Xem mã nguồn của Độ cong

Trong [[hình học]], '''độ cong''' thể hiện sự lệch hướng tại một điểm trên [[đường cong]], mặt cong hay [[Đa tạp Riemann|không gian Riemann]] nói chung.

== Độ cong của một đường cong ==

=== Định nghĩa ===
Theo [[Cauchy]], tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai [[pháp tuyến]] vô cùng gần nhau, và [[bán kính cong]] <math>R</math> là khoảng cách từ điểm đó đến C. Và độ cong <math>\kappa</math> chính là nghịch đảo của [[bán kính cong]] <math>R</math>.
:<math>\kappa = \frac{1}{R}</math>
Gọi <math>ds</math> là độ dài dường cong mà 2 [[pháp tuyến]] cách nhau, và <math>d\phi</math> là góc hợp bởi 2 [[pháp tuyến]]. Ta có định nghĩa khác về độ cong:
:<math>\kappa = \frac{d\phi}{ds}</math>

=== Tính độ cong của một đường cong phẳng ===
==== Trong hệ tọa độ Descartes ====
:''Xem thêm: ''[[Hệ tọa độ Descartes]]
Nếu đồ thị được cho dưới dạng hệ phương trình tham số <math>
\begin{cases}
 x = x(t) \\
 y = y(t)
\end{cases}
</math>, từ phần trên ta có định nghĩa:
:<math>\kappa = \frac{d\phi}{ds}
 = \dfrac{\dfrac{d\phi}{dt}}{\dfrac{ds}{dt}}
 = \dfrac{\dfrac{d\phi}{dt}}{\sqrt{\left (\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left (\dfrac{dy}{dt}\right)^2}}
 = \dfrac{\dfrac{d\phi}{dt}}{\sqrt{{x'}^2 + {y'}^2}}</math>
<math>d\phi</math> là góc hợp bởi 2 [[pháp tuyến]], ta cũng có thể coi nó như góc lệch giữa 2 đường [[tiếp tuyến]]. Từ đó ta có thể định nghĩa <math>\phi</math> là [[góc tiếp tuyến]] của đường cong.
:<math>\tan \phi = \dfrac{dy}{dx}
 = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}
 = \dfrac{y'}{x'}</math>
Lấy [[đạo hàm]] 2 vế theo tham số <math>t</math> ta được:
:<math>\frac{d}{dt}(\tan \phi)
 = \left (1 + {\tan}^2 \phi \right)\frac{d\phi}{dt}
 = \dfrac{x'y'' - y'x''}{{x'}^2}</math>
<math>\Leftrightarrow \frac{d\phi}{dt}
 = \frac{1}{1 + {\tan}^2 \phi}\dfrac{x'y'' - y'x''}{{x'}^2}
 = \frac{1}{1 + {\left (\dfrac{y'}{x'}\right)^2 }}\dfrac{x'y'' - y'x''}{{x'}^2}
 = \dfrac{x'y'' - y'x''}{{x'}^2+{y'}^2}
</math>

Kết hợp các kết quả thu được ta có:
:<math>\kappa = \dfrac{x'y'' - y'x''}{\left ({x'}^2+{y'}^2\right)^{3/2}}</math>
Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số <math>y = f(x)</math> thì độ cong được tính như sau:
:<math>\kappa = \dfrac{\dfrac{d^2y}{dx^2}}{\left [1+\left (\dfrac{dy}{dx}\right)^2\right ]^{3/2}}</math>

==== Trong hệ tọa độ cực ====
:''Xem thêm: ''[[Hệ tọa độ cực]]
Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số <math>r = r(\theta)</math> thì độ cong được tính như sau:
:<math>\kappa = \dfrac{r^2 + 2\left (\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2 - r\dfrac{d^2r}{d\theta^2}}{\left [r^2+\left (\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2\right ]^{3/2}}</math>

==== Ví dụ ====
===== Đường thẳng =====
'''[[Đường thẳng]]''' <math>
\begin{cases}
 x = t \\
 y = at + b
\end{cases}
</math> hay <math>y = ax + b</math> sẽ có độ cong được tính như sau:
:<math>x' = 1,\quad x'' = 0,\quad y' = a, \quad y'' = 0,\quad \dfrac{dy}{dx} = a, \quad \dfrac{d^2y}{dx^2} = 0 </math>
Áp dụng công thức ta có:
:<math>\kappa = \dfrac{x'y'' - y'x''}{\left ({x'}^2+{y'}^2\right)^{3/2}}
= \dfrac{1\cdot 0 - a\cdot 0}{\left ({1}^2+{a}^2\right)^{3/2}} = 0
</math>
hay công thức:
:<math>\kappa = \dfrac{\dfrac{d^2y}{dx^2}}{\left [1+\left (\dfrac{dy}{dx}\right)^2\right ]^{3/2}}
= \dfrac{0}{\left [1+a^2\right ]^{3/2}} = 0</math>
Vậy độ cong của một đường thẳng bằng 0.

