Xem mã nguồn của Các bài toán của Landau

{{short description|Four basic unsolved problems about prime numbers}}
[[Tập_tin:Edmund_Landau.jpg|nhỏ|[[Edmund Landau]], nhà toán học Đức]]

Tại [[Đại hội Toán học Quốc tế|hội nghị toán học quốc tế]] năm 1912, [[Edmund Landau]] đã liệt kê ra bốn bài toán về số nguyên tố. Các bài toán được nói theo lời của ông "chưa thể tấn công được tại trạng thái hiện tại của toán học" và nay được gọi là '''các bài toán của Landau'''. Các bài toán đó như sau:

# [[Giả thuyết Goldbach]]: Liệu mọi số chẵn lớn hơn 2 có thể viết thành tổng của hai số nguyên tố?
# [[Giả thuyết số nguyên tố sinh đôi]]: Liệu có vô số số nguyên tố ''p'' sao cho ''p''&#x2009;+&#x2009;2 cũng là số nguyên tố?
# [[Giả thuyết Legendre]]: Liệu có luôn tồn tại số nguyên tố nằm giữa hai [[số chính phương]] liên tiếp?
# Liệu có vô số số nguyên tố ''p'' sao cho ''p''&#x2009;−&#x2009;1 là số chính phương? Nói cách khác: liệu có vô số nguyên tố có dạng ''n''<sup>2</sup>&#x2009;+&#x2009;1?

{{As of|2023}}, cả bốn bài toán vẫn chưa được giải.<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Pintz|first=János|date=2009|title=Landau’s problems on primes|url=https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2009__21_2_357_0/|journal=Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux|volume=21|issue=2|pages=357–404|doi=10.5802/jtnb.676|issn=1246-7405}}</ref>

== Quá trình giải ==

=== Giả thuyết Goldbach ===
[[Giả thuyết yếu của Goldbach]] phát biểu rằng mọi số lẻ lớn hơn 5 có thể viết thành của ba số nguyên tố, giả thuyết này là hệ quả của giả thuyết Goldbach. [[Ivan Vinogradov]] chứng minh giả thuyết yếu cho ''n'' đủ lớn (xem [[định lý Vinogradov]]) trong 1937,<ref>I. M. Vinogradov. Representation of an odd number as a sum of three primes, ''Doklady Akademii Nauk SSSR'', '''15''' (1937), pp. 291-294.</ref> lúc sau được [[Harald Helfgott]] mở rộng thành bài chứng minh đầy đủ cho giả thuyết yếu trong 2013.<ref>{{cite arXiv|eprint=1305.2897|title=Major arcs for Goldbach's theorem|last=Helfgott|first=H.A.|class=math.NT|year=2013}}</ref><ref>{{cite arXiv|eprint=1205.5252|title=Minor arcs for Goldbach's problem|last=Helfgott|first=H.A.|class=math.NT|year=2012}}</ref><ref>{{cite arXiv|eprint=1312.7748|title=The ternary Goldbach conjecture is true|last=Helfgott|first=H.A.|class=math.NT|year=2013}}</ref>

[[Định lý Chen]], một dạng yếu hơn khác của giả thuyết, phát biểu rằng cho mọi ''n'' đủ lớn, <math>2n=p+q</math> trong đó ''p'' là số nguyên tố còn ''q'' là số nguyên tố hoặc [[Số nửa nguyên tố|nửa nguyên tố]].<ref group="note">Số nửa nguyên tố là tích của hai số nguyên tố</ref> Bordignon, Johnston, và Starichkova,<ref>Matteo Bordignon, Daniel R. Johnston, and Valeriia Starichkova, [[arxiv:2207.09452|An explicit version of Chen's theorem]]</ref> sửa lại và củng cố bài của Yamada,<ref>{{cite arXiv|last=Yamada|first=Tomohiro|eprint=1511.03409|title=Explicit Chen's theorem|class=math.NT|date = ngày 11 tháng 11 năm 2015}}</ref> đưa ra bản cụ thể hơn của định lý Chen: mọi số chẵn lớn hơn <math>e^{e^{34.5}} \approx 4.2\cdot10^{417776432441823}</math> là tổng của số nguyên tố và tích của tối đa hai số hai nguyên tố. Bordignon & Starichkova<ref>Matteo Bordignon, Valeriia Starichkova, [[arxiv:2211.08844|An explicit version of Chen's theorem assuming the Generalized Riemann Hypothesis]]</ref> giảm nó đi còn về <math>e^{e^{15.85}} \approx 3.6\cdot10^{3321634}</math> nếu giả sử [[Giả thuyết Riemann tổng quát]] cho [[L-hàm Dirichlet]].

