Xem mã nguồn của Hằng số Planck

{{For|định luật về bức xạ vật đen|Định luật Planck}}
{{Infobox physical quantity
| name = Hằng số Planck
| unit = 
| otherunits = 
| symbols = {{mvar|h}}, hoặc {{mvar|ħ}} cho hằng số Planck rút gọn
| baseunits = 
| dimension = <math>\mathsf{M} \mathsf{L}^{2} \mathsf{T}^{-1}</math>
| derivations = 
}}
{| class="wikitable" style="float:right; margin:0 0 1em 1em; text-align:center; clear:right"
|+ Giá trị
|-
! scope="col" | Hằng số
! scope="col" | Đơn vị SI
! scope="col" | Đơn vị eV
|-
! scope="row" | {{math|''h''}}
| {{physconst|h}}
| {{physconst|heV}}
|-
! scope="row" | {{math|''ħ''}}
| {{physconst|hbar}}
| {{physconst|hbareV}}
|-
! scope="row" | {{math|''hc''}}
| {{val|1,98644586|end=...|e=-25|u=[[joule|J]]⋅[[mét|m]]}}
| {{val|1,23984198|end=...|u=[[electron volt|eV]]⋅[[micromet|μm]]}}
|-
! scope="row" | {{math|''ħc''}}
| {{val|3,16152677|end=...|e=-26|u=[[joule|J]]⋅[[metre|m]]}}
| {{val|0,1973269804|end=...|u=[[electron volt|eV]]⋅[[micromet|μm]]}}
|}

'''Hằng số Planck''' là một [[hằng số vật lý]] cơ bản, ký hiệu bằng <math>h</math>, có tầm quan trọng to lớn trong [[cơ học lượng tử]]. Năng lượng của một [[photon]] bằng [[tần số]] của nó nhân với hằng số Planck. Do [[tương đương khối lượng–năng lượng]], hằng số Planck cũng liên hệ giữa khối lượng và tần số.

Trong [[đo lường học]], hằng số Planck, cùng những hằng số khác, được dùng để định nghĩa [[kilogram]], một [[đơn vị SI]].<ref>{{SIbrochure9th|page=131}}</ref> Các đơn vị SI được định nghĩa sao cho khi biểu diễn hằng số Planck trong các đơn vị SI, nó có giá trị đúng bằng {{math|''h'' {{=}} {{physconst|h|after=}}}}<ref>{{Chú thích web|url=https://www.bipm.org/utils/common/pdf/CGPM-2018/26th-CGPM-Resolutions.pdf|date=2018-11-16|work=BIPM|access-date=2018-11-20|language=en-GB|title=Resolutions of the 26th CGPM|archive-url=https://web.archive.org/web/20181119214326/https://www.bipm.org/utils/common/pdf/CGPM-2018/26th-CGPM-Resolutions.pdf|archive-date=2018-11-19|url-status=dead}}</ref>

Cuối thế kỷ 19, phổ bức xạ [[vật đen]] đã được đo với độ chính xác cao, nhưng phân bố của những phép đo ở tần số cao [[Thảm họa cực tím|chênh lệch đáng kể]] so với những tiên đoán bằng lý thuyết thời bấy giờ. Năm 1900, [[Max Planck]] bằng thực nghiệm đưa ra một công thức cho phổ quan sát được. Ông giả sử một hạt tích điện dao động trong một khoảng trống với bức xạ vật đen chỉ có thể thay đổi mức [[năng lượng]] của nó theo bước nhỏ {{math|''E''}} tỷ lệ thuận với tần số của [[sóng điện từ]] tương ứng.<ref name="Planck01" /> Bằng kết quả thí nghiệm, ông tính được [[hằng số tỷ lệ]] này, và hằng số đó được đặt tên để vinh danh ông. Năm 1905, [[Albert Einstein]] xác định mức năng lượng tối thiểu, hay "lượng tử", của một sóng điện từ. Lượng tử ánh sáng có tính chất giống như một hạt không mang điện, và cuối cùng có tên gọi [[photon]]. Max Planck nhận [[Giải Nobel Vật lý]] năm 1918 cho "những đóng góp của ông cho sự tiến bộ của Vật lý với phát hiện lượng tử năng lượng của ông".

== Định nghĩa ==

[[Liên hệ Planck]] cho biết [[năng lượng photon]] {{math|''E''}} tỷ lệ thuận với tần số tương ứng {{math|''f''}}, và hằng số tỷ lệ được gọi là '''hằng số Planck''', ký hiệu bằng {{mvar|h}}:

:<math>E = hf.</math>

Năng lượng này cực kỳ nhỏ so với mức năng lượng của những đồ vật thường ngày.

