Xem mã nguồn của Hàm số

{{1000 bài cơ bản}}
{{Hàm số}}Trong [[toán học]], một '''hàm số'''<ref group="note">The words '''map''', '''mapping''', '''transformation''', '''correspondence''', and '''operator''' are often used synonymously. {{Harvard citation no brackets|Halmos|1970}}.</ref> hay gọi ngắn là '''hàm''' ([[Tiếng Anh]]: ''function'') là một loại [[ánh xạ]] giữa hai [[Tập hợp (toán học)|tập hợp]]  số liên kết mọi phần tử của tập số đầu tiên với đúng một phần tử của tập số thứ hai. Ví dụ điển hình là các hàm từ [[số nguyên]] sang số nguyên hoặc từ [[số thực]] sang số thực.

Các hàm số ban đầu là sự lý tưởng hóa cách một đại lượng thay đổi phụ thuộc vào một đại lượng khác. Ví dụ, vị trí của một [[hành tinh]] là một ''hàm số'' của thời gian. [[Lịch sử của khái niệm hàm số|Về mặt lịch sử]], khái niệm này được xây dựng dựa trên [[Vi tích phân|phép tính vi tích phân]] vào cuối thế kỷ 17, và cho đến thế kỷ 19, các hàm được coi là [[Hàm số khả vi|khả vi]] (nghĩa là chúng có mức độ mịn cao). Khái niệm hàm số được chính thức hóa vào cuối thế kỷ 19 dưới dạng [[lý thuyết tập hợp]], và điều này đã mở rộng đáng kể các lĩnh vực ứng dụng của khái niệm này.

Một hàm số là một quá trình hoặc một mối quan hệ mà liên kết mỗi phần tử {{Mvar|x}} của một [[Tập hợp (toán học)|tập hợp]] {{Mvar|X}}, được gọi là ''[[Tập xác định|miền xác định]]'' của hàm số, đến một phần tử {{Mvar|y}} duy nhất của một tập hợp {{Mvar|Y}} (có thể là cùng một tập hợp như X), và gọi là ''[[tập hợp đích]]'' của hàm số này. Hàm số thường được ký hiệu bằng các chữ cái như {{Mvar|f}}, {{Mvar|g}} và {{Mvar|h}}.<ref name=":1">{{Chú thích web|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/|tựa đề=Compendium of Mathematical Symbols|ngày=2020-03-01|website=Math Vault|ngôn ngữ=en-US|ngày truy cập=2020-08-17}}</ref>

Nếu hàm được gọi là {{Mvar|f}}, quan hệ này được ký hiệu là {{Math|1=''y'' = ''f''{{space|hair}}(''x'')}} (đọc là " {{Mvar|f}} của {{Mvar|x}} "), trong đó phần tử {{Mvar|x}} là ''[[Tham số|đối số]]'' hoặc ''đầu vào'' của hàm và {{Mvar|y}} là ''giá trị của hàm'', ''đầu ra'' hoặc ''ảnh'' của {{Mvar|x}} theo {{Mvar|f}} .<ref name="MacLane">{{Chú thích sách|url=https://archive.org/details/algebra00macl|title=Algebra|last=MacLane|first=Saunders|last2=Birkhoff|first2=Garrett|publisher=Macmillan|year=1967|isbn=|edition=First|location=New York|pages=|author-link=Saunders MacLane|author-link2=Garrett Birkhoff|access-date = ngày 31 tháng 1 năm 2021}}</ref> Ký hiệu được sử dụng để biểu diễn đầu vào là [[Biến số|biến]] của hàm (ví dụ: {{Mvar|f}} là hàm của biến {{Mvar|x}}).<ref>{{Chú thích web|url=https://www.mathsisfun.com/sets/function.html|tựa đề=What is a Function|website=www.mathsisfun.com|ngày truy cập=2020-08-17}}</ref>

