Xem mã nguồn của Định lý Morley về góc chia ba

[[Tập tin:Morley triangle.png|phải|400px|nhỏ|Định lý Morley]]
Trong [[hình học phẳng]], '''định lý Morley về góc chia ba''' được phát biểu như sau: Các [[giao điểm]] của các [[đường phân ba góc]] kề nhau lập thành một [[tam giác đều]], gọi là [[tam giác]] Morley. Định lý được tìm ra năm 1899 bởi nhà toán học người Mỹ gốc Anh [[Frank Morley]].

''Định lý Morley'' thu hút được sự quan tâm của nghiều người nghiên cứu [[hình học tam giác]] không chỉ bởi vẻ đẹp kì lạ của nó mà còn vì [[tam giác]] Morley không thể dựng được chỉ bằng thước thẳng và [[Com-pa|compa]].

==Chứng minh==

Có rất nhiều chứng minh cho định lý Morley với các kỹ thuật khác nhau.<ref>{{chú thích|url=http://www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/index.shtml|title=Morley's Miracle|publisher=[[Cut-the-knot]]|last=Bogomolny|first=Alexander|accessdate = ngày 2 tháng 1 năm 2010}}</ref> Các chứng minh trước đây dựa trên các biến đổi [[lượng giác]]. Chứng minh hình học đầu tiên được đưa ra bởi [[M. T. Naraniengar]] năm 1909.<ref>{{harvtxt|Coxeter|1967}}.</ref> Gần đây hơn [[Alain Connes]] đưa ra một chứng minh bằng [[đại số]] và mở rộng nó với lý thuyết [[trường toán học|trường]], còn [[John Horton Conway|John Conway]] đưa ra một chứng minh bằng hình học sơ cấp.<ref>[http://www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/conway.shtml J. Conway's proof], from Bogomolny.</ref><ref>{{chú thích|url=http://www.cs.toronto.edu/~mackay/conway.pdf|title=Power|editor1-last=Blackwell|editor1-first=Alan|editor2-last=Mackay|editor2-first=David|editor2-link=David J. C. MacKay|year=2006|chapter=The Power of Mathematics|last=Conway|first=John|author-link=John Horton Conway|publisher=Cambridge University Press|accessdate=ngày 8 tháng 10 năm 2010|pages=36–50|isbn=978-0-521-82377-7|access-date=2015-06-22|archive-date=2015-09-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20150923211708/http://www.cs.toronto.edu/~mackay/conway.pdf}}</ref>. Định lý Morley không còn đúng trong hình học trên [[mặt cầu]] và hình học trên mặt hy-péc-bôn<ref>[http://lienhard-wimmer.com/applets/dreieck/Morley.html Morley's Theorem in Spherical Geometry], [[Java applet]].</ref>.

[[Tập tin:Morley Proof.svg|thumb|right|400px|Fig 1. &nbsp; Elementary proof of Morley's trisector theorem]]

Sau đây là một chứng minh sử dụng [[lượng giác]]

:sin&thinsp;3&theta; &equiv; 4&thinsp;sin&thinsp;&theta;&thinsp;sin(60&deg;+&theta;)&thinsp;sin(120&deg;+&theta;).

Điểm ''D'',''E'',''F'' được dựng trên cạnh ''BC'' như hình vẽ. Ta thấy α+β+γ = 60° do đó ∠CYA = 120°+β và góc của [[tam giác]] Δ''XEF'' là α, 60°+β, 60°+γ. Ta lại có sin(60°+β) = ''DX/XE'' và ''AC''/sin(120°+β) = ''AY''/sin&thinsp;γ theo [[định lý sin]] do đó được cao ''h'' của [[tam giác]] Δ''ABC'' đưa ra bởi

:''h'' = ''AB''&thinsp;sin&thinsp;3&beta; = 4''AB.AC.DX''&thinsp;sin&thinsp;&beta;&thinsp;sin&thinsp;&gamma; / (''XE.AY'')

:&ensp; = ''AC''&thinsp;sin&thinsp;3&gamma; = 4''AC.AB.DX''&thinsp;sin&thinsp;&gamma;&thinsp;sin&thinsp;&beta; / (''XF.AZ'').

Do đó ''XE.AY'' = ''XF.AZ'' tương đương với ''XE/XF'' = ''AZ/AY''. Mặt khác ∠EXF = ∠ZAY do đó hai [[tam giác]] ''XEF'' và ''AZY'' là đồng dạng. Do đó các góc đáy của Δ''AZY'' là 60°+β và 60°+γ. Xác định một cách tương tự đối với các góc đáy của hai [[tam giác]] Δ''BXZ'' và Δ''CYX'' từ đó dễ dàng xác định được ba góc của [[tam giác]] ''XYZ'' là 60°.

