,</math>
| <math> \cos(-x) =\; \cos(x) \,</math>
| <math> \cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) </math>
|<math>\cos(\pi-x) =\; -\cos(x) \, </math>
|<math>\cos(\pi+x) =\; -\cos(x) \, </math>
|<math> \cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right) </math>
|-
| <math> \tan(x) = \tan(x + k\pi) \,</math>
| <math> \tan(-x) = -\tan(x) \,</math>
| <math> \tan(x) = \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) </math>
|<math> \tan(\pi-x) = -\tan(x) \,</math>
|<math> \tan(\pi+x) = \tan(x) \,</math>
|<math> \tan(x) = -\cot\left(\frac{\pi}{2} + x\right) </math>
|-
|<math>\cot(x)= \cot (x+k\pi)</math>
| <math> \cot(-x) = -\cot(x) \,</math>
|<math> \cot(x) = \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) </math>
|<math> {\displaystyle \cot(\pi-x)=-\cot(x)\,}</math>
|<math> {\displaystyle \cot(\pi+x)=\cot(x)\,}</math>
|<math> \cot(x) = -\tan\left(\frac{\pi}{2} + x\right) </math>
|}

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích: <math> a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)</math>

với <math>
\varphi=\left\{\begin{matrix}\arctan\dfrac{b}{a},&&\mbox{n}\acute{\hat{\mbox{e}}}\mbox{u}\ a\ge 0;\\ \pi+\arctan\dfrac{b}{a},&&\mbox{n}\acute{\hat{\mbox{e}}}\mbox{u}\ a<0.\end{matrix}\right. </math>

== Đẳng thức Pytago ==

Các đẳng thức sau dựa vào [[định lý Pytago]].

: <math> \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \;</math>

: <math> \tan^2(x) + 1 = \sec^2(x) = \frac{1} {\cos^2(x)} </math>
: <math> \cot^2(x) + 1 = \csc^2(x) = \frac{1} {\sin^2(x)} </math>

Đẳng thức thứ 2 và 3 có thể suy ra từ đẳng thức đầu bởi chia nó cho cos²(''x'') và sin²(''x'').

== Công thức cộng trừ lượng giác ==
:''Xem thêm [[Định lý Ptolemy]]''
Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng [[công thức Euler]].

:<math>\sin(x \pm y) = \sin(x) \cos(y) \pm \cos(x) \sin(y)\,</math>

:<math>\cos(x \pm y) = \cos(x) \cos(y) \mp \sin(x) \sin(y)\,</math>

:<math>\tan(x \pm y) = \frac{\tan(x) \pm \tan(y)}{1 \mp \tan(x)\tan(y)}</math>

:<math>\ cot(x \pm y) = \frac {1 \mp \tan(x)\tan(y)}{\tan(x) \pm \tan(y)}</math>

:<math>{\rm c\imath s}(x+y)={\rm c\imath s}(x)\,{\rm c\imath s}(y)</math>

:<math>{\rm c\imath s}(x-y)={{\rm c\imath s}(x)\over{\rm c\imath s}(y)}</math>

với

:<math>{\rm c\imath s}(x)=e^{\imath x}=\cos(x)+\imath\sin(x)\, </math>

và

:<math>\imath =\sqrt{-1}.\, </math>

== Công thức góc bội ==
=== Bội hai ===
Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng [[công thức de Moivre]] với ''n'' = 2.

: <math>\sin(2x) = 2 \sin (x) \cos(x) \,</math>

: <math>\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)
= 2 \cos^2(x) - 1
= 1 - 2 \sin^2(x) \,</math>

: <math> \tan(2x) = \frac{2 \tan (x)} {1 - \tan^2(x)} </math>

: <math> \cot(2x) = \frac{\cot^2(x) - 1}{2\cot (x)}</math>

Công thức góc kép có thể dùng để tìm [[bộ ba Pytago]]. Nếu (''a'', ''b'', ''c'') là bộ ba Pytago thì (''a''<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;''b''<sup>2</sup>,&nbsp;2''ab'', ''c''<sup>2</sup>) cũng vậy.

