Xem mã nguồn của Danh sách ký hiệu toán học

Một '''ký hiệu toán học''' là một hình hoặc tổ hợp các hình dùng để biểu diễn một [[vật thể toán học]], một tác động lên vật thể toán học, một tương quan giữa các vật thể toán học, hoặc để sắp xếp những ký hiệu khác xuất hiện trong một [[công thức]]. Vì công thức sử dụng nhiều loại ký hiệu khác nhau, để biểu diễn toàn bộ toán học cần nhiều ký hiệu.

Những ký hiệu toán học đơn giản nhất bao gồm các [[Chữ số|chữ số thập phân]] (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), và các chữ cái trong [[bảng chữ cái Latin]]. Các chữ số thập phân được dùng để biểu diễn số qua [[hệ ghi số Ấn Độ–Ả Rập]]. Theo thông lệ, chữ cái viết hoa được dùng để biểu diễn [[Điểm (hình học)|điểm]] trong hình học, và chữ cái viết thường dùng cho [[Biến số|biến]] và [[hằng số]]. Chữ cái cũng được dùng để biểu diễn nhiều loại vật thể toán học khác. Với sự phát triển của toán học và sự gia tăng về số lượng các đối tượng nghiên cứu, các nhà toán học cũng dùng đến [[bảng chữ cái Hy Lạp]] và [[Bảng chữ cái Hebrew|Hebrew]]. Trong [[công thức]] toán học, [[kiểu chữ]] tiêu chuẩn là [[in nghiêng]] chữ cái Latin và chữ cái Hy Lạp viết thường, và in đứng cho chữ cái Hy Lạp viết hoa. Để có thêm nhiều ký hiệu nữa, những kiểu chữ khác được sử dụng, bao gồm [[In đậm|chữ đậm]] <math>\mathbf {a,A,b,B},\ldots</math>, [[In viết tay|chữ viết tay]] <math>\mathcal {A,B},\ldots</math> (chữ viết tay in thường ít được sử dụng vì dễ nhầm lẫn với kiểu chữ thông thường), [[Fraktur|fraktur tiếng Đức]] <math>\mathfrak {a,A,b,B},\ldots</math>, và [[in đậm bảng đen]] <math>\mathbb {N, Z, Q, R, C, H, F}_q</math> (những chữ cái khác ít khi được sử dụng trong kiểu chữ này).

Những ký hiệu toán học sử dụng chữ cái Latin và Hy Lạp không được liệt kê ở đây. Đối với những ký hiệu đó, xem [[Biến số]] và [[Danh sách các hằng số toán học]]. Tuy nhiên, một số ký hiệu ở đây có hình dạng giống với chữ cái nguồn gốc của nó, ví dụ như <math>\textstyle\prod</math> và <math>\textstyle\sum</math>.

Những chữ cái này thôi không đủ để đáp ứng nhu cầu của các nhà toán học, và nhiều ký hiệu khác được sử dụng. Một số xuất phát từ [[dấu câu]] và [[dấu phụ]] thường được dùng trong [[typography]], trong khi một số khác hình thành bằng việc biến dạng chữ cái, như là <math>\in</math> và <math>\forall</math>. Ngoài ra, những ký hiệu như {{math|+}} và {{math|1==}} được thiết kế đặc biệt cho toán học.

== Hướng dẫn ==
Thông thường, những mục từ trong một bảng chú giải được sắp xếp theo chủ đề và theo thứ tự bảng chữ cái. Việc này là bất khả thi với danh sách này bởi các ký hiệu không có thứ tự nào rõ ràng, và nhiều ký tự được sử dụng ở nhiều nhánh toán học khác nhau với ý nghĩa khác nhau, nhiều khi không liên quan đến nhau. Do đó, bài viết phải đưa ra một số quyết định tùy ý, được tóm tắt sau đây.

Bài viết được chia thành các phần xếp theo mức độ chuyên môn tăng dần: tức là phần đầu tiên chứa các ký hiệu thường gặp trong hầu hết các văn bản toán học, và cần phải biết ngay cả đối với người mới bắt đầu. Ngược lại, những phần cuối chứa các ký hiệu chuyên dụng cho một số lĩnh vực toán học và không được sử dụng bên ngoài các lĩnh vực này. Tuy nhiên, [[#Dấu ngoặc|phần về dấu ngoặc]] đã được đặt gần cuối vì độ dài, mặc dù hầu hết các ký hiệu trong phần nàylà sơ cấp: điều này giúp việc tìm kiếm mục ký hiệu dễ dàng hơn.

Hầu hết các ký hiệu đa nghĩa thường được phân biệt theo ngành học mà nó được dùng hoặc theo ''cú pháp'' của chúng, nghĩa là vị trí của chúng bên trong công thức và bản chất của các phần khác của công thức gần với chúng.

Vì người đọc có thể không nhận thức được lĩnh vực toán học có liên quan đến ký hiệu mà họ đang tìm kiếm, các ý nghĩa khác nhau của ký hiệu được nhóm lại trong phần tương ứng với ý nghĩa phổ biến nhất của chúng.

Trong trường hợp ý nghĩa phụ thuộc vào cú pháp, biểu tượng <math>\Box</math> được sử dụng để biểu thị các thành phần lân cận của công thức chứa ký hiệu đó. Xem phần {{slink||Dấu ngoặc}} cho ví dụ chi tiết.

Phần lớn các ký hiệu có thể được hiển thị bằng hai cách: bằng ký tự [[Unicode]], hoặc bằng [[LaTeX]]. Phiên bản Unicode cho phép sử dụng [[công cụ tìm kiếm]] và [[sao chép và dán]] dễ hơn. Mặt khác, hiển thị bằng LaTeX cho kết quả đẹp hơn, và là tiêu chuẩn được sử dụng trong toán học. Do đó, trong bài viết này, phiên bản Unicode của ký hiệu được dùng (khi có thể) để đánh dấu mục, và phiên bản LaTeX được dùng trong phần giải thích. Để tìm cách gõ ký hiệu bằng LaTeX, người đọc có thể coi mã nguồn của bài viết.

Với hầu hết ký hiệu, dẫn mục là ký tự Unicode tương ứng. Vì vậy, để tìm mục của một ký tự, người đọc chỉ cần gõ hoặc dán ký tự Unicode vào thanh tìm kiếm. Tương tự, khi tên của biểu tượng cũng là một [[WP:ANCHOR|liên kết]] nếu có thể, cho phép dẫn những bài viết Wikipedia khác dễ dàng.

==Phép toán số học==
{{glossary}}
{{term |1=+|content=[[Dấu cộng|{{math|+}}]]}}
{{defn |no=1 |1=Ký hiệu [[phép cộng]]; ví dụ, {{math|3 + 2}}.}}
{{defn |no=2 |1=Đôi khi được dùng để ký hiệu [[hợp rời]] của [[Tập hợp (toán học)|tập hợp]] thay cho <math>\sqcup</math>.}}

{{term |1=–|content=[[Dấu trừ|{{math|–}}]]}}
{{defn |no=1 |1=Ký hiệu [[phép trừ]]; ví dụ, {{math|3 – 2}}.}}
{{defn |no=2 |1=Ký hiệu [[nghịch đảo phép cộng]] và đọc là ''âm''; ví dụ, {{math|–2}}.}}
{{defn |no=3 |1=Cũng được dùng thay cho {{math|\}} để ký hiệu [[phần bù]]; xem [[#\|\]] trong {{slink||Lý thuyết tập hợp}}.}}

{{term |1=×|content=[[Dấu nhân|{{math|×}}]]}}
{{defn |no=1 |1=Trong [[số học sơ cấp]], ký hiệu [[phép nhân]]; ví dụ, {{math|3 × 2}}.}}
{{defn |no=2 |1=Trong [[hình học]] và [[đại số tuyến tính]], ký hiệu [[tính có hướng]].}}
{{defn |no=3 |1=Trong [[lý thuyết tập hợp]] và [[lý thuyết phạm trù]], ký hiệu [[tích Descartes]] và [[tích trực tiếp]]. Xem [[#Descartes|×]] trong {{slink||Lý thuyết tập hợp}}.}}

{{term |1=·|content=[[Dấu chấm giữa|{{math|·}}]]}}
{{defn |no=1 |1=Ký hiệu [[phép nhân]]; ví dụ, {{math|3 ⋅ 2}}.}}
{{defn |no=2 |1=Trong [[hình học]] và [[đại số tuyến tính]], ký hiệu [[tích vô hướng]].}}
{{defn |no=3 |1=Chỗ thế chân biểu thị thành phần bất định. Ví dụ, "[[giá trị tuyệt đối]] được ký hiệu bằng {{math|{{abs}}}}" là rõ ràng hơn nói nó được ký hiệu bằng {{math|{{!}} {{!}}}}.}}

{{term |1=±|content=[[Dấu cộng–trừ|{{math|±}}]]}}
{{defn |no=1 |1=Ký hiệu dấu cộng hoặc dấu trừ.}}
{{defn |no=2 |1=Ký hiệu khoảng giá trị mà một đại lượng đo đạc có thể có; ví dụ, {{math|10 ± 2}} biểu thị một giá trị không xác định nằm giữa 8 và 12.}}

{{term |1=∓|content=[[Dấu cộng–trừ#Dấu trừ-cộng|{{math|∓}}]]}}
{{defn |1=Dùng cùng với {{math|±}}, ký hiệu dấu ngược lại; ví dụ, {{math|(1 ± 2)×(3 ∓ 4)}} có thể hiểu là {{math|(1 + 2)×(3 – 4)}} hoặc {{math|(1 – 2)×(3 + 4)}}.}}

{{term |÷|content=[[Dấu chia|{{math|÷}}]]}}
{{defn |1=Từng được dùng rộng rãi để biểu thị [[phép chia]] ở những nước nói tiếng Anh, ngày nay ký hiệu này không còn được sử dụng trong toán học.<ref name=ISO>[[ISO 80000-2]], Section 9 "Operations", 2-9.6</ref> Ở một số quốc gia, nó có thể biểu thị phép trừ.}}

