Xem mã nguồn của Diện tích

{{1000 bài cơ bản}}
[[Tập tin:Area.svg|right|thumb|alt=Three shapes on a square grid|Tổng diện tích của 3 hình xấp xỉ 15.57 hình vuông đơn vị]]
'''Diện tích''' là đại lượng biểu thị phạm vi của hình hoặc [[hình]] [[Không gian hai chiều|hai chiều]] hoặc [[lamina phẳng]], trong [[Mặt phẳng (toán học)|mặt phẳng]]. [[Diện tích bề mặt]] là tương tự của diện tích trên [[Mặt (tô pô)|bề mặt]] hai chiều của một vật thể [[Hình học không gian|ba chiều]]. Diện tích có thể được hiểu là lượng vật liệu có độ dày nhất định sẽ cần thiết để tạo kiểu cho mô hình hình dạng hoặc lượng [[sơn]] cần thiết để phủ lên bề mặt bằng một lớp sơn.<ref name="MathWorld3">{{Chú thích web|url=http://mathworld.wolfram.com/Area.html|tựa đề=Area|tác giả=Weisstein, Eric W.|lk tác giả=Eric W. Weisstein|nhà xuất bản=[[Wolfram MathWorld]]|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20120505085753/http://mathworld.wolfram.com/Area.html|ngày lưu trữ=ngày 5 tháng 5 năm 2012|ngày truy cập=ngày 3 tháng 7 năm 2012}}</ref> Nó là tương tự về mặt hai chiều đối với [[chiều dài]] của [[Đường cong phẳng|đường cong]] (khái niệm một chiều) hoặc [[thể tích]] của vật rắn (khái niệm ba chiều).

Diện tích của hình có thể được đo bằng cách so sánh hình với các [[hình vuông]] có kích thước cố định.<ref name="AF7">{{Chú thích web|url=http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm|tựa đề=Area Formulas|nhà xuất bản=Math.com|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20120702135710/http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm|ngày lưu trữ=ngày 2 tháng 7 năm 2012|ngày truy cập=ngày 2 tháng 7 năm 2012}}</ref> Trong [[Hệ đo lường quốc tế|Hệ thống đơn vị quốc tế]] (SI), đơn vị diện tích tiêu chuẩn là [[mét vuông]] (viết là m²), là diện tích của một hình vuông có cạnh dài một [[mét]].<ref name="B2">{{Chú thích web|url=http://www.bipm.org/en/CGPM/db/11/12/|tựa đề=Resolution 12 of the 11th meeting of the CGPM (1960)|nhà xuất bản=[[Bureau International des Poids et Mesures]]|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20120728105135/http://www.bipm.org/en/CGPM/db/11/12/|ngày lưu trữ=2012-07-28|ngày truy cập=ngày 15 tháng 7 năm 2012}}</ref> Một hình có diện tích ba mét vuông sẽ có cùng diện tích với ba hình vuông như vậy. Trong [[toán học]], [[hình vuông đơn vị]] được xác định là có diện tích bằng một và diện tích của bất kỳ hình dạng hoặc bề mặt nào khác là một [[số thực]] [[Đại lượng không thứ nguyên|không thứ nguyên]].

Có một số [[công thức]] nổi tiếng cho các diện tích có hình dạng đơn giản như [[Tam giác|hình tam giác]], [[hình chữ nhật]] và [[Đường tròn|hình tròn]]. Sử dụng các công thức này, diện tích của bất kỳ [[đa giác]] nào đều có thể được tính toán bằng [[Tam giác hóa đa giác|cách chia đa giác thành các hình tam giác]].<ref name="bkos">{{Chú thích sách|url=https://archive.org/details/computationalgeo00berg/page/45|title=Computational Geometry|last=Mark de Berg|last2=Marc van Kreveld|last3=Mark Overmars|last4=Otfried Schwarzkopf|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=2000|isbn=978-3-540-65620-3|edition=2 |pages=[https://archive.org/details/computationalgeo00berg/page/45 45–61]|chapter=Chapter 3: Polygon Triangulation|author-link3=Mark Overmars}}</ref> Đối với các hình có ranh giới cong, [[Vi tích phân|tích phân]] thường được dùng để tính diện tích. Thật vậy, vấn đề xác định diện tích các hình phẳng là một động lực chính cho sự [[Lịch sử tích phân|phát triển lịch sử của tích phân]].<ref>{{Chú thích sách|url=https://archive.org/details/historyofcalculu00boye|title=A History of the Calculus and Its Conceptual Development|last=Boyer|first=Carl B.|publisher=Dover|year=1959|isbn=978-0-486-60509-8|author-link=Carl Benjamin Boyer}}</ref>

Đối với một hình dạng rắn như [[Mặt cầu|hình cầu]], [[hình nón]] hoặc [[Hình trụ tròn|hình trụ]], diện tích bề mặt ranh giới của nó được gọi là [[diện tích bề mặt]].<ref name="MathWorld3"/><ref name="MathWorldSurfaceArea2">{{Chú thích web|url=http://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html|tựa đề=Surface Area|tác giả=Weisstein, Eric W.|lk tác giả=Eric W. Weisstein|nhà xuất bản=[[Wolfram MathWorld]]|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20120623021029/http://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html|ngày lưu trữ=ngày 23 tháng 6 năm 2012|ngày truy cập=ngày 3 tháng 7 năm 2012}}</ref><ref>{{Chú thích web|url=https://www.ck12.org/c/geometry/surface-area/lesson/Surface-Area-and-Nets-GEO-CCSS/|tựa đề=Surface Area|tác giả=Foundation|tên=CK-12|website=CK-12 Foundation|ngôn ngữ=en|ngày truy cập=2018-10-09}}</ref> Các công thức cho các diện tích bề mặt của các hình dạng đơn giản đã được [[Toán học Hy Lạp|người Hy Lạp cổ đại]] tính toán, nhưng tính toán diện tích bề mặt của một hình dạng phức tạp hơn thường đòi hỏi [[tích phân đa biến]].

