Xem mã nguồn của Độ ưu tiên của toán tử

{{Use dmy dates|date=February 2015}}
Trong [[toán học]] và [[lập trình máy tính]], '''thứ tự của toán tử''' (''order of operations'') hay '''độ ưu tiên của toán tử''' (''operator precedence'') là một tập hợp các quy tắc phản ánh quy ước về các thủ tục để thực hiện trước tiên khi đánh giá một [[Biểu thức (khoa học máy tính)|biểu thức toán học]] nhất định.

Ví dụ, trong toán học và hầu hết các ngôn ngữ máy tính, phép nhân được cấp độ ưu tiên cao hơn so với phép cộng, và nó đã như vậy từ khi giới thiệu các kí hiệu đại số hiện đại.<ref name="Bronstein_1987">{{chú thích sách |title=Taschenbuch der Mathematik |author-first1=Ilja Nikolaevič<!-- Nikolajewitsch --> |author-last1=Bronstein<!-- 1903–1976 --> |author-first2=Konstantin Adolfovič<!-- Adolfowitsch --> |author-last2=Semendjajew<!-- 1908–1988 --> |editor-first1=Günter |editor-last1=Grosche |editor-first2=Viktor |editor-last2=Ziegler<!-- 1922–1980--> |editor-first3=Dorothea |editor-last3=Ziegler |others=Weiß, Jürgen<!-- lector --> |translator-first=Viktor |translator-last=Ziegler |volume=1 |date=1987 |edition=23 |orig-year=1945 |publisher=[[Verlag Harri Deutsch]] (and [[B. G. Teubner Verlagsgesellschaft]], Leipzig) |location=Thun and Frankfurt am Main |language=de |chapter=2.4.1.1. |pages=115–120 |isbn=3-87144-492-8 |title-link=Bronstein and Semendjajew}}</ref><ref>{{Chú thích web|url=http://mathforum.org/library/drmath/view/52582.html |tiêu đề=Ask Dr. Math |nhà xuất bản=Math Forum |ngày tháng=ngày 22 tháng 11 năm 2000 |ngày truy cập=ngày 5 tháng 3 năm 2012}}</ref> Như vậy, biểu thức {{math|2 + 3 × 4}} được biểu diễn thành {{math|2 + (3 × 4) {{=}} 14}}, thay vì {{math|(2 + 3) × 4 {{=}} 20}}. Những quy ước này tồn tại để loại bỏ sự mơ hồ khi rút gọn kí hiệu để viết ngắn nhất có thể.

Với sự ra đời của số mũ trong thế kỷ 16 và 17, chúng được ưu tiên hơn cả phép cộng và phép nhân và chỉ có thể được đặt dưới dạng chữ nhỏ bên phải vị trí của chúng.<ref name="Bronstein_1987"/> Do đó 3 + 5<sup>2</sup> = 28 và 3 / 5<sup>2</sup> = 0.75.

Những quy ước này tồn tại để loại bỏ sự mơ hồ trong khi cho phép ký hiệu càng ngắn gọn càng tốt. Trong trường hợp muốn bỏ qua các quy ước ưu tiên hoặc thậm chí chỉ đơn giản là để nhấn mạnh chúng, dấu ngoặc đơn () có thể chỉ ra một trật tự thay thế hoặc củng cố thứ tự mặc định để tránh nhầm lẫn. Ví dụ: (2 + 3) × 4 = 20 với phép cộng được thực hiện trước phép nhân, và (3 + 5)<sup>2</sup> = 64, tại đó phép cộng được thực hiện trước phép lũy thừa. Đôi khi, để rõ ràng, đặc biệt là với dấu ngoặc đơn lồng nhau, dấu ngoặc đơn được thay thế bằng dấu ngoặc vuông, như trong biểu thức [2 × (3 + 4)] - 5 = 9.[[Nói chung là ngoặc trước sau đó đến mũ sau đó đến nhân chia rồi mới đến cộng trừ.]]

== Định nghĩa ==
Thứ tự của các toán tử, được sử dụng trong suốt toán học, khoa học, công nghệ và nhiều [[ngôn ngữ lập trình]] máy tính, được thể hiện ở đây:<ref name="Bronstein_1987" />

# [[lũy thừa]] và [[Căn bậc n|khai căn]] 
# [[Phép nhân|nhân]] và [[Phép chia|chia]] 
# [[Phép cộng|cộng]] và [[Phép trừ|trừ]]

Điều này có nghĩa là, trong một [[Biểu thức (toán học)|biểu thức toán học]], một biểu thức con xuất hiện giữa hai toán tử, toán tử cao hơn trong danh sách trên nên được tính toán trước tiên.