{{term |ratio|[[Dấu hai chấm|{{math|:}}]]}}
{{defn |no=1 |Ký hiệu [[tỉ số]] giữa hai đại lượng.}}
{{defn |no=2 |Ở một số quốc gia, có thể ký hiệu [[phép chia]].}}
{{defn |no=3 |Trong ký hiệu xây dựng tập hợp, nó được dùng làm dấu phân cách với ý nghĩa "sao cho"; xem [[#b:b|{{math|{{mset|□ : □}}}}]].}}

{{term |/|content=[[Dấu gạch chéo|{{math|/}}]]}}
{{defn |no=1 |1=Ký hiệu [[phép chia]] và đọc là ''chia cho'' hoặc ''trên''. Thường được thay thế bằng một dấu gạch ngang. Ví dụ, {{math|3 / 2}} hoặc <math>\frac{3}{2}</math>.}}
{{defn |no=2 |1=Ký hiệu [[Thương (định hướng)#Toán học|cấu trúc thương]]. Ví dụ, [[tập thương]], [[nhóm thương]], [[vành thương]], [[phạm trù thương]], v.v.}}
{{defn |no=3 |Trong [[lý thuyết số]] và [[Trường (toán học)|lý thuyết trường]], <math>F/E</math> biểu thị một [[mở rộng trường]], trong đó {{mvar|F}} là một [[trường mở rộng]] của [[Trường (toán học)|trường]] {{mvar|E}}.}}
{{defn |no=4 |1=Trong [[lý thuyết xác suất]], ký hiệu một [[xác suất có điều kiện]]. Ví dụ, <math>P(A/B)</math> biểu thị xác suất của {{mvar|A}}, khi biết {{mvar|B}} diễn ra. Còn được ký hiệu là <math>P(A\mid B)</math>: xem "[[#vbar|{{math|{{!}}}}]]".}}

{{term |√|content=[[Dấu căn|{{math|√}}]]}}
{{defn |Ký hiệu [[căn bậc hai]] và đọc là ''căn bậc hai của''. Ít khi được sử dụng mà không có dấu gạch ngang ở trên (xem mục kế). Ví dụ, {{math|√2}}.}}

{{term |sqrt|content=[[Dấu căn|{{math|{{sqrt|&nbsp;&nbsp;}}}}]]}}
{{defn |no=1 |1=Ký hiệu [[căn bậc hai]] và đọc là ''căn bậc hai của''. Ví dụ, <math>\sqrt{3+2}</math>.}}
{{defn |no=2 |1=Với một số nguyên lớn hơn 2 viết ở trên bên trái, ký hiệu [[Căn bậc n|căn bậc {{mvar|n}}]]. Ví dụ, <math>\sqrt[7]{3}</math>.}}

{{term |^|[[Dấu mũ|{{math|^}}]]}}
{{defn |no=1 |[[Lũy thừa]] thường được ký hiệu bằng [[superscript]]. Tuy nhiên, <math>x^y</math> thường được ghi là {{math|''x''^''y''}} khi mà superscript không khả thi, ví dụ như trong một số [[ngôn ngữ lập trình]] (bao gồm [[LaTeX]]) hoặc [[email]] văn bản thô.}}
{{defn |no=2 |Đừng nhầm lẫn với [[#∧|∧]].}}
{{glossary end}}

== Đẳng thức, tương đương và tương quan ==
{{glossary}}
{{term |equal|content=[[Dấu bằng|{{math|1==}}]]}}
{{defn |no=1 |Ký hiệu [[đẳng thức]].}}
{{defn |no=2 |Dùng để đặt tên cho một [[đối tượng toán học]] trong câu như "đặt <math>x=E</math>", trong đó {{mvar|E}} là một [[biểu thức]]. Trong một số tài liệu toán học, việc đặt tên này có thể được viết tắt thành <math>x\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\, E</math> hoặc <math>x \triangleq E.</math> Việc này có liên hệ với khái niệm [[Gán (khoa học máy tính)|gán]] trong khoa học máy tính, vốn được ký hiệu bằng nhiều cách (tùy thuộc vào [[ngôn ngữ lập trình]]) như <math>=, :=, \leftarrow, \ldots</math>}}

{{term |inequal|content=[[Dấu không bằng|{{math|≠}}]]}}
{{defn |Ký hiệu [[bất đẳng thức]] và nghĩa là "không bằng".}}

{{term |approx|content=[[Dấu xấp xỉ|{{math|≈}}]]}}
{{defn |Nghĩa là "xấp xỉ bằng". Ví dụ, <math>\pi \approx \frac{22}{7}</math>.}}

{{term |tilde|content=[[Dấu ngã|{{math|~}}]]}}
{{defn |no=1 |1=Giữa hai số, được dùng thay cho {{math|≈}} để biểu thị "xấp xỉ bằng", hoặc "có cùng [[cấp độ lớn]] với".}}
{{defn |no=2 |Ký hiệu [[tương đương tiệm cận]] giữa hai hàm hoặc dãy số.}}
{{defn |no=3 |1=Thường được dùng để biểu thị những loại đồng dạng, ví dụ như [[ma trận đồng dạng]] hoặc [[Đồng dạng|đồng dạng trong hình học]].}}
{{defn |no=4 |Ký hiệu cho một [[quan hệ tương đương]].}}
{{defn |no=5 |Trong [[xác suất]] và [[thống kê]], biểu diễn [[phân bố xác suất]] của một [[biến ngẫu nhiên]]. Ví dụ, <math>X\sim N(0,1)</math> nghĩa là biến ngẫu nhiên {{mvar|X}} tuân theo [[phân bố chuẩn]].<ref>{{Chú thích web|url=https://www.pearson.com/us/higher-education/program/Tamhane-Statistics-and-Data-Analysis-From-Elementary-to-Intermediate/PGM227786.html|title=Statistics and Data Analysis: From Elementary to Intermediate}}</ref>}}
{{defn |no=6 |Ký hiệu cho [[tỉ lệ thuận]]. Xem ∝ cho ký hiệu rõ ràng hơn.}}

{{term |triple bar|content={{math|≡}}}}
{{defn |no=1 |Ký hiệu một [[đồng nhất thức]], tức một đẳng thức luôn đúng.}}
{{defn |no=2 |Trong [[lý thuyết số]], cụ thể là [[số học mô đun]], ký hiệu [[đồng dư]] mô đun một số nguyên.}}

{{term |cong|content={{math|≅}}}}
{{defn |no=1 |Có thể ký hiệu một [[đẳng cấu]] giữa hai [[cấu trúc toán học]], đọc là "đẳng cấu với".}}
{{defn |no=2 |Trong [[hình học]], ký hiệu hai [[hình]] [[đồng dạng]], đọc là "đồng dạng với".}}
{{glossary end}}

==So sánh==
{{glossary}}
{{term |less|content=[[Dấu bé hơn|{{math|1=<}}]]}}
{{defn |no=1 |[[Bất đẳng thức]] chặt giữa hai số; đọc và hiểu là "bé hơn".}}
{{defn |no=2 |Thường ký hiệu [[thứ tự chặt]] bất kỳ .}}
{{defn |no=3 |Giữa hai [[Nhóm (toán học)|nhóm]], có thể nghĩa là nhóm thứ nhất là [[Nhóm con|nhóm con thực sự]] của nhóm thứ hai.}}

{{term |greater|content=[[greater-than sign|{{math|1=>}}]]}}
{{defn |no=1 |[[Bất đẳng thức]] chặt giữa hai số; đọc và hiểu là "lớn hơn".}}
{{defn |no=2 |Thường ký hiệu [[thứ tự chặt]] bất kỳ.}}
{{defn |no=3 |Giữa hai [[Nhóm (toán học)|nhóm]], có thể nghĩa là nhóm thứ hai là [[Nhóm con|nhóm con thực sự]] của nhóm thứ nhất.}}

{{term |less-equal sign|content={{math|1=≤}}}}
{{defn |no=1 |1=Nghĩa là "bé hơn hoặc bằng". Nghĩa là {{math|''A'' ≤ ''B''}} tương đương với {{math|1=''A'' < ''B'' hoặc ''A'' = ''B''}}.}}
{{defn |no=2 |Giữa hai [[Nhóm (toán học)|nhóm]], có thể nghĩa là nhóm thứ nhất là [[nhóm con]] của nhóm thứ hai.}}

{{term |greater-equal sign|content={{math|1=≥}}}}
{{defn |no=1 |1=Nghĩa là "lớn hơn hoặc bằng". Nghĩa là {{math|''A'' ≥ ''B''}} tương đương với {{math|1=''A'' > ''B'' hoặc ''A'' = ''B''}}.}}
{{defn |no=2 |Giữa hai [[Nhóm (toán học)|nhóm]], có thể nghĩa là nhóm thứ hai là [[nhóm con]] của nhóm thứ nhất.}}

{{term |much-greater-or-less|content={{math|≪ , ≫}}}}
{{defn |no=1 |Nghĩa là "bé hơn nhiều" và "lớn hơn nhiều". Từ ''nhiều'' thường không được định nghĩa cụ thể, nhưng được hiểu là đại lượng bé hơn có thể được bỏ qua khi xét đến đại lượng lớn hơn. Nhìn chung, ký hiệu này được dùng khi đại lượng bé hơn một vài [[cấp độ lớn]].}}
{{defn |no=2 |Trong [[lý thuyết độ đo]], <math>\mu\ll\nu</math> nghĩa là độ đo <math>\mu</math> liên tục tuyệt đối đối với độ đo <math>\nu</math>.}}

{{term |≦≧|content={{math|≦ , ≧}}}}
{{defn |Đồng nghĩa với {{math|≤}} và {{math|≥}}, ít khi được sử dụng.}}

{{term |pred-succ|content={{math|≺ , ≻}}}}
{{defn |Thường được dùng để ký hiệu [[thứ tự một phần|thứ tự]], hoặc chung hơn, một [[tiền thứ tự]], khi mà việc dùng {{math|<}} và {{math|>}} dễ gây hiểu nhầm.}}
{{glossary end}}

== Lý thuyết tập hợp ==
{{glossary}}
{{term|∅|content={{math|∅}}}}
{{defn|Biểu thị [[tập hợp trống]] và thường được viết hơn <math>\emptyset</math>. Sử dụng [[ký pháp xây tập hợp]], nó cũng có thể được ký hiệu là [[#bb|<math>\{\}</math>]].}}