[[Hugh Montgomery (mathematician)|Montgomery]] và [[Robert Charles Vaughan (mathematician)|Vaughan]] đã chứng minh tập ngoại lệ của các số chẵn không thể viết thành tổng của hai số nguyên tố có mật độ bằng không, mặc dù tập này vẫn chưa được chứng minh là hữu hạn.<ref>{{chú thích tạp chí|last1=Montgomery|first1=H. L.|last2=Vaughan|first2=R. C.|year=1975|title=The exceptional set in Goldbach's problem|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa27/aa27126.pdf|journal=Acta Arithmetica|volume=27|pages=353–370|doi=10.4064/aa-27-1-353-370|doi-access=free}}</ref> Cận tốt nhất hiện tại trên tập ngoại lệ là <math>E(x) < x^{0.72}</math> (với ''x'' đủ lớn) được tìm bởi [[János Pintz|Pintz]],<ref>Janos Pintz, [[arxiv:1804.09084v2|A new explicit formula in the additive theory of primes with applications II. The exceptional set in Goldbach's problem]], 2018 preprint</ref><ref>http://real.mtak.hu/124681/1/Cikk2020Rivista.pdf</ref> và <math>E(x) \ll x^{0.5}\log^3 x</math> dưới giả định [[Giả thuyết Riemann|RH]], do [[Daniel Goldston|Goldston]] tìm ra.<ref>D.A. Goldston, On Hardy and Littlewood’s contribution to the Goldbach conjecture. Proceedings of the Amalfi Conference on Analytic Number Theory (Maiori, 1989), pp. 115–155, Univ. Salerno, Salerno, 1992.</ref>

[[Yuri Linnik|Linnik]] đã chứng minh rằng các số chẵn đủ lớn có thể viết thành của tổng của hai số nguyên tố và một hằng số [[Kết quả hiệu quả trong lý thuyết số|không hiệu quả]] ''K'' là luỹ thừa của 2.<ref>Yu V Linnik, Prime numbers and powers of two, ''Trudy Matematicheskogo Instituta imeni VA Steklova'' '''38''' (1951), pp. 152-169.</ref> Sau rất nhiều cải tiến (xem bài của Pintz<ref>János Pintz, Approximations to the Goldbach and twin prime problem and gaps between consecutive primes, Probability and Number Theory (Kanazawa, 2005), Advanced Studies in Pure Mathematics 49, pp. 323–365. Math. Soc. Japan, Tokyo, 2007.</ref>), [[János Pintz|Pintz]] và [[Imre Z. Ruzsa|Ruzsa]]<ref>{{chú thích tạp chí|last1=Pintz|first1=J.|last2=Ruzsa|first2=I. Z.|authorlink2=Imre Ruzsa|date=July 2020|title=On Linnik's approximation to Goldbach's problem. II|url=http://real.mtak.hu/124682/1/PintzRuzsa200219.pdf|journal=[[Acta Mathematica Hungarica]]|volume=161|issue=2|pages=569–582|doi=10.1007/s10474-020-01077-8|authorlink1=János Pintz|s2cid=225457520}}</ref> đã rút về ''K'' = 8.

=== Giả thuyết số nguyên tố sinh đôi ===
[[Yitang Zhang]] đã chứng minh rằng<ref>Yitang Zhang, [http://annals.math.princeton.edu/2014/179-3/p07 Bounded gaps between primes], ''Annals of Mathematics'' '''179''' (2014), pp. 1121–1174 from Volume 179 (2014), Issue 3</ref> có vô số cặp số nguyên tố có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 70 triệu, kết quả này sau được cải tiến chỉ còn 246 nhờ nỗ lực hợp tác của [[dự án Polymath]].<ref>{{chú thích tạp chí|author=D.H.J. Polymath|year=2014|title=Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes|journal=Research in the Mathematical Sciences|volume=1|page=12|arxiv=1407.4897|doi=10.1186/s40687-014-0012-7|mr=3373710|doi-access=free|number=12|s2cid=119699189}}</ref> Dưới [[giả thuyết Elliott–Halberstam]] tổng quát, kết quả chỉ lui về còn 6, mở rộng các công trình đi trước của [[James Maynard (mathematician)|Maynard]]<ref>J. Maynard (2015), [[arxiv:1311.4600|Small gaps between primes]]. ''Annals of Mathematics'' '''181'''(1): 383-413.</ref> và [[Daniel Goldston|Goldston]], [[János Pintz|Pintz]] &#x26; [[Cem Yıldırım|Yıldırım]].<ref>{{chú thích tạp chí|last1=Alan Goldston|first1=Daniel|last2=Motohashi|first2=Yoichi|last3=Pintz|first3=János|last4=Yalçın Yıldırım|first4=Cem|year=2006|title=Small Gaps between Primes Exist|url=http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pja/1146576181|journal=Proceedings of the Japan Academy, Series A|volume=82|issue=4|pages=61–65|arxiv=math/0505300|doi=10.3792/pjaa.82.61|s2cid=18847478}}</ref>