Vì tần số {{math|''f''}}, [[bước sóng]] {{math|''λ''}}, và [[tốc độ ánh sáng]] {{math|''c''}} được liên kết với nhau bởi <math>f= \frac{c}{\lambda}</math>, hệ thức trên có thể được viết thành

:<math>E = \frac{hc}{\lambda}.</math>

=== Hằng số Planck rút gọn<!--'Reduced Planck constant' and 'Dirac constant' redirect here--> ===
Định nghĩa của hằng số Planck sử dụng đơn vị SI của tần số, tức là [[hertz]], vốn biểu thị một vòng, 360 độ hay {{math|2''π''}} radian, mỗi giây. Trong một số trường hợp mà [[tần số góc]] (tần số biểu diễn bằng [[radian]] trên giây thay vì [[Vòng (góc)|vòng]] trên giây, tức [[hertz]]) được dùng, người ta thường đưa hệ số {{math|2''π''}} vào trong hằng số Planck, dẫn đến '''hằng số Planck rút gọn'''. Hằng số Planck rút gọn bằng hằng số Planck chia cho {{math|2''π''}} và được ký hiệu bằng <math>\hbar</math> (đọc là "h-bar"):{{NoteTag|Đôi khi <math>\hbar</math> được gọi là "hằng số Dirac", theo tên của nhà vật lý [[Paul Dirac]].{{refn|{{chú thích tạp chí |author1=P.R. Bunker |author2=Ian M. Mills|author3=Per Jensen |title=The Planck constant and its units |year=2019 |journal=Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer |volume=237 |page=106594|publisher=Elsevier |doi=10.1016/j.jqsrt.2019.106594|bibcode=2019JQSRT.23706594B|s2cid=201264843|quote=}}}}}}

:<math>\hbar = \frac{h}{2 \pi}.</math>

===Bước sóng de Broglie===

Năm 1923, [[Louis de Broglie]] tổng quát hóa liên hệ Planck–Einstein với giả thuyết hằng số Planck là hệ số tỷ lệ giữa động lượng và bước sóng lượng tử không chỉ của photon, mà của một hạt bất kỳ. Thực nghiệm sau đó xác nhận giả thuyết này, và nó xuất hiện trong toàn bộ lý thuyết lượng tử, bao gồm [[điện động học]]. [[Bước sóng de Broglie]] {{math|''λ''}} của một hạt là

:<math>\lambda = \frac{h}{p}</math>

trong đó {{math|''p''}} là [[động lượng]] của một hạt, ví dụ như photon, hoặc bất kỳ [[hạt sơ cấp]] nào khác.

[[Năng lượng photon|Năng lượng của một photon]] với tần số góc {{math|1=''ω'' = 2''πf''}} là

:<math>E = \hbar \omega ,</math>

còn động lượng thì bằng

:<math>p = \hbar k ,</math>

trong đó {{math|''k''}} là một [[số sóng|số sóng góc]].

Hai mối liên hệ này là phần thời gian và không gian của biểu thức tương đối hẹp sử dụng [[Bốn-vectơ|4-vectơ]]:

:<math>P^\mu = \left(\frac{E}{c}, \vec{p}\right) = \hbar K^\mu = \hbar\left(\frac{\omega}{c}, \vec{k}\right) .</math>

===Cơ học thống kê===
[[Cơ học thống kê]] cổ điển yêu cầu sự tồn tại của {{math|''h''}} (nhưng không đưa ra giá trị của nó).<ref>{{Citation |title=Statistical mechanics: an intermediate course |author1=Giuseppe Morandi |author2=F. Napoli |author3=E. Ercolessi |page=84 |url=https://books.google.com/books?id=MhInFlnNsREC&pg=PA51 |isbn=978-981-02-4477-4 |year=2001 |access-date=2021-10-31 |archive-date=2021-12-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211206180408/https://books.google.com/books?id=MhInFlnNsREC&pg=PA51 |url-status=live }}</ref> Sau phát hiện của Planck, một giả thuyết mới xuất hiện cho rằng [[Tác động (vật lý)|tác động vật lý]] không thể có giá trị bất kỳ, mà phải là bội số nguyên của một đại lượng rất nhỏ, "[[lượng tử]] của tác động", nay được gọi là ''hằng số Planck''.<ref>{{Chú thích sách|last=ter Haar|first=D.|title=The Old Quantum Theory|url=https://archive.org/details/oldquantumtheory0000haar|url-access=registration|publisher=Pergamon Press|year=1967|page=[https://archive.org/details/oldquantumtheory0000haar/page/133 133]|isbn=978-0-08-012101-7}}</ref>{{NoteTag|Đừng nhầm lẫn ''lượng tử của tác động'', tên cũ cho hằng số Planck, với lượng tử của momen góc, tức hằng số Planck rút gọn.}} Đây là một ý tưởng cốt yếu trong "[[thuyết lượng tử cũ]]" phát triển bởi các nhà vật lý như [[Niels Bohr|Bohr]], [[Arnold Sommerfeld|Sommerfeld]], và [[Jun Ishiwara|Ishiwara]], trong đó tồn tại quỹ đạo hạt nhưng chúng bị [[Thuyết biến ẩn|ẩn đi]], và chúng tuân theo các định luật lượng tử. Quan điểm này đã bị thay thế bởi thuyết lượng tử hiện đại, trong đó quỹ đạo chuyển động thậm chí không tồn tại; một hạt được biểu diễn bằng một hàm sóng trong không gian và thời gian. Cùng với đó là khái niệm lượng tử năng lượng, và cả chuyển động hạt lẫn lượng tử năng lượng đều không thể được giải thích bởi vật lý cổ điển.<ref>{{Citation|last=Einstein|title=Physics and Reality|page=24|first=Albert|quote=The question is first: How can one assign a discrete succession of energy values&nbsp;{{math|''H<sub>σ</sub>''}} to a system specified in the sense of classical mechanics (the energy function is a given function of the coordinates&nbsp;{{math|''q<sub>r</sub>''}} and the corresponding momenta&nbsp;{{math|''p<sub>r</sub>''}})? The Planck constant {{math|''h''}} relates the frequency&nbsp;{{math|''H<sub>σ</sub>''/''h''}} to the energy values&nbsp;{{math|''H<sub>σ</sub>''}}. It is therefore sufficient to give to the system a succession of discrete frequency values.|url=http://www.kostic.niu.edu/Physics_and_RealityAlbert_Einstein.pdf|doi=10.1162/001152603771338742|year=2003|journal=Daedalus|volume=132|issue=4|s2cid=57559543|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20120415132339/http://www.kostic.niu.edu/Physics_and_Reality-Albert_Einstein.pdf|archive-date=2012-04-15}}</ref>

