Xem mã nguồn của Biến đổi tuyến tính

{{short description|Ánh xạ bảo toàn các phép toán cộng và nhân vô hướng}}
{{distinguish|hàm số tuyến tính}}
Trong [[toán học]], một phép '''biến đổi tuyến tính''' (còn được gọi là '''toán tử tuyến tính''' hoặc là '''[[ánh xạ]] tuyến tính''') là một [[ánh xạ]] <math>V \rightarrow W</math> giữa hai [[Mô đun (toán học)|mô đun]] (cụ thể, hai [[không gian vectơ]]) mà bảo toàn được các thao tác cộng và [[Phép nhân vô hướng|nhân vô hướng]] vectơ. Nói một cách khác, nó bảo toàn [[tổ hợp tuyến tính]]. Nếu ánh xạ tuyến tính là một [[song ánh]] thì nó được gọi là '''đẳng cấu tuyến tính'''.

Một trường hợp quan trọng là khi <math>V = W</math>, khi đó ánh xạ tuyến tính được gọi là một [[tự đồng cấu]] (tuyến tính) trong <math>V</math>. Đôi khi thuật ngữ '''toán tử tuyến tính''' chỉ ánh xạ trong trường hợp này,<ref>"Linear transformations of <math>V</math> into <math>V</math> are often called ''linear operators'' on <math>V</math>." {{harvnb|Rudin|1976|page=207}}</ref> nhưng nó có thể mang ý nghĩa khác tùy theo các quy ước: ví dụ, thuật ngữ này có thể được dùng để nhấn mạnh rằng <math>V</math> và <math>W</math> là các không gian vectơ [[Số thực|thực]] (không nhất thiết là <math>V = W</math>),{{citation needed|date=November 2020}} hay để nhấn mạnh rằng <math>V</math> là một [[không gian hàm]] (đây là một quy ước thông thường trong [[giải tích hàm]]).<ref>Let <math>V</math> and <math>W</math> be two real vector spaces. A mapping a from <math>V</math> into <math>W</math> Is called a 'linear mapping' or 'linear transformation' or 'linear operator' [...] from <math>V</math> into <math>W</math>, if

<math display="inline">a(u+v)=au+av</math> for all <math display="inline">u,v \in V</math>, <math display="inline"> a(\lambda u) = \lambda au </math> for all <math>u \in V</math> and all real {{mvar|λ}}. {{harvnb|Bronshtein|Semendyayev|2004|page=316}}</ref> Đôi khi thuật ngữ ''hàm tuyến tính'' cũng mang nghĩa là ''ánh xạ tuyến tính'', nhưng không phải trong [[hình học giải tích]].

Một biến đổi tuyến tính từ ''V'' vào ''W'' luôn ánh xạ gốc tọa độ của ''V'' tới gốc tọa độ của ''W''. Hơn nữa, nó luôn là ánh xạ từ một [[không gian con]] (tuyến tính) vào một [[không gian con]] (có thể với [[Số chiều (đại số tuyến tính)|số chiều]] khác nhau);<ref>{{harvnb|Rudin|1991|page=14}}Here are some properties of linear mappings <math display="inline">\Lambda: X \to Y</math> whose proofs are so easy that we omit them; it is assumed that <math display="inline">A \subset X</math> and <math display="inline">B \subset Y</math>:{{ordered list|<math display="inline">\Lambda 0 = 0.</math>|If {{mvar|A}} is a subspace (or a convex set, or a balanced set) the same is true of <math display="inline">\Lambda(A)</math>|If {{mvar|B}} is a subspace (or a convex set, or a balanced set) the same is true of <math display="inline">\Lambda^{-1}(B)</math>|In particular, the set:
: <math>\Lambda^{-1}(\{0\}) = \{x \in X: \Lambda x = 0\} = {N}(\Lambda)</math>

is a subspace of {{mvar|X}}, called the ''null space'' of <math display="inline">\Lambda</math>.|list-style-type=lower-alpha}}</ref> ví dụ, ánh xạ từ một [[mặt phẳng]] qua [[gốc tọa độ]] trong ''V'' vào một mặt phẳng qua gốc tọa độ trong ''W'', hoặc tới một [[đường thẳng]] đi qua gốc tọa độ trong ''W,'' hoặc chỉ tới [[Điểm (hình học)|điểm]] gốc tọa độ của ''W''. Ánh xạ tuyến tính có thể được biểu diễn bởi các [[Ma trận (toán học)|ma trận]], các ví dụ đơn giản là các ma trận của các phép biến đổi tuyến tính [[Phép quay|quay]] và [[Phép phản xạ (toán học)|phản xạ]].

Trong ngôn ngữ của [[đại số trừu tượng]], một phép biến đổi tuyến tính là một [[Đồng cấu nhóm|đồng cấu]] giữa các [[Mô đun (toán học)|mô đun]]. Trong ngôn ngữ của [[lý thuyết phạm trù]], nó là một [[cấu xạ]] trong [[phạm trù các mô đun]] trên một [[vành]] đã cho.

