Xem mã nguồn của Giả thuyết Riemann

{{Các bài toán thiên niên kỷ}}[[Tập tin:RiemannCriticalLine.svg|nhỏ|Phần thực (màu đỏ) và phần ảo (màu xanh) của hàm zeta Riemann dọc theo đường giới hạn Re(''s'') = 1/2. Các không điểm phi tầm thường đầu tiên tại Im(''s'') = ±14,135; ±21,022 và ±25,011.]]
Trong [[toán học]], '''giả thuyết Riemann''', nêu bởi [[Bernhard Riemann]] ({{harvtxt|Riemann|1859}}), là một [[phỏng đoán]] về [[nghiệm số|các không điểm phi tầm thường]] của [[hàm zeta Riemann]] tất cả đều có [[số phức|phần thực]] bằng 1/2. Tên gọi này đôi khi cũng có nghĩa tương tự cho một số giả thuyết khác như [[giả thuyết Riemann cho các đường cong trên trường hữu hạn]].

Giả thuyết Riemann hàm ý kết quả về sự phân bố các [[số nguyên tố]]. Cùng với những dạng tổng quát hóa phù hợp, các nhà toán học coi nó là một trong những bài toán quan trọng nhất chưa được giải trong [[toán học thuần túy]] {{harv|Bombieri|2000}}. Giả thuyết Riemann, cùng với [[giả thuyết Goldbach]] thuộc về [[bài toán thứ tám của Hilbert]] trong danh sách [[Các bài toán của Hilbert|23 bài toán chưa giải được]] của [[David Hilbert]]; nó cũng là một trong bảy bài toán của [[Giải thưởng Bài toán Thiên niên kỷ]] do [[Viện Toán học Clay]] khởi xướng.

Hàm zeta Riemann ζ(''s'') là [[hàm số|hàm]] với đối số ''s'' là một [[số phức]] bất kỳ khác 1, và giá trị của hàm cũng là giá trị phức. Các không điểm của hàm (nghiệm) bao gồm tại các số nguyên âm chẵn; tức là ζ(''s'')&nbsp;=&nbsp;0 khi ''s'' nhận các giá trị −2, −4, −6,&nbsp;.... Chúng được gọi là các '''không điểm tầm thường'''. Tuy nhiên, các số nguyên âm chẵn không phải là các nghiệm duy nhất của hàm zeta; và những nghiệm này gọi là '''không điểm phi tầm thường''' hay "không điểm không tầm thường". Giả thuyết Riemann đề cập đến vị trí của các không điểm phi tầm thường này, và phát biểu rằng:

:Phần thực của mọi không điểm không tầm thường của hàm zeta Riemann là bằng {{sfrac|2}}.

Do vậy các không điểm phi tầm thường sẽ nằm trên '''đường giới hạn''' chứa các số phức {{nowrap|{{sfrac|2}} + ''i{{hsp}}t'',}} với ''t'' là [[số thực]] và ''i'' là [[đơn vị ảo]].

Có một vài sách phổ biến về giả thuyết Riemann, như của {{harvtxt|Derbyshire|2003}}, {{harvtxt|Rockmore|2005}}, {{harvtxt|Sabbagh|2003}},
{{harvtxt|du Sautoy|2003}}. Các sách như {{harvtxt|Edwards|1974}}, {{harvtxt|Patterson|1988}} và {{harvtxt|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}} đưa ra nội dung toán học của nó, trong khi
{{harvtxt|Titchmarsh|1986}}, {{harvtxt|Ivić|1985}} và {{harvtxt|Karatsuba|Voronin|1992}} trình bày ở mức khó hơn.

== Đặc điểm ==
Đây là một trong những bài toán thiên niên kỷ, tập hợp của những vấn đề mở quan trọng nhất trong toán học. Giải quyết được bất kỳ vấn đề nào trong đó đều được giải thưởng lên tới một triệu USD.<ref>[http://vnexpress.net/tin-tuc/khoa-hoc/nhung-gia-thuyet-chua-duoc-chung-minh-ve-so-nguyen-to-3433794.html Những giả thuyết chưa được chứng minh về số nguyên tố]</ref>

Giả thuyết Riemann (theo tên của nhà toán học người Đức ở thế kỷ 19, Bernhard Riemann) cung cấp một sự ước đoán chính xác hơn rất nhiều về số lượng số nguyên tố nhỏ hơn một số cho trước. Tuy nhiên, cũng giống như các giả thuyết trên, dù đã được chứng minh là đúng với hàng tỷ trường hợp, nó vẫn chưa được chứng minh tổng quát.

==Hàm zeta Riemann==
[[Hàm zeta Riemann]] xác định đối với số phức ''s'' với phần thực lớn hơn 1 bởi [[chuỗi (toán học)|chuỗi vô hạn]] [[hội tụ tuyệt đối]]
:<math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots.</math>
[[Leonhard Euler]] chứng minh được rằng chuỗi này bằng [[tích Euler]]
:<math>\zeta(s) = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}= \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots</math>
với [[tích vô hạn]] mở rộng trên mọi số nguyên tố ''p'', và chuỗi này hội tụ đối với các số phức ''s'' với phần thực lớn hơn 1. Sự hội tụ của tích Euler chứng tỏ rằng hàm ζ(''s'') không có một không điểm nào trong miền này, do không có một giá trị s nào làm cho hàm bằng 0.