Một hàm số được biểu diễn duy nhất bởi tập hợp tất cả các [[Cặp được sắp|cặp số]] {{Math|(''x'', ''f''{{space|hair}}(''x''))}}, được gọi là [[Đồ thị của hàm số|đồ thị]] của hàm số. <ref group="note">This definition of "graph" refers to a ''set'' of pairs of objects. Graphs, in the sense of ''diagrams'', are most applicable to functions from the real numbers to themselves. All functions can be described by sets of pairs but it may not be practical to construct a diagram for functions between other sets (such as sets of matrices).</ref><ref>{{Chú thích web|url=https://www.britannica.com/science/function-mathematics|tựa đề=function {{!}} Definition, Types, Examples, & Facts|website=Encyclopedia Britannica|ngôn ngữ=en|ngày truy cập=2020-08-17}}</ref> Khi miền và miền là tập hợp các số thực, mỗi cặp như vậy có thể được coi là [[Hệ tọa độ Descartes|tọa độ Descartes]] của một điểm trong mặt phẳng. Tập hợp các điểm này được gọi là đồ thị của hàm số; nó là một phương tiện phổ biến để minh họa một hàm số.
[[Tập tin:Function_machine2.svg|liên_kết=https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADptin:Function_machine2.svg|phải|nhỏ|Mô {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200929072715/https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADp |date=2020-09-29 }} tả sơ đồ của một hàm số được mô tả ẩn dụ như một "máy" hoặc "[[hộp đen]]" mà đối với mỗi đầu vào tạo ra một đầu ra tương ứng]]
[[Tập tin:Graph_of_example_function.svg|liên_kết=https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADptin:Graph_of_example_function.svg|phải|nhỏ|Đường {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200929072715/https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADp |date=2020-09-29 }} cong màu đỏ là [[Đồ thị của hàm số|đồ thị của một hàm số]], bởi vì bất kỳ đường thẳng đứng nào cũng có đúng một điểm giao nhau với đường cong trên.]]
[[Tập tin:Function_color_example_3.svg|liên_kết=https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADptin:Function_color_example_3.svg|nhỏ|Một {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200929072715/https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADp |date=2020-09-29 }} hàm liên kết bất kỳ hình dạng màu nào trong số bốn hình màu với màu của nó.]]
Các hàm số được sử dụng rộng rãi trong [[khoa học]] và trong hầu hết các lĩnh vực toán học. Người ta đã nói rằng các hàm là "đối tượng trung tâm của nghiên cứu" trong hầu hết các lĩnh vực toán học.{{Sfn|Spivak|2008|p=39}}

== Khái niệm ==
Nói một cách trực quan, hàm là một quá trình liên kết từng phần tử của tập hợp số {{Math|''X''}} với một phần tử của tập hợp số {{Math|''Y''}}.

Về mặt hình thức, một hàm {{Math|''f''}} từ tập {{Math|''X''}} đến tập {{Math|''Y''}} được xác định bởi tập {{Mvar|G}} gồm các cặp có thứ tự {{Math|(''x'', ''y'')}} sao cho {{Math|''x'' ∈ ''X''}}, {{Math|''y'' ∈ ''Y''}}, và mọi phần tử của {{Math|''X''}} là thành phần đầu tiên của đúng một cặp có thứ tự ghép đôi trong {{Mvar|G}} <ref>{{Chú thích sách|url=https://archive.org/details/numberssetsaxiom0000hami|title=Numbers, sets, and axioms: the apparatus of mathematics|last=Hamilton|first=A. G.|publisher=Cambridge University Press|year=1982|isbn=978-0-521-24509-8|location=https://archive.org/details/numberssetsaxiom0000hami/page/83 83|page=|pages=|quote=function is a relation.}}</ref> <ref group="note">The sets ''X'', ''Y'' are parts of data defining a function; i.e., a function is a set of ordered pairs <math>(x, y)</math> with <math>x \in X, y \in Y</math>, together with the sets ''X'', ''Y'', such that for each <math>x \in X</math>, there is a unique <math>y \in Y</math> with <math>(x, y)</math> in the set.</ref> Nói cách khác, với mọi {{Math|''x''}} trong {{Math|''X''}}, có đúng một phần tử {{Math|''y''}} sao cho cặp có thứ tự {{Math|(''x'', ''y'')}} thuộc tập các cặp xác định hàm {{Math|''f''}} . Tập hợp {{Mvar|G}} được gọi là [[đồ thị của hàm số]]. Về mặt hình thức, nó có thể được xác định với hàm số trên, nhưng điều này che giấu cách giải thích thông thường về một chức năng như một quá trình. Do đó, trong cách sử dụng thông thường, hàm số thường được phân biệt với đồ thị của nó.