:<math>\cos(nx)= 2\cos((n-1)x)\cos(x)-\cos((n-2)x)</math>

=== Bội ba ===

==== Cơ bản ====
Ví dụ của trường hợp ''n'' = 3:
:<math>\sin(3x)= 3\sin x - 4\sin^3x</math>
:<math>\cos(3x)= 4\cos^3x-3\cos x</math>

==== Nâng cao ====
:<math>\sin(3x) = 4\sin x \sin(\frac{\pi}{3} - x)\sin(\frac{\pi}{3} +x)</math>

:<math>\cos(3x) = 4\cos x \cos(\frac{\pi}{3} - x) \cos(\frac{\pi}{3} +x)</math>

:<math>\tan(3x) = \tan x \tan(\frac{\pi}{3} - x) \tan(\frac{\pi}{3} +x)</math>

== Công thức hạ bậc ==

Giải các phương trình ở công thức bội cho cos<sup>2</sup>(''x'') và sin<sup>2</sup>(''x''), thu được:

: <math>\sin^2(x) = {1 - \cos(2x) \over 2}</math>

: <math>\cos^2(x) = {1 + \cos(2x) \over 2}</math>

: <math>\tan^2(x) = {1 - \cos(2x) \over 1 + \cos(2x)}</math>

: <math>\sin^2(x) \cos^2(x) = {1 - \cos(4 x) \over 8}</math>

: <math>\sin^3(x) = \frac{3 \sin(x) - \sin(3 x)}{4}</math>

: <math>\cos^3(x) = \frac{3 \cos(x) + \cos(3 x)}{4}</math>

: <math>\sin^4(x) = \frac{1 \cos(4x) - 4\cos(2 x) + 3}{8}</math>

: <math>\cos^4(x) = \frac{1 \cos(4x) + 4\cos(2 x) + 3}{8}</math>

== Công thức góc chia đôi ==

Thay ''x''/2 cho ''x'' trong công thức trên, rồi [[giải phương trình]] cho cos(''x''/2) và sin(''x''/2) để thu được:

:<math>\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}}</math>

:<math>\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos(x)}{2}}</math>

Dẫn đến:

:<math> \tan\left(\frac{x}{2}\right) = {\sin (x/2) \over \cos (x/2)} = \pm\, \sqrt{1 - \cos x \over 1 + \cos x}. \qquad \qquad (1) </math>

Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos ''x'', rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:
:<math> \tan\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\, \sqrt{(1 - \cos x) (1 + \cos x) \over (1 + \cos x) (1 + \cos x)} = \pm\, \sqrt{1 - \cos^2 x \over (1 + \cos x)^2} </math>
::::<math> = {\sin x \over 1 + \cos x}. </math>

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos ''x'', rồi đơn giản hóa:
:<math> \tan\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\, \sqrt{(1 - \cos x) (1 - \cos x) \over (1 + \cos x) (1 - \cos x)} = \pm\, \sqrt{(1 - \cos x)^2 \over (1 - \cos^2 x)} </math>
::::<math> = {1 - \cos x \over \sin x}. </math>

Suy ra:

:<math>\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} = \frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}.</math>

Nếu

:<math>t = \tan\left(\frac{x}{2}\right),</math>

thì:
{|
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>\sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2}</math>
|&nbsp; and &nbsp;||<math>\cos(x) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}</math>
|&nbsp; and &nbsp;||<math>e^{i x} = \frac{1 + i t}{1 - i t}.</math>
|}

Phương pháp dùng ''t'' thay thế như trên hữu ích trong [[giải tích]] để chuyển các tỷ lệ thức chứa sin(''x'') và cos(''x'') thành [[hàm]] của ''t''. Cách này giúp tính [[đạo hàm]] của biểu thức dễ dàng.

== Biến tích thành tổng ==

Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên có thể suy ra.

:<math>\sin\left (x\right) \sin\left (y\right) = {\cos\left (x - y\right) - \cos\left (x + y\right) \over 2} \;</math>

:<math>\cos\left (x\right) \cos\left (y\right) = {\cos\left (x + y\right) + \cos\left (x - y\right)\over 2} \;</math>

:<math>\sin\left (x\right) \cos\left (y\right) = {\sin\left (x + y\right) + \sin\left (x - y\right) \over 2} \;</math>

== Biến tổng thành tích ==

Thay ''x'' bằng (''x'' + ''y'') / 2 và ''y'' bằng (''x'' – ''y'') / 2, suy ra:

: <math>\sin(x) + \sin(y) = 2 \sin\left(\frac{x + y}{2} \right) \cos\left(\frac{x - y}{2} \right) \;</math>

: <math> \sin(x) - \sin(y) = 2 \cos\left(\frac{x + y}{2} \right) \sin\left({x - y\over 2}\right) \; </math>

: <math>\cos(x) + \cos(y) = 2 \cos\left(\frac{x + y}{2} \right) \cos\left(\frac{x - y}{2} \right) \;</math>

