Xem mã nguồn của Hệ tọa độ thiên văn

{{Infobox
 | title = Định hướng tọa độ thiên văn
 | image = [[Tập tin:Ecliptic equator galactic anim.gif|250px]]
 | caption = Tọa độ {{colorbox|yellow}}{{nbsp}}[[hệ tọa độ thiên hà|thiên hà]], {{colorbox|red}}{{nbsp}}[[hệ tọa độ hoàng đạo|hoàng đạo]], và {{colorbox|blue}}{{nbsp}}[[hệ tọa độ xích đạo|xích đạo]] của một ngôi [[sao]], được chiếu trên [[thiên cầu]]. Hệ tọa độ hoàng đạo và xích đạo đều lấy hướng cơ bản là hướng tới {{colorbox|magenta}}{{nbsp}}[[xuân phân (tọa độ thiên văn)|điểm xuân phân]] (vernal equinox), còn tọa độ thiên hà được [[hệ quy chiếu|tham chiếu]] tới {{colorbox|yellow}}{{nbsp}}trung tâm của [[Ngân Hà]]. Gốc tọa độ của các hệ tọa độ trên ("tâm của [[thiên cầu]]") có thể đặt tại tâm Trái Đất hoặc tại nơi người quan sát.
}}
Trong [[thiên văn học]], '''hệ tọa độ thiên văn''' là một [[Hệ tọa độ cầu|hệ tọa độ mặt cầu]] dùng để xác định vị trí biểu kiến của [[thiên thể]] trên [[thiên cầu]].

Trong [[hệ tọa độ Descartes|tọa độ Descartes]], một vật thể có ba tọa độ trong không gian ba chiều được xác định trên ba trục ''x'', ''y'' và ''z''. Ngược lại hệ tọa độ thiên văn của thiên thể không xác định khoảng cách đến người quan sát mà chỉ xác định các hướng quan sát của nó trên thiên cầu.

Có nhiều loại hệ tọa độ thiên văn khác nhau, được phân biệt và được đặt tên theo [[mặt phẳng tham chiếu]] (mặt phẳng cơ bản), hay các trục chính của hệ tọa độ. Mặt phẳng tham chiếu cắt thiên cầu tại [[đường tròn lớn]] nhất, chia thiên cầu thành hai nửa bằng nhau.

Định nghĩa các trục và mặt phẳng trong các hệ tọa độ có thể dùng hệ thống [[B1950]] hay hệ thống [[Kỷ nguyên (thiên văn học)#Năm Julius và J2000|J2000]] hiện đại hơn.

