Xem mã nguồn của Hệ quy chiếu quay

'''Hệ quy chiếu quay''' là một [[hệ quy chiếu]] phi quán tính quay so với một [[hệ quy chiếu]] quán tính. Ví dụ về hệ quy chiếu quay có thể thấy được hằng ngày là bề mặt [[Trái Đất]].

== Liên hệ giữa hệ quy chiếu quay và hệ quy chiếu đứng yên ==

Sau đây là các phép toán chứng minh các công thức về [[gia tốc]] và các [[lực quán tính|lực ảo]] trong hệ quy chiếu quay. Bắt đầu với mối quan hệ giữa [[hệ tọa độ|tọa độ]] trong 2 [[hệ quy chiếu]]. Sau đó, khi lấy [[đạo hàm và vi phân của hàm số|đạo hàm]] theo [[thời gian]] sẽ xuất hiện các công thức liên hệ giữa [[vận tốc]] và [[gia tốc]] trong 2 [[hệ quy chiếu]]. Sử dụng các [[gia tốc]] này so sánh với [[Các định luật của Newton về chuyển động|định luật 2 Newton]] sẽ xác định được các [[lực quán tính|lực ảo]].

=== Liên hệ vị trí giữa 2 hệ quy chiếu ===

Để chứng minh được các [[lực quán tính|lực ảo]] này, sẽ thuận tiện hơn khi đặt [[hệ tọa độ|tọa độ]] [[chất điểm]] ở hệ quy chiếu quay là <math>\left(x',y',z' \right)</math> và ở [[hệ quy chiếu]] quán tính có cùng gốc tọa độ là <math>\left(x, y, z \right)</math>. Nếu hệ quy chiếu quay quay quanh trục <math>z</math> với [[vận tốc góc]] <math>\Omega</math> và 2 [[hệ quy chiếu]] này trùng nhau ở thời điểm <math>t=0</math> thì [[hệ tọa độ|tọa độ]] trong [[hệ quy chiếu]] quán tính có thể được viết như sau:

: <math>x = x'\cos\left(\Omega t\right) - y'\sin\left(\Omega t\right)</math>
: <math>y =  x'\sin\left(\Omega t\right) + y'\cos\left(\Omega t\right)</math>

và biến đổi ngược lại ta có:

: <math>x' = x\cos\left(-\Omega t\right) - y\sin\left(-\Omega t \right)</math>
: <math>y' =  x\sin\left(-\Omega t \right) + y\cos\left(-\Omega t \right)</math>

Kết quả này có thể nhận được bởi một [[ma trận]] quay.

Các vectơ <math>\vec{{\imath}},\ \vec{{\jmath}},\ \vec{{k}}</math> là các [[vectơ#Các khái niệm cơ bản|vectơ đơn vị]] trong hệ quy chiếu quay. Và [[đạo hàm và vi phân của hàm số|đạo hàm]] theo [[thời gian]] của các [[vectơ]] này sẽ được chứng minh sau đây. Giả sử 2 hệ quy chiếu trùng nhau ở ''t = ''0 và trục ''z'' là trục quay. Với chiều quay theo chiều ngược kim hồng hồ với góc quay là ''&Omega;t'' ta có:

: <math>\vec{{\imath}}(t) = (\cos\Omega t,\ \sin \Omega t) </math>

với các thành phần (''x'', ''y'') được thể hiện ở [[hệ quy chiếu]] quán tính. Tương tự:

: <math>\vec{{\jmath}}(t) = (-\sin \Omega t,\ \cos \Omega t).</math>

[[Đạo hàm và vi phân của hàm số|Đạo hàm]] theo [[thời gian]] của các vectơ này là:

: <math>\frac{d}{dt}\vec{{\imath}}(t) = \Omega (-\sin \Omega t, \ \cos \Omega t)=  \Omega \vec{{\jmath}} \; </math>
: <math>\frac{d}{dt}\vec{{\jmath}}(t) = \Omega (-\cos \Omega t, \ -\sin \Omega t)= - \Omega \vec{{\imath}}. </math>

