Xem mã nguồn của Hàm zeta Riemann

{{Thông tin hàm số toán học|domain=<math>\Complex\setminus\{1\}</math>|codomain=<math>\Complex</math>|image=File:Riemann-Zeta-Func.png|zero=<math>-\frac{1}{2}</math>|plusinf=<math>1</math>|vr1=<math>2</math>|f1=<math>\frac{\pi^2}{6}</math>|vr2=<math>-1</math>|f2=<math>-{1\over12}</math>|vr3=<math>-2</math>|f3=<math>0</math>}}
[[Tập tin:Riemann-Zeta-Detail.png|phải|nhỏ|469x469px| Điểm kì dị tại <math>z=1</math> và hai không điểm trên đường tới hạn.]]
'''Hàm''' '''zeta Riemann''' hoặc '''hàm zeta Euler-Riemann''', {{Math|''ζ''(''s'')}}, là một [[hàm số]] một biến [[Số phức|phức]], là kết quả [[thác triển giải tích]] của chuỗi Dirichlet

: <math>\zeta(s) =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}</math>

Chuỗi này hội tụ khi phần [[Số phức|thực]] của {{Mvar|s}} lớn hơn 1. Thác triển giải tích tối đại của nó được xác định trên toàn bộ mặt phẳng phức trừ điểm 1. Hàm zeta Riemann đóng vai trò then chốt trong [[lý thuyết số giải tích]] và có các ứng dụng trong [[Vật lý học|vật lý]], [[lý thuyết xác suất]] và [[thống kê]] ứng dụng.

== Định nghĩa ==
[[Tập tin:Ueber_die_Anzahl_der_Primzahlen_unter_einer_gegebenen_Grösse.pdf|nhỏ|300x300px| Bài báo của Bernhard Riemann ''Về số lượng các số nguyên tố dưới một độ lớn nhất định''.]]
Hàm zeta Riemann {{Math|''ζ''(''s'')}} là một hàm số một biến phức {{Math|''s'' {{=}} ''σ'' + ''i t''}}.

Đối với trường hợp đặc biệt <math>\,\mathfrak{Re}(s) \equiv \sigma > 1\,</math>, hàm zeta có thể được biểu thị bằng tích phân sau:

: <math> \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{x ^ {s-1}}{e ^ x - 1} \, \mathrm{d}\,x \quad \text{ với } \quad \mathfrak{Re}(s) \equiv \sigma > 1</math>

trong đó

: <math>\Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1}\,e^{-x} \, \mathrm{d}\,x </math>

là [[hàm gamma]].

Trong trường hợp {{Math|''σ'' > 1}}, tích phân trên luôn hội tụ, và có thể được đơn giản hóa bằng [[Chuỗi (toán học)|chuỗi vô hạn]]:

: <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots \quad \text{ với } \quad \sigma \equiv \mathfrak{Re}(s) > 1\,.</math>

Hàm zeta Riemann được định nghĩa là [[thác triển giải tích]] của hàm trên.

Với {{Math|''s'' {{=}} 1}}, chuỗi trên là chuỗi điều hòa phân kỳ và

: <math> \lim_{s \to 1}~(s - 1)\,\zeta(s) = 1\,.</math>

Như vậy hàm zeta Riemann là một [[hàm phân hình]] trên toàn bộ mặt phẳng phức với một cực đơn tại {{Math|''s'' {{=}} 1}} có [[Thặng dư (giải tích phức)|thặng dư]] bằng 1.

== Giá trị cụ thể ==
Với mọi số nguyên dương chẵn {{Math|2''n''}}:

: <math> \zeta(2n) = \frac{(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}</math>

trong đó {{Math|''B''<sub>2''n''</sub>}} là [[số Bernoulli]]  thứ {{Math|2''n''}}.

Thông qua [[thác triển giải tích]], người ta có thể chỉ ra rằng:

* <math>\zeta(-1) = -\tfrac{1}{12}</math>
* <math>\zeta(0) = -\tfrac{1}{2};</math>
* <math>\zeta(1) = 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \cdots = \infty;</math>
* <math>\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.64493 40668 48226 43647;\!</math>&nbsp;
* <math>\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} \approx 1.08232 32337 11138 19152;</math>&nbsp;

:: Giá trị này xuất hiện khi tích phân [[định luật Planck]] để rút ra [[Định luật Stefan–Boltzmann|định luật Stefan-Boltzmann]] trong vật lý.

== Công thức tích Euler ==
Liên hệ giữa hàm zeta và [[số nguyên tố]] được phát hiện bởi Euler, người đã chứng minh đồng nhất thức

: <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ nguyên tố}} \frac{1}{1-p^{-s}},</math>

:

== Phương trình hàm Riemann ==
Hàm zeta thỏa mãn phương trình hàm sau đây:

: <math>\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s),</math>

trong đó {{Math|Γ(''s'')}} là [[hàm gamma]].

