Xem mã nguồn của Hệ thống đo lường Planck

{{short description|Hệ thống đơn vị đo lường định nghĩa bằng những hằng số vật lý tổng quát đưa ra bởi nhà vật lý Max Planck}}
Trong [[vật lý hạt]] và [[vũ trụ học vật lý]], '''hệ thống đo lường Planck''' là một tập các [[đơn vị đo lường]] định nghĩa hoàn toàn dựa trên năm [[hằng số vật lý]] phổ quát, sao cho những hằng số vật lý này có giá trị là [[1 (số)|1]] khi được biểu diễn trong hệ đơn vị Planck. Năm đơn vị cơ bản của hệ đo lường Planck là độ dài Planck, khối lượng Planck, thời gian Planck, nhiệt độ Planck, và điện tích Planck.

Được đề ra lần đầu năm 1899 bởi nhà vật lý [[Max Planck]], những đơn vị này còn được gọi là [[đơn vị tự nhiên]] vì định nghĩa của chúng đến từ tính chất của [[tự nhiên]] mà không dựa trên những khái niệm do con người xây dựng. Hệ đo lường Planck không phải là hệ đơn vị tự nhiên duy nhất, nhưng các đơn vị Planck đến từ tính chất của [[chân không]] mà không dựa trên tính chất của [[nguyên mẫu hệ thống|vật nguyên mẫu]] hay [[hạt sơ cấp]] nào. Chúng thường được dùng trong việc nghiên cứu các thuyết thống nhất như là [[hấp dẫn lượng tử]].

Cụm từ '''quy mô Planck''' dùng để chỉ mức không gian, thời gian, năng lượng và những đại lượng khác mà khi vượt quá (hoặc thấp hơn) thì các tiên đoán của [[Mô hình chuẩn]], [[lý thuyết trường lượng tử]] và [[thuyết tương đối rộng]] không thể kết hợp cùng nhau, và [[hấp dẫn lượng tử|hiệu ứng lượng tử của lực hấp dẫn]] được coi là sẽ thống trị. Quy mô này có thể có mức [[năng lượng]] khoảng {{val|1,22|e=19|u=GeV}} (lượng năng lượng tương đương với khối lượng Planck), khoảng [[thời gian]] khoảng {{val|5,39|e=−44|u=s}} (thời gian Planck) và [[độ dài]] vào khoảng {{val|1,62|e=-35|u=m}} ([[độ dài Planck]]). Ở quy mô Planck, những lý thuyết hiện nay không dùng để mô tả vũ trụ, và các nhà vật lý không có một [[mô hình khoa học]] cụ thể để dự đoán vũ trụ hoạt động như thế nào. Ví dụ điển hình nhất là trạng thái [[của vũ trụ]] trong khoảng 10<sup>−43</sup> giây sau [[Vụ Nổ Lớn]], khoảng 13,8 tỉ năm trước.

Năm hằng số phổ quát mà hệ đo lường Planck quy về 1 là:
* [[tốc độ ánh sáng]] trong chân không, {{mvar|c}},
* [[hằng số hấp dẫn]], {{mvar|G}},
* [[hằng số Planck thu gọn]], {{mvar|ħ}},
* [[hằng số Boltzmann]], {{math|''k''<sub>B</sub>}},
* [[hằng số Coulomb]], {{math|1=''k''<sub>e</sub> = {{sfrac|4{{pi}}''ε''<sub>0</sub>}}}}

Mỗi hằng số này đều liên quan đến một lý thuyết hay khái niệm vật lý cơ bản: {{mvar|c}} với [[thuyết tương đối hẹp]], {{mvar|G}} với [[thuyết tương đối rộng]], {{mvar|ħ}} với [[cơ học lượng tử]], {{math|''k''<sub>B</sub>}} với [[nhiệt động lực học]], và {{math|''ε''<sub>0</sub>}} với [[điện từ học]].