== Các hệ tọa độ thiên văn ==
Có nhiều hệ tọa độ được dùng trong thiên văn, trong đó các hệ tọa độ phổ biến là:
* [[Hệ tọa độ chân trời]] có mặt phẳng tham chiếu là mặt phẳng [[chân trời]], tại vị trí người quan sát.
* [[Hệ tọa độ xích đạo]] với mặt phẳng tham chiếu là mặt phẳng [[Xích đạo thiên cầu|xích đạo]] của [[Trái Đất]]. Đây là hệ tọa độ thiên văn được sử dụng phổ biến nhất.
* [[Hệ tọa độ hoàng đạo]] dùng mặt phẳng [[hoàng đạo]] làm mặt phẳng tham chiếu.
* [[Hệ tọa độ thiên hà]] dùng mặt phẳng [[Ngân Hà]] làm mặt phẳng tham chiếu.
* [[Hệ tọa độ siêu thiên hà]] có mặt phẳng tham chiếu chứa số lượng [[Nhóm Địa phương|thiên hà địa phương]] nhiều hơn trung bình khi quan sát từ Trái Đất.
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
! rowspan="2" |Hệ tọa độ<ref>{{chú thích web|url=http://www.faculty.virginia.edu/ASTR5610/lectures/COORDS/coords.html|title=Coordinate Systems|last=Majewski|first=Steve|publisher=UVa Department of Astronomy|access-date=ngày 19 tháng 3 năm 2011|archive-date = ngày 12 tháng 3 năm 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160312195329/http://faculty.virginia.edu/ASTR5610/lectures/COORDS/coords.html|url-status=dead}}</ref>
! rowspan="2" |Tâm của thiên cầu (điểm gốc tọa độ)
! rowspan="2" |Mặt phẳng cơ bản
(vĩ độ 0°)
! rowspan="2" |Điểm cực
(vĩ độ ±90°)
! colspan="2" |Tọa độ
! rowspan="2" |Hướng cơ bản
(kinh độ 0°)
|-
!Vĩ độ
!Kinh độ
|-
|[[Hệ tọa độ chân trời|Chân trời]] (còn gọi là hệ {{abbr|alt|altitude (độ cao)}}-{{abbr|az|azimuth (phương vị)}} hay {{abbr|el|elevation (độ cao)}}-az)
|Người quan sát
|[[Chân trời]]
|[[Thiên đỉnh]], [[thiên để]]
|Góc cao hay độ cao ({{math|''a''}})
|[[Góc phương vị]] ({{math|''A''}})
|Điểm hướng [[Hướng Nam|nam]] hoặc [[Hướng Bắc|bắc]] trên chân trời
|-
|[[Hệ tọa độ xích đạo|Xích đạo]]
| rowspan="2" |Tâm của [[Trái Đất]]{{nbsp}}(địa{{nbsp}}tâm) hoặc [[Mặt Trời]]{{nbsp}}(nhật{{nbsp}}tâm)
|[[Xích đạo thiên cầu]]
|[[Thiên cực]]
|[[Xích vĩ]] ({{math|''δ''}})
|[[Xích kinh]] ({{math|''α''}})
hay [[góc giờ]] ({{math|''h''}})
| rowspan="2" |[[Xuân phân (tọa độ thiên văn)|Điểm xuân phân]]
|-
|[[Hệ tọa độ hoàng đạo|Hoàng đạo]]
|[[Hoàng đạo]]
|[[Điểm cực quỹ đạo#Hoàng cực|Hoàng cực]]
|[[Hoàng vĩ]] ({{math|''β''}})
|[[Hoàng kinh]] ({{math|''λ''}})
|-
|[[Hệ tọa độ thiên hà|Thiên hà]]
|Tâm của [[Mặt Trời]]
|[[Mặt phẳng thiên hà|Mặt phẳng Ngân Hà]]
|[[Hệ tọa độ thiên hà|Cực thiên hà]]
|Vĩ độ thiên hà ({{math|''b''}})
|Kinh độ thiên hà ({{math|''l''}})
|[[Trung tâm Ngân Hà]]
|-
|[[Hệ tọa độ siêu thiên hà|Siêu thiên hà]]
|
|[[Hệ tọa độ siêu thiên hà|Mặt phẳng siêu thiên hà]]
|Cực siêu thiên hà
|Vĩ độ siêu thiên hà ({{math|''SGB''}})
|Kinh độ siêu thiên hà ({{math|''SGL''}})
|Giao điểm của mặt phẳng siêu thiên hà và mặt phẳng Ngân Hà
|}

== Chuyển đổi giữa các tọa độ ==
{{see also|Tham số quỹ đạo|Góc Euler|Ma trận quay}}Dưới đây đưa ra các phép chuyển đổi giữa các hệ tọa độ thiên văn.<ref name="Meeus">{{chú thích sách|title=Astronomical Algorithms|last=Meeus|first=Jean|publisher=Willmann-Bell, Inc., Richmond, VA|year=1991|isbn=0-943396-35-2}}, chap. 12</ref> Xem [[Hệ tọa độ thiên văn#Lưu ý khi chuyển đổi|lưu ý]] trước khi sử dụng các phương trình.

=== Ký hiệu ===

* Hệ tọa độ chân trời
** {{mvar|A}}, [[góc phương vị]]
** {{mvar|a}}, [[góc cao]]
* Hệ tọa độ xích đạo
** {{mvar|α}}, [[xích kinh]]
** {{mvar|δ}}, [[xích vĩ]]
** {{mvar|h}}, [[góc giờ]]
* Hệ tọa độ hoàng đạo
** {{mvar|λ}}, [[hoàng kinh]]
** {{mvar|β}}, [[hoàng vĩ]]
* Hệ tọa độ thiên hà
** {{mvar|l}}, [[Hệ tọa độ thiên hà|kinh độ thiên hà]]
** {{mvar|b}}, [[Hệ tọa độ thiên hà|vĩ độ thiên hà]]
* Các ký hiệu khác
** {{math|''λ''<sub>o</sub>}}, [[Kinh độ|kinh độ của người quan sát]]
** {{math|''ϕ''<sub>o</sub>}}, [[Vĩ độ|vĩ độ của người quan sát]]
** {{mvar|ε}}, [[độ nghiêng trục quay]] Trái Đất (khoảng 23.4°)
** {{math|''θ''<sub>L</sub>}}, [[Thời gian thiên văn|thời gian sao địa phương]]
** {{math|''θ''<sub>G</sub>}}, [[Thời gian thiên văn|thời gian sao Greenwich]]

