Xem mã nguồn của Hàm đặc trưng (lý thuyết xác suất)

{{Short description|Fourier transform of the probability density function}}
[[Tập_tin:Sinc_simple.svg|phải|nhỏ|280x280px|Hàm đặc trưng của một biến ngẫu nhiên với phân phối đều ''U''(–1,1). Hàm này là giá trị thực bởi vì nó tương ứng với một biến ngẫu nhiên đối xứng qua gốc; tuy nhiên hàm đặc trưng thường có thể có giá trị phức.]]
Trong [[lý thuyết xác suất]] và [[thống kê]], '''hàm đặc trưng''' (CF) của một [[biến ngẫu nhiên]] [[Giá trị (toán học)|giá trị thực]] là một mô tả tổng thể [[phân phối xác suất]] của nó. Nếu một biến ngẫu nhiên tồn tại [[hàm mật độ xác suất]], thì hàm đặc trưng là [[biến đổi Fourier]] của hàm mật độ xác suất. Do đó cung cấp một cách tiếp cận khác tới kết quả phân tích dữ liệu so với làm việc trực tiếp với [[hàm mật độ xác suất]] hay [[hàm phân phối tích lũy]]. Một số kết quả đơn giản đặc biệt tồn tại cho các hàm đặc trưng của các phân phối được định nghĩa bởi tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên.

Ngoài các [[phân phối một biến]], hàm đặc trưng cũng có thể được định nghĩa cho các biến ngẫu nhiên giá trị vectơ hoặc ma trận, và còn có thể được mở rộng với các trường hợp tổng quát hơn.

Hàm đặc trưng luôn tồn tại khi áp dụng với một hàm số với đối số thực, không giống như [[hàm sinh mô men]]. Có một số quan hệ giữa hành vi của hàm đặc trưng của một phân phối và các tính chất của phân phối, chẳng hạn sự tồn tại của các mô men và sự tồn tại của một hàm mật độ.

== Mở đầu ==
Hàm đặc trưng cung cấp một tiếp cận khác để mô tả một [[biến ngẫu nhiên]]. Tương tự [[hàm phân phối tích lũy]]:

: <math>F_X(x) = \operatorname{E} \left [\mathbf{1}_{\{X\leq x\}} \right]</math>

(trong đó '''1'''<sub>{''X ≤ x''}</sub> là [[hàm chỉ thị]] — nó bằng 1 khi {{nowrap|''X ≤ x''}}, và bằng 0 nếu trái lại), '''hàm''' '''đặc trưng''',

: <math>    \varphi_X(t) = \operatorname{E} \left [ e^{itX} \right ],</math><!-- What is t ? not defined -->

cũng xác định hoàn toàn hành vi và tính chất của phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên ''X''. Hai cách tiếp cận này là tương đưong theo cách hiểu là nếu biết một trong hai hàm thì luôn có thể tìm được hàm còn lại, nhưng chúng đưa ra những góc nhìn khác nhau để hiểu các đặc tính của biến ngẫu nhiên. Hơn nữa, trong một số trường hợp nhất định, có thể có sự khác biệt về việc liệu mỗi hàm này có thể được biểu diễn dưới dạng biểu thức với những hàm tiêu chuẩn đơn giản hay không.

Nếu [[Hàm mật độ xác suất|hàm mật độ]] của một biến ngẫu nhiên được cung cấp, thì hàm đặc trưng chính là [[Tính đối ngẫu|đối ngẫu]] Fourier của nó, nghĩa là mỗi hàm này là một [[biến đổi Fourier]] của hàm kia. Nếu một biến ngẫu nhiên có [[hàm sinh mô men]] <math>M_X(t)</math>, thì miền xác định của hàm đặc trưng có thể được mở rộng ra mặt phẳng phức, và ta có

: <math>    \varphi_X(-it) = M_X(t). </math>{{sfnp|Lukacs|1970|p=196}}

Chú ý rằng hàm đặc trưng của một phân phối xác suất luôn tồn tại, ngay cả khi [[hàm mật độ xác suất]] và [[hàm sinh mô men]] không tồn tại.

Cách tiếp cận với hàm đặc trưng đặc biệt hữu ích trong phân tích các tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên độc lập: một chứng minh cổ điển của [[Định lý giới hạn trung tâm]] (CLT) sử dụng hàm đặc trưng và [[định lý liên tục Lévy]]. Một ứng dụng quan trong khác là trong lý thuyết về tính khai triển được của các biến ngẫu nhiên.

