Xem mã nguồn của Công thức Viète

{{About|công thức cho {{pi}}|hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức|Định lý Viète}}
[[Tập_tin:Viète's_formula.png|nhỏ|400px|Công thức Viète được in trong tác phẩm ''Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII'' xuất bản năm 1593 của [[François Viète]]]]

Trong [[toán học]], '''công thức Viète''' là một công thức [[tích vô hạn]] biểu diễn giá trị của [[2 (số)|hai]] [[phép nhân|lần]] [[Nghịch đảo phép nhân|nghịch đảo]] hằng số toán học [[pi|{{pi}}]]:
<math display=block>\frac2\pi = \frac{\sqrt 2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt 2}}}2 \cdots</math> 
Ngoài ra, công thức này cũng có thể được biểu diễn bằng kí hiệu tích vô hạn: 
<math display=block>\frac2\pi = \prod_{n=1}^{\infty} \cos \frac{\pi}{2^{n+1}}</math> 

[[Nhà toán học]] [[người Pháp]] [[François Viète]] công bố công thức vào năm 1593, và công thức này được đặt theo tên ông.<ref name=":0">{{Chú thích sách|url=https://www.worldcat.org/oclc/28616481|title=A history of [pi] (pi)|last=Beckmann|first=Petr|date=1993|publisher=Barnes & Noble|isbn=0-88029-418-3|edition=[Fourth edition]|location=New York|pages=94-95|oclc=28616481}}</ref> Công thức Viète biểu diễn một hằng số bằng một chuỗi các phép tính dài vô hạn,<ref name=":1">{{Chú thích sách|url=https://www.worldcat.org/oclc/769343155|title=Trigonometric Delights.|last=Maor|first=Eli|date=2011|publisher=Princeton University Press|isbn=978-1-4008-4282-7|location=Princeton|pages=50; 140|oclc=769343155}}</ref> nó cũng có thể biểu thị ý nghĩa chặt chẽ về mặt [[Giới hạn (toán học)|giới hạn]],<ref name=":2">{{Chú thích sách|url=https://www.worldcat.org/oclc/53434668|title=The number [pi]|last=Eymard|first=Pierre|date=2004|publisher=American Mathematical Society|others=J. P. Lafon|isbn=0-8218-3246-8|location=Providence, R.I.|pages=44-46|oclc=53434668}}</ref> và cũng đánh dấu sự khởi đầu của [[giải tích toán học]]. Công thức này có một [[tốc độ hội tụ]] xác định, để từ đó có thể được sử dụng để tính số {{Pi}},<ref name=":3">{{Chú thích tạp chí|last=Kreminski|first=Rick|date=2008-06|title=π to Thousands of Digits from Vieta's Formula|url=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/0025570X.2008.11953549|journal=Mathematics Magazine|language=en|volume=81|issue=3|pages=201–207|doi=10.1080/0025570X.2008.11953549|issn=0025-570X}}</ref> tuy nhiên các phương pháp trước và sau khi công thức này ra đời lại có độ chính xác cao hơn. Công thức này cũng được sử dụng để tính toán sự chuyển động của hệ các [[lò xo]] kèm với khối lượng,<ref name=":4">{{Chú thích tạp chí|last=Cullerne|first=J P|last2=Dunn Goekjian|first2=M C|date=2012-01|title=Teaching wave propagation and the emergence of Viète’s formula|url=https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0031-9120/47/1/87|journal=Physics Education|volume=47|issue=1|pages=87–91|doi=10.1088/0031-9120/47/1/87|issn=0031-9120}}</ref> ngoài ra cũng đóng vai trò như một ví dụ để thúc đẩy sự xuất hiện khái niệm [[độc lập thống kê]].

Công thức Viète có thể được coi như một kết quả của [[chuỗi lồng nhau]] của cả chu vi và diện tích của một [[đa giác đều]] trong quá trình suy biến trở thành [[đường tròn]]. Cũng bằng việc sử dụng liên tục các [[Đẳng thức lượng giác#Công thức góc chia đôi|công thức nhân đôi góc]] của [[lượng giác]] để suy ra các công thức tổng quát, [[Leonhard Euler]] đã thu được công thức Viète như một trường hợp đặc biệt của các công thức tổng quát nêu trên.