=== Góc giờ ↔ xích kinh ===

: <math>\begin{align}
       h &= \theta_\text{L} - \alpha & &\mbox{or} &      h &= \theta_\text{G} + \lambda_\text{o} - \alpha \\
  \alpha &= \theta_\text{L} - h      & &\mbox{or} & \alpha &= \theta_\text{G} + \lambda_\text{o} - h
\end{align}</math>

=== Xích đạo ↔ hoàng đạo ===
Các phương trình cổ điển sau, được suy ra từ tính toán [[lượng giác cầu]], đối với các phương trình cho tọa độ kinh độ được viết bên phải dấu ngoặc nhọn; chỉ cần chia phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai để có được phương trình với hàm tan thuận tiện hơn bên trái (phép chia này là không rõ ràng vì tan có chu kỳ 180° ({{pi}}) trong khi cos và sin có chu kỳ 360° (2{{pi}})).<ref name="ExplSupp">{{chú thích sách|title=Explanatory Supplement to the Astronomical Ephemeris and the American Ephemeris and Nautical Almanac|last1=U.S. Naval Observatory|first1=Nautical Almanac Office|last2=H.M. Nautical Almanac Office|publisher=H.M. Stationery Office, London|year=1961}}, sec. 2A</ref> Công thức tương đương với ma trận quay được cho bên dưới mỗi trường hợp.<ref>{{chú thích sách|title=Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac|url=https://archive.org/details/explanatorysuppl0003unse|last1=U.S. Naval Observatory|first1=Nautical Almanac Office|publisher=University Science Books, Mill Valley, CA|year=1992|isbn=0-935702-68-7|editor=P. Kenneth Seidelmann}}, section 11.43</ref>

: <math>\begin{align}
   \tan\left(\lambda\right) &= {\sin\left(\alpha\right) \cos\left(\varepsilon\right) + \tan\left(\delta\right) \sin\left(\varepsilon\right) \over \cos\left(\alpha\right)}; \qquad\begin{cases}
    \cos\left(\beta\right) \sin\left(\lambda\right) = \cos\left(\delta\right) \sin\left(\alpha\right) \cos\left(\varepsilon\right) + \sin\left(\delta\right) \sin\left(\varepsilon\right); \\
    \cos\left(\beta\right) \cos\left(\lambda\right) = \cos\left(\delta\right) \cos\left(\alpha\right).
  \end{cases} \\
     \sin\left(\beta\right) &= \sin\left(\delta\right) \cos\left(\varepsilon\right) - \cos\left(\delta\right) \sin\left(\varepsilon\right) \sin\left(\alpha\right) \\[3pt]
  \begin{bmatrix}
    \cos\left(\beta\right)\cos\left(\lambda\right) \\
    \cos\left(\beta\right)\sin\left(\lambda\right) \\
    \sin\left(\beta\right)
              \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
    1 &  0                            & 0                            \\
    0 &  \cos\left(\varepsilon\right) & \sin\left(\varepsilon\right) \\
    0 & -\sin\left(\varepsilon\right) & \cos\left(\varepsilon\right)
  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
    \cos\left(\delta\right)\cos\left(\alpha\right) \\
    \cos\left(\delta\right)\sin\left(\alpha\right) \\
    \sin\left(\delta\right)
  \end{bmatrix} \\[6pt]
    \tan\left(\alpha\right) &= {\sin\left(\lambda\right) \cos\left(\varepsilon\right) - \tan\left(\beta\right) \sin\left(\varepsilon\right) \over \cos\left(\lambda\right)} ; \qquad \begin{cases}
    \cos\left(\delta\right) \sin\left(\alpha\right) = \cos\left(\beta\right) \sin\left(\lambda\right) \cos\left(\varepsilon\right) - \sin\left(\beta\right) \sin\left(\varepsilon\right); \\
    \cos\left(\delta\right) \cos\left(\alpha\right) = \cos\left(\beta\right) \cos\left(\lambda\right).
  \end{cases} \\[3pt]
    \sin\left(\delta\right) &= \sin\left(\beta\right) \cos\left(\varepsilon\right) + \cos\left(\beta\right) \sin\left(\varepsilon\right) \sin\left(\lambda\right). \\[6pt]
  \begin{bmatrix}
    \cos\left(\delta\right)\cos\left(\alpha\right) \\
    \cos\left(\delta\right)\sin\left(\alpha\right) \\
    \sin\left(\delta\right)
  \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
    1 & 0                            &  0                            \\
    0 & \cos\left(\varepsilon\right) & -\sin\left(\varepsilon\right) \\
    0 & \sin\left(\varepsilon\right) &  \cos\left(\varepsilon\right)
  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
    \cos\left(\beta\right)\cos\left(\lambda\right) \\
    \cos\left(\beta\right)\sin\left(\lambda\right) \\
    \sin\left(\beta\right)
  \end{bmatrix}.
\end{align}</math>