[[Trần Cảnh Nhuận]] chứng minh có vô số số nguyên tố ''p'' (sau được gọi là [[số nguyên tố Chen]]) sao cho ''p''&#x2009;+&#x2009;2 là số nguyên tố hoặc nửa nguyên tố.

=== Giả thuyết Legendre ===
Ta chỉ cần kiểm tra mỗi khoảng cách số nguyên tố bắt đầu từ ''p'' nhỏ hơn <math>2 \sqrt p</math>. Bảng của các khoảng cách tối đại cho thấy [[giả thuyết]] vẫn đúng cho đến 2<sup>64</sup> ≈ 1.8{{e|19}}.<ref>Dr. Thomas R. Nicely, [https://faculty.lynchburg.edu/~nicely/gaps/gaplist.html First occurrence prime gaps]</ref> Nếu có [[ví dụ phản chứng]] gần kích thước đó thì nó cần phải có khoảng cách gấp trăm triệu lần khoảng cách trung bình.

Järviniemi,<ref>Olli Järviniemi, [[arxiv:2212.10965|On large differences between consecutive primes]], arXiv preprint (2022). arXiv:2212.10965 [math.NT]</ref> cải tiến bài của Heath-Brown<ref>{{chú thích tạp chí|last1=Heath-Brown|first1=Roger|date=October 2020|title=The Differences Between Consecutive Primes, V|url=https://ieeexplore.ieee.org/document/9687402|journal=International Mathematics Research Notices|volume=2021|issue=22|pages=17514–17562|doi=10.1093/imrn/rnz295|doi-access=free}}</ref> và Matomäki,<ref>{{chú thích tạp chí|author=Kaisa Matomäki|year=2007|title=Large differences between consecutive primes|journal=Quarterly Journal of Mathematics|volume=58|issue=4|pages=489–518|doi=10.1093/qmath/ham021}}.</ref> chứng minh rằng có tối đa <math>x^{7/100+\varepsilon}</math> số nguyên tố ngoại lệ có khoảng cách đứng sau lớn hơn <math>\sqrt{2p}</math>; cụ thể hơn, nghĩa là

: <math>\sum_{\stackrel{p_{n+1}-p_n > \sqrt{p_n}^{1/2}}{p_n \leq x}}p_{n+1}-p_n\ll x^{0.57+\varepsilon}.</math>

Một kết quả được tìm bởi [[Albert Ingham|Ingham]] chứng minh rằng tồn tại số nguyên tố nằm giữa <math>n^3</math> và <math>(n+1)^3</math> cho ''n'' đủ lớn.<ref>{{chú thích tạp chí|last=Ingham|first=A. E.|year=1937|title=On the difference between consecutive primes|journal=Quarterly Journal of Mathematics|volume=8|issue=1|pages=255–266|bibcode=1937QJMat...8..255I|doi=10.1093/qmath/os-8.1.255}}</ref>

=== Số nguyên tố gần chính phương ===
Bài toán thứ tư của Landau hỏi liệu có vô số số nguyên tố có dạng <math>p=n^2+1</math> với ''n'' nguyên. (Danh sách các số nguyên tố dưới dạng này nằm trong {{OEIS link|A002496}}.) Bài toán này là hệ quả của một số giả thuyết lý thuyết số khác chẳng hạn như [[giả thuyết Bunyakovsky]] và [[giả thuyết Bateman–Horn]]. {{As of|2023}}, bài toán này vẫn còn mở.

