Xem mã nguồn của 0,999...

[[Tập tin:999 Perspective 2.svg|300px|thumbnail|Con số kéo dài với vô hạn chữ số 9.]]
Trong [[toán học]], số [[Số thập phân vô hạn tuần hoàn|thập phân vô hạn tuần hoàn]] '''0,999...''' hay còn được viết <math>\mbox{0,}\bar{9}; \mbox{0,}\dot{9}</math> hoặc <math> \mbox{0,(9)}\,\!</math> là một [[số thực]] bằng [[1 (số)|1]]. Nói cách khác: ký hiệu ''0,999...'' và ''1'' đều thể hiện cùng một số thực. Điều này đã được nhiều giáo sư toán học trên thế giới công nhận và được giảng dạy trong nhiều [[sách giáo khoa]]<ref>{{Chú thích sách|url=https://www.worldcat.org/oclc/33946927|title=Chaos : an introduction to dynamical systems|last=Alligood|first=Kathleen T.|date=1997|publisher=Springer|others=Tim Sauer, James A. Yorke|isbn=0-387-94677-2|location=New York|oclc=33946927}}</ref><ref>{{Chú thích sách|url=https://www.worldcat.org/oclc/827630|title=Mathematical analysis|last=Apostol|first=Tom M.|date=1974|publisher=Addison-Wesley|isbn=0-201-00288-4|edition=2|location=Reading, Mass.|oclc=827630}}</ref><ref>{{Chú thích sách|url=https://www.worldcat.org/oclc/7875643|title=Introduction to real analysis|last=Bartle|first=Robert G.|date=1982|publisher=Wiley|others=Donald R. Sherbert|isbn=0-471-05944-7|location=New York|oclc=7875643}}</ref><ref>{{Chú thích sách|url=https://www.worldcat.org/oclc/667041380|title=Analysis : an introduction|last=Beals|first=Richard|date=2004|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-511-64842-7|location=Cambridge, UK|oclc=667041380}}</ref>. Nhiều cách [[chứng minh (toán học)|chứng minh]] khác nhau đã được trình bày, dựa vào nhiều phép tính toán trên các số thực, các kiến thức đã được công nhận và tùy theo mục đích của người đọc. Trong thực tế, số thực có thực có thể được đại diện bởi một dãy số thập phân vô hạn và sự thực này mới nhìn giống như một nghịch lý. Điều này có thể tránh được với nhiều hệ thống số hay cách biểu diễn số khác như ''vi phân'': một đại lượng biến thiên nhỏ vô cùng luôn chạy về 0 nhưng không bao giờ bằng 0, [[Số p-adic|số ''p-adic'']].

== Chứng minh ==
Có nhiều cách để chứng minh điều này: vận dụng các kiến thức số học, đại số, giải tích, chuỗi vô hạn, vận dụng chia khoảng và tính bị chặn, dựa vào cấu trúc của các số thực, dãy Cauchy... Dưới đây là các cách đơn giản nhất.

=== Số học ===
==== Phân số và phép chia ====
Ta có:
:{| style="wikitable"
|<math>
\begin{align}
\mbox{0,333}\dots          &{} = \frac{1}{3} \\
3 \times \mbox{0,333}\dots &{} = 3 \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{3} \\
\mbox{0,999}\dots          &{} = 1
\end{align}
</math>
|width="25px"|
|width="25px" style="border-left:1px solid silver;"|
|<math>
\begin{align}
\mbox{0,111}\dots          & {} = \frac{1}{9} \\
9 \times \mbox{0,111}\dots & {} = 9 \times \frac{1}{9} = \frac{9 \times 1}{9} \\
\mbox{0,999}\dots          & {} = 1
\end{align}
</math>
|}

Một phiên bản rút gọn khác là

:<math>
1 = \frac{9}{9} = 9 \times \frac{1}{9} = 9 \times \mbox{0,111}\dots = \mbox{0,999}\dots
</math>
Cả hai phép chứng minh đều cho thấy giá trị của 0,999... phải bằng 1. Đơn giản hơn, ta có <sup>3</sup>/<sub>3 = 1

==== Biến đổi số học ====
Đặt:
:<math>
\begin{align}
x           &= \mbox{0,999}\ldots \\
10 x       &= \mbox{9,999}\ldots \\
10 x - x    &= \mbox{9,999}\ldots - \mbox{0,999}\ldots \\
9 x         &= 9 \\
x           &= 1 \\
\mbox{0,999}\ldots &= 1
\end{align}
</math>

== Vấn đề liên quan ==
* [[Nghịch lý Zeno]]
Con rùa bò trước chàng lực sĩ [[Achilles|Asin]]. Dù Asin chạy rất nhanh nhưng anh sẽ không bao giờ đuổi kịp rùa vì mỗi lần chàng đến nơi rùa đã đến thì nó đã kịp bò một đoạn. Do đó dù khoảng cách giữa chàng và rùa ngày càng rút ngắn nhưng Asin vẫn không theo kịp rùa. Điều này có thể giải quyết đơn giản bằng cách tìm giới hạn của tổng vô hạn các số dãy số có cấp số lớn hơn 0 và bé hơn 1. Ví dụ:
:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1-\left(\frac14\right)^{n+1}}{1-\frac14} = \frac{1}{1-\frac14} = \frac43.</math>

Tổng vô hạn các số hạng trong dãy số:
:<math>1+\frac14+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\cdots = \frac43.</math>

* [[Chia cho không]]
Nếu công nhận số có thể chia cho 0 và thì sẽ xảy ra nhiều nghịch lý. Ví dụ:
:<math>+\infty = \frac{1}{0} = \frac{1}{-0} = -\frac{1}{0} = -\infty</math>
* [[-0|Số âm không]]
một con số tồn tại trong [[máy tính]], phát sinh do một số phương pháp [[Biểu diễn số âm|biểu diễn số nguyên âm]] và hầu hết các phương pháp biểu diễn [[số chấm động]] (''floating point''). [[Toán học]] không có định nghĩa tương đương về số âm không, do đó, −0 và 0 là hoàn toàn như nhau. Trong các khoa học khác, −0 có thể được sử dụng để biểu thị một số lượng nhỏ hơn không, nhưng không đáng kể, nên không thể làm tròn thành một con số có nghĩa.