=== Xích đạo ↔ chân trời ===
Lưu ý rằng góc phương vị ({{mvar|A}}) được đo từ điểm hướng nam, chiều dương hướng theo phía tây.<ref>{{chú thích sách|title=Astronomy on the Personal Computer|last1=Montenbruck|first1=Oliver|last2=Pfleger|first2=Thomas|publisher=Springer-Verlag Berlin Heidelberg|year=2000|isbn=978-3-540-67221-0}}, pp 35-37</ref> [[Góc thiên đỉnh]], tức là khoảng cách góc dọc theo đường tròn lớn từ [[thiên đỉnh]] tới vị trí thiên thể, đơn giản là [[Góc phụ nhau|góc phụ]] với góc cao: {{math|90° − ''a''}}.<ref>{{chú thích sách|title=The Astronomical Almanac for the Year 2010|last1=U.S. Naval Observatory|first1=Nautical Almanac Office|last2=U.K. Hydrographic Office|first2=H.M. Nautical Almanac Office|publisher=U.S. Govt. Printing Office|year=2008|isbn=978-0160820083|page=M18}}</ref>

: <math>\begin{align}
  \tan\left(A\right) &= {\sin\left(h\right) \over \cos\left(h\right) \sin\left(\phi_\text{o}\right) - \tan\left(\delta\right) \cos\left(\phi_\text{o}\right)}; \qquad \begin{cases}
    \cos\left(a\right) \sin\left(A\right) = \cos\left(\delta\right) \sin\left(h\right) ;\\
    \cos\left(a\right) \cos\left(A\right) = \cos\left(\delta\right) \cos\left(h\right) \sin\left(\phi_\text{o}\right) - \sin\left(\delta\right) \cos\left(\phi_\text{o}\right)
  \end{cases} \\[3pt]
  \sin\left(a\right) &= \sin\left(\phi_\text{o}\right) \sin\left(\delta\right) + \cos\left(\phi_\text{o}\right) \cos\left(\delta\right) \cos\left(h\right);
\end{align}</math>

Khi giải phương trình {{math|tan(''A'')}} để tìm phương vị {{math|''A''}}, nên sử dụng hàm [[Hàm lượng giác ngược|arctan]] [[Atan2|hai đối số]], ký hiệu là {{math|arctan(''x'',''y'')}} để tránh nhầm lẫn về giá trị góc. Hàm arctan hai đối số tính toán arctan của {{math|{{sfrac|''y''|''x''}}}}, với giá trị được xác định tùy theo [[góc phần tư]] chứa cặp {{math|(''x'',''y'')}}. Do đó, giá trị phương vị là phù hợp với quy ước góc phương vị được đo từ phía nam và chiều dương tới phía tây,

: <math>A = -\arctan(x,y)</math>,

trong đó

: <math>\begin{align}
  x &= -\sin\left(\phi_\text{o}\right) \cos\left(\delta\right) \cos\left(h\right) + \cos\left(\phi_\text{o}\right) \sin\left(\delta\right) \\
  y &=  \cos\left(\delta\right) \sin\left(h\right)
\end{align}</math>.

Nếu công thức trên cho một giá trị {{math|''A''}} âm, nó có thể được đổi thành dương bằng cách chỉ cần cộng thêm 360°.