== Không điểm, đường tới hạn và giả thuyết Riemann ==
[[Tập tin:Zero-free_region_for_the_Riemann_zeta-function.svg|phải|nhỏ|300x300px| Ngoài các không điểm tầm thường, hàm zeta Riemann không có không điểm ở bên phải của {{Math|''σ'' {{=}} 1}} và bên trái của {{Math|''σ'' {{=}} 0}}.]]
[[Tập tin:Zeta_polar.svg|phải|nhỏ|300x300px| Đồ thị của hàm zeta Riemann dọc theo đường tới hạn cho các giá trị thực của {{Mvar|t}} chạy từ 0 đến 34. Năm không điểm đầu tiên trong dải tới hạn có thể nhìn thấy rõ là nơi mà các vòng xoắn đi qua gốc tọa độ.]]
[[Tập tin:RiemannCriticalLine.svg|nhỏ|300x300px| Phần thực (màu đỏ) và phần ảo (màu xanh) của hàm zeta Riemann zeta dọc theo đường tới hạn Re (''s'') = 1/2. Các không điểm không tầm thường đầu tiên có thể được nhìn thấy tại Im (''s'') = ± 14.135, ± 21.022 và ± 25.011.]]
Phương trình hàm Riemann cho thấy hàm zeta Riemann có các không điểm tại {{Nowrap|−2, −4,…}}. Chúng được gọi là '''không điểm tầm thường'''. Chúng tầm thường theo nghĩa sự tồn tại của chúng tương đối dễ chứng minh, ví dụ, từ {{Math|sin {{sfrac|π''s''|2}}}} bằng 0 trong phương trình hàm (lưu ý rằng các không điểm dương của hàm sin bị triệt tiêu bởi các cực điểm của hàm gamma).

Người ta biết rằng bất kỳ không điểm không tầm thường nào đều nằm trong dải mở {{Math|{''s'' ∈ '''ℂ''': 0 < Re(''s'') < 1<nowiki>}</nowiki>}}, được gọi là '''dải tới hạn.''' [[Giả thuyết Riemann]], được coi là một trong những vấn đề chưa được giải quyết lớn nhất trong toán học, khẳng định rằng bất kỳ không điểm không tầm thường {{Mvar|s}} nào đều thỏa mãn {{Math|Re(''s'') {{=}} {{sfrac|1|2}}}}. Trong lý thuyết về hàm zeta Riemann, tập {{Math|{''s'' ∈ '''ℂ''': Re(''s'') {{=}} {{sfrac|1|2}}<nowiki>}</nowiki>}} &nbsp; được gọi là '''đường tới hạn'''.