Giả thuyết Riemann đề cập đến các không điểm nằm ngoài miền hội tụ của chuỗi này, do vậy nó cần phải [[liên tục giải tích]] đối với mọi số phức số phức ''s''. Điều này có thể chứng minh khi biểu diễn nó theo [[hàm eta Dirichlet]] như sau. Nếu phần thực của ''s'' lớn hơn 1, thì hàm zeta thỏa mãn
:<math>\left(1-\frac{2}{2^s}\right)\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} = \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \cdots.</math>
Tuy nhiên, chuỗi bên vế phải hội tụ không những khi ''s'' lớn hơn 1, mà còn trong trường hợp ''s'' có phần thực dương. Do vậy, chuỗi thay thế này mở rộng hàm zeta từ miền {{nowrap|Re(''s'') > 1}} sang miền lớn hơn {{nowrap|Re(''s'') > 0}}, ngoại trừ tại các không điểm <math>s = 1 + 2\pi in/\ln(2)</math> của <math>1-2/2^s</math> (xem [[hàm eta Dirichlet]]). Hàm zeta cũng có thể mở rộng tới những giá trị này bằng cách lấy giới hạn, sẽ thu được giá trị hữu hạn cho mọi giá trị của ''s'' với phần thực dương ngoại trừ một trường hợp khi ''s''&nbsp;=&nbsp;1.

Trong miền {{nowrap|0 < Re(''s'') < 1}} hàm zeta thỏa mãn [[phương trình hàm]]
:<math>\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s).</math>
Có thể định nghĩa ζ(''s'') cho mọi số phức ''s'' khác 0 còn lại bằng cách giả sử rằng phương trình này thỏa mãn cả bên ngoài miền xác định, và đặt ζ(''s'') bằng vế phải của phương trình khi ''s'' có phần thực không dương. Nếu ''s'' là một số nguyên âm chẵn thì ζ(''s'') = 0 bởi vì nhân tử sin(π''s''/2) bằng 0; đây là các '''không điểm tầm thường''' của hàm zeta. (Lập luận này không đúng nếu ''s'' là một số nguyên dương chẵn bởi vì giá trị 0 của [[sin]] bị triệt tiêu tại các cực của [[hàm gamma]] khi nó nhận các tham số nguyên âm.) Giá trị tại [[1 + 1 + 1 + 1 + · · ·|ζ(0)&nbsp;=&nbsp;−1/2]] là không xác định bởi phương trình hàm, nhưng nó là giới hạn của ζ(''s'') khi ''s'' tiến đến 0. Phương trình hàm cũng hàm ý rằng hàm zeta không có các không điểm với phần thực âm ngoại trừ các không điểm tầm thường nêu ở trên; do đó mọi không điểm phi tầm thường nằm trong '''miền giới hạn''' với ''s'' có phần thực nằm giữa 0 và 1.

==Xem thêm==
{{Portal|Toán học}}
*[[Tổng quát hóa giả thuyết Riemann]]
*[[Giả thuyết Riemann cho các đường cong trên trường hữu hạn]]
*[[Bài toán Hilbert]]
*[[Giải thưởng Thiên niên kỷ Toán học]]

