Xem mã nguồn của Hệ tọa độ cực

[[Tập tin:CircularCoordinates.svg|nhỏ|250px|Các điểm trong hệ tọa độ cực với gốc cực ''O'' và trục cực ''L''. Điểm màu xanh lá có bán kính là 3 và góc phương vị là 60°, tọa độ là (3, 60°). Điểm màu xanh dương có tọa độ là (4, 210°).]]

Trong [[toán học]], '''hệ tọa độ cực''' là một [[hệ tọa độ]] hai chiều trong đó mỗi [[điểm (hình học)|điểm]] bất kỳ trên một [[mặt phẳng (toán học)|mặt phẳng]] được xác định bởi [[khoảng cách]] từ điểm đó tới một điểm gốc và [[góc]] từ hướng gốc cho trước. Điểm gốc đó (tương tự với gốc tọa độ trong [[hệ tọa độ Descartes]]) được gọi là ''gốc cực'' và [[Đường thẳng|tia]] vẽ từ gốc theo hướng gốc đã cho được gọi là ''trục cực''. Khoảng cách từ điểm gốc được gọi là ''bán kính'' và góc đó được gọi là ''góc phương vị''.<ref name="brown">{{chú thích sách|url=https://archive.org/details/advancedmathemat00rich_0|title=Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis|last=Brown|first=Richard G.|publisher=McDougal Littell|year=1997|isbn=0-395-77114-5|editor=Andrew M. Gleason|location=Evanston, Illinois}}</ref> Bán kính được ký hiệu là ''r'' hoặc ''[[Rho|ρ]]'', còn góc phương vị được ký hiệu là ''[[Phi (chữ cái)|φ]]'', ''[[Theta|θ]]'', hoặc ''t''. Góc trong hệ tọa độ cực có thể được biểu diễn theo [[Độ (góc)|độ]] hoặc [[radian]] (2[[Pi|{{pi}}]] rad bằng 360°).

[[Grégoire de Saint-Vincent]] và [[Bonaventura Cavalieri]] đưa ra các khái niệm trên một cách độc lập vào giữa thế kỷ 17, mặc dù thuật ngữ ''hệ tọa độ cực'' được cho là do [[Gregorio Fontana]] tìm ra vào thế kỷ 18. Sự ra đời của hệ tọa độ cực chủ yếu đến từ nghiên cứu [[chuyển động tròn]] và chuyển động theo [[quỹ đạo]].

Hệ tọa độ cực hữu ích trong những trường hợp mà trong đó quan hệ giữa hai điểm dễ được viết dưới dạng góc và khoảng cách, chẳng hạn như các đường [[xoắn ốc]]. Có thể dễ dàng xây dựng một mô hình hệ vật lý phẳng gồm các chất điểm chuyển động quanh một điểm cố định thông qua hệ tọa độ cực.

Hệ tọa độ cực được mở rộng sang không gian ba chiều qua các [[hệ tọa độ trụ]] và [[Hệ tọa độ cầu|cầu]].

== Lịch sử ==
[[Tập tin:Hipparchos 1.jpeg|thumb|Hipparchus|thế=|trái]]
Khái niệm góc và bán kính đã được người xưa sử dụng từ thế kỷ thứ nhất trước Công nguyên. Nhà thiên văn học [[Hipparchus (nhà thiên văn)|Hipparchus]] (190-120 TCN) đã lập một bảng hàm các [[dây cung]] cho biết chiều dài dây cung cho mỗi góc. Có tài liệu cho rằng ông sử dụng tọa độ cực để thiết lập vị trí các thiên hà.<ref name="milestones">{{chú thích web| last = Friendly| first = Michael| title = Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization| url = http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/milestone/sec4.html| access-date = ngày 10 tháng 9 năm 2006}}</ref> Trong cuốn ''[[On Spirals]]'' (''Bàn về tuyến xoắn''), [[Archimedes]] đã mô tả [[xoắn ốc Archimedean]], một hàm mà bán kính của nó phụ thuộc vào góc. Tuy nhiên, công trình của nhà khoa học Hy Lạp lại không mở rộng ra một hệ tọa độ đầy đủ.

