Xem mã nguồn của Chuỗi Taylor

{{Short description|Tính xấp xỉ hàm số bằng tổng chuỗi}}
[[Tập tin:sintay.png|nhỏ|200px|phải|Hình vẽ miêu tả [[hàm số]] <font color=#333333>sin(''x'')</font> và các [[lý thuyết xấp xỉ|xấp xỉ]] Taylor của nó, tức là các đa thức Taylor bậc <font color=#b30000>1</font>, <font color=#00b300>3</font>, <font color=#0000b3>5</font>, <font color=#b3b300>7</font>, <font color=#00b3b3>9</font>, <font color=#b300b3>11</font> và <font color=#888888>13</font> của hàm tại gần điểm ''x'' = 0. Khi bậc của đa thức Taylor tăng, chuỗi này càng tiệm cận đến hàm chính xác ở gần điểm ''x'' = 0. ]]

Trong [[toán học]], '''chuỗi Taylor''' của một [[hàm số]] là [[Chuỗi (toán học)|tổng vô hạn]] của các phần tử biểu diễn bằng các [[đạo hàm]] của hàm đó tại một điểm. Với mọi hàm thường gặp, giá trị hàm và tổng chuỗi Taylor bằng nhau khi gần điểm này. Chuỗi Taylor được đặt theo tên nhà toán học [[Brook Taylor]], người giới thiệu chúng trong 1715. Nếu 0 là điểm để tính đạo hàm, thì chuỗi Taylor cũng được gọi là '''chuỗi Maclaurin''', theo [[Colin Maclaurin]], người nghiên cứu trường hợp đặc biệt này của Taylor vào giữa thập niên 1700.

[[Tổng từng phần]] của {{math|''n'' + 1}} phần tử đầu tiên của chuỗi Taylor là [[đa thức]] bậc {{mvar|n}} được gọi là '''đa thức Taylor''' bậc {{mvar|n}} của hàm số. Các đa thức Taylor là các xấp xỉ của hàm số, và thường xấp xỉ tốt hơn khi {{mvar|n}} tăng. [[Định lý Taylor]] tính xấp xỉ sai số của các đa thức đó. Nếu chuỗi Taylor của hàm đó [[Hội tụ (toán học)|hội tụ]], tổng của nó là [[giới hạn dãy số|giới hạn]] của [[dãy số|dãy]] các đa thức Taylor. Giá trị hàm số có thể khác với tổng của chuỗi Taylor, kể cả khi chuỗi Taylor của nó hội tụ. Một hàm số là [[hàm giải tích]] tại điểm {{mvar|x}} khi nó bằng tổng chuỗi Taylor của nó trên một [[khoảng (toán học)|khoảng mở]] (hay [[hình tròn|hình tròn mở]] trong [[mặt phẳng phức]]) nào đó chứa {{mvar|x}}. Điều này cho thấy hàm số giải tích tại mọi điểm trên khoảng (hay trên hình tròn).

==Định nghĩa==
Chuỗi Taylor của hàm [[hàm thực|thực]] hay [[hàm phức|phức]] {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} [[hàm khả vi vô hạn|khả vi vô hạn]] tại [[số thực]] hay [[số phức|phức]] {{math|''a''}} tương ứng là [[chuỗi lũy thừa]] sau:
<!--

Any changes to the following formula, without first obtaining consensus on the discussion page will be reverted.  In particular, *DO NOT* add f(x)= here.

-->:<math>f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots, </math>

trong đó {{math|''n''!}} ký hiệu [[giai thừa]] của {{mvar|n}}.  Để gọn hơn, bằng cách sử dụng [[Phép cộng|ký hiệu Sigma]], công thức trên được viết lại thành
<!--

Any changes to the following formula, without first obtaining consensus on the discussion page will be reverted.  In particular, *DO NOT* add f(x)= here.

-->:<math> \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}, </math>
trong đó {{math|''f''{{isup|(''n'')}}(''a'')}} ký hiệu [[đạo hàm]] thứ {{mvar|n}} của {{mvar|f}} tính tại {{mvar|a}}. Đạo hàm với bậc 0 của {{mvar|f}} được định nghĩa là chính hàm {{mvar|f}} và hai giá trị {{math|(''x'' − ''a'')<sup>0</sup>}} và {{math|0!}} [[tích rỗng|đều định nghĩa bằng với&nbsp;1]].

Khi {{math|''a'' {{=}} 0}}, chuỗi trên cũng được gọi là [[chuỗi Maclaurin]].<ref name="tmfin">{{harvnb|Thomas|Finney|1996|loc=§8.9}}</ref>

==Các ví dụ==
Chuỗi Taylor của [[đa thức]] bất kỳ là chính đa thức đó.<ref>{{chú thích tạp chí
 |title=Problems concerning interpolations
 |first=Edward |last=Waring |author-link=Edward Waring
 |journal=[[Philosophical Transactions of the Royal Society]]
 |date=9 January 1779 |volume=69 |pages=59–67
 |doi=10.1098/rstl.1779.0008
 |doi-access=free
 }}</ref>

Chuỗi Maclaurin của {{math|{{sfrac|1|1 − ''x''}}}} là [[chuỗi hình học]]

:<math>1 + x + x^2 + x^3 + \cdots.</math>

Bằng cách thay {{mvar|x}} thành {{math|1 − ''x''}}, chuỗi Taylor của {{math|{{sfrac|1|''x''}}}} tại {{math|''a'' {{=}} 1}} là

:<math>1 - (x-1) + (x-1)^2 - (x-1)^3 + \cdots.</math>

Bằng cách tính nguyên hàm của chuỗi Maclaurin trên, ta tìm thấy chuỗi Maclaurin của {{math|ln(1  − ''x'')}}, trong đó {{math|ln}} ký hiệu [[lôgarit tự nhiên]]:

:<math>-x - \tfrac{1}{2}x^2 - \tfrac{1}{3}x^3 - \tfrac{1}{4}x^4 - \cdots.</math>

Chuỗi Taylor tương ứng của {{math|ln ''x''}} tại {{math|''a'' {{=}} 1}} là

:<math>(x-1) - \tfrac{1}{2}(x-1)^2 + \tfrac{1}{3}(x-1)^3 - \tfrac{1}{4}(x-1)^4 + \cdots,</math>

và tổng quát hơn thì, chuỗi Taylor của {{math|ln ''x''}} tại điểm {{mvar|a}} khác không tùy ý là:

:<math>\ln a + \frac{1}{a} (x - a) - \frac{1}{a^2}\frac{\left(x - a\right)^2}{2} + \cdots.</math>

Chuỗi Maclaurin của [[hàm mũ]] {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} là

:<math>\begin{align}
   \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} &= \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots \\
   &= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots.
 \end{align}</math>

Khai triển trên đúng là bởi đạo hàm của {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} đối với  {{mvar|x}} cũng là {{math|''e''<sup>''x''</sup>}}, và {{math|''e''<sup>0</sup>}} bằng với&nbsp;1. Do đó ta được {{math|(''x'' − 0)<sup>''n''</sup>}} tại tử số và {{math|''n''!}} tại mẫu số của mỗi phần tử trong chuỗi.