{{term|sharp|[[number sign|{{math|#}}]]}}
{{defn|term=sharp|no=1
|defn=Số các phần tử: <math>\#{}S</math> có thể dùng để ký hiệu cho [[lực lượng (toán học|số lực lượng]] của [[tập hợp (toán học)|tập hợp]] {{mvar|S}}.Một cách ký hiệu khác là <math>|S|</math>; xem [[#!□!|<math>|\square|</math>]].}}
{{defn|term=sharp|no=2
|defn=[[Primorial]]: <math>n{}\#</math> ký hiệu tích của các [[số nguyên tố]] không lớn hơn {{mvar|n}}.}}
{{defn|term=sharp|no=3
|defn=Trong [[topology]], <math>M\#N</math> ký hiệu [[tổng liên thông]] của hai [[đa tạp]] hoặc của hai [[nút thắt (toán học)|nút]].}}

{{term|∈|{{math|∈}} }}
{{defn|Ký hiệu cho quan hệ [[phần tử (toán học)|"là phần tử của"]], và thường đọc là "nằm trong" hoặc thuộc. Tức là <math>x\in S</math> có nghĩa là {{mvar|x}} là một phần tử thuộc tập hợp {{mvar|S}}.}}

{{term|∉|{{math|∉}} }}
{{defn|Nghĩa là "không thuộc về". Tức là, <math>x\notin S</math> nghĩa là <math>\neg(x\in S)</math>.}}

{{term|⊂|content={{math|⊂}} }}
{{defn|Ký hiệu [[phép bao hàm]]. Song có hai định nghĩa thường gặp nhưng khác nhau một chút như sau:}}
{{defn|term=⊂|no=1
|defn=<math>A\subset B</math> có thể có nghĩa là {{mvar|A}} là [[tập con]] của {{mvar|B}}, và có thể bằng với {{mvar|B}};nghĩa là mọi phần tử thuộc {{mvar|A}} thì đều nằm trong {{mvar|B}}; hay nói dưới công thức: <math>\forall{}x, \,x\in A \Rightarrow x\in B</math>.}}
{{defn|term=⊂|no=2
|defn=<math>A\subset B</math> cũng có thể có nghĩa là {{mvar|A}} là [[tập con thực sự]] của {{mvar|B}}, tức là hai tập này khác nhau và mọi phần tử thuộc {{mvar|A}} đều nằm trong {{mvar|B}}; nói dưới công thức:, <math>A\neq B \land\forall{}x, \,x\in A \Rightarrow x\in B</math>.}}

{{term|⊆|content={{math|⊆}} }}
{{defn|<math>A\subseteq B</math> nghĩa là {{mvar|A}} là [[tập con]] của {{mvar|B}}. Được dùng để nhấn mạnh dấu bằng có thể xảy ra, hoặc khi {{gli|⊂-defn2|định nghĩa thứ hai}} của <math>A\subset B</math> được dùng.}}

{{term|⊊|content={{math|⊊}} }}
{{defn|<math>A\subsetneq B</math> nghĩa là {{mvar|A}} là [[tập con thật sự]] của {{mvar|B}}. Dùng để nhấn mạnh rằng <math>A\neq B</math>, hoặc khi {{gli|⊂-defn1|định nghĩa đầu tiên}} của <math>A\subset B</math> được dùng.}}

{{term|term=⊃|content={{math|⊃, ⊇, ⊋}}}}
{{defn|Định nghĩa các quan hệ ngược tương ứng với {{gli|⊂|<math>\subset</math>}}, {{gli|⊆|<math>\subseteq</math>}}, và {{gli|⊊|<math>\subsetneq</math>}}. Ví dụ chẳng hạn, <math>B\supset A</math> tương ứng với <math>A\subset B</math>.}}

{{term|∪|content={{math|∪}} }}
{{defn|Ký hiệu [[Phép hợp (tập hợp)|phép hợp trong tập hợp]], <math>A\cup B</math> là tập hợp chứa tất cả các phần tử hoặc thuộc về {{mvar|A}} hoặc thuộc về {{mvar|B}} hoặc là cả hai. Tức là, <math>A\cup B=\{x\mid (x\in A) \lor (x\in B)\}</math>.}}

{{term|∩|content={{math|∩}} }}
{{defn|Ký hiệu [[Phép giao (tập hợp)|phép giao trong tập hợp]], <math>A\cap B</math> là tập hợp chứa các phần tử vừa thuộc về {{mvar|A}} vừa thuộc về {{mvar|B}}. Tức là, <math>A\cap B=\{x\mid (x\in A) \land (x\in B)\}</math>.}}

{{term|∖|content={{math|∖}} }}
{{defn|[[Hiệu tập hợp]]; <math>A\setminus B</math> là tập hợp chứa các phần tử thuộc về {{mvar|A}} nhưng không thuộc về in {{mvar|B}}. Đôi khi dấu, <math>A-B</math> được dùng; xem [[#–|–]] trong {{slink||Phép toán số học}}.}}

{{term|⊖|{{math|⊖}} hay <math>\triangle</math>}}
{{defn|[[Hiệu đối xứng]]:  <math>A\ominus B</math> hay <math>A\operatorname{\triangle}B</math> là tập hợp chứa các phần tử thuộc về duy nhất một trong hai tập {{mvar|A}} và {{mvar|B}}.}}

{{term|∁|content={{math|∁}} }}
{{defn|no=1|With a subscript, denotes a [[set complement]]: that is, if <math>B\subseteq A</math>, then <math>\complement_A B = A\setminus B</math>.}}
{{defn|no=2|Without a subscript, denotes the [[absolute complement]]; that is, <math>\complement A  = \complement_ U A</math>, where {{mvar|U}} is a set implicitly defined by the context, which contains all sets under consideration. This set {{mvar|U}} is sometimes called the [[universe of discourse]]. }}

{{term|cartesian|content={{math|×}} }}
{{defn|See also [[#×|×]] in {{slink||Arithmetic operators}}.}}
{{defn|no=1|Denotes the [[Cartesian product]] of two sets. That is, <math>A\times B</math> is the set formed by all [[pair (mathematics)|pairs]] of an element of {{mvar|A}} and an element of {{mvar|B}}.}}
{{defn|no=2|Denotes the [[direct product]] of two [[mathematical structure]]s of the same type, which is the [[Cartesian product]] of the underlying sets, equipped with a structure of the same type. For example, [[direct product of rings]], [[product topology|direct product of topological spaces]].}}
{{defn|no=3|In [[category theory]], denotes the [[product (category theory)|direct product]] (often called simply ''product'') of two objects, which is a generalization of the preceding concepts of product.}}

{{term|⊔|content= {{math|⊔}}}}
{{defn|Denotes the [[disjoint union]]. That is, if {{mvar|A}} and {{mvar|B}} are sets then <math>A\sqcup B=\left(A\times\{i_A\}\right)\cup\left(B\times\{i_B\}\right)</math> is a set of [[ordered pair|pairs]] where {{mvar|i<sub>A</sub>}} and {{mvar|i<sub>B</sub>}} are distinct indices discriminating the members of {{mvar|A}} and {{mvar|B}} in {{tmath|A\sqcup B}}.}}

{{term|∐|content={{math|∐}} }}
{{defn|no=1|An alternative to {{gli|term=⊔|text=<math>\sqcup</math>}}.}}
{{defn|no=2|Denotes the [[coproduct]] of [[mathematical structure]]s or of objects in a [[category (mathematics)|category]].}}

{{glossary end}}

==Basic logic==
Several [[logical symbol]]s are widely used in all mathematics, and are listed here. For symbols that are used only in [[mathematical logic]], or are rarely used, see [[List of logic symbols]].

{{glossary}}
{{term|¬|content=[[not sign|{{math|¬}}]]}}
{{defn|Denotes [[logical negation]], and is read as "not". If {{mvar|E}} is a [[logical predicate]], <math>\neg E</math> is the predicate that evaluates to ''true'' if and only if {{mvar|E}} evaluates to ''false''. For clarity, it is often replaced by the word "not". In [[programming language]]s and some mathematical texts, it is sometimes replaced by "{{math|~}}" or "{{math|!}}", which are easier to type on some keyboards.}}

{{term|∨|content=[[descending wedge|{{math|∨}}]]}}
{{defn|no=1|Denotes the [[logical or]], and is read as "or". If {{mvar|E}} and {{mvar|F}} are [[logical predicate]]s, <math>E\lor F</math> is true if either {{mvar|E}}, {{mvar|F}}, or both are true. It is often replaced by the word "or".}}
{{defn|no=2|In [[lattice theory]], denotes the [[join (lattice theory)|join]] hoặc [[least upper bound]] operation.}} 
{{defn|no=3|In [[topology]], denotes the [[wedge sum]] of two [[pointed space]]s.}}

{{term|∧|content=[[wedge (symbol)|{{math|∧}}]]}}
{{defn|no=1|Denotes the [[logical and]], and is read as "and". If {{mvar|E}} and {{mvar|F}} are [[logical predicate]]s, <math>E\land F</math> is true if {{mvar|E}} and {{mvar|F}} are both true. It is often replaced by the word "and" or the symbol "{{math|&}}".}}
{{defn|no=2|In [[lattice theory]], denotes the [[meet (lattice theory)|meet]] hoặc [[greatest lower bound]] operation.}} 
{{defn|no=3|In [[multilinear algebra]], [[geometry]], and [[multivariable calculus]], denotes the [[wedge product]] or the [[exterior product]].}}

{{term|⊻|{{math|⊻}}}}
{{defn|[[Exclusive or]]: if {{mvar|E}} and {{mvar|F}} are two [[Boolean variable]]s or [[predicate (mathematical logic)#Simplified overview|predicate]]s, <math>E\veebar F</math> denotes the exclusive or. Notations {{math|''E'' <small>'''XOR'''</small> ''F''}} and <math>E\oplus F</math> are also commonly used; see [[#⊕|⊕]].}}