==Thư mục tham khảo==
{{refbegin|2}}
* {{Citation | last1=Artin | first1=Emil | author1-link=Emil Artin | title=Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil | doi=10.1007/BF01181075 | year=1924 | journal=[[Mathematische Zeitschrift]] | pages=207–246 | volume=19 | issue=1}}
* {{Citation | author1-link=Arne Beurling | last1=Beurling | first1=Arne | title=A closure problem related to the Riemann zeta-function | mr=0070655 | year=1955 | journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences|Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]] | volume=41 | pages=312–314 | doi=10.1073/pnas.41.5.312 | issue=5}}
* {{Citation | last1=Bohr | first1=H. | author1-link=Harald Bohr | last2=Landau | first2=E. | author2-link=Edmund Landau | title=Ein Satz über Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die ζ-Funktion und die ''L''-Funktionen | doi=10.1007/BF03014823 | journal=[[Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo]] | volume=37 | issue = 1 | year=1914 | pages=269–272}}
* {{citation|last=Bombieri|year=2000|first=Enrico|authorlink=Enrico Bombieri|url=http://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf|format=PDF|title=The Riemann Hypothesis – official problem description|publisher=[[Clay Mathematics Institute]]|access-date=ngày 25 tháng 10 năm 2008|archive-date=2015-12-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20151222090027/http://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{citation|isbn=978-0-387-72125-5|title=The Riemann Hypothesis: A Resource for the {{sic|Af|ficionado|hide=y}} and Virtuoso Alike |series=CMS Books in Mathematics|publisher=Springer|place=New York|year=2008
|editor1-first=Peter|editor1-last= Borwein|editor1-link=Peter Borwein|editor2-first=Stephen |editor2-last=Choi |editor3-first=Brendan|editor3-last= Rooney |editor4-first= Andrea|editor4-last= Weirathmueller|display-editors=3|doi=10.1007/978-0-387-72126-2}}
* {{Citation | last1=Borwein | first1=Peter |author1-link=Peter Borwein| last2=Ferguson | first2=Ron | last3=Mossinghoff | first3=Michael J. | title=Sign changes in sums of the Liouville function | doi=10.1090/S0025-5718-08-02036-X | mr=2398787 | year=2008 | journal=[[Mathematics of Computation]] | volume=77 | issue=263 | pages=1681–1694}}
* {{Citation | authorlink=Louis de Branges | last1=de Branges | first1=Louis | title=The convergence of Euler products | doi=10.1016/0022-1236(92)90103-P | mr=1165869 | year=1992 | journal=Journal of Functional Analysis | volume=107 | issue=1 | pages=122–210}}
* {{Citation | authorlink=Pierre Cartier (mathematician) | last1=Cartier | first1=P. | title=Seminar on Number Theory, Paris 1980–81 (Paris, 1980/1981) | publisher=Birkhäuser Boston | location=Boston, MA | series=Progr. Math. | mr=693308 | year=1982 | volume=22 | chapter=Comment l'hypothèse de Riemann ne fut pas prouvée | pages=35–48}}
* {{Citation | last1=Connes | first1=Alain | author1-link=Alain Connes | title=Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function | doi=10.1007/s000290050042 | arxiv=math/9811068 |mr=1694895 | year=1999 | journal=Selecta Mathematica. New Series | volume=5 | issue=1 | pages=29–106}}
* {{Citation | last1=Connes | first1=Alain | author1-link=Alain Connes | title=Mathematics: frontiers and perspectives | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | mr=1754766 | year=2000 | chapter=Noncommutative geometry and the Riemann zeta function | pages=35–54}}
* {{citation|last=Conrey|first=J. B.|authorlink=Brian Conrey|title=More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line|journal=J. Reine angew. Math.|volume=399|year=1989|pages=1–16|url=http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002206781|mr=1004130}}
* {{citation|authorlink=Brian Conrey|last=Conrey|first=J. Brian|title=The Riemann Hypothesis|journal=Notices of the American Mathematical Society|year=2003|pages=341–353|url=http://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf|format=PDF}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{Citation | last1=Conrey | first1=J. B. |author1-link=Brian Conrey| last2=Li | first2=Xian-Jin |author2-link=Xian-Jin Li| title=A note on some positivity conditions related to zeta and L-functions | doi=10.1155/S1073792800000489 | arxiv=math/9812166 |mr=1792282 | year=2000 | journal=International Mathematics Research Notices | issue=18 | pages=929–940 | volume=2000}}
* {{Citation | last1=Deligne | first1=Pierre | author1-link=Pierre Deligne | title=La conjecture de Weil. I | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__43__273_0 | mr=0340258 | year=1974 | journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]] | volume=43 | pages=273–307 | doi=10.1007/BF02684373 }}
* {{Citation | last1=Deligne | first1=Pierre | author1-link=Pierre Deligne | title=La conjecture de Weil: II | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1980__52__137_0 | year=1980 | journal=Publications Mathématiques de l'IHÉS | volume=52 | pages=137–252 | doi=10.1007/BF02684780 }}
* {{Citation | last1=Deninger | first1=Christopher | authorlink=Christopher Deninger | title=Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998) | url=http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/documenta/xvol-icm/00/Deninger.MAN.html | mr=1648030 | year=1998 | journal=Documenta Mathematica | chapter=Some analogies between number theory and dynamical systems on foliated spaces | pages=163–186 }}
* {{Citation | last1=Derbyshire | first1=John | author1-link=John Derbyshire | title=[[Prime Obsession]] | publisher=Joseph Henry Press, Washington, DC | isbn=978-0-309-08549-6 | mr=1968857 | year=2003}}
* {{Citation | last1=Dyson | first1=Freeman | author1-link=Freeman Dyson | title=Birds and frogs | url=http://www.ams.org/notices/200902/rtx090200212p.pdf | mr=2483565 | year=2009 | journal=[[Notices of the American Mathematical Society]] | volume=56 | issue=2 | pages=212–223 }}
* {{Citation | last1=Edwards | first1=H. M. | authorlink = Harold Edwards (mathematician) | title=Riemann's Zeta Function | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-41740-0 | mr=0466039 | year=1974}}
* {{Citation | last1=Fesenko | first1=Ivan | author1-link=Ivan Fesenko| title=Analysis on arithmetic schemes. II  | year=2010 | journal=Journal of K-theory| volume=5 | pages=437–557}}
