Xem mã nguồn của Hình học số học

[[Tập tin:Example_of_a_hyperelliptic_curve.svg|nhỏ| [[Đường cong siêu ellip]] được xác định bởi <math>y^2=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2)</math> chỉ có hữu hạn [[điểm hữu tỷ]] (chẳng hạn như các điểm <math>(-2, 0)</math> và <math>(-1, 0)</math>) theo [[định lý Faltings]]. ]]
Trong toán học, '''hình học số học''' đại khái là ứng dụng các kỹ thuật từ [[hình học đại số]] vào các vấn đề trong [[lý thuyết số]].<ref>{{Chú thích web|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-782-introduction-to-arithmetic-geometry-fall-2013/lecture-notes/MIT18_782F13_lec1.pdf|tựa đề=Introduction to Arithmetic Geometry|tác giả=Sutherland|tên=Andrew V.|ngày=ngày 5 tháng 9 năm 2013|ngày truy cập=ngày 22 tháng 3 năm 2019}}</ref> Hình học số học tập trung vào [[Hình học Diophantos|hình học Diophantine]], nghiên cứu các [[điểm hữu tỷ]] của [[Đa tạp đại số|các đa tạp đại số]].<ref name="Quanta">{{Chú thích web|url=https://www.quantamagazine.org/peter-scholze-and-the-future-of-arithmetic-geometry-20160628/|tựa đề=Peter Scholze and the Future of Arithmetic Geometry|tác giả=Klarreich|tên=Erica|ngày=ngày 28 tháng 6 năm 2016|ngày truy cập=ngày 22 tháng 3 năm 2019}}</ref><ref name="poonen-notes">{{Chú thích web|url=http://math.mit.edu/~poonen/782/782notes.pdf|tựa đề=Introduction to Arithmetic Geometry|tác giả=Poonen|tên=Bjorn|lk tác giả=Bjorn Poonen|năm=2009|ngày truy cập=ngày 22 tháng 3 năm 2019}}</ref>

Theo thuật ngữ trừu tượng hơn, hình học số học có thể được định nghĩa là nghiên cứu các sơ đồ loại hữu hạn trên phổ của [[vành số nguyên]].

== Tổng quan ==
Các đối tượng cổ điển được hình học số học đề cập đến là các điểm hữu tỷ: [[tập hợp nghiệm]] của một [[hệ phương trình đa thức]] trên [[Trường số đại số|các trường số]], [[trường hữu hạn]], trường [[Số p-adic|p-adic]] hoặc [[trường hàm số đại số]], tức là [[Trường (đại số)|các trường]] không [[Trường đóng đại số|đóng đại số]] trừ các [[số thực]]. Điểm hữu tỷ có thể được đặc trưng trực tiếp bởi các [[hàm [[chiều cao]]]] đo độ phức tạp số học của chúng.<ref>{{Chú thích sách|title=Survey of Diophantine Geometry|url=https://archive.org/details/surveydiophantin00lang_347|last=Lang|first=Serge|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1997|isbn=3-540-61223-8|pages=[https://archive.org/details/surveydiophantin00lang_347/page/n56 43]–67|zbl=0869.11051|author-link=Serge Lang}}</ref>

Cấu trúc của các đa tạp đại số được xác định trên các trường không đại số đã trở thành một lĩnh vực quan tâm nảy sinh với sự phát triển trừu tượng hiện đại của hình học đại số. Trên các lĩnh vực hữu hạn, cohomology étale cung cấp [[Bất biến tôpô|các bất biến tôpô]] liên quan đến các đa tạp đại số.<ref name="grothendieck-cohomology">{{Chú thích sách|title=Proc. Internat. Congress Math. (Edinburgh, 1958)|last=Grothendieck|first=Alexander|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=1960|pages=103–118|chapter=The cohomology theory of abstract algebraic varieties|mr=0130879|author-link=Alexander Grothendieck|chapter-url=http://grothendieckcircle.org/}}</ref> Lý thuyết Hodge p-adic cung cấp các công cụ để kiểm tra khi các đặc tính chung của các đa tạp này trên các [[số phức]] mở rộng đến các trường trên các trường p-adic.<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Serre|first=Jean-Pierre|author-link=Jean-Pierre Serre|year=1967|title=Résumé des cours, 1965–66|journal=Annuaire du Collège de France|location=Paris|pages=49–58}}</ref>

== Tham khảo ==
{{Tham khảo}}
{{Sơ khai toán học}}
{{Lý thuyết số}}
{{Chủ đề hình học}}
{{Toán}}

[[Thể loại:Hình học đại số]]