Kết quả thu được cũng có thể thể hiện như một [[tích vectơ|tích hữu hướng]] với [[vectơ]] [[vận tốc góc]] <math>\vec{\Omega}</math> hướng theo trục z: <math>\vec{\Omega}=(0,\ 0,\ \Omega)</math>, cụ thể là:

: <math>\frac{d}{dt}\vec{{u}} = \vec{\Omega} \ { \times } \ \vec{{ u}} \, </math>

với <math>\vec{{ u}}</math> có thể là <math>\vec{{\imath}}</math> hay là <math> \vec{{\jmath}}</math>.

=== Đạo hàm theo thời gian của 2 hệ quy chiếu ===

Bây giờ, sự quay sẽ được tổng quát. Nếu hệ quy chiếu quay quay với [[vận tốc góc|tốc độ góc]] <math> \Omega </math> quanh một trục <math> {\Omega}</math> thì với mỗi [[vectơ]] <math>\vec{{u}}</math> của hệ quy chiếu quay đều tuân thủ theo phương trình sau:

:<math> \frac{d}{dt}\vec{{u}}=\vec\Omega \times \vec{u}.</math>

Nếu chúng ta có một hàm [[vectơ]] <math>\vec{f}</math>:

:<math> \vec{f}(t)=f_x(t) \vec{{\imath}}+f_y(t) \vec{{\jmath}}+f_z(t) \vec{{k}}\, </math>

và chúng ta muốn khảo sát [[đạo hàm và vi phân của hàm số|đạo hàm]] bậc nhất của nó (sử dụng [[quy tắc nhân]] của phép vi phân):

:<math>\frac{d}{dt}\vec{f}=\frac{df_x}{dt}\vec{{\imath}}+\frac{d\vec{{\imath}}}{dt}f_x+\frac{df_y}{dt}\vec{{\jmath}}+\frac{d\vec{{\jmath}}}{dt}f_y+\frac{df_z}{dt}\vec{{k}}+\frac{d\vec{{k}}}{dt}f_z</math>
::<math>=\frac{df_x}{dt}\vec{{\imath}}+\frac{df_y}{dt}\vec{{\jmath}}+\frac{df_z}{dt}\vec{{k}}+[\vec{\Omega} \times (f_x \vec{{\imath}} + f_y \vec{{\jmath}}+f_z \vec{{k}})]</math>
::<math>= \left(\frac{d\vec{f}}{dt}\right)_r+\vec\Omega \times \vec{f}(t)\,</math>
với <math>\left(\frac{d\vec{f}}{dt}\right)_r</math> là sự thay đổi của <math>\vec{f}</math> quan sát được trong hệ quy chiếu quay. Chúng ta có thể viết tắt nó như sau:
::<math>\frac{d}{dt}\vec{f} =\left[ \left(\frac{d}{dt}\right)_r + \vec{\Omega}\ \times \right] \vec{f}. </math>

=== Liên hệ vận tốc giữa 2 hệ quy chiếu ===
[[Vận tốc]] của một vật là [[đạo hàm và vi phân của hàm số|đạo hàm]] theo thời gian [[vị trí]] của vật đó, hay là

:<math>\vec{v} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \frac{d\vec{r}}{dt}</math>

[[Đạo hàm và vi phân của hàm số|Đạo hàm]] theo thời gian của một [[vị trí]] <math>\vec{r}(t)</math> trong hệ quy chiếu quay có hai thành phần, một là phụ thuộc thời gian do chuyển động của hạt, còn lại là do chuyển động quay của hệ quy chiếu. Áp dụng kết quả của phần trước cho độ dời <math>\vec{r}(t)</math>, [[vận tốc]] trong 2 [[hệ quy chiếu]] liên hệ với nhau theo phương trình:

:<math> 
\vec{v}_i \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \frac{d\vec{r}}{dt} = 
\left(\frac{d\vec{r}}{dt} \right)_{{r}} + 
\vec\Omega \times \vec{r} = 
\vec{v}_{{r}} + \vec\Omega \times \vec{r} \,
</math>
với chữ ''i'' nhỏ tức là trong [[hệ quy chiếu]] quán tính, và ''r'' nhỏ tức là trong hệ quy chiếu quay.