Trong định nghĩa về hàm số, {{Math|''X''}} và {{Math|''Y''}} tương ứng được gọi là ''tập/miền xác định'' và ''tập đích''/ ''miền giá trị'' của hàm {{Mvar|f}} <ref>{{Chú thích web|url=https://mathworld.wolfram.com/Function.html|tựa đề=Function|tác giả=Weisstein|tên=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|ngôn ngữ=en|ngày truy cập=2020-08-17}}</ref> Nếu {{Math|(''x'', ''y'')}} thuộc tập xác định {{Mvar|f}}, thì {{Mvar|y}} là ''ảnh'' của {{Mvar|x}} thông qua {{Mvar|f}}, hoặc ''giá trị'' của {{Mvar|f}} được áp dụng cho ''đối số'' {{Mvar|x}} . Đặc biệt, trong ngữ cảnh của các con số, người ta cũng nói rằng {{Mvar|y}} là giá trị của {{Mvar|f}} đối với ''giá trị {{Mvar|x}} của biến của nó'', hay ngắn gọn hơn, {{Mvar|y}} là ''giá trị của'' {{Mvar|f}} ''của'' {{Mvar|x}}, được ký hiệu là {{Math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} .

Hai hàm {{Mvar|f}} và {{Mvar|g}} là bằng nhau, nếu miền và tập hợp miền xác định của chúng giống nhau và giá trị đầu ra của chúng giống nhau trên toàn miền xác định đó. Chính thức hơn, {{Math|1=''f'' = ''g''}} nếu {{Math|1=''f''(''x'') = ''g''(''x'')}} với mọi {{Math|''x'' ∈ ''X''}}, trong đó {{Math|''f'':''X'' → ''Y''}} và {{Math|''g'':''X'' → ''Y''}} {{Sfn|Apostol|1981|p=35}} {{Sfn|Kaplan|1972|p=25}} <ref group="note">This follows from the [[Tiên đề về tính mở rộng|axiom of extensionality]], which says two sets are the same if and only if they have the same members. Some authors drop codomain from a definition of a function, and in that definition, the notion of equality has to be handled with care; see, for example, {{Chú thích web|url=https://math.stackexchange.com/q/1403122|tựa đề=When do two functions become equal?|ngày=ngày 19 tháng 8 năm 2015|website=[[Stack Exchange]]}}</ref>

Miền xác định và miền giá trị không phải lúc nào cũng được cung cấp rõ ràng khi một hàm được xác định và, nếu không có một số tính toán (có thể khó), người ta có thể chỉ biết rằng miền được chứa trong một tập hợp lớn hơn. Thông thường, điều này xảy ra trong [[giải tích toán học]], trong đó "một hàm {{Nowrap|từ {{mvar|X}} tới {{mvar|Y}} "}} thường đề cập đến một hàm có thể có một tập con thích hợp<ref group="note">called the ''domain of definition'' by some authors, notably computer science</ref> của {{Mvar|X}} là miền xác định. Ví dụ, một "[[Hàm giá trị thực|hàm từ giá trị thực đến giá trị thực]]" có thể tham chiếu đến một hàm có giá trị thực của một biến thực. Tuy nhiên, một "hàm từ số thực đến số thực" không có nghĩa là miền của hàm là toàn bộ tập các [[số thực]], mà chỉ có nghĩa miền là tập các số thực có chứa [[Khoảng (toán học)|khoảng mở]] không rỗng. Khi đó một hàm như vậy được gọi là [[hàm bộ phận|hàm một phần]]. Ví dụ: nếu {{Mvar|f}} là một hàm có các số thực là miền xác định và miền giá trị, thì một hàm ánh xạ giá trị {{Mvar|x}} với giá trị <math>g(x)=\tfrac 1{f(x)}</math> là một hàm {{Mvar|g}} từ miền số thực đến miền số thực, có miền xác định là tập các số thực {{Mvar|x}}, sao cho {{Math|''f''(''x'') ≠ 0}} .