== Dẫn nhập ==
[[François Viète]] (sinh năm 1540, mất năm 1603) là một [[luật sư]] người Pháp, làm việc trong [[viện cơ mật]] cho hai đời vua Pháp và là một [[nhà toán học]] nghiệp dư. Ông lần đầu tiên công bố công thức Viète vào năm 1593 trong công trình nghiên cứu ''Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII'' (dịch từ [[tiếng Latinh]]: ''Đáp án cho các vấn đề toán học, cuốn VIII''). Trong thời gian này, các phương pháp nhằm tính xấp xỉ số {{Pi}} với độ chính xác khác nhau đã được biết đến rộng rãi. Phuơng pháp riêng của Viète có thể được coi như một lối tư duy khác cho ý tưởng của [[Archimedes]] của việc tính xấp xỉ [[chu vi]] một đường tròn bằng việc sử dụng đa giác đều nhiều cạnh.<ref name=":0" /> Ý tưởng này Archimedes đã giúp tìm được chặn giá trị của số {{Pi}}:<ref>{{Chú thích sách|url=https://www.worldcat.org/oclc/28616481|title=A history of [pi] (pi)|last=Beckmann|first=Petr|date=1993|publisher=Barnes & Noble|isbn=0-88029-418-3|edition=[Fourth edition]|location=New York|pages=67|oclc=28616481}}</ref>

<math display=block>\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7}.</math>Bằng việc công bố phương pháp tính của mình dưới dạng một công thức toán học, Viète lần đầu tiên đưa ra một ví dụ mà ngày nay được định nghĩa là [[tích vô hạn]] trong toán học,<ref>{{Chú thích sách|url=https://www.worldcat.org/oclc/123080375|title=Maths for the mystified : an exploration of the history of mathematics and its relationship to modern-day science and computing|last=De Smith|first=Michael John|date=2006|publisher=Matador|isbn=978-1-905237-81-4|location=Leicester, U.K.|pages=165|oclc=123080375}}</ref><ref name=":7">{{Chú thích tạp chí|last=Moreno|first=Samuel G.|last2=García-Caballero|first2=Esther M.|date=2013-10|title=On Viète-like formulas|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0021904513001159|journal=Journal of Approximation Theory|language=en|volume=174|pages=90–112|doi=10.1016/j.jat.2013.06.006}}</ref> và cũng là ví dụ đầu tiên mà một công thức cụ thể có thể tính toán giá trị chính xác của số {{Pi}}.<ref name=":6">{{Chú thích tạp chí|last=Morrison|first=Kent E.|date=1995-10|title=Cosine Products, Fourier Transforms, and Random Sums|url=https://www.jstor.org/stable/2974641?origin=crossref|journal=The American Mathematical Monthly|volume=102|issue=8|pages=716|doi=10.2307/2974641}}</ref><ref>{{Chú thích sách|url=https://www.worldcat.org/oclc/656394964|title=An atlas of functions : with Equator, the atlas function calculator|last=Oldham|first=Keith B.|date=2009|others=Jan C. Myland, Jerome Spanier, Jerome Preceded by: Spanier|isbn=978-0-387-48807-3|edition=|location=New York, NY|pages=15|oclc=656394964}}</ref> Lần đầu tiên nền toán học châu Âu có một công thức mà một số được thể hiện bằng kết quả của một chuỗi các phép tính vô hạn.<ref>{{Chú thích sách|url=https://www.worldcat.org/oclc/650305544|title=Mathematics in India|last=Plofker|first=Kim|date=2009|publisher=Princeton University Press|isbn=978-1-4008-3407-5|location=Princeton|pages=221-234|oclc=650305544}}</ref> [[Eli Maor]] đã coi công thức Viète như dấu mốc khởi đầu cho [[giải tích toán học]],<ref name=":1" /> trong khi [[Jonathan Borwein]] gọi sự xuất hiện của công thức này là "buổi bình minh của toán học hiện đại''"'' (''the dawn of modern mathematics'')''.''<ref name=":5">{{Chú thích|last=Borwein|first=Jonathan M.|title=The Life of π: From Archimedes to ENIAC and Beyond|date=2014|url=https://link.springer.com/10.1007/978-3-642-36736-6_24|work=From Alexandria, Through Baghdad|pages=531–561|editor-last=Sidoli|editor-first=Nathan|place=Berlin, Heidelberg|publisher=Springer Berlin Heidelberg|language=en|doi=10.1007/978-3-642-36736-6_24|isbn=978-3-642-36735-9|access-date=2023-01-27|editor2-last=Van Brummelen|editor2-first=Glen}}</ref>