: <math>\begin{align}
  \begin{bmatrix}
    \cos\left(a\right) \cos\left(A\right) \\
    \cos\left(a\right) \sin\left(A\right) \\
    \sin\left(a\right)
            \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
    \sin\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & -\cos\left(\phi_\text{o}\right) \\
    0                              & 1 &  0                              \\
    \cos\left(\phi_\text{o}\right) & 0 &  \sin\left(\phi_\text{o}\right)
  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
    \cos\left(\delta\right)\cos\left(h\right) \\
    \cos\left(\delta\right)\sin\left(h\right) \\
    \sin\left(\delta\right)
  \end{bmatrix} \\
                          &= \begin{bmatrix}
    \sin\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & -\cos\left(\phi_\text{o}\right) \\
    0                              & 1 &  0                              \\
    \cos\left(\phi_\text{o}\right) & 0 &  \sin\left(\phi_\text{o}\right)
  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
    \cos\left(\theta_L\right) &  \sin\left(\theta_L\right) & 0 \\
    \sin\left(\theta_L\right) & -\cos\left(\theta_L\right) & 0 \\
    0            &  0            & 1
  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
    \cos\left(\delta\right)\cos\left(\alpha\right) \\
    \cos\left(\delta\right)\sin\left(\alpha\right) \\
    \sin\left(\delta\right)
  \end{bmatrix}; \\[6pt]
       \tan\left(h\right) &= {\sin\left(A\right) \over \cos\left(A\right) \sin\left(\phi_\text{o}\right) + \tan\left(a\right) \cos\left(\phi_\text{o}\right)}; \qquad \begin{cases}
    \cos\left(\delta\right) \sin\left(h\right) = \cos\left(a\right) \sin\left(A\right); \\
    \cos\left(\delta\right) \cos\left(h\right) = \sin\left(a\right) \cos\left(\phi_\text{o}\right) + \cos\left(a\right) \cos\left(A\right) \sin\left(\phi_\text{o}\right)
  \end{cases} \\[3pt]
  \sin\left(\delta\right) &= \sin\left(\phi_\text{o}\right) \sin\left(a\right) - \cos\left(\phi_\text{o}\right) \cos\left(a\right) \cos\left(A\right);
\end{align}</math>{{efn|Depending on the azimuth convention in use, the signs of {{math|cos ''A''}} and {{math|sin ''A''}} appear in all four different combinations. Karttunen et al.,<ref name=Karttunen/> Taff,<ref name=Taff/> and Roth<ref name=Roth/> define {{math|''A''}} clockwise from the south. Lang<ref name=Lang/> defines it north through east, Smart<ref name=Smart/> north through west. Meeus (1991),<ref name=Meeus/> p.&nbsp;89: {{math|sin ''δ'' {{=}} sin ''φ'' sin ''a'' − cos ''φ'' cos ''a'' cos ''A''}}; ''Explanatory Supplement'' (1961),<ref name=ExplSupp/> p.&nbsp;26: {{math|sin ''δ'' {{=}} sin ''a'' sin ''φ'' + cos ''a'' cos ''A'' cos ''φ''}}.}}

Một lần nữa, khi giải phương trình {{math|tan(''h'')}} để tìm {{math|''h''}}, nên sử dụng hàm arctan hai đối số để phù hợp với quy ước phương vị được tính từ phía nam và chiều dương tới phía tây,