==Lịch sử==
Triết học gia Hy Lạp [[Zeno xứ Elea|Zeno]] đã xét đến bài toán tính tổng vô hạn các phần tử nhưng kết quả thu được là hữu hạn, nhưng đã bác bỏ nó vì đây là nhiệm vụ bất khả thi;<ref>{{Chú thích sách|last1=Lindberg|first1=David|title=The Beginnings of Western Science|url=https://archive.org/details/beginningsofwest0000lind_d9a5|date=2007|publisher=University of Chicago Press|isbn=978-0-226-48205-7|page=[https://archive.org/details/beginningsofwest0000lind_d9a5/page/33 33]|edition=2nd}}</ref> kết quả ra được [[nghịch lý Zeno]]. Sau đó, [[Aristotle]] đưa ra lời giải cho nghịch lý bằng triết học, nhưng phần toán học thì chưa được giải quyết cho đến khi được giải bởi [[Archimedes]]. Qua [[phương pháp vét cạn]] của Archimedes, ta mới nhận thấy rằng dù có chia vô hạn một giá trị nào đó thì tổng thu được vẫn là hữu hạn.<ref>{{Chú thích sách |last=Kline |first=M. |year=1990 |title=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times |url=https://archive.org/details/mathematicalthou00klin |url-access=registration |location=New York |publisher=Oxford University Press |pages=[https://archive.org/details/mathematicalthou00klin/page/n437 35]–37 |isbn=0-19-506135-7 }}</ref> [[Lưu Huy (nhà toán học)|Lưu Huy]] độc lập tìm ra phương pháp này vài thế kỷ sau đó.<ref>{{Chú thích sách |last1=Boyer |first1=C. |last2=Merzbach |first2=U.|author2-link= Uta Merzbach |year=1991 |title=A History of Mathematics |url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye |url-access=registration |publisher=John Wiley and Sons |edition=Second revised |pages=[https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/202 202–203] |isbn=0-471-09763-2 }}<!--I'm sure there are better refs than this. Hui gave fairly "rigorous" bounds on the convergence, if I recall. But it isn't addressed here.--></ref>

Trong thế kỷ 14, các ví dụ sớm nhất của chuỗi Taylor và các phương pháp tương tự được nêu bởi [[Madhava xứ Sangamagrama]].<ref name="MAT 314">{{Chú thích web| publisher=Canisius College| work=MAT 314| url=http://www.pas.rochester.edu/~rajeev/papers/canisiustalks.pdf| title=Neither Newton nor Leibniz – The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala| access-date=2006-07-09| url-status=live| archive-url=https://web.archive.org/web/20150223113517/http://www.pas.rochester.edu/~rajeev/papers/canisiustalks.pdf| archive-date=2015-02-23}}</ref><ref name="dani">{{chú thích tạp chí| title=Ancient Indian Mathematics – A Conspectus| author= S. G. Dani|journal= Resonance |volume=17|issue=3|year=2012|pages=236–246|doi=10.1007/s12045-012-0022-y| s2cid= 120553186}}</ref> Mặc dù không bài viết nào của ông còn tồn tại, nhưng những bài viết sau đó của các [[Toán học Ấn Độ|nhà toán học Ấn Độ]] cho rằng ông đã tính được một số chuỗi, cụ thể hơn là chuỗi các [[hàm lượng giác]] [[sin]], [[cos]], [[tang]], và [[arctan]]. Trường toán học và thiên văn của Kerala đã mở rộng thêm công trình của ông với nhiều [[khai triển chuỗi]] và xấp xỉ cho tới thế kỷ 16.

Trong thế kỷ 17, [[James Gregory]] cũng làm việc với chuỗi này và xuất bản một số chuỗi Maclaurin. Phải tới năm 1715 thì phương pháp tổng quát để xây các chuỗi cho các hàm mà chúng tồn tại mới được đưa bởi [[Brook Taylor]],<ref>{{Chú thích sách|language=la|last=Taylor |first=Brook |title=Methodus Incrementorum Directa et Inversa |url=https://archive.org/details/UFIE003454_TO0324_PNI-2529_000000|trans-title=Direct and Reverse Methods of Incrementation |location=London |date=1715 |at=p. 21–23 (Prop. VII, Thm. 3, Cor. 2)}} Translated into English in {{Chú thích sách|first=D. J. |last=Struik|title=A Source Book in Mathematics 1200–1800 |url=https://archive.org/details/sourcebookinmath0000stru |location=Cambridge, Massachusetts |publisher=Harvard University Press |date=1969 |pages= [https://archive.org/details/sourcebookinmath0000stru/page/329 329]–332}}</ref> và sau đó chuỗi này được đặt theo tên ông.

Chuỗi Maclaurin được đặt tên theo [[Colin Maclaurin]], một giáo sư tại Edinburgh, người xuất bản các trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor vào những năm 1700 <ref>{{Chú thích web|url=https://www.ukessays.com/essays/engineering/history-and-purpose-of-maclaurin-series-engineering-essay.php?vref=1|title=History of Maclaurin Series|last=Answers|first=All|date=November 2018|publisher=UKEssays.com|location=Nottingham, UK|accessdate=4 September 2022}}</ref>.

==Hàm giải tích==
[[Hình:Exp neg inverse square.svg|300px|thumb|right|Hàm số {{math|1=<strong style="color:#803300">''e''<sup>(−1/''x''<sup>2</sup>)</sup></strong>}} không giải tích tại {{math|1=''x'' {{=}} 0}}: giá trị tổng chuỗi Taylor tại đó bằng 0, nhưng giá trị hàm số thì không bằng.]]
{{main|Hàm giải tích}}
Nếu {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} được xác định bởi chuỗi lũy thừa hội tụ trong hình tròn mở tâm {{mvar|b}} trên mặt phẳng phức (hay trên khoảng số thực), nó được gọi là [[hàm giải tích]] trên miền đó <ref>{{Chú thích sách|url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-85590-0|title=Analytic Functions|language=en|doi=10.1007/978-3-642-85590-0}}</ref>. Do đó, với {{mvar|x}} thuộc miền đó, và {{mvar|f}} được cho bởi chuỗi lũy thừa hội tụ sau
:<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n(x-b)^n.</math>
Tính đạo hàm bởi {{mvar|x}} cho công thức trên {{mvar|n}} lần, rồi đặt {{math|''x'' {{=}} ''b''}} thì được:
:<math>\frac{f^{(n)}(b)}{n!} = a_n</math>
Vì vậy khai triển chuỗi lũy thừa khi ấy tương đương với chuỗi Taylor. Do đó, hàm số giải tích trong hình tròn mở tâm {{mvar|b}} khi và chỉ khi chuỗi Taylor của nó hội tụ đến giá trị hàm tại mỗi điểm thuộc hình tròn.

