Xem mã nguồn của Định lý Đào về sáu tâm đường tròn

{{bài cùng tên|Định lý Đào (hình học)}}[[Tập tin:Dao six circumcenter theorem.svg|thumb|right|300px|Định lý Đào về sáu tâm đường tròn]]

'''Định lý Đào về sáu tâm đường tròn''' còn có tên đầy đủ là '''định lý Đào về sáu tâm đường tròn kết hợp với một lục giác nội tiếp''' một [[định lý]] trong lĩnh vưc [[hình học Euclid|hình học phẳng]] nói về mối quan hệ đồng quy của ba [[đường thẳng]], mỗi [[đường thẳng]] đi qua tâm của hai [[đường tròn|đường tròn ngoại tiếp tam giác]] trong cấu trúc hình học liên quan tới một lục giác nội tiếp.<ref name="forumgeom.fau.edu">[http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201424index.html Nikolaos Dergiades, Dao's theorem on six circumcenters associated with a cyclic hexagon] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141205210609/http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201424index.html |date=2014-12-05 }}, Forum Geometricorum, 14 (2014) 243--246</ref> Nội dung định lý như sau:

''Cho một lục giác nội tiếp, khi đó [[đường thẳng]] nối tâm của các [[đường tròn ngoại tiếp]] của các [[tam giác]] đối diện mà các tam giác này tạo bởi một [[tam giác|cạnh]] của lục giác và giao điểm của đường thẳng kéo dài của hai cạnh liền kề của cạnh đó sẽ đồng quy.''

== Giới thiệu ==
Đào Thanh Oai đề xuất một vấn đề về [[hình học]] trên trang [[Cut-The-Knot]] với tiêu đề là '''Another seven circles theorem''', [[tiếng Việt]]: '''Định lý khác về bảy đường tròn''', vào năm 2013.<ref name=rotate>
{{Chú thích web |url=http://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/AnotherSevenCircles.shtml |tiêu đề=Cut-the-knot.org: Another seven circles theorem| tác giả 1=Alexander Bogomolny |ngày tháng= |work=[[Cut-The-Knot]] |nhà xuất bản= |ngày truy cập=ngày 26 tháng 12 năm 2013}}</ref> Sau đó gần một năm (năm 2014), định lý được [[Nikolaos Dergiades]], nhà nghiên cứu toán học người [[Hy Lạp]] và một học sinh tại [[Đài Loan]] là Telv Cohl công bố với hai chứng minh độc lập.<ref name=dergiades>{{chú thích sách| last=Dergiades| first=Nikolaos| title=Forum Geometricorum| volume=14| chapter=Dao's Theorem on Six Circumcenters associated with a Cyclic Hexagon| date=2014| publication-date=2014| editor-last=Yiu| editor-first=Paul| pages=243–246| issn=1534-1178| url=http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201424.pdf| access-date=, {{MR|3260500}}| archive-date=2014-10-06| archive-url=https://web.archive.org/web/20141006124835/http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201424.pdf}}</ref><ref name=telv>{{chú thích sách| last=Telv| first=Cohl| title=Forum Geometricorum| volume=14| chapter=A Purely Synthetic Proof of Dao's Theorem on Six Circumcenters Associated with a Cyclic Hexagon| date=2014| publication-date=2014| editor-last=Yiu| editor-first=Paul| pages=261–264| issn=1534-1178| url=http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201429.pdf| access-date=, {{MR|3267837}}}}{{Liên kết hỏng|date=2024-12-18 |bot=InternetArchiveBot }},</ref>.

Theo lời giới thiệu khi công bố trên bài báo của Nikolaos Dergiades tại tạp chí [[Forum Geometricorum]] của khoa toán đại học Florida Atlantic: "Định lý Đào về sáu tâm đường tròn được cho là một định lý đẹp <ref name="forumgeom.fau.edu"/> Định lý Đào về sáu tâm đường tròn được cho là mới trong một bài nhận xét đăng trong cơ sở dữ liệu toán học [[Zentralblatt MATH]].

Nikolao Dergiades tính toán bằng phương pháp [[Tọa độ Barycentric (toán học)|tọa độ tỉ cự]] tính toán bằng phần mềm [[Mathematica]] kết quả cho điểm đồng quy dài hơn 72 trang A4.<ref>[https://groups.yahoo.com/neo/groups/AdvancedPlaneGeometry/conversations/messages/1539 N. Dergiades, Advanced Plane Geometry, message 1539, ngày 29 tháng 8 năm 2014]</ref>