* {{Citation | last1=Ford | first1=Kevin | title=Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function | doi=10.1112/S0024611502013655 | mr=1936814 | year=2002 | journal=Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series | volume=85 | issue=3 | pages=565–633}}
* {{citation|author2-link=E. Landau | first=J. |last=Franel|author1-link=Jérôme Franel|first2=E. |last2=Landau|title=Les suites de Farey et le problème des nombres premiers" (Franel, 198–201); "Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel (Landau, 202–206) |journal=Göttinger Nachrichten |pages=198–206|year=1924}}
* {{citation|first=Amit|last= Ghosh|title= On the Riemann zeta function—mean value theorems and the distribution of &#124;S(T)&#124;| journal= J. Number Theory |volume=17 | pages=93–102|year=1983|doi=10.1016/0022-314X(83)90010-0 }}
* {{citation|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeros1e13-1e24.pdf|format=PDF|last=Gourdon|first=Xavier|title=The 10<sup>13</sup> first zeros of the Riemann Zeta function, and zeros computation at very large height|year=2004}}
* {{citation|first=J. P.|last= Gram|authorlink=Jørgen Pedersen Gram|title= Note sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann|journal= Acta Mathematica|volume=27|pages=289–304|year=1903|doi=10.1007/BF02421310}}
* {{citation|first=Jacques|last=Hadamard|authorlink=Jacques Hadamard|title=Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques|journal=Bulletin Société Mathématique de France|volume=14|year=1896|pages=199–220|url=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1896__24__199_1}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{citation|last=Hardy|first=G. H.|authorlink=G. H. Hardy|title=Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann|journal=C. R. Acad. Sci. Paris|volume=158|pages=1012–1014|year=1914|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3111d.image.f1014.langEN|jfm=45.0716.04}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{citation|last=Hardy|first= G. H.|author1-link=G. H. Hardy|last2= Littlewood|first2= J. E.|author2-link=John Edensor Littlewood|title= The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line|journal= Math. Z.|volume= 10|pages= 283–317 |year=1921|doi=10.1007/BF01211614|issue=3–4}}
* {{Citation | last1=Haselgrove | first1=C. B. | title=A disproof of a conjecture of Pólya | mr=0104638 | year=1958 | journal=Mathematika | volume=5 | pages=141–145 | doi=10.1112/S0025579300001480 | issue=2 | issn=0025-5793 | zbl=0085.27102 }} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{Citation | last1=Haselgrove | first1=C. B. |author1-link=C. Brian Haselgrove| last2=Miller | first2=J. C. P. |author2-link=J. C. P. Miller| title=Tables of the Riemann zeta function | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=Royal Society Mathematical Tables, Vol. 6 | mr=0117905 | year=1960|isbn=978-0-521-06152-0}} [http://www.jstor.org/stable/2003098 Review]
* {{Citation | last1=Hutchinson | first1=J. I. |authorlink=John Irwin Hutchinson| title=On the Roots of the Riemann Zeta-Function | jstor=1989163 | year=1925 | journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]] | volume=27 | pages=49–60 | doi=10.2307/1989163 | issue=1}}
* {{Citation | last1=Ingham | first1=A.E. | authorlink=Albert Ingham|title=The Distribution of Prime Numbers | publisher=Cambridge University Press | series = Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics | volume=30 | year=1932}}. Reprinted 1990, ISBN 978-0-521-39789-6, {{MathSciNet|1074573}}
* {{citation
 | last1 = Ireland | first1 = Kenneth
 | last2 = Rosen | first2 = Michael | author2-link = Michael Rosen (mathematician)
 | title = A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition)
  | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
 | location = New York
 | year = 1990
 | isbn = 0-387-97329-X}}
* {{Citation | last1=Ivić | first1=A. | title=The Riemann Zeta Function | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | isbn=978-0-471-80634-9 | mr=0792089 | year=1985}} (Reprinted by Dover 2003)
* {{citation|last=Ivić|first=Aleksandar|chapter=On some reasons for doubting the Riemann hypothesis|isbn=978-0-387-72125-5|pages=131–160|editor1-last= Borwein|title=The Riemann Hypothesis: A Resource for the {{sic|Af|ficionado|hide=y}} and Virtuoso Alike |series=CMS Books in Mathematics|publisher=Springer|place=New York|year=2008
|editor1-first=Peter |editor2-first=Stephen |editor2-last=Choi |editor3-first=Brendan|editor3-last= Rooney |editor4-first= Andrea|editor4-last= Weirathmueller|display-editors=3|arxiv=math.NT/0311162}}
*{{citation| first=A. A.| last=Karatsuba|authorlink=Anatolii Alexeevitch Karatsuba| title=Zeros of the function ζ(s) on short intervals of the critical line| pages=569–584| journal= Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat.| volume=48|issue=3| year=1984a|mr=0747251|language=ru}}
*{{citation| first=A. A.| last=Karatsuba|authorlink=Anatolii Alexeevitch Karatsuba|title= Distribution of zeros of the function ''ζ''(1/2&nbsp;+&nbsp;''it'')| pages=1214–1224 | journal= Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat.| volume=48|issue=6|year=1984b|mr=0772113|language=ru}}
*{{citation| first=A. A.| last=Karatsuba|authorlink=Anatolii Alexeevitch Karatsuba| title= Zeros of the Riemann zeta-function on the critical line| pages=167–178| journal= Trudy Mat. Inst. Steklov.| issue=167| year=1985|mr=0804073|language=ru}}
*{{citation| first=A. A.| last=Karatsuba|authorlink=Anatolii Alexeevitch Karatsuba| title= On the number of zeros of the Riemann zeta-function lying in almost all short intervals of the critical line | pages=372–397| journal= Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat.| volume=56|issue=2| year=1992|language=ru|mr=1180378}}
* {{Citation | last1=Karatsuba | first1=A. A. |author1-link=Anatolii Alexeevitch Karatsuba| last2=Voronin | first2=S. M. | title=The Riemann zeta-function | publisher=Walter de Gruyter & Co. | location=Berlin | series=de Gruyter Expositions in Mathematics | isbn=978-3-11-013170-3 | mr=1183467 | year=1992 | volume=5}}