== Giới thiệu ==
Mọi hệ đo lường đều có thể chọn một tập các đại lượng và [[đơn vị cơ bản]], rồi từ đó định nghĩa tất cả mọi đại lượng và đơn vị khác. Ví dụ, trong [[hệ đo lường quốc tế]], các đại lượng SI cơ bản bao gồm độ dài với đơn vị là [[mét]]. Trong hệ đo lường Planck, một tập các đại lượng cơ bản tương tự có thể được sử dụng, khi ấy đơn vị Plank cơ bản cho độ dài sẽ là [[độ dài Planck]], đơn vị cơ bản cho thời gian là thời gian Planck. Những đơn vị này được suy ra từ năm hằng số vật lý phổ quát trong Bảng 1, sao cho những hằng số này có giá trị bằng 1 khi được biểu diễn dưới hệ đo lường Planck. Ví dụ, [[định luật vạn vật hấp dẫn]] của Newton,

: <math> \begin{align}
 F &= G \frac{m_1 m_2}{r^2} \\
   &= \left( \frac{F_\text{P} l_\text{P}^2}{m_\text{P}^2} \right) \frac{m_1 m_2}{r^2} \\
 \end{align}</math>

có thể được biểu diễn thành:

: <math> \frac{F}{F_\text{P}} = \frac{\left(\dfrac{m_1}{m_\text{P}}\right) \left(\dfrac{m_2}{m_\text{P}}\right)}{\left(\dfrac{r}{l_\text{P}}\right)^2}.</math>

Cả hai phương trình đều [[Phân tích thứ nguyên|phù hợp về mặt thứ nguyên]] và hợp lý trong ''mọi'' hệ đo lường. Tuy nhiên, phương trình thứ hai không có {{mvar|G}}, nếu được viết trong hệ đo lường Planck (tức {{math|1=''m''{{sub|P}} = 1}}), thì ta có thể rút gọn thành:

: <math> F = \frac{m_1 m_2}{r^2} \ .</math>

Phương trình cuối này (không có {{mvar|G}}) chỉ đúng khi {{mvar|F}}, {{math|''m''<sub>1</sub>}}, {{math|''m''<sub>2</sub>}} và {{mvar|r}} là giá trị của những đại lượng đó trong đơn vị Planck. Do đó việc sử dụng đơn vị Planck hay hệ đơn vị tự nhiên khác cần phải cẩn trọng. Nói về việc {{math|1=''G'' = ''c'' = 1}}, [[Paul S. Wesson]] viết rằng, "Về mặt toán học, nó là một mẹo hữu ích. Về mặt vật lý nó làm mất đi thông tin và có thể dẫn đến nhầm lẫn."<ref>{{chú thích tạp chí | last1 = Wesson | first1 = P. S. | year = 1980 | title = The application of dimensional analysis to cosmology | journal = Space Science Reviews | volume = 27 | issue = 2| page = 117 | bibcode=1980SSRv...27..109W | doi=10.1007/bf00212237}}</ref>

==Định nghĩa==
{| class="wikitable" style="margin:1em auto 1em auto; background:#fff;"
|+Bảng 1: Hằng số vật lý phổ quát được chuẩn hóa trong hệ đo lường Planck
! Hằng số
! Ký hiệu
! Thứ nguyên trong [[Hệ đại lượng quốc tế|đại lượng SI]]
! Giá trị (đơn vị [[Hệ đo lường quốc tế|SI]])
|-
| [[Tốc độ ánh sáng]] trong chân không
| {{mvar|c}}
| L T{{i sup|−1}}
| {{physconst|c}}<br /> ''(bằng theo định nghĩa)''
|-
| [[Hằng số hấp dẫn]]
| {{mvar|G}}
| L<sup>3</sup> M<sup>−1</sup> T{{i sup|−2}}
| {{physconst|G}}
|-
| {{nowrap|[[Hằng số Planck]] thu gọn}}
| {{math|1=''ħ'' = {{sfrac|''h''|2{{pi}}}}}}<br /> trong đó {{mvar|h}} là hằng số Planck
| L<sup>2</sup> M T{{i sup|−1}}
| {{physconst|hbar}}<br /> ''(bằng {{sfrac|{{physconst|h|ref=no}}|2π}} theo định nghĩa)''
|-
| [[Hằng số Boltzmann]]
| {{math|''k''<sub>B</sub>}}
| L<sup>2</sup> M T{{i sup|−2}} Θ<sup>−1</sup>
| {{physconst|k}}<br /> ''(bằng theo định nghĩa)''
|-
| [[Hằng số Coulomb]]
| {{math|1=''k''<sub>e</sub> = {{sfrac|4{{pi}}''ε''<sub>0</sub>}}}}<br /> trong đó {{math|''ε''<sub>0</sub>}} là [[độ điện thẩm chân không]]
| {{nowrap|L<sup>3</sup> M T{{i sup|−2}} Q<sup>−2</sup>}}
| {{physconst|ke}}
|-
| colspan="4" style="text-align: center;" | Ghi chú: L = [[chiều dài]], M = [[khối lượng]], T = [[thời gian]], Q = [[điện tích]], Θ = [[nhiệt độ]]
|}