Từ thế kỷ 8 trở về sau, các nhà thiên văn đã phát triển các phương pháp cho việc xấp xỉ và tính toán phương hướng và khoảng cách từ bất kỳ vị trí nào trên Trái Đất đến [[Mecca|Thánh địa Mecca]] ([[qibla]]).<ref>{{chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=AMOQZfrZq-EC&pg=PA161#v=onepage&f=false|title=Mathematics and the Divine: A Historical Study|last=King|first=David A.|publisher=Elsevier|year=2005|isbn=0-444-50328-5|editor1-last=Koetsier|editor1-first=Teun|location=Amsterdam|pages=162–78|chapter=The Sacred Geography of Islam|editor2-last=Luc|editor2-first=Bergmans}}</ref> Sau thế kỷ 9, họ đã sử dụng [[lượng giác hình cầu]] và các [[phép chiếu bản đồ]] để tính toán những con số này một cách chính xác. Việc tính toán về cơ bản là chuyển tọa độ cực xích đạo của [[Mecca]] thành tọa độ cực của chính Thánh địa đó so với một hệ thống có kinh tuyến tham chiếu là vòng tròn lớn qua các vị trí nhất định và các cực của Trái Đất, và có trục cực là đường thẳng qua các vị trí này và [[điểm đối cực]] của nó.<ref>King ([[Polar coordinate system#CITEREFKing2005|2005]], [https://books.google.com/books?id=AMOQZfrZq-EC&pg=PA169#v=onepage&f=false tr. 169]). Các phép tính đạt mức chính xác nhất có thể dựa trên giả thiết rằng Trái Đất là một hình cầu hoàn hảo.</ref>

Có nhiều lý giải khác nhau của lời giới thiệu tọa độ cực như là một phần của một hệ tọa độ chính quy. Lịch sử đầy đủ của chủ đề này đã được mô tả trong ''Origin of Polar Coordinates'' của giáo sư [[Đại học Harvard|Harvard]] [[Julian Lowell Coolidge]].<ref name="coolidge">{{Chú thích tạp chí|last=Coolidge|first=Julian|date=|year=1952|title=The Origin of Polar Coordinates|url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Extras/Coolidge_Polars.html|journal=American Mathematical Monthly|publisher=Mathematical Association of America|volume=59|issue=2|pages=78–85|doi=10.2307/2307104|jstor=2307104|via=}}</ref> [[Grégoire de Saint-Vincent]] và [[Bonaventura Cavalieri]] giới thiệu các khái niệm vào giữa thế kỷ 17. Saint-Vincent đã viết chúng một cách riêng tư năm 1625 và xuất bản vào năm 1647, trong khi Cavalieri xuất bản công trình của ông vào năm 1635 và một phiên bản hiệu đính trong năm 1653. Lúc đầu Cavalieri sử dụng tọa độ cực để giải quyết một bài toán liên quan đến diện tích của [[xoắn ốc Archimedean]]. Sau đó [[Blaise Pascal]] sử dụng hệ tọa độ cực để tính độ dài của [[Parabol|vòng cung parabol]].