Diện tích đóng một vai trò quan trọng trong toán học hiện đại. Ngoài tầm quan trọng rõ ràng của nó trong [[hình học]] và tính toán, diện tích có liên quan đến định nghĩa các [[Định thức|yếu tố quyết định]] trong [[đại số tuyến tính]], và là một tính chất cơ bản của các bề mặt trong [[hình học vi phân]]. Trong phân tích, diện tích của một tập hợp con của mặt phẳng được xác định bằng cách sử dụng [[thước đo Lebesgue]],<ref name="Rudin">Walter Rudin (1966). ''Real and Complex Analysis'', McGraw-Hill, {{ISBN|0-07-100276-6}}.</ref> mặc dù không phải mọi tập hợp con đều có thể đo được.<ref>Gerald Folland (1999). ''Real Analysis: modern techniques and their applications'', John Wiley & Sons, Inc., p. 20, {{ISBN|0-471-31716-0}}</ref> Nói chung, diện tích trong toán học cấp cao hơn được coi là một trường hợp đặc biệt về thể tích cho các vùng có hai chiều.<ref name="MathWorld3"/>

Diện tích có thể được xác định thông qua việc sử dụng các tiên đề, xác định nó là một hàm của một tập hợp các hình mặt phẳng nhất định chiếu đến tập hợp các số thực. Nó có thể được chứng minh rằng một hàm như vậy là tồn tại.

== Định nghĩa hình thức ==
Một cách tiếp cận để xác định ý nghĩa của "diện tích" là thông qua [[Tiên đề|các tiên đề]]. "Diện tích" có thể được định nghĩa là một hàm a từ tập hợp M gồm các hình phẳng đặc biệt (gọi là tập hợp có thể đo được) đến tập các số thực, thỏa mãn các tính chất sau:

* Với mọi ''S'' thuộc ''M'' thì ''a'' (''S'') ≥ 0.
* Nếu ''S'' và ''T'' nằm trong ''M'' thì ''S'' ∪ ''T'' và ''S'' ∩ ''T'', và ''a'' (''S'' ∪ ''T'') = ''a'' (''S'') + ''a'' (''T'') - ''a'' (''S'' ∩ ''T'').
* Nếu ''S'' và ''T'' nằm trong ''M'' với ''S'' ⊆ ''T'' thì ''T'' - ''S'' thuộc ''M'' và ''a'' (''T'' - ''S'') = ''a'' (''T'') - ''a'' (''S'').
* Nếu một tập hợp ''S'' thuộc ''M'' và ''S'' đồng nhất với ''T'' thì ''T'' cũng thuộc ''M'' và ''a'' (''S'') = ''a'' (''T''.
* Mọi hình chữ nhật ''R'' đều nằm trong ''M.'' Nếu hình chữ nhật có chiều dài ''h'' và chiều rộng ''k'' thì ''a'' (''R'') = ''hk''.
* Gọi ''Q'' là một tập hợp nằm giữa hai vùng bước ''S'' và ''T.'' Vùng bước được hình thành từ sự kết hợp hữu hạn của các hình chữ nhật liền kề nằm trên một cơ sở chung, tức là ''S'' ⊆ ''Q'' ⊆ ''T.'' Nếu tồn tại một số duy nhất ''c'' sao cho ''a'' (''S'') ≤ c ≤ ''a'' (''T'') đối với tất cả các vùng bước ''S'' và ''T'' như vậy, thì ''a'' (''Q'') = ''c''.

Có thể chứng minh rằng một hàm diện tích như vậy thực sự tồn tại.<ref name="Moise">{{Chú thích sách|url=https://archive.org/details/elementarygeomet0000mois|title=Elementary Geometry from an Advanced Standpoint|last=Moise|first=Edwin|publisher=Addison-Wesley Pub. Co.|year=1963|isbn=|page=|accessdate =ngày 15 tháng 7 năm 2012|url-access=registration}}</ref>

== Đơn vị ==
[[Tập tin:SquareMeterQuadrat.JPG|liên_kết=https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADp tin:SquareMeterQuadrat.JPG|thế=A square made of PVC pipe on grass|phải|nhỏ|Một mét vuông [[ô tiêu chuẩn]] làm bằng ống PVC.]]
Mọi [[Đơn vị đo chiều dài|đơn vị độ dài]] đều có một đơn vị diện tích tương ứng là diện tích hình vuông có độ dài cạnh bằng đơn vị độ dài đã cho. Do đó diện tích có thể được đo bằng [[mét vuông]] (m<sup>2),</sup> vuông cm (cm<sup>2),</sup> milimét vuông (mm<sup>2),</sup> [[kilômét vuông]] (km²),[[Foot vuông|feet vuông]] (ft <sup>2),</sup> yard vuông (yd <sup>2),</sup> [[Dặm vuông Anh|dặm vuông]] (mi<sup>2</sup>), v.v.<ref name="BIPM2006Ch5">{{Chú thích tạp chí|last=Bureau international des poids et mesures|year=2006|title=The International System of Units (SI)|url=http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf|series=8th ed.|archive-url=https://web.archive.org/web/20131105051930/http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf|archive-date = ngày 5 tháng 11 năm 2013 |accessdate = ngày 13 tháng 2 năm 2008}} Chapter 5.</ref> Về mặt đại số, các đơn vị này có thể được coi là [[bình phương]] của các đơn vị độ dài tương ứng.

