Xem mã nguồn của Hàm sinh mô men

{{Short description|Concept in probability theory and statistics}}
Trong [[lý thuyết xác suất]] và [[thống kê]], '''hàm sinh mô men''' ('''moment-generating function''' hay '''MGF''') của một [[biến ngẫu nhiên]] là một mô tả thay thế cho hàm [[phân phối xác suất]] của nó. Do đó, nó cung cấp một cách tiếp cận khác đến các kết quả phân tích dữ liệu so với làm việc trực tiếp với [[hàm mật độ xác suất]] hay [[hàm phân phối tích lũy]]. Một số kết quả đặc biệt đơn giản tồn tại cho hàm sinh mô men của các phân phối được định nghĩa bởi tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên. Tuy nhiên, không phải biến ngẫu nhiên nào cũng có hàm sinh mô men.

[[Hàm sinh]] mô men, như tên gọi, có thể được sử dụng để tính toán các [[Mô men (toán học)|mô men]] của một phân phối xác suất: mô men thứ ''n'' tại điểm 0 là đạo hàm cấp ''n'' của hàm sinh mô men tại 0.

Ngoài các phân bố giá trị thực một biến, hàm sinh mô men cũng có thể được định nghĩa cho các biến ngẫu nhiên giá trị vectơ hoặc ma trận, và còn có thể được mở rộng cho các trường hợp tổng quát hơn.

Hàm sinh mô men của một phân bố giá trị thực không nhất thiết phải tồn tại, không giống [[Hàm đặc trưng (lý thuyết xác suất)|hàm đặc trưng]]. Có một số quan hệ giữa hành vi của hàm sinh mô men của một phân phối và các tính chất của phân phối đó, chẳng hạn sự tồn tại của các mô men.

== Định nghĩa ==
Cho <math> X </math> là một [[biến ngẫu nhiên]] với [[Hàm phân phối tích lũy|hàm phân phối]] (cdf) <math>F_X</math>. Hàm sinh mô men (mgf) của <math>X</math> (hay của <math>F_X</math>), ký hiệu <math>M_X(t)</math>, được định nghĩa là

: <math> M_X(t) = \operatorname E \left[e^{tX}\right] </math>

với điều kiện là [[Giá trị kỳ vọng|kỳ vọng]] này tồn tại cho mỗi điểm <math>t</math> trong một [[Lân cận (toán học)|lân cận]] của 0. Tức là, tồn tại số <math>h>0</math> sao cho với mọi <math>t</math> trên khoảng  <math>-h<t<h</math>,   <math>\operatorname E \left[e^{tX}\right] </math> tồn tại. Nếu kỳ vọng không tồn tại trong một lân cận của điểm 0, ta nói rằng hàm sinh mô men không tồn tại.<ref>{{chú thích sách|title=Statistical Inference|url=https://archive.org/details/statisticalinfer0000case|last1=Casella|first1=George|last2=Berger|first2=Roger L.|publisher=Wadsworth & Brooks/Cole|year=1990|isbn=0-534-11958-1|page=[https://archive.org/details/statisticalinfer0000case/page/61 61]}}</ref>

Nói cách khác, hàm sinh mô men của ''X'' chính là [[Giá trị kỳ vọng|kỳ vọng]] của biến ngẫu nhiên <math> e^{tX}</math>. Tổng quát hơn, nếu <math>\mathbf X = (X_1, \ldots, X_n)^{\mathrm{T}}</math>, hay với một [[vectơ ngẫu nhiên]] <math>n</math>-chiều, và <math>\mathbf t</math> là một vectơ cố định, ta sử dụng tích vô hướng <math>\mathbf t \cdot \mathbf X = \mathbf t^\mathrm T\mathbf X</math> thay vì&nbsp;<math>tX</math>:

: <math> M_{\mathbf X}(\mathbf t) := \operatorname E \left(e^{\mathbf t^\mathrm T\mathbf X}\right).</math>