Trong cuốn ''[[Method of Fluxions]]'' (viết năm 1671, xuất bản năm 1736), [[Isaac Newton]] đã khảo sát sự chuyển đổi giữa hệ tọa độ cực, mà ông gọi là "Phương pháp Thứ bảy; Dành cho xoắn ốc", và chín hệ toạ độ khác.<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Boyer|first=C. B.|year=1949|title=Newton as an Originator of Polar Coordinates|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1949-02_56_2/page/73|journal=American Mathematical Monthly|publisher=Mathematical Association of America|volume=56|issue=2|pages=73–78|doi=10.2307/2306162|jstor=2306162}}</ref> Trong tạp chí ''[[Acta Eruditorum]]'' (1691), [[Jacob Bernoulli]] đã sử dụng một hệ gồm một điểm nằm trên một đường thẳng, gọi là ''cực'' và ''trục cực'' tương ứng. Các tọa độ được xác định bằng khoảng cách từ cực và góc từ trục cực. Công trình của Bernoulli đã mở rộng cách tìm [[bán kính cong]] của các đường cong biểu diễn qua những tọa độ này.

Thực tế thuật ngữ ''tọa độ cực'' được công nhận do [[Gregorio Fontana]] đưa ra và được sử dụng bởi các nhà văn Ý thế kỷ 18. Thuật ngữ này xuất hiện trong [[tiếng Anh]] tại bản dịch ''Differential and Integral Calculus'' của [[Sylvestre François Lacroix|Lacroix]] do [[George Peacock]] dịch năm 1816.<ref>{{chú thích web|url=http://jeff560.tripod.com/p.html|title=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics|last=Miller|first=Jeff|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20100212043548/http://jeff560.tripod.com/p.html|ngày lưu trữ=2010-02-12|url-status=dead|access-date = ngày 28 tháng 6 năm 2020}}</ref><ref>{{chú thích sách|title=History of Mathematics, Vol II|url=https://archive.org/details/historyofmathema031897mbp|last=Smith|first=David Eugene|publisher=Ginn and Co.|year=1925|location=Boston|page=[https://archive.org/details/historyofmathema031897mbp/page/n339 324]}}</ref> [[Alexis Clairaut]] là người đầu tiên suy nghĩ về tọa độ cực trong không gian ba chiều, và [[Leonhard Euler]] là người đầu tiên thực sự phát triển các ý tưởng đó.<ref name="coolidge" />

== Quy ước ==
[[Tập tin:Polar graph paper.svg|thumb|310x310px|Một khung lưới cực gồm nhiều góc tăng dần theo chiều ngược kim đồng hồ (đơn vị độ)]]
Toạ độ bán kính thường được ký hiệu là ''r'' hoặc ''[[Rho|ρ]]'', còn toạ độ góc là ''[[Phi (chữ cái)|φ]]'', ''[[Theta|θ]]'', hoặc ''t.'' Toạ độ góc được quy định là ''φ'' theo tiêu chuẩn [[ISO]] [[ISO 31-11|31-11]]. Tuy nhiên, trong một số tài liệu toán học góc được ký hiệu là ''θ'' thay vì ''φ.''

Các góc trong ký hiệu cực thường được biểu diễn bằng một trong hai đơn vị đo độ là [[Độ (góc)|độ]] hoặc [[radian]] (2[[Pi|{{pi}}]] rad bằng 360°). Thông thường độ được sử dụng trong [[định hướng]], [[khảo sát xây dựng]] và nhiều lĩnh vực khác, trong khi radian phổ biến hơn trong toán học và [[Vật lý học|vật lý]] toán học.<ref>{{chú thích sách|title=Principles of Physics|last=Serway|first=Raymond A.|author2=Jewett, Jr., John W.|publisher=Brooks/Cole—Thomson Learning|year=2005|isbn=0-534-49143-X}}</ref>

Góc ''φ'' được xác định là bắt đầu tại 0° từ ''hướng gốc'' và tăng dần khi quay ngược chiều hoặc cùng chiều kim đồng hồ. Trong toán học, hướng gốc là [[Đường thẳng|tia]] vẽ từ điểm gốc qua bên phải, và góc cực tăng lên giá trị dương khi quay ngược chiều kim đồng hồ, trong khi trong định hướng trục 0° được vẽ hướng lên và góc cực tăng dần khi quay cùng chiều kim đồng hồ. Khi quay ngược lại với chiều tương ứng thì góc cực giảm xuống giá trị âm.

