Xem mã nguồn của Công thức Faà di Bruno

{{short description|Định lý về đạo hàm cấp cao}}
{{Giải tích|Differential}}
Trong [[toán học]], '''công thức Faà di Bruno''' là một đẳng thức tổng quát [[quy tắc dây chuyền]] cho đạo hàm cấp cao, đặt tên theo {{harvs|txt|authorlink=Francesco Faà di Bruno|first=Francesco|last= Faà di Bruno|year=1855|year2=1857}}, mặc dù ông không phải người đầu tiên phát biểu hay chứng minh nó. Năm 1800, hơn 50 trước Faà di Bruno, nhà toán học Pháp [[Louis François Antoine Arbogast]] đưa ra công thức này trong một quyển sách giải tích,<ref>{{harv|Arbogast|1800}}.</ref> được coi là tác phẩm đầu tiên nhắc đến công thức này.<ref>Theo {{harvtxt|Craik|2005|pp=120–122}}: xem phân tích công trình của Arbogast bởi {{harvtxt|Johnson|2002|p=230}}.</ref>

Dạng phổ biến nhất của công thức Faà di Bruno nói rằng:

:<math>{d^n \over dx^n} f(g(x))=\sum \frac{n!}{m_1!\,1!^{m_1}\,m_2!\,2!^{m_2}\,\cdots\,m_n!\,n!^{m_n}}\cdot f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x))\cdot \prod_{j=1}^n\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_j},</math>

trong đó tổng này lấy trên tất cả [[Bộ (toán học)|bộ]] ''n'' số nguyên không âm {{math|(''m''<sub>1</sub>,..., ''m''<sub>''n''</sub>)}} thỏa mãn điều kiện

:<math>1\cdot m_1+2\cdot m_2+3\cdot m_3+\cdots+n\cdot m_n=n.</math>

Một biểu diễn khác cho tổng này với cùng các bộ hệ số như trên là:

:<math>{d^n \over dx^n} f(g(x))
=\sum \frac{n!}{m_1!\,m_2!\,\cdots\,m_n!}\cdot
f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x))\cdot
\prod_{j=1}^n\left(\frac{g^{(j)}(x)}{j!}\right)^{m_j}.</math>

Kết hợp những số hạng với cùng giá trị {{math|1=''m''<sub>1</sub> + ''m''<sub>2</sub> +... + ''m''<sub>''n''</sub> = ''k''}} và để ý rằng {{math|''m''<sub>''j''</sub>}} phải bằng không với {{math|''j'' > ''n'' &minus; ''k'' + 1}} cho ta một công thức khác đơn giản hơn sử dụng [[đa thức Bell]] {{math|''B''<sub>''n'',''k''</sub>(''x''<sub>1</sub>,..., ''x''<sub>''n''&minus;''k''+1</sub>)}}:

:<math>{d^n \over dx^n} f(g(x)) = \sum_{k=1}^n f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots,g^{(n-k+1)}(x)\right).</math>

== Dạng tổ hợp ==

Công thức này có một dạng "tổ hợp":

:<math>{d^n \over dx^n} f(g(x))=(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum_{\pi\in\Pi} f^{(\left|\pi\right|)}(g(x))\cdot\prod_{B\in\pi}g^{(\left|B\right|)}(x)</math>

trong đó

* {{pi}} chạy qua tập {{math|Π}} tất cả các [[phân hoạch của tập hợp]] {{math|{1,..., ''n''}}},
* {{math|''B'' ∈ {{pi}}}} tức là ẩn {{mvar|B}} chạy qua các tập con trong phân hoạch {{pi}}, và
* {{math|{{abs|''A''}}}} chỉ lực lượng của tập {{mvar|A}} (do đó |{{pi}}| là số tập trong phân hoạch {{pi}} và {{math|{{abs|''B''}}}} là kích thước của tập {{mvar|B}}).

== Ví dụ ==
Sau đây là một ví dụ cụ thể cho dạng tổ hợp trong trường hợp {{math|1=''n'' = 4}}.