== Định nghĩa và các hệ quả đầu tiên ==

Một cách chính thức, nếu ''<math>V</math>'' và ''<math>W</math>'' là các [[không gian vectơ]] trên cùng một [[trường (đại số)|trường]] ''<math>K</math>'', chúng ta nói rằng ánh xạ <math>\mathbf{f}: V \rightarrow W</math> là một (phép) biến đổi tuyến tính nếu cho bất kỳ hai vectơ <math display="inline">\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V</math> và bất kỳ [[Scalar (toán học)|vô hướng]] <math>c \in K</math>, chúng ta có
{|
| style="padding:0 20pt" |<math>f(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = f(\mathbf{u})+f(\mathbf{v})</math>
|[[Ánh xạ cộng tính|tính cộng]] / phép toán cộng
|-
| style="padding:0 20pt" |<math>f(c \mathbf{u}) = c f(\mathbf{u})</math>
|tính [[Hàm thuần nhất|thuần nhất]] bậc 1 / phép toán nhân vô hướng
|}
Điều này có ý nghĩa tương đương với khẳng định '''<math>\mathbf{f}</math>''' "bảo toàn tổ hợp tuyến tính", có nghĩa là không quan trọng là ánh xạ được áp dụng trước (vế phải ở các đẳng thức trên) hay sau (vế trái) khi thực hiện các phép toán cộng và nhân vô hướng.

Cho bất kỳ các vectơ <math display="inline">\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_n \in V</math> và các vô hướng <math display="inline">c_1, \ldots, c_n \in K,</math> bởi [[Tính kết hợp|tính kết hợp của phép cộng]] chúng ta có<ref>{{harvnb|Rudin|1991|page=14}}. Suppose now that {{mvar|X}} and {{mvar|Y}} are vector spaces ''over the same scalar field''. A mapping <math display="inline">\Lambda: X \to Y</math> is said to be ''linear'' if <math display="inline">\Lambda(\alpha x + \beta y) = \alpha\Lambda x + \beta\Lambda y</math> for all <math display="inline">x, y \in X</math> and all scalars <math display="inline">\alpha</math> and <math display="inline">\beta</math>. Note that one often writes <math display="inline">\Lambda x</math>, rather than <math display="inline">\Lambda(x)</math>, when <math display="inline">\Lambda</math> is linear.</ref><ref>{{harvnb|Rudin|1976|page=206}}. A mapping {{mvar|A}} of a vector space {{mvar|X}} into a vector space {{mvar|Y}} is said to be a ''linear transformation'' if: <math display="inline">A\left(\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2\right) = A\mathbf{x}_1 + A\mathbf{x}_2,\  A(c\mathbf{x}) = cA\mathbf{x}</math> for all <math display="inline">\mathbf{x}, \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2 \in X</math> and all scalars {{mvar|c}}. Note that one often writes <math display="inline">A\mathbf{x}</math> instead of <math display="inline">A(\mathbf {x})</math> if {{mvar|A}} is linear.</ref>
:<math>\mathbf{f}(c_1 u_1+\cdots+c_m u_m)=c_1 \mathbf{f}(u_1)+\cdots+c_m \mathbf{f}(u_m).</math>

Ký hiệu các phần tử không của các không gian vectơ <math>V</math> và <math>W</math> tương ứng là <math display="inline">\mathbf{0}_V</math> và <math display="inline">\mathbf{0}_W</math>, ta suy ra <math display="inline">f(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W.</math>

Cho <math>c = 0</math> và <math display="inline">\mathbf{v} \in V</math> trong phương trình của tính thuần nhất bậc 1:

:<math>f(\mathbf{0}_V) = f(0\mathbf{v}) = 0f(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_W.</math>

Thông thường, <math>V</math> và <math>W</math> có thể xem như là các không gian vectơ trên các trường khác nhau, và khi đó điều quan trọng là xác định trường nào được dùng cho định nghĩa "tuyến tính". Nếu <math>V</math> và <math>W</math> là các không gian trên trường <math>K</math> như xác định ở trên, chúng ta nói về <math>K</math>-ánh xạ tuyến tính. Ví dụ, phép lấy [[Liên hợp phức|liên hợp]] của một [[số phức]] là một <math>\mathbb{R}</math>-ánh xạ tuyến tính <math>\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}</math>, nhưng nó không phải là <math>\mathbb{C}</math>-tuyến tính, trong đó các trường <math>\mathbb{R}</math> và <math>\mathbb{C}</math> tương ứng là các trường số thực và số phức.

Một ánh xạ tuyến tính <math>V \rightarrow K</math> với trường <math>K</math> được xem như là một không gian vectơ 1 chiều trên chính nó được gọi là một [[phiếm hàm tuyến tính]].<ref>{{harvnb|Rudin|1991|page=14}}. 
Linear mappings of {{mvar|X}} onto its scalar field are called ''linear functionals''.</ref>

Các mệnh đề trên đây có thể được tổng quát hóa đối với một mô đun trái bất kỳ <math display="inline">{}_R M</math> trên một vành <math>R</math> mà không cần sửa lại, và đối với một mô đun phải bất kỳ nhưng phải đổi thứ tự của phép nhân vô hướng.
== Các ví dụ ==