== Giá trị ==
Hằng số Planck có [[thứ nguyên]] của [[mômen động lượng]]. Trong [[đơn vị SI]], hằng số Planck được biểu diễn bằng [[joule]] trên [[hertz]] (J⋅Hz{{sup|−1}} hoặc [[Kilogram|kg]]⋅m<sup>2</sup>⋅s<sup>&minus;1</sup>). Một điểm cần lưu ý trong thứ nguyên của hằng số Planck là việc đơn vị SI của tần số, [[hertz]], biểu diễn một chu kỳ trọn vẹn, 360 độ hay {{math|2''π''}} radian, một giây. [[Tần số góc]] bằng radian trên giây thường tự nhiên hơn trong toán và vật lý, và nhiều công thức sử dụng '''hằng số Planck rút gọn'''.{{NoteTag|Đôi khi {{mvar|ħ}} còn được gọi là "hằng số Dirac", theo tên [[Paul Dirac]].{{refn|{{chú thích tạp chí |author1=P.R. Bunker |author2=Ian M. Mills|author3=Per Jensen |title=The Planck constant and its units |year=2019 |journal=Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer |volume=237 |page=106594|publisher=Elsevier |doi=10.1016/j.jqsrt.2019.106594|bibcode=2019JQSRT.23706594B|s2cid=201264843|quote=}}}}}}
:<math>h = 6.626\ 070\ 15\times 10^{-34}\ \text{J}{\cdot}\text{Hz}^{-1}</math>
:<math>\hbar={{h}\over{2\pi}} = 1.054\ 571\ 817...\times 10^{-34}\ \text{J}{\cdot}\text{s} = 6.582\ 119\ 569...\times 10^{-16}\ \text{eV}{\cdot}\text{s}</math>
Các giá trị trên là chính xác và cố định sau lần [[định nghĩa lại đơn vị cơ bản SI năm 2019]].

===Cố định giá trị của ''h''===
{{See also|Định nghĩa lại đơn vị cơ bản SI năm 2019}}
Từ năm 2019, giá trị của hằng số Planck đã được cố định, với [[biểu diễn thập phân]] hữu hạn. Dưới định nghĩa hiện tại của [[kilogram]], phát biểu rằng, "Kilogram [...] được định nghĩa bằng cách cố định giá trị của {{math|''h''}} bằng {{val|6,62607015|e=-34}} với đơn vị J⋅s, tương đương với kg⋅m<sup>2</sup>⋅s<sup>−1</sup>, trong đó [[mét]] và [[giây]] được định nghĩa bằng [[tốc độ ánh sáng]] {{mvar|c}} và tần số [[Cấu trúc siêu tinh tế|chuyển siêu tinh tế]] của [[trạng thái cơ bản]] của một nguyên tử [[caesi-133]] {{Math|Δ''ν''<sub>Cs</sub>}}."<ref>{{SIbrochure9th}}</ref> Điều này nghĩa là giá trị của một kilogram, chứ không phải giá trị của hằng số Planck, cần phải được tìm bằng thực nghiệm, bằng những phương pháp như [[cân Kibble]] và phương pháp mật độ tinh thể tia X. Để minh họa cụ thể hơn, giả sử quyết định cố định giá trị của {{math|''h''}} được đưa ra năm 2010. Khi đó, giá trị của {{mvar|h}} là {{val|6,62606957|e=-34|u=J.s}}, và từ đó giá trị của kilogram cũng được tính từ con số này. Những thực nghiệm trong tương lai sẽ cho thấy giá trị của kilogram lúc ấy bằng {{nowrap|{{sfrac|{{val|6,62607015}}|{{val|6,62606957}}}} ≈ {{val|1,0000001}}}} lần giá trị của [[Nguyên mẫu Kilogram Quốc tế]] (IPK).

==Nguồn gốc==
{{Main|Định luật Planck}}
[[Tập tin:Max Planck Wirkungsquantums 20050815.jpg|thumb|right|250px|Bảng đồng tại [[Đại học Humboldt Berlin]]: "Max Planck, người phát hiện lượng tử cơ bản ''h'', dạy ở đây từ 1889 đến 1928."]]
[[Tập tin:Wiens law.svg|thumb|right|250px|Cường độ ánh sáng phát ra từ một [[vật đen]]. Mỗi đường cong biểu diễn hành vi tại một nhiệt độ khác nhau. Hằng số Planck được dùng để giải thích hình dáng của những đường này.]]
[[Tập tin:Black body.svg|350px|thumb|Sự chênh lệch giữa đường cong Rayleigh–Jeans (đen) và đường cong Planck quan sát được ở những nhiệt độ khác nhau.]]
Hằng số Planck xuất phát từ nỗ lực của Max Planck để đưa ra một biểu thức toán học nhằm tiên đoán phổ bức xạ từ một nguồn nhiệt kín, hay [[bức xạ vật đen]].<ref name=Bitter>{{Chú thích sách |last1=Bitter |first1=Francis |author-link = Francis Bitter |last2=Medicus |first2=Heinrich A. |title=Fields and particles |url=https://archive.org/details/fieldsparticlesi0000bitt |date=1973 |publisher=Elsevier |location=New York |pages=[https://archive.org/details/fieldsparticlesi0000bitt/page/137 137]–144}}</ref> Kết quả là một biểu thức toán học với tên gọi [[định luật Planck]].