Trong [[Bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác]] một trường hợp đặc biệt của định lý Đào được thể hiện qua điểm <math>X_{3649}</math>. Trường hợp này được phát biểu như sau: Gọi <math>A'B'C'</math> là [[tam giác bàn đạp]] ứng với [[Đường tròn nội tiếp và bàng tiếp|tâm nội tiếp]] của [[tam giác]] <math>ABC</math> khi đó [[tam giác]] tạo bởi tâm ba đường tròn ngoại tiếp các [[tam giác]] <math>AB'C'</math>, <math>BC'A'</math>, <math>CA'B'</math> sẽ [[Định lý Desargues|thấu xạ]] với [[tam giác]] <math>A'B'C'</math> tại điểm <math>X_{3649}</math>. Điểm này chính là [[định lý Kosnita|điểm Kosnita]] của [[tam giác]] <math>A'B'C'</math>.<ref>[http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETCPart3.html#X3649 X(3649) = KS(INTOUCH TRIANGLE)]</ref>

==Một số chứng minh==

Mặc dù phương pháp [[Tọa độ Barycentric (toán học)|tọa độ tỉ cự]] cho kết quả rất dài nhưng các chứng minh cho định lý này cũng khá ngắn gọn. Bài báo của Nikolaos Dergiades sử dụng phương pháp [[số phức]] để chứng minh định lý Đào<ref name=dergiades/>, với tiêu đề tiếng Anh là ''Dao's theorem on six circumcenters associated with a cyclic hexagon'' (tạm dịch sang tiếng Việt là ''Định lý Đào về sáu tâm đường tròn kết hợp với một lục giác nội tiếp''). Tác giả Telv Cohl chứng minh định lý Đào hoàn toàn thuần túy bằng [[hình học Euclid|hình học cổ điển]].<ref name=telv/>. Gregoire Nicollier đưa ra một chứng minh thông qua tính toán cho định lý này năm 2016.<ref>Grégoire Nicollier, Two six-circle theorems for cyclic pentagons, Forum Geometricorum, 16 (2016) 347--354.</ref>. Một số chứng minh khác đưa ra bởi hai người Việt Nam là Nguyễn Minh Hà và Nguyễn Tiến Dũng vào năm 2017, có thể xem tại đây <ref name=NgMinhHa>{{chú thích sách| last=Nguyễn| first=Minh Hà| title=Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries| volume=6| chapter=Another Purely Synthetic Proof of Dao's Theorem on Sixcircumcenters | date=2017| publication-date=2017| editor-last= Pișcoran| editor-first= Laurian-Ioan| pages=37–44| issn=2284-5569| url=http://geometry-math-journal.ro/pdf/Volume6-Issue1/4.pdf| access-date =}}</ref><ref name=Nguyentiendung>{{chú thích sách| last=Nguyễn| first=Tiến Dũng| title=Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries| volume=6| chapter=A Simple proof of Dao's Theorem on Sixcircumcenters | date=2017| publication-date=2017| editor-last= Pișcoran| editor-first= Laurian-Ioan| pages=58–61| issn=2284-5569| url=http://geometry-math-journal.ro/pdf/Volume6-Issue1/6.pdf| access-date =}}</ref>.

Một phiên bản của định lý Đào đưa ra bởi Nguyễn Ngọc Giang nếu thay đường tròn bởi đường conic có thể xem tại đây <ref>Nguyen Ngoc Giang, [http://www.journal-1.eu/2016-3/Nguyen-Ngoc-Giang-The-extension-pp.21-32.pdf The extension from a circle to a conic having center: The creative method of new theorems], International Journal of Computer Discovered Mathematics, pp.21-32.</ref>.