[[Phạm vi của một hàm]] là tập hợp các [[Ảnh (toán học)|ảnh]] của tất cả các phần tử trong miền.<ref name="T&K Calc p.3">{{Taalman Kohn Calculus|p=3}}</ref><ref name="Trench RA pp.30-32">{{Trench Intro Real Analysis|pp=30–32}}</ref><ref name="TBB RA pp.A4-A5">{{Thomson Bruckner Bruckner Elementary Real Analysis|pp=A-4–A-5}}</ref> Tuy nhiên, ''phạm vi'' đôi khi được sử dụng như một từ đồng nghĩa của miền giá trị,<ref name="TBB RA pp.A4-A5" /><ref name="PCM p.11">{{Princeton Companion to Mathematics|p=11}}</ref> thường sử dụng trong các sách cũ.

=== Định nghĩa dùng quan hệ ===
Bất kỳ tập con nào của tích Descartes gồm hai tập hợp <math>X</math> và <math>Y</math> xác định một [[quan hệ hai ngôi]] <math>R\subseteq X \times Y</math> giữa hai tập hợp này. Rõ ràng là một quan hệ tùy ý có thể chứa các cặp đôi vi phạm các điều kiện cần thiết cho một hàm số đã cho ở trên.

Một quan hệ hai ngôi là [[Quan hệ hai ngôi|có tính hàm số]] (còn được gọi là duy nhất bên phải) nếu

<math>\forall x \in X, \forall y \in Y, \forall z \in Y, ((x, y) \in R \land (x, z) \in R) \implies y = z.</math>

Một quan hệ nhị phân là có tính [[Quan hệ nối tiếp|nối tiếp]] (còn được gọi là tổng bên trái) nếu

<math>\forall x \in X, \exists y \in Y, (x, y) \in R.</math>

Một [[hàm bộ phận|hàm một phần]] là một quan hệ hai ngôi mà có tính hàm số..

Một hàm số là một quan hệ hai ngôi có tính hàm số và nối tiếp.

Các thuộc tính khác nhau của hàm số và thành phần hàm số có thể được định dạng lại bằng ngôn ngữ của các quan hệ. Ví dụ, một hàm số là [[đơn ánh]] nếu [[quan hệ ngược]] <math>R^{\text{T}}\subseteq Y \times X</math> là có tính hàm số, trong đó quan hệ ngược được định nghĩa là <math>R^{\text{T}} = \{(y,x) \mid (x,y) \in R\}.</math> <ref name="RM">[[Gunther Schmidt]](2011) ''Relational Mathematics'', Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 132, sect 5.1 Functions, pp. 49–60, [[Nhà xuất bản Đại học Cambridge|Cambridge University Press]] {{ISBN|978-0-521-76268-7}} [http://www.cambridge.org/us/academic/subjects/mathematics/logic-categories-and-sets/relational-mathematics?format=HB CUP blurb for ''Relational Mathematics'']</ref>

=== Cách cho hàm số ===
Hàm số có thể được cho bằng bảng hoặc bằng biểu đồ hoặc bằng 1 biểu thức hoặc nhiều biểu thức trên từng khoảng, đoạn, nửa khoảng.

Ví dụ: X = {1,2,3,4,5}, Y = {5,6,7,8,9,10}.

Hàm <math>f: X \to Y</math> được cho bảng sau:

{|class="prettytable" width="30%" align="center"
|-align="center"
|''x''||''1''||''2''||''3''||''4''||''5''
|- align="center"
|''y''||''5''||''6''||''7''||''8''||''9''
|}

Các hàm cho bằng biểu thức như <math>y = 2x+3</math>, <math>y=x^2</math>, <math>y= \sin x</math>...