Viète sử dụng công thức của chính mình để tính toán số {{Pi}} chính xác tới 9 [[chữ số]] thập phân sau dấu phẩy.<ref name=":3" /> Tuy nhiên, đây lại không phải là phép xấp xỉ số pi có độ chính xác cao nhất tại thời điểm đó, khi mà [[Toán học Hồi giáo Trung Cổ|nhà toán học người Ba Tư]] [[Jamshid al-Kashi]] đã tính số {{Pi}} chính xác tới 16 chữ số thập phân sau dấu phẩy, tức là 9 chữ số nếu tính theo [[hệ lục thập phân]] vào năm 1424.<ref name=":5" /> Không lâu sau khi Viète công bố công thức của mình, [[Ludolph van Ceulen]] cũng đã sử dụng một phương pháp gần tương tự với công thức của Viète để tính toán số {{Pi}} chính xác tới 35 chữ số. Phương pháp tính này chỉ được công bố sau khi Ceulen qua đời vào năm 1610.<ref name=":5" />

Công thức Viète không chỉ quan trọng về mặt toán học hay [[lịch sử toán học]], mà còn có thể được sử dụng để giải thích cho sự [[tán sắc]] trong một hệ có vô số [[lò xo]] với khối lượng cho trước, để từ đó sự xuất hiện của số {{Pi}} làm tiền đề để giải thích giới hạn để một [[vận tốc pha]] thay đổi tính chất của nó.<ref name=":4" /> Thêm vào đó, một hệ quả được dẫn xuất từ công thức Viète là kết quả của phép toán với các [[số nguyên]] xuất hiện trong [[hệ Rademacher]], từ đó giúp đưa ra các ví dụ nhằm định nghĩa khái niệm về [[độc lập thống kê]].<ref name=":8">{{Chú thích sách|url=https://www.worldcat.org/oclc/877868949|title=Ergodic theory of numbers|last=Dajani|first=Karma|date=2002|others=Cor Kraaikamp|isbn=978-1-61444-027-7|location=[Washington, DC]|pages=1-12|oclc=877868949}}</ref>

== Sự hội tụ của công thức Viète ==
Công thức Viète có thể được biểu diễn dưới dạng kết quả của một phép tính [[Giới hạn (toán học)|giới hạn]]<ref name=":2" />
<math display=block>\lim_{n \rightarrow \infty} \prod_{i=1}^n \frac{a_i}{2} = \frac2\pi</math>
mà ở đó dãy số <math>{a}_n</math>  được cho bởi công thức truy hồi 
<math display=block>\begin{align} a_1 &= \sqrt{2} \\ a_n &= \sqrt{2+a_{n-1}}. \end{align}</math>

Với mỗi giá trị <math>n</math> xác định, biểu thức giới hạn là một phép tính hữu hạn các nhân tử, tuy nhiên khi <math>n</math> tiến dần tới [[vô cùng]], kết quả giới hạn này càng ngày càng gần hơn tới kết quả của công thức Viète. [[François Viète]] đã nghiên cứu công thức Viète trước cả khi khái niệm về giới hạn và các chứng minh về [[Sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên|sự hội tụ]] trong toán học ra đời; khi mà chứng minh đầu tiên cho việc tồn tại giới hạn nêu trên mới được tìm ra lần đầu tiên trong nghiên cứu của [[Ferdinand Rudio]] vào năm 1891.<ref name=":0" /><ref>{{Chú thích tạp chí|last=Abidoye|first=Rotimi Boluwatife|last2=Chan|first2=Albert P.C.|date=2016-07-04|title=Critical determinants of residential property value: professionals’ perspective|url=http://dx.doi.org/10.1108/jfm-02-2016-0003|journal=Journal of Facilities Management|volume=14|issue=3|pages=283–300|doi=10.1108/jfm-02-2016-0003|issn=1472-5967}}</ref> 