{{term|∀|content=[[turned A|{{math|∀}}]]}}
{{defn|no=1|Denotes [[universal quantification]] and is read as "for all". If {{mvar|E}} is a [[logical predicate]], <math>\forall x E</math> means that {{mvar|E}} is true for all possible values of the variable {{mvar|x}}.}}
{{defn|no=2|Often used improperly<ref name=AMS>{{Chú thích web|title=AMS style guide|first1=Mary|last1=Letourneau|first2=Jennifer|last2=Wright Sharp|year=2017|publisher=[[American Mathematical Society]]|url=https://www.ams.org/publications/authors/AMS-StyleGuide-online.pdf|page=99}}</ref> in plain text as an abbreviation of "for all" or "for every".}}

{{term|∃|content={{math|∃}}}}
{{defn|no=1|Denotes [[existential quantification]] and is read "there exists ... such that". If {{mvar|E}} is a [[logical predicate]], <math>\exists x E</math> means that there exists at least one value of {{mvar|x}} for which {{mvar|E}} is true.}}
{{defn|no=2|Often used improperly<ref name=AMS/> in plain text as an abbreviation of "there exists".}}

{{term|∃!|content={{math|∃!}}}}
{{defn|Denotes [[uniqueness quantification]], that is, <math>\exists ! x P</math> means "there exists exactly one {{mvar|x}} such that {{mvar|P}} (is true)". In other words,
<math>\exists ! x P(x)</math> is an abbreviation of <math>\exists x\,( P(x) \, \wedge \neg \exists y\,(P(y) \wedge y  \ne x))</math>.}}

{{term|⇒|content={{math|⇒}}}}
{{defn|no=1|Denotes [[material conditional]], and is read as "implies". If {{mvar|P}} and {{mvar|Q}} are [[logical predicate]]s, <math>P \Rightarrow Q</math> means that if {{mvar|P}} is true, then {{mvar|Q}} is also true. Thus, <math>P \Rightarrow Q</math> is logically equivalent with <math>Q\lor \neg P</math>.}}
{{defn|no=2|Often used improperly<ref name=AMS/> in plain text as an abbreviation of "implies".}}

{{term|⇔|content={{math|⇔}}}}
{{defn|no=1|Denotes [[logical equivalence]], and is read "is equivalent to" or "[[if and only if]]". If  {{mvar|P}} and {{mvar|Q}} are [[logical predicate]]s, <math>P \Leftrightarrow Q</math> is thus an abbreviation of <math>(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)</math>, or of <math>(P \land Q) \lor (\neg P \land \neg Q)</math>.}}
{{defn|no=2|Often used improperly<ref name=AMS/> in plain text as an abbreviation of "[[if and only if]]".}}

{{term|⊤|[[⊤|{{math|⊤}}]]}}
{{defn|no=1|<math>\top</math> denotes the [[logical predicate]] ''always true''.}}
{{defn|no=2|Denotes also the [[truth value]] ''true''.}}
{{defn|no=3|Sometimes denotes the [[top element]] of a [[bounded lattice]] (previous meanings are specific examples).}}
{{defn|no=4|For the use as a superscript, see [[#⊤□|{{math|{{sup|⊤}}□}}]].}}

{{term|⊥|[[⊥|{{math|⊥}}]]}}
{{defn|no=1|<math>\bot</math> denotes the [[logical predicate]] ''always false''.}}
{{defn|no=2|Denotes also the [[truth value]] ''false''.}}
{{defn|no=3|Sometimes denotes the [[bottom element]] of a [[bounded lattice]] (previous meanings are specific examples).}}
{{defn|no=4|As a [[binary operator]], denotes [[perpendicularity]] and [[orthogonality]]. For example, if {{mvar|A, B, C}} are three points in a [[Euclidean space]], then <math>AB\perp AC</math> means that the [[line segment]]s {{mvar|AB}} and {{mvar|AC}} are [[perpendicular]], and form a [[right angle]].}}
{{defn|no=5|In [[Cryptography]] often denotes an error in place of a regular value.}}
{{defn|no=6|For the use as a superscript, see [[#□⊥|{{math|□{{sup|⊥}}}}]].}}
{{glossary end}}

==Blackboard bold==

The [[blackboard bold]] [[typeface]] is widely used for denoting the basic [[number system]]s. These systems are often also denoted by the corresponding uppercase bold letter. A clear advantage of blackboard bold is that these symbols cannot be confused with anything else. This allows using them in any area of mathematics, without having to recall their definition. For example, if one encounters <math>\mathbb R</math> in [[combinatorics]], one should immediately know that this denotes the [[real number]]s, although combinatorics does not study the real numbers (but it uses them for many proofs).
{{glossary}}
{{term|ℕ|content=<math>\mathbb N</math>}}
{{defn|Denotes the set of [[natural number]]s <math>\{1, 2,\ldots \}</math>, or sometimes <math>\{0, 1, 2, \ldots \}</math>. It is often denoted also by <math>\mathbf N</math>. When the distinction is important and readers might assume either definition, <math>\mathbb{N}_1</math> and <math>\mathbb{N}_0</math> are used, respectively, to denote one of them unambiguously.}}

{{term|ℤ|content=<math>\mathbb Z</math>}}
{{defn|Denotes the set of [[integer]]s <math>\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2,\ldots \}</math>. It is often denoted also by <math>\mathbf Z</math>.}}

{{term|ℤp|content=<math>\mathbb{Z}_p</math>}}
{{defn|no=1|Denotes the set of [[p-adic integer|{{mvar|p}}-adic integers]], where {{mvar|p}} is a [[prime number]].}}
{{defn|no=2|Sometimes, <math>\mathbb Z_n</math> denotes the [[integers modulo n|integers modulo {{mvar|n}}]], where {{mvar|n}} is an [[integer]] greater than 0. The notation <math>\mathbb Z/n\mathbb Z</math> is also used, and is less ambiguous.}}

{{term|ℚ|content=<math>\mathbb Q</math>}}
{{defn|Denotes the set of [[rational number]]s (fractions of two integers). It is often denoted also by <math>\mathbf Q</math>.}}

{{term|ℚp|content=<math>\mathbb{Q}_p</math>}}
{{defn|Denotes the set of [[p-adic number|{{mvar|p}}-adic numbers]], where {{mvar|p}} is a [[prime number]].}}

{{term|ℝ|content=<math>\mathbb R</math>}}
{{defn|Denotes the set of [[real number]]s. It is often denoted also by <math>\mathbf R</math>.}}

{{term|ℂ|content=<math>\mathbb C</math>}}
{{defn|Denotes the set of [[complex number]]s. It is often denoted also by <math>\mathbf C</math>.}}

{{term|ℍ|content=<math>\mathbb H</math>}}
{{defn|Denotes the set of [[quaternion]]s. It is often denoted also by <math>\mathbf H</math>.}}

{{term|Fq|content=<math>\mathbb{F}_q</math>}}
{{defn|Denotes the [[finite field]] with {{mvar|q}} elements, where {{mvar|q}} is a [[prime power]] (including [[prime number]]s). It is denoted also by {{math|GF(''q'')}}.}}

{{term|O|content=<math>\mathbb O</math>}}
{{defn|Used on rare occasions to denote the set of [[octonion]]s. It is often denoted also by <math>\mathbf O</math>.}}

{{glossary end}}

==Calculus==
{{glossary}}
{{term|□'|{{math|□{{'}}}}}}
{{defn|[[Lagrange's notation]] for the [[derivative]]: If {{mvar|f}} is a [[function (mathematics)|function]] of a single variable, <math>f'</math>, read as "f [[Prime (symbol)#Use in mathematics, statistics, and science|prime]]", is the derivative of {{mvar|f}} with respect to this variable. The [[second derivative]] is the derivative of <math>f'</math>, and is denoted <math>f''</math>.}}

{{term|\dot|<math>\dot \Box</math>}}
{{defn|[[Newton's notation]], most commonly used for the [[derivative]] with respect to time: If {{mvar|x}} is a variable depending on time, then <math>\dot x</math> is its derivative with respect to time. In particular, if {{mvar|x}} represents a moving point, then <math>\dot x</math> is its [[velocity]].}}

{{term|\ddot|<math>\ddot \Box</math>}}
{{defn|[[Newton's notation]], for the [[second derivative]]: If {{mvar|x}} is a variable that represents a moving point, then <math>\ddot x</math> is its [[acceleration]].}}

{{term|Leibnitz|{{math|{{sfrac|d □|d □}}}}}}
{{defn|[[Leibniz's notation]] for the [[derivative]], which is used in several slightly different ways.}}
{{defn|no=1|If {{mvar|y}} is a variable that [[dependent variable|depends]] on {{mvar|x}}, then <math>\textstyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}</math>, read as "d y over d x", is the derivative of {{mvar|y}} with respect to {{mvar|x}}.}}
{{defn|no=2|If {{mvar|f}} is a [[function (mathematics)|function]] of a single variable {{mvar|x}}, then <math>\textstyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}</math> is the derivative of {{mvar|f}}, and 
<math>\textstyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(a)</math> is the value of the derivative at {{mvar|a}}.}}
{{defn|no=3|[[Total derivative]]: If <math>f(x_1, \ldots, x_n)</math> is a [[function (mathematics)|function]] of several variables that [[dependent variable|depend]] on {{mvar|x}}, then <math>\textstyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}</math> is the derivative of {{mvar|f}} considered as a function of {{mvar|x}}. That is, <math>\textstyle \frac{\mathrm{d}f}{dx}=\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\,\frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}x}</math>.}}

{{term|partial|{{math|{{sfrac|∂ □|∂ □}}}}}}
{{defn|[[Partial derivative]]: If <math>f(x_1, \ldots, x_n)</math> is a [[function (mathematics)|function]] of several variables, <math>\textstyle\frac{\partial f}{\partial x_i}</math> is the derivative with respect to the {{mvar|i}}th variable considered as an [[independent variable]], the other variables being considered as constants.}}

{{term|functional|{{math|{{sfrac|𝛿 □|𝛿 □}}}}}}
{{defn|[[Functional derivative]]: If <math>f(y_1, \ldots, y_n)</math> is a [[functional (mathematics)|functional]] of several [[function (mathematics)|functions]], <math>\textstyle \frac{\delta f}{\delta y_{i}}</math> is the functional derivative with respect to the {{mvar|n}}th function considered as an [[independent variable]], the other functions being considered constant.}}