Một tính chất của đơn vị Planck là hệ đo lường này là thống nhất. Ví dụ, lực tương tác hấp dẫn giữa hai vật thể đều có khối lượng 1 [[khối lượng Planck]], đặt cách nhau 1 độ dài Planck là một đơn vị Planck cho lực. Tương tự, quãng đường ánh sáng đi được trong 1 thời gian Planck là 1 độ dài Planck.

Để tính giá trị của các đơn vị Planck cơ bản theo hệ SI hay hệ đo lường nào khác, năm phương trình trên phải được thỏa mãn:

: <math> \begin{align}
l_\text{P} &= c \ t_\text{P} \\
F_\text{P} &= \frac{m_\text{P} l_\text{P}}{t_\text{P}^2} = G \ \frac{m_\text{P}^2}{l_\text{P}^2} \\
E_\text{P} &= \frac{m_\text{P} l_\text{P}^2}{t_\text{P}^2} = \hbar \ \frac{1}{t_\text{P}} \\
E_\text{P} &= \frac{m_\text{P} l_\text{P}^2}{t_\text{P}^2} = k_\text{B} \ T_\text{P} \\
F_\text{P} &= \frac{m_\text{P} l_\text{P}}{t_\text{P}^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \ \frac{q_\text{P}^2}{l_\text{P}^2}
\end{align}
</math>

Giải hệ năm phương trình trên cho ta các giá trị duy nhất cho năm đơn vị Planck cơ bản:

{| class="wikitable" style="margin:1em auto 1em auto; background:#fff;"
|+Bảng 2: Đơn vị Planck cơ bản
|-
! Tên
! Thứ nguyên
! Công thức
! Giá trị (đơn vị [[Hệ đo lường quốc tế|SI]])
|- style="text-align:left;"
| [[Độ dài Planck]]
| [[Độ dài]] (L)
| <math>l_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}</math>
| {{physconst|lP}}
|-
| [[Khối lượng Planck]]
| [[Khối lượng]] (M)
| <math>m_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}</math>
| {{physconst|mP}}
|-
| Thời gian Planck 
| [[Thời gian]] (T)
| <math>t_\text{P} = \frac{l_\text{P}}{c} = \frac{\hbar}{m_\text{P}c^2} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} </math>
| {{physconst|tP}}
|-
| Nhiệt độ Planck
| [[Nhiệt độ]] (Θ)
| <math>T_\text{P} = \frac{m_\text{P} c^2}{k_\text{B}} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G k_\text{B}^2}}</math>
| {{physconst|TP}}
|-
| [[Điện tích Planck]]
| [[Điện tích]] (Q)
| <math>q_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c}{k_\text{e}}} = \sqrt{4 \pi \varepsilon_0 \hbar c} = \frac{e}{\sqrt{\alpha}} </math>
| {{val|1.875545956|(41)|e=-18|ul=C}}{{physconst|eps0|ref=only}}{{physconst|hbar|ref=only}}{{physconst|c|ref=only}}
|-
|}

Bảng 2 định nghĩa các đơn vị Planck theo những hằng số cơ bản. Tuy nhiên, khi biểu diễn trong hệ đo lường khác như hệ [[Hệ đo lường quốc tế|SI]], giá trị của chúng chỉ là xấp xỉ. Điều này là do sai số trong giá trị của các hằng số {{mvar|G}} và {{math|''ε''<sub>0</sub>}} trong hệ SI. Giá trị của {{math|''c'', ''h'', ''e''}} và {{math|''k''<sub>B</sub>}} trong hệ SI là tuyệt đối do định nghĩa của giây, mét, kilogram và kelvin không có sai số. Độ điện thẩm chân không {{math|''ε''<sub>0</sub>}} có sai số tương đối khoảng {{physconst|eps0|runc=yes|after=.}} Giá trị của {{mvar|G}} đã được xác định bằng thực nghiệm với sai số tương đối là {{physconst|G|runc=yes|after=.}} {{mvar|G}} xuất hiện trong định nghĩa của tất cả đơn vị Planck ngoại trừ điện tích, do đó những đơn vị này đều mang sai số xuất phát từ sai số trong giá trị của {{mvar|G}}.