== Một số vấn đề liên quan ==

[[Tập tin:Ngo circle in Dao's theorem on six circumcenter configuration.svg|thumb|300px|Một số vấn đề liên quan: Khi ba cặp đường chéo chính đồng quy thì sáu điểm là giao điểm thứ hai của các đường tròn liền kề nằm trên một đường tròn (Ngô Quang Dương) <ref name=NgoQuangDuong />]]
[[Tập tin:Kosnita points.svg|300px|right|thumb| Khi lục giác suy biến thành một tam giác, định lý Đào suy biến thành [[định lý Kosnita]] <ref name=Nguyentiendung/>]]
Cho sáu đường thẳng <math>L_1, L_2, L_3, L_4, L_5, L_6</math>, lấy module 6. Gọi <math>P_{ij}= L_i \cap L_j</math>, sao cho <math>P_{12}, P_{23}, P_{34}, P_{45}, P_{56}, P_{61}</math> nằm trên một đường tròn. Gọi <math>(O_{ijk})</math> là đường tròn ngoại tiếp <math>(P_{ij}, P_{jk}, P_{ik})</math> với tâm <math>O_{ijk}</math>. Gọi <math>P'_{ij}</math> là giao điểm còn lại của <math>(O_{ijk})</math> và <math>(O_{jkh})</math>. Khi đó ta có một số kết quả sau đây:<ref name=NgoQuangDuong>{{chú thích sách| last=Ngo| first=Quang Duong| title=International Journal of Computer Discovered Mathematics | volume=1| chapter=	Ngo Quang Duong, Some problems around the Dao's theorem on six circumcenters associated with a cyclic hexagon configuration| date=2016| publication-date=2016| editor-last=Deko| editor-first=Dekov| pages=25-39| issn=2367-7775| url=http://www.journal-1.eu/2016-2/Ngo-Quang-Duong-Dao-theorem-pp.40-47.pdf| access-date =}}</ref>
* [[Tâm đẳng phương]] của ba [[đường tròn]] <math>(O_{123})</math>, <math>(O_{345})</math>, <math>(O_{561})</math> trùng với [[tâm đẳng phương]] của ba đường tròn <math>(O_{234})</math>, <math>(O_{456})</math>, <math>(O_{612})</math>
* Sáu đường tròn <math>(P_{12}P_{23}P_{24})</math>, <math>(P_{24}P_{34}P_{35})</math>, <math>(P_{35}P_{45}P_{46})</math>, <math>(P_{46}P_{56}P_{51})</math>, <math>(P_{51}P_{61}P_{62})</math>, <math>(P_{62}P_{12}P_{13})</math> có chung tâm đẳng phương.
* Hai [[tam giác]] <math>O_{123}O_{345}O_{561}</math> và <math>P_{24}P_{46}P_{62}</math> là [[hệ thống trực giao|trực giao]] với nhau.<ref>[http://jurnal.unswagati.ac.id/index.php/Euclid/article/download/514/590 Husnul Khatimah, Mashadi, Sri Gemawati, PENGEMBANGAN TEOREMA DAO PADA ENAM CIRCUMCENTER, Journal Euclid, Vol.5, No.1, pp. 21]</ref>
* Nếu ba cặp đường chéo chính <math>P_{12}P_{45}, P_{34}P_{61}, P_{56}P_{23}</math> đồng quy thì sáu tâm đường tròn <math>O_{123}</math>, <math>O_{234}</math>, <math>O_{345}</math>, <math>O_{456}</math>, <math>O_{561}</math>, <math>O_{612}</math> nằm trên một [[đường conic]].
* Nếu ba cặp [[Đường chéo|đường chéo chính]] <math>P_{12}P_{45}, P_{34}P_{61}, P_{56}P_{23}</math> đồng quy. Khi đó sáu đường tròn <math>(O_{123})</math>, <math>(O_{234})</math>, <math>(O_{345})</math>, <math>(O_{456})</math>, <math>(O_{561})</math>, <math>(O_{612})</math> có chung một [[tâm đẳng phương]].
* Nếu ba cặp [[Đường chéo|đường chéo chính]]<math>P_{12}P_{45}, P_{34}P_{61}, P_{56}P_{23}</math> đồng quy. Khi đó <math>P'_{12}</math>, <math>P'_{23}</math>, <math>P'_{34}</math>, <math>P'_{45}</math>, <math>P'_{56}</math>, <math>P'_{61}</math> nằm trên một đường tròn.

== Trường hợp đặc biệt==

Trường hợp [[lục giác]] suy biến thành [[tam giác]] định lý Đào về sáu tâm đường tròn sẽ trực tiếp suy biến thành [[định lý Kosnita]].<ref name=Nguyentiendung/><ref>[https://groups.yahoo.com/neo/groups/AdvancedPlaneGeometry/conversations/messages/1717 Đào Thanh Oai-Francisco Javier Garcia Capitan, AdvancedPlaneGeometry, message 1717, message 1718], ngày 17 tháng 9 năm 2014.</ref> Định lý Kosnita phát biểu như sau: ''Cho tam giác'' <math>ABC</math> ''có'' <math>O</math> ''là tâm đường tròn ngoại tiếp,'' <math>O_a</math>'','' <math>O_b</math>'','' <math>O_c</math> ''là [[Đường tròn ngoại tiếp|tâm các đường tròn ngoại tiếp]] [[tam giác]]'' <math>OBC</math>'','' <math>OCA</math>'','' <math>OAB</math> ''thì'' <math>AO_a</math>'','' <math>BO_b</math>'','' <math>CO_c</math> ''đồng quy.''

==Xem thêm==
* [[Định lý Desargues]]
* [[Định lý Kosnita]]
* [[Định lý Đào (conic)]]
* [[Định lý tám đường tròn]]

==Chú thích==
{{tham khảo}}

==Liên kết ngoài==
* [https://www.geogebratube.org/student/m299319 Hình vẽ động của Định lý Đào về sáu tâm đường tròn kết hợp với một lục giác nội tiếp]{{Liên kết hỏng|date = ngày 1 tháng 6 năm 2021 |bot=InternetArchiveBot }}, geogebratube.
* [http://oaithanhdao.blogspot.com/2014/10/cac-ket-qua-cong-bo-tren-tap-chi-sua.html Các kết quả đã công bố trên tạp chí], Dao's blog
* [http://mathworld.wolfram.com/ContactTriangle.html Contact Triangle] at [[MathWorld]]

[[Thể loại:Hình học Euclid]]
[[Thể loại:Hình học sơ cấp]]
[[Thể loại:Định lý hình học|Đ]]
[[Thể loại:Định lý trong hình học phẳng]]
[[Thể loại:Đường cong bậc hai]]