==Độ dài các cạnh và diện tích tam giác Morley==
Độ dài của cạnh của [[tam giác]] Morley thứ nhất như sau:<ref>Weisstein, Eric W. "First Morley Triangle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [http://mathworld.wolfram.com/FirstMorleyTriangle.html]</ref>

:<math>a^{'}=b^{'}=c^{'}=8R\sin(A/3)\sin(B/3)\sin(C/3), \, </math>

Trong đó ''R'' làm [[bán kính đường tròn ngoại tiếp]] của [[tam giác]] ''ABC'', và ''A, B,'' và ''C'' là các góc của [[tam giác]] ABC. Do diện tích của một [[tam giác đều]] tính theo công thức <math>\tfrac{\sqrt{3}}{4}a^2</math> (trong đó a là độ dài cạnh [[tam giác]]), từ đó diện tích [[tam giác]] Morley là:

:<math>\text{Area} = 16 \sqrt{3}R^2\sin^2(A/3)\sin^2(B/3)\sin^2(C/3).</math>

==Xem thêm==
* [[Định lý Napoleon]]
==Chú thích==
{{tham khảo}}

==Tham khảo==
*{{chú thích sách|first=Alain|last=Connes|authorlink=Alain Connes|url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1998__S88__43_0|title=A new proof of Morley's theorem|journal=Publications Mathématiques de l'IHÉS|volume=S88|year=1998|pages=43–46}}.
*{{chú thích sách|first=Alain|last=Connes|authorlink=Alain Connes|url=http://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2004-12-54.pdf|title=Symmetries|journal=[[European Mathematical Society]] Newsletter|volume=54|date=December 2004}}.
*{{chú thích sách|first1=H. S. M.|last1=Coxeter|authorlink=Coxeter|first2=S. L.|last2=Greitzer|title=Geometry Revisited|journal=[[The Mathematical Association of America]]|year=1967|lccn=67-20607}}
*{{chú thích sách|first=Richard L.|last=Francis|url=http://www.math-cs.ucmo.edu/~mjms/2002.1/francis9.pdf|title=Modern Mathematical Milestones: Morley's Mystery|journal=Missouri Journal of Mathematical Sciences|volume=14|issue=1|year=2002|access-date=2015-06-22|archive-date=2010-07-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20100728021502/http://www.math-cs.ucmo.edu/~mjms/2002.1/francis9.pdf}}.
*{{chú thích
 | last = Guy
 | first = Richard K.
 | authorlink = Richard K. Guy
 | mr = 2290364
 | issue = 2
 | journal = [[American Mathematical Monthly]]
 | pages = 97–141
 | title = The lighthouse theorem, Morley & Malfatti—a budget of paradoxes
 | jstor = 27642143
 | url = http://www.math.ucalgary.ca/files/publications/3414848.pdf
 | volume = 114
 | year = 2007
 | access-date = 2015-06-22
 | archive-date = 2010-04-01
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20100401030732/http://www.math.ucalgary.ca/files/publications/3414848.pdf
 }}.
*{{chú thích|doi=10.2307/2321680|first1=C. O.|last1=Oakley|first2=J. C.|last2=Baker|title=The Morley trisector theorem|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=85|issue=9 |year=1978|pages=737–745|jstor=2321680}}.
*{{chú thích|first1=F. Glanville|last1=Taylor|first2=W. L.|last2=Marr|title=The six trisectors of each of the angles of a triangle|journal=Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society|volume=33|year=1913–14|pages=119–131}}.

==Liên kết ngoài==
* [http://mathworld.wolfram.com/MorleysTheorem.html Morleys Theorem] at MathWorld
* [http://www.mathpages.com/home/kmath376/kmath376.htm Morley's Trisection Theorem] at MathPages
* [http://demonstrations.wolfram.com/MorleysTheorem/ Morley's Theorem] by Oleksandr Pavlyk, [[The Wolfram Demonstrations Project]].

[[Thể loại:Hình học tam giác]]
[[Thể loại:Định lý toán học|M]]
[[Thể loại:Hình học Euclid]]
[[Thể loại:Hình học sơ cấp]]
[[Thể loại:Định lý hình học|M]]
[[Thể loại:Định lý trong hình học phẳng]]