* Ví dụ đơn giản nhất bắt nguồn cho các ánh xạ tuyến tính cái tên của chúng là hàm số <math>f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto cx</math>, với đồ thị là một đường thẳng qua gốc tọa độ.<ref>https://math.stackexchange.com/a/62791/401895</ref>
* Tổng quát hơn, bất kỳ một [[phép vị tự]] nào lấy tâm là gốc tọa độ của một không gian vectơ, <math display="inline">\mathbf{v} \mapsto c\mathbf{v}</math> trong đó ''<math>c</math>'' là vô hướng thì là một toán tử tuyến tính. Tuy nhiên, điều này nói chung không đúng đối với mô đun, khi một ánh xạ như vậy có thể chỉ là [[nửa tuyến tính]].
* Ánh xạ không <math display="inline">x \mapsto 0</math> giữa hai mô đun trái (hoặc hai mô đun phải) trên cùng một vành luôn là tuyến tính.
* [[Ánh xạ|Ánh xạ đồng nhất]] trên một mô đun bất kỳ là một toán tử tuyến tính.
* Đối với số thực, ánh xạ <math display="inline">x \mapsto x^2</math> không phải ánh xạ tuyến tính.
* Đối với số thực, ánh xạ <math display="inline">x \mapsto x + 1</math> không là ánh xạ tuyến tính (nhưng là một [[biến đổi afin]]; còn <math display="inline">y = x + 1</math> là một [[phương trình tuyến tính]], bởi thuật ngữ này được dùng trong [[hình học giải tích]].)
* Nếu ''<math>A</math>'' là một [[ma trận (toán học)|ma trận]] <math>m \times n</math>, thì ''<math>A</math>'' định nghĩa một phép biến đổi tuyến tính từ <math>\mathbb{R}^n</math> vào <math>\mathbb{R}^m</math> bằng việc chuyển một [[vectơ cột]] <math>x \in \mathbb{R}^n</math> tới một vectơ cột <math>Ax \in \mathbb{R}^m</math>. Tất cả các phép biến đổi tuyến tính giữa các không gian vectơ [[hữu hạn chiều]] xuất hiện theo cách này; xem thêm [[Biến đổi tuyến tính#Ma trận|mục sau]].
* Nếu <math display="inline">f: V \rightarrow W</math> là một [[phép đẳng cự]] giữa hai không gian định chuẩn thực sao cho <math display="inline">f(0) = 0</math> thì <math>f</math> là một ánh xạ tuyến tính. Kết quả này có thể không đúng cho không gian định chuẩn phức.{{sfn|Wilansky|2013|pp=21-26}}
* [[Đạo hàm|Phép vi phân]] định nghĩa một ánh xạ tuyến tính từ không gian các [[Hàm số khả vi|hàm khả vi]] vào không gian tất cả các hàm số. Nó cũng xác định một toán tử tuyến tính trên không gian các [[hàm trơn]] (toán tử tuyến tính này là một '''[[tự đồng cấu]]''' tuyến tính, tức là một ánh xạ tuyến tính mà [[miền xác định]] và [[miền giá trị]] là bằng nhau). Ví dụ:<math>\frac{d}{dx}\left( {{c}_{1}}{{f}_{1}}\left(x \right)+{{c}_{2}}{{f}_{2}}\left(x \right)+\cdots +{{c}_{n}}{{f}_{n}}\left(x \right) \right)={{c}_{1}}\frac{d{{f}_{1}}\left(x \right)}{dx}+{{c}_{2}}\frac{d{{f}_{2}}\left(x \right)}{dx}+\cdots +{{c}_{n}}\frac{d{{f}_{n}}\left(x \right)}{dx}</math>.
* Một [[tích phân]] xác định trên một [[Khoảng (toán học)|đoạn]] ''I'' là một ánh xạ tuyến tính từ không gian các [[Hàm số khả tích|hàm khả tích]] thực trên ''I'' vào ℝ. Ví dụ,<math>\int_{a}^{b}{[{{c}_{1}}{{f}_{1}}(x)+{{c}_{2}}{{f}_{2}}(x)+\ldots +{{c}_{n}}{{f}_{n}}(x)]dx}={{c}_{1}}\int_{a}^{b}{{{f}_{1}}(x)dx}+{{c}_{2}}\int_{a}^{b}{{{f}_{2}}(x)dx}+\ldots +{{c}_{n}}\int_{a}^{b}{{{f}_{n}}(x)dx}</math>.
* Một [[tích phân]] không xác định (hay [[nguyên hàm]]) với một điểm cố định khởi đầu tích phân định nghĩa ra một ánh xạ tuyến tính từ không gian các hàm khả tích thực trên <math>\mathbb{R}</math> vào không gian các hàm giá trị thực khả vi trên <math>\mathbb{R}</math>. Không có điểm khởi đầu cố định, một kết quả{{Which?}} trong lý thuyết nhóm sẽ cho thấy phép lấy nguyên hàm ánh xạ vào [[Không gian thương (đại số tuyến tính)|không gian thương]] của các hàm khả vi trên [[quan hệ tương đương]] "sai khác một hằng số", trong đó lớp tương đương đồng nhất gồm các hàm có giá trị hằng số <math display="inline">\left(\,\int\!:\  I(\Re) \ \to\  D(\Re)/\Re\,\right)</math>.{{Cần giải thích}}
* Nếu <math>V</math> và <math>W</math> là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường ''<math>\textsf{F}</math>'', thì các hàm đưa các ánh xạ tuyến tính <math display="inline">f: V \rightarrow W</math> vào không gian các ma trận với kích thước <math display="inline">dim_F(W) \times dim_F(V)</math> (theo cách được mô tả trong phần sau) cũng là các ánh xạ tuyến tính (và là [[đẳng cấu tuyến tính]]).
* [[Giá trị kỳ vọng]] của một [[biến ngẫu nhiên]] (thực chất là một hàm, và là phần tử của một không gian vectơ) là tuyến tính, bởi đối với hai biến ngẫu nhiên ''<math>X</math>'' và ''<math>Y</math>'' ta có <math>E[X + Y] = E[X] + E[Y]</math> và <math>E[aX] = aE[X]</math>, nhưng [[phương sai]] của một biến ngẫu nhiên không là tuyến tính.
<gallery widths="300" heights="200">
Tập tin:Streckung eines Vektors.gif|Hàm <math display="inline">f:\R^2 \to \R^2</math> với <math display="inline">f(x, y) = (2x, y)</math> là ánh xạ tuyến tính. Hàm này nhân thành phần <math display="inline">x</math> của một vectơ với hệ số  <math display="inline">2</math>.
Tập tin:Streckung der Summe zweier Vektoren.gif|Hàm <math display="inline">f(x, y) = (2x, y)</math> là cộng tính: Không quan trọng các vectơ được cộng trước hay sau khi áp dụng ánh xạ: <math display="inline">f(a + b) = f(a) + f(b)</math>
Tập tin:Streckung homogenitaet Version 3.gif|Hàm <math display="inline">f(x, y) = (2x, y)</math> có tính đồng nhất: Không quan trọng là một vectơ được nhân trước khi áp dụng ánh xạ hay ánh xạ trước rồi mới được nhân: <math display="inline">f(\lambda a) = \lambda f(a)</math>   
</gallery>
== Ma trận ==
{{main|Ma trận của biến đổi tuyến tính}}