[[Tập tin:Comparison pi infinite series.svg|nhỏ|400px|Đồ thị so sánh tốc độ hội tụ của công thức Viète (được đánh dấu đỏ) và các chuỗi vô hạn trong lịch sử được sử dụng để tính số {{Pi}}, với <math>S_n</math> là xấp xỉ sau khi thực hiện phép tính với <math>n</math> biểu thức. Từ phải qua trái, chiều ngang của mặt phẳng đồ thị được phóng đại lên thêm 10 lần.]]

[[Tốc độ hội tụ]] của một phép tính giới hạn có liên quan mật thiết tới số lượng biểu thức tham gia phép tính để đạt được một độ chính xác nhất định về mặt số chữ số trong một phép tính. Đối với công thức Viète, số lượng nhân tử và số chữ số tỉ lệ thuận với nhau, và kết quả của công thức Viète cho <math>n</math> nhân tử đầu tiên cho ra xấp xỉ số {{Pi}} với sự chính xác cho 0,6<math>n</math> chữ số.<ref name=":3" /><ref>{{Chú thích tạp chí|last=Osler|first=T. J.|date=2007-01-15|title=A simple geometric method of estimating the error in using Vieta's product for π|url=http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00207390601002799|journal=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology|language=en|volume=38|issue=1|pages=136–142|doi=10.1080/00207390601002799|issn=0020-739X}}</ref> Tốc độ hội tụ này khá tương đồng với [[kết quả Wallis]] – một công thức cũng sử dụng [[tích vô hạn]] để tìm kiếm công thức tính số {{Pi}} ra đời vào năm 1656. Mặc dù công thức của bản thân Viète được chính ông sử dụng để tính số {{Pi}} với độ chính xác là chín chữ số sau dấu phẩy, một [[Tăng tốc chuỗi|dẫn xuất]] khác với tốc độ hội tụ nhanh hơn được sử dụng để tính {{Pi}} tới khoảng vài nghìn chữ số.<ref name=":3" />

== Công thức liên quan ==
Công thức Viète có thể được coi như một trường hợp đặc biệt cho công thức liên quan tới [[hàm sinc]]. Nhà toán học [[Leonhard Euler]] được cho là người tìm ra<ref>Trong nghiên cứu của [[Leonhard Euler]] vào năm 1738: ''[https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/74/|De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi]{{Liên kết hỏng|date=2023-07-22 |bot=InternetArchiveBot }}'' - ''Về các phương pháp khác nhau để biểu thị cầu phương'', công thức hàm sinc là công thức cuối cùng trong nghiên cứu đó. Một công thức tương tự cũng xuất hiện trong một nghiên cứu vào năm 1783: ''[https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/561/|ariae observationes circa angulos in progressione geometrica progredientes]{{Liên kết hỏng|date=2023-07-22 |bot=InternetArchiveBot }}'' - ''Các góc nhìn khác nhau về góc với cấp số nhân''</ref> công thức này hơn một thế kỷ sau đó:<ref name=":0" /> 

<math display=block>\frac{\sin x}{x} = \cos\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x}{4} \cdot \cos\frac{x}{8} \cdots</math>

Thay {{math|''x'' {{=}} {{sfrac|{{pi}}|2}}}} vào công thức này, ta có:<ref>{{chú thích sách |last1=Wilson |first1=Robin J. |title=Euler's pioneering equation: the most beautiful theorem in mathematics |date=2018 |location=Oxford, United Kingdom |isbn=9780198794929 |pages=57–58 |edition=First |url=https://swab.zlibcdn.com/dtoken/d543f85cc6cb3fd6ea37e161f89dea19/Euler%E2%80%99s%20Pioneering%20Equation%20The%20most%20beautiful%20theorem%20in%20mathematics%20%28Robin%20Wilson%29%20%28z-lib.org%29.pdf |access-date=2023-01-27 |archive-date=2022-09-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220920171501/https://swab.zlibcdn.com/dtoken/d543f85cc6cb3fd6ea37e161f89dea19/Euler%E2%80%99s%20Pioneering%20Equation%20The%20most%20beautiful%20theorem%20in%20mathematics%20(Robin%20Wilson)%20(z-lib.org).pdf }}</ref>

