Xem mã nguồn của Điểm hữu tỷ

Trong [[lý thuyết số]] và [[hình học đại số]], một '''điểm hữu tỷ''' của [[đa tạp đại số]] là một điểm có tọa độ thuộc về một [[Trường (đại số)|trường]] nhất định. Nếu trường không được đề cập tới, trường [[Số hữu tỉ|số hữu tỷ]] thường được coi là ngầm định. Nếu trường nói đến là trường [[Số thực|các số thực]], một điểm hữu tỷ thường được gọi là [[điểm thực]].

Nghiên cứu các điểm hữu tỷ là mục tiêu trung tâm của lý thuyết số và [[Hình học Diophantos|hình học Diophantine]]. Ví dụ, [[Định lý lớn Fermat|định lý lớn của Fermat]] có thể được trình bày lại như sau: với {{Math|''n'' > 2}}, [[đường cong Fermat]] của phương trình <math>x^n+y^n=1</math> không có điểm hữu tỷ nào khác ngoài {{Math|(1, 0)}}, {{Math|(0, 1)}} và, nếu {{Mvar|n}} là chẵn, {{Math|(–1, 0)}} và {{Math|(0, –1)}}.

== Định nghĩa ==
Cho một trường ''k'' và một [[Trường đóng đại số|phần mở rộng]] [[Trường đóng đại số|đại số đóng]] ''K'' của ''k'', một [[đa tạp affine]] ''X'' trên ''k'' là tập hợp các [[Không điểm của một hàm số|không điểm]] phổ biến trong <math>K^n</math> của một tập hợp các đa thức có hệ số thuộc ''k'':

: <math>f_1(x_1,\ldots,x_n)=0,\ldots, f_r(x_1,\dots,x_n)=0.</math>

Các không điểm phổ biến này được gọi là các ''điểm'' của ''X.''

Một '''điểm hữu tỷ''' ''k'' (k - hữu tỷ hoặc ''k''-'''point''') của ''X'' là một điểm của ''X'' thuộc về ''k'' <sup>''n''</sup>, nghĩa là một chuỗi (''a'' <sub>1</sub>,..., ''a''<sub>''n''</sub>) của ''n'' phần tử của ''k'' sao cho ''f'' <sub>''j''</sub> {{Khoảng cách|hair}} (''a''<sub>1</sub>,..., ''a''<sub>''n''</sub>) = 0 với mọi ''j''. Tập hợp các điểm hữu tỷ ''k'' của ''X'' thường được ký hiệu là ''X''(''k'').

Đôi khi, khi trường ''k'' được hiểu hoặc khi ''k'' là trường '''Q''' của các [[Số hữu tỉ|số hữu tỷ]], người ta nói "điểm hữu tỷ" thay vì "điểm ''k''-hữu tỷ".

Ví dụ: các điểm hữu tỷ của [[Đường tròn đơn vị|vòng tròn đơn vị]] với phương trình

: <math>x^2+y^2=1</math>

là các cặp số hữu tỷ

: <math>\left(\frac ac, \frac bc\right),</math>

Trong đó <math>(a, b, c)</math> là một [[Bộ ba số Pythagoras|bộ ba số Pythagore]].