== Đơn vị khác ==
Trong một hệ đo lường, đơn vị cho nhiều đại lượng vật lý có thể được suy ra từ các đơn vị cơ bản. Bảng 3 là một số đơn vị Planck được suy ra từ các đơn vị ở trên.

{| class="wikitable" style="margin:1em auto 1em auto; background:#fff;"
|+ Bảng 3: Các đơn vị suy ra của hệ đo lường Planck
|-
! Đơn vị cho
! Công thức
! Giá trị xấp xỉ ([[SI]])
|- style="text-align:left;"
| [[Diện tích]] (L<sup>2</sup>)
| <math> l_\text{P}^2 = \frac{\hbar G}{c^3}</math>
| {{val|2.6121|e=-70|ul=m2}}
|- style="text-align:left;"
| [[Thể tích]] (L<sup>3</sup>)
| <math> l_\text{P}^3 = \left( \frac{\hbar G}{c^3} \right)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{(\hbar G)^3}{c^9}}</math>
| {{val|4.2217|e=-105|ul=m3}}
|-
| [[Động lượng]] (LMT<sup>−1</sup>)
| <math>m_\text{P} c = \frac{\hbar}{l_\text{P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^3}{G}} </math>
| {{val|6.5249|u=[[Newton-second|kg⋅m/s]]}}
|-
| [[Năng lượng]] (L<sup>2</sup>MT<sup>−2</sup>)
| <math>E_\text{P} = m_\text{P} c^2 = \frac{\hbar}{t_\text{P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G}} </math>
| {{val|1.9561|e=9|ul=J}}
|-
| [[Lực]] (LMT<sup>−2</sup>)
| <math>F_\text{P} = \frac{E_\text{P}}{l_\text{P}} = \frac{\hbar}{l_\text{P} t_\text{P}} = \frac{c^4}{G} </math>
| {{val|1.2103|e=44|ul=N}}
|-
| [[Khối lượng riêng]] (L<sup>−3</sup>M)
| <math>\rho_\text{P} = \frac{m_\text{P}}{l_\text{P}^3} = \frac{\hbar t_\text{P}}{l_\text{P}^5} = \frac{c^5}{\hbar G^2} </math>
| {{val|5.1550|e=96|ul=kg/m3}}
|-
| [[Gia tốc]] (LT<sup>−2</sup>)
| <math> a_\text{P} = \frac{c}{t_\text{P}} = \sqrt{\frac{c^7}{\hbar G}}</math>
| {{val|5.5608|e=51|ul=m/s2}}
|-
| [[Tần số]] (T<sup>−1</sup>)
| <math> f_p = \frac{c}{l_\text{P}} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}} </math>
| {{val|1.8549|e=43|ul=Hz}}
|}

Hầu hết các đơn vị Planck đều có lớn hoặc bé hơn rất nhiều để được dùng trong thực tế, vì vậy hệ đo lường Planck thường chỉ được sử dụng trong vật lý lý thuyết. Thực chất, 1 đơn vị Planck thường là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng vật lý mà vẫn có nghĩa trong những lý thuyết vật lý hiện đại. Ví dụ, sự hiểu biết của ta về [[Vụ Nổ Lớn]] bắt đầu với [[Kỷ nguyên Planck]], lúc vũ trụ có tuổi đời là 1 thời gian Planck và có đường kính là 1 độ dài Planck. Lý thuyết về vũ trụ trước 1 thời gian Planck cần phải có [[hấp dẫn lượng tử]], kết hợp các hiệu ứng lượng tử vào [[thuyết tương đối rộng]]. Một lý thuyết như vậy hiện chưa xuất hiện.

Một ngoại lệ cho việc các đơn vị Planck có độ lớn hay bé không tưởng là [[khối lượng Planck]], có giá trị khoảng 22 microgram: rất lớn so với các hạt hạ nguyên tử, nhưng nằm trong khoảng của sinh vật sống.