: <math>h = \arctan(x, y)</math>,

trong đó

: <math>\begin{align}
              x &= \sin\left(\phi_\text{o}\right)\cos\left(a\right) \cos\left(A\right) + \cos\left(\phi_\text{o}\right)\sin\left(a\right) \\
              y &= \cos\left(a\right)\sin\left(A\right) \\[3pt]
  \begin{bmatrix}
    \cos\left(\delta\right)\cos\left(h\right) \\
    \cos\left(\delta\right)\sin\left(h\right) \\
    \sin\left(\delta\right)
  \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
     \sin\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & \cos\left(\phi_\text{o}\right) \\
     0                              & 1 & 0                              \\
    -\cos\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & \sin\left(\phi_\text{o}\right)
  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
    \cos\left(a\right) \cos\left(A\right) \\
    \cos\left(a\right) \sin\left(A\right) \\
    \sin\left(a\right)
  \end{bmatrix} \\
  \begin{bmatrix}
    \cos\left(\delta\right) \cos\left(\alpha\right) \\
    \cos\left(\delta\right) \sin\left(\alpha\right) \\
    \sin\left(\delta\right)
  \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
    \cos\left(\theta_L\right) &  \sin\left(\theta_L\right) & 0 \\
    \sin\left(\theta_L\right) & -\cos\left(\theta_L\right) & 0 \\
    0                         &  0                         & 1
  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
     \sin\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & \cos\left(\phi_\text{o}\right) \\
     0                              & 1 & 0                              \\
    -\cos\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & \sin\left(\phi_\text{o}\right)
  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
    \cos\left(a\right) \cos\left(A\right) \\
    \cos\left(a\right) \sin\left(A\right) \\
    \sin\left(a\right)
  \end{bmatrix}.
\end{align}</math>

=== Xích đạo ↔ thiên hà ===
Các phương trình bên dưới<ref>{{Cite arXiv|title=Transformation of the equatorial proper motion to the Galactic system|last=Poleski|first=Radosław|year=2013|class=astro-ph.IM|eprint=1306.2945}}</ref> được dùng để chuyển đổi tọa độ xích đạo sang tọa độ thiên hà.

: <math>\begin{align}
  \cos\left(l_\text{NCP} - l\right)\cos(b) &= \sin\left(\delta\right) \cos\left(\delta_\text{G}\right) - \cos\left(\delta\right)\sin\left(\delta_\text{G}\right)\cos\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right) \\
  \sin\left(l_\text{NCP} - l\right)\cos(b) &= \cos(\delta)\sin\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right) \\
                        \sin\left(b\right) &= \sin\left(\delta\right) \sin\left(\delta_\text{G}\right) + \cos\left(\delta\right) \cos\left(\delta_\text{G}\right) \cos\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right)
\end{align}</math>

<math>\alpha_\text{G}, \delta_\text{G}</math> là tọa độ xích đạo của [[Thiên cực|Thiên cực Bắc]] và <math>l_\text{NCP}</math> là kinh độ thiên hà của Thiên cực Bắc. Các giá trị này tham chiếu theo [[Kỷ nguyên (thiên văn học)|J2000.0]] là:

: <math>\alpha_G = 192.85948^\circ \qquad \delta_G = 27.12825^\circ \qquad l_\text{NCP}=122.93192^\circ</math>

Nếu các tọa độ xích đạo được tham chiếu tới [[Điểm phân (tọa độ thiên văn)|điểm phân]] mốc khác thì chúng phải được chỉnh [[Tiến động|tuế sai]] tới vị trí của chúng tại kỷ nguyên J2000.0 trước khi áp dụng các công thức trên.

Các phương trình sau chuyển đổi sang tọa độ xích đạo được tham chiếu theo [[Kỷ nguyên (thiên văn học)|B2000.0]].

: <math>\begin{align}
  \sin\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right)\cos\left(\delta\right) &= \cos\left(b\right) \sin\left(l_\text{NCP} - l\right) \\
  \cos\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right)\cos\left(\delta\right) &= \sin\left(b\right) \cos\left(\delta_\text{G}\right) - \cos\left(b\right) \sin\left(\delta_\text{G}\right)\cos\left(l_\text{NCP} - l\right) \\
                                      \sin\left(\delta\right) &= \sin\left(b\right) \sin\left(\delta_\text{G}\right) + \cos\left(b\right) \cos\left(\delta_\text{G}\right) \cos\left(l_\text{NCP} - l\right)
\end{align}</math>