<math> M_X(0) </math> luôn tồn tại và bằng&nbsp;1. Tuy nhiên một vấn đề quan trọng với hàm sinh mô men đó là các mô men và hàm sinh mô men có thể không tồn tại, vì các tích phân không nhất thiết phải hội tụ tuyệt đối. Trong khi đó, [[Hàm đặc trưng (lý thuyết xác suất)|hàm đặc trưng]] hay biến đổi Fourier của hàm mật độ luôn tồn tại (do nó là tích phân của một hàm bị chặn trên một không gian với độ đo hữu hạn), và có thể thay vào đó được sử dụng cho một số mục đích.

Hàm sinh mô men có tên như vậy bởi vì nó có thể được sử dụng để tìm các [[Mô men (toán học)|mô men]] của phân phối.<ref>{{chú thích sách|title=Principles of Statistics|url=https://archive.org/details/principlesofstat0000bulm|last=Bulmer|first=M. G.|publisher=Dover|year=1979|isbn=0-486-63760-3|pages=[https://archive.org/details/principlesofstat0000bulm/page/75 75]–79}}</ref>  Khai triển chuỗi của <math>e^{tX}</math> là

: <math>
e^{t\,X} = 1 + t\,X + \frac{t^2\,X^2}{2!} + \frac{t^3\,X^3}{3!} + \cdots +\frac{t^n\,X^n}{n!} + \cdots.
</math>

Từ đó ta có

: <math>
\begin{align}
M_X(t) = \operatorname E (e^{t\,X}) &= 1 + t \operatorname E (X) + \frac{t^2 \operatorname E (X^2)}{2!} + \frac{t^3\operatorname E (X^3)}{3!}+\cdots + \frac{t^n\operatorname E (X^n)}{n!}+\cdots \\
& = 1 + tm_1 + \frac{t^2m_2}{2!} + \frac{t^3m_3}{3!}+\cdots + \frac{t^nm_n}{n!} + \cdots,
\end{align}
</math>

trong đó <math>m_n</math> là [[Mô men (toán học)|mô men]] cấp <math>n</math>. Lấy đạo hàm <math>M_X(t)</math> <math>i</math> lần theo biến <math>t</math> và đặt <math>t = 0</math>, ta nhận được mô men cấp thứ <math>i</math> quanh điểm gốc, <math>m_i</math>.

Nếu <math>X</math> là một biến ngẫu nhiên liên tục, quan hệ sau đây giữa hàm sinh mô men của nó <math>M_X(t)</math> và [[Phép biến đổi Laplace|biến đổi Laplace hai phía]] của hàm mật độ xác suất của nó <math>f_X(x)</math> được thỏa mãn:

: <math>
M_X(t) = \mathcal{L}\{f_X\}(-t),
</math>

bởi biến đổi Laplace hai phía của hàm mật độ được cho bằng

: <math>
\mathcal{L}\{f_X\}(s) = \int_{-\infty}^\infty e^{-sx} f_X(x)\, dx,
</math>

và hàm sinh mô men được định nghĩa mở rộng (bởi luật hàm biến ngẫu nhiên) là

: <math>
M_X(t) = \operatorname E \left[e^{tX}\right] = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f_X(x)\, dx.
</math>

[[Hàm đặc trưng (lý thuyết xác suất)|Hàm đặc trưng]] <math>\varphi_X(t)</math> có liên hệ sau với hàm sinh mô men: <math>\varphi_X(t) = M_{iX}(t) = M_X(it):</math> hàm đặc trưng chính là hàm sinh mô men của ''iX'' hay hàm sinh mô men của ''X'' khi được tính trên trục ảo.

== Ví dụ ==
Dưới đây là một số ví dụ về hàm sinh mô men và hàm đặc trưng của một số phân phối xác suất để so sánh. Có thể thấy rằng hàm đặc trưng là một phép quay Wick của hàm sinh mô men <math>M_X(t)</math> khi nó tồn tại.

