Xem mã nguồn của Hàm chỉnh hình

{{short description|Hàm số phức khả vi tại mọi điểm trong tập xác định}}
{{Thanh bên giải tích phức}}
[[Hình:Conformal map.svg|right|thumb|Một lưới hình chữ nhật (trên) và ảnh của nó qua một [[ánh xạ bảo giác]] {{mvar|f}} (dưới).]]
Trong [[toán học]], một '''hàm chỉnh hình''' ('''ánh xạ bảo giác''') là một hàm nhận giá trị phức của một hay nhiều biến [[số phức|phức]] mà tại mọi điểm trong [[Tập xác định (giải tích)|tập xác định]], nó [[Hàm số khả vi|khả vi phức]] trong một [[lân cận (toán học)|lân cận]] của điểm đó. Sự tồn tại của đạo hàm phức trong một lân cận là một điều kiện rất chặt, từ đó ta suy ra bất kì hàm chỉnh hình nào đều [[tính trơn|khả vi vô hạn]] và bằng [[chuỗi Taylor]] của nó cục bộ (''hàm giải tích''). Hàm chỉnh hình là đối tượng nghiên cứu chính trong [[giải tích phức]].

Mặc dù cụm từ ''[[hàm giải tích]]'' thường được sử dụng thay cho "hàm chỉnh hình", nó được sử dụng theo nghĩa rộng hơn để chỉ bất kì hàm số nào (thực, phức hay những loại khác) có thể viết được dưới dạng một chuỗi lũy thừa hội tụ trên một lân cận của mỗi điểm trong [[tập xác định của hàm số|tập xác định]] của hàm số đó. Một định lý quan trọng trong giải tích phức đó là mọi hàm chỉnh hình đều là hàm giải tích phức, và ngược lại.<ref>''[https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Analytic_function#Analytic_functions_of_one_complex_variable Analytic functions of one complex variable]'', Encyclopedia of Mathematics. (Hội Toán học Châu Âu và Springer, 2015)</ref>

Hàm chỉnh hình đôi khi còn được gọi là ''[[hàm chính quy]]''.<ref>[http://eom.springer.de/a/a012240.htm Springer Online Reference Books], [http://mathworld.wolfram.com/RegularFunction.html Wolfram MathWorld]</ref> Một hàm chỉnh hình có tập xác định là toàn bộ [[mặt phẳng phức]] được gọi là một [[hàm nguyên]]. Cụm từ "chỉnh hình tại {{math|''z''<sub>0</sub>}}" không chỉ có nghĩa là khả vi tại {{math|''z''<sub>0</sub>}}, mà là khả vi tại mọi điểm trong một lân cận của nào đó {{math|''z''<sub>0</sub>}} trên mặt phẳng phức.

== Định nghĩa ==
[[Tập tin:Non-holomorphic complex conjugate.svg|thumb|Hàm số <math>f(z) = \bar{z}</math> không khả vi phức tại không vì giá trị của <math> f(z)-f(0) \over z-0</math> thay đổi tùy thuộc vào hướng tiếp cận đến không. Trên trục thực, {{mvar|f}} có giá trị bằng hàm số {{math|1=''g''(''z'')&nbsp;=&nbsp;''z''}} và giới hạn là {{math|1}}, trong khi trên trục ảo, {{mvar|f}} bằng hàm số {{math|1=''h''(''z'')&nbsp;=&nbsp;−''z''}} và có giới hạn bằng {{math|−1}}. Những phương khác cũng cho các giới hạn khác nhau.]]
Với hàm một biến phức {{mvar|f}} nhận giá trị phức, '''đạo hàm''' của {{mvar|f}} tại {{math|''z''<sub>0</sub>}} trong tập xác định của nó được định nghĩa bởi  [[giới hạn của một hàm số|giới hạn]]<ref>[[Lars Ahlfors|Ahlfors, L.]], ''Complex Analysis, tái bản lần thứ ba'' (McGraw-Hill, 1979).</ref>