== Định nghĩa ==
Đối với một biến ngẫu nhiên [[Scalar (toán học)|vô hướng]] ''X'' '''hàm đặc trưng''' được định nghĩa là [[giá trị kỳ vọng]] của ''e<sup>itX</sup>'', trong đó ''i'' là [[đơn vị ảo]], và {{nowrap|''t'' ∈ '''R'''}} là đối số của hàm đặc trưng:

: <math>\begin{cases} \displaystyle \varphi_X\!:\mathbb{R}\to\mathbb{C} \\ \displaystyle \varphi_X(t) = \operatorname{E}\left[e^{itX}\right] = \int_{\mathbb{R}} e^{itx}\,dF_X(x) = \int_{\mathbb{R}} e^{itx} f_X(x)\,dx = \int_0^1 e^{it Q_X(p)}\,dp \end{cases}</math>

Ở đây ''F<sub>X</sub>'' là [[hàm phân phối tích lũy]] của ''X'', và tích phân là loại [[Tích phân Riemann–Stieltjes|Riemann–Stieltjes]]. Nếu biến ngẫu nhiên ''X'' có [[hàm mật độ xác suất]] ''f<sub>X</sub>'', thì hàm đặc trưng là [[biến đổi Fourier]] của nó với đổi dấu ở số mũ phức,<ref>{{harvp|Statistical and Adaptive Signal Processing|2005}}</ref>{{sfnp|Billingsley|1995}}. ''Q<sub>X</sub>''(''p'') là hàm ngược của [[hàm phân phối tích lũy]] của ''X'' hay được gọi là hàm phân vị (quantile function) của ''X''.<ref>{{Cite arXiv|arxiv=0903.1592|class=q-fin.CP|first=W. T.|last=Shaw|first2=J.|last2=McCabe|title=Monte Carlo sampling given a Characteristic Function: Quantile Mechanics in Momentum Space|year=2009}}</ref> Quy ước cho các hằng số xuất hiện trong định nghĩa này của hàm đặc trưng khác với quy ước thông thường cho biến đổi Fourier.{{sfnp|Pinsky|2002}} Ví dụ, một số tác giả{{sfnp|Bochner|1955}} định nghĩa {{nowrap|''φ<sub>X</sub>''(''t'') {{=}} E[''e''<sup>−2''πitX''</sup>]}}, về bản chất tức là đổi tham số. Một ký hiệu khác có thể gặp trong các tài liệu: <math style="vertical-align:-.3em">\scriptstyle\hat p</math> là hàm đặc trưng đối với một độ đo xác suất ''p'', hay <math style="vertical-align:-.3em">\scriptstyle\hat f</math> là hàm đặc trưng đối với một mật độ ''f''.

=== Trường hợp tổng quát ===
* Nếu ''X'' là một [[vectơ ngẫu nhiên]] ''k''-chiều, thì đối với {{math|''t'' ∈ '''R'''<sup>''k''</sup>}}
:<math> \varphi_X(t) = \operatorname{E}\left[\exp(i t^T\!X)\right], </math><br/>trong đó <math display="inline"> t^T</math> là [[Ma trận chuyển vị|chuyển vị]] của vectơ &nbsp;<math display="inline"> t </math>,
* Nếu ''X'' là một [[ma trận ngẫu nhiên]] ''k''&nbsp;×&nbsp;''p'', thì đối với {{math|''t'' ∈ '''R'''<sup>''k''×''p''</sup>}}
:<math> \varphi_X(t) = \operatorname{E}\left[\exp \left(i \operatorname{tr}(t^T\!X) \right)\right], </math><br/>trong đó <math display="inline"> \operatorname{tr}(\cdot) </math> là toán tử [[Vết (đại số tuyến tính)|vết]],
* Nếu ''X'' là một [[biến ngẫu nhiên phức]], thì đối với {{math|''t'' ∈ '''C'''}} {{sfnp|Andersen|Højbjerre|Sørensen|Eriksen|1995|loc=Definition 1.10}} 
:<math>\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left[\exp\left(i \operatorname{Re}\left(\overline{t}X\right) \right)\right], </math><br/>trong đó <math display="inline">\overline t</math> là [[liên hợp phức]] của&nbsp;<math display="inline">t</math> và <math display="inline"> \operatorname{Re}(z)</math> là [[Số phức|phần thực]] của số phức <math display="inline"> z </math>.