{{term|overline|<math>\overline\Box</math>}}
{{defn|no=1|[[Complex conjugate]]: If {{mvar|z}} is a [[complex number]], then <math>\overline{z}</math> is its complex conjugate. For example, <math>\overline{a+bi} = a-bi</math>.}}
{{defn|no=2|[[Topological closure]]: If {{mvar|S}} is a [[subset]] of a [[topological space]] {{mvar|T}}, then <math>\overline{S}</math> is its topological closure, that is, the smallest [[closed subset]] of {{mvar|T}} that contains {{mvar|S}}.}}
{{defn|no=3|[[Algebraic closure]]: If {{mvar|F}} is a [[field (mathematics)|field]], then <math>\overline{F}</math> is its algebraic closure, that is, the smallest [[algebraically closed field]] that contains {{mvar|F}}. For example, <math>\overline\mathbb Q</math> is the field of all [[algebraic number]]s.}}
{{defn|no=4|[[Mean value]]: If {{mvar|x}} is a [[variable (mathematics)|variable]] that takes its values in some sequence of numbers {{mvar|S}}, then <math>\overline{x}</math> may denote the mean of the elements of {{mvar|S}}.}}

{{term|→|content=[[arrow (symbol)|{{math|→}}]]}}
{{defn|no=1|<math>A\to B</math> denotes a [[function (mathematics)|function]] with [[domain of a function|domain]] {{mvar|A}} and [[codomain]] {{mvar|B}}. For naming such a function, one writes <math>f:A \to B</math>, which is read as "{{mvar|f}} from {{mvar|A}} to {{mvar|B}}".}}
{{defn|no=2|More generally, <math>A\to B</math> denotes a [[homomorphism]] or a [[morphism]] from {{mvar|A}} to {{mvar|B}}.}} 
{{defn|no=3|May denote a [[logical implication]]. For the [[material conditional|material implication]] that is widely used in mathematics reasoning, it is nowadays generally replaced by [[#⇒|⇒]]. In [[mathematical logic]], it remains used for denoting implication, but its exact meaning depends on the specific theory that is studied.}}
{{defn|no=4|Over a [[variable (mathematics)|variable name]], means that the variable represents a [[vector (mathematics and physics)|vector]], in a context where ordinary variables represent [[scalar (mathematics)|scalar]]s; for example, <math>\overrightarrow v</math>. Boldface (<math>\mathbf v</math>) or a [[circumflex]] (<math>\hat v</math>) are often used for the same purpose.}}
{{defn|no=5|In [[Euclidean geometry]] and more generally in [[affine geometry]], <math>\overrightarrow{PQ}</math> denotes the [[vector (mathematics and physics)|vector]] defined by the two points {{mvar|P}} and {{mvar|Q}}, which can be identified with the [[translation (mathematics)|translation]] that maps {{mvar|P}} to {{mvar|Q}}. The same vector can be denoted also <math>Q-P</math>; see [[Affine space]].}}

{{term|↦|content=[[maplet|{{math|↦}}]]}}
{{defn|Used for defining a [[function (mathematics)|function]] without having to name it. For example, <math>x\mapsto x^2</math> is the [[square function]].}}

{{term|∘|{{math|○}}<ref>The [[LaTeX]] equivalent to both [[Unicode]] symbols ∘ and ○ is \circ. The Unicode symbol that has the same size as \circ depends on the browser and its implementation. In some cases ∘ is so small that it can be confused with an [[interpoint]], and ○ looks similar as \circ. In other cases, ○ is too large for denoting a binary operation, and it is ∘ that looks like \circ. As LaTeX is commonly considered as the standard for mathematical typography, and it does not distinguish these two Unicode symbols, they are considered here as having the same mathematical meaning.</ref>}}
{{defn|no=1|[[Function composition]]: If {{mvar|f}} and {{mvar|g}} are two functions, then <math>g\circ f</math> is the function such that <math>(g\circ f)(x)=g(f(x))</math> for every value of {{mvar|x}}.}}
{{defn|no=2|[[Hadamard product (matrices)|Hadamard product of matrices]]: If {{mvar|A}} and {{mvar|B}} are two matrices of the same size, then <math>A\circ B</math> is the matrix such that <math>(A\circ B)_{i,j} = (A)_{i,j}(B)_{i,j}</math>. Possibly, <math>\circ</math> is also used instead of [[#⊙|{{math|⊙}}]] for the [[Hadamard product (series)|Hadamard product of power series]].{{citation needed|date=November 2020}}}}

{{term|∂|[[∂|{{math|∂}}]]}}
{{defn|no=1|[[Boundary (topology)|Boundary]] of a [[topological subspace]]: If {{mvar|S}} is a subspace of a topological space, then its ''boundary'', denoted <math>\partial S</math>, is the [[set difference]] between the [[closure (topology)|closure]] and the [[interior (topology)|interior]] of {{mvar|S}}.}}
{{defn|no=2|[[Partial derivative]]: see [[#partial|{{math|{{sfrac|∂□|∂□}}}}]].}}

{{term|integral|content=[[Integral symbol|{{math|∫}}]]}}
{{defn|no=1|1=Without a subscript, denotes an [[antiderivative]]. For example, <math>\textstyle\int x^2 dx = \frac{x^3}3 +C</math>.}}
{{defn|no=2|1=With a subscript and a superscript, or expressions placed below and above it, denotes a [[definite integral]]. For example, <math>\textstyle \int_a^b x^2dx = \frac{b^3-a^3}{3}</math>.}}
{{defn|no=3|1=With a subscript that denotes a curve, denotes a [[line integral]]. For example, <math>\textstyle\int_C f=\int_a^b f(r(t))r'(t)\operatorname{d}t</math>, if {{mvar|r}} is a parametrization of the curve {{mvar|C}}, from {{mvar|a}} to {{mvar|b}}.}}

{{term|oint|content=[[line integral|{{math|∮}}]]}}
{{defn|Often used, typically in physics, instead of <math>\textstyle\int</math> for [[line integral]]s over a [[closed curve]].}}

{{term|iint|content=[[surface integral|{{math|∬, ∯}}]]}}
{{defn|Similar to <math>\textstyle\int</math> and <math>\textstyle\oint</math> for [[surface integral]]s.}}

{{term|∇|[[nabla symbol|<math>\boldsymbol{\nabla}</math> or <math>\vec{\nabla}</math>]]}}
{{defn|[[del|Nabla]], the [[gradient]] or vector derivative operator <math>\textstyle \left(\frac \partial {\partial x}, \frac \partial {\partial y}, \frac \partial {\partial z}\right)</math>, also called ''del'' or ''grad''.}}

{{term|Laplacian|[[Laplace operator|{{math|&nabla;<sup>2</sup>}} or {{math|&nabla;&sdot;&nabla;}}]]}}
{{defn|[[Laplace operator]] or ''Laplacian'': <math>\textstyle \frac {\partial^2}{\partial x^2} + \frac {\partial^2}{\partial y^2} + \frac {\partial^2}{\partial z^2}</math>. The forms <math>\nabla^2</math> and <math>\boldsymbol\nabla \cdot \boldsymbol\nabla</math> represent the dot product of the [[#∇|gradient]] (<math>\boldsymbol{\nabla}</math> or <math>\vec{\nabla}</math>) with itself. Also notated {{math|&Delta;}} (next item).}}

{{term|Delta|{{math|&Delta;}}}}
(Capital Greek letter [[Delta (letter)|delta]]—not to be confused with <math>\triangle</math>, which may denote a geometric [[triangle]] or, alternatively, the [[symmetric difference]] of two sets.}}
{{defn|no=1|Another notation for the [[Laplace operator|Laplacian]] (see above).}}
{{defn|no=2|Operator of [[finite difference]].}}

{{term|four-gradient|[[Four-gradient|<math>\boldsymbol{\partial}</math> or <math>\partial_\mu</math>]]}}
(Note: the notation <math>\Box</math> is not recommend for the four-gradient since both <math>\Box</math> and <math>{\Box}^2</math> are used to denote the [[d'Alembertian]]; see below.)
{{defn|[[Four-gradient|Quad]], the [[Four-gradient|4-vector gradient operator]] hoặc [[four-gradient]], <math>\textstyle \left( \frac \partial {\partial t}, \frac \partial {\partial x}, \frac \partial {\partial y}, \frac \partial {\partial z}\right)</math>.}}

{{term|d'Alembertian|[[d'Alembertian|<math>\Box</math> or <math>{\Box}^2</math>]]}} (here an actual box, not a placeholder)
{{defn|Denotes the [[d'Alembertian]] or squared [[four-gradient]], which is a generalization of the [[Laplacian]] to four-dimensional spacetime. In flat spacetime with Euclidean coordinates, this may mean either <math>~ \textstyle - \frac {\partial^2}{\partial t^2} + \frac {\partial^2}{\partial x^2} + \frac {\partial^2}{\partial y^2} + \frac {\partial^2}{\partial z^2} ~\;</math>  or  <math>\;~ \textstyle + \frac {\partial^2}{\partial t^2} - \frac {\partial^2}{\partial x^2} - \frac {\partial^2}{\partial y^2} - \frac {\partial^2}{\partial z^2} ~\;</math>; the sign convention must be specified. In curved spacetime (or flat spacetime with non-Euclidean coordinates), the definition is more complicated. Also called ''box'' or ''quabla''.}}

{{glossary end}}

==Linear and multilinear algebra==
{{glossary}}
{{term|\sum|content={{math|∑}} ([[Sigma notation]])}}
{{defn|no=1|Denotes the [[summation|sum]] of a finite number of terms, which are determined by subscripts and superscripts (which can also be placed below and above), such as in <math>\textstyle \sum_{i=1}^n i^2</math> or <math>\textstyle \sum_{0<i<j<n} j-i</math>.}}
{{defn|no=2|Denotes a [[series (mathematics)|series]] and, if the series is [[convergent series|convergent]], the [[sum of series|sum of the series]]. For example, <math>\textstyle \sum_{i=0}^\infty \frac {x^i}{i!}=e^x</math>.}}