:<math>f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }. </math>

Công thức này giống với [[Đạo hàm|định nghĩa đạo hàm]] của hàm số thực, trừ việc tất cả đại lượng đều nhận giá trị phức. Cụ thể hơn, giới hạn được lấy khi số phức {{mvar|z}}tiếp cận {{math|''z''<sub>0</sub>}}, và phải có cùng một giá trị cho mọi dãy số phức tiến về {{math|''z''<sub>0</sub>}} trên mặt phẳng phức. Nếu giới hạn đó tồn tại, ta nói {{mvar|f}} '''khả vi phức''' tại {{math|''z''<sub>0</sub>}}. Định nghĩa này của tính khả vi phức có nhiều điểm chung với [[đạo hàm|khả vi thực]]: nó [[biến đổi tuyến tính|tuyến tính]] và tuân theo [[quy tắc nhân]], [[quy tắc chia]], và [[quy tắc hàm hợp]].<ref>[[Peter Henrici (nhà toán học)|Henrici, P.]], ''Applied and Computational Complex Analysis'' (Wiley).  [Ba tập: 1974, 1977, 1986.]</ref>

Nếu {{mvar|f}} ''khả vi phức'' tại ''mọi'' điểm {{math|''z''<sub>0</sub>}} trong một tập mở {{mvar|U}}, ta nói {{mvar|f}} '''chỉnh hình trên {{mvar|U}}'''. Hàm {{mvar|f}} được gọi là '''chỉnh hình tại điểm {{math|''z''<sub>0</sub>}}''' nếu {{mvar|f}} khả vi phức trên một lân cận nào đó của {{math|''z''<sub>0</sub>}}.<ref>Peter Ebenfelt, Norbert Hungerbühler, Joseph J. Kohn, Ngaiming Mok, Emil J. Straube
(2011) ''Complex Analysis'' Springer Science & Business Media</ref> Ta nói {{mvar|f}} chỉnh hình trên một tập {{mvar|A}} không mở nếu như nó chỉnh hình trên một tập mở chứa {{mvar|A}}. Một ví dụ, hàm số {{math|1=''f''(''z'') = |''z''|<sup>2</sup>}} khả vi phức tại đúng một điểm ({{math|1=''z''<sub>0</sub> = 0}}), và vì thế, nó ''không'' chỉnh hình tại 0 vì {{mvar|f}} không khả vi phức trên tập mở nào chứa 0 cả.

Mối liên hệ giữa tính khả vi thực và phức như sau. Nếu một hàm phức {{math|1=''f''(''x'' + i&thinsp;''y'') = ''u''(''x'', ''y'') + i&thinsp;''v''(''x'', ''y'')}} chỉnh hình, thì {{mvar|u}} và {{mvar|v}} có đạo hàm riêng cấp một đối với {{mvar|x}} và {{mvar|y}}, và thỏa mãn [[phương trình Cauchy–Riemann]]:<ref name=Mark>Markushevich, A.I.,''Theory of Functions of a Complex Variable'' (Prentice-Hall, 1965). [Ba tập.]</ref>

:<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad \mathrm{v\grave{a}} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\,</math>

Một cách khác tương đương là, [[đạo hàm Wirtinger]] của {{mvar|f}} đối với [[số phức liên hợp]] của {{mvar|z}} bằng không:<ref name=Gunning>{{Citation
 | last = Gunning
 | first = Robert C.
 | author-link = Robert C. Gunning
 | last2 = Rossi
 | first2 = Hugo
 | author2-link = 
 | title = Analytic Functions of Several Complex Variables
 | series = Prentice-Hall series in Modern Analysis
 | place = [[Englewood Cliffs]], N.J.
 | publisher = [[Prentice-Hall]]
 | pages = xiv+317
 | year = 1965
 | url = https://books.google.com/books?id=L0zJmamx5AAC&printsec=frontcover&hl=it#v=onepage&q&f=false
 | doi = 
 | id = 
 | mr = 0180696
 | zbl = 0141.08601
 | isbn = 
}}</ref>

:<math>\frac{\partial f}{\partial\overline{z}} = 0,</math>

từ đây ta có thể tạm nói rằng, {{mvar|f}} độc lập với số phức liên hợp của {{mvar|z}}.

