Xem mã nguồn của Định lý Viète

{{About|hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức|công thức cho số π|Công thức Viète}}
[[File:Francois Viete.jpeg|thumb|Chân dung [[François Viète]]]]
Trong [[toán học]], '''định lý Viète''' hay '''hệ thức Viète''' ([[tiếng Pháp]]: ''Relations de Viète'') do [[nhà toán học]] [[Pháp]] [[François Viète]] tìm ra, nêu lên mối quan hệ giữa các [[Không điểm của hàm số|nghiệm]] của một [[phương trình]] [[đa thức]] (trong [[trường]] [[số phức]]) và các [[hệ số]] của nó.<ref>{{Cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |date=2024-06-22 |title=Vieta's Formulas |url=https://mathworld.wolfram.com/VietasFormulas.html |website=MathWorld--A Wolfram Web Resource}}</ref>

== Phát biểu tổng quát ==
Xét đa thức có [[bậc của đa thức|bậc]] ''n'' bất kì
<math display="block">P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0</math> 
(với các hệ số có thể [[số thực|thực]] hoặc [[số phức|phức]], {{math|''a''<sub>''n''</sub> ≠ 0}}). Bằng [[định lý cơ bản của đại số]], ta luôn biết rằng phương trình này có đủ ''n'' nghiệm (không nhất thiết phân biệt) {{math|''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, ..., ''r''<sub>''n''</sub>}}. Định lý Vìete cho ta mối liên hệ giữa các nghiệm đó như sau: 
{{NumBlk||<math display="block">\begin{cases}
r_1 + r_2 + \dots + r_{n-1} + r_n = -\dfrac{a_{n-1}}{a_n} \\[1ex]
(r_1 r_2 + r_1 r_3 + \cdots + r_1 r_n) + (r_2r_3 + r_2r_4+\cdots + r_2r_n)+\cdots + r_{n-1}r_n = \dfrac{a_{n-2}}{a_{n}} \\[1ex]
{} \quad \vdots \\[1ex]
r_1 r_2 \cdots r_n = (-1)^n \dfrac{a_0}{a_n}.
\end{cases}</math>|{{EquationRef|<nowiki>*</nowiki>}}}}
Một cách tổng quát hơn, định lý Vìete có thể được biểu diễn dưới dạng 
<math display="block">\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} \left(\prod_{j = 1}^k r_{i_j}\right)=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}</math>
với {{math|''k'' {{=}} 1, 2, ..., ''n''}}.

Các số hạng ở vế phải định lý này là các [[đa thức đối xứng cơ bản]] của các nghiệm.

Hệ phương trình Vìete {{EquationNote|*|(*)}} có thể được giải bằng [[phương pháp Newton]] và [[phương pháp Durand-Kerner]].

== Tổng quát trên vành ==
Định lý Vìete thường được áp dụng cho các đa thức có hệ số trên một [[miền nguyên]] {{mvar|R}}, bởi khi đó thương <math>a_i/a_n</math> nằm trong [[trường các thương]] của chính {{mvar|R}} (thậm chí là ở trong {{mvar|R}} nếu như <math>a_n</math> khả nghịch trong {{mvar|R}}), khi này các nghiệm <math>r_i</math> nằm trong [[trường đóng đại số]] mở rộng của nó.

Đối với các đa thức trên [[vành giao hoán]] mà không phải miền nguyên, định lý Vìete chỉ đúng khi <math>a_n</math> không phải là [[ước của không]] và đa thức ban đầu có thể được biểu diễn dưới dạng <math>P(x) = a_n(x-r_1)(x-r_2)\dots(x-r_n)</math>. Một phản ví dụ cho tình huống định lý Vìete không đúng là ở vành [[số học mô đun|thặng dư modulo]] 8, [[phương trình bậc hai]] <math>P(x) = x^2-1</math> có tới bốn nghiệm là 1, 3, 5 và 7.