Cuối thế kỷ 19, Max Planck xem xét vấn đề bức xạ vật đen do [[Gustav Kirchhoff|Kirchhoff]] đưa ra khoảng 40 năm trước đó. Tất cả [[vật thể vật lý]] phát ra [[bức xạ điện từ]] tự động và liên tục. Không có biểu thức hay lời giải thích nào cho hình dạng của phổ bức xạ quan sát được. Vào lúc đó, [[Xấp xỉ Wien|định luật Wien]] khớp với dữ liệu ở bước sóng ngắn và nhiệt độ cao, nhưng sai khác hoàn toàn ở bước sóng dài.<ref name="Bitter" />{{rp|141}} Cũng vào thời điểm này, [[John William Strutt, Nam tước Rayleigh thứ 3|Lord Rayleigh]] tìm ra một công thức, ngày nay gọi là [[định luật Rayleigh–Jeans]], có thể tiên đoán bước sóng dài tương đối chính xác, nhưng lại không thể giải thích cho bước sóng ngắn.

Planck tiếp cận vấn đề với giải thuyết rằng phương trình chuyển động của ánh sáng miêu tả một tập hợp các [[dao động điều hòa]], mỗi tần số tương ứng với một dao động. Ông xem xét sự thay đổi [[entropy]] của những hạt dao động so với nhiệt độ của vật thể, làm cho nó khớp với định luật Wien, và cuối cùng đưa ra một hàm số để xấp xỉ phổ vật đen,<ref name="Planck01">{{citation | first = Max | last = Planck | author-link = Max Planck | title = Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum | url = http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/historic-papers/1901_309_553-563.pdf | journal = [[Annalen der Physik|Ann. Phys.]] | year = 1901 | volume = 309 | issue = 3 | pages = 553–63 | doi = 10.1002/andp.19013090310 | bibcode = 1901AnP...309..553P | doi-access = free | access-date = 2008-12-15 | archive-date = 2012-06-10 | archive-url = https://web.archive.org/web/20120610124128/http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/historic-papers/1901_309_553-563.pdf | url-status = live }}. English translation: {{Chú thích web|url=http://dbhs.wvusd.k12.ca.us/webdocs/Chem-History/Planck-1901/Planck-1901.html|title=On the Law of Distribution of Energy in the Normal Spectrum|archive-url=https://web.archive.org/web/20080418002757/http://dbhs.wvusd.k12.ca.us/webdocs/Chem-History/Planck-1901/Planck-1901.html|archive-date=2008-04-18|url-status=dead}}".  {{Chú thích web |url=http://theochem.kuchem.kyoto-u.ac.jp/Ando/planck1901.pdf |title=On the Law of Distribution of Energy in the Normal Spectrum |access-date=2011-10-13 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20111006162543/http://theochem.kuchem.kyoto-u.ac.jp/Ando/planck1901.pdf |archive-date=2011-10-06 }}</ref> dẫn đến một công thức thực nghiệm cho bước sóng dài.

Planck tìm ra một biểu thức khớp với định luật Wien ở bước sóng ngắn và công thức thực nghiệm ở bước sóng dài. Biểu thức này có một hằng số {{mvar|h}}, được cho là lấy từ Hilfsgrösse (biến phụ),<ref>{{cite arXiv |last=Boya |first=Luis J. |date=2004 |title=The Thermal Radiation Formula of Planck (1900) |eprint=physics/0402064v1}}</ref> và sau được biết đến là hằng số Planck. Biểu thức cho độ rọi phổ chiếu xạ của một vật đen với [[tần số]] {{math|''ν''}} tại [[nhiệt độ tuyệt đối]] {{math|''T''}} là
:<math>B_\nu(\nu, T) = \frac{ 2 h \nu^3}{c^2} \frac{1}{e^\frac{h\nu}{k_\mathrm B T} - 1}</math>

trong đó {{math|''k''<sub>B</sub>}} là [[hằng số Boltzmann]], {{mvar|h}} là hằng số Planck, và {{mvar|c}} là [[tốc độ ánh sáng]] trong môi trường, có thể là vật liệu hoặc chân không.<ref name="Planck 1914 6 168">{{Chú thích sách |last1=Planck |first1=M. |author1-link=Max Planck |others=Masius, M. (transl.) |year=1914 |title=The Theory of Heat Radiation |url=https://archive.org/details/theoryofheatradi00planrich |publisher=P. Blakiston's Son |edition=2nd |ol=7154661M |pages=6,&nbsp;168 }}
</ref><ref name="Chan8">{{Chú thích sách |last1=Chandrasekhar |first1=S. |author1-link=Subrahmanyan Chandrasekhar |year=1960 |orig-year=1950 |title=Radiative Transfer |url=https://archive.org/details/radiativetransfe0000chan |url-access=registration |edition=Revised reprint |publisher=[[Dover Publications|Dover]] |isbn=978-0-486-60590-6 | page=8 }}</ref><ref name="Rybicki 1979 22">{{Chú thích sách |last1=Rybicki |first1=G. B. |last2=Lightman |first2=A. P. |author2-link=Alan Lightman |year=1979 |title=Radiative Processes in Astrophysics |url=https://books.google.com/books?id=LtdEjNABMlsC |publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]] |isbn=978-0-471-82759-7 |page=22 |access-date=2020-05-20 |archive-date=2020-07-27 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200727111701/https://books.google.com/books?id=LtdEjNABMlsC |url-status=live }}</ref>