Nếu {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} bằng với tổng chuỗi Talor tại mọi {{mvar|x}} thuộc mặt phẳng phức, thì nó được gọi là [[hàm nguyên]] <ref>{{Chú thích tạp chí|last=M. A. J.|date=1956-02|title=Entire Functions. By R. P. Boas. Pp. xi, 276. $6. 1954. (Academic Press, New York)|url=http://dx.doi.org/10.2307/3610304|journal=The Mathematical Gazette|volume=40|issue=331|pages=70–71|doi=10.2307/3610304|issn=0025-5572}}</ref>. Các đa thức, [[hàm mũ]] {{math|''e''<sup>''x''</sup>}}, và các [[hàm lượng giác]] sin và cos, là các ví dụ của hàm nguyên. Các ví dụ của các hàm không nguyên bao gồm [[căn bậc hai]], [[lôgarit]], các [[hàm lượng giác]] tang, và nghịch đảo của nó, [[arctan]]. Đối với các hàm này, chuỗi Taylor không hội tụ khi {{mvar|x}} xa khỏi {{mvar|b}}. Nghĩa là chuỗi Taylor [[chuỗi phân kỳ|phân kỳ]] tại {{mvar|x}} khi khoảng cách giữa {{mvar|x}} và {{mvar|b}} lớn hơn [[bán kính hội tụ]]. Chuỗi Taylor có thể dùng để tính giá trị hàm nguyên tại mọi điểm, nếu giá trị của hàm đó cũng như các đạo hàm của hàm đó đã được tính trước tại một điểm.

Các ứng dụng của chuỗi Taylor cho hàm giải tích bao gồm <ref>{{Chú thích|title=Taylor expansions and applications|date=2008|url=http://link.springer.com/10.1007/978-88-470-0876-2_7|work=Mathematical Analysis I|pages=223–255|place=Milano|publisher=Springer Milan|doi=10.1007/978-88-470-0876-2_7|isbn=978-88-470-0875-5|access-date=2022-09-04}}</ref>:
#Các tổng riêng (Các [[đa thức Taylor]]) của chuỗi có thể dùng để tính xấp xỉ giá trị hàm. Các xấp xỉ này tốt khi đủ số phần tử được xét.
#Vi phân và tích phân của chuỗi lũy thừa có thể được tính dễ dàng hơn so với hàm ban đầu.
#[[Hàm giải tích]] chỉ có thể mở rộng duy nhất thành [[hàm chỉnh hình]] trên hình tròn mở trong mặt phẳng [[số phức|phức]]. Điều này giúp cho ta làm việc trong [[giải tích phức]].
#Chuỗi (đã bị cắt đi một phần) có thể dùng để tính giá trị số của hàm, (bằng cách đưa các đa thức về [[dạng Chebyshev]] rồi dùng [[thuật toán Clenshaw]]).
#Các phép đại số có thể sử dụng trên biểu diễn chuỗi lũy thừa, ví dụ như [[công thức Euler]] đến từ khai triển chuỗi Taylor cho các hàm lượng giác và hàm mũ. Kết quả này quan trọng trong [[giải tích điều hòa]].
#Xấp xỉ sử dụng các phần tử đầu của chuỗi Taylor có thể khiến một số bài toán bất khả thi giải được trong miền được giới hạn; Phương pháp này được sử dụng trong vật lý.

==Sai số xấp xỉ và hội tụ==
{{main|Định lý Taylor}}
[[Hình:Taylorsine.svg|300px|thumb|right|Hàm sin (màu xanh dương) được tính xấp xỉ bằng đa thức Taylor bậc 7 của nó (màu hồng) trong toàn bộ chu kỳ với tâm tại gốc tọa độ.]]
[[Hình:LogTay.svg|300px|thumb|right|Các đa thức Taylor cho {{math|ln(1 + ''x'')}} chỉ cho xấp xỉ chính xác với {{math|−1 < ''x'' ≤ 1}}. Khi {{math|''x'' > 1}}, các đa thức Taylor bậc cao hơn tính xấp xỉ kém hơn.]]
[[Hình:Logarithm GIF.gif|300px|thumb|right|Xấp xỉ Taylor cho {{math|ln(1 + ''x'')}} (màu đen). Khi {{math|''x'' > 1}}, dãy các giá trị xấp xỉ phân kỳ.]]

Trong ảnh là xấp xỉ chính xác của hàm {{math|sin ''x''}} quanh điểm {{math|''x'' {{=}} 0}}. Đường màu hồng là đa thức Taylor bậc 7:

:<math>\sin\left( x \right) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}.\!</math>

Sai số của xấp xỉ này không quá {{math|{{abs|''x''}}<sup>9</sup>&thinsp;/&thinsp;9!}}. Với một chu kỳ đầy đủ ({{math|−π < ''x'' < π}}) sai số này nhỏ hơn 0.08215. Cụ thể hơn, với {{math|−1 < ''x'' < 1}}, sai số nhỏ hơn&nbsp;0,000003.

Ngược lại là ảnh đồ thị của hàm {{math|ln(1 + ''x'')}} và đa thức Taylor của nó quanh {{math|''a'' {{=}} 0}}. Các xấp xỉ này hội tụ chỉ khi {{math|−1 < ''x'' ≤ 1}}; ngoài miền này các đa thức Taylor tính xấp xỉ ''kém hơn'' so với các đa thức trong miền.

''Sai số'' xuất hiện trong xấp xỉ hàm số của đa thức Taylor bậc {{mvar|n}} được gọi là ''phần dư Taylor'' (hay cụ thể hơn, ''phần dư Taylor bậc n'') và được ký hiệu bởi hàm {{math|''R''<sub>''n''</sub>(''x'')}}:

:<math>R_{n}(x) = f(x) - P_{n}(x)</math>

Trong đó <math>P_{n}(x)</math> ký hiệu đa thức Taylor bậc ''n''. Định lý Taylor được dùng để xác định cận trên và dưới của phần dư.

Tổng quát thì, chuỗi Taylor không nhất thiết phải [[chuỗi hội tụ|hội tụ]]. Thêm nữa tập các hàm mà chuỗi Taylor của nó hội tụ là [[tập meagre]] trong [[không gian Fréchet]] của các [[hàm trơn]]<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Dayal|first=S.|date=1977|title=A Converse of Taylor's Theorem for Functions on Banach Spaces|url=https://www.jstor.org/stable/2041904|journal=Proceedings of the American Mathematical Society|volume=65|issue=2|pages=265–273|doi=10.2307/2041904|issn=0002-9939}}</ref>. Và kể cả khi chuỗi Taylor của hàm {{mvar|f}} có hội tụ, giới hạn của nó cũng không nhất thiết phải bằng với giá trị của hàm {{math|''f''&thinsp;(''x'')}}. Lấy ví dụ, hàm
:<math>
f(x) = \begin{cases}
  e^{-1/x^2} & \text{nếu } x \neq 0 \\[3mu]
  0          & \text{nếu } x = 0
\end{cases}
</math>
[[khả vi vô hạn]] tại {{math|''x'' {{=}} 0}}, và có mọi đạo hàm của nó bằng không tại đó. Do đó, chuỗi Taylor của {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} quanh {{math|''x'' {{=}} 0}} cũng bằng không. Tuy nhiên, {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} không phải hàm không, nên không bằng với chuỗi Taylor quanh {{math|''x'' {{=}} 0}}. Do đó, hàm {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} trên là ví dụ của [[hàm trơn không giải tích]].

