Xem mã nguồn của Hàm sinc

[[Tập tin:Sinc function (both).svg|nhỏ|350px|phải|Hàm sinc chuẩn (xanh) và hàm sinc không chuẩn (đỏ) trên cùng một hệ trục tọa độ từ ''x'' = −6π đến 6π.]]
Trong [[toán học]], '''hàm sinc''', ký hiệu là sinc(''x'') hoặc đôi khi là Sa(''x''), là một hàm [[giải tích]] có hai định nghĩa tương đương tương tự nhau.<ref name="dlmf">{{dlmf|title=Numerical methods|id=3.3}}</ref> Trong [[xử lý tín hiệu số]], ''hàm số sinc chuẩn'' được định nghĩa là

:<math>\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}</math>.

Nó được xem là định nghĩa chuẩn vì tất cả các giá trị của hàm tại các điểm ''x'' nguyên là bằng nhau.

Trong toán học, khái niệm ''hàm sinc không chuẩn'' còn được gọi là ''si(x)'' được định nghĩa là

:<math>\mathrm{si}(x) = \frac{\sin(x)}{x}</math>.

Điểm khác nhau duy nhất giữa hai định nghĩa là sự nhân giá trị của biến với thừa số [[pi|π]]. Trong cả hai trường hợp, giá trị của hàm số tại điểm kì dị 0 được hiểu là có giá trị giới hạn bằng 1.

::<math>\lim_{x\to 0}\mathrm{sinc}(x)=1</math>.

Khái niệm "sinc" ({{IPA|en|ˈsɪŋk}}) được viết tắt từ tên đầy đủ hàm này trong tiếng Latin là ''sinus cardinalis'', do Phillip M. Woodward đưa ra lần đầu tiên vào năm 1953.<ref>{{chú thích sách|first=Charles A. |last=Poynton|title=Digital video and HDTV|url=https://archive.org/details/digitalvideohdtv00poyn_596 |page=[https://archive.org/details/digitalvideohdtv00poyn_596/page/n153 147]|publisher= Morgan Kaufmann Publishers|year= 2003| isbn =1558607927}}</ref><ref>{{chú thích sách|first=Phillip M. |last=Woodward|title=Probability and information theory, with applications to radar|url=https://archive.org/details/probabilityinfor00wood |page=[https://archive.org/details/probabilityinfor00wood/page/n40 29]|location=London|publisher= Pergamon Press|year= 1953|oclc=488749777|isbn=0890061033}}.</ref><ref>Also apparently earlier in; {{chú thích tạp chí| last1=Woodward|first1=  P. M.|last2= Davies|first2= I. L. |url=http://ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp?reload=true&arnumber=5241361|title=Information theory and inverse probability in telecommunication|journal=Proceedings of the IEE - Part III: Radio and Communication Engineering|volume=99|issue=58|pages=37–44|date= March 1952| doi=10.1049/pi-3.1952.0011}}</ref>

==Giao với trục hoành==
[[Hình:Si cos.svg|nhỏ|350px|phải|Cực đại và cực tiểu của hàm si(x) không chuẩn ứng với các giá trị x tại giao điểm của hàm si(x)và cos(x). Đồ thị hàm sinc màu đỏ, đồ thị hàm cosin màu xanh.]]
Hàm sinc không chuẩn cắt trục hoành tại những điểm là bội số của ''kπ'', với ''k'' là số nguyên khác 0, và đạt cực trị tại các điểm giao với [[hàm lượng giác|hàm số cosin]], tức là những điểm ''x=ξ'' và sin(ξ)/ξ = cos(ξ), lúc đó thì đạo hàm của <code>[sin(''x'')/''x'']' = 0</code>.

:<math>\operatorname{si}(x) = \frac{\sin (x)}{x}=0</math> với <math> \ x \in \{n\pi \ | \ n \in \{\pm 1,\pm 2, \dots \} \}</math>

:<math>\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin (\pi x)}{\pi x}=0</math> với <math> \ x \in \{\pm 1,\pm 2,\dots \}</math>

==Biến đổi==
Hàm sinc chuẩn có thể biến đổi như sau:
:<math>\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)\,\!</math>

Và cũng có thể biến đổi theo [[hàm Gamma]] <math>\Gamma(x)</math> bằng [[công thức Euler]] áp dụng cho hàm chẳn:
:<math>\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)}.\,\!</math>

Cũng theo công thức [[Leonhard Euler|Euler]]:
:<math>\frac{\sin(x)}{x} = \prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{2^n}\right).</math>

[[Chuỗi Taylor]]:
:<math> \frac{\sin(x)}{x} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n+1)!}</math>

===Biến đổi Fourier===
[[Biến đổi Fourier]] của một hàm sinc (tần số thường) là một hàm rect(f):
:<math>\int_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}_\pi(t)e^{-2\pi i f t}\,\mathrm dt = \operatorname{rect}_1(f)</math>
Với hàm rect được định nghĩa như sau:
:<math>
\operatorname{rect}_\tau \left(t\right) = \begin{cases}1 & |t|\le\tau/2 \\ 0 & \text{khac} \end{cases} 
</math>.