:<math>
\begin{align}
(f\circ g)''''(x)
= {} & f''''(g(x))g'(x)^4
+ 6f'''(g(x))g''(x)g'(x)^2 \\[8pt]
& {} +\; 3f''(g(x))g''(x)^2
+ 4f''(g(x))g'''(x)g'(x) \\[8pt]
& {} +\; f'(g(x))g''''(x).
\end{align}
</math>

Quy luật ở đây là

:<math>
\begin{array}{cccccc}
 g'(x)^4 
& & \leftrightarrow & & 1+1+1+1 
& & \leftrightarrow & & f''''(g(x)) 
& & \leftrightarrow & & 1 
\\[12pt]
 g''(x)g'(x)^2 
& & \leftrightarrow & & 2+1+1 
& & \leftrightarrow & & f'''(g(x)) 
& & \leftrightarrow & & 6 
\\[12pt]
g''(x)^2 
& & \leftrightarrow & & 2+2 
& & \leftrightarrow & & f''(g(x)) 
& & \leftrightarrow & & 3 
\\[12pt]
g'''(x)g'(x) 
& & \leftrightarrow & & 3+1 
& & \leftrightarrow & & f''(g(x)) 
& & \leftrightarrow & & 4 
\\[12pt]
g''''(x) 
& & \leftrightarrow & & 4 
& & \leftrightarrow & & f'(g(x)) 
& & \leftrightarrow & & 1
\end{array}
</math>

Nhân tử <math>g''(x)g'(x)^2 </math> tương ứng với phân hoạch 2 + 1 + 1 của số 4 (4 là cấp của đạo hàm đang xét). Nhân tử <math>f'''(g(x))</math> đi cùng với nó tương ứng với việc có ''ba'' số hạng trong phân hoạch đó, do đó ta lấy đạo hàm bậc ba. Hệ số 6 là do có sáu cách phân hoạch một tập có bốn phần tử thành một phần có 2 phần tử và hai phần có 1 phần tử; con số này là <math>C_4^2.</math>

Tương tự, nhân tử <math>g''(x)^2</math> ở dòng thứ ba tương ứng với phân hoạch 2 + 2 của số 4, còn <math>f''(g(x)) </math> tương ứng với việc có ''hai'' số hạng (2&nbsp;+&nbsp;2) trong phân hoạch đó. Hệ số 3 xuất phát từ việc có <math>\tfrac{1}{2}C_4^2=3</math> cách phân hoạch 4 vật thành hai nhóm chứa 2 vật mỗi nhóm. Tương tự với những hạng tử còn lại.

Một cách để nhớ như sau:

: <math>\begin{align} & \frac{D^1(f\circ g)}{1!} & = \left(f^{(1)}\circ g\right)\frac{\frac{g^{(1)} }{1!} }{1!} \\[8pt]
& \frac{D^2(f\circ g)}{2!} & = \left(f^{(1)}\circ g\right)\frac{\frac{g^{(2)} }{2!} }{1!} & + \left(f^{(2)}\circ g\right)\frac{\frac{g^{(1)} }{1!}\frac{g^{(1)} }{1!} }{2!} \\[8pt]
& \frac{D^3(f\circ g)}{3!} & = \left(f^{(1)}\circ g\right)\frac{\frac{g^{(3)} }{3!} }{1!} & + \left(f^{(2)}\circ g\right)\frac{\frac{g^{(1)} }{1!} }{1!}\frac{\frac{g^{(2)} }{2!} }{1!} & + \left(f^{(3)}\circ g\right)\frac{\frac{g^{(1)} }{1!}\frac{g^{(1)} }{1!}\frac{g^{(1)} }{1!} }{3!} \\[8pt]
& \frac{D^4(f\circ g)}{4!} & = \left(f^{(1)}\circ g\right)\frac{\frac{g^{(4)} }{4!} }{1!} & + \left(f^{(2)}\circ g\right)\left(\frac{\frac{g^{(1)} }{1!} }{1!}\frac{\frac{g^{(3)} }{3!} }{1!}+\frac{\frac{g^{(2)} }{2!}\frac{g^{(2)} }{2!} }{2!}\right) & + \left(f^{(3)}\circ g\right)\frac{\frac{g^{(1)} }{1!}\frac{g^{(1)} }{1!} }{2!}\frac{\frac{g^{(2)} }{2!} }{1!} & + \left(f^{(4)}\circ g\right)\frac{\frac{g^{(1)} }{1!}\frac{g^{(1)} }{1!}\frac{g^{(1)} }{1!}\frac{g^{(1)} }{1!} }{4!}
\end{align}</math>