Trong [[giải tích thực]], ví dụ này cho thấy có vô số các [[hàm khả vi vô hạn]] {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} mà chuỗi Taylor của nó ''không'' bằng với {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} kể cả khi chuỗi hội tụ. Ngược lại, các [[hàm chỉnh hình]] trong [[giải tích phức]] luôn có chuỗi Taylor của nó hội tụ,thậm chí kể cả các [[hàm phân hình]], dù các hàm đó có các điểm kỳ dị nhưng chuỗi Taylor của nó không bao giờ hội tụ đến giá trị khác với giá trị hàm. Tuy nhiên, hàm phức [[hàm liên tục|liên tục]] {{math|''e''<sup>−1/''z''<sup>2</sup></sup>}}, không tiến đến 0 khi {{mvar|z}} chạy tới 0 theo trục ảo, nên nó không trong mặt phẳng phức và chuỗi Taylor của nó không xác định tại 0.

Tổng quát hơn, mọi dãy số thực hay phức có thể làm [[hệ số]] của chuỗi Taylor cho một [[hàm số khả vi]] vô hạn trên đường số thực, một hệ quả của [[bổ đề Borel]]. Do đó, [[bán kính hội tụ]] của chuỗi Taylor có thể bằng không. Có vô hạn các hàm khả vi vô hạn mà chuỗi Taylor của nó có bán kính hội tụ bằng 0 mọi điểm.<ref>{{Citation | last = Rudin | first = Walter | author-link = Walter Rudin| title = Real and Complex Analysis | place = New Delhi | publisher = McGraw-Hill | year = 1980 | page = 418, Exercise 13 | isbn = 0-07-099557-5 }}</ref>

Hàm số không thể viết thành chuỗi Taylor tại các điểm [[kỳ dị (toán học)|kỳ dị]]; nếu muốn thì, ta vẫn có thể có khai triển chuỗi nếu cho phép sử dụng lũy thừa bậc âm của biến {{mvar|x}}; xem [[chuỗi Laurent]]. Lấy ví dụ, hàm {{math|''f''&thinsp;(''x'') {{=}} ''e''<sup>−1/''x''<sup>2</sup></sup>}} có thể viết thành chuỗi Laurent.

===Tổng quát hóa===
Tuy nhiên, có dạng tổng quát<ref>{{citation|first=William|last=Feller|author-link=William Feller|title=An introduction to probability theory and its applications, Volume 2|edition=3rd|publisher=Wiley|year=1971|pages=230–232}}.</ref><ref>{{citation|first1=Einar|last1=Hille|author-link1=Einar Hille|first2=Ralph S.|last2=Phillips|author-link2=Ralph S. Phillips|title=Functional analysis and semi-groups|publisher=American Mathematical Society|series=AMS Colloquium Publications|volume=31|year=1957|pages=300–327}}.</ref> của chuỗi Taylor có hội tụ đến giá trị hàm với bất kỳ hàm [[hàm liên tục|liên tục]] [[hàm bị chặn|bị chặn]] trên {{math|(0,∞)}}, sử dụng [[vi tích phân]] của [[số gia hữu hạn]].  Đầy đủ hơn, ta có định lý sau bởi [[Einar Hille]], rằng với bất kỳ {{math|''t'' > 0}},
:<math>\lim_{h\to 0^+}\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}\frac{\Delta_h^nf(a)}{h^n} = f(a+t).</math>
Ở đây {{math|Δ{{su|p=''n''|b=''h''}}}} là toán tử số gia hữu hạn thứ {{mvar|n}} với bước {{mvar|h}}. Chuỗi này là chuỗi Taylor, nhưng thay vì là đạo hàm thì thay vào đó là số gia: chuỗi này tương tự với [[chuỗi Newton]]. Khi hàm {{mvar|f}} giải tích tại {{mvar|a}}, các phần tử trong chuỗi hội tụ đến các phần tử trong chuỗi Taylor, do thế mới ám chỉ tổng quát chuỗi Taylor.

Tổng quát thì, với bất kỳ dãy vô hạn {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} nào, định thức chuỗi lũy thừa sau được thỏa mãn:
:<math>\sum_{n=0}^\infty\frac{u^n}{n!}\Delta^na_i = e^{-u}\sum_{j=0}^\infty\frac{u^j}{j!}a_{i+j}.</math>
Nên cụ thể hơn thì,
:<math>f(a+t) = \lim_{h\to 0^+} e^{-t/h}\sum_{j=0}^\infty f(a+jh) \frac{(t/h)^j}{j!}.</math>
Chuỗi trong vế phải là [[giá trị kì vọng]] của {{math|''f''&thinsp;(''a'' + ''X'')}}, trong đó {{mvar|X}} là [[biến ngẫu nhiên]] trong [[phân phối Poisson]] lấy giá trị {{math|''jh''}} với xác suất {{math|''e''<sup>−''t''/''h''</sup>·{{sfrac|(''t''/''h''){{isup|''j''}}|''j''!}}}}. Do đó,
:<math>f(a+t) = \lim_{h\to 0^+} \int_{-\infty}^\infty f(a+x)dP_{t/h,h}(x).</math>
[[Luật số lớn]] cho rằng định thức này thỏa mãn.<ref>{{Chú thích sách|author-link=William Feller|first=William|last=Feller|title=An introduction to probability theory and its applications|volume=2|edition=3|page=231|year=1970}}</ref>

==Danh sách các chuỗi Maclaurin cho một số hàm thường gặp==
{{see also|Danh sách các chuỗi toán học}}
Sau đây là các khai triển chuỗi Maclaurin cho một số hàm thường gặp.<ref>Phần lớn các chuỗi này có thể tìm thấy trong {{harv|Abramowitz|Stegun|1970}}.</ref> Tất cả khai triển này đều đúng với {{mvar|x}} phức.

=== Hàm mũ ===
[[Tập tin:Exp series.gif|right|thumb|[[Hàm mũ]] {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} (màu xanh), và tổng của {{math|''n'' + 1}} phần tử đầu tiên của chuỗi Taylor của nó tại 0 (màu đỏ).]]
[[Hàm mũ]] <math>e^x</math> (với cơ số {{mvar|[[e (số)|e]]}}) có chuỗi Maclaurin
:<math>e^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots </math>.
Nó hội tụ với mọi {{mvar|x}}.

[[Hàm sinh]] mũ của các [[số Bell]] là hàm mũ của số trước đó của hàm mũ:

:<math>\exp[\exp(x)-1] = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!}x^{n}</math>

=== Lôgarit tự nhiên ===
{{main|Chuỗi Mercator}}
[[Lôgarit tự nhiên]] (với cơ số {{mvar|[[e (số)|e]]}}) có chuỗi Maclaurin
:<math>\begin{align}
\ln(1-x) &= - \sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^n}n = -x - \frac{x^2}2 - \frac{x^3}3 - \cdots , \\
\ln(1+x) &= \sum^\infty_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \cdots .
\end{align}</math>
Chúng hội tụ với <math>|x| < 1</math>. (Thêm nữa, chuỗi cho {{math|ln(1 − ''x'')}} hội tụ khi {{math|''x'' {{=}} −1}}, và chuỗi cho {{math|ln(1 + ''x'')}} hội tụ khi {{math|''x'' {{=}} 1}}.)