== Ví dụ ==
Hai ví dụ nổi tiếng nhất của định lý Vìete chính là mối quan hệ của các nghiệm phương trình bậc hai và [[phương trình bậc ba|bậc ba]] như sau: 

Hai nghiệm <math>r_1, r_2</math> của phương trình bậc hai <math>P(x) = ax^2 + bx + c</math> luôn thỏa mãn 
<math display="block"> r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}, \quad r_1 r_2 = \frac{c}{a},</math>

hay phương trình bậc ba <math>P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d</math> có ba nghiệm <math>r_1, r_2, r_3</math> thỏa mãn 
<math display="block"> r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{a}, \quad r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 = \frac{c}{a}, \quad r_1 r_2 r_3 = -\frac{d}{a}.</math>

== Chứng minh ==
=== Chứng minh trực tiếp ===
Nhờ [[định lý Bézout về số dư của phép chia đa thức|định lý Bézout]], khi phương trình đa thức bậc ''n'' có đủ ''n'' nghiệm <math>r_1, r_2, \dots, r_n</math> trên một miền nguyên, khi này đa thức đó có thể được biểu diễn dưới dạng 
<math display="block">a_n x^n  + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 = a_n (x-r_1) (x-r_2) \cdots (x-r_n).</math>
Từ đây, một cách chứng minh rất trực tiếp và tự nhiên của định lý Vìete là nhân khai triển toàn bộ vế phải, sau đó đồng nhất thức để có được điều cần chứng minh. 