Các luật [[Tính giao hoán|giao hoán]] và [[Tính kết hợp|kết hợp]] của phép cộng và phép nhân cho phép thêm các thuật ngữ theo bất kỳ thứ tự nào và nhân các yếu tố trong bất kỳ thứ tự nào nhưng các toán tử hỗn hợp phải tuân theo thứ tự toán tử tiêu chuẩn.

Trong một số bối cảnh, sẽ rất hữu ích khi thay thế một phép chia bằng phép nhân bằng phép nghịch đảo (phép nhân nghịch đảo) và phép trừ bằng phép cộng ngược lại (phép cộng nghịch đảo). Ví dụ, trong [[đại số máy tính]], điều này cho phép thao tác ít [[Phép toán hai ngôi|toán tử hai ngôi]] hơn và giúp sử dụng [[Tính giao hoán|giao hoán]] và [[Tính kết hợp|kết hợp]] dễ dàng hơn khi đơn giản hóa các [[Biểu thức (toán học)|biểu thức]] lớn. Như vậy {{Nowrap|3 / 4 {{=}} 3 × {{sfrac|1|4}}}} nói cách khác, 3 chia 4 tương đương với tích của 3 và {{Sfrac|1|4}} Ngoài ra {{Nowrap|3 − 4 {{=}} 3 + (−4)}}; nói cách khác, hiệu số của 3 và 4 bằng tổng của 3 và −4. Như vậy, {{Nowrap|1 − 3 + 7}} có thể được coi như là tổng của {{Nowrap|1 + (−3) + 7}} và ba [[phép cộng]] có thể được thêm vào trong bất kỳ thứ tự nào, trong mọi trường hợp đều đưa ra kết quả là 5.

Biểu tượng khai căn √ theo truyền thống được kéo dài bởi một thanh (được gọi là vinculum) trên biểu thức cần khai căn (điều này tránh sự cần thiết của dấu ngoặc quanh biểu thức cần khai căn). Các [[hàm số]] khác sử dụng dấu ngoặc đơn xung quanh đầu vào để tránh sự mơ hồ. Các dấu ngoặc đôi khi được bỏ qua nếu đầu vào là một [[đơn thức]]. Do đó, {{Nowrap|sin 3''x'' {{=}} sin(3''x'')}}, nhưng {{Nowrap|sin ''x'' + ''y'' {{=}} sin(''x'') + ''y''}}, vì {{Nowrap|''x'' + ''y''}} không phải là đơn thức.<ref name="Bronstein_1987" /> Một số máy tính và ngôn ngữ lập trình yêu cầu dấu ngoặc đơn xung quanh đầu vào của hàm số, một số khác thì không.

Biểu tượng của nhóm có thể được sử dụng để bỏ qua thứ tự toán tử thông thường.<ref name="Bronstein_1987" /> Các biểu tượng được nhóm có thể được coi là một biểu thức duy nhất. Các biểu tượng của nhóm có thể được loại bỏ bằng cách sử dụng các luật kết hợp và phân phối, chúng cũng có thể được loại bỏ nếu biểu thức bên trong biểu tượng của nhóm được đơn giản hóa đủ để không có kết quả mơ hồ từ việc loại bỏ chúng.

=== Ví dụ ===

: <math>\sqrt{1 + 3} + 5 = \sqrt 4 + 5 = 2 + 5 = 7.</math>

Một dòng gạch ngang cũng hoạt động như một biểu tượng của nhóm:

: <math>\frac{1 + 2}{3 + 4} + 5 = \frac{3}{7} + 5.</math>

Để dễ đọc, các ký hiệu nhóm khác, chẳng hạn như dấu ngoặc nhọn {} hoặc dấu ngoặc vuông [], thường được sử dụng cùng với dấu ngoặc đơn (). Ví dụ:

: <math>[(1 + 2) - 3] - (4 - 5) = [3 - 3] - (-1) = 1.</math>

=== Dấu trừ đơn phương ===
Có các quy ước khác nhau liên quan đến toán tử đơn nguyên - (thường đọc "trừ"). Trong biểu thức toán học viết hoặc in, biểu thức −3<sup>2</sup> được hiểu là {{Nowrap|0 − (3<sup>2</sup>) {{=}} − 9}},<ref name="Bronstein_1987" /><ref>{{Chú thích sách|title=Elementary Algebra for College Students|last=Allen R. Angel|edition=8|at=Chapter 1, Section 9, Objective 3}}</ref>