== Ghi chú ==
{{Tham khảo|30em}}

== Tham khảo ==

* Apostol, T. M. (2010), "Zeta and Related Functions",  in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
* {{Chú thích tạp chí|last=Borwein|first=Jonathan|last2=Bradley|first2=David M.|last3=Crandall|first3=Richard|author-link3=Richard Crandall|year=2000|title=Computational Strategies for the Riemann Zeta Function|url=http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/borwein1.pdf|journal=J. Comp. App. Math.|volume=121|issue=1–2|pages=247–296|bibcode=2000JCoAM.121..247B|doi=10.1016/S0377-0427(00)00336-8|access-date=2020-07-26|archive-date=2006-09-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20060925091659/http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/borwein1.pdf}}
* {{Chú thích tạp chí|last=Cvijović|first=Djurdje|last2=Klinowski|first2=Jacek|year=2002|title=Integral Representations of the Riemann Zeta Function for Odd-Integer Arguments|journal=J. Comp. App. Math.|volume=142|issue=2|pages=435–439|bibcode=2002JCoAM.142..435C|doi=10.1016/S0377-0427(02)00358-8|mr=1906742}}
* {{Chú thích tạp chí|last=Cvijović|first=Djurdje|last2=Klinowski|first2=Jacek|year=1997|title=Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms|journal=Proc. Amer. Math. Soc.|volume=125|issue=9|pages=2543–2550|doi=10.1090/S0002-9939-97-04102-6|doi-access=free}}
* {{Chú thích sách|url=https://archive.org/details/riemannszetafunc00edwa_0|title=Riemann's Zeta Function|last=Edwards|first=H. M.|publisher=Academic Press|year=1974|isbn=0-486-41740-9|author-link=Harold Edwards (mathematician)|url-access=registration}} Has an English translation of Riemann's paper.
* {{Chú thích tạp chí|last=Hadamard|first=Jacques|author-link=Jacques Hadamard|year=1896|title=Sur la distribution des zéros de la fonction {{math|''ζ''(''s'')}} et ses conséquences arithmétiques|url=|journal=Bulletin de la Société Mathématique de France|volume=14|issue=|pages=199–220|doi=10.24033/bsmf.545|doi-access=free}}
* {{Chú thích sách|title=Divergent Series|url=https://archive.org/details/dli.ernet.285939|last=Hardy|first=G. H.|publisher=Clarendon Press, Oxford|year=1949|author-link=G. H. Hardy}}
* {{Chú thích tạp chí|last=Hasse|first=Helmut|author-link=Helmut Hasse|year=1930|title=Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche {{mvar|ζ}}-Reihe|journal=Math. Z.|volume=32|pages=458–464|doi=10.1007/BF01194645|mr=1545177}} (Globally convergent series expression.)
* {{Chú thích sách|title=The Riemann Zeta Function|last=Ivic|first=A.|publisher=John Wiley & Sons|year=1985|isbn=0-471-80634-X}}
* {{Chú thích sách|title=Spectral Theory of the Riemann Zeta-Function|url=https://archive.org/details/spectraltheoryof0000moto|last=Motohashi|first=Y.|publisher=Cambridge University Press|year=1997|isbn=0521445205}}
* {{Chú thích sách|title=The Riemann Zeta-Function|last=Karatsuba|first=A. A.|last2=Voronin|first2=S. M.|publisher=W. de Gruyter|year=1992|location=Berlin|author-link=A. A. Karatsuba}}
* {{Chú thích tạp chí|last=Mező|first=István|last2=Dil|first2=Ayhan|year=2010|title=Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function|journal=Journal of Number Theory|volume=130|issue=2|pages=360–369|doi=10.1016/j.jnt.2009.08.005|mr=2564902}}
* {{Chú thích sách|title=Multiplicative number theory. I. Classical theory|last=Montgomery|first=Hugh L.|last2=Vaughan|first2=Robert C.|publisher=Cambridge University Press|year=2007|isbn=978-0-521-84903-6|series=Cambridge tracts in advanced mathematics|volume=97|at=Ch. 10|author-link=Hugh Montgomery (mathematician)|author-link2=Robert Charles Vaughan (mathematician)}}
* {{Chú thích sách|title=Analytic number theory|last=Newman|first=Donald J.|publisher=Springer-Verlag|year=1998|isbn=0-387-98308-2|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|volume=177|at=Ch. 6|author-link=Donald J. Newman}}
* {{Chú thích tạp chí|last=Raoh|first=Guo|year=1996|title=The Distribution of the Logarithmic Derivative of the Riemann Zeta Function|journal=Proceedings of the London Mathematical Society|volume=s3–72|pages=1–27|arxiv=1308.3597|doi=10.1112/plms/s3-72.1.1}}
* {{Chú thích tạp chí|last=Riemann|first=Bernhard|year=1859|title=Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse|url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/|journal=Monatsberichte der Berliner Akademie}}. In ''Gesammelte Werke'', Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
* {{Chú thích tạp chí|last=Sondow|first=Jonathan|year=1994|title=Analytic continuation of Riemann's zeta function and values at negative integers via Euler's transformation of series|url=http://www.ams.org/journals/proc/1994-120-02/S0002-9939-1994-1172954-7/S0002-9939-1994-1172954-7.pdf|journal=Proc. Amer. Math. Soc.|volume=120|issue=2|pages=421–424|doi=10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7}}
* {{Chú thích sách|title=The Theory of the Riemann Zeta Function|last=Titchmarsh|first=E. C.|publisher=Oxford University Press|year=1986|editor-last=Heath-Brown|edition=2nd rev.|author-link=Edward Charles Titchmarsh}}
* {{Chú thích sách|title=A Course in Modern Analysis|last=Whittaker|first=E. T.|last2=Watson|first2=G. N.|date=1927|publisher=Cambridge University Press|edition=4th|at=Ch. 13|author-link=E. T. Whittaker|author-link2=G. N. Watson}}
* {{Chú thích tạp chí|last=Zhao|first=Jianqiang|year=1999|title=Analytic continuation of multiple zeta functions|journal=Proc. Amer. Math. Soc.|volume=128|issue=5|pages=1275–1283|doi=10.1090/S0002-9939-99-05398-8|mr=1670846|doi-access=free}}

== Liên kết ngoài ==

* {{SpringerEOM|title=Zeta-function|id=p/z099260}}
* [http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html Riemann Zeta Function, in Wolfram Mathworld] — an explanation with a more mathematical approach
* [http://dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables Tables of selected zeros] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090517003700/http://dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/ |date=2009-05-17 }}
* [https://web.archive.org/web/20080721030342/http://seedmagazine.com/news/2006/03/prime_numbers_get_hitched.php Prime Numbers Get Hitched] A general, non-technical description of the significance of the zeta function in relation to prime numbers.
* [[arxiv:math/0309433v1|X-Ray of the Zeta Function]] Visually oriented investigation of where zeta is real or purely imaginary.
* [http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta/ Formulas and identities for the Riemann Zeta function] functions.wolfram.com
* [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_807.htm Riemann Zeta Function and Other Sums of Reciprocal Powers], section 23.2 of Abramowitz and Stegun
* {{Chú thích web|url=https://www.youtube.com/watch?v=d6c6uIyieoo|tựa đề=Million Dollar Math Problem|tác giả=Frenkel|tên=Edward|lk tác giả=Edward Frenkel|nhà xuất bản=[[Brady Haran]]|định dạng=video|ngày truy cập=ngày 11 tháng 3 năm 2014}}
* [http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/~riedelmo/papers/rfeq.pdf Mellin transform and the functional equation of the Riemann Zeta function]—Computational examples of Mellin transform methods involving the Riemann Zeta Function

[[Thể loại:Lý thuyết số giải tích]]
[[Thể loại:Bernhard Riemann]]