== Lịch sử ==
Khái niệm [[đơn vị tự nhiên]] được giới thiệu năm 1881 bởi [[George Johnstone Stoney]]. Ông thấy rằng điện tích lượng tử hóa, và đã đưa ra đơn vị độ dài, thời gian và khối lượng bằng cách chuẩn hóa {{mvar|G}}, {{mvar|c}} và [[điện tích cơ bản]] {{mvar|e}} thành 1. Hệ đo lường này được gọi là [[hệ đo lường Stoney]] theo tên ông.

Năm 1899 (một năm trước sự hình thành của lý thuyết lượng tử), [[Max Planck]] đưa ra ý tưởng về hằng số Planck.<ref name="planck-1899">Planck (1899), p. 479.</ref><ref name="TOM">{{cite conference
| last = Tomilin
| first = K. A.
| date = 1999
| title = Natural Systems of Units. To the Centenary Anniversary of the Planck System
| url = http://old.ihst.ru/personal/tomilin/papers/tomil.pdf
| conference = Proceedings Of The XXII Workshop On High Energy Physics And Field Theory
| conference-url = https://inspirehep.net/literature/1766318
| pages = 287-296
| access-date = 2020-06-13
| archive-date = 2020-12-12
| archive-url = https://web.archive.org/web/20201212041222/http://old.ihst.ru/personal/tomilin/papers/tomil.pdf
| url-status = dead
}}</ref> Ở cuối bài viết, Planck đề xuất hệ đơn vị cơ bản mà sau này được đặt theo tên ông, dựa trên một hằng số là [[hằng số Planck]]. Planck gọi hằng số này là {{mvar|b}} trong bài viết, ngày nay ký hiệu {{mvar|h}} và {{mvar|ħ}} phổ biến hơn. Planck nhấn mạnh tính phổ quát của hệ đo lường mới này, viết:
{{Quote|''... die Möglichkeit gegebenist, Einheiten für Länge, Masse, Zeit und Temperatur aufzustellen, welche, unabhängig von speciellen Körpern oder Substanzen, ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch außerirdische und außermenschliche Culturen notwendig behalten und welche daher als »natürliche Maßeinheiten« bezeichnet werden können''.<br>
... chúng ta có thể dựng nên các đơn vị cho độ dài, khối lượng, thời gian và nhiệt độ, độc lập với nguyên mẫu hay vật chất đặc biệt, giữ nguyên vẹn ý nghĩa có chúng ở mọi lúc và cho mọi nền văn minh, bao gồm cả nền văn minh ngoài hành tinh và không phải con người, và có thể gọi là "hệ đo lường tự nhiên".}}

Planck chỉ xét những đơn vị dựa trên các hằng số phổ quát {{math|''G'', ''ħ'', ''c''}} và {{math|''k''<sub>B</sub>}} để đưa ra các đơn vị tự nhiên cho [[độ dài]], [[thời gian]], [[khối lượng]], và [[nhiệt độ]].<ref name="TOM" /> Bài luận văn của Planck cũng đưa ra giá trị cho các đơn vị cơ bản, gần đúng với giá trị hiện nay.

Các đơn vị cơ bản gốc do Planck đề ra năm 1899 lớn gấp <math>\sqrt{2 \pi}</math> giá trị ngày nay.<ref name="planck-1899" /><ref name="TOM" /> Điều này là do việc sử dụng [[hằng số Plank thu gọn]] ({{mvar|ℏ}}) trong đơn vị hiện đại, không có trong đề xuất của Planck.

{| class="wikitable" style="margin:1em auto 1em auto; min-width: 50%;"
|+Bảng 4: Hệ đo lường Planck gốc
! Tên
! Thứ nguyên
! Công thức
! Giá trị trong hệ [[SI]]
! Giá trị theo [[đơn vị Planck]]
|-
| Độ dài Planck gốc
| [[Độ dài]] (L)
| <math> \sqrt{\frac{h G}{c^3}} </math>
| {{val|4.05135|e=-35|u=m}}
| <math>\sqrt{2 \pi} \times l_\text{P}</math>
|-
| Khối lượng Planck gốc
| [[Khối lượng]] (M)
| <math> \sqrt{\frac{h c}{G}} </math>
| {{val|5.45551|e=-8|u=kg}}
| <math>\sqrt{2 \pi} \times m_\text{P}</math>
|-
| Thời gian Planck gốc
| [[Thời gian]] (T)
| <math> \sqrt{\frac{h G}{c^5}} </math>
| {{val|1.35138|e=-43|u=s}}
| <math>\sqrt{2 \pi} \times t_\text{P}</math>
|-
| NHiệt độ Planck gốc
| [[Nhiệt độ]] (Θ)
| <math> \sqrt{\frac{h c^5}{G k_\text{B}}} </math>
| {{val|3.55135|e=32|u=K}}
| <math>\sqrt{2 \pi} \times T_\text{P}</math>
|}