[[Độ rọi phổ chiếu xạ]] (tiếng Anh: "spectral radiance") {{math|''B''<sub>ν</sub>}} của một vật miêu tả mức năng lượng nó phát ra ở những tần số bức xạ khác nhau. Đại lượng này bằng công suất phát xạ trên một đơn vị diện tích bề mặt, trên một đơn vị góc khối, trên một đơn vị tần số. Độ rọi phổ chiếu xạ cũng có thể được biểu diễn trên một đơn vị [[bước sóng]] {{mvar|λ}} thay vì một đơn vị tần số. Trong trường hợp đó, công thức trên trở thành
:<math>B_\lambda(\lambda, T) =\frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{ e^{\frac{hc}{\lambda k_\mathrm B T}} - 1},</math>

cho thấy năng lượng bức xạ ở bước sóng ngắn tăng theo nhiệt độ nhanh hơn so với ở bước sóng dài.<ref>{{chú thích tạp chí | last1=Shao| first1=Gaofeng|display-authors=etal| title= Improved oxidation resistance of high emissivity coatings on fibrous ceramic for reusable space systems | journal= Corrosion Science | year=2019 | volume=146| pages= 233–246 | doi= 10.1016/j.corsci.2018.11.006 | arxiv=1902.03943| s2cid=118927116}}</ref>

Định luật Planck cũng có thể được biểu diễn theo những đại lượng khác, ví dụ như số photon bức xạ ở bước sóng nhất định, hay là mật độ năng lượng trên một thể tích bức xạ. [[Độ rọi chiếu xạ|Đơn vị SI]] của {{math|''B''<sub>ν</sub>}} là {{nobreak|[[Watt|W]]·[[steradian|sr]]<sup>−1</sup>·[[mét|m]]<sup>−2</sup>·[[Hertz|Hz]]<sup>−1</sup>}}, còn của {{math|''B''<sub>λ</sub>}} là {{nobreak|W·sr<sup>−1</sup>·m<sup>−3</sup>}}.

Planck sớm nhận ra rằng lời giải của ông không phải là duy nhất. Một số lời giải khác tồn tại, mỗi cái cho giá trị entropy của các hạt dao động khác nhau.<ref name="Planck01" /> Để giải quyết vấn đề này, Planck dùng đến [[cơ học thống kê]], một ngành còn gây tranh cãi thời bấy giờ,<ref name="Planck01" /> việc mà ông miêu tả là "một hành động tuyệt vọng ... tôi đã sẵn sàng từ bỏ tất cả những niềm tin của mình trong vật lý."<ref name="Kragh">{{citation|last=Kragh|first=Helge|title=Max Planck: the reluctant revolutionary|date=1 December 2000|url=http://physicsworld.com/cws/article/print/373|publisher=PhysicsWorld.com|archive-url=https://web.archive.org/web/20090108204645/http://physicsworld.com/cws/article/print/373|archive-date=2009-01-08|author-link=Helge Kragh}}</ref> Một trong những điều kiện của lời giải này là
{{quote|text=coi {{math|''U''<sub>N</sub>}} [''năng lượng dao động của N hạt''] không phải như một đại lượng liên tục, có thể chia nhỏ tùy ý, mà như một đại lượng rời rạc gồm một số nguyên lần những phần tử hữu hạn. Ta gọi mỗi phần năng lượng như thế {{mvar|ε}};|sign=Planck|source=On the Law of Distribution of Energy in the Normal Spectrum<ref name="Planck01" />}}
Với điều kiện mới này, Planck đã lượng tử hóa năng lượng của các hạt dao động, "một giả thuyết hoàn toàn hình thức ... thực tế tôi không nghĩ nhiều về nó ..." theo lời của chính ông.<ref>{{citation | title = Quantum Generations: A History of Physics in the Twentieth Century | first = Helge | last = Kragh | year = 1999 | publisher = Princeton University Press | isbn = 978-0-691-09552-3 | page = 62 | url = https://books.google.com/books?id=ELrFDIldlawC | access-date = 2021-10-31 | archive-date = 2021-12-06 | archive-url = https://web.archive.org/web/20211206180414/https://books.google.com/books?id=ELrFDIldlawC | url-status = live }}</ref> Áp dụng điều kiện này cho định luật Wien cho thấy "phần tử năng lượng" phải tỉ lệ với tần số của dao động, ngày nay gọi là "[[liên hệ Planck–Einstein]]":
:<math>E = hf.</math>

Sử dụng dữ liệu bức xạ vật đen từ thí nghiệm, Planck tính được giá trị của {{mvar|h}} bằng khoảng {{val|6.55|e=-34|u=J.s}}, sai khác 1,2% so với giá trị chính thức ngày nay.<ref name="Planck01" /> Ông cũng là người đầu tiên xác định giá trị của [[hằng số Boltzmann]] {{math|''k''<sub>B</sub>}} bằng công thức này.<ref name="PlanckNobel">{{citation | first = Max | last = Planck | author-link = Max Planck | title = The Genesis and Present State of Development of the Quantum Theory (Nobel Lecture) | url = http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1918/planck-lecture.html | date = 2 June 1920 | access-date = 13 December 2008 | archive-date = 11 August 2011 | archive-url = https://www.webcitation.org/60qYB4t3f?url=http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1918/planck-lecture.html | url-status = live }}</ref>