Nếu ''<math>V</math>'' và ''<math>W</math>'' là các không gian vectơ [[hữu hạn chiều]] và một [[Cơ sở (đại số tuyến tính)|cơ sở]] được xác định cho mỗi không gian vectơ, thì mọi ánh xạ tuyến tính từ ''<math>V</math>'' vào ''<math>W</math>'' có thể được biểu diễn bởi một [[Ma trận (toán học)|ma trận]].<ref>{{harvnb|Rudin|1976|page=210}}

Suppose <math display="inline">\left\{\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_n\right\}</math> and <math display="inline">\left\{\mathbf{y}_1, \ldots, \mathbf{y}_m\right\}</math> are bases of vector spaces {{mvar|X}} and {{mvar|Y}}, respectively. Then every <math display="inline">A \in L(X, Y)</math> determines a set of numbers <math display="inline">a_{i,j}</math> such that

:<math>A\mathbf{x}_j = \sum_{i=1}^m a_{i,j}\mathbf{y}_i\quad (1 \leq j \leq n).</math>

It is convenient to represent these numbers in a rectangular array of <math>m</math> rows and <math>n</math> columns, called an <math>m</math> ''by'' <math>n</math> ''matrix'':

:<math>[A] = \begin{bmatrix}
  a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,n} \\
  a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,n} \\ 
   \vdots &  \vdots & \ddots &  \vdots \\
  a_{m,1} & a_{m,2} & \ldots & a_{m,n}
\end{bmatrix}</math>

Observe that the coordinates <math display="inline">a_{i,j}</math> of the vector <math display="inline">A{\mathbf x}_j</math> (with respect to the basis <math display="inline">\{\mathbf{y}_1, \ldots, \mathbf{y}_m\}</math>) appear in the ''j''<sup>th</sup> column of <math display="inline">[A]</math>. The vectors <math display="inline">A{\mathbf x}_j</math> are therefore sometimes called the ''column vectors'' of <math display="inline">[A]</math>. With this terminology, the ''range'' of {{mvar|A}} ''is spanned by the column vectors of <math display="inline">[A]</math>''.
</ref> Điều này hữu ích vì nó cho phép tính toán các ánh xạ một cách cụ thể. Các ma trận chính là các ví dụ của ánh xạ tuyến tính: Nếu ''<math>A</math>'' là ma trận thực <math>m \times n</math>, thì <math>f(x) = Ax</math> mô tả một ánh xạ tuyến tính <math>\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m</math> (xem [[không gian Euclid]]).

Cho ''<math>\{ \mathbf{v}_1, \cdots, \mathbf{v}_n \}</math>'' là một cơ sở của {{mvar|V}}. Vậy thì mỗi vectơ ''<math>\mathbf{v} \in V</math>'' được xác định duy nhất bởi các hệ số (tọa độ) ''<math>\mathbf{c}_1, \cdots, \mathbf{c}_n</math>''trong trường '''<math>\mathbb{R}^n</math>''':

: <math>c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n.</math>

Nếu <math display="inline">f: V \rightarrow W</math> là một ánh xạ tuyến tính thì ta có

: <math>f\left(c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n\right) = c_1 f\left(\mathbf{v}_1\right) + \cdots + c_n f\left(\mathbf{v}_n\right),</math>

từ điều này suy ra rằng hàm ''<math>f</math>'' hoàn toàn được xác định bởi các vectơ ''<math>f(\mathbf{v}_1), \cdots, f(\mathbf{v}_n)</math>''. Ta có ''<math>\{ \mathbf{w}_1, \cdots, \mathbf{w}_m \}</math>'' là một cơ sở của ''<math>W</math>''. Vậy thì ta có thể biểu diễn từng vectơ ''<math>f(\mathbf{v}_j)</math>'' dưới dạng