=== Tính duy nhất của tọa độ cực ===
Thêm một vòng quay (360°) vào toạ độ góc không làm thay đổi phương hướng của góc ban đầu. Tương tự, một toạ độ bán kính âm nên được hiểu là khoảng cách dương tương ứng đo theo chiều ngược lại (thêm vào góc cực 180°). Do đó, một điểm có thể được biểu diễn bằng vô số các tọa độ cực khác nhau có dạng {{nowrap|(''r'', ''φ'' + ''n'' × 360°)}} và {{nowrap|(−''r'', ''φ'' + 180° + ''n'' × 360°) {{=}} (−''r'', ''φ'' + (2''n'' + 1) × 180°)}}, trong đó n là [[số nguyên]] bất kỳ. Hơn nữa, bản thân cực có thể được biểu diễn thành (0, ''φ'') với mọi góc ''φ.<ref>{{chú thích sách|title=Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry|last=Lee|first=Theodore|author2=David Cohen|author3=David Sklar|publisher=Thomson Brooks/Cole|year=2005|isbn=0-534-40230-5|edition=4 |location=|pages=}}</ref>''

Trong trường hợp cần một biểu diễn duy nhất đối với mọi điểm ngoài góc cực, cần giới hạn ''r'' là các số không âm (''r'' > 0) và ''φ'' nằm trong [[Khoảng (toán học)|khoảng]] [0, 360°) hoặc (−180°, 180°] (trong đơn vị radian là [0,&nbsp;2{{pi}}) hoặc (−{{pi}},&nbsp;{{pi}}]).<ref>{{chú thích sách|title=Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane)|url=https://archive.org/details/complexanalysish0000stew|last=Stewart|first=Ian|author2=David Tall|publisher=Cambridge University Press|year=1983|isbn=0-521-28763-4}}</ref> Một quy ước khác dựa trên [[tập hợp đích]] của [[Các hàm lượng giác ngược|hàm arctan]], cho phép giá trị của bán kính là một số thực khác không và giới hạn góc cực trong khoảng (−90°, 90°]. Trong mọi trường hợp, cần phải chọn một góc phương vị riêng cho cực, ví dụ, ''φ'' = 0.

== Chuyển đổi giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes ==
[[Tập tin:Polar to cartesian.svg|nhỏ|250x250px|Một biểu đồ minh họa mối quan hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes]]
[[Tập tin:Cartesian to polar.gif|nhỏ|250x250px|Một đường cong trong mặt phẳng Descartes có thể được ánh xạ lên tọa độ cực. Trong hình ảnh động này, <math>y = \sin (6x) + 2
</math> được ánh xạ thành <math>r = \sin (6 \theta) + 2</math>. Nhấp vào hình để xem chi tiết.]]
Các tọa độ cực ''r'' và ''φ'' có thể được chuyển đổi sang [[Hệ tọa độ Descartes|tọa độ Descartes]] ''x'' và ''y'' thông qua các [[hàm lượng giác]] sin và cosin:
:<math>\begin{align}
  x &= r \cos \varphi, \\
  y &= r \sin \varphi.
\end{align}</math>
Ngược lại, các tọa độ Descartes ''x'' và ''y'' có thể được chuyển đổi sang tọa độ cực ''r'' và ''φ'' với ''r'' ≥ 0 và ''φ'' nằm trong khoảng (−{{pi}}, {{pi}}] theo công thức:<ref>{{chú thích sách|title=The Student's Introduction to Mathematica|url=https://archive.org/details/studentsintroduc0000torr|last=Torrence|first=Bruce Follett|author2=Eve Torrence|publisher=Cambridge University Press|year=1999|isbn=0-521-59461-8}}</ref>

:<math>r = \sqrt{x^2 + y^2} \quad</math> (như trong [[định lý Pythagoras]] hoặc [[Tiên đề Euclid về đường thẳng song song|tiên đề Euclid]]), và

