Xem mã nguồn của Chiều (không gian vectơ)

Trong [[toán học]], '''số chiều''' của một [[không gian vectơ]] ''V'' là [[Lực lượng (tập hợp)|số lượng]] (tức là số vectơ) trong một [[Cơ sở (đại số tuyến tính)|hệ cơ sở]] của ''V'' trên [[Trường (đại số)|trường]] cơ sở của nó.<ref>{{Harvard citation text|Axler|2015}} p. 44, §2.36</ref><ref>{{chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=8FVk_KRY7zwC&pg=PA4|title=Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers: With Applications to Continuum Mechanics|author=Itzkov, Mikhail|publisher=Springer|year=2009|isbn=978-3-540-93906-1|page=4}}</ref> Nó đôi khi cũng được gọi là '''số chiều Hamel''' (theo tên nhà toán học [[Georg Hamel]]) hay '''số chiều đại số''' để phân biệt nó với các khái niệm [[chiều]] khác.

Đối với mọi không gian vectơ đều tồn tại một cơ sở,{{efn|nếu thừa nhận [[tiên đề chọn]]}} và mọi cơ sở của một không gian vectơ đều có lực lượng bằng nhau; vì vậy số chiều của một không gian vectơ được xác định duy nhất. Ta nói ''V'' là '''hữu hạn chiều''' nếu số chiều của ''V'' là [[wiktionary:hữu hạn|hữu hạn]], và '''vô hạn chiều''' nếu số chiều của nó là [[vô hạn]].

Số chiều của một không gian vectơ ''V'' trên một trường ''F'' có thể được viết dưới dạng dim<sub>''F''</sub>(''V'') hay [V: F], và đọc là "số chiều của ''V'' trên trường ''F''". Khi ''F'' có thể suy được từ ngữ cảnh, ta thường viết ngắn gọn là dim(''V'').

== Ví dụ ==
Không gian vectơ '''R'''<sup>3</sup> có

: <math>\left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \}</math>

là một [[cơ sở chính tắc]], vì thế ta có dim<sub>'''R'''</sub>('''R'''<sup>3</sup>) = 3. Một cách tổng quát hơn, dim<sub>'''R'''</sub>('''R'''<sup>''n''</sup>) = ''n'', và tổng quát hơn nữa, dim<sub>''F''</sub>(''F<sup>n</sup>'') = ''n'' đối với [[Trường (đại số)|trường]] bất kỳ ''F''.

Tập [[số phức]] '''C''' có thể là một không gian vectơ thực hay phức, vì thế ta có dim<sub>'''R'''</sub>('''C''') = 2 và dim<sub>'''C'''</sub>('''C''') = 1. Vì vậy số chiều phụ thuộc vào trường cơ sở.

Không gian vectơ duy nhất có số chiều 0 là {0}, tức là không gian vectơ chỉ gồm phần tử không của nó.

== Tính chất ==
Nếu ''W'' là một không gian con của ''V'' thì dim(''W'') ≤ dim(''V'').

Để chứng tỏ hai không gian vectơ hữu hạn chiều là bằng nhau, ta thường sử dụng tiêu chí sau đây: nếu ''V'' là một không gian vectơ hữu hạn chiều và ''W'' là một không gian con của ''V'' với dim(''W'') = dim(''V''), thì ''W'' = ''V''.

'''R'''<sup>''n''</sup> có cơ sở chính tắc {'''e'''<sub>1</sub>,..., '''e'''<sub>''n''</sub>}, trong đó '''e'''<sub>''i''</sub> là cột thứ ''i'' của ma trận đơn vị cỡ ''n''. Vì thế '''''R'''<sup>n</sup>'' có số chiều ''n.''

Hai không gian vectơ bất kỳ trên trường ''F'' có số chiều bằng nhau thì [[đẳng cấu]]. Mọi [[song ánh]] giữa các cơ sở của chúng có thể được mở rộng thành một song ánh tuyến tính giữa hai không gian vectơ.

Một kết quả quan trọng về số chiều được cho bởi [[định lý về hạng và số vô hiệu]] cho các [[ánh xạ tuyến tính]].

:

:

== Tổng quát hóa ==

== Xem thêm ==

* [[Chiều fractal]]
* [[Chiều Krull]]
* [[Hạng matroid|Hạng của matroid]]
* [[Hạng (đại số tuyến tính)]]
* [[Chiều tô pô]], còn gọi là chiều phủ Lebesgue

== Chú thích ==
{{Danh sách ghi chú}}

== Tham khảo ==
{{Tham khảo}}

== Nguồn ==

* {{Chú thích sách|title=Linear Algebra Done Right|url=https://archive.org/details/linearalgebradon0000axle|last=Axler|first=Sheldon|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|year=2015|isbn=978-3-319-11079-0|edition=3rd|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|location=|pages=|author-link=Sheldon Axler}}

== Liên kết ngoài ==

* [http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-9-independence-basis-and-dimension/ Bài giảng Đại số tuyến tính của MIT về Độc lập tuyến tính, Cơ sở và Chiều của Gilbert Strang] tại MIT OpenCourseWare
{{Chủ đề chiều}}{{sơ khai toán học}}

[[Thể loại:Chiều không gian]]
[[Thể loại:Đại số tuyến tính]]