Xem mã nguồn của Hình cụt

{{infobox
| class       = vcard
| style       = 
| titleclass  = fn org
| title       = Hình cụt 
| image       = [[Tập tin:Pentagonal_frustum.svg|150px]][[Tập tin:Usech_kvadrat_piramid.png|150px]]
| caption     = Ví dụ hình cụt có mặt đáy và đỉnh là ngũ giác, và tứ giác.
| header1 = {{Infobox | decat = yes | child = yes
    | title = 
    | label1= Số mặt
    | data1 = ''n'' mặt hình thang, 2 mặt đáy và đỉnh là đa giác ''n'' cạnh
    | label2= Số cạnh
    | data2 = 3''n''
    | label3= Số đỉnh
    | data3 = 2''n''
    | label4= Nhóm đối xứng
    | data4 = C<sub>''n''v</sub>, [1,''n''], (*''nn'')
    | label5= Tính chất
    | data5 = Đa diện lồi
   }}
}}

Trong [[hình học]], '''hình cụt''' là một phần của [[đa diện|khối đa diện]] (thường là [[mặt nón|hình nón]] hoặc [[hình chóp]]) nằm giữa một hoặc hai mặt phẳng [[song song]] cắt qua nó. '''Hình cụt vuông''' là khối nằm giữa mặt phẳng song song với mặt đáy của [[hình chóp|hình chóp vuông]].<ref>William F. Kern, James R Bland,''Solid Mensuration with proofs'', 1938, p.67</ref>

Hình cụt xuất hiện nhiều trong các lĩnh vực, như trong [[đồ họa máy tính]], [[hình chóp cụt quan sát]] là một vùng không gian ba chiều mô phỏng phong cảnh xuất hiện trên màn hình.

Trong [[Hãng sản xuất hàng không vũ trụ|công nghiệp sản xuất hàng không vũ trụ]], lớp vỏ chứa giữa hai tầng của một [[tên lửa nhiều tầng]] (như [[Saturn V]]) là một hình nón cụt.

Nếu các cạnh bên của hình cụt bằng nhau thì nó trở thành [[hình lăng trụ]] đều.

==Các thành phần, trường hợp đặc biệt và khái niệm liên quan==
[[tập tin:Square frustum.png|nhỏ|200px|Hình cụt vuông]]
[[tập tin:Triangulated monorectified tetrahedron.png|nhỏ|200px|Hình cụt tam giác đều tạo ra từ một [[đa diện tám mặt]] đều.]]
Mỗi một trong hai mặt phẳng song song là mặt đáy trên hoặc mặt đáy dưới của hình cụt. Nếu nó có một trục, thì đó là trục của hình nón hoặc hình chóp ban đầu. Một khối gọi là hình chóp cụt tròn nếu nó có hai mặt trên và mặt dưới là hình tròn; nó là hình cụt vuông nếu trục của nó vuông góc với cả hai mặt trên và mặt dưới, còn trong trường hợp khác gọi là hình cụt xiên.

Chiều cao của hình cụt là khoảng cách vuông góc giữa hai mặt phẳng đáy trên và đáy dưới.

Các hình nón và hình chóp có thể coi như là một trường hợp đặc biệt của hình cụt, khi một trong các mặt trên hoặc dưới suy biến thành một điểm.

==Công thức tính==

===Thể tích===
Công thức tính [[thể tích]] của hình chóp cụt cắt ra từ hình chóp vuông đã được các nhà toán học Ai Cập cổ đại tìm ra trong khoảng triều đại thứ 13 (khoảng thế kỷ 1850)nêu trong cuộn giấy Moscow (Moscow Mathematical Papyrus):
:<math>V = \frac{1}{3} h(a^2 + a b +b^2).</math>
với ''a'' và ''b'' là các cạnh của mặt đáy và mặt trên của hình chóp cụt vuông, và ''h'' là [[chiều cao]].
Người Ai Cập cổ đại đã biết đến công thức chính xác tính thể tích của hình chóp cụt vuông cắt ra từ hình chóp vuông, nhưng họ đã không để lại một chứng minh nào cho công thức này trong cuộn giấy Moscow.

Thể tích của hình nón cụt hoặc hình cụt bằng thể tích của khối trước khi bị cắt trừ đi thể tích phần đỉnh bị cắt:
:<math>V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3}</math>
với ''B''<sub>1</sub> là diện tích mặt đáy, ''B''<sub>2</sub> là diện tích mặt đỉnh, và ''h''<sub>1</sub>, ''h''<sub>2</sub> là [[chiều cao]] vuông góc từ đỉnh đến hai mặt đáy dưới và đáy trên.

Nhận thấy rằng
:<math>\frac{B_1}{h_1^2}=\frac{B_2}{h_2^2}=\frac{\sqrt{B_1 B_2}}{h_1 h_2} = \alpha</math>
công thức thể tích có thể biểu diễn bằng tích của tỉ số α/3 và hiệu lập phương của hai [[chiều cao]] ''h''<sub>1</sub> và ''h''<sub>2</sub>.
:<math>V = \frac{h_1 a h_1^2 - h_2 a h_2^2}{3} = \frac{a}{3}(h_1^3 - h_2^3)</math>

Bằng cách phân tích hiệu của hai lập phương (a<sup>3</sup> - b<sup>3</sup> = (a-b)(a<sup>2</sup> + ab + b<sup>2</sup>)) thu được ''h''<sub>1</sub>−''h''<sub>2</sub> = ''h'', [[chiều cao]] của hình chóp cụt và α(''h''<sub>1</sub><sup>2</sup> + ''h''<sub>1</sub>''h''<sub>2</sub> + ''h''<sub>2</sub><sup>2</sup>)/3.