: <math>f\left(\mathbf{v}_j\right) = a_{1j} \mathbf{w}_1 + \cdots + a_{mj} \mathbf{w}_m.</math>

Vì vậy, biến đổi ''<math>f</math>'' hoàn toàn được xác định bởi các giá trị ''<math>a_{ij}</math>''. Nếu ta đặt các giá trị này vào một ma trận ''<math>M</math>'' với kích thước <math>m \times n</math>, thì ta có thể sử dụng để tính toán một cách thuận tiện vectơ đầu ra của ''<math>f</math>'' cho một vectơ bất kỳ trong ''<math>V</math>''. Để xây dựng ''<math>M</math>'', mỗi cột ''<math>j</math>'' của ''<math>M</math>'' là một vectơ

: <math>\begin{pmatrix} a_{1j} & \cdots & a_{mj} \end{pmatrix}^\textsf{T}</math>

tương ứng với ''<math>f(\mathbf{v}_j)</math>'' được định nghĩa như trên. Để định nghĩa một cách rõ ràng hơn, đối với một cột ''<math>j</math>'' tương ứng với ánh xạ ''<math>f(\mathbf{v}_j)</math>''thì

: <math>\mathbf{M} = \begin{pmatrix}
  \ \cdots & a_{1j} & \cdots\  \\
           & \vdots &          \\
           & a_{mj} &
\end{pmatrix}</math>

trong đó '''''<math>M</math>''''' là ma trận của biến đổi ''<math>f</math>''. Nói cách khác, ở mỗi cột ''<math>j = 1, \cdots, n</math>'' có một vectơ tương ứng ''<math>f(\mathbf{v}_j)</math>''với tọa độ <math>a_{1j} + \cdots + a_{mj}</math> là các phần tử của cột ''<math>j</math>''. Một ánh xạ tuyến tính có thể được biểu diễn bởi nhiều ma trận. Điều này là bởi các giá trị của các phần tử trong một ma trận phụ thuộc vào cơ sở được chọn.

=== Ví dụ của ma trận biến đổi tuyến tính ===
Trong [[không gian hai chiều]] '''R'''<sup>2</sup> các ánh xạ tuyến tính được biểu diễn bởi các [[ma trận thực 2 × 2]]. Dưới đây là một số ví dụ:

* [[phép quay]] (ngược chiều kim đồng hồ)
** một góc 90 độ:
**: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}</math>
** một góc ''θ'':
**: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}</math>
* [[Phép phản xạ (toán học)|phép phản xạ]]
** qua trục ''x'':
**: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}</math>
** qua trục ''y'':
**: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}</math>
** qua một đường thẳng xiên một góc ''θ'':
**:<math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix}\cos{2 \theta} & \sin{2 \theta} \\ \sin{2 \theta} & -\cos{2 \theta} \end{pmatrix}</math>
* phép [[phóng tỉ lệ]] với hệ số nhân 2 theo mọi hướng:
*: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = 2\mathbf{I}</math>
* [[phép trượt ngang]]:
*: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & m\\ 0 & 1\end{pmatrix}</math>
* [[phép co]] (''squeeze''):
*: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & \frac{1}{k}\end{pmatrix}</math>
* [[Phép chiếu tuyến tính|phép chiếu]] lên trục ''y'':
*: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.</math>

== Không gian các ánh xạ tuyến tính ==

Ánh xạ hợp của các ánh xạ tuyến tính cũng là ánh xạ tuyến tính: nếu các ánh xạ   {{math|''f'': ''V'' → ''W''}} và {{math|''g'': ''W'' → ''Z''}} là tuyến tính, thì [[Hàm hợp|ánh xạ hợp]] <math display="inline">g \circ f: V \rightarrow Z</math> cũng vậy. Từ đây suy ra rằng [[Lớp (lý thuyết tập hợp)|lớp]] các không gian vectơ trên một trường cho trước ''K'', cùng với các ''K''-ánh xạ tuyến tính là các [[cấu xạ]], tạo thành một [[Phạm trù (toán học)|phạm trù]].

[[Ánh xạ|Ánh xạ ngược]] của một ánh xạ tuyến tính nếu tồn tại cũng là tuyến tính.

Nếu <math display="inline">f_1: V \rightarrow W</math> và <math display="inline">f_2: V \rightarrow W</math> là tuyến tính, thì hàm tổng của chúng <math>f_1 + f_2</math> cũng tuyến tính, được định nghĩa là <math>(f_1 + f_2)(x) = f_1(x) + f_2(x)</math>.

Nếu <math display="inline">f: V \rightarrow W</math> là tuyến tính và ''<math display="inline">\alpha</math>'' là một phần tử của trường bên dưới ''<math display="inline">K</math>'', thì ánh xạ ''<math display="inline">\alpha f</math>'', định nghĩa bởi ''<math display="inline">(\alpha f)(x) = \alpha (f(x))</math>'' cũng là tuyến tính.

