Xem mã nguồn của Giả nghịch đảo Moore–Penrose

{{Mồ côi|date=tháng 3 năm 2013}}
Trong [[đại số tuyến tính]], '''ma trận giả nghịch đảo''' {{math|''A''<sup>+</sup>}} của [[ma trận]] {{math|''A''}} là một tổng quát hóa của [[ma trận khả nghịch|ma trận nghịch đảo]].<ref name="IG2003">{{chú thích sách |authors=Adi Ben-Israel & [[Thomas N.E. Greville]]| title=Generalized Inverses | isbn=0-387-00293-6 | publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] | year=2003}}</ref>. Loại ma trận giả nghịch đảo phổ biến nhất là '''giả nghịch đảo Moore–Penrose''', tìm ra một cách độc lập bởi [[E. H. Moore]]<ref name="Moore1920">{{chú thích tạp chí | last=Moore | first=E. H. | authorlink=E. H. Moore | title=On the reciprocal of the general algebraic matrix | journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] | volume=26 |issue=9| pages=394–395 | year=1920 | url =http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183425340 | doi = 10.1090/S0002-9904-1920-03322-7 }}</ref> năm 1920, [[Arne Bjerhammar]] <ref name="Bjerhammar1951">{{chú thích tạp chí | last=Bjerhammar| first=Arne| authorlink=Arne Bjerhammar | title=Application of calculus of matrices to method of least squares; with special references to geodetic calculations| journal=Trans. Roy. Inst. Tech. Stockholm | year=1951 | volume = 49}}</ref> năm 1951 và [[Roger Penrose]]<ref name="Penrose1955">{{chú thích tạp chí | last=Penrose | first=Roger | authorlink=Roger Penrose | title=A generalized inverse for matrices | journal=[[Proceedings of the Cambridge Philosophical Society]] | volume=51 | pages=406–413 | year=1955 | doi=10.1017/S0305004100030401}}</ref> năm 1955. Trước đó, [[Erik Ivar Fredholm|Fredholm]] đã định nghĩa khái niệm giả nghịch đảo của [[biến đổi tích phân]] năm 1903. Khi dùng cho ma trận, khái niệm giả nghịch đảo nếu không có chú thích thêm thường được dùng để chỉ giả nghịch đảo Moore–Penrose. Một tên gọi khác cho khái niệm này là ma trận nghịch đảo tổng quát.

==Ký hiệu==
Phần dưới của trang sử dụng các ký hiệu sau.
*<math>\mathbb{K}</math> ký hiệu một trong các [[trường]] số thực hoặc số phức, ký hiệu là <math>\mathbb{R},\,\mathbb{C}</math>. Không gian vectơ của các ma trận <math>m \times n</math> trên trường <math>\mathbb{K}</math> được ký hiệu là <math>M(m,n;\mathbb{K})</math>.
* Với mọi <math>A \in M(m,n;\mathbb{K})</math>, <math>A^T</math> và <math>A^{*}</math> ký hiệu ma trận chuyển vị và ma trận liên hợp của <math>A</math>. Nếu <math>\mathbb{K} = \mathbb{R}</math>, thì <math>A^* = A^T</math>.
*Với mọi <math>A \in M(m,n;\mathbb{K})</math>, <math>\operatorname{Im}(A)</math> ký hiệu [[miền giá trị]] (không gian ảnh) của <math>A</math> (không gian sinh bởi các vectơ cột của <math>A</math>) và <math>\operatorname{Ker}(A)</math> ký hiệu [[không gian nhân]] của <math>A</math>.
*Với mọi số dương <math>n</math>, <math>I_{n} \in M(n,n;\mathbb{K})</math> ký hiệu [[ma trận (toán học)|ma trận đơn vị]] <math>n \times n</math>.

==Định nghĩa==
Với <math> A \in M(m,n;\mathbb{K}) </math>, 
ma trận giả nghịch đảo Moore–Penrose (sau đây viết gọn là giả nghịch đảo) của <math> A </math> được định nghĩa là ma trận 
<math> A^+ \in M(n,m;\mathbb{K}) </math>
thỏa mãn cả bốn tính chất sau:<ref name="Penrose1955"/><ref name="GvL1996">{{chú thích sách | authorlink=Gene H. Golub |authors=Gene H. Golub & [[Charles F. Van Loan]]| title=Matrix computations | url=https://archive.org/details/matrixcomputatio00golu_508 | edition=3 | publisher=Johns Hopkins | location=Baltimore | year=1996 | isbn=0-8018-5414-8 | pages = [https://archive.org/details/matrixcomputatio00golu_508/page/n285 257]–258}}</ref>
# <math>A A^+A = A\,\!</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; ({{math|''AA''<sup>+</sup>}} không nhất thiết là ma trận đơn vị nhưng phải ánh xạ mỗi cột của {{math|''A''}} đến chính nó);
# <math>A^+A A^+ = A^+\,\!</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; ({{math|''A''<sup>+</sup>}} là [[nghịch đảo yếu]] của [[nửa nhóm]] nhân);
# <math>(AA^+)^* = AA^+\,\!</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; ({{math|''AA''<sup>+</sup>}} là một [[ma trận Hermite]]); và
# <math>(A^+A)^* = A^+A\,\!</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; ({{math|''A''<sup>+</sup>''A''}} cũng là một ma trận Hermite).