Đơn vị diện tích SI là mét vuông, được coi là một [[đơn vị dẫn xuất trong SI|đơn vị dẫn xuất SI]].<ref name="B2"/>

=== Chuyển đổi ===
[[Tập tin:Area_conversion_-_square_mm_in_a_square_cm.png|liên_kết=https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADp tin:Area_conversion_-_square_mm_in_a_square_cm.png|thế=A diagram showing the conversion factor between different areas|phải|nhỏ|Mặc dù có 10 mm trong 1 cm, có 100 mm² trong 1 cm².]]
Tính diện tích của một hình vuông có chiều dài và chiều rộng là 1 mét sẽ là:

1 mét × 1 mét = 1&nbsp;m²

và do đó, một hình chữ nhật có các cạnh khác nhau (giả sử chiều dài 3 mét và chiều rộng 2 mét) sẽ có diện tích tính bằng đơn vị hình vuông có thể được tính như sau:

3 mét × 2 mét = 6&nbsp;m². Điều này tương đương với 6 triệu mm vuông. Các chuyển đổi hữu ích khác là:

* 1&nbsp;km vuông = [[Triệu|1.000.000]] mét vuông
* 1 mét vuông = [[10000 (số)|10.000]] cm vuông = 1.000.000&nbsp;mm vuông
* 1&nbsp;cm vuông = [[100 (số)|100]] mm vuông.

==== Đơn vị không phải hệ mét ====
Trong đơn vị không thuộc hệ mét, việc chuyển đổi giữa hai đơn vị vuông là [[bình phương]] của việc chuyển đổi giữa các đơn vị chiều dài tương ứng.

1 [[foot]] = 12 [[inch]],

mối quan hệ giữa feet vuông và inch vuông là

1 foot vuông = 144 inch vuông,

trong đó 144 = 12<sup>2</sup> = 12 × 12. Tương tự:

* 1 yard vuông = [[9 (số)|9]] feet vuông
* 1 dặm vuông = 3.097.600 yard vuông = 27.878.400 feet vuông

Ngoài ra, các yếu tố chuyển đổi bao gồm:

* 1 inch vuông = 6.4516&nbsp;cm vuông
* 1 foot vuông = {{Gaps|0.092|903|04}} mét vuông
* 1 yard vuông = {{Gaps|0.836|127|36}} mét vuông
* 1 dặm vuông = {{Gaps|2.589|988|110|336}} km vuông

=== Các đơn vị khác bao gồm các đơn vị mang tính lịch sử ===
Có một số đơn vị phổ biến khác cho diện tích. A là đơn vị diện tích ban đầu trong [[hệ mét]], với:

* 1 a = 100 mét vuông

Mặc dù đã không còn sử dụng, [[hecta]] vẫn thường được sử dụng để đo đất:<ref name="BIPM2006Ch52">{{Chú thích tạp chí|last=Bureau international des poids et mesures|year=2006|title=The International System of Units (SI)|url=http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf|series=8th ed.|archive-url=https://web.archive.org/web/20131105051930/http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf|archive-date = ngày 5 tháng 11 năm 2013 |accessdate = ngày 13 tháng 2 năm 2008}} Chapter 5.</ref>

* 1 hecta = 100 a = 10.000 mét vuông = 0,01 ki lô mét vuông

Mẫu [[Mẫu Anh|Anh]] cũng thường được sử dụng để đo diện tích đất

* 1 mẫu Anh = 4,840 yard vuông = 43,560 feet vuông.

Một mẫu Anh là khoảng 40% của một hecta.

Trên quy mô nguyên tử, diện tích được đo bằng đơn vị barn:<ref name="BIPM2006Ch53">{{Chú thích tạp chí|last=Bureau international des poids et mesures|year=2006|title=The International System of Units (SI)|url=http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf|series=8th ed.|archive-url=https://web.archive.org/web/20131105051930/http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf|archive-date = ngày 5 tháng 11 năm 2013 |accessdate = ngày 13 tháng 2 năm 2008}} Chapter 5.</ref>

* 1 barn = 10 <sup>−28</sup> mét vuông.

Barn được sử dụng phổ biến trong việc mô tả vùng tương tác mặt cắt ngang trong [[vật lý hạt nhân]].<ref name="BIPM2006Ch54">{{Chú thích tạp chí|last=Bureau international des poids et mesures|year=2006|title=The International System of Units (SI)|url=http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf|series=8th ed.|archive-url=https://web.archive.org/web/20131105051930/http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf|archive-date = ngày 5 tháng 11 năm 2013 |accessdate = ngày 13 tháng 2 năm 2008}} Chapter 5.</ref>

Ở Ấn Độ,

* 20 dhurki = 1 dhur
* 20 dhur = 1 khatha
* 20 khata = 1 bigha
* 32 khata = 1 mẫu Anh