== Hệ số Faà di Bruno ==

Những ''hệ số Faà di Bruno'' đếm số phân hoạch này có một công thức cụ thể hơn. Số [[phân hoạch của một tập hợp]] với kích thước {{mvar|n}} tương ứng với [[phân hoạch số nguyên]]

:<math>\displaystyle n=\underbrace{1+\cdots+1}_{m_1}
\,+\, \underbrace{2+\cdots+2}_{m_2} 
\,+\, \underbrace{3+\cdots+3}_{m_3}+\cdots</math>
<!-- Apparently \displaystyle is needed to make the subscripts on underbraces appear in the right position. -->

của số nguyên dương {{mvar|n}} bằng

:<math>\frac{n!}{m_1!\,m_2!\,m_3!\,\cdots 1!^{m_1}\,2!^{m_2}\,3!^{m_3}\,\cdots}.</math>

Những hệ số này cũng xuất hiện trong [[đa thức Bell]], liên quan đến khái niệm [[nửa bất biến]].

== Dạng khác ==

=== Dạng nhiều biến ===

Cho hàm {{math|1=''y'' = ''g''(''x''<sub>1</sub>,..., ''x''<sub>''n''</sub>)}}. Khi ấy đẳng thức sau đây là đúng dù là {{mvar|n}} biến này phân biệt, giống nhau, hay chia thành các nhóm biến giống nhau (xem ví dụ cụ thể bên dưới):<ref>{{chú thích tạp chí |last=Hardy |first=Michael |title=Combinatorics of Partial Derivatives |journal=Electronic Journal of Combinatorics |volume=13 |issue=1 |year=2006 |pages=R1 |url=http://www.combinatorics.org/Volume_13/Abstracts/v13i1r1.html}}</ref>

:<math>{\partial^n \over \partial x_1 \cdots \partial x_n}f(y)
= \sum_{\pi\in\Pi} f^{(\left|\pi\right|)}(y)\cdot\prod_{B\in\pi}
{\partial^{\left|B\right|}y \over \prod_{j\in B} \partial x_j}</math>

trong đó (giống như trên)

* {{pi}} chạy qua tập {{math|Π}} tất cả các [[phân hoạch của tập hợp]] {{math|{1,..., ''n''}}},
* {{math|''B'' ∈ {{pi}}}} tức là ẩn {{mvar|B}} chạy qua các tập con trong phân hoạch {{pi}}, và
* {{math|{{abs|''A''}}}} chỉ lực lượng của tập {{mvar|A}} (do đó |{{pi}}| là số tập trong phân hoạch {{pi}} và {{math|{{abs|''B''}}}} là kích thước của tập {{mvar|B}}).

Những dạng tổng quát hơn đúng cho trường hợp khi các hàm có giá trị vectơ, thậm chí là giá trị trong [[không gian Banach]]. Khi ấy ta cần xét [[đạo hàm Fréchet]] hoặc [[đạo hàm Gateaux]].

; Ví dụ

Năm hạng tử trong biểu thức sau tương ứng với năm cách phân hoạch tập {{math|{1, 2, 3} }}, và với mỗi phân hoạch, cấp của đạo hàm của {{mvar|f}} là số phần trong phân hoạch đó:

:<math>
\begin{align}
{\partial^3 \over \partial x_1\, \partial x_2\, \partial x_3}f(y)
= {} & f'(y){\partial^3 y \over \partial x_1\, \partial x_2\, \partial x_3} \\[10pt]
& {} + f''(y) \left({\partial y \over \partial x_1}
\cdot{\partial^2 y \over \partial x_2\, \partial x_3}
+{\partial y \over \partial x_2}
\cdot{\partial^2 y \over \partial x_1\, \partial x_3}
+ {\partial y \over \partial x_3}
\cdot{\partial^2 y \over \partial x_1\, \partial x_2}\right) \\[10pt]
& {} + f'''(y) {\partial y \over \partial x_1}
\cdot{\partial y \over \partial x_2}
\cdot{\partial y \over \partial x_3}.
\end{align}
</math>

Nếu ba biến này giống hệt nhau, thì ba trong năm hạng tử ở trên cũng giống nhau, cho ta công thức thông thường cho một biến.