Planck không dùng đơn vị điện từ nào. Tuy nhiên, do ý tưởng của hệ đo lường này là biến tất cả hằng số thành 1, cộng đồng khoa học đã dần chấp nhận đặt [[hằng số Coulomb]] thành 1 và bao gồm điện tích trong hệ đơn vị Planck cơ bản.<ref>{{chú thích sách | last = Pavšic | first = Matej | title = The Landscape of Theoretical Physics: A Global View | volume = 119 | year = 2001 | publisher = Kluwer Academic | location = Dordrecht | isbn = 978-0-7923-7006-2 | pages = 347–352 | url = https://www.springer.com/gp/book/9781402003516#otherversion=9780792370062 | series = Fundamental Theories of Physics  |  doi = 10.1007/0-306-47136-1  | arxiv = gr-qc/0610061}}</ref><ref>{{chú thích sách | last = Zeidler | first = Eberhard | date = 2006 | title = Quantum Field Theory I: Basics in Mathematics and Physics | url = https://cds.cern.ch/record/988238/files/978-3-540-34764-4_BookBackMatter.pdf | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]] | page = 953 | isbn = 978-3540347620}}</ref><ref>{{chú thích sách | last1 = Deza | first1 = Michel Marie | last2 = Deza | first2 = Elena | date = 2016 | title = Encyclopedia of Distances | url = https://books.google.co.uk/books?id=q_7FBAAAQBAJ&pg=PA602&lpg=PA602 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]] | page = 602 | isbn = 978-3662528433}}</ref><ref>{{cite | last1 = Newell | first1 = D. B. | last2 = Mohr | first2 = P. J. | last3 = Taylor | first3 = B. N. | date = ngày 12 tháng 5 năm 2016 | title = The New International System of Units: The Role of the Committee on Data for Science and Technology (CODATA) | url = https://tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=908747 | doi = 10.1080/19315775.2011.11721576 | publisher = [[National Institute of Standards and Technology]]}}</ref><ref>{{chú thích sách | last = Gray | first = Reginald Irvan | date = 1988 | title = Unified Physics | url = https://books.google.co.uk/books?id=pTykkOIbmakC&pg=SA3-PA39 | publisher = [[Naval Surface Warfare Center]] | location = [[Dahlgren, Virginia]] | page = 3-39 | lccn = 88602336}}</ref><ref>{{chú thích tạp chí | last = Suhendro | first = Indranu | date = October 2007 | title = A New Conformal Theory of Semi-Classical Quantum General Relativity | url = http://www.ptep-online.com/complete/PiP-2007-04.pdf | journal = [[Progress in Physics]] | volume = 4 | issue = 2007 | pages = 96-103}}</ref> Đặt hằng số Coulomb thành 1 khiến giá trị của một đơn vị điện tích bằng với giá trị dùng trong [[Đơn vị tự nhiên#Hệ đo lường QCD|hệ đo lường QCD]]. Tuy nhiên, tùy vào mục tiêu, một số nhà vật lý có cách tiếp cận đơn giản hơn và chỉ coi hệ đơn vị Planck gồm độ dài, khối lượng và thời gian.<ref>{{chú thích tạp chí | last = Wilczek | first = Frank | date = 2005 | title = On Absolute Units, I: Choices | url = http://ctpweb.lns.mit.edu/physics_today/phystoday/Abs_limits388.pdf | journal = [[Physics Today]] | volume = 58 | issue = 10 | pages = 12-13 | doi = 10.1063/1.2138392 | publisher = [[American Institute of Physics]]
}}</ref>