== Lịch sử ==

=== Diện tích hình tròn ===
Vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên, [[Hippocrates xứ Chios]] là người đầu tiên chỉ ra rằng diện tích của một cái đĩa (vùng được bao quanh bởi một vòng tròn) tỷ lệ với bình phương đường kính của nó, như một phần của việc [[Cầu phương (toán học)|cầu phương]] của ông,<ref name="heath">{{Chú thích|isbn=978-0-486-43231-1}}</ref> nhưng không xác định được [[Tỉ lệ thuận|hằng số tỷ lệ]]. [[Eudoxus của Cnidus]], cũng vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên, cũng phát hiện ra rằng diện tích của một cái đĩa tròn tỷ lệ thuận với bình phương bán kính của nó.<ref>{{Chú thích sách|url=https://archive.org/details/singlevariableca00stew/page/3|title=Single variable calculus early transcendentals.|last=Stewart|first=James|publisher=Brook/Cole|year=2003|isbn=978-0-534-39330-4|edition=5 |location=Toronto ON|page=[https://archive.org/details/singlevariableca00stew/page/3 3]|quote=However, by indirect reasoning, Eudoxus (fifth century B.C.) used exhaustion to prove the familiar formula for the area of a circle: <math>A= \pi r^2.</math>}}</ref>

Sau đó, Quyển I của [[Cơ sở (Euclid)|''Cơ sở'' của Euclid]] đề cập đến sự bằng nhau về diện tích giữa các hình hai chiều. Nhà toán học [[Archimedes]] sử dụng các công cụ của [[Hình học Euclid|Euclid]] để chứng minh rằng diện tích bên trong một vòng tròn là tương đương với của một [[tam giác vuông]] có đáy là chiều dài của chu vi của vòng tròn và có chiều cao tương đương với bán kính của vòng tròn, trong cuốn sách của ông ''[[Đo vòng tròn|Đo một hình tròn]]''. (Chu vi là 2 {{Pi}}''r'', và diện tích của một tam giác bằng một nửa đáy nhân với chiều cao, mang lại diện tích {{Pi}}''r'' <sup>2</sup> cho hình tròn.) Archimedes đã tính gần đúng giá trị của π (và do đó là diện tích của một hình tròn bán kính đơn vị) bằng [[Diện tích hình tròn|phương pháp nhân đôi của mình]], trong đó ông nội tiếp một tam giác đều trong một vòng tròn và ghi nhận diện tích của nó, sau đó nhân đôi số cạnh để tạo ra một [[Lục giác|hình lục giác đều.]], sau đó liên tục nhân đôi số cạnh khi diện tích của đa giác ngày càng gần với diện tích của hình tròn (và thực hiện tương tự với [[đa giác ngoại tiếp]]).

Nhà khoa học người Thụy Sĩ [[Johann Heinrich Lambert]] năm 1761 đã chứng minh rằng [[Pi|π]], tỷ số giữa diện tích hình tròn với bán kính bình phương của nó, là [[số vô tỉ]], nghĩa là nó không bằng thương số của hai số nguyên bất kỳ.<ref name="Arndt">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/?id=QwwcmweJCDQC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false|title=Pi Unleashed|last=Arndt|first=Jörg|last2=Haene l|first2=Christoph|publisher=Springer-Verlag|year=2006|isbn=978-3-540-66572-4 <!--isbn only volume 1-->|accessdate = ngày 5 tháng 6 năm 2013}} English translation by Catriona and David Lischka.</ref> Năm 1794, nhà toán học người Pháp [[Adrien-Marie Legendre]] đã chứng minh rằng π<sup>2</sup> là vô tỉ; điều này cũng chứng tỏ rằng π là vô tỉ.<ref>{{Chú thích|isbn=978-0-03-029558-4}}</ref> Năm 1882, nhà toán học người Đức [[Ferdinand von Lindemann]] đã chứng minh rằng π là [[số siêu việt]] (không phải là [[Số siêu việt|nghiệm]] của bất kỳ [[Phương trình đại số|phương trình đa thức]] nào với hệ số hữu tỉ), chứng minh này xác nhận một phỏng đoán của cả [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] và Euler.<ref name="Arndt" /> {{Rp|p. 196}}

=== Diện tích tam giác ===
[[Hero xứ Alexandria|Heron (hay Hero) của Alexandria đã]] tìm ra cái được gọi là [[công thức Heron]] cho diện tích tam giác tính theo các cạnh của nó, và một phép chứng minh có trong cuốn sách của ông, ''Metrica'', được viết vào khoảng năm 60 CN. Có ý kiến cho rằng [[Archimedes]] đã biết công thức hơn hai thế kỷ trước đó,<ref>{{Chú thích sách|title=A History of Greek Mathematics (Vol II)|last=Heath, Thomas L.|publisher=Oxford University Press|year=1921|pages=321–323}}</ref> và vì ''Metrica'' là tập hợp các kiến thức toán học có sẵn trong thế giới cổ đại, nên có thể công thức có trước tham chiếu được đưa ra trong công trình đó.<ref>{{MathWorld}}</ref>

Năm 499, [[Aryabhata]], một [[nhà toán học]] - [[Nhà thiên văn học|thiên văn học]] vĩ đại của thời đại cổ điển của [[toán học Ấn Độ]] và [[thiên văn học Ấn Độ]], đã biểu thị diện tích của một tam giác bằng một nửa đáy nhân với chiều cao trong ''[[Aryabhatiya]]'' (phần 2.6).

Một công thức tương đương với Heron đã được người Trung Quốc tìm ra độc lập với người Hy Lạp. Nó được xuất bản vào năm 1247 trong ''Shushu Jiuzhang'' ("Cửu chương toán thuật"), tác phẩm của [[Qin Jiushao]].