Lưu ý: Trong chương trình môn Toán ở bậc Trung học phổ thông của Việt Nam (chỉ đề cập đến Hàm số biến số thực) quy ước rằng:
* Khi không nói rõ thêm, miền xác định (tập xác định) của hàm số cho bằng biểu thức y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị của x làm cho f(x) có nghĩa.
:Ví dụ: Hàm số <math> y ={\log}_2 x</math> có miền xác định là <math>\{ x \in \mathbb R |x>0\}</math> hay <math>(0;+\infty)</math>
:::Hàm số <math> y =\sqrt{(x-1)(3-x)}</math> có miền xác định là <math>[1;3]</math>
* Miền giá trị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị có thể có của <math>f(x)</math>, nghĩa là <math>f(X)</math>.
:Ví dụ: Miền giá trị của hàm số <math>y= \sqrt {x(5-x)}</math> là <math>[0;2.5]</math>.

* Nếu ''X'',''Y'' <math>\subset \mathbb R</math> thì hàm số được gọi là hàm số thực.
:Ví dụ: Hàm lượng giác <math>y = \sin x</math>,hàm mũ <math>y= 2^x</math>,...
* Nếu ''X'',''Y'' <math>\subset \mathbb C</math> thì hàm số được gọi là hàm số biến số phức.
:Ví dụ: Hàm dao động <math>y = \cos \varphi + i\;\sin \varphi</math>;
* Nếu ''X'' <math>\subset \mathbb N</math> thì hàm số được gọi là hàm số số học.
:Ví dụ: Hàm Euler <math>\phi (n)</math> biểu diễn số các số tự nhiên không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n, hàm Sigma <math>\sigma (n)</math> biểu diễn tổng tất cả các ước của số tự nhiên n...

== Các dạng của hàm số ==

=== Đơn ánh, song ánh, toàn ánh ===
Như trên đã đề cập, hàm số là một trường hợp ánh xạ, nên người ta cũng miêu tả hàm số dưới 3 dạng là đơn ánh, toàn ánh và song ánh.
==== Đơn ánh ====
Một hàm số là đơn ánh khi nó áp dụng lên 2 đối số khác nhau luôn cho 2 giá trị khác nhau.

Một cách chặt chẽ, hàm ''f'', xác định trên ''X'' và nhận giá trị trong ''Y'', là '''đơn ánh''' nếu như nó thỏa mãn điều kiện với mọi ''x''<sub>1</sub> và ''x''<sub>2</sub> thuộc ''X'' và nếu ''x''<sub>1</sub> ≠ ''x''<sub>2</sub> thì ''f''(''x''<sub>1</sub>) ≠ ''f''(''x''<sub>2</sub>).

Nghĩa là, hàm số ''f'' là đơn ánh khi và chỉ khi:
:<math>\forall x_1, x_2 \in \mathit{X}\,\!; x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)</math>

Với đồ thị hàm số y = f(x) trong hệ tọa độ Đề các, mọi đường thẳng vuông góc với trục đối số Ox sẽ chỉ cắt đường cong đồ thị tại nhiều nhất là một điểm
==== Toàn ánh ====
Hàm số ''f'' được gọi là '''toàn ánh''' nếu như với mọi số ''y'' thuộc ''Y'' ta luôn tìm được ít nhất một số ''x'' thuộc X sao cho ''f''(''x'') = ''y''. Theo cách gọi của ánh xạ thì điều kiện này có nghĩa là mỗi phần tử ''y'' thuộc ''Y'' đều là ''ảnh'' của ít nhất một ''tạo ảnh'' ''x'' thuộc ''X'' qua ánh xạ ''f''.