:<math>\varphi = \operatorname{atan2}(y, x),</math>

với [[atan2]] là một biến thể phổ biến của hàm số arctan được định nghĩa là:
:<math>\operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases}
   \arctan\left(\frac{y}{x}\right)       & \mbox{khi } x > 0\\
   \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi & \mbox{khi } x < 0 \mbox{ và } y \ge 0\\
   \arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \pi & \mbox{khi } x < 0 \mbox{ và } y < 0\\
   \frac{\pi}{2}                         & \mbox{khi } x = 0 \mbox{ và } y > 0\\
  -\frac{\pi}{2}                         & \mbox{khi } x = 0 \mbox{ và } y < 0\\
   \text{KXĐ}                            & \mbox{khi } x = 0 \mbox{ và } y = 0.
\end{cases}</math>
Nếu ''r'' được tính như trên thì hàm của ''φ'' có thể được phát biểu như sau, sử dụng hàm [[Hàm lượng giác ngược|arccos]]:
:<math>\varphi = \begin{cases}
   \arccos\left(\frac{x}{r}\right) & \mbox{khi } y \ge 0 \mbox{ và } r \neq 0 \\
  -\arccos\left(\frac{x}{r}\right) & \mbox{khi } y < 0 \\
   \text{KXĐ}                      & \mbox{khi } r = 0.
\end{cases}</math>

Giá trị của góc ''φ'' ở trên là [[giá trị chủ yếu]] của hàm [[Số phức|số phức arg]] áp dụng cho ''x'' + ''iy.'' Có thể thu được một góc trong khoảng [0, 2{{pi}}) bằng cách cộng 2{{pi}} vào giá trị của nó trong trường hợp nó âm.

== Phương trình cực của đường cong ==
Phương trình xác định một [[đường cong đại số]] được biểu diễn bằng tọa độ cực được gọi là ''phương trình cực''. Trong nhiều trường hợp, có thể xác định một phương trình như vậy bằng cách biểu diễn ''r'' thành một [[Hàm số|hàm]] của ''φ''. Đường cong thu được là tập hợp các điểm có dạng (''r''(''φ''),&nbsp;''φ'') và được gọi là [[Đồ thị của hàm số|đồ thị]] của hàm cực ''r''.

Các dạng [[đối xứng]] hình học có thể được suy ra từ phương trình của hàm cực ''r''. Nếu {{nowrap|''r''(−''φ'') {{=}} ''r''(''φ'')}} thì đường cong đối xứng qua tia nằm ngang (0°/180°), nếu {{nowrap|''r''({{pi}} − ''φ'') {{=}} ''r''(''φ'')}} thì nó đối xứng qua tia nằm dọc (90°/270°), và nếu {{nowrap|''r''(''φ'' − α) {{=}} ''r''(''φ'')}} thì nó [[đối xứng xoay]] bởi α theo chiều và ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc cực.

Do tính chất đặc biệt của hệ tọa độ cực nên nhiều đường cong có thể được mô tả qua phương trình cực đơn giản khi dạng tọa độ Descartes của chúng phức tạp hơn. Một số đường cong phổ biến nhất gồm [[Hoa (toán học)|hoa cực]], [[xoắn ốc Archimedean]], [[đường lemniscat]], [[đường ốc sên]] và [[đường hình tim]] (''cardioid'').

Đối với đường tròn, đường thẳng và bông hoa cực, không có điều kiện nào cho tập xác định và tập đích của mỗi đường.