Nếu không có giả thiết về tính liên tục, điều ngược lại không nhất thiết đúng. Một mệnh đề đảo đơn giản là nếu {{mvar|u}} và {{mvar|v}} có đạo hàm riêng bậc nhất ''liên tục'' vào thỏa mãn phương trình Cauchy–Riemann thì {{mvar|f}} là chỉnh hình. Một mệnh đề đảo mạnh hơn, và cũng khó chứng minh hơn rất nhiều, là [[định lý Looman–Menchoff]]: nếu {{mvar|f}} liên tục, {{mvar|u}} và {{mvar|v}} có đạo hàm riêng bậc nhất (không nhất thiết liên tục), và thỏa mãn phương trình Cauchy–Riemann thì {{mvar|f}} là chỉnh hình.<ref>{{citation|title=When is a Function that Satisfies the Cauchy-Riemann Equations Analytic?|first1=J. D.|last1=Gray|first2=S. A.|last2=Morris|journal=The American Mathematical Monthly|volume=85|year=1978|publication-date=April 1978|pages=246–256|jstor=2321164|doi=10.2307/2321164|issue=4}}.</ref>

Một '''hàm song chỉnh hình''' là một hàm chỉnh hình [[song ánh]] sao cho [[hàm ngược]] của nó cũng là một hàm chỉnh hình.

== Thuật ngữ ==
Cụm từ "chỉnh hình" ({{lang-en|holomorphic}}) được đưa ra lần đầu bởi hai học sinh của [[Cauchy]], [[Charles Auguste Briot|Briot]] (1817–1882) và [[Jean-Claude Bouquet|Bouquet]] (1819–1895), và có nguồn gốc từ tiếng Hy Lạp [[wikt:ὅλος|ὅλος]] (''holos'') nghĩa là "toàn bộ", và [[wikt:μορφή|μορφή]] (''morphē'') nghĩa là "dạng" hay "hình dáng".<ref>{{chú thích sách |last=Markushevich |first=A. I. |editor-last=Silverman |editor-first=Richard A. |title=Theory of functions of a Complex Variable |publisher=[[Hội Toán học Hoa Kỳ]] |location=New York |origyear=1977 |year=2005 |edition=2nd |isbn=0-8218-3780-X |url=https://books.google.com/books?id=H8xfPRhTOcEC&dq |page=112}}</ref>

Ngày nay, cụm từ "hàm chỉnh hình" đôi khi còn được gọi là "hàm giải tích". Một kết quả quan trọng trong giải tích phức đó là mọi hàm chỉnh hình đều là giải tích phức, một điều không hoàn toàn hiển nhiên từ định nghĩa. Cụm từ "giải tích" được sử dụng khá phổ biến nhưng mang ý nghĩa rộng hơn.

== Tính chất ==
Vì phép lấy đạo hàm phức là tuyến tính và tuân theo quy tắc nhân, chia và hợp nên tổng, tích và hợp của các hàm chỉnh hình là chỉnh hình, và thương của hai hàm chỉnh hình là chỉnh hình khi mẫu số khác không.<ref>{{Citation
  | last = Henrici
  | first = Peter
  | author-link = Peter Henrici (nhà toán học)
  | title = Applied and Computational Complex Analysis Volume 3
  | place = New York - Chichester - Brisbane - Toronto - Singapore
  | publisher = [[Wiley (nhà xuất bản)]]
  | origyear = 1986
  | year = 1993
  | series = Wiley Classics Library
  | volume =
  | edition = Reprint
  | pages = X+637
  | url = https://books.google.com/books?id=vKZPsjaXuF4C&printsec=frontcover#v=onepage&q
  | doi =
  | id = 
  | mr = 0822470
  | zbl = 1107.30300
  | isbn = 0-471-58986-1}}.</ref>