Biến đổi Fourier của hàm rect trên cũng thu được một hàm sinc:
:<math> 
\mathcal F(\operatorname{rect}_\tau)(\omega)
= \frac1{\sqrt{2\pi}}\int \limits_{-\tau/2}^{\tau/2} e^{-\mathrm{i} \omega t} \,\mathrm dt 
= \frac1{\sqrt{2\pi}}\tau \operatorname{sinc}_1 \left(\frac{\omega \tau}{2} \right)
</math>.

Ứng dụng thực tế công thức này để tạo thành [[bộ lọc sinc]] như các [[bộ lọc thông thấp]] hay brick-wall. Trường hợp đặc biệt trong biến đổi Fourier này:
:<math>\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, dx = \mathrm{rect}(0) = 1\,\!</math>

là một [[tích phân suy rộng]] và không phải là một [[tích phân Lebesgue]] hội tụ, như:
:<math>\int_{-\infty}^\infty \left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right|\, dx = +\infty.</math>

Những tính chất của hàm sinc chuẩn được ứng dụng trong việc tái lập các mẫu của những hàm có giới hạn băng thông:
*Là một hàm nội suy, tức là sinc(''0'') = 1, và sinc(''k'') = 0 với k là [[số tự nhiên]] khác 0.
*Hàm ''x<sub>k</sub>''(''t'') = sinc(''t&minus;k'') (''k'' là số tự nhiên) hình thành một [[hệ cơ sở trực chuẩn]] (orthonormal basic) của các hàm có băng thông giới hạn trong không gian hàm '''L<sup>p</sup>''': '''''L'''''<sup>2</sup>('''R''') với [[tần số góc]] cao nhất ω<sub>H</sub>=π (có nghĩa là tần số chu kỳ cao nhất ƒ<sub>H</sub>=1/2).

==Đạo hàm==
Đạo hàm bậc ''n'' của hàm:
:<math>\mathrm{si}(x) = \frac{\sin (x)}{x}</math>, với ''x'' ≠ 0.
Có dạng:
:<math>\frac{\mathrm{d}^n \operatorname{si}(x)}{\mathrm{d}\,x^n} = \sum_{m=0}^n \frac{n!}{m!} (-1)^{n-m} \frac{\mathrm{d}^m \,\sin\,x}{\mathrm{d}\,x^m} \frac{1}{x^{n-m+1}}</math>

Từ đó suy ra:

:<math>\frac{\mathrm{d}\,\operatorname{si}\,x}{\mathrm{d}\,x} = \frac{\cos\,x}{x} - \frac{\sin\,x}{x^2}</math>

:<math>\frac{\mathrm{d}^2\,\operatorname{si}\,x}{\mathrm{d}\,x^2} = - \frac{\sin\,x}{x} - \frac{2\,\cos\,x}{x^2} + \frac{2\,\sin\,x}{x^3}</math>

==Cực trị==
Giá trị gần đúng của hoành độ ''x'' tại cực trị thứ ''n'' với ''n'' ≥ 1 có thể tính bằng công thức:
:<math>
x_n \approx (n+\tfrac12)\pi - \frac1{(n+\frac12)\pi}
</math>
Với giá trị ''n'' lẻ tương ứng với điểm cực tiểu, ''n'' chẳn tương ứng với điểm cực đại. Đồ thị hàm số đối xứng qua [[hệ tọa độ Descartes|trục tung]] và đạt cực đại lớn nhất tại vị trí ξ<sub>0</sub> = (0,1).

:{| class="prettytable"  style="text-align:center"
|+ Cực trị của hàm si(''x'') = sin(''x'')/''x''
|- class="hintergrundfarbe7"
!Cực đại || Cực tiểu
|-
| 0 || 
|-
| || ≈ 4,4934095 ≈ 1½π − 0,219284
|-
| ≈ 7,7252518 ≈ 2½π − 0,12873 || 
|-
| || ≈ 10,904122 ≈ 3½π − 0,091452
|-
| ≈ 14,066194 ≈ 4½π − 0,070973 || 
|-
| || ≈ 17,220755 ≈ 5½π − 0,057989
|-
| ≈ 20,371303 ≈ 6½π − 0,049049 || 
|-
| || ≈ 23,519452 ≈ 7½π − 0,042493
|-
| ≈ 26,666054 ≈ 8½π − 0,042998 || 
|-
| || ≈ 29,811599 ≈ 9½π − 0,033531
|-
| ≈ 32,956389 ≈ 10½π − 0,030334 || 
|-
| || ≈ 36,100622 ≈ 11½π − 0,0276935
|-
| ≈ 39,244432 ≈ 12½π − 0,025476  || 
|-
| || ⋯
|-
| ⋯ || 
|-
| || ≈ (2n−½)·π − ((2n−½)·π)<sup>−1</sup>
|-
| ≈ (2n+½)·π  − ((2n+½)·π)<sup>−1</sup> || 
|}
==Chú thích==
{{Tham khảo}}

==Liên kết ngoài==
*{{MathWorld|title=Sinc Function|urlname=SincFunction}}

{{DEFAULTSORT:Sinc}}
[[Thể loại:Xử lý tín hiệu]]
[[Thể loại:Hàm toán học]]