=== Đường tròn ===
[[Tập tin:Circle r=1.svg|nhỏ|Một đường tròn có phương trình {{nowrap|''r''(''φ'') {{=}} 1}}]]
Phương trình tổng quát của đường tròn có tâm {{nowrap|(''r''<sub>0</sub>, <math>\gamma</math>)}} và bán kính ''a'' là
:<math>r^2 - 2 r r_0 \cos(\varphi - \gamma) + r_0^2 = a^2.</math>
Phương trình trên có thể được rút gọn theo nhiều cách khác nhau trong các trường hợp đặc biệt, chẳng hạn như phương trình
:<math>r(\varphi)=a </math>
của đường tròn có tâm tại gốc cực và bán kính ''a''.<ref name="ping">{{chú thích web|url=http://www.ping.be/~ping1339/polar.htm|title=Polar coordinates|last=Claeys|first=Johan|archiveurl=https://web.archive.org/web/20060427230725/http://www.ping.be/~ping1339/polar.htm|archive-date = ngày 27 tháng 4 năm 2006 |url-status=dead|access-date = ngày 29 tháng 6 năm 2020}}</ref>

Khi {{math|''r''}}<sub>0</sub> = {{math|a}}, hay gốc tọa độ nằm trên đường tròn thì phương trình trở thành
:<math>r = 2 a\cos(\varphi - \gamma).</math>
Trong trường hợp tổng quát, có thể giải phương trình trên để tìm {{math|''r''}}:
:<math>r = r_0 \cos(\varphi - \gamma) + \sqrt{a^2 - r_0^2 \sin^2(\varphi - \gamma)}.</math>
Nghiệm của phương trình với dấu âm đặt trước căn cũng cho đường tròn giống nhau.

=== Đường thẳng ===
Đường thẳng ''hướng tâm'' (đi qua gốc cực) có phương trình
:<math>\varphi = \gamma,</math>
trong đó γ là góc nâng của đường thẳng, nghĩa là {{nowrap|γ {{=}} arctan ''m''}} với ''m'' là [[Độ dốc|hệ số góc]] của đường thẳng trong hệ tọa độ Descartes. Đường thẳng không hướng tâm [[vuông góc]] với đường thẳng hướng tâm {{nowrap|''φ'' {{=}} γ}} tại điểm (''r''<sub>0</sub>, γ) có phương trình
:<math>r(\varphi) = r_0 \sec(\varphi - \gamma).</math>
Nói cách khác, (''r''<sub>0</sub>, γ) là giao điểm của tiếp tuyến với đường tròn ảo bán kính ''r''<sub>0</sub>.

=== Bông hoa cực ===
[[Tập tin:Rose 2sin(4theta).svg|nhỏ|Một bông hoa cực với phương trình {{nowrap|''r''(''φ'') {{=}} 2 sin 4''φ''}}]]
[[Hoa (toán học)|Bông hoa cực]] là một đường cong toán học có dạng là bông hoa nhiều cánh và có phương trình cực là
:<math>r(\varphi) = a\cos\left(k\varphi + \gamma_0\right)</math>
với mọi hằng số γ<sub>0</sub> (kể cả số 0). Nếu ''k'' là số nguyên thì đồ thị thu được là một bông hoa ''k'' cánh khi ''k'' [[Tính chẵn lẻ|lẻ]] và 2''k'' cánh khi ''k'' chẵn. Nếu ''k'' là một số hữu tỉ không nguyên thì hình thu được gần giống một bông hoa nhưng các cánh hoa bị chồng lên nhau. Lưu ý rằng phương trình trên không xác định được bông hoa 2, 6, 10, 14,... cánh. [[Biến số]] ''a'' ảnh hưởng đến kích thước cánh hoa, trong khi ''k'' liên quan đến số cánh hoa của bông. Hằng số γ<sub>0</sub> được gọi là góc pha.{{Clear}}

=== Xoắn ốc Archimedean ===
[[Xoắn ốc Archimedean]] là một xoắn ốc do [[Archimedes]] tìm ra và có phương trình cực là