Năm 2006, cơ quan quản lý [[Hệ đo lường quốc tế|SI]] đưa ra một đề xuất nội bộ, cố định điện tích Planck thay vì [[điện tích cơ bản]] (do "cố định [[điện tích|{{math|''q''<sub>P</sub>}}]] sẽ giữ [[Độ điện thẩm chân không|{{math|''μ''<sub>0</sub>}}]] ở giá trị thông thường là 4π × {{mvar|e}} = −7 H/m và khiến [[Điện tích cơ bản|{{mvar|e}}]] phụ thuộc vào giá trị của [[Hằng số cấu trúc tinh tế|{{mvar|α}}]]"). Đề xuất này bị từ chối, thay vào đó giá trị của điện tích cơ bản được cố định theo định nghĩa.<ref>{{chú thích tạp chí | last = Goldfarb | first = Ronald B. | date = 2017 | title = The Permeability of Vacuum and the Revised International System of Units | url = https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC5907514/ | journal = [[IEEE Magnetics Letters]] | volume = 8 | issue = 1110003 | pages = 1-3 | publisher = [[IEEE Magnetics Society]] | doi = 10.1109/LMAG.2017.2777782
}}</ref> Hiện tại để tính [[điện tích Planck]] cần dùng điện tích cơ bản (giá trị chính xác theo định nghĩa) và [[hằng số cấu trúc tinh tế]] (giá trị xuất phát từ thực nghiệm và có thể có sai số do đo đạc).

== Ý nghĩa ==
Hệ đo lường Planck không mang tính [[duy con người]], nhưng vẫn có sự chọn lựa tùy ý trong các hằng số cơ bản. Không như [[mét]] và [[giây]], được định nghĩa trong hệ [[SI]] vì lý do lịch sử, [[độ dài Planck]] và thời gian Planck xuất phát từ khái niệm vật lý cơ bản. Do đó chúng giúp các nhà vật lý thay đổi góc nhìn và đặt lại câu hỏi. Nhà vật lý [[Frank Wilczek]] viết rằng:
{{Quote|Ta thấy câu hỏi đặt ra không phải là "Tại sao lực hấp dẫn yếu như vậy?", mà là "Tại sao khối lượng của proton nhỏ như vậy?" Bởi trong đơn vị tự nhiên (Planck), độ mạnh của lực hấp dẫn đơn giản là một, trong khi khối lượng của proton là một con số bé tí [1/(13 tỷ tỷ)].<ref>{{chú thích tạp chí|title=Scaling Mount Planck I: A View from the Bottom|journal=Physics Today|volume=54|issue=6|pages=12–13|year=2001|last=Wilczek|first=Frank|doi=10.1063/1.1387576|bibcode=2001PhT....54f..12W|doi-access=free}}</ref>}}

Tuy đúng là lực đẩy tĩnh điện giữa hai proton (cô lập trong chân không) lớn hơn nhiều so với lực hút hấp dẫn giữa chúng, điều này không phải là do độ mạnh tương đối giữa hai lực cơ bản này. Từ góc nhìn của hệ đo lường Planck, so sánh này không có nghĩa, vì [[khối lượng]] và [[điện tích]] là hai đại lượng [[Phân tích thứ nguyên|không cân xứng]]. Thay vì đó, sự chênh lệch về độ lớn này chủ yếu là do việc [[điện tích cơ bản|điện tích của proton]] xấp xỉ bằng [[Điện tích Planck|điện tích đơn vị]] nhưng [[khối lượng proton]] nhỏ hơn rất nhiều so với [[Khối lượng Planck|khối lượng đơn vị]].