: <math> \cos(x) - \cos(y) = - 2 \sin\left({x + y \over 2}\right) \sin\left({x - y \over 2}\right) \; </math>

== Hàm lượng giác ngược ==

:<math> \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi/2\;</math>

:<math> \arctan(x)+\arccot(x)=\pi/2.\;</math>

:<math>\arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, &\mbox{n}\acute{\hat{\mbox{e}}}\mbox{u}\ x > 0 \\ -\pi/2, &\mbox{n}\acute{\hat{\mbox{e}}}\mbox{u}\ x < 0 \end{matrix}\right..</math>
:<math>\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) \;</math>

:<math>\arctan(x)-\arctan(y)=\arctan\left(\frac{x-y}{1+xy}\right) \;</math>

:<math>\sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2} \,</math>

:<math>\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2} \,</math>

:<math>\sin(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>

:<math>\cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>

:<math>\tan(\arcsin (x))=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}</math>

:<math>\tan(\arccos (x))=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}</math>

== Dạng số phức ==

: <math>\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \;</math>
: <math>\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \;</math>

với <math> i^{2}=-1.\,</math>

== Tích vô hạn ==
Trong các ứng dụng với [[hàm đặc biệt]], các [[tích vô hạn]] sau có ích:

: <math>\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)</math>

: <math>\sinh x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)</math>

: <math>\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)</math>

: <math>\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)</math>

: <math>\frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)</math>

== Đẳng thức số ==
=== Cơ bản ===
[[Richard Feynman]] từ nhỏ đã nhớ đẳng thức sau:

:<math>\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\frac{1}{8}.</math>

Tuy nhiên nó là trường hợp riêng của:

:<math>\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin(x)}.</math>

Đẳng thức số sau chưa được tổng quát hóa với biến số:

:<math>\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\frac{1}{2}</math>.

Đẳng thức sau cho thấy đặc điểm của số 21:
:<math> \cos\left(\frac{2\pi}{21}\right)
 \,+\, \cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{21}\right) 
 \,+\, \cos\left(4\cdot\frac{2\pi}{21}\right)</math>
::<math> 
 \,+\, \cos\left(5\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
 \,+\, \cos\left(8\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
 \,+\, \cos\left(10\cdot\frac{2\pi}{21}\right)=\frac{1}{2}.</math>

Một cách tính [[pi]] có thể dựa vào đẳng thức số sau, do [[John Machin]] tìm thấy:

:<math>\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}</math>

hay dùng [[công thức Euler]]:

:<math>\frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79}.</math>

Một số giá trị lượng giác thông dụng:
:<math>
\begin{matrix}
\sin 0 & = & \sin 0^\circ & = & 0 & = & \cos 90^\circ & = & \cos \left(\frac {\pi} {2} \right) \\ \\
\sin \left(\frac {\pi} {6} \right) & = & \sin 30^\circ & = & \frac{1}{2} & = & \cos 60^\circ & = & \cos \left(\frac {\pi} {3} \right) \\ \\
\sin \left(\frac {\pi} {4} \right) & = & \sin 45^\circ & = & \frac{\sqrt{2}}{2} & = & \cos 45^\circ & = & \cos \left(\frac {\pi} {4} \right) \\ \\
\sin \left(\frac {\pi} {3} \right) & = & \sin 60^\circ & = & \frac{\sqrt{3}}{2} & = & \cos 30^\circ & = & \cos \left(\frac {\pi} {6} \right) \\ \\
\sin \left(\frac {\pi} {2} \right) & = & \sin 90^\circ & = & 1 & = & \cos 0^\circ & = & \cos 0 \\ \\
\tan 0 & = & \tan 0^\circ & = & 0 & = & \cot 90^\circ & = & \cot \left(\frac {\pi} {2} \right) \\ \\
\tan \left(\frac {\pi}{6} \right) & = & \tan 30^\circ & = & \frac{\sqrt{3}}{3} & = & \cot 60^\circ & = & \cot \left(\frac {\pi} {3} \right) \\ \\
\tan \left(\frac {\pi}{4} \right) & = & \tan 45^\circ & = & 1 & = & \cot 45^\circ & = & \cot \left(\frac {\pi} {4} \right) \\ \\
\tan \left(\frac {\pi}{3} \right) & = & \tan 60^\circ & = & \sqrt{3} & = & \cot 30^\circ & = & \cot \left(\frac {\pi} {6} \right)
\end{matrix}
</math>