=== Liên hệ gia tốc giữa 2 hệ quy chiếu ===
[[Gia tốc]] là [[đạo hàm và vi phân của hàm số|đạo hàm]] bậc 2 của [[vị trí]], hay là [[đạo hàm và vi phân của hàm số|đạo hàm]] bậc nhất của [[vận tốc]]:

:<math> 
\vec{a}_{\mathrm{i}} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   
\left(\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}\right)_{\mathrm{i}} = 
\left(\frac{d\vec{v}}{dt} \right)_{\mathrm{i}} = 
\left[  \left(\frac{d}{dt} \right)_{\mathrm{r}} + 
\vec\Omega \ \times 
\right]
\left[
\left(\frac{d\vec{r}}{dt} \right)_{\mathrm{r}} + 
\vec\Omega \times \vec{r} 
\right] \,
</math>
với chữ ''i'' nhỏ tức là trong [[hệ quy chiếu]] quán tính.
[[Đạo hàm và vi phân của hàm số|Đạo hàm]] và sắp xếp lại các số hạng ta được:

:<math> 
\vec{a}_{\mathrm{r}} = 
\vec{a}_{\mathrm{i}} - 
2 \vec\Omega \times \vec{v}_{\mathrm{r}} - 
\vec\Omega \times (\vec\Omega \times \vec{r}) - 
\frac{d\vec\Omega}{dt} \times \vec{r}
</math>

với <math>\vec{a}_{\mathrm{r}} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \left(\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}} \right)_{\mathrm{r}}</math> là [[gia tốc]] thấy được trong hệ quy chiếu quay, số hạng <math>-\vec\Omega \times (\vec\Omega \times \vec{r})</math> biểu diễn [[lực ly tâm|lực quán tính ly tâm]], và số hạng <math>-2 \vec\Omega \times \vec{v}_{\mathrm{r}}</math> là [[hiệu ứng Coriolis]].

=== Định luật 2 Newton cho 2 hệ quy chiếu ===
Khi nhân biểu thức [[gia tốc]] cho [[khối lượng]] của [[chất điểm]], 3 số hạng thêm vào ở bên phải tạo nên các [[lực quán tính|lực ảo]] trong hệ quy chiếu quay, là những lực xuất hiện trong một hệ quy chiếu phi quán tính, chứ không phải là từ những tương tác của các vật.

Sử dụng [[các định luật của Newton về chuyển động|định luật 2 Newton]] <math>\vec{F}=m\vec{a}</math>, ta có:

* [[Hiệu ứng Coriolis|Lực Coriolis]]

:<math>
\vec{F}_{{Coriolis}} = 
-2m \vec\Omega \times \vec{v}_{{r}}
</math>

* [[Lực ly tâm|Lực quán tính ly tâm]]

:<math>
\vec{F}_{{centrifugal}} = 
-m\vec\Omega \times (\vec\Omega \times \vec{r})
</math>

* và [[Lực Euler]]

:<math>
\vec{F}_{{Euler}} = 
-m\frac{d\vec\Omega}{dt} \times \vec{r}
</math>

với <math>m</math> là [[khối lượng]] của vật bị tác dụng của các [[lực quán tính|lực ảo]] này. Chú ý rằng 3 lực này sẽ biến mất khi hệ quy chiếu không quay, đó là khi <math>\vec{\Omega} = \vec{0}. </math>

Gọi [[gia tốc]] trong [[hệ quy chiếu]] quán tính của vật <math>{a}_{{i}}</math> do tác động của các ngoại [[lực]] <math>{F}_{{imp}}</math>. Áp dụng [[các định luật của Newton về chuyển động|định luật 2 Newton]] ta có:

:<math>
\vec{F}_{{imp}} = m \vec{a}_{{i}}
</math>
[[Các định luật của Newton về chuyển động|Định luật 2 Newton]] trong hệ quy chiếu quay được viết đầy đủ như sau:
::<math>\vec{F}_{{r}} = \vec{F}_{{imp}} +\vec{F}_{{centrifugal}} +\vec{F}_{{Coriolis}}+\vec{F}_{{Euler}} = m\vec{a}_{{r}}. </math>

== Lực quán tính ly tâm ==
:Bài chi tiết: [[Lực ly tâm]]

Trong [[cơ học cổ điển]], [[lực ly tâm|lực quán tính ly tâm]] là một [[lực]] hướng ra ngoài liên quan đến sự quay. [[Lực ly tâm|Lực quán tính ly tâm]] là một trong một vài [[lực quán tính|lực ảo]] (còn gọi là lực quán tính). Khác với lực thật, nó không có nguồn gốc là sự tương tác của các vật thể. Thay vào đó, lực quán tính ly tâm có nguồn gốc từ sự quay của hệ quy chiếu mà chúng ta đang khảo sát.

== Hiệu ứng Coriolis ==
:Bài chi tiết: [[Hiệu ứng Coriolis]]

Các biểu thức toán học của [[hiệu ứng Coriolis|lực Coriolis]] xuất hiện vào năm 1835 bởi một nhà khoa học người Pháp [[Gaspard-Gustave de Coriolis|Gaspard-Gustave Coriolis]] khi nghiên cứu về [[cơ học chất lưu]], và cũng xuất hiện trước đó trong các phương trình thủy triều của [[Pierre-Simon Laplace]] năm 1778. Đầu thế kỷ 20, [[hiệu ứng Coriolis|lực Coriolis]] bắt đầu được sử dụng trong [[khí tượng học]].

Có lẽ [[Trái Đất]] là hệ quy chiếu quay quen thuộc nhất đối với chúng ta. Vật chuyển động trên bề mặt Trái Đất phải chịu [[hiệu ứng Coriolis|lực Coriolis]], và cong về phía bên phải khi ở [[Bắc Bán cầu|Bắc Bán Cầu]], và về phía bên trái khi ở [[Nam Bán cầu|Nam Bán Cầu]]. Chuyển động của [[khí quyển Trái Đất|không khí]] trong [[khí quyển]] và nước ở [[đại dương]] là các ví dụ điển hình của hiện tượng này: chúng không chuyển động trực tiếp từ vùng có áp cao đến vùng có áp thấp, mà gió và các dòng chảy có xu hướng cong về phía bên phải khi ở phía bắc [[Xích đạo]], và cong về phía bên trái khi ở phía Nam. Hiệu ứng này trả lời cho sự xoáy của các con lốc lớn.

== Lực Euler ==

Trong cơ học cổ điển, gia tốc Euler (đặt tên theo [[Leonhard Euler]]), cũng có thể biết đến như là gia tốc phương vị hay gia tốc ngang, là một loại [[gia tốc]] xuất hiện khi một hệ quy chiếu quay không đều được sử dụng để khảo sát chuyển động và có sự biến đổi vận tốc góc của trục hệ quy chiếu.

[[Lực Euler]] là 1 [[lực quán tính|lực ảo]] tác dụng lên 1 vật có liên quan đến gia tốc Euler bởi công thức F = ma, với a là gia tốc Euler và m là khối lượng của vật.

== Xem thêm ==
*[[Hệ quy chiếu]]
*[[Lực quán tính]]
*[[Hiệu ứng Coriolis]]
*[[Lực ly tâm]]

==Tham khảo==
{{tham khảo}}

[[Thể loại:Hệ quy chiếu]]
[[Thể loại:Cơ học cổ điển]]
[[Thể loại:Cơ học]]
[[Thể loại:Vật lý học]]
[[Thể loại:Khảo sát]]
[[Thể loại:Xoay tròn]]