Xem mã nguồn của Công thức tích phân lặp của Cauchy

{{Distinguish|Định lý tích phân Cauchy|Công thức tích phân Cauchy}}
Trong [[giải tích]], '''công thức tích phân lặp Cauchy''', đặt tên theo [[Augustin Louis Cauchy]], cho phép ta biến [[nguyên hàm]] thứ {{mvar|n}} của một hàm số thành một tích phân duy nhất.

== Phát biểu ==
Gọi {{mvar|f}} là một hàm liên tục trên tập số thực. Khi ấy [[tích phân lặp]] thứ {{mvar|n}} của {{mvar|f}} tại {{mvar|a}}:

:<math>f^{(-n)}(x) = \int_a^x \int_a^{\sigma_1} \cdots \int_a^{\sigma_{n-1}} f(\sigma_{n}) \, \mathrm{d}\sigma_{n} \cdots \, \mathrm{d}\sigma_2 \, \mathrm{d}\sigma_1</math>,

có thể được tính bằng công thức

:<math>f^{(-n)}(x) = \frac{1}{(n-1)!} \int_a^x\left(x-t\right)^{n-1} f(t)\,\mathrm{d}t</math>.

; Chứng minh

Một chứng minh đơn giản sử dụng [[quy nạp toán học|quy nạp]]. Do {{mvar|f}} liên tục, trường hợp {{math|1=''n'' = 1}} suy ra từ [[định lý cơ bản của giải tích]]:

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f^{(-1)}(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t = f(x)</math>;

trong đó

:<math>f^{(-1)}(a) = \int_a^a f(t)\,\mathrm{d}t = 0.</math>

Giả sử điều này đúng với {{mvar|n}}, và ta cần chứng minh nó đúng với {{math|''n'' + 1}}. Đầu tiên, sử dụng [[quy tắc tích phân Leibniz]], ta có

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left[ \frac{1}{n!} \int_a^x \left(x-t\right)^n f(t)\,\mathrm{d}t \right] = \frac{1}{(n-1)!} \int_a^x\left(x-t\right)^{n-1} f(t)\,\mathrm{d}t.</math>

Sau đó, áp dụng giả thiết quy nạp,

:<math>
\begin{align}
f^{-(n+1)}(x) &= \int_a^x \int_a^{\sigma_1} \cdots \int_a^{\sigma_{n}} f(\sigma_{n+1}) \, \mathrm{d}\sigma_{n+1} \cdots \, \mathrm{d}\sigma_2 \, \mathrm{d}\sigma_1 \\
&= \int_a^x \frac{1}{(n-1)!} \int_a^{\sigma_1}\left(\sigma_1-t\right)^{n-1} f(t)\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}\sigma_1 \\
&= \int_a^x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\sigma_1} \left[\frac{1}{n!} \int_a^{\sigma_1} \left(\sigma_1-t\right)^n f(t)\,\mathrm{d}t\right] \,\mathrm{d}\sigma_1 \\
&= \frac{1}{n!} \int_a^x \left(x-t\right)^n f(t)\,\mathrm{d}t
\end{align}
</math>

Chứng minh được hoàn tất.

== Áp dụng ==

Trong [[giải tích phân số]], công thức này có thể được dùng để xây dựng khái niệm [[differintegral]], cho phép ta đạo hàm hoặc tích phân với số lần là một phân số. Lấy tích phân lặp phân số lần với công thức này rất đơn giản; ta có thể dùng {{mvar|n}} phân số nếu coi {{math|(''n''-1)!}} là {{math|Γ(''n'')}} (xem [[hàm gamma]]). Lấy đạo hàm cấp phân số có thể được thực hiện bằng cách lấy tích phân phân số, rồi lấy đạo hàm kết quả đó.

== Tham khảo ==

* {{chú thích sách | last=Folland | first=G. B. | title=Advanced Calculus | url=https://archive.org/details/advancedcalculus0000foll | publisher=Prentice Hall | publication-place=Upper Saddle River, NJ | year=2002 | isbn=978-0-13-065265-2 | oclc=48449858}}

== Liên kết ngoài ==
*{{chú thích web|author=Alan Beardon|url=http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1369|title=Fractional calculus II|publisher=Đại học Cambridge|year=2000}}

[[Thể loại:Augustin-Louis Cauchy]]
[[Thể loại:Giải tích tích phân]]
[[Thể loại:Định lý trong giải tích]]