* {{Citation | last1=Keating | first1=Jonathan P. | last2=Snaith | first2=N. C.|author2-link=Nina Snaith | title=Random matrix theory and ''ζ''(1/2&nbsp;+&nbsp;''it'') | doi=10.1007/s002200000261 | mr=1794265 | year=2000 | journal=Communications in Mathematical Physics | volume=214 | issue=1 | pages=57–89}}
* {{Citation | last1=Knauf | first1=Andreas | title=Number theory, dynamical systems and statistical mechanics | mr=1714352 | year=1999 | journal=Reviews in Mathematical Physics. A Journal for Both Review and Original Research Papers in the Field of Mathematical Physics | volume=11 | issue=8 | pages=1027–1060|doi=10.1142/S0129055X99000325}}
* {{citation|first=Helge|last=von Koch|authorlink=Helge von Koch|doi=10.1007/BF02403071|title=Sur la distribution des nombres premiers|journal=Acta Mathematica|volume=24|year=1901|pages= 159–182}}
* {{Citation | last1=Kurokawa | first1=Nobushige | title=Zeta functions in geometry (Tokyo, 1990) | publisher=Kinokuniya | location=Tokyo | series=Adv. Stud. Pure Math. | mr=1210791 | year=1992 | volume=21 | chapter=Multiple zeta functions: an example | pages=219–226}}
* {{Citation | last1=Lapidus | first1=Michel L. | title=In search of the Riemann zeros | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-4222-5 | mr=2375028 | year=2008}}
* {{eom|id=Z/z099260|first=A. F. |last=Lavrik|title=Zeta-function}}
* {{Citation | last1=Lehmer | first1=D. H. | author1-link=D. H. Lehmer | title=Extended computation of the Riemann zeta-function | mr=0086083 | year=1956 | journal=Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics | volume=3 | pages=102–108 | doi=10.1112/S0025579300001753 | issue=2}}
*{{citation
 | last = Leichtnam | first = Eric | author-link = Eric Leichtnam
 | contribution = An invitation to Deninger's work on arithmetic zeta functions
 | location = Providence, RI
 | mr = 2180209
 | pages = 201–236
 | publisher = Amer. Math. Soc.
 | series = Contemp. Math.
 | title = Geometry, spectral theory, groups, and dynamics
 | volume = 387
 | year = 2005}}.
* {{citation|mr=0564081|last=Levinson|first=N.|authorlink=Norman Levinson|title= More than one-third of the zeros of Riemann's zeta function are on σ = 1/2|journal= Adv. In Math. |volume=13 |year=1974|pages= 383–436
|doi=10.1016/0001-8708(74)90074-7|issue=4}}
* {{citation|last= Littlewood|first=J. E. |authorlink=John Edensor Littlewood|title=The scientist speculates: an anthology of partly baked idea|chapter=The Riemann hypothesis|year=1962|publisher=Basic books|place=New York}}
* {{Citation | last1=van de Lune | first1=J. | last2=te Riele | first2=H. J. J. |author2-link=Herman te Riele | last3=Winter | first3=D. T. | title=On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip. IV | jstor=2008005 | mr=829637 | year=1986 | journal=Mathematics of Computation | volume=46 | issue=174 | pages=667–681 | doi=10.2307/2008005}}
* {{Citation | last1=Massias | first1=J.-P. | last2=Nicolas | first2=Jean-Louis | last3=Robin | first3=G. | title=Évaluation asymptotique de l'ordre maximum d'un élément du groupe symétrique | url=http://matwbn.icm.edu.pl/tresc.php?wyd=6&tom=50&jez= | mr=960551 | year=1988 | journal=Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny. Acta Arithmetica | volume=50 | issue=3 | pages=221–242 }}
* {{Citation | last1=Montgomery | first1=Hugh L. |authorlink=Hugh Montgomery (mathematician)| title=Analytic number theory |series=Proc. Sympos. Pure Math.|volume= XXIV | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I. | mr=0337821 | year=1973 | chapter=The pair correlation of zeros of the zeta function | pages=181–193}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{Citation | last1=Montgomery | first1=Hugh L. |authorlink=Hugh Montgomery (mathematician)| editor1-last=Erdős | editor1-first=Paul |editor1-link=Paul Erdős |title=Studies in pure mathematics. To the memory of Paul Turán | publisher=Birkhäuser | location=Basel, Boston, Berlin | isbn=978-3-7643-1288-6 | mr=820245 | year=1983 | chapter=Zeros of approximations to the zeta function | pages=497–506}}
* {{citation | last = Nicely | first = Thomas R. | doi = 10.1090/S0025-5718-99-01065-0 | mr = 1627813 | issue = 227 | journal = Mathematics of Computation | pages = 1311–1315 | title = New maximal prime gaps and first occurrences | url = http://www.trnicely.net/gaps/gaps.html | volume = 68 | year = 1999 | access-date = 2013-12-23 | archive-date = 2014-12-30 | archive-url = https://web.archive.org/web/20141230023254/http://www.trnicely.net/gaps/gaps.html }}.
* {{Citation | last1=Nyman | first1=Bertil | title=On the One-Dimensional Translation Group and Semi-Group in Certain Function Spaces | publisher=University of Uppsala | location=University of Uppsala | series=PhD Thesis | mr=0036444 | year=1950}}
* {{Citation | last1=Odlyzko | first1=A. M. | author1-link=Andrew Odlyzko | last2=te Riele | first2=H. J. J. | author2-link=Herman te Riele | title=Disproof of the Mertens conjecture | url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262633 | mr=783538 | year=1985 | journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] | volume=357 | pages=138–160 | doi=10.1515/crll.1985.357.138 | access-date=2013-12-23 | archive-date=2012-07-11 | archive-url=https://archive.today/20120711011237/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262633 }}
* {{Citation | last1=Odlyzko | first1=A. M. |authorlink=Andrew Odlyzko| title=On the distribution of spacings between zeros of the zeta function | jstor=2007890 | mr=866115 | year=1987 | journal=Mathematics of Computation | volume=48 | issue=177 | pages=273–308 | doi=10.2307/2007890}}
* {{Citation | last1=Odlyzko | first1=A. M. | authorlink=Andrew Odlyzko | title=Bounds for discriminants and related estimates for class numbers, regulators and zeros of zeta functions: a survey of recent results | url=http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1990__2_1_119_0 | mr=1061762 | year=1990 | journal=Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux | series=Série 2 | volume=2 | issue=1 | pages=119–141 }}
* {{citation|first=A. M.|last=Odlyzko|authorlink=Andrew Odlyzko|title=The 10<sup>20</sup>-th zero of the Riemann zeta function and 175 million of its neighbors|year=1992|url=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/unpublished/zeta.10to20.1992.pdf}} This unpublished book describes the implementation of the algorithm and discusses the results in detail.