=== Chứng minh bằng quy nạp ===
Một cách chứng minh khác của định lý Vìete là sử dụng [[quy nạp toán học|quy nạp]] như được trình bày dưới đây.  
==== Giả thuyết quy nạp ====
Cách chứng minh trực tiếp cho ta giả thuyết quy nạp như sau: Cho <math>{P(x)}</math> là đa thức bậc ''n'' với ''n'' nghiệm phức <math>{r_1},{r_2},{\dots},{r_n}</math> và các hệ số phức <math>a_0,a_1,\dots,a_n</math> với <math>{ a_n} \neq 0</math>. Giả thuyết quy nạp là 
<math display="block">{P(x)} = {a_n}{x^n}+{{a_{n-1}}{x^{n-1}}}+{\cdots}+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}} =
{{a_n}{x^{n}}}-{a_n}{({r_1}+{r_2}+{\cdots}+{r_n}){x^{n-1}}}+{\cdots}+
{{(-1)^{n}}{ (a_n)}{({r_1}{r_2}{\cdots}{r_n})}}</math>
==== Bước cơ sở <math>n = 2</math> ====
Giả sử phương trình bậc hai có các hệ số bậc thấp dần lần lượt là <math> a_2, a_1, a_0 </math> và hai nghiệm <math> r_1, r_2 </math>. Bằng định lý Bézout ta có ngay 
<math display="block">{a_2 x^2}+{a_1 x} + a_0 = {a_2}{(x-r_1)(x-r_2)}</math>
Tiến hành nhân biểu thức ở vế phải cho ta ngay điều cần chứng minh: 
<math display="block">{a_2 x^2}+{a_1 x} + a_0 = {{a_2}{x^2}-{{a_2}({r_1}+{r_2}){x}}+{a_2}{({r_1}{r_2})}}</math>
==== Bước quy nạp ====
Khi này, giả sử giả thuyết quy nạp vẫn đúng với <math>n\geqslant 2</math>, ta cần chứng minh nó đúng với  <math>n+1</math>, tức là đúng với đa thức <math display="block">{P(x)} = {a_{n+1}}{x^{n+1}}+{{a_{n}}{x^{n}}}+{\cdots}+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}</math>
Ta biến đổi tương đương đa thức trở thành 
<math display="block">{P(x)} = {(x-r_{n+1})} {[{\frac{{a_ {n+ 1}}{x^ {n+1}}+{{a_{n}}{x^{n}}}+{\cdots}+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}}{x- r_{n +1}}}]}</math>, hay
<math display="block">{P(x)} ={(a_{n+{1}})}{(x-r_{n+1})}
{[{\frac{{x^ {n+1}}+
{\frac{{a_{n}} {x^{n}}}{(a_{n+{1}})}}+{\cdots}+{\frac {a_{1}}{(a_{n+{1}})} {x}}+
{{\frac{a_0}{{(a_{n+{1}})}}}}} 
{x- r_{n +1}}}]}</math>
Thực hiện phép chia và để đơn giản, ta sẽ viết lại đa thức dưới một bộ hệ số <math>\zeta</math> là 
<math display="block">P(x) = {(a_ {n+1})}{(x-r_ {n+1})}{[{x^n}+{\zeta_{n-1}x^{n-1}}+{\cdots}+{\zeta_0}]}</math>
Sử dụng giả thuyết quy nạp, ta có ngay 
<math display="block">P(x) = {(a_ {n+1})} {(x-r_ {n+1})} {[{{x^{n}}}-{({r_1}+{r_2}+{\cdots}+{r_n}){x^{n-1}}}+{\cdots}+
{{(-1)^{n}}{({r_1}{r_2}{\cdots}{r_n})}}]}</math>
Nhân khai triển vế phải cho ta điều cần chứng minh. 
<math display="block">{a_ n}{x^n}+{{a_{n-1}}{x^{n-1}}}+{\cdots}+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}} =
{{a_n}{x^{n}}}-{a_n}{({r_1}+{r_2}+{\cdots}+{r_n}){x^{n-1}}}+{\cdots}+
{{(-1)^{n}}{({r_1}{r_2}{\cdots}{r_n})}}</math>
== Lịch sử ==
Định lý này được tìm ra bởi nhà toán học người Pháp [[François Viète]] vào thế kỷ thứ 16 trong trường hợp các nghiệm đều dương. 
Theo quan điểm của nhà toán học người Anh [[Charles Hutton]],<ref>{{Harv|Funkhouser|1930}}</ref> trường hợp tổng quát như ngày nay lần đầu tiên được biết đến bởi nhà toán học người Pháp [[Albert Girard]] vào thế kỷ thứ 17: 
<blockquote>...(Girad là) người đầu tiên tìm được mối quan hệ tổng quát giữa các hệ số của đa thức với tổng và tích của các nghiệm. Anh ta là người đầu tiên phát hiện ra quy luật của tổng các nghiệm của một phương trình bất kì.</blockquote>

==Xem thêm==
*[[Phương trình bậc hai]] và [[phương trình bậc ba]]

==Tham khảo==
{{tham khảo}}
* {{springer|title=Viète theorem|id=p/v096630}}
* {{Citation| first= H. Gray | last=Funkhouser | authorlink = Howard G. Funkhouser | title=A short account of the history of symmetric functions of roots of equations | journal=American Mathematical Monthly | year=1930 | volume= 37 | issue=7 | pages=357–365 | doi=10.2307/2299273| jstor= 2299273| publisher= Mathematical Association of America }}
*{{Citation
 | last       = Vinberg
 | first      = E. B.
 | authorlink= Ernest Vinberg
 | title      = A course in algebra
 | publisher  = American Mathematical Society, Providence, R.I
 | year       = 2003
 | pages      = 
 | isbn       = 0-8218-3413-4
}}
*{{Citation
 | last       = Djukić
 | first      = Dušan| title      = The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004
 | publisher  = Springer, New York, NY
 | year       = 2006
 | pages      = 
 | isbn       = 0-387-24299-6
|display-authors=etal}}{{Toán}}


[[Thể loại:Đại số sơ cấp]]
[[Thể loại:Đa thức]]
[[Thể loại:Toán học]]
[[Thể loại:Toán học sơ cấp]]