==Phát triển và ứng dụng==
Vấn đề vật đen được xét lại vào năm 1905, khi [[John William Strutt, Nam tước Rayleigh thứ 3|Rayleigh]] cùng với [[James Hopwood Jeans|Jeans]] và độc lập với [[Albert Einstein|Einstein]] chứng minh rằng điện từ học cổ điện ''không thể'' giải thích phổ bức xạ đo được. Những chứng minh này thường được biết đến với tên gọi "[[thảm họa cực tím]]", do [[Paul Ehrenfest]] đặt năm 1911. Chúng, cùng với nghiên cứu của Einstein về [[hiệu ứng quang điện]], khiến các nhà vật lý học ngày càng tin rằng việc lượng tử hóa mức năng lượng của Planck có ý nghĩa sâu hơn là một công cụ toán học đơn thuần. [[hội nghị Solvay]] đầu tiên năm 1911 có chủ đề "lý thuyết bức xạ và lượng tử".<ref>{{citation | url = http://www.solvayinstitutes.be/Conseils%20Solvay/PreviousPhysics.html | title = Previous Solvay Conferences on Physics | access-date = 12 December 2008 | publisher = International Solvay Institutes | url-status=dead | archive-url = https://web.archive.org/web/20081216120021/http://www.solvayinstitutes.be/Conseils%20Solvay/PreviousPhysics.html | archive-date = 16 December 2008 }}</ref>

=== Hiệu ứng quang điện ===
{{Main|Hiệu ứng quang điện}}
Hiệu ứng quang điện là sự phát xạ electron (gọi là "quang điện tử") từ một bề mặt có ánh sáng chiếu vào. Hiện tượng này lần đầu được quan sát bởi [[Alexandre Edmond Becquerel]] năm 1839, mặc dù các nguồn thường ghi nhận [[Heinrich Hertz]],<ref name="Nobel21">See, e.g., {{citation | title = Presentation speech of the 1921 Nobel Prize for Physics | url = http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1921/press.html | first = Svante | last = Arrhenius | author-link = Svante Arrhenius | date = 10 December 1922 | access-date = 13 December 2008 | archive-date = 11 August 2011 | archive-url = https://www.webcitation.org/60qYBYQfn?url=http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1921/press.html | url-status = live }}</ref> người xuất bản nghiên cứu chi tiết đầu tiên năm 1887. Một nghiên cứu khác của [[Philipp Lenard]] (Lénárd Fülöp) được xuất bản năm 1902.<ref name="Lenard">{{citation | first = P. | last = Lenard | author-link = Philipp Lenard | title = Ueber die lichtelektrische Wirkung | journal = [[Annalen der Physik|Ann. Phys.]] | volume = 313 | issue = 5 | pages = 149–98 | year = 1902 | doi = 10.1002/andp.19023130510 | bibcode = 1902AnP...313..149L | url = https://zenodo.org/record/1424009 | access-date = 2019-07-03 | archive-date = 2019-08-18 | archive-url = https://web.archive.org/web/20190818204108/https://zenodo.org/record/1424009 | url-status = live }}</ref> Năm 1905, Einstein viết bài báo<ref>{{Citation | last = Einstein | first = Albert | author-link = Albert Einstein | year = 1905 | title = Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt | url = http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1905_17_132-148.pdf | journal = [[Annalen der Physik|Ann. Phys.]] | volume = 17 | issue = 6 | pages = 132–48 | doi = 10.1002/andp.19053220607 | bibcode = 1905AnP...322..132E | doi-access = free | access-date = 2009-12-03 | archive-date = 2011-07-09 | archive-url = https://web.archive.org/web/20110709180735/http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1905_17_132-148.pdf | url-status = live }}</ref> thảo luận về hiện tượng này bằng lượng tử ánh sáng, một thành tựu đã cho ông giải Nobel Vật lý năm 1921,<ref name="Nobel21" /> sau khi những tiên đoán của ông được xác nhận bởi [[Robert Andrews Millikan]].<ref name="Millikan">{{citation | first = R. A. | last = Millikan |author-link = Robert Andrews Millikan | title = A Direct Photoelectric Determination of Planck's '''h''' | journal = [[Physical Review|Phys. Rev.]] | year = 1916 | volume = 7 | issue = 3 | pages = 355–88 | doi = 10.1103/PhysRev.7.355|bibcode = 1916PhRv....7..355M | doi-access = free }}</ref>

Trước bài báo của Einstein, bức xạ điện từ như ánh sáng được coi là có hành vi của sóng: đó cũng là nguồn gốc cho các thuật ngữ "tần số" và "bước sóng" dùng để miêu tả các loại bức xạ khác nhau. Năng lượng của một sóng trên một đơn vị thời gian là [[cường độ (vật lý)|cường độ]]. Ánh sáng từ một đèn pha sân khấu có cường độ lớn hơn ánh sáng của một bóng đèn dân dụng, tức đèn pha tỏa ra nhiều năng lượng hơn trên một đơn vị thời gian và một đơn vị không gian, ngay cả khi màu sắc của hai bóng đèn rất giống nhau. Những loại sóng khác như âm thanh hay sóng biển cũng có cường độ của chúng. Tuy nhiên, năng lượng của hiệu ứng quang điện không có tính chất giống như sóng ánh sáng.