Nếu thay vì {{math|'''C'''}} ta xét tập {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}, thì hàm chỉnh hình tương đương với hàm hai biến thực với đạo hàm bậc nhất liên tục thỏa mãn [[phương trình Cauchy–Riemann]], một hệ hai [[phương trình vi phân riêng phần]]s.<ref name=Mark />

Mọi hàm chỉnh hình đều có thể chia thành phần thực và phần ảo, và mỗi phần như thế đều là nghiệm của [[phương trình Laplace]] trên {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}. Nói cách khác, nếu ta biểu diễn một hàm chỉnh hình {{math|''f''(''z'')}} dưới dạng {{math|''u''(''x'', ''y'') + ''i&thinsp;v''(''x'', ''y'')}} thì cả {{mvar|u}} và {{mvar|v}} là các [[hàm điều hòa]], trong đó {{mvar|v}} là [[liên hợp điều hòa]] của {{mvar|u}}.<ref>{{citation|first=Lawrence C.|last=Evans|authorlink=Lawrence C. Evans|year=1998|title=Partial Differential Equations|publisher=Hội Toán học Hoa Kỳ}}.</ref>

Từ [[Định lý tích phân Cauchy]] ta suy ra [[tích phân chu tuyến]] của một hàm chỉnh hình theo một vòng lặp tiêu biến:<ref name=Lang>{{citation
 |first = Serge
 |last = Lang
 | authorlink = Serge Lang
 | year = 2003
 | title =  Complex Analysis
 | series= Springer Verlag GTM
 | publisher = [[Springer Verlag]]
}}</ref>

:<math>\oint\limits_{\gamma} f(z)\,dz = 0. </math>

Ở đây {{math|γ}} là một đường cong trong một [[tập mở|tập con mở]] [[không gian đơn liên|đơn liên]] {{mvar|U}} trên [[mặt phẳng phức]] {{math|'''C'''}} có điểm bắt đầu trùng với điểm kết thúc, và {{math|''f'': ''U'' → '''C'''}} là một hàm chỉnh hình.

[[Công thức tích phân Cauchy]] phát biểu rằng mọi hàm chỉnh hình trong một [[hình tròn]] hoàn toàn được xác định bởi giá trị của nó trên đường biên của hình tròn.<ref name=Lang /> Hơn nữa: Giả sử {{mvar|U}} là một tập con mở của {{math|'''C'''}}, {{math|''f'': ''U'' → '''C'''}} là một hàm chỉnh hình và hình tròn khép kín {{math|1=''D'' = {''z'': {{abs|''z'' − ''z''<sub>0</sub>}} ≤ ''r''} }} nằm hoàn toàn trong {{mvar|U}}. Đặt {{math|γ}} là đường tròn tạo nên [[Điểm biên|rìa ngoài]] của {{mvar|D}}. Khi ấy với mọi {{mvar|a}} ở trong {{mvar|D}}:

:<math>f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{\gamma} \frac{f(z)}{z-a}\, dz </math>

ở đây [[tích phân chu tuyến]] được lấy ngược chiều kim đồng hồ.

Đạo hàm {{math|''f''′(''a'')}} có thể được viết dưới dạng một tích phân chu tuyến<ref name=Lang /> sử dụng [[công thức tích phân Cauchy]]:

:<math>f'(a) = {1 \over 2\pi i} \oint\limits_{\gamma} {f(z) \over (z-a)^{2}}\, dz,</math>

với mọi vòng lặp đơn dương quay quanh {{mvar|a}} đúng một lần, và

:<math>f'(a) = \lim\limits_{\gamma\to a}\frac i{2\mathcal{A}(\gamma)}\oint\limits_{\gamma}f(z) d\bar z,</math>

với vòng lặp γ dương nhỏ vô cùng quanh {{mvar|a}}.