: {| class="wikitable"
!Phân phối
!Hàm sinh mô men <math>M_X(t)</math>
!Hàm đặc trưng <math>\varphi (t)</math>
|-
|[[Phân phối suy biến|suy biến]] <math>\delta_a</math>
|<math>e^{ta}</math>
|<math>e^{ita}</math>
|-
|[[Phân phối Bernoulli|Bernoulli]] <math>P(X = 1) = p</math>
|<math>1 - p + pe^t</math>
|<math>1 - p + pe^{it}</math>
|-
|[[Phân phối hình học|hình học]]  <math>(1 - p)^{k-1}\,p</math>
|<math>\frac{p e^t }{1 - (1 - p) e^t}</math> <br /> <math>\forall t < -\ln(1 - p)</math>
|<math>\frac{p e^{it}}{1 - (1 - p)\,e^{it}}</math>
|-
|[[Phân phối nhị thức|nhị thức]] <math>B(n, p)</math>
|<math>\left(1 - p + pe^t\right)^n</math>
|<math>\left(1 - p + pe^{it}\right)^n</math>
|-
|[[Phân phối nhị thức âm|nhị thức âm]] <math>\operatorname{NB}(r, p)</math>
|<math>\left(\frac{p}{1 - e^t + pe^t}\right)^r, t<-\log(1-p)</math>
|<math>\left(\frac{p}{1 - e^{it} + pe^{it}}\right)^r</math>
|-
|[[Phân phối Poisson|Poisson]] <math>\operatorname{Pois}(\lambda)</math>
|<math>e^{\lambda(e^t - 1)}</math>
|<math>e^{\lambda(e^{it} - 1)}</math>
|- 
|[[Phân phối đều liên tục|đều liên tục]] <math>\operatorname U(a, b)</math>
|<math>\frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b - a)}</math>
|<math>\frac{e^{itb} - e^{ita}}{it(b - a)}</math>
|- 
|[[Phân phối đều|đều rời rạc]] <math>\operatorname{DU}(a, b)</math>
|<math>\frac{e^{at} - e^{(b + 1)t}}{(b - a + 1)(1 - e^{t})}</math>
|<math>\frac{e^{ait} - e^{(b + 1)it}}{(b - a + 1)(1 - e^{it})}</math>
|-
|[[Phân phối Laplace|Laplace]] <math>L(\mu, b)</math>
|<math>\frac{e^{t\mu}}{1 - b^2t^2}, ~ |t| < 1/b</math>
|<math>\frac{e^{it\mu}}{1 + b^2t^2}</math>
|-
|[[Phân phối chuẩn|chuẩn]] <math>N(\mu, \sigma^2)</math>
|<math>e^{t\mu + \frac{1}{2}\sigma^2t^2}</math>
|<math>e^{it\mu - \frac{1}{2}\sigma^2t^2}</math>
|-
|[[Phân phối chi-bình phương|chi-bình phương]] <math>\chi^2_k</math>
|<math>(1 - 2t)^{-\frac{k}{2}}</math>
|<math>(1 - 2it)^{-\frac{k}{2}}</math>
|-
|[[Phân phối chi-bình phương phi trung tâm|chi-bình phương phi trung tâm]] <math>\chi^2_k(\lambda)</math>
|<math>e^{\lambda t/(1-2t)}(1 - 2t)^{-\frac{k}{2}}</math>
|<math>e^{i\lambda t/(1-2it)}(1 - 2it)^{-\frac{k}{2}}</math>
|-
|[[Phân phối Gamma|Gamma]] <math>\Gamma(k, \theta)</math>
|<math>(1 - t\theta)^{-k}, ~ \forall t < \tfrac{1}{\theta}</math>
|<math>(1 - it\theta)^{-k}</math>
|-
|[[Phân phối mũ|mũ]] <math>\operatorname{Exp}(\lambda)</math>
|<math>\left(1 - t\lambda^{-1}\right)^{-1}, ~ t < \lambda</math>
|<math>\left(1 - it\lambda^{-1}\right)^{-1}</math>
|-
|[[Phân phối chuẩn nhiều chiều|chuẩn nhiều chiều]] <math>N(\mathbf{\mu}, \mathbf{\Sigma})</math>
|<math>e^{\mathbf{t}^\mathrm{T} \left(\boldsymbol{\mu} + \frac{1}{2} \mathbf{\Sigma t}\right)}</math>
|<math>e^{\mathbf{t}^\mathrm{T} \left(i \boldsymbol{\mu} - \frac{1}{2} \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{t}\right)}</math>
|-
|[[Phân phối Cauchy|Cauchy]] <math>\operatorname{Cauchy}(\mu, \theta)</math>
|[[Dạng vô định|không tồn tại]]
|<math>e^{it\mu - \theta|t|}</math>
|-
|[[Phân phối Cauchy nhiều chiều|Cauchy nhiều chiều]] 
<math>\operatorname{MultiCauchy}(\mu, \Sigma)</math><ref>Kotz et al.{{full citation needed|date=December 2019}} p. 37 using 1 as the number of degree of freedom to recover the Cauchy distribution</ref>
|không tồn tại
|<math>\!\, e^{i\mathbf{t}^{\mathrm{T}}\boldsymbol\mu - \sqrt{\mathbf{t}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\Sigma} \mathbf{t}}}</math>
|-
|}