===== Đường tròn =====
'''[[Đường tròn]]''' <math>
\begin{cases}
 x = R\cos t \\
 y = R\sin t
\end{cases}
</math> hay <math>r = R</math> sẽ có độ cong được tính như sau:
:<math>x' = -R\sin t,\quad x'' = -R\cos t,\quad y' = R\cos t, \quad y'' = -R\sin t,\quad \dfrac{dr}{d\theta} = 0, \quad \dfrac{d^2r}{d\theta^2} = 0 </math>
Áp dụng công thức ta có:
:<math>\kappa = \dfrac{x'y'' - y'x''}{\left ({x'}^2+{y'}^2\right)^{3/2}}
= \dfrac{(-R\sin t)\cdot (-R\sin t) - (R\cos t)\cdot (-R\cos t)}{\left [{(-R\sin t)}^2+{(R\cos t)}^2\right ]^{3/2}} = \frac{1}{R}
</math>
hay công thức:
:<math>\kappa = \dfrac{r^2 + 2\left (\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2 - r\dfrac{d^2r}{d\theta^2}}{\left [r^2+\left (\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2\right ]^{3/2}}
= \dfrac{R^2 + 2\cdot 0^2 - R\cdot 0}{\left [R^2+0^2\right ]^{3/2}} = \frac{1}{R}
</math>
Vậy độ cong của một đường tròn là nghịch đảo bán kính của nó.
===== Các đường khác =====
*'''Đường [[parabol]]''' <math>y = ax^2</math> sẽ có độ cong được tính như sau:
:<math>\dfrac{dy}{dx} = 2ax, \quad \dfrac{d^2y}{dx^2} = 2a </math>
Áp dụng công thức ta có:
:<math>\kappa = \dfrac{\dfrac{d^2y}{dx^2}}{\left [1+\left (\dfrac{dy}{dx}\right)^2\right ]^{3/2}}
= \dfrac{2a}{\left [1+(2ax)^2\right ]^{3/2}}
= \dfrac{2a}{\left (1+4a^2x^2\right)^{3/2}}</math>
* '''Đường [[ellipse]]''' <math>
\begin{cases}
 x = a\cos t \\
 y = b\sin t
\end{cases}
</math> sẽ có độ cong được tính như sau:
:<math>x' = -a\sin t,\quad x'' = -a\cos t,\quad y' = b\cos t, \quad y'' = -b\sin t</math>
Áp dụng công thức ta có:
:<math>\kappa = \dfrac{x'y'' - y'x''}{\left ({x'}^2+{y'}^2\right)^{3/2}}
= \dfrac{(-a\sin t)\cdot (-b\sin t) - (b\cos t)\cdot (-a\cos t)}{\left [{(-a\sin t)}^2+{(b\cos t)}^2\right ]^{3/2}}</math>
::<math>= \frac{ab}{\left [\left (\dfrac{ay}{b}\right)^2+\left (\dfrac{bx}{a}\right)^2\right ]^{3/2}}
= \frac{ab}{\left [a^2\left (1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)+\dfrac{b^2}{a^2}x^2\right ]^{3/2}}</math>
::<math>= \frac{ab}{\left [a^2 - \left (1 - \dfrac{b^2}{a^2}\right)x^2\right ]^{3/2}}
= \frac{ab}{\left (a^2 - e^2x^2\right)^{3/2}}
</math>
với <math>e=\sqrt{1 - \dfrac{b^2}{a^2}}</math> là tâm sai của ellipse.

=== Độ cong của một đường cong ghềnh ===
Độ cong của một đường cong ghềnh (trong không gian 3 chiều) có hệ phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes <math>
\begin{cases}
 x = x(t) \\
 y = y(t) \\
 z = z(t)
\end{cases}
</math> được tính theo công thức
:<math>\kappa=\frac{\sqrt{(z''y'-y''z')^2+(x''z'-z''x')^2+(y''x'-x''y')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{3/2}}</math>

== Độ cong của một mặt cong ==

=== Độ cong Gauss ===
{{main|Độ cong Gauss}}

=== Độ cong trung bình ===

== Độ cong của một không gian ==

=== Tenxơ độ cong Riemann ===

=== Tenxơ độ cong Ricci ===

== Xem thêm ==
* [[Bán kính cong]]
* [[Đa tạp Riemann]]
* [[Hệ tọa độ Descartes]]
* [[Hệ tọa độ cực]]
* [[Hình học vi phân]]

==Tham khảo==
{{tham khảo}}John M. Lee, Introduction to Riemannian manifolds 
[[Thể loại:Độ cong]]
[[Thể loại:Hình học]]
[[Thể loại:Giải tích nhiều biến]]