:<math>\sin{\frac{\pi}{7}}=\frac{\sqrt{7}}{6}-
\frac{\sqrt{7}}{189} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(3j+1)!}{189^j j!\,(2j+2)!}
\!</math>

:<math>\sin{\frac{\pi}{18}}=
\frac{1}{6} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(3j)!}{27^j j!\,(2j+1)!}
\!</math>

Dùng [[tỷ lệ vàng]] φ:

:<math>\cos \left(\frac {\pi} {5} \right) = \cos 36^\circ={\sqrt{5}+1 \over 4} = \phi /2
</math>

:<math>\sin \left(\frac {\pi} {10} \right) = \sin 18^\circ = {\sqrt{5}-1 \over 4} = {\varphi - 1 \over 2} = {1 \over 2\varphi}</math>

-		 
-	
=== Nâng cao ===
* <math>-\frac{\sin (\frac{\pi }{7})}{\sin ^2(\frac{2 \pi }{7})}+\frac{\sin (\frac{3 \pi }{7})}{\sin ^2(\frac{\pi }{7})}+\frac{\sin (\frac{2 \pi }{7})}{\sin^2(\frac{3 \pi }{7})}=2 \sqrt{7}</math>
* <math>\frac{\sin ^2(\frac{\pi }{7})}{\sin ^4(\frac{2 \pi }{7})}+\frac{\sin ^2(\frac{3 \pi }{7})}{\sin ^4(\frac{\pi }{7})}+\frac{\sin ^2(\frac{2 \pi }{7})}{\sin^4(\frac{3 \pi }{7})}=28</math>
* <math>\frac{\sin ^2(\frac{\pi }{7})}{\sin ^4(\frac{2 \pi }{7})}(\frac{4 \sin (\frac{\pi }{7})}{\sin (\frac{2 \pi }{7})}-\frac{2 \sin (\frac{3 \pi }{7})}{\sin
(\frac{\pi }{7})}) + \frac{\sin ^2(\frac{3 \pi }{7})}{\sin ^4(\frac{\pi }{7})}(\frac{2 \sin (\frac{2 \pi }{7})}{\sin (\frac{3 \pi }{7})}+\frac{4 \sin (\frac{3 \pi }{7})}{\sin
(\frac{\pi }{7})}) -\frac{\sin ^2(\frac{2 \pi }{7}) }{\sin ^4(\frac{3 \pi }{7})}(\frac{2 \sin (\frac{\pi }{7})}{\sin (\frac{2 \pi }{7})}+\frac{4
\sin (\frac{2 \pi }{7})}{\sin (\frac{3 \pi }{7})})=280</math>
* <math>\cos (\frac{\pi }{17})=\frac{1}{8}\sqrt (2 (2 \sqrt{\sqrt{ \frac{17(17-\sqrt{17})}{2}}-\sqrt{\frac{17-\sqrt{17}}{2}}-4 \sqrt{34+2 \sqrt{17}}+3 \sqrt{17}+17}+\sqrt{34-2 \sqrt{17}}+\sqrt{17}+15))</math>
* <math>\tan (\frac{\pi }{120})=\sqrt{\frac{8-\sqrt{2 (2-\sqrt{3}) (3-\sqrt{5})}-\sqrt{2 (2+\sqrt{3}) (5+\sqrt{5})}}{8+\sqrt{2 (2-\sqrt{3}) (3-\sqrt{5})}+\sqrt{2(2+\sqrt{3}) (5+\sqrt{5})}}}</math>
* <math>\cos (\frac{\pi }{240})=\frac{1}{16} (\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} (\sqrt{2 (5+\sqrt{5})}+\sqrt{3}-\sqrt{15})+\sqrt{\sqrt{2+\sqrt{2}}+2} (\sqrt{6 (5+\sqrt{5})}+\sqrt{5}-1))</math>
* <math> \frac{\pi }{4}=\cot ^{-1}(2)+\cot ^{-1}(3) </math>
* <math> \frac{\pi }{4}=\cot ^{-1}(2)+\cot ^{-1}(5)+\cot^{-1}(8) </math>
* <math>\frac{\pi }{4}=2\cot ^{-1}(3)+\cot ^{-1}(7) </math>
* <math> \frac{\pi }{4}=3\cot ^{-1}(4)+\cot ^{-1}(\frac{99}{5})</math>
* <math>\frac{\pi }{4}=4\cot ^{-1}(5)-\cot ^{-1}(239) </math>
* <math> \frac{\pi }{4}=4\cot ^{-1}(5)-\cot ^{-1}(70)+\cot^{-1}(99) \frac{\pi }{4}=5\cot ^{-1}(6)-\cot^{-1}(\frac{503}{16})-\cot ^{-1}(117) </math>
* <math> \frac{\pi }{4}=5\cot ^{-1}(7)+2\cot ^{-1}(\frac{79}{3}) \frac{\pi }{4}=6\cot ^{-1}(8)+\cot ^{-1}(\frac{99}{5})-3\cot ^{-1}(268) </math>
* <math> \frac{\pi }{4}=8 \cot ^{-1}(10)-\cot ^{-1}(239)-4 \cot ^{-1}(515) \frac{\pi }{4}=8\cot ^{-1}(10)-2\cot ^{-1}(\frac{452761}{2543})-\cot ^{-1}(1393) </math>
* <math> \frac{\pi }{4}=8\cot ^{-1}(10)-\cot ^{-1}(100)-\cot^{-1}(515)-\cot^{-1}(\frac{371498882}{3583}) \frac{\pi }{4}=12\cot^{-1}(18)+3\cot ^{-1}(70)+5\cot ^{-1}(99)+8\cot ^{-1}(307) </math>
* <math>\frac{\pi }{4}=12\cot ^{-1}(18)+8\cot ^{-1}(99)+3\cot^{-1}(239)+8\cot^{-1}(307)</math>