== Tính toán ==
Hàm sinh mô men là kỳ vọng của một hàm của biến ngẫu nhiên, nó có thể được viết dưới dạng:

* Đối với một [[hàm khối xác suất]] rời rạc, <math>M_X(t)=\sum_{i=0}^\infty e^{tx_i}\, p_i</math>
* Đối với một [[hàm mật độ xác suất]] liên tục, <math> M_X(t)  = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,dx </math>
* Trong trường hợp tổng quát: <math>M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx}\,dF(x)</math>, sử dụng [[tích phân Riemann–Stieltjes]], và trong đó <math>F</math> là [[hàm phân phối tích lũy]]. Đây chỉ đơn giản là [[biến đổi Laplace-Stieltjes]] của <math>F</math>, nhưng với dấu của đối số ngược lại.

Chú ý rằng đối với trường hợp mà <math>X</math> có [[hàm mật độ xác suất]] liên tục <math>f(x)</math>, thì  <math>M_X(-t)</math> là [[biến đổi Laplace]] hai phía của <math>f(x)</math>.

: <math>
\begin{align}
M_X(t) & = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,dx \\
& = \int_{-\infty}^\infty \left(1+ tx + \frac{t^2x^2}{2!} + \cdots + \frac{t^nx^n}{n!} + \cdots\right) f(x)\,dx \\
& = 1 + tm_1 + \frac{t^2m_2}{2!} +\cdots + \frac{t^nm_n}{n!} +\cdots,
\end{align}
</math>

trong đó <math>m_n</math> là [[Mô men (toán học)|mô men]] cấp thứ <math>n</math>.

=== Biến đổi tuyến tính của các biến ngẫu nhiên ===
Nếu biến ngẫu nhiên <math>X</math> có hàm sinh mô men <math>M_X(t)</math>, thì <math>\alpha X + \beta</math> có hàm sinh mô men <math>M_{\alpha X + \beta}(t) = e^{\beta t}M_X(\alpha t)</math>

: <math>
M_{\alpha X + \beta}(t) = E[e^{(\alpha X + \beta)t}] = e^{\beta t}E[e^{\alpha Xt}] = e^{\beta t}M_X(\alpha t)
</math>

=== Tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên độc lập ===
Nếu <math>S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i X_i</math>, trong đó các ''X''<sub>''i''</sub>  là các biến ngẫu nhiên độc lập và các ''a''<sub>''i''</sub> là hằng số, thì hàm mật độ xác suất của ''S''<sub>''n''</sub> là [[tích chập]] của các hàm mật độ tương ứng của mỗi ''X''<sub>''i''</sub>, và hàm sinh mô men của ''S''<sub>''n''</sub> được cho bởi:

: <math>
M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_1t)M_{X_2}(a_2t)\cdots M_{X_n}(a_nt) \, .
</math>
<!----------
Below was lifted from [[generating function]]... there should be an 
analog for the moment-generating functionbuted with common probability-generating function ''G''<sub>X</sub>, then

::<math>G_{S_N}(z) = G_N(G_X(z)).</math>
-------->

=== Biến ngẫu nhiên giá trị vectơ ===
Đối với [[Random vector|biến ngẫu nhiên giá trị vectơ]] <math>\mathbf X</math> với các thành phần [[Số thực|thực]], hàm sinh mô men được cho bởi:

: <math> M_X(\mathbf t) = E\left(e^{\langle \mathbf t, \mathbf X \rangle}\right) </math>

trong đó <math>\mathbf t</math> là một vectơ và <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> là [[tích vô hướng]].

== Tính chất quan trọng ==

Hàm sinh mô men là dương và [[Hàm lồi logarit|lồi logarit]], với ''M''(0) = 1.

Một tính chất quan trọng của hàm sinh mô men đó là nó xác định duy nhất phân phối xác suất. Nói cách khác, nếu <math>X</math> và <math>Y</math> là hai biến ngẫu nhiên và với mọi giá trị của&nbsp;''t'', ta có

: <math>M_X(t) = M_Y(t),\, </math>

thì

: <math>F_X(x) = F_Y(x) \, </math>

đối với mọi giá trị của ''x'' (hay một cách tương đương là ''X'' và ''Y'' có cùng phân phối xác suất). Tuy nhiên, phát biểu này không tương đuơng với phát biểu "nếu hai phân phối có các mô men giống nhau thì chúng bằng nhau tại mọi điểm." Điều này là do trong một số trường hợp, các mô men tồn tại nhưng hàm sinh mô men thì không, bởi vì giới hạn

: <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^n \frac{t^im_i}{i!}</math>

có thể không tồn tại. [[Phân phối log-chuẩn]] là một ví dụ về khi điều này xảy ra.
<!--
If the moment generating function is defined on such an interval, then it uniquely determines a probability distribution. -->

=== Tính toán các mô men ===
Hàm sinh mô men có tên gọi như vậy bởi vì nếu nó tồn tại trên một khoảng mở quanh ''t''&nbsp;=&nbsp;0, thì nó là [[hàm sinh lũy thừa]] của các [[Mô men (toán học)|mô men]] của [[phân phối xác suất]]:

: <math>m_n = E \left(X^n \right) = M_X^{(n)}(0) = \left. \frac{d^n M_X}{dt^n}\right|_{t=0}.</math>

Điều này tức là, với ''n'' là một số nguyên không âm, [[Mô men (toán học)|mô men gốc]] cấp thứ ''n'' (tại điểm 0) chính là đạo hàm cấp ''n'' của hàm sinh mô men, tính ở điểm ''t'' = 0.

:

== Tham khảo ==
{{More footnotes|date=February 2010}}

=== Trích dẫn ===
{{tham khảo}}

=== Nguồn ===
{{Refbegin}}
* {{chú thích sách|title=Statistical Inference|last1=Casella|first1=George|last2=Berger|first2=Roger|year=2002|isbn=978-0-534-24312-8|edition=2nd|pages=59–68}}
{{Refend}}

{{Clear}}

{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Moment-Generating Function}}
[[Thể loại:Mô men (toán học)]]
[[Thể loại:Hàm sinh]]
[[Thể loại:Lý thuyết xác suất]]