* {{citation|first=A. M.|last=Odlyzko|authorlink=Andrew Odlyzko|title=The 10<sup>21</sup>st zero of the Riemann zeta function|year=1998|url=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/unpublished/zeta.10to21.pdf}}
* {{citation|first=Ken |last=Ono |authorlink=Ken Ono |first2=K. |last2=Soundararajan |authorlink2=Kannan Soundararajan |year=1997 |title=Ramanujan's ternary quadratic form |journal=Inventiones Mathematicae |volume=130 |issue=3 |pages=415–454 |doi=10.1007/s002220050191 }}
* {{Citation | last1=Patterson | first1=S. J. | title=An introduction to the theory of the Riemann zeta-function | publisher=Cambridge University Press | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | isbn=978-0-521-33535-5 | mr=933558 | year=1988 | volume=14}}
* {{citation
 | last1 = Ribenboim | first1 = Paulo | authorlink = Paulo Ribenboim
 | title = The New Book of Prime Number Records
  | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
 | location = New York
 | year = 1996
 | isbn = 0-387-94457-5}}
* {{citation|first=Bernhard|last=Riemann|authorlink=Bernhard Riemann|url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/|title={{sic|hide=y|Ueber}} die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen {{sic|hide=y|Grösse}}|year=1859|journal=Monatsberichte der Berliner Akademie}}. In ''Gesammelte Werke'', Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953). [http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/1859_manuscript/ Original manuscript] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130523061451/http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/1859_manuscript/ |date=2013-05-23 }} (with English translation). Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}} and {{harv|Edwards|1874}}
* {{Citation | author1-link=Hans Riesel | last1=Riesel | first1=Hans | last2=Göhl | first2=Gunnar | title=Some calculations related to Riemann's prime number formula | doi=10.2307/2004630 | mr=0277489 | year=1970 | journal=Mathematics of Computation | volume=24 | pages=969–983 | jstor=2004630 | issue=112}}
* {{citation|first=M.|last=Riesz|authorlink=Marcel Riesz|title=Sur l'hypothèse de Riemann|journal=Acta Mathematica|volume=40|year=1916|pages=185–190|doi=10.1007/BF02418544}}
* {{Citation | last1=Robin | first1=G. | title=Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann | mr=774171 | year=1984 | journal=[[Journal de Mathématiques Pures et Appliquées]]|series= Neuvième Série | volume=63 | issue=2 | pages=187–213}}
* {{Citation | last1=Rockmore | first1=Dan | title=Stalking the Riemann hypothesis | publisher=Pantheon Books | isbn=978-0-375-42136-5 | mr=2269393 | year=2005}}
* {{Citation | last1=Rosser | first1=J. Barkley |author1-link=J. Barkley Rosser| last2=Yohe | first2=J. M. | last3=Schoenfeld | first3=Lowell |author3-link=Lowell Schoenfeld| title=Information Processing 68 (Proc. IFIP Congress, Edinburgh, 1968), Vol. 1: Mathematics, Software | publisher=North-Holland | location=Amsterdam | mr=0258245 | year=1969 | chapter=Rigorous computation and the zeros of the Riemann zeta-function. (With discussion) | pages=70–76}}
* {{citation
 | last1 = Rudin | first1 = Walter | authorlink = Walter Rudin
 | title = Functional Analysis, 1st edition (January 1973)
  | publisher = [[McGraw-Hill]]
 | location = New York
 | year = 1973
 | isbn = 0-070-54225-2}}
* {{Citation | last1=Sabbagh | first1=Karl | author1-link=Karl Sabbagh |title=The Riemann hypothesis | publisher=Farrar, Straus and Giroux, New York | isbn=978-0-374-25007-2 | mr=1979664 | year=2003}}
* {{Citation | last1=Salem | first1=Raphaël |authorlink=Raphaël Salem| title=Sur une proposition équivalente à l'hypothèse de Riemann | mr=0053148 | year=1953 | journal=[[Les Comptes rendus de l'Académie des sciences]] | volume=236 | pages=1127–1128}}
* {{citation |url=http://www.claymath.org/sites/default/files/sarnak_rh_0.pdf |format=PDF |first=Peter |last=Sarnak |authorlink=Peter Sarnak |chapter=Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis |pages=107–115 |isbn=978-0-387-72125-5 |editor1-last=Borwein |title=The Riemann Hypothesis: A Resource for the {{sic|Af|ficionado|hide=y}} and Virtuoso Alike |series=CMS Books in Mathematics |publisher=Springer |place=New York |year=2008 |editor1-first=Peter |editor2-first=Stephen |editor2-last=Choi |editor3-first=Brendan |editor3-last=Rooney |editor4-first=Andrea |editor4-last=Weirathmueller |display-editors=3 |access-date=2013-12-23 |archive-date=2016-04-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160413060551/http://www.claymath.org/sites/default/files/sarnak_rh_0.pdf }}
* {{Citation | last1=du Sautoy | first1=Marcus |authorlink=Marcus du Sautoy| title=The music of the primes | publisher=HarperCollins Publishers | isbn=978-0-06-621070-4 | mr=2060134 | year=2003}}
* {{Citation | last1=Schoenfeld | first1=Lowell |authorlink=Lowell Schoenfeld| title=Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II | doi=10.2307/2005976 | mr=0457374 | year=1976 | journal=Mathematics of Computation | volume=30 | issue=134 | pages=337–360 | jstor=2005976}}
*{{citation|title=Physics of the Riemann Hypothesis|first=Daniel|last= Schumayer|first2= David A. W. |last2=Hutchinson|year=2011|arxiv=1101.3116}}
* {{citation|mr=0010712
|last=Selberg|first= Atle|authorlink=Atle Selberg
|title=On the zeros of Riemann's zeta-function
|journal=Skr. Norske Vid. Akad. Oslo I. |year=1942|volume= 10|pages= 59 pp}}
* {{Citation | last1=Selberg | first1=Atle|authorlink=Atle Selberg | title=Contributions to the theory of the Riemann zeta-function | mr=0020594 | year=1946 | journal=Arch. Math. Naturvid. | volume=48 | issue=5 | pages=89–155}}
* {{Citation | last1=Selberg | first1=Atle |authorlink=Atle Selberg| title=Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series | mr=0088511 | year=1956 | journal=J. Indian Math. Soc. (N.S.) | volume=20 | pages=47–87}}
* {{Citation | last1=Serre | first1=Jean-Pierre |authorlink=Peter Sarnak| title=Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (définitions et conjectures) | year=1970 | journal=Séminaire Delange-Pisot-Poitou|year= 1969/70 | volume=19 }}