== Ví dụ ==
{| class="wikitable"
!Phân phối
!Hàm đặc trưng ''φ''(''t'')
|-
|[[Phân phối suy biến|suy biến]] ''δ<sub>a</sub>''
|<math>e^{ita}</math>
|-
|[[Phân phối Bernoulli|Bernoulli]] Bern(''p'')
|<math>1-p+pe^{it}</math>
|-
|[[Phân phối nhị thức|nhị thức]] B(''n, p'')
|<math>(1-p+pe^{it})^n</math>
|-
|[[Phân phối nhị thức âm|nhị thức âm]] NB(''r, p'')
|<math>\left(\frac{p}{1 - e^{it} + pe^{it}}\right)^r</math>
|-
|[[Phân phối Poisson|Poisson]] Pois(λ)
|<math>e^{\lambda(e^{it}-1)}</math>
|-
|[[Phân phối đều liên tục|đều liên tục]] U(''a, b'')
|<math>\frac{e^{itb} - e^{ita}}{it(b-a)}</math>
|-
|[[Phân bố đều (toán học)|đều rời rạc]] DU(''a, b'')
|<math>\frac{e^{ita} - e^{it(b + 1)}}{(1 - e^{it})(b - a + 1)}</math>
|-
|[[Phân phối Laplace|Laplace]] L(''μ, b'')
|<math>\frac{e^{it\mu}}{1 + b^2t^2}</math>
|-
|[[Phân phối Logistic|Logistic]] Logistic(''&#x3BC;'',''s'')
|<math>e^{i\mu t}\frac{\pi s t}{\sinh(\pi s t)}</math>
|-
|[[Phân phối chuẩn|chuẩn]] ''N''(''μ, σ<sup>2</sup>'')
|<math>e^{it\mu - \frac{1}{2}\sigma^2t^2}</math>
|-
|[[Phân phối chi-bình phương|chi-bình phương]] χ<sup>2</sup><sub style="position:relative;left:-5pt;top:2pt">k</sub>
|<math>(1 - 2it)^{-k/2}</math>
|-
|[[Phân phối chi-bình phương phi trung tâm|chi-bình phương phi trung tâm]] χ<sup>'2</sup><sub style="position:relative;left:-5pt;top:2pt">k</sub>
|<math>e^{\frac{i\lambda t}{1-2it}}(1 - 2it)^{-k/2}</math>
|-
|[[Phân phối Cauchy|Cauchy]] C(''μ, θ'')
|<math>e^{it\mu -\theta|t|}</math>
|-
|[[Phân phối Gamma|Gamma]] Γ(''k, θ'')
|<math>(1 - it\theta)^{-k}</math>
|-
|[[Phân phối mũ|mũ]] Exp(''λ'')
|<math>(1 - it\lambda^{-1})^{-1}</math>
|-
|[[Phân phối hình học|hình học]] Gf(''p'')
(số phép thử thành công)
|<math>\frac{p}{1-e^{it}(1-p)}</math>
|-
|[[Phân phối hình học|hình học]] Gt(''p'')
(số phép thử)
|<math>\frac{p}{e^{-it}-(1-p)}</math>
|-
|[[Phân phối chuẩn nhiều chiều|chuẩn nhiều chiều]] ''N''('''''μ''''', '''''Σ''''')
|<math>e^{i{ \mathbf{t}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mu}}-\frac {1}{2} \mathbf{t}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\Sigma} \mathbf{t}} </math>
|-
|[[Phân phối Cauchy nhiều chiều|Cauchy nhiều chiều]] ''MultiCauchy''('''''μ''''', '''''Σ''''')<ref>{{harvp|Kotz|Nadarajah|2004|p=37}} using 1 as the number of degree of freedom to recover the Cauchy distribution</ref>
|<math>e^{i\mathbf{t}^{\mathrm{T}}\boldsymbol\mu - \sqrt{\mathbf{t}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\Sigma} \mathbf{t}}}</math>
|-
|}