Ở những vùng có đạo hàm bậc nhất khác không, hàm chỉnh hình có thể coi là [[ánh xạ bảo giác|bảo giác]] theo nghĩa là chúng giữ nguyên góc và hình dạng (nhưng không phải kích thước) của những hình nhỏ.<ref>{{Citation | last1=Rudin | first1=Walter | author1-link=Walter Rudin | title=Real and complex analysis | publisher=McGraw–Hill Book Co. | location=New York | edition=3rd | isbn=978-0-07-054234-1 | mr=924157 | year=1987}}</ref>

Mọi hàm chỉnh hình đều là giải tích. Nghĩa là, hàm chỉnh hình {{mvar|f}} có đạo hàm vô hạn tại mọi điểm {{mvar|a}} trong tập xác định của nó, và nó bằng [[chuỗi Taylor]] của nó tại {{mvar|a}} trong một lân cận chứa {{mvar|a}}. Thực ra, {{mvar|f}} bằng với chuỗi Taylor của nó tại {{mvar|a}} trong bất kỳ hình tròn nào có tâm tại {{mvar|a}} và nằm trong tập xác định của hàm {{mvar|f}}.

Dưới góc nhìn đại số, tập các hàm chỉnh hình trên một tập mở là một [[vành giao hoán]] và [[Không gian vectơ|không gian vectơ phức]]. Thêm vào đó, tập các hàm chỉnh hình trên một tập mở U là một [[vành nguyên]] khi và chỉ khi tập U liên thông.<ref name=Gunning />

Dưới góc nhìn hình học, một hàm {{mvar|f}} chỉnh hình tại {{math|''z''<sub>0</sub>}} khi và chỉ khi [[đạo hàm ngoài]] {{mvar|df}} trong một lân cận {{mvar|U}} của {{math|''z''<sub>0</sub>}} bằng {{math|''f''′(''z'') ''dz''}} với một hàm liên tục {{mvar|f'}} nào đó. Từ

:<math>\textstyle 0 = d^2 f = d(f^\prime dz) = df^\prime \wedge dz</math>

ta suy ra {{mvar|df'}} cũng tỉ lệ với {{mvar|dz}}, có nghĩa là đạo hàm {{mvar|f'}} cũng chỉnh hình và {{mvar|f}} khả vi vô hạn lần. Tương tự, từ {{math|1=''d''(''f dz'') = ''f''′ ''dz'' ∧ ''dz'' = 0}} ta suy ra bất kì hàm chỉnh hình {{mvar|f}} nào trên vùng đơn liên {{mvar|U}} cũng khả tích trên {{mvar|U}}. Cụ thể hơn, với đường γ từ ''z''<sub>0</sub> đến {{mvar|z}}nằm trong {{mvar|U}}, định nghĩa

:<math>\textstyle F_\gamma(z) = F_0 + \int_\gamma f dz</math>;

khi ấy sử dụng [[định lý đường cong Jordan]] và [[Định lý Stokes|định lý Stokes tổng quát]], {{math|''F''<sub>γ</sub>(''z'')}} không phụ thuộc vào việc lựa chọn đường đi {{math|γ}}, và {{math|''F''(''z'')}} là một hàm trên {{mvar|U}} thỏa {{math|1=''F''(''z''<sub>0</sub>) = ''F''<sub>0</sub>}} và {{math|1=''dF'' = ''f dz''}}.)

== Ví dụ ==
Tất cả hàm [[đa thức]] biến {{mvar|z}}với [[hệ số]] phức đều là chỉnh hình trên {{math|'''C'''}}, cũng như các hàm [[sin]], [[cosin]] và [[hàm mũ]]. (Các [[hàm lượng giác]] thực chất có liên hệ mật thiết và có thể được định nghĩa bằng hàm mũ sử dụng [[công thức Euler]]). Nhánh chính của hàm [[logarit phức]] chỉnh hình trên [[Tập hợp (toán học)|tập]] {{math|1='''C''' ∖ {''z'' ∈ '''R''': z ≤ 0}}}. Hàm [[căn bậc hai]] có thể được định nghĩa bằng:

:<math>\sqrt{z} = e^{\frac{1}{2}\log z}</math>

và vì thế nó chỉnh hình khi {{math|log(''z'')}} chỉnh hình. Hàm {{math|1/''z''}} chỉnh hình trên {{math|{''z'': ''z'' ≠ 0}.}}

Một hệ quả của [[phương trình Cauchy–Riemann]], một hàm chỉnh hình nhận giá trị thực phải là hàm hằng. Vì thế, giá trị tuyệt đối của ''z'', acgumen của ''z'', phần thực của {{mvar|z}}và phần ảo của {{mvar|z}}đều không phải hàm chỉnh hình. Một ví dụ điển hình khác của hàm liên tục nhưng không chỉnh hình là hàm số phức liên hợp {{math|{{overline|''z''}}}}.