=== Chuỗi hình học ===

[[Chuỗi hình học]] và các đạo hàm của nó có chuỗi Maclaurin như sau

:<math>\begin{align}
\frac{1}{1-x} &= \sum^\infty_{n=0} x^n \\
\frac{1}{(1-x)^2} &= \sum^\infty_{n=1} nx^{n-1}\\
\frac{1}{(1-x)^3} &= \sum^\infty_{n=2} \frac{(n-1)n}{2} x^{n-2}.
\end{align}</math>
Tất cả đều hội tụ cho <math>|x| < 1</math>.  Đây là các trường hợp đặc biệt cho [[chuỗi nhị thức]] trong mục sau.

=== Chuỗi nhị thức ===

[[Chuỗi nhị thức]] là chuỗi lũy thừa
<math display="block">(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} x^n</math>
trong đó các hệ số là các [[hệ số nhị thức]]:
<math display="block">\binom{\alpha}{n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.</math>

(Nếu {{math|1= ''n'' = 0}}, tích này thành [[tích rỗng]] và có giá trị 1.)  Nó hội tụ cho <math>|x| < 1</math> với bất kỳ số thực hay phức {{mvar|α}}.

Khi {{math|1=''α'' = −1}}, chuỗi này trở thành chuỗi hình học trong mục trước.  Trường hợp đặc biệt {{math|1=''α'' = {{sfrac|1|2}}}} và {{math|1=''α'' = −{{sfrac|1|2}}}} cho hàm [[căn bậc hai]] và [[hàm nghịch đảo|nghịch đảo]] của nó:
<math display="block">\begin{align} 
(1+x)^\frac{1}{2} &= 1 + \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{8}x^2 + \tfrac{1}{16}x^3 - \tfrac{5}{128}x^4 + \tfrac{7}{256}x^5 - \cdots &&=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n-1}(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n-1)} x^n, \\
(1+x)^{-\frac12} &= 1 -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{3}{8}x^2 - \tfrac{5}{16}x^3 + \tfrac{35}{128}x^4 - \tfrac{63}{256}x^5 + \cdots &&=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n(2n)!}{4^n (n!)^2} x^n.
\end{align}</math>

Khi chỉ có mỗi các [[xấp xỉ tuyến tính|phần tử tuyến tính]] được giữ lại, xấp xỉ này đơn giản hóa thành [[xấp xỉ nhị thức]].

=== Các hàm lượng giác ===
Các [[hàm lượng giác]] thường gặp và nghịch đảo của chúng có chuỗi Maclaurin như sau:
:<math>\begin{align}
\sin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} &&= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots && \text{với mọi } x\\[6pt]
\cos x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} &&= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots && \text{với mọi } x\\[6pt]
\tan x &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n \left(1-4^n\right)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots && \text{với }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt]
\sec x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} &&=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\cdots && \text{với }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt]
\arcsin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} &&=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots && \text{với }|x| \le 1\\[6pt]
\arccos x &=\frac{\pi}{2}-\arcsin x\\&=\frac{\pi}{2}- \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}&&=\frac{\pi}{2}-x-\frac{x^3}{6}-\frac{3x^5}{40}-\cdots&& \text{với }|x| \le 1\\[6pt]
\arctan x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} &&=x-\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}-\cdots && \text{với }|x| \le 1,\ x\neq\pm i
\end{align}</math>

Tất cả các góc đều trong [[radian]]. Các số {{math|''B<sub>k</sub>''}} xuất hiện trong biểu thức {{math|tan ''x''}} là các [[số Bernoulli]]. Các số {{math|''E''<sub>''k''</sub>}} trong khai triển của {{math|sec ''x''}} là các [[số Euler]].

=== Các hàm Hyperbolic  ===
Các [[hàm hyperbolic]] có chuỗi Maclaurin gần giống với các hàm lượng giác:
:<math>\begin{align}
\sinh x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} &&= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots && \text{với mọi } x\\[6pt]
\cosh x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} &&= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots && \text{với mọi } x\\[6pt]
\tanh x &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n \left(4^n-1\right)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots && \text{với }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt]
\operatorname{arsinh} x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} &&=x - \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} - \cdots && \text{với }|x| \le 1\\[6pt]
\operatorname{artanh} x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} &&=x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}  +\cdots && \text{với }|x| \le 1,\ x\neq\pm 1
\end{align}</math>

Các số {{math|''B<sub>k</sub>''}} xuất hiện trong chuỗi cho {{math|tanh ''x''}} là các [[số Bernoulli]].

=== Hàm Polylogarit ===
Các hàm [[Hàm polylogarit|polylogarit]] có định thức sau:
:<math>\text{Li}_{2}(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2} x^{n}</math>
:<math>\text{Li}_{3}(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^3} x^{n}</math>

Các [[hàm chi Legendre]] được định nghĩa như sau:
:<math>\chi_{2}(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2n + 1)^2} x^{2n + 1}</math>
:<math>\chi_{3}(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2n + 1)^3} x^{2n + 1}</math>

Các công thức bên dưới được gọi là ''nguyên hàm tiếp tuyến nghịch đảo'':
:<math>\text{Ti}_{2}(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)^2} x^{2n + 1}</math>
:<math>\text{Ti}_{3}(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)^3} x^{2n + 1}</math>

Trong [[cơ học thống kê]], các công thức này rất quan trọng.

=== Hàm Elliptic ===

[[Nguyên hàm Elliptic]] đầy đủ của loại đầu K và loại thứ hai E được định nghĩa như sau:

:<math>\frac{2}{\pi}K(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{[(2n)!]^2}{16^{n}(n!)^4}x^{2n}</math>
:<math>\frac{2}{\pi}E(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{[(2n)!]^2}{(1 - 2n)16^{n}(n!)^4}x^{2n}</math>

Các [[Hàm theta|hàm theta Jacobi]] mô tả thế giới của hàm môđun elliptic và chúng thường có chuỗi Taylor như sau :

:<math>\vartheta_{00}(x) = 1 + 2\sum_{n = 1}^{\infty} x^{n^2}</math>
:<math>\vartheta_{01}(x) = 1 + 2\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n} x^{n^2}</math>

[[Hàm phân hoạch (lý thuyết số)|Dãy số phân hoạch]] P(n) có hàm sinh sau:

:<math>\vartheta_{00}(x)^{-1/6}\vartheta_{01}(x)^{-2/3}\biggl[\frac{\vartheta_{00}(x)^4 - \vartheta_{01}(x)^4}{16\,x}\biggr]^{-1/24} = \sum_{n=0}^{\infty} P(n)x^n = \prod_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{1 - x^{k}}</math>

Dãy số phân hoạch nghiêm ngặt Q(n) có hàm sinh sau:

:<math>\vartheta_{00}(x)^{1/6}\vartheta_{01}(x)^{-1/3}\biggl[\frac{\vartheta_{00}(x)^4 - \vartheta_{01}(x)^4}{16\,x}\biggr]^{1/24} = \sum_{n=0}^{\infty} Q(n)x^n = \prod_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{1 - x^{2k - 1}}</math>

==Tính chuỗi Taylor==
Có nhiều phương pháp để tính chuỗi Taylor cho các hàm số khác nhau. Đầu tiên có thể dùng luôn định nghĩa chuỗi Taylor, song làm như vậy yêu cầu phải tổng quát các hệ số theo một nhận dạng dễ nhìn. Ngoài ra, cũng có thể sử dụng các phép cơ bản như phép thế, [[phép nhân]], phép chia hay cộng, trừ của chuỗi Taylor căn bản để tìm chuỗi Taylor cho hàm cần tìm, bởi bản chất của chuỗi Taylor là chuỗi lũy thừa. Trong một số trường hợp, có thể tìm ra chuỗi Taylor bằng cách liên tục áp dụng [[tích phân từng phần]]. Tiện hơn nhiều đó là việc dùng các [[hệ thống đại số máy tính]] để tính các chuỗi Taylor.

===Ví dụ đầu tiên===
Để tính đa thức Taylor bậc 7 của hàm sau
:<math>f(x)=\ln(\cos x),\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)</math> ,
đầu tiên có thể viết lại thành
:<math>f(x)=\ln\bigl(1+(\cos x-1)\bigr)\!</math>.
Chuỗi Taylor cho lôgarit tự nhiên (sử dụng [[ký hiệu O lớn]]) là
:<math>\ln(1+x) = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 + {O}\left(x^4\right)\!</math>
và cho hàm cosin là
:<math>\cos x - 1 = -\frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + {O}\left(x^8\right)\!</math>.
Khai triển của hàm cosin có [[phần tử hằng|phần tử]] bằng không, cho phép thay chuỗi thứ hai vào chuỗi thứ nhất rồi bỏ đi các phần tử có bậc lớn hơn 7 bằng cách sử dụng ký hiệu {{mvar|O}} lớn:

:<math>\begin{align}f(x)&=\ln\bigl(1+(\cos x-1)\bigr)\\
&=(\cos x-1) - \tfrac12(\cos x-1)^2 + \tfrac13(\cos x-1)^3+ {O}\left((\cos x-1)^4\right)\\
&=\left(-\frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} +{O}\left(x^8\right)\right)-\frac12\left(-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+{O}\left(x^6\right)\right)^2+\frac13\left(-\frac{x^2}2+O\left(x^4\right)\right)^3 + {O}\left(x^8\right)\\ & =-\frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720} - \frac{x^4}8 + \frac{x^6}{48} - \frac{x^6}{24} +O\left(x^8\right)\\
& =- \frac{x^2}2 - \frac{x^4}{12} - \frac{x^6}{45}+O\left(x^8\right). \end{align}\!</math>
Bởi hàm cosin là [[hàm chẵn]], hệ số cho các lũy thừa bậc lẻ {{math|''x'', ''x''<sup>3</sup>, ''x''<sup>5</sup>, ''x''<sup>7</sup>, ...}} đều bằng không.

===Ví dụ thứ hai===
Giả sử muốn tìm chuỗi Taylor tại 0 cho hàm số
: <math>g(x)=\frac{e^x}{\cos x}.\!</math>
Sau đây là khai triển chuỗi Taylor sau cho hàm
: <math>e^x = \sum^\infty_{n=0} \frac{x^n}{n!} =1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}+\cdots\!</math>
và như ví dụ đầu,
: <math>\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\!</math>
Giả sử chuỗi lũy thừa có dạng
: <math>\frac{e^x}{\cos x} = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots\!</math>
Nhân hai vế với mẫu số rồi thay khai triển chuỗi cho cosin được
: <math>\begin{align} e^x &= \left(c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots\right)\cos x\\
&=\left(c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4x^4 + \cdots\right)\left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\right)\\&=c_0 - \frac{c_0}{2}x^2 + \frac{c_0}{4!}x^4 + c_1x - \frac{c_1}{2}x^3 + \frac{c_1}{4!}x^5 + c_2x^2 - \frac{c_2}{2}x^4 + \frac{c_2}{4!}x^6 + c_3x^3 - \frac{c_3}{2}x^5 + \frac{c_3}{4!}x^7 + c_4x^4 +\cdots \end{align}\!</math>
Gộp các phần tử cho tới bậc 4 được
: <math>e^x =c_0 + c_1x + \left(c_2 - \frac{c_0}{2}\right)x^2 + \left(c_3 - \frac{c_1}{2}\right)x^3+\left(c_4-\frac{c_2}{2}+\frac{c_0}{4!}\right)x^4 + \cdots\!</math>
Các giá trị của <math>c_i</math> có thể tìm được bằng cách so sánh với các hệ số trên của <math>e^x</math>, ra được:
: <math>\frac{e^x}{\cos x}=1 + x + x^2 + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^4}{2} + \cdots.\!</math>

===Ví dụ thứ ba===
Ở đây ta dùng "khai triển gián tiếp" để tìm ra khai triển cho hàm số sau. Phương pháp này sử dụng khai triển của hàm mũ. Để khai triển hàm {{math|(1 + ''x'')''e<sup>x</sup>''}} thành chuỗi Taylor của {{mvar|x}}, ta dùng khai triển đã biết của hàm mũ {{math|''e''<sup>''x''</sup>}}:
: <math>e^x = \sum^\infty_{n=0} \frac{x^n}{n!} =1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}+\cdots.</math>
Từ đó,
: <math>\begin{align}(1+x)e^x &= e^x + xe^x = \sum^\infty_{n=0} \frac{x^n}{n!} + \sum^\infty_{n=0} \frac{x^{n+1}}{n!} = 1 + \sum^\infty_{n=1} \frac{x^n}{n!} + \sum^\infty_{n=0} \frac{x^{n+1}}{n!} \\ &= 1 + \sum^\infty_{n=1} \frac{x^n}{n!} + \sum^\infty_{n=1} \frac{x^n}{(n-1)!} =1 + \sum^\infty_{n=1}\left(\frac{1}{n!} + \frac{1}{(n-1)!}\right)x^n \\ &= 1 + \sum^\infty_{n=1}\frac{n+1}{n!}x^n\\ &= \sum^\infty_{n=0}\frac{n+1}{n!}x^n.\end{align}</math>

==Dùng chuỗi Taylor cho định nghĩa==
Theo cổ điển, các [[hàm đại số]] được định nghĩa bởi phương trình đại số, và các [[hàm siêu việt]] (bao gồm các hàm trên) được định nghĩa bởi một số tính chất thêm vào mà chúng thỏa mãn, như [[phương trình vi phân]]. Lấy ví dụ, [[hàm mũ]] là hàm bằng với đạo hàm của nó tại mọi nơi, nhận giá trị 1 tại gốc tọa độ <ref>{{chú thích sách |tựa đề=Real Analysis with Economic Applications |họ = A. Ok |tên = Efe |lk tác giả = |đồng tác giả= |năm=2011 |nhà xuất bản=Princeton University Press |nơi= |isbn= |trang=76 |url=https://books.google.com/books?id=pYJmnnnA1dkC&pg=PA76&dq=exponential+function+derivation+equal+1&hl=vi&sa=X&ved=2ahUKEwii1qqt_uX5AhVhEFkFHWn3Bz4Q6AF6BAhlEAI#v=onepage&q=exponential%20function%20derivation%20equal%201&f=false |ngày truy cập= 27 tháng 08 năm 2022}}</ref>. Tương tự như vậy, có thể định nghĩa các [[hàm giải tích]] bằng các chuỗi Taylor của chúng.