Các quang điện tử được phát ra có [[động năng]] nhất định, và động năng của mỗi quang điện tử là ''độc lập'' với cường độ của ánh sáng,<ref name="Lenard" /> nhưng tỷ lệ thuận với tần số,<ref name="Millikan" /> và nếu tần số quá thấp, sẽ không có quang điện tử nào được phát ra.<ref>{{Citation|last1=Smith |title=Two Photon Photoelectric Effect|doi=10.1103/PhysRev.128.2225  |volume=128|page=2225|year=1962|postscript=.|first1=Richard|journal=Physical Review|issue=5|bibcode = 1962PhRv..128.2225S }}{{Citation|doi=10.1103/PhysRev.130.2599.4|title=Two-Photon Photoelectric Effect|year=1963|last1=Smith|first1=Richard|journal=Physical Review|volume=130|issue=6|page=2599|postscript=.|bibcode = 1963PhRv..130.2599S }}</ref> Giả sử tần số đủ cao để gây ra hiệu ứng quang điện, cường độ nguồn sáng tăng dẫn đến nhiều quang điện tử với cùng động năng được phát ra, thay vì cùng số lượng quang điện tử với động năng lớn hơn.<ref name="Lenard" />

Einstein giải thích những quan sát này với việc lượng tử hóa ánh sáng: năng lượng ánh sáng không được truyền liên tục dưới dạng sóng, mà chỉ theo những "gói" nhỏ hay lượng tử. Những "gói" năng lượng này, về sau được gọi là [[photon]], có độ lớn bằng những "phần tử năng lượng" của Planck, dẫn đến [[liên hệ Planck–Einstein]]:
:<math>E = hf .</math>

Giả thiết của Einstein về sau được chứng minh bằng thực nghiệm: hằng số tỉ lệ giữa tần số nguồn sáng {{mvar|f}} và động năng của các quang điện tử {{mvar|E}} bằng với hằng số Planck {{mvar|h}}.<ref name="Millikan" />

=== Cấu trúc nguyên tử ===
{{Main|Mô hình Bohr}}
[[Tập tin:Bohr atom model.svg|thumb|right|Giản đồ mô hình Bohr cho nguyên tử hydro. Mức chuyển từ {{math|1=''n'' = 3}} lên {{nowrap|1=''n'' = 2}} phát ra ánh sáng với bước sóng 656 nm (đỏ), đúng như dự đoán.]]

Năm 1912, [[John William Nicholson]] giới thiệu h-bar vào lý thuyết nguyên tử và là người đầu tiên lượng tử hóa tần số góc thành {{math|''h''/2{{pi}}}}.<ref>John Heilbron, "The path to the quantum atom," 6 June 2013, Vol 498, NATURE, 27.</ref><ref>J. W. Nicholson, Month. Not. Roy. Astr. Soc. lxxii. pp. 49,130, 677, 693, 729 (1912).</ref><ref>The Atomic Theory of John William Nicholson, Russell McCormmach, Archive for History of Exact Sciences, Vol. 3, No. 2 (25.8.1966), pp. 160-184 (25 pages), Springer.</ref> [[Niels Bohr]] trích dẫn ông trong bài báo mô hình nguyên tử Bohr năm 1913.<ref>On the Constitution of Atoms and Molecules, Niels Bohr, Philosophical Magazine, Series 6, Volume 26 July 1913, p. 1-25</ref> Ảnh hưởng của mô hình hạt nhân nguyên tử Nicholson lên mô hình của Bohr đã được nhiều nhà sử học nghiên cứu.<ref>T. Hirosige and S. Nisio, "Formation of Bohr's Theory of Atomic Constitution," Jap. Studies Hist. Sci, No. 3 (1964), 6-28;</ref><ref>J. L. Heilbron, A History of Atomic Models from the Discovery of the Electron to the Beginnings of Quantum Mechanics, diss. (University of California, Berkeley, 1964).</ref><ref>R. McCormmach, "The Atomic Theory of John William Nicholson," Arch. Hist. Exact Sci., 3 (1966), 160-184.</ref>

Năm 1913, [[Niels Bohr]] đưa ra mô hình lượng tử của nguyên tử thứ ba, nhằm giải quyết những thiếu sót của mô hình [[Ernest Rutherford|Rutherford]] cổ điển. Mô hình nguyên tử lượng tử đầu tiên được đề xuất bởi [[Arthur Erich Haas]] năm 1910 và được thảo luận chi tiết ở Hội nghị Solvay 1911.<ref>John Heilbron, "The path to the quantum atom," 6 June 2013, Vol 498, NATURE, 29-30.</ref><ref name="Bohr">{{citation | first = Niels | last = Bohr | author-link = Niels Bohr | title = On the Constitution of Atoms and Molecules | journal = [[Philosophical Magazine|Phil. Mag.]] | series = 6th Series | year = 1913 | volume = 26 | issue = 153 | pages = 1–25 | doi = 10.1080/14786441308634993 | url = https://zenodo.org/record/1430916 | bibcode = 1913PMag...26..476B | access-date = 2019-07-03 | archive-date = 2020-01-27 | archive-url = https://web.archive.org/web/20200127174159/https://zenodo.org/record/1430916 | url-status = live }}</ref> Trong điện từ học cổ điển, một điện tích chuyển động tròn sẽ phát ra bức xạ điện từ. Nếu điện tích đó là một electron quay quanh [[hạt nhân nguyên tử|hạt nhân]], bức xạ sẽ khiến nó mất năng lượng và rơi dần vào hạt nhân. Bohr giải quyết nghịch lý này với cảm hứng từ công trình của Planck: một electron trong nguyên tử Bohr chỉ có thể có mức năng lượng định trước {{math|''E''<sub>''n''</sub>}}, trong đó