Thay α vào công thức trên, ta thu được công thức tính thể tích dạng Heron cho chóp cụt theo diện tích hai đáy và [[chiều cao]]:
:<math>V = \frac{h}{3}(B_1+\sqrt{B_1 B_2}+B_2)</math>
[[Heron của Alexandria]] đã tìm ra dạng công thức trên và gặp đến vấn đề [[số ảo]], căn bậc hai của một số âm.<ref>Nahin, Paul."An Imaginary Tale: The story of [the square root of minus one]."Princeton University Press. 1998</ref>

Đặc biệt, công thức tính thể tích của hình nón cụt là 
:<math>V = \frac{\pi h}{3}(R_1^2+R_1 R_2+R_2^2)</math>
với [[pi|''π'']] bằng 3,14159265..., và ''R''<sub>1</sub>, ''R''<sub>2</sub> là các [[bán kính]] của hai đáy.

[[tập tin:Frustum with symbols.svg|right|miniatur|x200px|Hình lăng trụ cụt.]]
Thể tích của hình cụt có các mặt trên và dưới là đa giác đều ''n'' cạnh bằng
:<math>V= \frac{n h}{12} (a_1^2+a_1a_2+a_2^2)\cot \frac{\pi}{n}</math>
với ''a''<sub>1</sub> và ''a''<sub>2</sub> lần lượt là các cạnh của hai đa giác đều đáy trên và đáy dưới.

===Diện tích bề mặt===
Đối với hình cụt nón vuông<ref>{{chú thích web |url=http://www.mathwords.com/f/frustum.htm |title=Mathwords.com: Frustum |access-date =ngày 17 tháng 7 năm 2011}}</ref>
:<math>\begin{align}\text{Diện tích mặt bên}&=\pi(R_1+R_2)s\\
&=\pi(R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}\end{align}</math>
và
:<math>\begin{align}\text{Tổng diện tích}&=\pi((R_1+R_2)s+R_1^2+R_2^2)\\
&=\pi((R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}+R_1^2+R_2^2)\end{align}</math>
với ''R''<sub>1</sub> và ''R''<sub>2</sub> lần lượt là bán kính của các mặt dưới và mặt trên, và ''s'' độ dài của đường dốc của hình cụt nón.

Diện tích bề mặt của hình cụt vuông mà các đáy là hai đa giác đều ''n'' đỉnh bằng
:<math>A= \frac{n}{4}\left[(a_1^2+a_2^2)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{(a_1^2-a_2^2)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2(a_1+a_2)^2} \right]</math>
với ''a''<sub>1</sub> và ''a''<sub>2</sub> lần lượt là các cạnh của hai đáy.

== Ví dụ ==

*Tòa nhà [[John Hancock Center]] ở [[Chicago]], [[Illinois]] là hình cụt có đáy là [[hình chữ nhật]].
*[[Tượng đài Washington]] là một cột tháp hình cụt có đỉnh là một kim tự tháp nhỏ.
*Hình chóp cụt quan sát (viewing frustum) trong đồ họa 3D là một mô hình trường quan sát của camera.
*Cốc uống nước.

==Chú thích==
:1.{{note|1}}Thuật ngữ"frustum"bắt nguồn từ tiếng [[Latin]] ''[[wikt:en:frustum#Latin|frustum]]'' có nghĩa là"mẩu"hoặc"mảnh". The English word is often misspelled as ''{{sic|hide=y|frus|trum}}'', a different Latin word cognate to the English word"frustrate".<ref>{{citation|title=Teachers' Manual: Books I-VIII.. For Prang's complete course in form-study and drawing, Books 7-8|first=John Spencer|last=Clark|publisher=Prang Educational Company|year=1895|page=49|url=https://books.google.com/books?id=83EBAAAAYAAJ&pg=PA49}}.</ref> The confusion between these two words is very old: a warning about them can be found in the ''[[Appendix Probi]]'', and the works of [[Plautus]] include a pun on them.<ref>{{citation|title=Funny Words in Plautine Comedy|first=Michael|last=Fontaine|publisher=Oxford University Press|year=2010|isbn=9780195341447|url=https://books.google.com/books?id=SFPUvjlSUIsC&pg=PA117|pages=117, 154}}.</ref>

==Tham khảo==
{{tham khảo|30em}}

==Liên kết ngoài==
{{Wiktionary|frustum}}
{{Thể loại Commons|Frustums}}
*[http://www.mathalino.com/reviewer/derivation-of-formulas/derivation-of-formula-for-volume-of-a-frustum Derivation of formula for the volume of frustums of pyramid and cone] (Mathalino.com)
*{{MathWorld |urlname=PyramidalFrustum |title=Pyramidal frustum}}
*{{MathWorld |urlname=ConicalFrustum |title=Conical frustum}}
*[http://www.korthalsaltes.com/model.php?name_en=truncated%20pyramids%20of%20the%20same%20height Paper models of frustums (truncated pyramids)]
*[http://www.korthalsaltes.com/model.php?name_en=tapared%20cylinder Paper model of frustum (truncated cone)]
*[http://www.verbacom.com/cone/cone.php Design paper models of conical frustum (truncated cones)]

{{Kiểm soát tính nhất quán}}
{{Đa diện}}

[[Thể loại:Đa diện]]