== Ghi chú ==
{{Tham khảo|30em}}

==Sách tham khảo==
* {{Citation | author1-last=Campana | author1-first=Frédéric | title=Orbifolds, special varieties and classification theory | journal=[[Annales de l'Institut Fourier]] | volume=54 | issue=3 | year=2004 | pages=499–630 | mr=2097416 | doi=10.5802/aif.2027| url=http://www.numdam.org/article/AIF_2004__54_3_499_0.pdf }}
* {{Citation | author1-last=Colliot-Thélène | author1-first=Jean-Louis | author1-link=Jean-Louis Colliot-Thélène | author2-last=Kanevsky | author2-first=Dimitri | author3-last=Sansuc | author3-first=Jean-Jacques | chapter=Arithmétique des surfaces cubiques diagonales | title=Diophantine Approximation and Transcendence Theory | volume=1290 | publisher=[[Springer Nature]] | year=1987 | pages=1–108 | mr=0927558 | doi=10.1007/BFb0078705 | series=Lecture Notes in Mathematics | isbn=978-3-540-18597-0 }}
* {{Citation | author1-last=Esnault | author1-first=Hélène | author1-link=Hélène Esnault | title=Varieties over a finite field with trivial Chow group of 0-cycles have a rational point | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | volume=151 | issue=1 | year=2003 | pages=187–191 | mr=1943746 | doi=10.1007/s00222-002-0261-8| arxiv=math/0207022 | bibcode=2003InMat.151..187E }}
* {{Citation | author1-last=Hassett | author1-first=Brendan | author1-link=Brendan Hassett | chapter=Potential density of rational points on algebraic varieties | title=Higher Dimensional Varieties and Rational Points (Budapest, 2001) | volume=12 | pages=223–282 | publisher=[[Springer Nature]] | year=2003 | mr=2011748 | doi=10.1007/978-3-662-05123-8_8 | series=Bolyai Society Mathematical Studies | isbn=978-3-642-05644-4 }}
* {{Citation | author1-last=Heath-Brown | author1-first=D. R. | author1-link=Roger Heath-Brown | title=Cubic forms in ten variables | journal=Proceedings of the London Mathematical Society | volume=47 | issue=2 | year=1983 | pages=225–257 | mr=0703978 | doi=10.1112/plms/s3-47.2.225}}
* {{Citation | author1-first=Marc | author1-last=Hindry | author2-first=Joseph H. | author2-last=Silverman | author2-link=Joseph H. Silverman | title=Diophantine Geometry: an Introduction | year=2000 | isbn=978-0-387-98981-5 | publisher=[[Springer Nature]] |  mr=1745599}}
* {{Citation | author1-last=Hooley | author1-first=Christopher | author1-link=Christopher Hooley | title=On nonary cubic forms | journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] | volume=1988 | issue=386 | year=1988 | pages=32–98 | mr=0936992 | doi=10.1515/crll.1988.386.32}}
* {{Citation | author1-last=Katz | author1-first=N. M. | author1-link=Nick Katz | chapter=The work of Pierre Deligne | title=Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Helsinki, 1978) | pages=47–52 | publisher=[[Academia Scientiarum Fennica]] | place=Helsinki | year=1980 | mr=0562594 | chapter-url=https://web.math.princeton.edu/~nmk/old/katzWorkofPDicm1978.pdf}}
* {{Citation | author1-last=Kollár | author1-first=János | author1-link=János Kollár | title=Unirationality of cubic hypersurfaces | journal=Journal of the Mathematical Institute of Jussieu | volume=1 | issue=3 | year=2002 | pages=467–476 | mr=1956057 | doi=10.1017/S1474748002000117| arxiv=math/0005146 }}
* {{Citation | author1-last=Poonen | author1-first=Bjorn | author1-link=Bjorn Poonen | title=Rational Points on Varieties | year=2017 | publisher=[[American Mathematical Society]] | isbn=978-1-4704-3773-2 | mr=3729254}}
* {{Citation | author1-last= Silverman | author1-first=Joseph H. | author1-link=Joseph H. Silverman | year = 2009 | origyear=1986 | title = The Arithmetic of Elliptic Curves | publisher = [[Springer Nature]] | isbn=978-0-387-96203-0 | edition=2nd | mr=2514094}}
* {{Citation | title=Torsors and Rational Points | author1-last=Skorobogatov | author1-first=Alexei | author1-link=Alexei Skorobogatov | year=2001 | isbn=978-0-521-80237-6 | publisher=[[Cambridge University Press]] | mr=1845760}}
{{Sơ khai toán học}}

[[Thể loại:Hình học đại số]]