Xem mã nguồn của Công thức ước lượng giai thừa Ramanujan

Trong toán học, '''công thức ước lượng giai thừa Ramanujan'''<ref>{{Chú thích web|url=https://www.johndcook.com/blog/2012/09/25/ramanujans-factorial-approximation/|tựa đề=Ramanujan factorial approximation|ngày=2012-09-25|website=www.johndcook.com|ngôn ngữ=en-US|ngày truy cập=2024-07-26}}</ref><ref>{{Chú thích tạp chí|last=Mortici|first=Cristinel|date=2010-11-15|title=Ramanujan formula for the generalized Stirling approximation|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0096300310008295|journal=Applied Mathematics and Computation|volume=217|issue=6|pages=2579–2585|doi=10.1016/j.amc.2010.07.070|issn=0096-3003}}</ref> thường được gọi ngắn gọn là '''xấp xỉ Ramanujan''' là công thức biểu thị gần đúng cho tập [[giai thừa]]. Giống như [[xấp xỉ Stirling|công thức Stirling]] nhưng điểm khác biệt là công thức cho ra kết quả có độ chính xác cao hơn, và công thức được đặt theo tên của nhà toán học người [[Ấn Độ]] [[Srinivasa Ramanujan]].
Phiên bản của công thức hay tổng của hàm <math>ln(n)</math> thường được ứng dụng hỗ trợ thay thế với độ chính xác cao: 
<math display="block">\ln(n!) \approx n\ln(n) - n + \frac {\ln(n(1+4n(1+2n)))} {6} + \frac {\ln(\pi)} {2}.</math>
Công thức được biểu diễn như sau
<math display="block"> n! \approx \sqrt \pi \left(\frac {n} {e}\right)^{n} \sqrt[6] {{8n^3} + {4n^2} + n + \frac {1} {30}}</math>
Nơi hai đại lượng được chỉ định là tiệm cận, khá chính xác. Công thức được nêu ra trong một bài thi quốc gia ở [[Hoa Kỳ|Mỹ]].<ref>{{Chú thích web|url=https://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/6-4-points-ramanujan-came-approximation-factorial-shown-resembles-stirling-s-famous-approx-q38844077|tựa đề=Solved 6. (4 Points) Ramanujan came up with an approximation {{!}} Chegg.com|website=www.chegg.com|ngày truy cập=2024-07-26}}</ref> Sự cải tiến của công thức được bàn luận trên diễn đàn arXiv.<ref name=":1">https://arxiv.org/abs/1212.1428</ref><ref>https://arxiv.org/abs/2010.15512</ref><ref>https://arxiv.org/abs/2208.02898</ref>
Người ta cũng đưa ra giới hạn hợp lệ cho công thức với tất cả số nguyên dương:
<math display="block"> \sqrt \pi \left(\frac {n} {e}\right)^{n} \sqrt[6] {{8n^3} + {4n^2} + n + \frac {1} {100}} < n! \le \sqrt \pi \left(\frac {n} {e}\right)^{n} \sqrt[6] {{8n^3} + {4n^2} + n + \frac {1} {30}}</math>

== Chứng minh ==
Theo tài liệu arXiv thống kê<ref name=":1" /> đối với n là một số thực, được xác định bởi tập <math>\theta_{n}</math>, thì công thức khi đó sẽ là
<math display="block"> n! \approx \sqrt \pi \left(\frac {n} {e}\right)^{n} \sqrt[6] {{8n^3} + {4n^2} + n + \frac {\theta_{n}} {30}}</math>
Như vậy tập <math>\theta_{n}</math> được xác định như sau: 
<math display="block"> {1} - \frac {11} {8n} + \frac {79} {112n^2} < \theta_{n} < {1} - \frac {11} {8n} + \frac {79} {112n^2} + \frac {20} {33n^3}
</math>
Khi tập xác định thỏa mãn được độ chuẩn xác nếu tập <math> \theta_{n} = 1 </math> như hằng số được chỉ định trong công thức, từ đó có bảng sau:
<table border="2"cellpadding="4"cellspacing="2"style="margin:1em 1em 1em 0; background:#fff; border:1px #aaa solid; border-collapse:collapse;">
<tr>
<th><math>n!</math></th>
<th>Giá trị gốc</th>
<th>Giá trị gần đúng của công thức ước lượng giai thừa Ramanujan</th>
</tr>

<tr>
<td>0</td>
<td><math>1</math></td>
<td><math>1.00551385831589 </math> (ở đây <math> \left (\frac {0} {e} \right)^{0} </math> được quy ước là <math>1</math>)</td>
</tr>

<tr>
<td>1</td>
<td><math>1</math></td>
<td><math>1.000283346114</math></td>
</tr>

<tr>
<td>2</td>
<td><math>2</math></td>
<td><math> 2.000066137639113675156</math></td>
</tr>

<tr>
<td>3</td>
<td><math>6</math></td>
<td><math>6.00004829397</math></td>
</tr>

<tr>
<td>4</td>
<td><math>24</math></td>
<td><math>24.0000676620607</math></td>
</tr>

<tr>
<td>5</td>
<td><math>120</math></td>
<td><math>120.00014706585663513</math></td>
</tr>

<tr>
<td>6</td>
<td><math>720</math></td>
<td><math>720.0004424029</math></td>
</tr>

<tr>
<td>7</td>
<td><math>5040</math></td>
<td><math>5040.001718</math></td>
</tr>
</table>

Công thức phần nào đưa ra kết quả lớn hơn so với giá trị gốc nhưng đạt độ chính xác cao nhất khi giá trị của n đạt tới 2 và 3.

== Xem thêm ==
* [[Công thức Stirling]]
== Tham khảo ==
{{tham khảo|30em}}

[[Thể loại:Toán học]]
[[Thể loại:Định lý trong giải tích]]