== Ghi chú ==
{{tham khảo|30em}}

== Tham khảo ==

=== Khảo sát lịch sử ===
*{{Citation
 | last = Brigaglia
 | first = Aldo
 | editor-last = Giacardi
 | editor-first = Livia
 | contribution = L'Opera Matematica
 | title = Francesco Faà di Bruno. Ricerca scientifica insegnamento e divulgazione
 | place = [[Torino]]
 | language=it
 | publisher = Deputazione Subalpina di Storia Patria
 | year = 2004
 | series = Studi e fonti per la storia dell'Università di Torino
 | volume = XII
 | pages = 111–172}}. "''The mathematical work''" is an essay on the mathematical activity, describing both the research and teaching activity of Francesco Faà di Bruno.
*{{Citation
 | first=Alex D. D.
 | last=Craik 
 | title=Prehistory of Faà di Bruno's Formula 
 | journal=[[American Mathematical Monthly]] 
 | volume=112 
 | date=February 2005
 | pages=217–234 
 | issue=2 
 | jstor = 30037410
 | doi=10.2307/30037410
 | mr= 2121322 
 | zbl= 1088.01008
}}.
*{{Citation
 | last = Johnson
 | first = Warren P.
 | title = The Curious History of Faà di Bruno's Formula
 | journal = [[American Mathematical Monthly]]
 | volume = 109
 | issue = 3
 | pages = 217–234
 | date = March 2002
 | url = https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Johnson217-234.pdf
 | jstor = 2695352
 | doi = 10.2307/2695352
 | mr = 1903577
 | zbl = 1024.01010
 | citeseerx = 10.1.1.109.4135
 | access-date = 2020-07-11
 | archive-date = 2021-04-11
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20210411165135/https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Johnson217-234.pdf
 }}.