Vì thế tập hợp ''<math display="inline">\mathcal{L}(V, W)</math>'' gồm các ánh xạ tuyến tính từ ''<math display="inline">V</math>'' vào ''<math display="inline">W</math>'' cũng là một không gian vectơ trên trường ''<math display="inline">K</math>'',<ref>{{chú thích sách|last=Axler|first=Sheldon|title=Linear Algebra Done Right|url=https://archive.org/details/linearalgebradon0000axle|publisher=[[Springer Publishing]]|year=2015|isbn=978-3-319-11079-0|edition=3rd|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|location=|pages=[https://archive.org/details/linearalgebradon0000axle/page/52 52]|issn=0172-6056}}</ref> đôi khi ký hiệu là ''<math display="inline">\operatorname{Hom}(V, W)</math>''.<ref name=":1">{{chú thích sách|last=Tu|first=Loring|title=An Introduction to Manifolds|url=https://archive.org/details/introductiontoma00lwtu_506|date=|publisher=[[Springer Publishing|Springer]]|year=2011|isbn=978-1-4419-7399-3|edition=2nd|series=Universitext|pages=[https://archive.org/details/introductiontoma00lwtu_506/page/n37 19]|issn=0172-5939}}</ref> Hơn nữa, trong trường hợp ''<math display="inline">V = W</math>'' thì không gian này, ký hiệu ''<math display="inline">\operatorname{End}(V)</math>'', là một [[đại số kết hợp]] dưới phép [[Hàm hợp|hợp ánh xạ]], vì hợp của hai ánh xạ tuyến tính cũng là một ánh xạ tuyến tính, và phép hợp ánh xạ có tính kết hợp. Trường hợp này được nói cụ thể hơn ở dưới.

Trong trường hợp hữu hạn chiều, nếu các cơ sở đã được chọn trước thì phép hợp các ánh xạ tuyến tính tương ứng với phép nhân ma trận, phép cộng các ánh xạ tuyến tính tương ứng với phép [[cộng ma trận]], và [[phép nhân vô hướng]] các ánh xạ tuyến tính tương ứng với phép nhân ma trận với vô hướng.

=== Tự đồng cấu, tự đẳng cấu ===
{{main|Tự đồng cấu|Tự đẳng cấu}}
Một biến đổi tuyến tính <math display="inline">f: V \rightarrow V</math> là một [[tự đồng cấu]] trên ''<math display="inline">V</math>''; tập hợp các tự đồng cấu ''<math display="inline">\operatorname{End}(V)</math>'' cùng với phép cộng, phép hợp và phép nhân vô hướng được định nghĩa như trên tạo thành một đại số kết hợp có đơn vị trên trường ''<math display="inline">K</math>'' (và cụ thể hơn là một [[vành]]). Phần tử đơn vị phép nhân của đại số này là [[ánh xạ đồng nhất]] <math display="inline">\operatorname{id}: V \rightarrow V</math>.

Một tự đồng cấu trên ''<math display="inline">V</math>'' mà đồng thời cũng là một [[Phép đẳng cấu|đẳng cấu]] được gọi là một [[tự đẳng cấu]] trên ''<math display="inline">V</math>''. Hợp của hai tự đẳng cấu cũng là một tự đẳng cấu, và tập hợp các tự đẳng cấu trên ''<math display="inline">V</math>'' tạo thành một [[Nhóm (toán học)|nhóm]] gọi là [[Nhóm tự đẳng cấu|nhóm các tự đẳng cấu]] trên ''<math display="inline">V</math>'' và được ký hiệu là ''<math display="inline">\operatorname{Aut}(V)</math>'' hay ''<math display="inline">\operatorname{GL}(V)</math>''. Vì các tự đẳng cấu cũng chính là các tự đồng cấu có ánh xạ ngược dưới phép hợp ánh xạ nên ''<math display="inline">\operatorname{Aut}(V)</math>'' là nhóm các [[Đơn vị (lý thuyết vành)|đơn vị]] trên vành ''<math display="inline">\operatorname{End}(V)</math>''.

Nếu ''<math display="inline">V</math>'' có số chiều hữu hạn ''<math display="inline">n</math>'', thì ''<math display="inline">\operatorname{End}(V)</math>'' [[đẳng cấu]] với [[đại số kết hợp]] gồm các ma trận vuông ''<math display="inline">n \times n</math>'' với các phần tử trong ''<math display="inline">K</math>''. Nhóm các tự đẳng cấu trên ''<math display="inline">V</math>'' đẳng cấu với [[nhóm tuyến tính tổng quát]] ''<math display="inline">\operatorname{GL}(n, K)</math>'' gồm các ma trận khả nghịch ''<math display="inline">n \times n</math>'' với các phần tử trong ''<math display="inline">K</math>''.