=== Diện tích tứ giác ===
Trong thế kỷ thứ 7, [[Brahmagupta]] đã phát triển một công thức, bây giờ được gọi là [[công thức Brahmagupta]], cho diện tích của một [[tứ giác nội tiếp]] (một [[tứ giác]] có các đỉnh nằm trên một vòng tròn) theo các cạnh của nó. Năm 1842, các nhà toán học người Đức [[Carl Anton Bretschneider]] và [[Karl Georg Christian von Staudt|Karl Georg Christian von Staudt đã]] độc lập với nhau, cùng tìm ra một công thức, được gọi là [[Công thức của Bretschneider|công thức Bretschneider]], cho diện tích của bất kỳ hình tứ giác nào.

=== Diện tích đa giác ===
Sự phát triển của [[Hệ tọa độ Descartes|tọa độ Descartes]] do [[René Descartes]] xây dựng vào thế kỷ 17 cho phép phát triển công thức cho diện tích của bất kỳ đa giác nào có vị trí đỉnh đã biết của [[Carl Friedrich Gauß|Gauss]] vào thế kỷ 19.

=== Diện tích được xác định bằng phép tính tích phân ===
Sự phát triển của [[Tích phân|phép tính tích phân]] vào cuối thế kỷ 17 đã cung cấp các công cụ sau đó có thể được sử dụng để tính toán các diện tích phức tạp hơn, chẳng hạn như diện tích [[Elíp|hình elip]] và [[diện tích bề mặt]] của các vật thể ba chiều cong khác nhau.

== Công thức diện tích ==

=== Đa giác ===
Đối với một đa giác không tự cắt ([[đa giác đơn]]), [[Hệ tọa độ Descartes|tọa độ Descartes]]<math>(x_i, y_i)</math> (''i'' = 0, 1,..., ''n'' -1) của ''n'' [[Đỉnh (hình học)|đỉnh đã]] biết, diện tích được cho bởi công thức của người đóng móng:<ref>{{Chú thích web|url=http://www.seas.upenn.edu/~sys502/extra_materials/Polygon%20Area%20and%20Centroid.pdf|tựa đề=Calculating The Area And Centroid Of A Polygon|tác giả=Bourke|tên=Paul|ngày=July 1988|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20120916104133/http://www.seas.upenn.edu/~sys502/extra_materials/Polygon%20Area%20and%20Centroid.pdf|ngày lưu trữ=2012-09-16|ngày truy cập=6 Feb 2013}}</ref>

<math>A = \frac{1}{2} | \sum_{i = 0}^{n - 1}(x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i) |</math>

trong đó khi ''i'' = ''n'' -1, thì ''i'' +1 được biểu thị dưới dạng [[Số học mô đun|môđun]] ''n'' và do đó quy về 0.

==== Hình chữ nhật ====
[[Tập tin:RectangleLengthWidth.svg|liên_kết=https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADp tin:RectangleLengthWidth.svg|thế=A rectangle with length and width labelled|phải|nhỏ|Diện tích của hình chữ nhật này là&nbsp;{{Mvar|lw}}.]]
Công thức diện tích cơ bản nhất là công thức diện tích [[hình chữ nhật]]. Cho một hình chữ nhật có chiều dài {{Mvar|l}} và chiều rộng {{Mvar|w}}, công thức của diện tích là:<ref name="AF7"/><ref>{{Chú thích web|url=http://proofwiki.org/wiki/Area_of_Parallelogram/Rectangle|tựa đề=Area of Parallelogram/Rectangle|nhà xuất bản=ProofWiki.org|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20150620062553/https://proofwiki.org/wiki/Area_of_Parallelogram/Rectangle|ngày lưu trữ=ngày 20 tháng 6 năm 2015|ngày truy cập=ngày 29 tháng 5 năm 2016}}</ref>

{{Bigmath|''A'' {{=}} ''lw''}}.

Nghĩa là, diện tích của hình chữ nhật bằng chiều dài nhân với chiều rộng. Trong trường hợp đặc biệt, vì {{Math|''l'' {{=}} ''w''}} trong trường hợp hình vuông, diện tích của hình vuông có độ dài cạnh {{Mvar|s}} được cho bởi công thức:<ref name="MathWorld3"/><ref name="AF7"/><ref>{{Chú thích web|url=http://proofwiki.org/wiki/Area_of_Square|tựa đề=Area of Square|nhà xuất bản=ProofWiki.org|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20171104234553/https://proofwiki.org/wiki/Area_of_Square|ngày lưu trữ=ngày 4 tháng 11 năm 2017|ngày truy cập=ngày 29 tháng 5 năm 2016}}</ref>

{{Bigmath|''A'' {{=}} ''s''<sup>2</sup>}}

Công thức cho diện tích hình chữ nhật trực tiếp dựa trên các tính chất cơ bản của diện tích, và đôi khi được coi là một [[định nghĩa]] hoặc [[tiên đề]]. Mặt khác, nếu [[hình học]] được phát triển trước [[số học]], công thức này có thể được sử dụng để định nghĩa [[phép nhân]] các [[số thực]].