:<math>E_n = -\frac{h c R_{\infty}}{n^2} ,</math>

với {{mvar|c}} là tốc độ ánh sáng trong chân không, {{math|''R''<sub>∞</sub>}} là hằng số xác định từ thực nghiệm ([[hằng số Rydberg]]), và {{math|''n'' ∈ {1, 2, 3, ...}.}} Khi electron đạt mức năng lượng thấp nhất ({{math|1=''n'' = 1}}), nó không thể tiến gần hơn đến hạt nhân nữa. Phương pháp này cho phép Bohr tính đến [[công thức Rydberg]], một miêu tả thực nghiệm cho phổ nguyên tử của hydro, và giải thích cho giá trị của hằng số Rydberg {{math|''R''<sub>∞</sub>}} bằng những hằng số cơ bản khác.

Bohr cũng đề xuất đại lượng {{math|1=''ħ'' = ''h'' / (2''π'')}}, ngày nay gọi là [[#Hằng số Planck rút gọn|hằng số Planck rút gọn]], làm lượng tử cho [[mô men động lượng]]. Ban đầu, Bohr cho rằng đại lượng này là mômen động lượng của mỗi electron trong nguyên tử, nhưng giả thiết này sai, và mặc cho nỗ lực của [[Arnold Sommerfeld]] và những người khác, mô hình Bohr không thể miêu tả chính xác mômen động lượng của electron. Quy luật lượng tử hóa tổng quát cho electron – trong đó mô hình Bohr là trường hợp đặc biệt cho nguyên tử hydro – được miêu tả bởi [[cơ học ma trận]] của [[Werner Heisenberg|Heisenberg]] năm 1925 và [[phương trình sóng Schrödinger]] năm 1926, và hằng số Planck rút gọn vẫn là lượng tử cơ bản cho mômen động lượng. Cụ thể hơn, nếu {{mvar|J}} là tổng mômen động lượng của một hệ với bất biến quay và {{math|''J''<sub>''z''</sub>}} là mômen động lượng đối với một trục bất kỳ, chúng chỉ có thể mang các giá trị
:<math>
\begin{align}
J^2 = j(j+1) \hbar^2,\qquad  & j = \frac{0}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \ldots, \\
J_z = m \hbar, \qquad\qquad\quad & m = -j, -j+1, \ldots, j.
\end{align}
</math>

=== Nguyên lý bất định ===
{{Main|Nguyên lý bất định}}
Hằng số Planck cũng xuất hiện trong biểu thức của nguyên lý bất định của [[Werner Heisenberg]]. Với nhiều hạt ở cùng trạng thái, sự [[bất định]] về vị trí {{math|Δ''x''}} và sự bất định về động lượng {{math|Δ''p''<sub>''x''</sub>}} thỏa mãn
:<math> \Delta x\, \Delta p_{x} \ge \frac{\hbar}{2} ,</math>

trong đó sự bất định được định nghĩa là [[độ lệch chuẩn]] của giá trị đo được từ [[giá trị kỳ vọng]]. Có một số cặp [[biến liên hợp]] đo được khác tuân theo một nguyên lý tương tự, ví dụ như thời gian và năng lượng. Mối quan hệ tỉ lệ nghịch giữa hai độ bất định này dẫn đến một đánh đổi trong các thí nghiệm lượng tử, khi mà càng đo chính xác một đại lượng khiến đại lượng kia càng sai lệch.

Ngoài ra, một trong những nền móng của cơ học lượng tử nằm trong quan hệ [[giao hoán tử]] giữa [[toán tử vị trí]] <math>\hat{x}</math> và [[toán tử động lượng]] <math>\hat{p}</math>:
:<math>[\hat{p}_i, \hat{x}_j] = -i \hbar \delta_{ij} ,</math>
trong đó {{math|''δ''<sub>''ij''</sub>}} là [[Kronecker delta]].

== Xem thêm ==
{{Portal|Điện tử}}
* [[CODATA 2018]]
* [[Hệ đo lường quốc tế]]
* [[Hệ thống đo lường Planck]]
* [[Lưỡng tính sóng–hạt]]

== Ghi chú ==
{{NoteFoot}}

== Tham khảo ==
=== Chú thích ===
{{Tham khảo}}

=== Nguồn ===
{{refbegin}}
* {{Citation
 | last = Barrow
 | first = John D.
 | author-link = John D. Barrow
 | title = The Constants of Nature; From Alpha to Omega – The Numbers that Encode the Deepest Secrets of the Universe
 | year = 2002
 | publisher = Pantheon Books
 | isbn = 978-0-375-42221-8
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/constantsofnatur0000barr
 }}
{{refend}}

== Liên kết ngoài ==
* [https://www.youtube.com/watch?v=yhgb23tAFFs&list=PL-vj-3_a7wTDeKEupZSX7Tw42yReNgJLl "The role of the Planck constant in physics" – presentation at 26th CGPM meeting at Versailles, France, November 2018 when voting took place.]

{{Authority control}}

[[Thể loại:Hằng số cơ bản]]
[[Thể loại:Khoa học năm 1900]]
[[Thể loại:Max Planck]]