== Xem thêm ==
* [[Vô tận|Vô hạn]]
* [[Giải tích thực]]
* [[Chuỗi (toán học)]]

== Chú thích ==
{{Tham khảo|30em}}

== Tham khảo ==
<div class="references-small" style="-moz-column-count: 2;column-count: 2;">
* {{Chú thích sách|url=https://www.worldcat.org/oclc/667041380|title=Analysis : an introduction|last=Beals|first=Richard|date=2004|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-511-64842-7|location=Cambridge, UK|oclc=667041380}}
* {{Chú thích sách|url=https://www.worldcat.org/oclc/8559966|title=Winning ways, for your mathematical plays|last=Berlekamp|first=Elwyn R.|date=1982|publisher=Academic Press|others=John H. Conway, Richard K. Guy|isbn=0-12-091150-7|location=London|oclc=8559966}}
* {{cite conference |last=Berz |first=Martin |title=Computer Arithmetic and Enclosure Methods |year=1992 |publisher=Elsevier |pages=439–450 |url=http://citeseer.ist.psu.edu/berz92automatic.html |access-date=2009-05-11 |archive-date=2007-10-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20071012120330/http://citeseer.ist.psu.edu/berz92automatic.html |url-status=dead }}
* {{Chú thích sách|url=https://www.worldcat.org/oclc/7836945|title=Mathematical fallacies and paradoxes|last=Bunch|first=Bryan H.|date=1982|publisher=Van Nostrand Reinhold Co|isbn=0-442-24905-5|location=New York|oclc=7836945}}
* {{chú thích sách |last=Burrell |first=Brian |title=Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference |url=https://archive.org/details/merriamwebstersg00burr |year=1998 |publisher=Merriam-Webster |isbn=0-87779-621-1}}
* {{Chú thích sách|url=https://www.worldcat.org/oclc/3933230|title=Functions of one complex variable|last=Conway|first=John B.|date=1978|publisher=Springer-Verlag|isbn=0-387-90328-3|edition=2|location=New York|oclc=3933230}}
* {{chú thích sách |last=Davies |first=Charles |year=1846 |title=The University Arithmetic: Embracing the Science of Numbers, and Their Numerous Applications |publisher=A.S. Barnes |url=http://books.google.com/books?vid=LCCN02026287&pg=PA175}}
* {{chú thích tạp chí |last=DeSua |first=Frank C. |title= Hệ thống đẳng cấu đến thực tế|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1960-11_67_9/page/900 |journal=The American Mathematical Monthly |volume=67 |number=9 |year=1960 |pages=900–903 |doi=10.2307/2309468}}
* {{Chú thích tạp chí|last=Dubinsky|first=Ed|last2=Weller|first2=Kirk|last3=McDonald|first3=Michael A.|last4=Brown|first4=Anne|date=2005-10|title=Some Historical Issues and Paradoxes Regarding the Concept of Infinity: An Apos Analysis: Part 2|url=http://link.springer.com/10.1007/s10649-005-0473-0|journal=Educational Studies in Mathematics|language=en|volume=60|issue=2|pages=253–266|doi=10.1007/s10649-005-0473-0|issn=0013-1954}}
* {{chú thích tạp chí |author=Edwards, Barbara and Michael Ward |year=2004 |title= Ngạc nhiên từ nghiên cứu Toán học |journal=The American Mathematical Monthly |volume=111 |number=5 |pages=411–425 |url=http://www.wou.edu/~wardm/FromMonthlyMay2004.pdf |doi=10.2307/4145268|format=PDF}}
</div>

== Liên kết ngoài ==
{{commons|0.999...}}
* [http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/999999.shtml 0,999999… = 1?] từ [[cut-the-knot]]
* [http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.9999.html Tại sao 0.9999… = 1 ?]
* [http://www.newton.dep.anl.gov/askasci/math99/math99167.htm Hỏi một nhà khoa học: Số thập phân tuần hoàn] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150226225642/http://newton.dep.anl.gov/askasci/math99/math99167.htm |date = ngày 26 tháng 2 năm 2015}}
* [http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.00/joan2.html Phép chứng minh số học]
* [http://descmath.com/diag/nines.html Chín vô hạn]
* [http://qntm.org/pointnine Chín vô hạn bằng một]
* [http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/themes/limits-infinity.html Nghiên cứu của David Tall về sự nhận thức toán học]
* [http://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/decimals.html Có gì sai khi nghĩ rằng số thực là thập phân vô hạn?]
* [http://us.metamath.org/mpegif/0.999....html Định lý 0,999...] trên [[Metamath]]
* [http://www.maths.nottingham.ac.uk/personal/anw/Research/Hack/ Hackenstrings, và 0.999... ?= 1 FAQ] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20061211225310/http://www.maths.nottingham.ac.uk/personal/anw/Research/Hack/ |date = ngày 11 tháng 12 năm 2006}}
{{Thể loại Commons|1 (number)}}

[[Thể loại:1 (số)]]
[[Thể loại:Các nghịch lý toán học]]
[[Thể loại:Số thực]]
[[Thể loại:Giải tích thực]]

[[de:Eins#Periodischer Dezimalbruch]]
[[nl:Repeterende breuk#Repeterende negens]]