==== Phương pháp tách hình, hình bình hành và hình tam giác ====
Hầu hết các công thức đơn giản khác cho diện tích đều tuân theo phương pháp [[Bóc tách (hình học)|tách hình]]. Điều này bao gồm việc cắt một hình thành từng hình nhỏ, và việc tính diện tích hình đó sẽ là [[Phép cộng|việc dùng phép cộng]] các diện tích các hình con.
[[Tập tin:ParallelogramArea.svg|liên_kết=https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADp tin:ParallelogramArea.svg|trái|nhỏ|Sơ đồ cho thấy cách một hình bình hành có thể được sắp xếp lại thành hình chữ nhật.]]
Ví dụ, bất kỳ [[hình bình hành]] nào cũng có thể được chia nhỏ thành [[hình thang]] và [[tam giác vuông]], như thể hiện trong hình bên trái. Nếu tam giác được di chuyển sang phía bên kia của hình thang, thì hình thu được là một hình chữ nhật. Theo đó diện tích của hình bình hành bằng diện tích của hình chữ nhật đó:<ref name="AF7"/>

{{Bigmath|''A'' {{=}} ''bh''}} &nbsp;(hình bình hành).
[[Tập tin:TriangleArea.svg|liên_kết=https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADp tin:TriangleArea.svg|phải|nhỏ|Một hình bình hành chia thành hai tam giác bằng nhau.]]
Tuy nhiên, cùng một hình bình hành cũng có thể được cắt theo một [[đường chéo]] thành hai tam giác [[Tương đẳng (hình học)|tương đẳng]], như trong hình bên phải. Như vậy diện tích của mỗi [[tam giác]] bằng một nửa diện tích của hình bình hành:<ref name="AF7"/>

<math>A = \frac{1}{2}bh</math>&nbsp;(Tam giác).

Các phép chứng minh tương tự có thể được sử dụng để tìm công thức diện tích cho [[hình thang]] <ref>{{Chú thích|title=Problem Solving Through Recreational Mathematics|year=2012|isbn=978-0-486-13174-0}}</ref> cũng như các [[đa giác]] phức tạp hơn.<ref>{{Chú thích|title=Calculus for Scientists and Engineers: An Analytical Approach|year=2002|isbn=978-0-8493-1319-6}}</ref>

=== Diện tích các hình cong ===

==== Hình tròn ====
[[Tập tin:CircleArea.svg|liên_kết=https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADp tin:CircleArea.svg|thế=A circle divided into many sectors can be re-arranged roughly to form a parallelogram|phải|nhỏ|Một hình tròn có thể được chia thành [[Hình quạt tròn|các hình quạt]] mà sắp xếp lại để tạo thành một xấp xỉ [[hình bình hành]].]]
Công thức tính diện tích [[Đường tròn|hình tròn]] (được gọi đúng hơn là diện tích được bao bởi hình tròn hay diện tích [[Hình tròn|đĩa]]) dựa trên một phương pháp tương tự. Cho một vòng tròn bán kính {{Math|''r''}} nó có thể phân vùng các vòng tròn vào [[Hình quạt tròn|các lĩnh vực]], như thể hiện trong hình bên phải. Mỗi cung có dạng hình tam giác gần đúng và các cung có thể được sắp xếp lại để tạo thành một hình bình hành gần đúng. Chiều cao của hình bình hành này là {{Math|''r''}}, và chiều rộng bằng nửa [[Chu vi hình tròn|chu vi]] của hình tròn, hay {{Math|π''r''}}. Như vậy, tổng diện tích của hình tròn là {{Math|π''r''<sup>2</sup>}}:<ref name="AF7"/>

{{Bigmath|''A'' {{=}} π''r''<sup>2</sup>}} &nbsp;(hình tròn).

Mặc dù việc phân tách hình tròn được sử dụng trong công thức này chỉ là gần đúng, nhưng sai số ngày càng nhỏ hơn khi vòng tròn được phân chia thành ngày càng nhiều cung. [[Giới hạn (toán học)|Giới hạn]] diện tích của các hình bình hành gần đúng là {{Math|π''r''<sup>2</sup>}}, là diện tích của hình tròn.<ref name="Surveyor">{{Chú thích tạp chí|last=Braden|first=Bart|date=September 1986|title=The Surveyor's Area Formula|url=http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma063.pdf|journal=The College Mathematics Journal|volume=17|issue=4|pages=326–337|doi=10.2307/2686282|jstor=2686282|archive-url=https://web.archive.org/web/20120627180152/http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma063.pdf|archive-date=ngày 27 tháng 6 năm 2012|accessdate =ngày 15 tháng 7 năm 2012}}</ref>

Lập luận này thực sự là một ứng dụng đơn giản của các ý tưởng của [[Vi tích phân|phép tính vi tích phân]]. Trong thời cổ đại, [[phương pháp cạn kiệt]] được sử dụng một cách tương tự để tìm diện tích hình tròn, và phương pháp này ngày nay được công nhận là tiền thân của [[Tích phân|phép tính tích phân]]. Sử dụng các phương pháp hiện đại, diện tích hình tròn có thể được tính bằng cách sử dụng một [[Tích phân|tích phân xác định]]:

<math>A \;=\;2\int_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \;=\; \pi r^2.</math>

==== Hình elip ====
Công thức cho diện tích được bao bởi một [[Elíp|hình elip]] có liên quan đến công thức của một hình tròn; đối với một hình elip với các bán trục chính và bán trục phụ {{Math|''x''}} và {{Math|''y''}}, với công thức là:<ref name="AF7"/>

<math>A = \pi xy.</math>

==== Diện tích bề mặt ====
[[Tập tin:Archimedes_sphere_and_cylinder.svg|liên_kết=https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADp tin:Archimedes_sphere_and_cylinder.svg|thế=A blue sphere inside a cylinder of the same height and radius|phải|nhỏ|[[Archimedes]] đã chỉ ra rằng diện tích bề mặt của một [[Mặt cầu|hình cầu bằng]] bốn lần diện tích của một [[Hình tròn|đĩa]] phẳng có cùng bán kính, và thể tích của hình cầu bằng 2/3 thể tích của một [[Hình trụ tròn|hình trụ]] có cùng chiều cao và bán kính.]]
Hầu hết các công thức cơ bản cho [[diện tích bề mặt]] có thể thu được bằng cách cắt các bề mặt và làm phẳng chúng. Ví dụ, nếu bề mặt bên của một [[Hình trụ tròn|hình trụ]] (hoặc bất kỳ [[hình lăng trụ]] nào) được cắt theo chiều dọc, bề mặt đó có thể được làm phẳng thành hình chữ nhật. Tương tự, nếu một vết cắt được thực hiện dọc theo mặt bên của [[Mặt nón|hình nón]], bề mặt bên có thể được làm phẳng thành một phần của hình tròn và diện tích kết quả có thể được tính ra.