Nghĩa là, hàm số ''f'' là toàn ánh khi và chỉ khi:
:<math>\forall y \in Y, \exists x \in X: f(x) = y </math> cũng tức là <math>\mathit{f(X)= Y}\,\!</math>

Đồ thị hàm <math>y = f(x)\,</math> cắt đường thẳng <math>y = y_0 \forall y_0</math>

==== Song ánh ====
Trong toán học, '''song ánh''', hoặc '''hàm song ánh''', là một hàm số ''f'' từ tập ''X'' vào tập ''Y'' thỏa mãn tính chất, đối với mỗi ''y'' thuộc ''Y'', có duy nhất một ''x'' thuộc ''X'' sao cho ''f''(''x'') = ''y''.

Nói cách khác, ''f'' là một song ánh nếu và chỉ nếu nó là '''tương ứng một-một''' giữa hai tập hợp; tức là nó vừa là đơn ánh và vừa là toàn ánh.

Ví dụ, xét hàm ''f''xác định trên tập hợp số nguyên  vào, được định nghĩa ''f''(''x'') = ''x'' + 1. Ví dụ khác, đối với mỗi cặp số thực (''x'',''y'') hàm ''f'' xác định bởi ''f''(''x'',''y'') = (''x'' + ''y'', ''x'' − ''y'') là một '''song ánh'''

Hàm song ánh đôi khi còn gọi là '''hoán vị'''.

Tập hợp tất cả các song ánh từ tập ''X'' vào tập ''Y'' được ký hiệu là ''X'' ↔ ''Y''. Thông thường tập các hoán vị của tập ''X'' được ký hiệu là ''X''!.

Song ánh đóng nhiều vai trò quan trọng trong toán học, như nó dùng để định nghĩa đẳng cấu (và những khái niệm liên quan như phép đồng phôi và vi phôi), nhóm hoán vị, ánh xạ xạ ảnh, và nhiều định nghĩa khác

==== Minh hoạ ====
<table cellspacing=10>
<tr><td align=center>[[Tập tin:don anh.png|170px]]</td><td></td><td align=center>[[Tập tin:toan anh.png|170px]]</td><td></td><td align=center>[[Tập tin:song anh.png|170px]]</td></tr>
<tr><td align=center>Đơn ánh nhưng <br />không phải toàn ánh</td><td width=50></td><td align=center>Toàn ánh nhưng<br />không phải đơn ánh</td><td width=50></td><td align=center>Song ánh</td></tr>
</table>

=== Hàm hợp và hàm ngược ===
==== Hàm hợp ====
Cho các hàm số:
:<math>f_1 \colon X\to Y </math> 
:<math>f_2 \colon Y\to Z </math>
trong đó ''X'', ''Y'', ''Z'' là các tập hợp số nói chung. '''Hàm hợp''' của ''f''<sub>1</sub> và ''f''<sub>2</sub> là hàm số:
:<math>f \colon X\to Z </math> 
được định nghĩa bởi:
:<math>\mathit{f(x) = f_2(f_1(x)); x} \in X </math>

Có thể ký hiệu hàm hợp là:
:<math>f=f_2\circ f_1</math>

Ví dụ, hàm số ''f''(x) = sin (''x''<sup>2</sup>+1) là hàm số hợp ''f''<sub>2</sub>(''f''<sub>1</sub>(x)), trong đó ''f''<sub>2</sub>(y) = sin(''y''), ''f''<sub>1</sub>(''x'') = (''x''<sup>2</sup> +1).

Việc nhận biết một hàm số là hàm hợp của các hàm khác, trong nhiều trường hợp có thể khiến các tính toán giải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân) trở nên đơn giản hơn.

==== Hàm ngược ====
Cho hàm số song ánh:
:<math>f \colon X\to Y </math>
trong đó ''X'', ''Y'' là tập hợp số nói chung.Khi đó mỗi phần tử ''y'' = ''f''(''x'') với ''y'' nằm trong ''Y'' đều là ảnh của một và chỉ một phần tử ''x'' trong ''X''. Như vậy, có thể đặt tương ứng mỗi phần tử ''y'' trong ''Y'' với một phần tử ''x'' trong ''X''. Phép tương ứng đó đã xác định một hàm số, ánh xạ từ ''Y'' sang ''X'', hàm số này được gọi là '''hàm số ngược''' của hàm số ''f'' và được ký hiệu là:
:<math> f ^{-1} \colon y\mapsto x = f ^{-1}(y)</math>

Nếu ''f''<sup>−1</sup>(''x'') tồn tại ta nói hàm số ''f''(''x'') là '''khả nghịch'''. Có thể nói tính chất song ánh là điều kiện cần và đủ để hàm ''f''(''x'') khả nghịch, tức là nếu ''f''(''x'') là song ánh thì ta luôn tìm được hàm ngược ''f''<sup>−1</sup>(''x'') và ngược lại.