* {{Citation | last1=Sheats | first1=Jeffrey T. | title=The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for '''F'''<sub>q</sub>[T] | doi=10.1006/jnth.1998.2232 | mr=1630979 | year=1998 | journal=[[Journal of Number Theory]] | volume=71 | issue=1 | pages=121–157}}
* {{citation|last=Siegel|first= C. L.|authorlink=Carl Ludwig Siegel |title=Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie|journal= Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2|pages= 45–80|year= 1932}} Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
* {{Citation|last=Speiser|first=Andreas|author-link=Andreas Speiser|title=Geometrisches zur Riemannschen Zetafunktion|year=1934|journal=[[Mathematische Annalen]]|volume=110|pages=514–521|doi=10.1007/BF01448042|jfm=60.0272.04|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0110&DMDID=DMDLOG_0032&L=1|access-date=2013-12-23|archive-date=2015-06-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20150627115412/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0110&DMDID=DMDLOG_0032&L=1}}
* {{citation|last=Stein|first=William|author1-link=William A. Stein|last2=Mazur|first2=Barry|author2-link=Barry Mazur|year=2007|url=http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/notes/rh.pdf|format=PDF|title=What is Riemann’s Hypothesis?|access-date=2013-12-23|archive-date=2009-03-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20090327181331/http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/notes/rh.pdf}}
* {{Citation | last1=Suzuki | first1=Masatoshi | title=Positivity of certain functions associated with analysis on elliptic surfaces | year=2011 | journal=Journal of Number Theory | volume=131 | pages=1770–1796}}
* {{Citation | last1=Titchmarsh | first1=Edward Charles | author1-link=Edward Charles Titchmarsh | title=The Zeros of the Riemann Zeta-Function | jstor=96545 | publisher=The Royal Society | year=1935 | journal=Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences | volume=151 | issue=873 | pages=234–255 | doi=10.1098/rspa.1935.0146}}
* {{Citation | last1=Titchmarsh | first1=Edward Charles | author1-link=Edward Charles Titchmarsh | title=The Zeros of the Riemann Zeta-Function | jstor=96692 | publisher=The Royal Society | year=1936 | journal=Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences | volume=157 | issue=891 | pages=261–263 | doi=10.1098/rspa.1936.0192}}
* {{Citation | last1=Titchmarsh | first1=Edward Charles | author1-link=Edward Charles Titchmarsh | title=The theory of the Riemann zeta-function | publisher=The Clarendon Press Oxford University Press | edition=2nd | isbn=978-0-19-853369-6 | mr=882550 | year=1986}}
* {{Citation | last1=Trudgian | first1=Timothy | title=On the success and failure of Gram's Law and the Rosser Rule | year = 2011 | journal = Acta Arithmetica | volume =125 | pages = 225–256 }}
* {{Citation | last1=Turán | first1=Paul | authorlink=Pál Turán|title=On some approximative Dirichlet-polynomials in the theory of the zeta-function of Riemann | mr=0027305 | year=1948 | journal=Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd. | volume=24 | issue=17 | pages=36}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{Citation | last1=Turing | first1=Alan M. | author1-link=A. M. Turing | title=Some calculations of the Riemann zeta-function | doi=10.1112/plms/s3-3.1.99 | mr=0055785 | year=1953 | journal=Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series | volume=3 | pages=99–117}}
* {{citation|first=Ch.J.|last=de la Vallée-Poussin|authorlink=Charles Jean de la Vallée-Poussin|title=Recherches analytiques sur la théorie des nombers premiers|journal= Ann. Soc. Sci. Bruxelles |volume= 20 |year=1896 |pages= 183–256}}
* {{citation|first=Ch.J.|last=de la Vallée-Poussin|authorlink=Charles Jean de la Vallée-Poussin|title=Sur la fonction ζ(s) de Riemann et la nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée|journal=Mem. Couronnes Acad. Sci. Belg. |volume= 59 |issue= 1 |year=1899–1900}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{Citation | last1=Weil | first1=André | author1-link=André Weil | title=Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduisent | publisher=Hermann et Cie., Paris | series=Actualités Sci. Ind., no. 1041 = Publ. Inst. Math. Univ. Strasbourg 7 (1945) | mr=0027151 | year=1948}}
* {{Citation | last1=Weil | first1=André | author1-link=André Weil | title=Numbers of solutions of equations in finite fields | doi=10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 | mr=0029393 | year=1949 | journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] | volume=55 | pages=497–508 | issue=5}} Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by Andre Weil ISBN 0-387-90330-5
* {{Citation | last1=Weinberger | first1=Peter J. | title=Analytic number theory (St. Louis Univ., 1972) | publisher=Amer. Math. Soc. | location=Providence, R.I. | series=Proc. Sympos. Pure Math. | mr=0337902 | year=1973 | volume=24 | chapter=On Euclidean rings of algebraic integers | pages=321–332}}
* {{Citation | last1=Wiles | first1=Andrew | author1-link=Andrew Wiles | title=Mathematics: frontiers and perspectives | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-2697-3 | mr=1754786 | year=2000 | chapter=Twenty years of number theory | pages=329–342}}
* {{Citation | last1=Zagier | first1=Don | authorlink=Don Zagier | url=http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/misc/zagier-the_first_50_million_prime_numbers.pdf | format=PDF | publisher=Springer | location= | mr=643810 | year=1977 | volume=0 | title=The first 50 million prime numbers | pages=7–19 | journal=Math. Intelligencer | doi=10.1007/BF03039306 | access-date=2013-12-23 | archive-date=2009-03-27 | archive-url=https://web.archive.org/web/20090327181245/http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/misc/zagier-the_first_50_million_prime_numbers.pdf }}
* {{Citation | last1=Zagier | first1=Don | authorlink = Don Zagier | title=Automorphic forms, representation theory and arithmetic (Bombay, 1979) | publisher=Tata Inst. Fundamental Res., Bombay | series=Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math. | mr=633666 | year=1981 | volume=10 | chapter=Eisenstein series and the Riemann zeta function | pages=275–301}}
{{refend}}