: <math>r(\varphi) = a+b\varphi. </math>

[[Tập tin:Spiral of Archimedes.svg|nhỏ|Một hướng xoắn của xoắn ốc Archimedean với phương trình {{nowrap|''r''(''φ'') {{=}} ''φ'' / 2{{pi}}}} khi {{nowrap|0 < ''φ'' < 6{{pi}}}}]]
Tham số ''a'' thay đổi làm quay xoắn ốc, còn ''b'' ảnh hưởng đến khoảng cách giữa các vòng xoắn (không thay đổi trong một xoắn ốc nhất định). Xoắn ốc Archimedean có hai hướng xoắn nối liền với nhau tại gốc cực, một hướng khi {{nowrap|''φ'' > 0}} và hướng còn lại khi {{nowrap|''φ'' < 0}}. Khi chiếu một hướng xoắn qua trục 90°/270° thì ảnh phản xạ thu được là hướng xoắn còn lại. Đây là một trong những đường cong đầu tiên sau [[đường conic]] được ghi nhận và mô tả trong toán học chính luận, và là một ví dụ điển hình về đường cong được xác định rõ nhất qua phương trình cực.{{Clear}}

=== Đường conic ===
[[Tập tin:Elps-slr.svg|nhỏ|250x250px|Một elip, trong đó có hiển thị bán trục bên]]
Một [[đường conic]] với một tiêu điểm trên gốc cực và tiêu điểm còn lại nằm trên tia 0° (sao cho trục lớn của đường conic nằm trên trục cực) được cho bởi

: <math>r = { \ell\over {1 - e \cos \varphi}}</math>

với ''e'' là [[độ lệch tâm]] và <math>\ell </math> là bán trục bên (khoảng cách vuông góc từ một tiêu điểm trên trục lớn đến đường conic). Phương trình trên xác định một [[hyperbol]] khi {{nowrap|''e'' > 1}}, [[parabol]] khi {{nowrap|''e'' {{=}} 1}}, [[Elíp|elip]] khi {{nowrap|''e'' < 1}} và một đường tròn bán kính <math>\ell </math> khi {{nowrap|''e'' {{=}} 0}}.{{Clear}}

== Giao điểm của hai đường cong cực ==

== Số phức ==

== Giải tích ==

== Mối liên hệ với tọa độ hình cầu và tọa độ hình trụ ==

==Tham khảo==
{{tham khảo}}

== Đọc thêm ==
{{refbegin}}
*{{chú thích sách|title=Calculus: a complete course|url=https://archive.org/details/calculuscomplete0000adam_c1q6|last=Adams|first=Robert|author2=Christopher Essex|publisher=Pearson Canada Inc.|year=2013|isbn=978-0-321-78107-9|edition=8 |location=|pages=}}
*{{chú thích sách|title=Calculus|url=https://archive.org/details/calculus0000anto_n5e7|last=Anton|first=Howard|author2=Irl Bivens|author3=Stephen Davis|publisher=Anton Textbooks, Inc.|year=2002|isbn=0-471-38157-8|edition=7 |location=|pages=}}
*{{chú thích sách|url=https://archive.org/details/calculusgraphica00ross|title=Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic|last=Finney|first=Ross|author2=George Thomas|author3=Franklin Demana|author4=Bert Waits|date=June 1994|publisher=Addison-Wesley Publishing Co.|year=|isbn=0-201-55478-X|location=|pages=}}
{{refend}}

== Liên kết ngoài ==

* {{springer|title=Polar coordinates|id=p/p073410}}
* {{dmoz|Science/Math/Software/Graphing/|Graphing Software}}
* [http://www.random-science-tools.com/maths/coordinate-converter.htm Công cụ chuyển đổi giữa tọa độ cực, tọa độ Descartes và tọa độ cầu]
* [http://scratch.mit.edu/projects/nevit/691690 Polar Coordinate System Dynamic Demo]
{{Sơ khai toán học}}
{{Kiểm soát tính nhất quán}}

[[Thể loại:Hệ tọa độ]]