== Hạt nhân, ảnh và định lý về hạng ==
{{main|Hạt nhân (đại số tuyến tính)|Ảnh (toán học)|Hạng (ma trận)|Định lý về hạng}} Nếu biến đổi <math>f: V \rightarrow W</math> là tuyến tính, ta định nghĩa '''[[Hạt nhân (đại số tuyến tính)|hạt nhân]]''' của ''<math>f</math>'' ký hiệu <math>\ker(f)</math>, '''ảnh''' của ''<math>f</math>'' và '''[[Hạng (đại số tuyến tính)|hạng]]''' của ''<math>f</math>'' như sau:

:<math>\operatorname{\ker}(f)=\{\,x\in V:f(x)= \mathbf {0}\,\}</math>
:<math>\operatorname{im}(f)=\{\,f(x):x\in V\,\}</math>

<math>\ker(f)</math> là một [[không gian con]] của <math>V</math> và <math>\operatorname{im}(f)</math> là không gian con của <math>W</math>.  Công thức sau đây được xem là [[định lý về số chiều]]:

:<math>
  \dim(\ker(f)) 
+ \dim(\operatorname{im}(f)) 
= \dim(V) \,</math>.<ref>{{harvnb|Horn|Johnson|2013|loc=0.2.3 Vector spaces associated with a matrix or linear transformation, p. 6}}</ref>

Số <math>\dim(\operatorname{im}(f))</math> cũng được gọi là ''hạng của ''<math>f</math> ký hiệu là''' <math>\operatorname{rank}(f)</math>''', hoặc''' <math>\rho(f)</math>''';'''<ref name=":0">{{chú thích sách|last=Katznelson|first=Yitzhak|title=A (Terse) Introduction to Linear Algebra|url=https://archive.org/details/terseintroductio0000katz|last2=Katznelson|first2=Yonatan R.|publisher=[[American Mathematical Society]]|year=2008|isbn=978-0-8218-4419-9|location=|pages=[https://archive.org/details/terseintroductio0000katz/page/52 52]}}</ref>''' còn số <math>
\dim(\ker(f)) 
</math> được gọi là ''số vô hiệu (nullity) của ''<math>f</math> và ký hiệu là <math>\operatorname{null}(f)</math> hay <math>\nu(f)</math>. Nếu <math>V</math> và <math>W</math> là hữu hạn chiều, và ''<math>f</math>'' được biểu diễn bởi ma trận <math>A</math>, thì hạng và số vô hiệu của ''<math>f</math>'' tương ứng bằng [[hạng (ma trận)|hạng]] và [[Hạt nhân (đại số tuyến tính)|số vô hiệu]] của ma trận <math>A</math>.

== Phân loại đại số của các biến đổi tuyến tính ==

Không có cách phân loại các biến đổi tuyến tính nào là triệt để. Sau đây là một số phân loại đặc biệt mà không xét bất kỳ cấu trúc bổ sung nào trên không gian vectơ.

Cho <math>V</math> và <math>W</math> là các không gian vectơ trên một trường <math>F</math> và cho <math>T: V \rightarrow W</math> là một ánh xạ tuyến tính.

'''Định nghĩa''': <math>T</math> được gọi là ''biến đổi [[đơn ánh]]'' hay là một ''[[đơn cấu]]'' không gian vectơ nếu một trong số các điều kiện tương đương sau đây được thỏa mãn:
# <math>T</math> là một ánh xạ [[đơn ánh]] giữa các tập hợp
# <math>\ker T= \{\mathbf{0}_V\}</math>
# <math>dim(\ker T)=0</math>
# <math>T</math> là [[đơn cấu]] hay ''khử trái được'', nói cách khác, đối với bất kỳ một không gian vectơ <math>U</math> và một cặp ánh xạ tuyến tính <math>R: U \rightarrow V</math> và <math>S: U \rightarrow V</math>,  từ đẳng thức  <math>TR=TS</math> suy ra <math>R=S</math>.
# <math>T</math> ''khả nghịch trái'', tức là tồn tại một ánh xạ tuyến tính <math>S: W \rightarrow V</math> sao cho <math>ST</math> là [[ánh xạ đồng nhất]] trên <math>V</math>.

'''Định nghĩa''': <math>T</math> được gọi là ''biến đổi [[toàn ánh]]'' hay một ''[[toàn cấu]]'' không gian vectơ nếu một trong các điều kiện tương đương sau đây được thỏa mãn:
# <math>T</math> là một ánh xạ [[toàn ánh]] giữa các tập hợp
# <math>\text{coker } T= \{\mathbf{0}_W\}</math>
# <math>T</math> là [[toàn cấu]] hay ''khử phải được'', nói cách khác, đối với bất kỳ một không gian vectơ <math>U</math> và một cặp ánh xạ tuyến tính <math>R: W \rightarrow U</math> và <math>S: W \rightarrow U</math>, từ đẳng thức <math>RT=ST</math> suy ra <math>R=S</math>.
# <math>T</math> ''khả nghịch phải'', tức là tồn tại một ánh xạ tuyến tính <math>S: W \rightarrow V</math> sao cho <math>TS</math> là ánh xạ đồng nhất trên <math>W</math>.

'''Định nghĩa''': <math>T</math> được gọi là một ''[[đẳng cấu]]'' nếu nó đồng thời là khả nghịch trái và là khả nghịch phải. Điều này là tương đương với <math>T</math> đồng thời là đơn ánh và là toàn ánh (tức là một [[song ánh]]) hay <math>T</math> đồng thời là một đơn cấu và là một toàn cấu.