Chuỗi Taylor được sử dụng để định nghĩa các "[[toán tử]]" trong nhiều trường của toán học. Cụ thể hơn, điều này đúng khi định nghĩa cổ điển của hàm số không còn đúng nữa. Lấy ví dụ, dùng chuỗi Taylor, ta có thể mở rộng các hàm giải tích cho tập các ma trận và các toán tử, như [[mũ ma trận]] hay [[lôgarit ma trận]] <ref>{{Chú thích tạp chí|last=Vetter|first=William J.|date=1973|title=Matrix Calculus Operations and Taylor Expansions|url=https://www.jstor.org/stable/2028606|journal=SIAM Review|volume=15|issue=2|pages=352–369|issn=0036-1445}}</ref>.

Trong các nhánh khác, như giải tích, người ta thường làm việc dễ dàng hơn với chính các [[chuỗi lũy thừa]]. Ví dụ chẳng hạn, có thể coi nghiệm của phương trình vi phân ''là'' chuỗi lũy thừa, sau đó thử chứng minh xem chuỗi Taylor đó có phải là chuỗi Taylor của nghiệm cần tìm<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Nedialkov|first=Nedialko S.|last2=Pryce|first2=John D.|date=2005-09|title=Solving Differential-Algebraic Equations by Taylor Series (I): Computing Taylor Coefficients|url=http://dx.doi.org/10.1007/s10543-005-0019-y|journal=BIT Numerical Mathematics|volume=45|issue=3|pages=561–591|doi=10.1007/s10543-005-0019-y|issn=0006-3835}}</ref>.

==Chuỗi Taylor cho hàm nhiều biến==

Chuỗi Taylor có thể tổng quát hóa cho hàm nhiều biến như sau<ref>{{citation|author=Lars Hörmander|author-link=Lars Hörmander|title=The analysis of partial differential operators, volume 1|year=1990|publisher=Springer|at=Eqq. 1.1.7 and 1.1.7′}}</ref><ref>{{citation|author1=Duistermaat|author2=Kolk|title=Distributions: Theory and applications|publisher=Birkhauser|year=2010|at=ch. 6}}</ref>

:<math>\begin{align}
T(x_1,\ldots,x_d) &= \sum_{n_1=0}^\infty \cdots \sum_{n_d = 0}^\infty  \frac{(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}}{n_1!\cdots n_d!}\,\left(\frac{\partial^{n_1 + \cdots + n_d}f}{\partial x_1^{n_1}\cdots \partial x_d^{n_d}}\right)(a_1,\ldots,a_d) \\
&= f(a_1, \ldots,a_d) + \sum_{j=1}^d \frac{\partial f(a_1, \ldots,a_d)}{\partial x_j} (x_j - a_j) + \frac{1}{2!} \sum_{j=1}^d \sum_{k=1}^d \frac{\partial^2 f(a_1, \ldots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k} (x_j - a_j)(x_k - a_k) \\ 
& \qquad \qquad + \frac{1}{3!} \sum_{j=1}^d\sum_{k=1}^d\sum_{l=1}^d \frac{\partial^3 f(a_1, \ldots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k \partial x_l} (x_j - a_j)(x_k - a_k)(x_l - a_l) + \cdots
\end{align}</math>

Lấy ví dụ, đối với hàm <math>f(x,y)</math> phụ thuộc vào hai biến, {{mvar|x}} và {{mvar|y}}, chuỗi Taylor của nó đến bậc hai quanh điểm {{math|(''a'', ''b'')}} là

:<math>f(a,b) +(x-a) f'_x(a,b) +(y-b) f'_y(a,b) + \frac{1}{2!}\Big( (x-a)^2 f'_{xx}(a,b) + 2(x-a)(y-b) f'_{xy}(a,b) +(y-b)^2 f'_{yy}(a,b) \Big)</math>

trong đó các chữ viết dưới ký hiệu [[đạo hàm riêng]] tương ứng.

Khai triển chuỗi Taylor bậc hai cho hàm scalar nhiều biến có thể viết gọn lại thành

:<math>T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + (\mathbf{x} - \mathbf{a})^\mathsf{T} D f(\mathbf{a}) + \frac{1}{2!} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^\mathsf{T} \left \{D^2 f(\mathbf{a}) \right \} (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots,</math>

trong đó {{math|''D'' ''f''&thinsp;('''a''')}} là [[gradient]] của {{mvar|f}} tính tại {{math|'''x''' {{=}} '''a'''}} và {{math|''D''<sup>2</sup> ''f''&thinsp;('''a''')}} là [[ma trận Hesse]]. Sử dụng [[ký hiệu đa chỉ số]] ,chuỗi Taylor cho hàm nhiều biến viết lại thành

:<math>T(\mathbf{x}) = \sum_{|\alpha| \geq 0}\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{a})^\alpha}{\alpha !} \left({\mathrm{\partial}^{\alpha}}f\right)(\mathbf{a}),</math>

vẫn được hiểu là phương trình ban đầu nhưng được viết gọn lại đi, nhìn chung tương tự với trường hợp hàm 1 biến.

=== Ví dụ ===
[[Hình:Second Order Taylor.svg|200px|thumb|right|Xấp xỉ khai triển chuỗi Taylor bậc hai (màu cam) cho hàm {{math|''f''&thinsp;(''x'',''y'') {{=}} ''e<sup>x</sup>'' ln(1 + ''y'')}} quanh gốc tọa độ.]]
Để tính khai triển chuỗi Taylor bậc hai quanh điểm {{math|(''a'', ''b'') {{=}} (0, 0)}} cho hàm số
:<math>f(x,y)=e^x\ln(1+y),</math>

đầu tiên cần tính các đạo hàm riêng cần thiết:

:<math>\begin{align}
f'_x &= e^x\ln(1+y) \\[6pt]
f'_y &= \frac{e^x}{1+y} \\[6pt]
f'_{xx} &= e^x\ln(1+y) \\[6pt]
f'_{yy}  &= - \frac{e^x}{(1+y)^2}  \\[6pt]
f'_{xy} &=f'_{yx} =  \frac{e^x}{1+y} .
\end{align}</math>

Tính các đạo hàm tại gốc tọa độ ra các hệ số Taylor

:<math>\begin{align}
f'_x(0,0) &= 0 \\
f'_y(0,0) &=1 \\
f'_{xx}(0,0) &=0 \\
f'_{yy}(0,0) &=-1 \\
f'_{xy}(0,0) &=f_{yx}(0,0)=1.
\end{align}</math>