=== Thiên hà ↔ siêu thiên hà ===
{{Chính|Hệ tọa độ siêu thiên hà}}

=== Lưu ý khi chuyển đổi ===

* Góc viết theo [[Độ (góc)|độ]] (°), phút (′), và giây (″) trong hệ lục thập phân phải được chuyển đổi sang số thập phân trước khi thực hiện tính toán. Việc chúng cần phải được chuyển đổi thành độ thập phân hay [[radian]] phụ thuộc vào chương trình hay máy tính riêng biệt thực hiện tính toán. Giá trị góc âm cần phải được nhập cẩn thận; {{nowrap|–10° 20′ 30″}} phải chuyển thành {{nowrap|−10° −20′ −30″}}.
* Góc theo giờ (<sup>h</sup>), phút (<sup>m</sup>), và giây (<sup>s</sup>), ví dụ [[góc giờ]] hay xích kinh, cũng cần phải được chuyển sang [[Độ (góc)|độ]] thập phân hay [[radian]] trước khi thực hiện tính toán. 1<sup>h</sup>&nbsp;=&nbsp;15°; 1<sup>m</sup>&nbsp;=&nbsp;15′; 1<sup>s</sup>&nbsp;=&nbsp;15″
* Góc lớn hơn 360° (2{{pi}}) hoặc nhỏ hơn 0°Có thể cần được tối giản trong khoảng 0°~360° (0~2{{pi}}) tùy thuộc chương trình hoặc máy tính thực hiện tính toán.
* Cosin của một vĩ độ (độ cao, xích vĩ, hoàng vĩ và vĩ độ thiên hà) không bao giờ âm theo định nghĩa, vì vĩ độ chỉ thay đổi trong khoảng giữa −90° và +90°.
* Các [[hàm lượng giác ngược]] arcsin, arccos và arctan có thể cho giá trị góc nhưng không xác định rõ góc phần tư chứa góc đó, nên kết quả cần được đánh giá cẩn thận. Việc sử dụng [[Atan2|hàm arctan hai đối số]] (ký hiệu trên máy tính có thể là {{mono|atn2(''y'',''x'')}} hoặc {{mono|atan2(''y'',''x'')}}, tính arctan của {{math|{{sfrac|''y''|''x''}}}} và sử dụng dấu của cả hai đối số để xác định góc phần tư đúng) được khuyến khích khi tính toán kinh độ/xích kinh/phương vị. Một phương trình tìm giá trị [[sin]], sau đó đưa vào [[Hàm lượng giác|hàm arcsin]] nên được sử dụng khi tính toán vĩ độ/xích vĩ/độ cao.
* Góc phương vị ({{math|''A''}}) ở đây được tham chiếu tới điểm nam trên đường [[chân trời]], theo quy ước thiên văn thông dụng. Theo cách dùng này một vật thể nằm trên đường [[Kinh tuyến (thiên văn học)|kinh tuyến]] ở phía nam so với người quan sát có {{math|''A''}} = {{math|''a''}} = 0°. Tuy nhiên trong hệ AltAz của [[Astropy]], trong quy ước file [[FITS]] của [[Large Binocular Telescope|Kính viễn vọng ống nhòm lớn]] (LBT), trong [[XEphem]], trong thư viện [[SOFA (astronomy)|Standards of Fundamental Astronomy]] của [[International Astronomical Union|IAU]] và Phần B của [[Astronomical Almanac]] chẳng hạn, phương vị theo chiều Đông từ phía Bắc. Trong định hướng và một số ngành khác, phương vị được tính từ phía bắc.
* Các phương trình cho độ cao ({{math|''a''}}) chưa tính đến ảnh hưởng của [[khúc xạ khí quyển]].
* Các phương trình cho tọa độ chân trời chưa tính đến [[Thị sai|thị sai ngày]], tức là, sự sai lệch nhỏ trong vị trí của một thiên thể gây ra bởi vị trí của người quan sát trên bề mặt [[Trái Đất]]. Hiệu ứng này là đáng kể đối với [[Mặt Trăng]], ít hơn đối với các [[Hệ Mặt Trời|hành tinh]], và cực kỳ nhỏ đối với các [[Sao|ngôi sao]] hay các thiên thể xa hơn.
* Vĩ độ của người quan sát ({{math|''λ''<sub>o</sub>}}) ở đây được đo theo chiều dương về phía tây so với [[kinh tuyến gốc]]; trái với tiêu chuẩn [[International Astronomical Union|IAU]] hiện hành.