== Giải tích ==

Các công thức trong [[giải tích]] sau dùng góc đo bằng [[radian]]

:<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=1,</math>

:<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos(x)}{x}=0,</math>

:<math>{d \over dx}\sin(x) = \cos(x)</math>

Các đẳng thức sau có thể suy ra từ trên và các quy tắc của [[đạo hàm]]:

:<math>{d \over dx}\cos(x) = -\sin(x)</math>

:<math>{d \over dx}\tan(x) = \sec^2(x)</math>

:<math>{d \over dx}\cot(x) = -\csc^2(x) </math>

:<math>{d \over dx}\sec(x) = \sec(x) \tan(x)</math>

:<math>{d \over dx}\csc(x) = - \csc(x)\cot(x)</math>

:<math>{d \over dx}\arcsin(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>

:<math>{d \over dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}</math>

Các biểu thức về tính tích phân có thể tìm tại [[danh sách tích phân với hàm lượng giác]] và [[danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược]].

== Hàm lượng giác nghịch đảo ==
Các hàm lượng giác tuần hoàn, do vậy để tìm hàm nghịch đảo, cần giới hạn miền của hàm. Dươi đây là định nghĩa các hàm lượng giác nghịch đảo:
{| class="wikitable" align="center" style="text-align:center"
! Giới hạn miền
! Định nghĩa
|-
| -π/2 < ''y'' < π/2
| ''y'' = arcsin(''x'') [[khi và chỉ khi]] ''x'' = sin(''y'')
|-
| 0 < ''y'' < π
| ''y'' = arccos(''x'') khi và chỉ khi ''x'' = cos(''y'')
|-
| -π/2 < ''y'' < π/2
| ''y'' = arctan(''x'') khi và chỉ khi ''x'' = tan(''y'')
|-
| -π/2 < ''y'' < π/2 và ''y'' ≠ 0
| ''y'' = arccot(''x'') khi và chỉ khi ''x'' = cot(''y'')
|-
| 0 < ''y'' < π và ''y'' ≠ π/2
| ''y'' = arcsec(''x'') khi và chỉ khi ''x'' = sec(''y'')
|-
| -π/2 < ''y'' < π/2 và ''y'' ≠ 0
| ''y'' = arccsc(''x'') khi và chỉ khi ''x'' = csc(''y'')
|}

Các hàm nghịch đảo có thể được ký hiệu là sin<sup>&minus;1</sup> hay cos<sup>&minus;1</sup> thay cho arcsin và arccos. Việc dùng ký hiệu mũ có thể gây nhầm lẫn với [[hàm mũ]] của hàm lượng giác.