== Đồ thị của hàm số ==
{{xem thêm|Đồ thị của hàm số}}
Thông thường thì hàm số được xác định bằng một biểu thức tổng quát ''y'' = ''f''(''x'') nào đó, ví dụ như ''y'' = ''x''<sup>2</sup> - 5. Tuy nhiên cũng có những hàm đặc biệt mà quy tắc cho tương ứng ''x'' với ''y'' của nó không theo bất kỳ một quy luật nào để có thể diễn đạt bằng một biểu thức toán học. Trong trường hợp này ta có thể lập bảng cho các giá trị đối số ''x'' và các giá trị hàm số ''y'' tương ứng với chúng. Ngoài ra hàm số còn có thể được xác định một cách triệt để bằng '''đồ thị''' của nó.

Đối với hàm số một biến số thực (có miền xác định thực), [[đồ thị hàm số]] được định nghĩa như sau: 
:Đồ thị của hàm số ''y ''= ''f''(''x'') là tập hợp các điểm trên mặt phẳng '''R'''<sup>2</sup> có tọa độ [''x'', ''f''(''x'')].

Ký hiệu đồ thị hàm số theo định nghĩa trên là: <math> graph f \equiv \begin{Bmatrix}(x,y) \in R^2 \mid y = f(x)\end{Bmatrix}</math>

== Các tính chất của hàm số ==

=== Tính đơn điệu ===
{{chính|Hàm số đơn điệu}}Giả sử hàm số y= f(x) xác định trên K. Ta nói:

* Hàm số y= f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp <math>x_1</math>, <math>x_2</math> thuộc K mà <math>x_1</math> nhỏ hơn <math>x_2</math> thì <math>f(x_1)</math> nhỏ hơn <math>f(x_2)</math>, tức là: <math>\forall x_1<x_2, \rightarrow f(x_1)<f(x_2)</math>
* Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp <math>x_1</math>,<math>x_2</math> thuộc K mà <math>x_1</math> nhỏ hơn <math>x_2</math> thì <math>f(x_1)</math> lớn hơn <math>f(x_2)</math>, tức là: <math>\forall x_1<x_2, \rightarrow f(x_1)>f(x_2)</math>

=== Tính chẵn lẻ ===

==== Điều kiện để một hàm số chẵn hoặc lẻ ====
Cho hàm số y=f(x) xác định trên D

# Điều kiện tiên quyết để hàm số có tính chẵn lẻ là tập xác định của hàm số phải đối xứng qua điểm 0, tức là <math>\forall x\in D, -x\in D</math>
# Để hàm số được xem là chẵn cần thêm điều kiện f(-x) = f(x)
# Để hàm số được xem là lẻ cần thêm điều kiện f(-x) = -f(x)
# Nếu thiếu điều kiện 1 hoặc cả hai điều kiện 2 và 3 thì xem như hàm số không có tính chẵn lẻ.

==== Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ ====
Trong [[hệ tọa độ Descartes|mặt phẳng tọa độ Descartes]]:

* Đồ thị của mọi hàm số chẵn đều nhận trục Oy làm trục đối xứng.
* Đồ thị của mọi hàm số lẻ đều nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

==Tham khảo==
{{tham khảo}}

== Chú thích ==
<references group="note" />
{{Kiểm soát tính nhất quán}}
{{Đại số}}

[[Thể loại:Hàm số và ánh xạ]]
[[Thể loại:Khái niệm cơ bản trong lý thuyết tập hợp]]
[[Thể loại:Toán học sơ cấp]]
[[Thể loại:Thuật ngữ toán học]]