==Tính chất==

===Tồn tại và duy nhất===
*Giả nghịch đảo Moore–Penrose tồn tại và là duy nhất: với mỗi ma trận <math> A\,\!</math>, có đúng một ma trận <math> A^+\,\!</math> thỏa mãn bốn tính chất của định nghĩa.<ref name="GvL1996"/>

===Tính chất cơ bản===
* Nếu <math>A\,\!</math> là ma trận thực, thì <math> A^+\,\!</math> cũng là ma trận thực.
* Nếu <math>A\,\!</math> [[ma trận khả nghịch|khả nghịch]], thì ma trận nghịch đảo và giả nghịch đảo là một: <math>A^+=A^{-1}\,\!</math>.<ref name="SB2002">{{chú thích sách | last1=Stoer | first1=Josef | last2=Bulirsch | first2=Roland | title=Introduction to Numerical Analysis | url=https://archive.org/details/introductiontonu0000stoe_t7w1 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=3 | isbn=978-0-387-95452-3 | year=2002}}.</ref>{{rp|243}}
* Giả nghịch đảo của [[ma trận không]] là chuyển vị của nó.
* Giả nghịch đảo của giả nghịch đảo chính là ma trận ban đầu: <math>(A^+)^+=A\,\!</math>.<ref name="SB2002" />{{rp|245}}
* Phép lấy giả nghịch đảo giao hoán với phép chuyển vị, và liên hợp:<ref name="SB2002"/>{{rp|245}} <!-- tài liệu tham khảo chỉ nêu tính chất cuối -->
::<math>(A^T)^+ = (A^+)^T,~~ \overline{A}^+ = \overline{A^+},~~ (A^*)^+ = (A^+)^*.\,\!</math>
* Giả nghịch đảo của tích của một đại lượng vô hướng với {{math|''A''}} là tích của nghịch đảo của đại lượng vô hướng đó với {{math|''A''<sup>+</sup>}}:
::<math>(\alpha A)^+ = \alpha^{-1} A^+\,\!</math> với mọi <math>\alpha\neq 0</math>.

====Hằng đẳng thức====
<!-- If you know how to specify that less space is to be used between columns, please do so! @{} did not work for me: -->
::<math>\begin{array}{lclll}
A^+ &=& A^+ & A^{+*} & A^*\\
A^+ &=& A^* & A^{+*} & A^+\\
A &=& A^{+*}& A^* & A \\
A &=& A & A^* & A^{+*}\\
A^* &=& A^* & A & A^+\\
A^* &=& A^+ & A & A^*\\
\end{array}</math>

===Quy về trường hợp ma trận Hermite===
*<math>A^+ = (A^*A)^+A^*\,\!</math>.
*<math>A^+ = A^*(AA^*)^+\,\!</math>.

===Tích===
Nếu <math> A \in M(m,n;\mathbb{K}),~B \in M(n,p;\mathbb{K})\,\!</math> và một trong các điều kiện sau được thỏa mãn,
* <math> A\,\!</math> có các cột trực chuẩn (nghĩa là <math> A^*A = I_n\, </math>) hoặc,
* <math> B\,\!</math> có các hàng trực chuẩn (nghĩa là <math> BB^* = I_n\, </math>) hoặc,
* <math> A\,\!</math> có các cột độc lập tuyến tính và <math> B\,\!</math> có các hàng độc lập tuyến tính,
thì <math>(AB)^+ = B^+ A^+\,\!</math>.

===Các phép chiếu===
<math>P = AA^+\,\!</math> và <math>Q = A^+A\,\!</math> là các phép chiếu vuông góc --- nghĩa là chúng đều là ma trận Hermite (<math> P = P^*\,\!</math>, <math> Q = Q^*\,\!</math>) và thỏa mãn <math> P^2 = P\,\!</math> và <math> Q^2 = Q\,\!</math>). Chúng có các tính chất sau:
*<math>PA=A=AQ\,\!</math> and <math>A^+P=A^+=QA^+\,\!</math>
*<math>P\,\!</math> là phép chiếu vuông góc xuống không gian ảnh của <math>A\,\!</math>
*<math>Q\,\!</math> là phép chiếu vuông góc xuống không gian ảnh của <math>A^*\,\!</math>
*<math>(I - P)\,\!</math> là phép chiếu vuông góc xuống không gian nhân của <math>A^*\,\!</math>.
*<math>(I - Q)\,\!</math> là phép chiếu vuông góc xuống không gian nhân của <math>A\,\!</math>.<ref name="GvL1996"/>

===Không gian con===
*<math> \operatorname{Ker}(A^+) = \operatorname{Ker}(A^*)\,\!</math>
*<math> \operatorname{Im}(A^+) = \operatorname{Im}(A^*)\,\!</math>

==Tham khảo==
{{Tham khảo}}

==Liên kết ngoài==
* [http://planetmath.org/encyclopedia/Pseudoinverse.html Pseudoinverse on PlanetMath] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130211130958/http://planetmath.org/encyclopedia/Pseudoinverse.html |date=2013-02-11 }}
* [http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/LinearAlgebra/MatrixGeneralizedInverse.html Interactive program & tutorial of Moore-Penrose Pseudoinverse]
* {{planetmath reference|id=6067|title=Moore-Penrose inverse}}
* {{MathWorld|urlname=Pseudoinverse|title=Pseudoinverse}}
* {{MathWorld|urlname=Moore-PenroseMatrixInverse|title=Moore-Penrose Inverse}}

{{DEFAULTSORT:Moore–Penrose, Giả nghịch đảo}}
[[Thể loại:Lý thuyết ma trận]]
[[Thể loại:Đại số tuyến tính]]