<math display=block>\frac{2}{\pi} = \cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{8} \cdot \cos\frac{\pi}{16} \cdots</math>

Sau đó, biểu diễn từng nhân tử ở vế phải sử dụng [[Đẳng thức lượng giác#Công thức góc chia đôi|công thức nhân đôi góc]]: 

<math display=block>\cos\frac{x}{2} = \sqrt\frac{1+\cos x}{2}</math>
cho ta công thức Viète.<ref name=":6" />

Ta cũng có thể thu được từ công thức Viète một công thức biểu thị trực tiếp giá trị của số {{Pi}} với vô số các căn bậc hai chữa số 2, nhưng chỉ sử dụng duy nhất một phép nhân:<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Servi|first=L. D.|date=2003-04|title=Nested Square Roots of 2|url=https://www.jstor.org/stable/3647881?origin=crossref|journal=The American Mathematical Monthly|volume=110|issue=4|pages=326|doi=10.2307/3647881}}</ref>

<math display="block">\pi = \lim_{k\to\infty} 2^{k} \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}}}}_{k\text{ dấu căn bậc hai}},</math>

Công thức này có thể được thu gọn lại dưới dạng dãy số: 

<math display=block>\begin{align} \pi &= \lim_{k\to\infty}2^k\sqrt{2-a_k} \\[5px] a_1&=0 \\ a_k&=\sqrt{2+a_{k-1}}. \end{align}</math>Nhiều công thức cho số {{Pi}} và các hằng số khác như [[tỷ lệ vàng]] cũng có dạng công thức giống với công thức Viète khi sử dụng việc lồng các căn thức bậc hai hoặc các chuỗi vô hạn các công thức lượng giác.<ref name=":7" /><ref>{{Chú thích tạp chí|last=Servi|first=L. D.|date=2003-04|title=Nested Square Roots of 2|url=https://www.jstor.org/stable/3647881?origin=crossref|journal=The American Mathematical Monthly|volume=110|issue=4|pages=326|doi=10.2307/3647881}}</ref><ref>{{Chú thích tạp chí|last=Nyblom|first=M.A.|date=2012-04-01|title=Some closed-form evaluations of infinite products involving nested radicals|url=https://projecteuclid.org/journals/rocky-mountain-journal-of-mathematics/volume-42/issue-2/Some-closed-form-evaluations-of-infinite-products-involving-nested-radicals/10.1216/RMJ-2012-42-2-751.full|journal=Rocky Mountain Journal of Mathematics|volume=42|issue=2|pages=751-758|doi=10.1216/RMJ-2012-42-2-751|issn=0035-7596}}</ref><ref>{{Chú thích tạp chí|last=Levin|first=Aaron|date=2006-06-01|title=A Geometric Interpretation of an Infinite Product for the Lemniscate Constant|url=https://www.jstor.org/stable/10.2307/27641976?origin=crossref|journal=The American Mathematical Monthly|language=en|volume=113|issue=6|pages=510|doi=10.2307/27641976}}</ref><ref>{{Chú thích tạp chí|last=Levin|first=Aaron|date=2005-12|title=A New Class of Infinite Products Generalizing Viète's Product Formula for π|url=https://link.springer.com/10.1007/s11139-005-4852-z|journal=The Ramanujan Journal|language=en|volume=10|issue=3|pages=305–324|doi=10.1007/s11139-005-4852-z|issn=1382-4090}}</ref><ref>{{Chú thích tạp chí|last=Stolarsky|first=Kenneth|date=1980-07-01|title=Mapping properties, growth, and uniqueness of Vieta (infinite cosine) products|url=http://msp.org/pjm/1980/89-1/p23.xhtml|journal=Pacific Journal of Mathematics|language=en|volume=89|issue=1|pages=209–227|doi=10.2140/pjm.1980.89.209|issn=0030-8730}}</ref><ref>{{Chú thích tạp chí|last=F. S. M.|last2=E. H. N.|last3=Anderson|first3=W. C. F.|date=1930-10|title=W. J. Greenstreet|url=https://www.cambridge.org/core/product/identifier/S0025557200137258/type/journal_article|journal=The Mathematical Gazette|language=en|volume=15|issue=209|pages=181–185|doi=10.1017/S0025557200137258|issn=0025-5572}}</ref>