{{term|\prod|content={{math|∏}} ([[Capital-pi notation]])}} 
{{defn|no=1|Denotes the [[product (mathematics)#Product of sequences|product]] of a finite number of terms, which are determined by subscripts and superscripts (which can also be placed below and above), such as in <math>\textstyle \prod_{i=1}^n i^2</math> or <math>\textstyle \prod_{0<i<j<n} j-i</math>.}}
{{defn|no=2|Denotes an [[infinite product]]. For example, the [[Riemann zeta function#Euler product formula|Euler product formula for the Riemann zeta function]] is <math>\textstyle\zeta(z) = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 - p_n^{-z}}</math>.}}
{{defn|no=3|Also used for the [[Cartesian product]] of any number of sets and the [[direct product]] of any number of [[mathematical structure]]s.}}

{{term|⊕|[[⊕ (disambiguation)|{{math|⊕}}]]}}
{{defn|no=1|Internal [[direct sum]]: if {{mvar|E}} and {{mvar|F}} are [[abelian subgroup]]s of an [[abelian group]] {{mvar|V}}, notation <math>V=E\oplus F</math> means that {{mvar|V}} is the direct sum of {{mvar|E}} and {{mvar|F}}; that is, every element of {{mvar|V}} can be written in a unique way as the sum of an element of {{mvar|E}} and an element of {{mvar|F}}. This applies also when {{mvar|E}} and {{mvar|F}} are [[linear subspace]]s or [[submodule]]s of the [[vector space]] hoặc [[module (mathematics)|module]] {{mvar|V}}.}}
{{defn|no=2|[[Direct sum]]: if  {{mvar|E}} and {{mvar|F}} are two [[abelian group]]s, [[vector space]]s, or [[module (mathematics)|module]]s, then their direct sum, denoted <math>E\oplus F</math> is an abelian group, vector space, or module (respectively) equipped with two [[monomorphism]]s <math>f:E\to E\oplus F</math> and <math>g:F\to E\oplus F</math> such that <math>E\oplus F</math> is the internal direct sum of <math>f(E)</math> and <math>g(F)</math>. This definition makes sense because this direct sum is unique up to a unique [[isomorphism]].}}
{{defn|no=3|[[Exclusive or]]: if {{mvar|E}} and {{mvar|F}} are two [[Boolean variable]]s or [[predicate (mathematical logic)#Simplified overview|predicate]]s, <math>E\oplus F</math> may denote the exclusive or. Notations {{math|''E'' <small>'''XOR'''</small> ''F''}} and <math>E\veebar F</math> are also commonly used; see [[#⊻|⊻]].}}

{{term|⊗|{{math|⊗}}}}
{{defn|Denotes the [[tensor product]]. If {{mvar|E}} and {{mvar|F}} are [[abelian group]]s, [[vector space]]s, or [[module (mathematics)|module]]s over a [[commutative ring]], then the ''tensor product'' of {{mvar|E}} and {{mvar|F}}, denoted <math>E\otimes F</math> is an abelian group, a vector space or a module (respectively), equipped with a [[bilinear map]] <math>(e,f)\mapsto e\otimes f</math> from <math>E\times F</math> to <math>E\otimes F</math>, such that the bilinear maps from <math>E\times F</math> to any abelian group, vector space or module {{mvar|G}} can be identified with the [[linear map]]s from <math>E\otimes F</math> to {{mvar|G}}. If {{mvar|E}} and {{mvar|F}} are vector spaces over a [[field (mathematics)|field]] {{mvar|R}}, or modules over a ring {{mvar|R}}, the tensor product is often denoted <math>E\otimes_R F</math> to avoid ambiguity.}}

{{term|□⊤|{{math|□{{sup|⊤}}}}}}
{{defn|no=1|[[Transpose]]: if {{mvar|A}} is a matrix, <math>A^\top</math> denotes the ''transpose'' of {{mvar|A}}, that is, the matrix obtained by exchanging rows and columns of {{mvar|A}}. Notation <math>^\top\!\! A</math> is also used. The symbol <math>\top</math> is often replaced by the letter {{math|T}} or {{mvar|t}}.}}
{{defn|no=2|For inline uses of the symbol, see [[#⊤|⊤]].}}

{{term|□⊥|{{math|□{{sup|⊥}}}}}}
{{defn|no=1|[[Orthogonal complement]]: If {{mvar|W}} is a [[linear subspace]] of an [[inner product space]] {{mvar|V}}, then <math>W^\bot</math> denotes its ''orthogonal complement'', that is, the linear space of the elements of {{mvar|V}} whose inner products with the elements of {{mvar|W}} are all zero.}}
{{defn|no=2|[[Orthogonal subspace]] in the [[dual space]]: If {{mvar|W}} is a [[linear subspace]] (or a [[submodule]]) of a [[vector space]] (or of a [[module (mathematics)|module]]) {{mvar|V}}, then <math>W^\bot</math> may denote the ''orthogonal subspace'' of {{mvar|W}}, that is, the set of all [[linear forms]] that map {{mvar|W}} to zero.}}
{{defn|no=3|For inline uses of the symbol, see [[#⊥|⊥]].}}
{{glossary end}}

==Advanced group theory==
{{glossary}}
{{term|⋉|{{math|⋉}}<br>{{math|⋊}}}}
{{defn|no=1|Inner [[semidirect product]]: if {{mvar|N}} and {{mvar|H}} are subgroups of a [[group (mathematics)|group]] {{mvar|G}}, such that {{mvar|N}} is a [[normal subgroup]] of {{mvar|G}}, then <math>G=N\rtimes H</math> and <math>G=H\ltimes N</math> mean that {{mvar|G}} is the semidirect product of {{mvar|N}} and {{mvar|H}}, that is, that every element of {{mvar|G}} can be uniquely decomposed as the product of an element of {{mvar|N}} and an element of {{mvar|H}} (unlike for the [[direct product of groups]], the element of {{mvar|H}} may change if the order of the factors is changed).}} 
{{defn|no=2|Outer [[semidirect product]]: if {{mvar|N}} and {{mvar|H}} are two [[group (mathematics)|groups]], and <math>\varphi</math> is a [[group homomorphism]] from {{mvar|N}} to the [[automorphism group]] of {{mvar|H}}, then <math>N\rtimes_\varphi H = H\ltimes_\varphi N</math> denotes a group {{mvar|G}}, unique up to a [[group isomorphism]], which is a semidirect product of {{mvar|N}} and {{mvar|H}}, with the commutation of elements of {{mvar|N}} and {{mvar|H}} defined by <math>\varphi</math>.}}

{{term|≀|{{math|big=1|≀}}}}
{{defn|In [[group theory]], <math>G\wr H</math> denotes the [[wreath product]] of the [[group (mathematics)|groups]] {{math|G}} and {{math|H}}. It is also denoted as <math>G\operatorname{wr} H</math> or <math>G\operatorname{Wr} H</math>; see {{slink|Wreath product|Notation and conventions}} for several notation variants.}}

{{glossary end}}

==Infinite numbers==
{{glossary}}
{{term|infinity|content=[[infinity symbol|{{math|∞}}]]}}
{{defn|no=1|The symbol is read as [[infinity (mathematics)|infinity]]. As an upper bound of a [[summation]], an [[infinite product]], an [[integral]], etc., means that the computation is unlimited. Similarly, <math>-\infty</math> in a lower bound means that the computation is not limited toward negative values.}}
{{defn|no=2|<math>-\infty</math> and <math>+\infty</math> are the generalized numbers that are added to the [[real line]] to form the [[extended real line]].}}
{{defn|no=3|<math>\infty</math> is the generalized number that is added to the real line to form the [[projectively extended real line]].}}

{{term|𝔠|content=[[fraktur|{{math|𝔠}}]]}}
{{defn|<math>\mathfrak c</math> denotes the [[cardinality of the continuum]], which is the [[cardinality]] of the set of [[real number]]s.}}

{{term|ℵ|[[aleph|{{math|ℵ}}]]}}
{{defn|With an [[ordinal number|ordinal]] {{mvar|i}} as a subscript, denotes the {{mvar|i}}th [[aleph number]], that is the {{mvar|i}}th infinite [[cardinal number|cardinal]]. For example, <math>\aleph_0</math> is the smallest infinite cardinal, that is, the cardinal of the natural numbers.}}

{{term|ℶ|content=[[bet (letter)|{{math|ℶ}}]]}}
{{defn|With an [[ordinal number|ordinal]] {{mvar|i}} as a subscript, denotes the {{mvar|i}}th [[beth number]]. For example, <math>\beth_0</math> is the [[cardinal number|cardinal]] of the natural numbers, and <math>\beth_1</math> is the [[cardinal of the continuum]].}}

{{term|omega|content=[[omega|{{mvar|ω}}]]}}
{{defn|no=1|Denotes the first [[limit ordinal]]. It is also denoted <math>\omega_0</math> and can be identified with the [[ordered set]] of the [[natural number]]s.}}
{{defn|no=2|With an [[ordinal number|ordinal]] {{mvar|i}} as a subscript, denotes the {{mvar|i}}th [[limit ordinal]] that has a [[cardinality]] greater than that of all preceding ordinals.}}
{{defn|no=3|In [[computer science]], denotes the (unknown) greatest lower bound for the exponent of the [[computational complexity]] of [[Matrix multiplication#Complexity|matrix multiplication]].}}
{{defn|no=4|Written as a [[function (mathematics)|function]] of another function, it is used for comparing the [[asymptotic growth]] of two functions. See {{slink|Big O notation|Related asymptotic notations}}.}}
{{defn|no=5|In [[number theory]], may denote the [[prime omega function]]. That is, <math>\omega(n)</math> is the number of distinct prime factors of the integer {{mvar|n}}.}}

{{glossary end}}

==Brackets==
{{glossary}}
{{term|()|content={{math|(□)}}}}
{{defn|Used in an [[expression (mathematics)|expression]] for specifying that the sub-expression between the parentheses has to be considered as a single entity; typically used for specifying the [[order of operations]].}}