Một số ứng dụng và ngôn ngữ lập trình, đặc biệt là [[Microsoft Excel]] (và các ứng dụng bảng tính khác) và [[Bc (ngôn ngữ lập trình)|ngôn ngữ lập trình bc]], các toán tử đơn nguyên có mức độ ưu tiên cao hơn các toán tử nhị phân, nghĩa là phép trừ unary có độ ưu tiên cao hơn lũy thừa, vì vậy trong các ngôn ngữ đó -3<sup>2</sup> sẽ được hiểu là {{Nowrap|(−3)<sup>2</sup> {{=}} 9}}.<ref>{{Chú thích web|url=https://support.microsoft.com/en-gb/kb/kbview/132686|tựa đề=Formula Returns Unexpected Positive Value|ngày=ngày 15 tháng 8 năm 2005|nhà xuất bản=Support.microsoft.com|ngày truy cập=ngày 5 tháng 3 năm 2012|archive-date=2015-04-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20150419091629/https://support.microsoft.com/en-gb/kb/kbview/132686|url-status=bot: unknown}}</ref> Điều này không áp dụng cho toán tử trừ nhị phân -; ví dụ: trong Microsoft Excel trong khi các công thức <code>=-2^2</code>, <code>=-(2)^2</code> và <code>=0+-2^2</code> trả về kết quả 4, công thức <code>=0-2^2</code> và <code>=-(2^2)</code> trả về kết quả - 4.

=== Hỗn hợp phép chia và phép nhân ===
Tương tự, có thể có sự mơ hồ trong việc sử dụng [[Dấu gạch chéo (dấu câu)|biểu tượng dấu gạch chéo]] / trong các biểu thức, chẳng hạn như 1/2''x''.<ref name="Ball_1978">{{Chú thích sách|url=https://archive.org/details/algorithmsforrpn0000ball|title=Algorithms for RPN calculators|last=Ball|first=John A.|date=1978|publisher=[[Wiley-Interscience]], [[John Wiley & Sons, Inc.]]|isbn=0-471-03070-8|edition=1|location=Cambridge, Massachusetts, USA|page=[https://archive.org/details/algorithmsforrpn0000ball/page/31 31]|url-access=registration}}</ref> Nếu một người viết lại biểu thức này là {{Nowrap|1 ÷ 2''x''}} và sau đó diễn giải biểu tượng chia là biểu thị phép nhân với đối ứng, điều này trở thành:

: {{Nowrap|1 ÷ 2 × ''x'' {{=}} 1 × {{sfrac|1|2}} × ''x'' {{=}} {{sfrac|1|2}} × ''x''}}.

Với cách giải thích này, {{Nowrap|1 ÷ 2''x''}} bằng {{Nowrap|(1 ÷ 2)''x''}}.<ref name="Bronstein_1987"/><ref name="Rules">{{Chú thích web|url=http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/mc-ty-rules-2009-1.pdf|tựa đề=Rules of arithmetic|website=Mathcentre.ac.uk|ngày truy cập=ngày 2 tháng 8 năm 2019}}</ref> Tuy nhiên, trong một số tài liệu học thuật, [[Phép nhân|phép nhân được biểu thị bằng juxtap vị trí]] (còn được gọi là [[Phép nhân|phép nhân hàm ý]]) được hiểu là có độ ưu tiên cao hơn phép chia, do đó {{Nowrap|1 ÷ 2''x''}} bằng {{Nowrap|1 ÷ (2''x'')}}, chứ không phải {{Nowrap|(1 ÷ 2)''x''}}.

Ví dụ, hướng dẫn nộp bản thảo cho các tạp chí ''[[Physical Review|Đánh giá Vật lý]]'' nói rằng phép nhân có độ ưu tiên cao hơn phép chia với dấu gạch chéo,<ref>{{Chú thích web|url=https://publish.aps.org/files/styleguide-pr.pdf|tựa đề=Physical Review Style and Notation Guide|nhà xuất bản=[[American Physical Society]]|at=Section IV&ndash;E&ndash;2&ndash;e|ngày truy cập=ngày 5 tháng 8 năm 2012}}</ref> và đây cũng là quy ước được quan sát trong [[sách giáo khoa]] vật lý nổi bật như ''Khóa học Vật lý lý thuyết'' của [[Lev Davidovich Landau|Landau]] và Lifshitz và ''[[The Feynman Lectures on Physics (sách)|Bài giảng của Feynman về Vật lý]]''.

== Ghi chú ==
<references group="nb"/>

== Tham khảo ==
{{tham khảo|30em}}

== Liên kết ngoài ==
* {{planetmath reference|id=3951|title=Độ ưu tiên của toán tử}}

{{sơ khai}}

{{DEFAULTSORT:Độ ưu tiên của toán tử}}
[[Thể loại:Đại số trừu tượng]]
[[Thể loại:Đại số]]
[[Thể loại:Toán tử (lập trình)]]