Một ví dụ của các số nguyên tố gần chính phương là số nguyên tố Fermat. [[Henryk Iwaniec]] chứng minh có vô số số có dạng <math>n^2+1</math> và có tối đa hai ước nguyên tố.<ref>{{chú thích tạp chí|last=Iwaniec|first=H.|year=1978|title=Almost-primes represented by quadratic polynomials|journal=[[Inventiones Mathematicae]]|volume=47|issue=2|pages=178–188|bibcode=1978InMat..47..171I|doi=10.1007/BF01578070|s2cid=122656097}}</ref><ref>{{chú thích tạp chí|author=Robert J. Lemke Oliver|year=2012|title=Almost-primes represented by quadratic polynomials|url=http://www.stanford.edu/~rjlo/papers/04-Quadratic.pdf|journal=Acta Arithmetica|volume=151|issue=3|pages=241–261|doi=10.4064/aa151-3-2}}{{Liên kết hỏng|date = ngày 24 tháng 5 năm 2023 |bot=InternetArchiveBot }}.</ref> [[Nesmith Ankeny|Ankeny]]<ref>[[Nesmith Ankeny|N. C. Ankeny]], Representations of primes by quadratic forms, Amer. J. Math. 74:4 (1952), pp. 913–919.</ref> và [[Jonas Kubilius|Kubilius]]<ref>[[Jonas Kubilius|J. Kubilius]], On a problem in the n-dimensional analytic theory of numbers, Vilniaus Valst. Univ. Mokslo Darbai. Mat. Fiz. Chem. Mokslu Ser., 4:5–43, 1955.</ref> chứng minh rằng nếu giả sử [[giả thuyết Riemann mở rộng]] cho các [[L-hàm số|''L''-hàm số]] trên [[ký tự Hecke]], thì có vô số số nguyên tố dưới dạng <math>p=x^2+y^2</math> với <math>y=O(\log p)</math>. Giả thuyết Landau là dạng mạnh hơn khi <math>y=1</math>. Kết quả tốt nhất không điều kiện là của Harman & Lewis<ref>G. Harman and P. Lewis, Gaussian primes in narrow sectors. Mathematika, 48(1-2):119–135 (2003), 2001</ref> và nó cho <math>y=O(p^{0.119})</math>.

Merikoski,<ref>Jori Merikoski, Largest prime factor of n^2+1, J. Eur. Math. Soc. (2022), published online first. [http://arxiv.org/abs/1908.08816 arXiv:1908.08816 &#91;math.NT&#93;]</ref> cải tiến từ các công trình trước,<ref>{{citation|last1=de la Bretèche|first1=Régis|title=Niveau de répartition des polynômes quadratiques et crible majorant pour les entiers friables|journal=[[Journal of the European Mathematical Society]]|volume=22|issue=5|pages=1577–1624|year=2020|arxiv=1703.03197|doi=10.4171/JEMS/951|last2=Drappeau|first2=Sary|s2cid=146808221}}</ref><ref>Jean-Marc Deshouillers and Henryk Iwaniec, [https://eudml.org/doc/74560 On the greatest prime factor of <math>n^2+1</math>], ''Annales de l'Institut Fourier'' '''32''':4 (1982), pp. 1–11.</ref><ref>{{chú thích tạp chí|last=Hooley|first=Christopher|date=July 1967|title=On the greatest prime factor of a quadratic polynomial|journal=Acta Mathematica|volume=117|pages=281–299|doi=10.1007/BF02395047|doi-access=free}}</ref><ref>{{citation|author=J. Todd|title=A problem on arc tangent relations|journal=American Mathematical Monthly|volume=56|issue=8|pages=517–528|year=1949|doi=10.2307/2305526|jstor=2305526}}</ref><ref>J. Ivanov, Uber die Primteiler der Zahlen vonder Form A+x^2, Bull. Acad. Sci. St. Petersburg 3 (1895), 361–367.</ref> chứng minh có vô số số nguyên dạng <math>n^2+1</math> có ước nguyên tố lớn nhất của nó ít nhất <math>n^{1.279}</math>.<ref group="note">Merikoski đưa ra hai giả thuyết sẽ tăng số mũ đó lên 1.286 hoặc 1.312, tương ứng.</ref> Thay số mũ đó với 2 sẽ ra giả thuyết Landau.

[[Sàng Brun]] tìm ra cận trên của mật độ các số nguyên tố có dạng <math>p=n^2+1</math>: có <math>O(\sqrt x/\log x)</math> số nguyên tố như thế cho tới <math>x</math>. Do đó [[Gần chắc chắn theo tiệm cận|hầu như]] mọi số có dạng <math>n^2+1</math> là hợp số.

== Xem thêm ==

* [[Danh sách vấn đề mở trong toán học]]
* [[Các bài toán của Hilbert]]

== Chú thích ==
{{tham khảo|group=note}}

== Tham khảo ==
{{tham khảo|30em}}

== Liên kết ngoài ==

* {{MathWorld|urlname=LandausProblems|title=Landau's Problems}}

{{Giả thuyết số nguyên tố}}

[[Thể loại:Vấn đề mở trong lý thuyết số]]
[[Thể loại:Giả thuyết về số nguyên tố]]