{{term|functional|content={{math|□(□)}}<br>{{math|□(□, □)}}<br> {{math|□(□, ..., □)}}}}
{{defn|no=1|[[Functional notation]]: if the first <math>\Box</math> is the name (symbol) of a [[function (mathematics)|function]], denotes the value of the function applied to the expression between the parentheses; for example, <math>f(x)</math>, <math>\sin(x+y)</math>. In the case of a [[multivariate function]], the parentheses contain several expressions separated by commas, such as <math>f(x,y)</math>.}}
{{defn|no=2|May also denote a product, such as in <math>a(b+c)</math>. When the confusion is possible, the context must distinguish which symbols denote functions, and which ones denote [[variable (mathematics)|variables]].}}

{{term|pair|content={{math|(□, □)}}}}
{{defn|no=1|Denotes an [[ordered pair]] of [[mathematical object]]s, for example, <math>(\pi, 0)</math>.}}
{{defn|no=2|If {{mvar|a}} and {{mvar|b}} are [[real number]]s, <math>-\infty</math>, or <math>+\infty</math>, and {{math|''a'' < ''b''}}, then <math>(a,b)</math> denotes the [[open interval]] delimited by {{mvar|a}} and {{mvar|b}}. See [[#open interval|{{math|]□, □[}}]] for an alternative notation.}} 
{{defn|no=3|If {{mvar|a}} and {{mvar|b}} are [[integer]]s, <math>(a,b)</math> may denote the [[greatest common divisor]] of {{mvar|a}} and {{mvar|b}}. Notation <math>\gcd(a,b)</math> is often used instead.}}

{{term|(□,□,□)|content={{math|(□, □, □)}}}}
{{defn|If {{math|''x'', ''y'', ''z''}} are vectors in <math>\mathbb R^3</math>, then <math>(x,y,z)</math> may denote the [[scalar triple product]].{{citation needed|date=November 2020}}  See also [[#sqb3|[□,□,□]]] in {{slink||Square brackets}}.}}

{{term|tuple|content={{math|(□, ..., □)}}}}
{{defn|Denotes a [[tuple]]. If there are {{mvar|n}} objects separated by commas, it is an {{mvar|n}}-tuple.}}

{{term|sequence|content={{math|(□, □, ...)}}<br>{{math|(□, ..., □, ...)}}}}
{{defn|Denotes an [[infinite sequence]].}}

{{term|pmatrix|content=<math>\begin{pmatrix}
\Box & \cdots & \Box \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\Box & \cdots & \Box
\end{pmatrix}</math>}}
{{defn|Denotes a [[matrix (mathematics)|matrix]]. Often denoted with [[#bmatrix|square brackets]].}}

{{term|binomial|content=<math>\binom{\Box}{\Box}</math>}}
{{defn|Denotes a [[binomial coefficient]]: Given two [[nonnegative integer]]s, <math>\binom{n}{k}</math> is read as "{{mvar|n}} choose {{mvar|k}}", and is defined as the integer <math>\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{1\cdot 2\cdots k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math> (if {{math|''k'' {{=}} 0}}, its value is conventionally {{math|1}}). Using the left-hand-side expression, it denotes a [[polynomial]] in {{mvar|n}}, and is thus defined and used for any [[real number|real]] hoặc [[complex number|complex]] value of {{mvar|n}}.}}

{{term|legendre|content={{math|({{sfrac|□|□}})}}}}
{{defn|[[Legendre symbol]]: If {{mvar|p}} is an odd [[prime number]] and {{mvar|a}} is an [[integer]], the value of <math>\left(\frac{a}{p}\right)</math> is 1 if {{mvar|a}} is a [[quadratic residue]] modulo {{mvar|p}}; it is –1 if {{mvar|a}} is a [[quadratic non-residue]] modulo {{mvar|p}}; it is 0 if {{mvar|p}} divides {{mvar|a}}. The same notation is used for the [[Jacobi symbol]] and [[Kronecker symbol]], which are generalizations where {{mvar|p}} is respectively any odd positive integer, or any integer.}}
{{glossary end}}

===Square brackets===
{{glossary}}
{{term|sqb1|content={{math|[□]}}}}
{{defn|no=1|Sometimes used as a synonym of [[#()|{{math|(□)}}]] for avoiding nested parentheses.}}
{{defn|no=2|[[Equivalence class]]: given an [[equivalence relation]], <math>[x]</math> often denotes the equivalence class of the element {{mvar|x}}.}}
{{defn|no=3|[[Integral part]]: if {{mvar|x}} is a [[real number]], {{math|[''x'']}} often denotes the integral part or [[truncation]] of {{mvar|x}}, that is, the integer obtained by removing all digits after the [[decimal mark]]. This notation has also been used for other variants of [[floor and ceiling functions]].}}
{{defn|no=4|[[Iverson bracket]]: if {{mvar|P}} is a [[predicate (mathematical logic)|predicate]], <math>[P]</math> may denote the Iverson bracket, that is the [[function (mathematics)|function]] that takes the value {{math|1}} for the values of the [[free variable]]s in {{mvar|P}} for which {{mvar|P}} is true, and takes the value {{math|0}} otherwise. For example, <math>[x=y]</math> is the [[Kronecker delta function]], which equals one if <math>x=y</math>, and zero otherwise.}}

{{term|sqbf|content={{math|□[□]}}}}
{{defn|[[image (mathematics)|Image of a subset]]: if {{mvar|S}} is a [[subset]] of the [[domain of a function|domain of the function]] {{mvar|f}}, then <math>f[S]</math> is sometimes used for denoting the image of {{mvar|S}}. When no confusion is possible, notation [[#functional|{{math|''f''(''S'')}}]] is commonly used.}}

{{term|sqb2|content={{math|[□, □]}}}}
{{defn|no=1|[[Closed interval]]: if {{mvar|a}} and {{mvar|b}} are [[real number]]s such that <math>a\le b</math>, then <math>[a,b]</math> denotes the closed interval defined by them.}}
{{defn|no=2|[[Commutator (group theory)]]: if {{mvar|a}} and {{mvar|b}} belong to a [[group (mathematics)|group]], then <math>[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab</math>.}}
{{defn|no=3|[[Commutator (ring theory)]]: if {{mvar|a}} and {{mvar|b}} belong to a [[ring (mathematics)|ring]], then <math>[a,b]=ab-ba</math>.}}
{{defn|no=4|Denotes the [[Lie bracket]], the operation of a [[Lie algebra]].}}

{{term|sqb2:|content={{math|[□ : □]}}}}
{{defn|no=1|[[Degree of a field extension]]: if {{mvar|F}} is an [[extension field|extension]] of a [[field (mathematics)|field]] {{mvar|E}}, then <math>[F:E]</math> denotes the degree of the [[field extension]] <math>F/E</math>. For example, <math>[\mathbb C:\mathbb R]=2</math>.}}
{{defn|no=2|[[Index of a subgroup]]: if {{mvar|H}} is a [[subgroup]] of a [[group (mathematics)|group]] {{mvar|E}}, then <math>[G:H]</math> denotes the index of {{mvar|H}} in {{mvar|G}}. The notation [[#!:!|{{math|{{abs|G:H}}}}]] is also used}}

{{term|sqb3|content={{math|[□, □, □]}}}}
{{defn|If {{math|''x'', ''y'', ''z''}} are vectors in <math>\mathbb R^3</math>, then <math>[x,y,z]</math> may denote the [[scalar triple product]].<ref>{{Chú thích sách|last = Rutherford |first = D. E. |title = Vector Methods |publisher = Oliver and Boyd Ltd., Edinburgh |series = University Mathematical Texts |year = 1965}}</ref>  See also [[#(□,□,□)|(□,□,□)]] in {{slink||Parentheses}}.}}

{{term|bmatrix|content=<math>\begin{bmatrix}
\Box & \cdots & \Box \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\Box & \cdots & \Box
\end{bmatrix}</math>}}
{{defn|Denotes a [[matrix (mathematics)|matrix]]. Often denoted with [[#pmatrix|parentheses]].}}

{{glossary end}}

===Braces===
{{glossary}}
{{term|bb|content={{math|{{mset| }}}}}}
{{defn|[[Set-builder notation]] for the [[empty set]], also denoted <math>\emptyset</math> or [[#∅|∅]].}}

{{term|b□b|content={{math|{□} }}}}
{{defn|no=1|Sometimes used as a synonym of [[#()|{{math|(□)}}]] and [[#sqb1|{{math|[□]}}]] for avoiding nested parentheses.}}
{{defn|no=2|[[Set-builder notation]] for a [[singleton set]]: <math>\{x\}</math> denotes the [[set (mathematics)|set]] that has {{mvar|x}} as a single element.}}

{{term|b,...,b}|content={{math|{□, ..., □} }}}}
{{defn|[[Set-builder notation]]: denotes the [[set (mathematics)|set]] whose elements are listed between the braces, separated by commas.}}

{{term|b:b|content={{math|{□ : □} }}<br>{{math|{□ {{!}} □} }}}}
{{defn|[[Set-builder notation]]: if <math>P(x)</math> is a [[predicate (mathematical logic)|predicate]] depending on a [[variable (mathematics)|variable]] {{mvar|x}}, then both <math>\{x : P(x)\}</math> and <math>\{x\mid P(x)\}</math> denote the [[set (mathematics)|set]] formed by the values of {{mvar|x}} for which <math>P(x)</math> is true.}}

{{term|Single brace}}
{{defn|no=1|Used for emphasizing that several [[equation (mathematics)|equations]] have to be considered as [[simultaneous equations]]; for example, <math>\textstyle \begin{cases}2x+y=1\\3x-y=1\end{cases}</math>.}}
{{defn|no=2|[[Piecewise]] definition; for example, <math>\textstyle |x|=\begin{cases}x&\text{if }x\ge 0\\-x&\text{if }x< 0\end{cases}</math>.}}
{{defn|no=3|Used for grouped annotation of elements in a formula; for example, <math>\textstyle \underbrace{ (a,b,\ldots,z) }_{26}</math>, <math>\textstyle \overbrace{ 1+2+\cdots+100 }^{=5050}</math>, <math>\textstyle \left.\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}\right\} m+n\text{ rows}</math>}}