Các hàm lượng giác nghịch đảo cũng có thể được định nghĩa bằng [[Chuỗi (toán học)|chuỗi vô hạn]]:

:<math>
\begin{matrix}
\arcsin z & = & z + \left(\frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left(\frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\\
& = & \sum_{n=0}^\infty \left(\frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
\end{matrix}
\, \quad \left| z \right| < 1 
</math>

:<math>
\begin{matrix}
\arccos z & = & \frac {\pi} {2} - \arcsin z \\
& = & \frac {\pi} {2} - (z + \left(\frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left(\frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots) \\
& = & \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left(\frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
\end{matrix}
\, \quad \left| z \right| < 1 
</math>

:<math>
\begin{matrix}
\arctan z & = & z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots \\
& = & \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}
\end{matrix}
\, \quad \left| z \right| < 1 
</math>

:<math>
\begin{matrix}
\arccos z & = & \arcsin\left(z^{-1}\right) \\
& = & z^{-1} + \left(\frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left(\frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left(\frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {z^{-7}} {7} +\cdots \\
& = & \sum_{n=0}^\infty \left(\frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1}\end{matrix}
\, \quad \left| z \right| > 1 
</math>

:<math>
\begin{matrix}
\arcsec z & = & \arccos\left(z^{-1}\right) \\
& = & \frac {\pi} {2} - (z^{-1} + \left(\frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left(\frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots) \\
& = & \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left(\frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)} 
\end{matrix}
\, \quad \left| z \right| > 1 
</math>

:<math>
\begin{matrix}
\arccot z & = & \frac {\pi} {2} - \arctan z \\
& = & \frac {\pi} {2} - (z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots) \\
& = & \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}
\end{matrix}
\, \quad \left| z \right| < 1 
</math>

Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác.

:<math>
\arcsin\left(x\right) =
\int_0^x \frac 1 {\sqrt{1 - z^2}}\,\mathrm{d}z, \quad |x| < 1
</math>
:<math>
\arccos\left(x\right) =
\int_x^1 \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,\mathrm{d}z,\quad |x| < 1
</math>
:<math>
\arctan\left(x\right) =
\int_0^x \frac 1 {1 + z^2}\,\mathrm{d}z,
\quad \forall x \in \mathbb{R}
</math>
:<math>
\arccot\left(x\right) =
\int_x^\infty \frac {1} {z^2 + 1}\,\mathrm{d}z,
\quad z > 0
</math>
:<math>
\arcsec\left(x\right) =
\int_x^1 \frac 1 {|z| \sqrt{z^2 - 1}}\,\mathrm{d}z, \quad x > 1
</math>
:<math>
\arccsc\left(x\right) =
\int_x^\infty \frac {-1} {|z| \sqrt{z^2 - 1}}\,\mathrm{d}z, \quad x > 1
</math>

Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác nghịch đảo ra cho các biến [[số phức|phức]]:

:<math>
\arcsin (z) = -i \log \left(i \left(z + \sqrt{1 - z^2}\right) \right)
</math>
:<math>
\arccos (z) = -i \log \left(z + \sqrt{z^2 - 1}\right)
</math>
:<math>
\arctan (z) = \frac{i}{2} \log\left(\frac{1-iz}{1+iz}\right)
</math>

== Một số đẳng thức ==

:''Xem thêm [[Danh sách tích phân với hàm lượng giác]], [[Danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược]]''

:<math>\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y</math>

:<math>\sin \left(x-y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y</math>

:<math>\cos \left(x+y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y</math>

:<math>\cos \left(x-y\right)=\cos x \cos y + \sin x \sin y</math>

:<math>\sin x+\sin y=2\sin \left(\frac{x+y}{2} \right) \cos \left(\frac{x-y}{2} \right) </math>

:<math>\sin x-\sin y=2\cos \left(\frac{x+y}{2} \right) \sin \left(\frac{x-y}{2} \right) </math>

:<math>\cos x+\cos y=2\cos \left(\frac{x+y}{2} \right) \cos \left(\frac{x-y}{2} \right)</math>

:<math>\cos x-\cos y=-2\sin \left(\frac{x+y}{2} \right)\sin \left(\frac{x-y}{2} \right)</math>

:<math>\tan x+\tan y=\frac{\sin \left(x+y\right) }{\cos x\cos y}</math>

:<math>\tan x-\tan y=\frac{\sin \left(x-y\right) }{\cos x\cos y}</math>
:<math>\cot x+\cot y=\frac{\sin \left(x+y\right) }{\sin x\sin y}</math>

:<math>\cot x-\cot y=\frac{-\sin \left(x-y\right) }{\sin x\sin y}</math>

== Xem thêm ==
* [[Lượng giác]]
* [[Hàm lượng giác]]

==Chú thích==
{{Tham khảo|30em}}

==Tham khảo==

[[Thể loại:Lượng giác]]
[[Thể loại:Danh sách toán học]]