Cho <math>T: V \rightarrow V</math> gọi là một [[tự đồng cấu]], ta có:
* Nếu với một số nguyên dương <math>n</math>, tác động lặp lần thứ <math>n</math> của <math>T</math> (tức là <math>T^n</math>) bằng 0 thì <math>T</math> được gọi là [[lũy linh]].
* Nếu <math>T^2=T</math>, thì <math>T</math> được gọi là [[lũy đẳng]].
* Nếu <math>T=kI</math>, trong đó <math>k</math> là một vô hướng thì <math>T</math> gọi là một phép phóng tỉ lệ hay phép biến đổi nhân vô hướng.

== Chuyển cơ sở ==
{{main|Cơ sở (đại số tuyến tính)|Phép chuyển cơ sở}}
Cho một ánh xạ tuyến tính và là một [[tự đồng cấu]] có biểu diễn ma trận là ''A'', đối với cùng một cơ sở ''B'' của không gian, ''A'' biến đổi tọa độ vectơ [u] thành [v] = ''A''[u]. Khi chuyển từ một cơ sở khác sang ''B'' ta thực hiện biến đổi [v] = ''B''[v'].

Thay vào biểu thức thứ nhất ta được
:<math>B\left[v'\right] = AB\left[u'\right]</math>

suy ra
:<math>\left[v'\right] = B^{-1}AB\left[u'\right] = A'\left[u'\right].</math>

Vì vậy, ma trận của biến đổi ấy trong cơ sở kia là ''A′'' = ''B''<sup>−1</sup>''AB'', trong đó ''B'' là ma trận của cơ sở đã cho. Hai ma trận ''A'' và ''A''' được gọi là hai [[ma trận đồng dạng]].

== Ứng dụng ==
Một ứng dụng cụ thể của ánh xạ tuyến tính là cho các biến đổi hình học, ví dụ như trong [[đồ họa máy tính]], khi các phép di chuyển tịnh tiến, quay và phóng tỉ lệ một đối tượng 2D hoặc 3D được thực hiện nhờ sử dụng một [[Ma trận của biến đổi tuyến tính|ma trận biến đổi]]. Các ánh xạ tuyến tính cũng được sử dụng như một cơ chế để mô tả sự thay đổi: như trong giải tích ứng với [[đạo hàm]]; hay trong [[thuyết tương đối]], được dùng như một phương tiện để theo dõi các biến đổi cục bộ trong các hệ quy chiếu.

Một ứng dụng khác của các biến đổi tuyến tính là trong việc [[tối ưu hóa trình biên dịch]] đối với các đoạn mã lồng nhau, và trong việc song song hóa kỹ thuật [[Trình biên dịch|biên dịch]].

== Xem thêm==
*[[Đại số tuyến tính]]
*[[Ma trận (toán học)|Ma trận]]
*[[Không gian vectơ]]
*[[Phiếm hàm tuyến tính]]
*[[Giá trị riêng và vectơ riêng]]

==Chú thích==
{{tham khảo|30em}}

== Tham khảo sách ==

* {{chú thích sách|title=Linear Algebra Done Right|url=https://archive.org/details/linearalgebradon0000axle|last=Axler|first=Sheldon Jay|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|year=2015|isbn=978-3-319-11079-0|edition=3rd|author-link=Sheldon Axler}}
* {{chú thích sách|title=[[Bronshtein and Semendyayev|Handbook of Mathematics]]|last1=Bronshtein|first1=I. N.|last2=Semendyayev|first2=K. A.|publisher=Springer-Verlag|year=2004|isbn=3-540-43491-7|edition=4th|location=New York}}
* {{chú thích sách|title=Finite-Dimensional Vector Spaces|last1=Halmos|first1=Paul R.|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1974|isbn=0-387-90093-4|location=New York|author1-link=Paul R. Halmos}}
* {{chú thích sách|title=Matrix Analysis|last1=Horn|first1=Roger A.|last2=Johnson|first2=Charles R.|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=2013|isbn=978-0-521-83940-2|edition=Second}}
* {{Citation|last1=Lang|first1=Serge|author1-link=Serge Lang|title=Linear Algebra|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=New York|isbn=0-387-96412-6|edition=Third|year=1987}}
* {{chú thích sách|title=[[Bronshtein and Semendyayev|Handbook of Mathematics]]|last1=Bronshtein|first1=I. N.|last2=Semendyayev|first2=K. A.|publisher=Springer-Verlag|year=2004|isbn=3-540-43491-7|edition=4th|location=New York}}
* {{chú thích sách|title=A (Terse) Introduction to Linear Algebra|url=https://archive.org/details/terseintroductio0000katz|last=Katznelson|first=Yitzhak|last2=Katznelson|first2=Yonatan R.|publisher=[[American Mathematical Society]]|year=2008|isbn=978-0-8218-4419-9|author-link=Yitzhak Katznelson}}
* {{chú thích sách|url=https://archive.org/details/PrinciplesOfMathematicalAnalysis|title=Principles of Mathematical Analysis|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGraw–Hill|year=1976|isbn=978-0-07-054235-8|edition=3rd|series=Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics|location=New York|author-link=Walter Rudin}}
* {{chú thích sách|title=An Introduction to Manifolds|last=Tu|first=Loring W.|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|year=2011|isbn=978-0-8218-4419-9|edition=2nd|pages=|author-link=Loring W. Tu}}

{{đại số tuyến tính}}

[[Thể loại:Đại số trừu tượng]]
[[Thể loại:Đại số tuyến tính]]
[[Thể loại:Hàm số và ánh xạ]]