{{glossary end}}

===Other brackets===

{{glossary}}
{{term|!□!|content={{math|{{!}}□{{!}}}}}}
{{defn|no=1|[[Absolute value]]: if {{mvar|x}} is a [[real number|real]] hoặc [[complex number|complex]] number, <math>|x|</math> denotes its absolute value.}}
{{defn|no=2|Number of elements: If {{math|S}} is a [[set (mathematics)|set]], <math>|x|</math> may denote its [[cardinality]], that is, its number of elements. <math>\#S</math> is also often used, see [[#sharp|{{math|#}}]].}}
{{defn|no=3|Length of a [[line segment]]: If {{mvar|P}} and {{mvar|Q}} are two points in a [[Euclidean space]], then <math>|PQ|</math> often denotes the length of the line segment that they define, which is the [[Euclidean norm|distance]] from {{mvar|P}} to {{mvar|Q}}, and is often denoted <math>d(P,Q)</math>.}}
{{defn|no=4|For a similar-looking operator, see [[#vbar|{{math|{{!}}}}]].}}

{{term|!:!|content={{math|{{abs|□:□}}}}}}
{{defn|[[Index of a subgroup]]: if {{mvar|H}} is a [[subgroup]] of a [[group (mathematics)|group]] {{mvar|G}}, then <math>|G:H|</math> denotes the index of {{mvar|H}} in {{mvar|G}}. The notation [[#sqb2:|{{math|[G:H]}}]] is also used}}

{{term|determinant|content=<math>\textstyle\begin{vmatrix}
\Box & \cdots & \Box \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\Box & \cdots & \Box
\end{vmatrix}</math>}}
{{defn|<math>\begin{vmatrix}
x_{1,1} & \cdots & x_{1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
x_{n,1} & \cdots & x_{n,n}
\end{vmatrix}</math> denotes the [[determinant]] of the [[square matrix]] <math>\begin{bmatrix}
x_{1,1} & \cdots & x_{1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
x_{n,1} & \cdots & x_{n,n}
\end{bmatrix}</math>.}}

{{term|norm|content={{math|{{!!}}□{{!!}}}}}}
{{defn|no=1|Denotes the [[norm (mathematics)|norm]] of an element of a [[normed vector space]].}}
{{defn|no=2|For the similar-looking operator named ''parallel'', see [[#∥|{{math|∥}}]].}}

{{term|⌊⌋|content={{math|⌊□⌋}}}}
{{defn|[[Floor function]]: if {{mvar|x}} is a real number, <math>\lfloor x\rfloor</math> is the greatest [[integer]] that is not greater than {{mvar|x}}.}}

{{term|⌈⌉|content={{math|⌈□⌉}}}}
{{defn|[[Ceiling function]]: if {{mvar|x}} is a real number, <math>\lceil x\rceil</math> is the lowest [[integer]] that is not lesser than {{mvar|x}}.}}

{{term|⌊⌉|content= {{math|⌊□⌉}}}}
{{defn|[[Nearest integer function]]: if {{mvar|x}} is a real number, <math>\lfloor x\rceil</math> is the  [[integer]] that is the closest to {{mvar|x}}.}}

{{term|open interval|content={{math|]□, □[}}}}
{{defn|[[Open interval]]: If a and b are real numbers, <math>-\infty</math>, or <math>+\infty</math>, and <math>a<b</math>, then 
<math>]a,b[</math> denotes the open interval delimited by a and b. See [[#pair|{{math|(□, □)}}]] for an alternative notation.}}

{{term|left-open|content={{math|(□, □]}}<br>{{math|]□, □]}}}}
{{defn|Both notations are used for a [[half-open interval|left-open interval]].}}

{{term|right-open|content={{math|[□, □)}}<br>{{math|[□, □[}}}}
{{defn|Both notations are used for a [[half-open interval|right-open interval]].}}

{{term|⟨⟩|content={{math|⟨□⟩}}}}
{{defn|no=1|[[Generating set|Generated object]]: if {{math|S}} is a set of elements in an algebraic structure, <math>\langle S \rangle</math> denotes often the object generated by {{math|S}}. If <math>S=\{s_1,\ldots, s_n\}</math>, one writes <math>\langle s_1,\ldots, s_n \rangle</math> (that is, braces are omitted). In particular, this may denote
*the [[linear span]] in a [[vector space]] (also often denoted {{math|Span(''S'')}}),
*the generated [[subgroup]] in a [[group (mathematics)|group]],
*the generated [[ideal (ring theory)|ideal]] in a [[ring (mathematics)|ring]],
*the generated [[submodule]] in a [[module (mathematics)|module]].}}
{{defn|no=2|Often used, mainly in physics, for denoting an [[expected value]]. In [[probability theory]], <math>E(X)</math> is generally used instead of <math>\langle S \rangle</math>.}}
{{term|⟨,⟩|content={{math|⟨□, □⟩}}<br>{{math|⟨□ {{!}} □⟩}}}}
{{defn|Both <math>\langle x, y\rangle</math> and <math>\langle x\mid y\rangle</math> are commonly used for denoting the [[inner product]] in an [[inner product space]].}}

{{term|bra–ket|content=[[Bra–ket notation|{{math|⟨□{{!}}}} and {{math|{{!}}□⟩}}]]}}
{{defn|[[Bra–ket notation]] or ''Dirac notation'': if {{mvar|x}} and {{mvar|y}} are elements of an [[inner product space]], <math>|x\rangle</math> is the vector defined by {{mvar|x}}, and <math>\langle y|</math> is the [[covector]] defined by {{mvar|y}}; their inner product is <math>\langle y\mid x\rangle</math>.}}
{{glossary end}}

== Xem thêm ==
* Danh sách ký hiệu toán học (Unicode và LaTeX)
** [[Danh sách ký hiệu toán học theo bộ môn]]
** [[Danh sách ký hiệu logic]]
* [[Ký hiệu Toán học Chữ và số|Ký hiệu Toán học Chữ và số (dãy Unicode)]]
** [[Danh sách hằng số toán học]]
** [[Bảng ký hiệu toán học theo ngày được đề xuất]]
* [[Danh sách ký tự Unicode]]
** [[Ký hiệu giống Chữ]]
** [[Dãy Unicode]]
* Danh sách [[ký hiệu toán học và toán tử trong Unicode]] 
** [[Toán tử (dãy Unicode)|Toán tử]] và [[Toán tử Bổ sung]]
** Ký hiệu Toán học Khác: [[Ký hiệu Toán học Khác-A|A]], [[Ký hiệu Toán học Khác-B|B]], [[Kỹ thuật Khác|Kỹ thuật]]
** [[Dấu mũi tên]] và [[Mũi tên và Ký hiệu Khác]]
** [[ISO 31-11]] (Các dấu và ký hiệu toán học trong khoa học và công nghệ)
** [[Dạng Số]]
** [[Dạng Hình (dãy Unicode)|Dạng Hình]]
* [[Dấu phụ]]
* [[Ngôn ngữ toán học]]
* Thông lệ về kiểu chữ và ý nghĩa của những ký hiệu thường gặp
** [[Cú pháp và ký hiệu APL]]
** [[Chữ cái Hy Lạp dùng trong toán học, khoa học, và kỹ thuật]]
** [[Danh sách ký hiệu vật lý thường gặp]]
** [[Hằng số vật lý]]
<!--
* [[Wikipedia:Mathematical symbols]]
* {{ml|Help:Advanced editing|Special characters}}
* [[Help:Displaying a formula]]
-->

== Tham khảo ==
{{Tham khảo|30em}}

== Liên kết ngoài ==
* [http://jeff560.tripod.com/mathsym.html Jeff Miller: ''Earliest Uses of Various Mathematical Symbols'']
* [http://www.numericana.com/answer/symbol.htm Numericana: ''Scientific Symbols and Icons'']
* [http://us.metamath.org/symbols/symbols.html GIF and PNG Images for Math Symbols]
* [https://web.archive.org/web/20070117015443/http://tlt.psu.edu/suggestions/international/bylanguage/math.html Mathematical Symbols in Unicode]
* [https://detexify.kirelabs.org/classify.html Detexify: LaTeX Handwriting Recognition Tool]

; Bảng Unicode các toán tử và ký hiệu toán học<nowiki>:</nowiki>
* [https://www.unicode.org/charts/#symbols Index of Unicode symbols]
* [https://www.unicode.org/charts/PDF/U2100.pdf Range 2100–214F: Unicode Letterlike Symbols]
* [https://www.unicode.org/charts/PDF/U2190.pdf Range 2190–21FF: Unicode Arrows]
* [https://www.unicode.org/charts/PDF/U2200.pdf Range 2200–22FF: Unicode Mathematical Operators]
* [https://www.unicode.org/charts/PDF/U27C0.pdf Range 27C0–27EF: Unicode Miscellaneous Mathematical Symbols–A]
* [https://www.unicode.org/charts/PDF/U2980.pdf Range 2980–29FF: Unicode Miscellaneous Mathematical Symbols–B]
* [https://www.unicode.org/charts/PDF/U2A00.pdf Range 2A00–2AFF: Unicode Supplementary Mathematical Operators]

; Một số trang tham khảo Unicode<nowiki>:</nowiki>
* [https://web.archive.org/web/20141105143723/http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/LaTeX:Symbols Short list of commonly used LaTeX symbols] and [https://web.archive.org/web/20090323063515/http://mirrors.med.harvard.edu/ctan/info/symbols/comprehensive/ Comprehensive LaTeX Symbol List]
* [https://web.archive.org/web/20140222144828/http://www.robinlionheart.com/stds/html4/entities-mathml MathML Characters] - sorts out Unicode, HTML and MathML/TeX names on one page
* [http://www.w3.org/TR/REC-MathML/chap6/bycodes.html Unicode values and MathML names]
* [https://web.archive.org/web/20141126074509/http://svn.ghostscript.com/ghostscript/branches/gs-db/Resource/Decoding/Unicode Unicode values and Postscript names] from the source code for [[Ghostscript]]

{{Các ngành toán học}}

{{DEFAULTSORT:Ký hiệu toán học}}
[[Thể loại:Danh sách biểu tượng]]
[[Thể loại:Logic toán]]
[[Thể loại:Danh sách toán học]]
[[Thể loại:Ký hiệu toán học| ]]
[[Thể loại:Bảng toán học]]