==Tham khảo==
{{tham khảo}}
==Liên kết ngoài==
* [[American institute of mathematics]], [http://www.aimath.org/WWN/rh/ Riemann hypothesis]
* {{citation|first=Tom|last=Apostol|authorlink=Tom M. Apostol|url=http://www.math.wisc.edu/~robbin/funnysongs.html#Zeta|title=Where are the zeros of zeta of s?}} Poem about the Riemann hypothesis, [http://www.olimu.com/RIEMANN/Song.htm sung] by [[John Derbyshire]].
* {{citation|title=The Riemann Hypothesis|first=Peter|last=Borwein|authorlink=Peter Borwein|url=http://oldweb.cecm.sfu.ca/~pborwein/COURSE/MATH08/LECTURE.pdf|format=PDF|access-date=2013-12-23|archive-date=2009-03-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20090327181245/http://oldweb.cecm.sfu.ca/~pborwein/COURSE/MATH08/LECTURE.pdf}} (Slides for a lecture)
* {{Citation | last1=Conrad | first1=K. | title=Consequences of the Riemann hypothesis | url=http://mathoverflow.net/questions/17232 | year=2010}}
* {{citation|url=http://aimath.org/pl/rhequivalences|first=J. Brian|last=Conrey|first2=David W|last2=Farmer|title=Equivalences to the Riemann hypothesis|access-date=2013-12-23|archive-date=2010-03-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20100316235054/http://aimath.org/pl/rhequivalences}}
* {{citation|first= Xavier|last= Gourdon |first2= Pascal |last2=Sebah |url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeroscompute.html |title=Computation of zeros of the Zeta function|year=2004}} (Reviews the GUE hypothesis, provides an extensive bibliography as well).
* {{citation|last=Odlyzko|first=Andrew|authorlink=Andrew Odlyzko|url=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/|title=Home page}} including [http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/zeta.html papers on the zeros of the zeta function] and [http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/index.html tables of the zeros of the zeta function]
* {{citation|last=Odlyzko|first=Andrew|authorlink=Andrew Odlyzko|title=Zeros of the Riemann zeta function: Conjectures and computations|year=2002|url=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/talks/riemann-conjectures.pdf|format=PDF}} Slides of a talk
* {{citation|authorlink=Ed Pegg, Jr.|first=Ed|last=Pegg|url=http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_10_18_04.html|title=Ten Trillion Zeta Zeros|year=2004|publisher=Math Games website|archiveurl=http://web.archive.org/web/20041102173644/http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_10_18_04.html|archive-date=ngày 2 tháng 11 năm 2004|access-date=2013-12-23|archive-date=2004-11-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20041102173644/http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_10_18_04.html}}. A discussion of Xavier Gourdon's calculation of the first ten trillion non-trivial zeros
* {{citation|first=Glen|last=Pugh|url=http://web.viu.ca/pughg/RiemannZeta/RiemannZetaLong.html|title=Java applet for plotting Z(t)|access-date=2013-12-23|archive-date=2015-06-30|archive-url=https://web.archive.org/web/20150630024946/https://web.viu.ca/pughg/RiemannZeta/RiemannZetaLong.html}}
* {{citation |first=Michael |last=Rubinstein |url=http://pmmac03.math.uwaterloo.ca/~mrubinst/l_function_public/L.html |title=algorithm for generating the zeros |access-date=2013-12-23 |archive-date=2007-04-27 |archive-url=https://web.archive.org/web/20070427221654/http://pmmac03.math.uwaterloo.ca/~mrubinst/l_function_public/L.html }}.
* {{citation|first=Marcus|last=du Sautoy|authorlink=Marcus du Sautoy|url=http://www.seedmagazine.com/news/2006/03/prime_numbers_get_hitched.php|title=Prime Numbers Get Hitched|publisher=[http://www.seedmagazine.com Seed Magazine]|year=2006|access-date=2013-12-23|archive-date=2017-09-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20170922145127/http://seedmagazine.com/content/article/prime_numbers_get_hitched/}}
* {{citation|last=Stein|first=William A.|authorlink=William A. Stein|url=http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/index.html|title=What is Riemann's hypothesis|access-date=2013-12-23|archive-date=2009-01-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20090104104251/http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/index.html}}
* {{citation|last=de Vries|first=Andreas|url=http://math-it.org/Mathematik/Riemann/RiemannApplet.html|title=The Graph of the Riemann Zeta function ζ(s)|year=2004}}, a simple animated Java applet.
* {{citation | first=Matthew R. | last=Watkins | url=http://secamlocal.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/RHproofs.htm | title=Proposed proofs of the Riemann Hypothesis | date=ngày 18 tháng 7 năm 2007 }}{{Liên kết hỏng|date=2022-08-11 |bot=InternetArchiveBot }}
* ''[http://www.zetagrid.net/ Zetagrid]'' (2002) A distributed computing project that attempted to disprove Riemann's hypothesis; closed in November 2005
{{Bài toán Thiên niên kỳ}}
{{L-functions-footer}}
{{sơ khai toán học}}

[[Thể loại:Hàm Zeta và L-hàm]]
[[Thể loại:Phỏng đoán]]
[[Thể loại:Bài toán Hilbert]]
[[Thể loại:Các bài toán chưa giải được trong toán học]]
[[Thể loại:Các bài toán trong Giải thưởng thiên niên kỷ]]
[[Thể loại:Giả thuyết]]
[[Thể loại:Lý thuyết số giải tích]]
[[Thể loại:Giới thiệu vào năm 1859]]
[[Thể loại:Vấn đề chưa được giải quyết trong toán học]]