== Nhiều biến ==
Định nghĩa của hàm chỉnh hình mở rộng cho nhiều biến phức theo một cách tự nhiên. Ký hiệu {{mvar|D}} là một tập con mở của {{math|'''C'''<sup>''n''</sup>}}, và hàm số {{math|''f'': ''D'' → '''C'''}}. Hàm số {{mvar|f}} được gọi là '''giải tích''' tại điểm {{mvar|p}} trong {{mvar|D}} nếu tồn tại một lân cận mở của {{mvar|p}} mà trong đó {{mvar|f}} bằng với chuỗi lũy thừa hội tụ theo {{mvar|n}} biến phức.<ref>Gunning and Rossi, ''Analytic Functions of Several Complex Variables'', trang 2.</ref>  Định nghĩa {{mvar|f}} là '''chỉnh hình''' khi và chỉ khi nó giải tích tại mọi điểm trong tập xác định của nó. [[Bổ đề Osgood]] cho ta (sử dụng công thức tích phân Cauchy nhiều biến), với hàm {{mvar|f}} liên tục, điều này tương đương với {{mvar|f}} chỉnh hình theo từng biến riêng biệt (nghĩa là nếu bất kỳ {{math|''n'' &minus; 1}} ẩn được cố định, thì {{mvar|f}} là chỉnh hình theo biến còn lại). [[Định lý Hartogs]] khó hơn rất nhiều chứng minh rằng giả thiết liên tục là không cần thiết: {{mvar|f}} chỉnh hình khi và chỉ khi nó chỉnh hình theo từng biến riêng biệt.

Tổng quát hơn, một hàm nhiều biến phức [[Hàm bình phương khả tích|bình phương khả tích]] trên mọi [[Không gian compact|tập con compact]] của tập xác định là giải tích khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình Cauchy–Riemann theo từng biến.

Hàm nhiều biến phức trong nhiều trường hợp phức tạp hơn so với hàm một biến phức. Ví dụ, vùng hội tụ của một chuỗi lũy thừa không nhất thiết là một [[quả cầu]] mở; những vùng này là các [[miền Reinhardt]], ví dụ đơn giản nhất là một [[đa đĩa]]. Tuy nhiên, chúng có những điều kiện nhất định. Không như hàm một biến phức, tập xác định có thể mà trên đó tồn tại hàm chỉnh hình không thể được mở rộng ra tập xác định lớn hơn là rất ít. Một tập như thế được gọi là một [[miền chỉnh hình]].

== Mở rộng sang giải tích hàm ==
Khái niệm hàm chỉnh hình có thể được mở rộng sang không gian vô hạn chiều của [[giải tích hàm]]. Ví dụ, [[đạo hàm Fréchet]] hay [[Đạo hàm Gateaux|Gateaux]] có thể được sử dụng để định nghĩa hàm chỉnh hình trên một [[không gian Banach]] trên trường số phức.

== Xem thêm ==
* [[Ánh xạ điều hòa]]
* [[Đạo hàm Wirtinger]]
* [[Hàm phân hình]]
* [[Miền cầu phương]]
* [[Nguyên hàm (giải tích phức)]]
* [[Thác triển giải tích]]

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}

== Đọc thêm ==
* {{chú thích sách |title=University Mathematics |last=Blakey |first=Joseph |publisher=Blackie and Sons |location=London |edition=2nd |year=1958 |oclc=2370110 }}

== Liên kết ngoài==
* {{springer|title=Analytic function|id=p/a012240}}

{{Authority control}}

[[Thể loại:Hàm giải tích]]
[[Thể loại:Giải tích phức]]