== Xem thêm ==

* [[Góc phương vị]] – góc giữa mặt phẳng tham chiếu và một điểm
* [[Hệ quy chiếu thiên thể barycentric]] (BCRS)
* [[Thiên cầu]] – Mặt cầu tưởng tượng với bán kính rất lớn, đồng tâm với người quan sát
* [[Hệ thống tham chiếu Thiên thể Quốc tế]] (ICRS) và [[Hệ quy chiếu Thiên thể Quốc tế]] (ICRF) – hệ thống quy ước tham chiếu tiêu chuẩn hiện hành.
* [[Tham số quỹ đạo]]
* [[Hệ tọa độ hành tinh]]
* [[Hệ quy chiếu trái đất]] (TRF)

== Chú thích ==
<references group="lower-alpha" />
== Tham khảo ==
{{tham khảo|refs=
<ref name=Smart>{{chú thích sách|first1=William Marshall |last1=Smart
|title=Text-book on spherical astronomy
|publisher=[[Cambridge University Press]]
|year=1949
|bibcode=1965tbsa.book.....S
}}</ref>
<ref name=Lang>{{chú thích sách| first1= Kenneth R. |last1=Lang
|title=Astrophysical Formulae
|year=1978
|publisher=Springer
|isbn=3-540-09064-9
|bibcode=1978afcp.book.....L
}}</ref>
<ref name=Taff>{{chú thích sách|first1=L. G. |last1=Taff
|title =Computational spherical astronomy
|url=https://archive.org/details/computationalsph0000taff |year=1981
|publisher=Wiley
|bibcode=1981csa..book.....T
|isbn=0-471-06257-X
}}</ref>
<ref name=Karttunen>{{chú thích sách| first1=H. |last1=Karttunen
|first2=P. |last2=Kröger
|first3=H. |last3=Oja
|first4=M. |last4=Poutanen
|first5=H. J. |last5=Donner
|title=Fundamental Astronomy
|year=2006
|edition=5
|isbn=978-3-540-34143-7
|bibcode=2003fuas.book.....K
}}</ref>
<ref name=Roth>{{chú thích sách|first1=G. D. |last1=Roth
|title=Handbuch für Sternenfreunde
|date=ngày 23 tháng 10 năm 1989
|isbn=3-540-19436-3
|publisher=Springer
}}</ref>
}}
=== Tham khảo sách ===
(bằng [[tiếng Anh]])
* The Astronomical Almanac, 1984, "The Introduction of the Improved IAU System of Astronomical Constants, Time Scales and Reference Frame into the Astronomical Almanac", Supplement section, pp. S1-S39, U. S. Government Printing Office, Washington and Her Majesty's Stationery Office, London. 
* Hohenkerk, C.Y., Yallop, B.D., Smith, C.A., Sinclair, A.T., 1992, "Celestial Reference Systems", Chapter 3, p.&nbsp;167, Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac, Seidelmann, P.K., Ed., U. S. Naval Observatory, University Science Books, Mill Valley, CA. 
* Archinal, B.A., 1992, "Terrestrial Coordinates and the Rotation of the Earth", Chapter 4, p.&nbsp;255, Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac Seidelmann, P.K., Ed., U. S. Naval Observatory, University Science Books, Mill Valley, CA. 
* Seidelmann, P.K., Guinot, B., Dogget, L.E., 1992, "Time", Chapter 2, p.&nbsp;42, Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac, Seidelmann, P.K., Ed., U. S. Naval Observatory, University Science Books, Mill Valley, CA. 
* Standish, E.M., Newhall, X X, Williams, J.G. and Folkner, W.F.: 1995, "JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE403/LE403", JPL IOM 314.10-127. 
== Liên kết ngoài ==
{{Thể loại Commons|Celestial coordinate systems}}
* [http://aa.usno.navy.mil/software/novas/novas_info.php NOVAS] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150628034916/http://aa.usno.navy.mil/software/novas/novas_info.php |date=2015-06-28 }}, the [[U.S. Naval Observatory]]'s Vector Astrometry Software, an integrated package of subroutines and functions for computing various commonly needed quantities in positional astronomy.
* [http://www.iausofa.org/ SOFA], the [[International Astronomical Union|IAU]]'s Standards of Fundamental Astronomy, an accessible and authoritative set of algorithms and procedures that implement standard models used in fundamental astronomy.
* ''This article was originally based on Jason Harris' Astroinfo, which comes along with [[KStars]], a [http://edu.kde.org/kstars/ KDE Desktop Planetarium] for [[Linux]]/[[KDE]].''
{{Hệ tọa độ thiên văn}}

[[Thể loại:Hệ tọa độ thiên văn| ]]
[[Thể loại:Thuật ngữ thiên văn học]]
[[Thể loại:Thiên văn học]]
[[Thể loại:Bản đồ học]]
[[Thể loại:Định hướng]]