Thay các hệ số trên vào công thức

:<math>\begin{align}
T(x,y) = &f(a,b) +(x-a) f'_x(a,b) +(y-b) f'_y(a,b) 
\\ &{}+\frac{1}{2!}\left( (x-a)^2f'_{xx}(a,b) 
+ 2(x-a)(y-b)f'_{xy}(a,b) +(y-b)^2 f'_{yy}(a,b) \right)+ \cdots
\end{align}</math>

ra được

:<math>\begin{align}
T(x,y) &= 0 + 0(x-0) + 1(y-0) + \frac{1}{2}\Big( 0(x-0)^2 + 2(x-0)(y-0) + (-1)(y-0)^2 \Big) + \cdots \\
&= y + xy - \frac{y^2}{2} + \cdots 
\end{align}</math>

Bởi hàm {{math|ln(1 + ''y'')}} giải tích khi {{math|{{abs|''y''}} < 1}}, ta có
:<math>e^x\ln(1+y)= y + xy - \frac{y^2}{2} + \cdots, \qquad |y| < 1.</math>

== So sánh với chuỗi Fourier ==
{{main|chuỗi Fourier}}
[[Chuỗi Fourier]] cho phép biểu diễn [[hàm tuần hoàn]] (hay hàm được định nghĩa trên khoảng đóng {{math|[''a'',''b'']}}) là tổng vô hạn của các [[hàm lượng giác]] ([[sin]] và [[cosine]]). Theo cách hiểu đó, chuỗi Fourier cũng có vẻ tương tự với chuỗi Taylor, bởi chuỗi Taylor cũng là tổng vô hạn nhưng là của các [[lũy thừa]]. Song, hai chuỗi này khác nhau tại một số điểm sau<ref>{{chú thích tạp chí|first1=Richard|last1=Askey|first2=Deborah|last2=Haimo|date=1996|journal=The American Mathematical Monthly|volume=3|issue=4|pages=297-304|title=Similarities Between Fourier and Power Series.|doi=10.2307/2975184}}</ref>:
* Dù có bỏ đi bất cứ hữu hạn số phần tử nào trong chuỗi Taylor của {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} quanh điểm {{math|''x'' {{=}} ''a''}}, thì giá trị chuỗi vẫn bằng với {{math|''f''}} tại {{math|''a''}}. Ngược lại, chuỗi Fourier được tính bằng nguyên hàm trên toàn khoảng nên không có điểm nào trong khoảng mà giá trị hàm bằng với giá trị chuỗi.
* Để tính chuỗi Taylor thì cần phải biết hàm số trên một [[lân cận]] nhỏ tùy ý của một điểm nào đó, trong khi tính chuỗi Fourier thì cần phải biết hàm số trên toàn bộ miền của nó. Theo cách hiểu đó, có thể nói chuỗi Taylor có tính "địa phương" còn chuỗi Fourier thì mang tính "toàn cục".<ref>{{chú thích sách |tựa đề=Real Analysis: A Constructive Approach |họ = Bridger |tên = Mark |lk tác giả = |đồng tác giả= |năm=2011 |nhà xuất bản=John Wiley & Sons |nơi= |isbn= |trang=292 |url=https://books.google.com/books?id=6HfP-O_lNoIC&pg=PA292&dq=%22Taylor%22%2B%22local%22%2B%22Fourier%22%2B%22global%22&hl=vi&sa=X&ved=2ahUKEwiFlbT1oeH5AhV_l4kEHXz4DxEQ6AF6BAgDEAI#v=onepage&q=%22Taylor%22%2B%22local%22%2B%22Fourier%22%2B%22global%22&f=false |ngày truy cập= 25 tháng 08 năm 2022}}</ref>
* Chuỗi Taylor được định nghĩa cho các hàm có vô hạn đạo hàm tại một điểm, trong khi chuỗi Fourier được định nghĩa cho [[hàm khả tích]].  Ví dụ cụ thể như, các hàm mà không đâu khả vi. (Ví dụ, {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} có thể là [[hàm Weierstrass]].)
* Hội tụ giữa hai chuỗi có các tính chất khác nhau. Kể cả khi chuỗi Taylor có bán kính hội tụ của nó dương, giá trị chuỗi không nhất thiết phải bằng giá trị hàm; nhưng nếu hàm số giải tích thì chuỗi [[hội tụ từng điểm]] với hàm, và [[hội tụ đều]] trên mọi tập con compact của khoảng hội tụ. Còn đối với chuỗi Fourier, nếu hàm số [[Hàm bình phương khả tích|bình phương khả tích]] thì hàm số [[sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên|hội tụ trong trung bình toàn phương]], nhưng cần có điều kiện thêm vào để đảm bảo hội tụ từng điểm hay hội tụ đều (ví dụ chẳng hạn, nếu hàm tuần hoàn và thuộc lớp C<sup>1</sup> thì chuỗi Fourier hội tụ đều).
* Trong ứng dụng, khi muốn tính xấp xỉ một hàm số với hữu hạn số phần tử thì sử dụng đa thức Taylor hoặc tổng riêng của chuỗi các hàm lượng giác, tương ứng với chuỗi Taylor và chuỗi Fourier. Trong trường hợp chuỗi Taylor, thì sai số của nó rất nhỏ trong lân cận của điểm nó được xét, nhưng lại rất lớn khi cách xa điểm đang xét. Đối với chuỗi Fourier thì sai số được phân phối trên toàn miền của hàm số.

== Xem thêm ==
* [[Chuỗi Laurent]]
* [[Định lí Taylor|Định lý Taylor]]

==Tham khảo==
{{tham khảo|30em}}

==Nguồn khác==
*{{Citation| last1=Abramowitz| first1=Milton| author1-link=Milton Abramowitz| last2=Stegun| first2=Irene A.| author2-link=Irene Stegun| title=[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]| publisher=[[Dover Publications]]| location=New York| id=Ninth printing| year=1970}}
*{{citation| last1=Thomas|first1=George B., Jr.|last2=Finney|first2=Ross L.| title=Calculus and Analytic Geometry |edition=9th | publisher=Addison Wesley| year=1996| isbn=0-201-53174-7}}
*{{citation| last=Greenberg| first=Michael| title=Advanced Engineering Mathematics| edition=2nd| publisher=Prentice Hall| year=1998| isbn=0-13-321431-1| url-access=registration| url=https://archive.org/details/advancedengineer0000gree}}

== Liên kết ngoài ==
* [http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html "Taylor Series"] ở [[MathWorld]]
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html Madhava of Sangamagramma ] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100418193553/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html |date=2010-04-18 }}
* [http://csma31.csm.jmu.edu/physics/rudmin/ParkerSochacki.htm "Discussion of the Parker-Sochacki Method"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20051202115417/http://csma31.csm.jmu.edu/physics/rudmin/ParkerSochacki.htm |date=2005-12-02 }}

[[Thể loại:Chuỗi toán học]]
[[Thể loại:Lý thuyết xấp xỉ]]

[[pl:Wzór Taylora#Szereg Taylora]]