== Tham khảo ==

=== Trích dẫn ===
{{tham khảo|25em}}

=== Nguồn ===
{{refbegin}}
* {{chú thích sách|title=Linear and graphical models for the multivariate complex normal distribution|url=https://archive.org/details/lineargraphicalm0101unse|last1=Andersen|first1=H.H.|last2=Højbjerre|first2=M.|last3=Sørensen|first3=D.|last4=Eriksen|first4=P.S.|publisher=Springer-Verlag|year=1995|isbn=978-0-387-94521-7|series=Lecture Notes in Statistics 101|location=New York}}
* {{chú thích sách|title=Probability and measure|url=https://archive.org/details/probabilitymeasu0000bill|last=Billingsley|first=Patrick|publisher=John Wiley & Sons|year=1995|isbn=978-0-471-00710-4|edition=3rd}}
* {{chú thích sách|title=Characteristic functions and moment sequences|last=Bisgaard|first=T. M.|last2=Sasvári|first2=Z.|publisher=Nova Science|year=2000}}
* {{chú thích sách|title=Harmonic analysis and the theory of probability|last=Bochner|first=Salomon|publisher=University of California Press|year=1955}}
* {{chú thích sách|url=https://archive.org/details/decompositionofm00cupp|title=Decomposition of multivariate probabilities|last=Cuppens|first=R.|publisher=Academic Press|year=1975|isbn=9780121994501|url-access=registration}}
* {{chú thích tạp chí|last=Heathcote|first=C.R.|year=1977|title=The integrated squared error estimation of parameters|url=https://archive.org/details/sim_biometrika_1977-08_64_2/page/255|journal=[[Biometrika]]|volume=64|issue=2|pages=255–264|doi=10.1093/biomet/64.2.255}}
* {{chú thích sách|title=Characteristic functions|url=https://archive.org/details/characteristicfu0000luka|last=Lukacs|first=E.|publisher=Griffin|year=1970|location=London}}
* {{chú thích sách|title=Multivariate T Distributions and Their Applications|last=Kotz|first=Samuel|last2=Nadarajah|first2=Saralees|publisher=Cambridge University Press|year=2004}}
* {{chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=3RQfAQAAIAAJ|title=Statistical and Adaptive Signal Processing: Spectral Estimation, Signal Modeling, Adaptive Filtering, and Array Processing|last1=Manolakis|first1=Dimitris G.|last2=Ingle|first2=Vinay K.|last3=Kogon|first3=Stephen M.|date=2005|publisher=Artech House|isbn=978-1-58053-610-3|language=en|ref={{sfnref|Statistical and Adaptive Signal Processing|2005}}}}
* {{chú thích sách|title=Fourier transforms of distributions and their inverses; a collection of tables.|url=https://archive.org/details/fouriertransform0000ober|last1=Oberhettinger|first1=Fritz|date=1973|publisher=Academic Press|isbn=9780125236508|location=New York}}
* {{chú thích tạp chí|last=Paulson|first=A.S.|last2=Holcomb|first2=E.W.|last3=Leitch|first3=R.A.|year=1975|title=The estimation of the parameters of the stable laws|url=https://archive.org/details/sim_biometrika_1975-04_62_1/page/163|journal=[[Biometrika]]|volume=62|issue=1|pages=163–170|doi=10.1093/biomet/62.1.163}}
* {{chú thích sách|title=Introduction to Fourier analysis and wavelets|url=https://archive.org/details/introductiontofo0000pins|last=Pinsky|first=Mark|publisher=Brooks/Cole|year=2002|isbn=978-0-534-37660-4}}
* {{chú thích sách|title=Stochastic differential equations|last=Sobczyk|first=Kazimierz|publisher=[[Kluwer Academic Publishers]]|year=2001|isbn=978-1-4020-0345-5}}
* {{chú thích tạp chí|last=Wendel|first=J.G.|year=1961|title=The non-absolute convergence of Gil-Pelaez' inversion integral|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematical-statistics_1961-03_32_1/page/338|journal=The Annals of Mathematical Statistics|volume=32|issue=1|pages=338–339|doi=10.1214/aoms/1177705164|doi-access=free}}
* {{chú thích tạp chí|last=Yu|first=J.|year=2004|title=Empirical characteristic function estimation and its applications|journal=Econometrics Reviews|volume=23|issue=2|pages=93–1223|doi=10.1081/ETC-120039605|s2cid=9076760}}
* {{chú thích tạp chí|last=Shephard|first=N. G.|year=1991a|title=From characteristic function to distribution function: A simple framework for the theory|url=https://ora.ox.ac.uk/objects/uuid:a4c3ad11-74fe-458c-8d58-6f74511a476c|journal=Econometric Theory|volume=7|issue=4|pages=519–529|doi=10.1017/s0266466600004746|s2cid=14668369}}
* {{chú thích tạp chí|last=Shephard|first=N. G.|year=1991b|title=Numerical integration rules for multivariate inversions|url=https://ora.ox.ac.uk/objects/uuid:da00666a-4790-4666-a54c-b81fc6fc49cb|journal=J. Statist. Comput. Simul|volume=39|issue=1–2|pages=37–46|doi=10.1080/00949659108811337}}
* {{Cite conference|last=Ansari|first=Abdul Fatir|last2=Scarlett|first2=Jonathan|last3=Soh|first3=Harold|year=2020|title=A Characteristic Function Approach to Deep Implicit Generative Modeling|url=https://openaccess.thecvf.com/content_CVPR_2020/html/Ansari_A_Characteristic_Function_Approach_to_Deep_Implicit_Generative_Modeling_CVPR_2020_paper.html|pages=7478–7487|book-title=Proceedings of the IEEE/CVF Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR), 2020}}
* {{Cite conference|last=Li|first=Shengxi|last2=Yu|first2=Zeyang|last3=Xiang|first3=Min|last4=Mandic|first4=Danilo|year=2020|title=Reciprocal Adversarial Learning via Characteristic Functions|url=https://proceedings.neurips.cc/paper/2020/hash/021f6dd88a11ca489936ae770e4634ad-Abstract.html|book-title=Advances in Neural Information Processing Systems 33 (NeurIPS 2020)}}

{{refend}}

== Liên kết ngoài ==

* {{springer|title=Characteristic function|id=p/c021650}}

[[Thể loại:Lý thuyết xác suất]]