Công thức cho diện tích bề mặt của một [[Mặt cầu|hình cầu]] khó tìm hơn: bởi vì một hình cầu có [[độ cong Gauss]] khác 0, nó không thể bị cán dẹt ra. Công thức về diện tích bề mặt của một hình cầu lần đầu tiên được [[Archimedes]] thu được trong tác phẩm ''Về hình cầu và hình trụ''. Công thức là:<ref name="MathWorldSurfaceArea2"/>

* {{Bigmath|''A'' {{=}} 4''πr''<sup>2</sup>}} &nbsp;(hình cầu), với r là bán kính của hình cầu. Cũng giống như công thức về diện tích hình tròn, bất kỳ suy luận nào của công thức này đều sử dụng các phương pháp tương tự như [[Vi tích phân|tích phân]].

=== Công thức chung ===

==== Diện tích của các hình 2 chiều ====
[[Tập tin:Triangle_GeometryArea.svg|liên_kết=https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADp tin:Triangle_GeometryArea.svg|nhỏ|Diện tích tam giác<math>A=\tfrac{b\cdot h}{2}</math>]]

* [[Tam giác|Hình tam giác]]:<math>\tfrac12Bh</math> (trong đó ''B'' là cạnh bất kỳ và ''h'' là khoảng cách từ đường thẳng mà ''B'' nằm đến đỉnh còn lại của tam giác). Có thể sử dụng công thức này nếu biết chiều cao ''h''. Nếu biết độ dài của ba cạnh thì có thể sử dụng ''[[công thức Heron]]'':<math>\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math> trong đó ''a'', ''b'', ''c'' là các cạnh của tam giác và <math>s = \tfrac12(a + b + c)</math> là một nửa chu vi của nó.<ref name="AF7"/> Nếu cho một góc và hai cạnh bên của nó, diện tích là<math>\tfrac12 a b \sin(C)</math> trong đó {{Math|''C''}} là góc đã cho và {{Math|''a''}} và {{Math|''b''}} là các cạnh của nó.<ref name="AF7"/> Nếu tam giác được vẽ đồ thị trên một mặt phẳng tọa độ, một ma trận có thể được sử dụng và được đơn giản hóa thành giá trị tuyệt đối của<math>\tfrac12(x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - x_1 y_3)</math>. Công thức này còn được gọi là [[công thức dây giày]] và là một cách dễ dàng để giải diện tích của một tam giác tọa độ bằng cách thay thế 3 điểm ''(x <sub>1</sub>, y <sub>1</sub>)'', ''(x <sub>2</sub>, y <sub>2</sub>)'' và ''(x <sub>3</sub>, y <sub>3</sub>)''. Công thức dây giày cũng có thể được sử dụng để tìm diện tích của các đa giác khác khi các đỉnh của chúng đã biết. Một cách tiếp cận khác cho tam giác tọa độ là sử dụng [[Vi tích phân|phép tính]] để tìm diện tích.
* Một [[đa giác đơn]] được xây dựng trên một lưới các điểm có khoảng cách bằng nhau (tức là các điểm có tọa độ [[Số nguyên|nguyên]]) sao cho tất cả các đỉnh của đa giác là các điểm lưới:<math>i + \frac{b}{2} - 1</math>, với ''i'' là số điểm lưới bên trong đa giác và ''b'' là số điểm biên. Kết quả này được gọi là [[định lý Pick]].<ref name="Pick">{{Chú thích tạp chí|last=Trainin|first=J.|date=November 2007|title=An elementary proof of Pick's theorem|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2007-11_91_522/page/536|journal=[[Mathematical Gazette]]|volume=91|issue=522|pages=536–540}}</ref>

==== Diện tích trong giải tích ====
[[Tập tin:Integral_as_region_under_curve.svg|liên_kết=https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADp tin:Integral_as_region_under_curve.svg|thế=A diagram showing the area between a given curve and the x-axis|nhỏ|Tích phân có thể được coi là đo diện tích dưới một đường cong, được xác định bởi ''f'' (''x''), giữa hai điểm (ở đây ''là a'' và ''b'').]]
[[Tập tin:Areabetweentwographs.svg|liên_kết=https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADp tin:Areabetweentwographs.svg|thế=A diagram showing the area between two functions|nhỏ|Diện tích giữa hai đồ thị có thể được đánh giá bằng cách tính hiệu giữa tích phân của hai hàm]]