== Nguồn gốc ==
[[Tập tin:Viète nested polygons.svg|nhỏ|400px|Một chuỗi các [[đa giác đều]] có số cạnh là lũy thừa của 2 nội tiếp một đường tròn. Tỉ lệ giữa diện tích hoặc chu vi của đa giác khi số cạnh tăng dần cho công thức dưới dạng công thức Viète]]
Viète thu được công thức này khi so sánh [[diện tích]] của các [[đa giác đều]] với số cạnh lần lượt là {{math|2<sup>''n''</sup>}} và {{math|2<sup>''n'' + 1</sup>}} cùng nội tiếp một [[đường tròn]].<ref name=":0" /><ref name=":1" /> Tỉ lệ đầu tiên khi so sánh diện tích của một [[hình vuông]] và một hình [[bát giác]] là {{math|{{sfrac|{{sqrt|2}}|2}}}} – cũng chính là nhân tử đầu tiên trong công thức Viète, nhân tử thứ hai thu được khi so sánh một hình bát giác với một hình 16 cạnh. Theo đó, chuỗi nhân tử này [[Chuỗi lồng nhau|lồng nhau]] liên tục để cho ra tỉ lệ diện tích giữa hình vuông (đa giác đều đầu tiên) và đường tròn (trường hợp giới hạn của một đa giác có {{math|2<sup>''n''</sup>}} cạnh). Ngoài ra, các nhân tử xuất hiện trong chuỗi phép nhân vô hạn cũng thể hiện tỉ lệ của [[chu vi]] chuỗi đa giác như cách lập luận trên.<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Rummler|first=Hansklaus|date=1993-11|title=Squaring the Circle with Holes|url=https://www.jstor.org/stable/2324662?origin=crossref|journal=The American Mathematical Monthly|volume=100|issue=9|pages=858|doi=10.2307/2324662}}</ref>

Một cách khác để thu được công thức Viète được dựa trên các [[đẳng thức lượng giác]] và [[công thức Euler]]. Bằng việc liên tục sử dụng [[Đẳng thức lượng giác#Công thức góc chia đôi|công thức nhân đôi góc]]

<math display=block>\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2},</math>

dẫn tới việc đưa ra một chứng minh bằng phép [[Quy nạp toán học|quy nạp]] rằng với mọi số nguyên {{mvar|n}}, 

<math display=block>\sin x = 2^n \sin\frac{x}{2^n}\left(\prod_{i=1}^n \cos\frac{x}{2^i}\right).</math>

Biểu thức {{math|2<sup>''n''</sup> sin {{sfrac|''x''|2<sup>''n''</sup>}}}} tiến dần tới {{mvar|x}} khi mà {{mvar|x}} trong phép giới hạn tiến dần tới dương vô cùng. Bằng việc thay {{math|''x'' {{=}} {{sfrac|{{pi}}|2}}}} sẽ cho ra được công thức Viète.<ref name=":6" /><ref name=":8" />

== Xem thêm ==

* [[François Viète]]
* [[Tích vô hạn]]

== Tham khảo ==
{{tham khảo|30em}}

== Liên kết ngoài ==
{{Cổng thông tin|Toán học}}
* Tác phẩm ''[https://books.google.com.vn/books?id=7_BCAAAAcAAJ&redir_esc=y Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII]'' (công bố lần đầu năm 1593) của [[François Viète]] trên nền tảng [[Google Books]]. Công thức Viète nằm ở nửa sau của trang 30.

{{Kiểm soát tính nhất quán}}

{{Sao bài viết tốt|phiên bản được chọn=69686385|thời gian=2 tháng 3 năm 2023|tên bài=Công thức Viète}}

[[Thể loại:Pi]]
[[Thể loại:Tích vô hạn]]
[[Thể loại:Thuật toán số học máy tính]]