=== Nghiên cứu ===
*{{Citation
 | first = L. F. A.
 | last=Arbogast 
 | author-link= Louis François Antoine Arbogast
 | title=Du calcul des derivations
 | trans-title=On the calculus of derivatives
 | year=1800 
 | language=fr
 | publisher=Levrault 
 | place=Strasbourg 
 | url=https://books.google.com/books?id=YoPq8uCy5Y8C
 | pages= xxiii+404
}}. Có sẵn miễn phí tại [[Google Books]].
*{{Citation
 | first=F.
 | last=Faà di Bruno 
 | author-link=Francesco Faà di Bruno 
 | title= Sullo sviluppo delle funzioni
 | trans-title=On the development of the functions
 | language=it
 | journal= Annali di Scienze Matematiche e Fisiche
 | lccn=06036680
 | volume= 6
 | year= 1855
 | pages= 479–480
 | url = https://books.google.com/books?id=ddE3AAAAMAAJ&pg=PA479
}}. Có sẵn miễn phí tại [[Google Books]]. Một bài viết nổi tiếng trong đó Francesco Faà di Bruno đưa ra hai công thức nay đặt theo tên ông.
*{{Citation
 | first=F.
 | last=Faà di Bruno
 | title= Note sur une nouvelle formule de calcul differentiel
 | trans-title=On a new formula of differential calculus
 | language=fr
 | journal= [[The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics]]
 | volume= 1
 | year=1857 
 | pages= 359–360
 | url = https://books.google.com/books?id=7BELAAAAYAAJ&pg=PA359
}}. Có sẵn miễn phí tại [[Google Books]].
*{{Citation
 | first = Francesco
 | last= Faà di Bruno
 | title=Théorie générale de l'élimination
 | trans-title=General elimination theory
 | year=1859 
 | language= fr
 | publisher=Leiber et Faraguet 
 | place=Paris 
 | url=https://books.google.com/books?id=MZ0KAAAAYAAJ
 | pages= x+224
}}. Có sẵn miễn phí tại [[Google Books]].
* {{chú thích tạp chí | last=Flanders | first=Harley | title=From Ford to Faa | journal=The American Mathematical Monthly | publisher=Informa UK Limited | volume=108 | issue=6 | year=2001 | issn=0002-9890 | doi=10.2307/2695713 | page=559}}
*{{Citation
 | last = Fraenkel
 | first = L. E.
 | title = Formulae for high derivatives of composite functions
 | journal = [[Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society]]
 | volume = 83
 | issue = 2
 | pages = 159–165
 | year = 1978
 | doi = 10.1017/S0305004100054402
 | mr = 0486377
 | zbl = 0388.46032
}}.
*{{Citation
 | last1 = Krantz
 | first1 = Steven G.
 | author1-link = Steven G. Krantz
 | last2 = Parks
 | first2 = Harold R.
 | author2-link = Harold R. Parks
 | title = A Primer of Real Analytic Functions
 | place = Boston
 | publisher = [[Birkhäuser Verlag]]
 | year = 2002
 | series = Birkhäuser Advanced Texts - Basler Lehrbücher
 | edition = Second
 | pages = xiv+205
 | url = https://books.google.com/books?id=i4vw2STJl2QC
 | mr = 1916029
 | zbl = 1015.26030
 | isbn = 978-0-8176-4264-8
}}
*{{Citation
 | last = Porteous
 | first = Ian R.
 | author-link = Ian Robertson Porteous
 | title = Geometric Differentiation
 | place = Cambridge
 | publisher = [[Cambridge University Press]]
 | year = 2001
 | edition = Second
 | chapter = Paragraph 4.3: Faà di Bruno's formula 
 | chapter-url = https://books.google.com/books?id=BNrW0UJ_UFcC&pg=PA83
 | pages = 83–85 <!-- | pages = xvi+333 -->
 | url = https://books.google.com/books?id=BNrW0UJ_UFcC
 | mr = 1871900
 | zbl = 1013.53001
 | isbn = 978-0-521-00264-6
}}.
*{{Citation
 | last = T. A. 
 | first = (Tiburce Abadie, J. F. C.)
 | title = Sur la différentiation des fonctions de fonctions
 | trans-title=On the derivation of functions
 | language=fr
 | journal = [[Nouvelles Annales de Mathématiques|Nouvelles annales de mathématiques, journal des candidats aux écoles polytechnique et normale]]
 | series = Série 1
 | volume = 9
 | pages = 119–125 
 | year = 1850
 | url = http://www.numdam.org/item?id=NAM_1850_1_9__119_1
}}. Có tại [http://www.numdam.org NUMDAM].
*{{Citation
 | last = A.
 | first = (Tiburce Abadie, J. F. C.)
 | title = Sur la différentiation des fonctions de fonctions. Séries de Burmann, de Lagrange, de Wronski
 | trans-title=On the derivation of functions. Burmann, Lagrange and Wronski series.
 | language=fr
 | journal = [[Nouvelles Annales de Mathématiques|Nouvelles annales de mathématiques, journal des candidats aux écoles polytechnique et normale]]
 | series = Série 1
 | volume = 11
 | pages = 376–383 
 | year = 1852 
 | url = http://www.numdam.org/item?id=NAM_1852_1_11__376_1
}}. Có tại [http://www.numdam.org NUMDAM].

== Liên kết ngoài ==
* {{MathWorld|urlname=FaadiBrunosFormula|title=Faa di Bruno's Formula}}

{{DEFAULTSORT:Faa de Bruno's formula}}
[[Thể loại:Quy tắc đạo hàm]]
[[Thể loại:Vi phân]]
[[Thể loại:Tổ hợp liệt kê]]
[[Thể loại:Chủ đề giai thừa và nhị thức]]
[[Thể loại:Định lý trong giải tích]]
[[Thể loại:Giai thừa]]