* Diện tích giữa đường cong có giá trị dương và trục hoành, được đo giữa hai giá trị ''a'' và ''b'' (b được định nghĩa là lớn hơn trong hai giá trị) trên trục hoành, được cho bởi tích phân từ ''a'' đến ''b'' của hàm đại diện cho đường cong:<ref name="MathWorld3"/>
** <math> A = \int_a^{b} f(x) \, dx.</math>
* Diện tích giữa [[Đồ thị của hàm số|đồ thị]] của hai hàm số [[Đẳng thức|bằng]] [[tích phân]] của một [[hàm số]], ''f'' (''x''), [[Phép trừ|trừ đi]] tích phân của hàm số kia, ''g'' (''x''):
** <math> A = \int_a^{b} (f(x) - g(x)) \, dx, </math>
* Diện tích bị giới hạn bởi một hàm ''r'' = ''r'' (θ) được biểu thị bằng [[Hệ tọa độ cực|tọa độ cực]] là:<ref name="MathWorld3"/>
** <math>A = {1 \over 2} \int r^2 \, d\theta. </math>
* Khu vực được bao quanh bởi một [[Phương trình tham số|đường cong tham số]]<math>\vec u(t) = (x(t), y(t)) </math> với các điểm cuối<math> \vec u(t_0) = \vec u(t_1) </math> được cho bởi [[tích phân đường]]:
** <math> \oint_{t_0}^{t_1} x \dot y \, dt  = - \oint_{t_0}^{t_1} y \dot x \, dt  =  {1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} (x \dot y - y \dot x) \, dt </math>
* (xem [[định lý Green]]) hoặc thành phần ''z'' của
** <math>{1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} \vec u \times \dot{\vec u} \, dt.</math>

== Các công thức thông dụng ==
{| class="prettytable"
|+ Các công thức diện tích hay dùng:
! Hình
! Công thức
! Biến số
! Cách đọc
|-
|[[Hình chữ nhật]]
|<math>a \cdot b \,</math>
|<math>a</math>: [[Chiều dài]], <math>b</math>: [[Chiều rộng]].
|Diện tích bằng tích [[chiều dài]] 2 cạnh.
|-
|[[Hình vuông]]
|<math>a^2</math>
|<math>a</math>: [[Chiều dài]] cạnh hình vuông.
|Diện tích bằng bình phương [[chiều dài]] 1 cạnh.
|-
|[[Hình bình hành]]
|<math>a \cdot h </math>
|<math>a</math>: [[Chiều dài]] 1 cạnh, <math>h</math>: [[chiều cao]] tương ứng với a.
|Diện tích bằng 1 cạnh nhân với [[chiều cao]] tương ứng với cạnh đó.
|-
|[[Hình thoi]]
|<math>\frac{1}{2}a \cdot b \,</math>
|<math>a,b</math>: [[Chiều dài]] 2 đường chéo.
|Diện tích bằng 1 nửa tích độ dài 2 đường chéo.
|-
|[[Tam giác]]
|<math>\frac{1}{2}b \cdot h \,</math>
|<math>b</math>: cạnh đáy, <math>h</math>: [[chiều cao]].
|Diện tích bằng 1 nửa tích [[chiều dài]] 1 cạnh với đường cao tương ứng với nó.
|-
|[[Hình tròn]]
|<math>\pi \cdot R^2 \,</math>
|<math>R</math>: [[bán kính]].
|Diện tích bằng số pi nhân với bình phương bán kính
|-
|[[Elíp|Hình e-líp]]
|<math>\pi \cdot a \cdot b \,</math>
|<math>a</math> và <math>b</math> độ dài [[nửa trục thực]] và [[nửa trục ảo]].
|-
|[[Mặt cầu]]
|<math>4 \pi r^2 \,</math>, hoặc <math>\pi d^2 \,</math>
|<math>r</math>: bán kính, <math>d</math>: [[đường kính hình cầu]].
| Diện tích bằng số Pi nhân với bình phương [[chiều dài]] đường kính.
|-
|[[Hình thang]] 
|<math>\frac{1}{2}(a+b)h \,</math>
|<math>a</math> và <math>b</math>: các cạnh đáy, <math>h</math>: [[chiều cao]].
|Diện tích bằng trung bình cộng 2 đáy nhân với [[chiều cao]].
|-
|[[Hình trụ tròn]]
|<math>2 \pi r (h + r) \,</math>
|<math>r</math>: bán kính, <math>h</math>: [[chiều cao]].
|-
|Diện tích xung quanh của hình trụ
|<math>2 \pi r h \,</math>
|<math>r</math>: bán kính, <math>h</math>: [[chiều cao]]
|-
|[[Mặt nón#Hình nón|Mặt nón]]
|<math>\pi r (l + r) \,</math> 
|<math>r</math>: bán kính, <math>l</math> độ dài đường sinh (''slant height'').
|
|-
|Diện tích xung quanh của hình nón
|<math>\pi r l \,</math>
|<math>r</math>: bán kính, <math>l</math> độ dài đường sinh (''slant height'').
|-
|[[Hình quạt]]
|<math>\frac{\pi r^2 \theta}{360}= \frac{lr}{2} \,</math>
|<math>r</math>: bán kính, <math>\theta</math> số đo góc ở tâm,l là độ dài cung.
|
<!--
|-
|A revolution of f(x) about the x-axis
|<math>2 \pi \int_{a}^{b} |f(x)| \sqrt{1+(f'(x))^2}dx</math>
|-
|Area of surface of revolution of f(x) about the y-axis
|<math>2 \pi \int_{a}^{b} |x| \sqrt{1+(f'(x))^2}dx</math>
-->
|}

== Xem thêm ==
* [[Chiều dài|Độ dài]]
* [[Thể tích]]

==Tham khảo==
{{tham khảo}}
[[Thể loại:Diện tích|*]]
[[Thể loại:Lý thuyết độ đo]]
[[Thể loại:Bài cơ bản sơ khai]]
[[Thể loại:Hình học]]