{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" style="margin:1em auto 1em auto; min-width: 50%;"
|+Bảng 5: Cách diễn giải đơn vị Planck<ref name="physics_hypertextbook">{{chú thích web | url = https://physics.info/planck/#mechanics | title = Blackbody Radiation | last = Elert | first = Glenn | website = The Physics Hypertextbook}}</ref>
! Năm
! Đại lượng
! Diễn giải
! Nhà khoa học chính
|-
| 1954<ref>{{chú thích tạp chí
	| last = Klein
	| first = Oskar
	| date = 1954
	| title = Aktuella problem kring fysikens små och stora tal
	| trans-title = Current problems surrounding the physics of small and large numbers
	| journal = Kosmos
	| volume = 32
	| page = 33
}}</ref>
| [[Độ dài Planck|độ dài]]
| giới hạn hấp dẫn của thuyết lượng tử
| [[Oskar Klein]]
|-
| 1955<ref>{{chú thích tạp chí
	| last = Wheeler
	| first = John Archibald
	| date = ngày 15 tháng 1 năm 1955
	| title = Geons
	| journal = [[Physical Review|Phys. Rev.]]
	| volume = 97
	| page = 511
	| doi = 10.1103/PhysRev.97.511
}}</ref>
| [[Độ dài Planck|độ dài]]
| giới hạn lượng tử của thuyết tương đối rộng
| [[John Wheeler]]
|-
| 1965<ref>{{chú thích tạp chí
	| last = M. A.
	| first = Markov
	| date = ngày 1 tháng 1 năm 1965
	| title = Can the Gravitational Field Prove Essential for the Theory of Elementary Particles?
	| journal =  [[Progress of Theoretical and Experimental Physics|Progress of Theoretical Physics Supplement]]
	| volume = E65
	| pages = 85–95
	| doi = 10.1143/PTPS.E65.85
}}</ref>
| [[Khối lượng Planck|khối lượng]]
| chặn trên của khối lượng các hạt cơ bản
| [[Moisey Markov]]
|-
| 1966<ref>{{chú thích tạp chí
	| last = Sakharov
	| first = Andrei Dmitrievich
	| date = 1966
	| title = О максимальной температуре теплового излучения
	| trans-title = Nhiệt độ Cực đại của Bức xạ Nhiệt
	| url = http://www.jetpletters.ac.ru/ps/781/article_12064.shtml
	| journal = Письма в Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики (ЖЭТФ)
	| trans-journal = [[Journal of Experimental and Theoretical Physics|Letters to Journal of Experimental and Theoretical Physics (JETP)]]
	| volume = 3
	| issue = 11
	| pages = 439-441
	| access-date = 2020-06-13
	| archive-date = 2020-02-19
	| archive-url = https://web.archive.org/web/20200219141027/http://www.jetpletters.ac.ru/ps/781/article_12064.shtml
	}}</ref>
| [[Nhiệt độ Planck|nhiệt độ]]
| chặn trên của nhiệt độ (nóng tuyệt đối)
| [[Andrei Sakharov]]
|-
| 1971<ref>{{chú thích tạp chí
	| last = Hawking
	| first = Stephen 
	| date = ngày 1 tháng 4 năm 1971
	| title = Gravitationally Collapsed Objects of Very Low Mass 
	| url = http://adsabs.harvard.edu/full/1971MNRAS.152...75H
	| journal = [[Monthly Notices of the Royal Astronomical Society]]
	| volume = 152
	| issue = 1
	| pages = 75–78
	| doi = 10.1093/mnras/152.1.75
}}</ref>
| [[Khối lượng Planck|khối lượng]]
| chặn dưới cho khối lượng của [[lỗ đen]]
| [[Stephen Hawking]]
|-
| 1982<ref>{{chú thích tạp chí
	| last = Moisey Aleksandrovich
	| first = Markov
	| date = 1982
	| title = Предельная плотность материи как универсальный закон природы
	| trans-title = Khối lượng riêng tối đa của vật chất theo định luật tự nhiên
	| url = http://www.jetpletters.ac.ru/ps/399/article_9979.shtml
	| journal = Письма в Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики (ЖЭТФ)
	| trans-journal = [[Journal of Experimental and Theoretical Physics|Letters to Journal of Experimental and Theoretical Physics (JETP)]]
	| volume = 36
	| issue = 6
	| pages = 214-216
	| access-date = 2020-06-13
	| archive-date = 2020-08-06
	| archive-url = https://web.archive.org/web/20200806101228/http://www.jetpletters.ac.ru/ps/399/article_9979.shtml
	}}</ref>
| [[Khối lượng riêng Planck|khối lượng riêng]]
| khối lượng riêng lớn nhất
| [[Moisey Markov]]
|}

== Quy mô Planck ==

Trong [[vật lý hạt]] và [[vũ trụ học vật lý]], quy mô Planck (hay thang Planck) mô tả những thứ ở mức năng lượng vào khoảng {{nowrap|1,22 × 10<sup>19</sup>}} [[GeV]] ([[năng lượng Planck]], tương ứng với [[tương đương khối lượng–năng lượng]] của [[khối lượng Planck]], 2,17645 × 10<sup>−8</sup> kg) mà khi đó [[hiệu ứng lượng tử]] của [[lực hấp dẫn]] trở nên đáng kể. Ở quy mô này, những lý thuyết hiện có về tương tác hạt sử dụng [[lý thuyết trường lượng tử]] không còn đúng nữa, do tác động của sự không thể [[tái chuẩn hóa]] của lực hấp dẫn trong những lý thuyết hiện nay.

=== Mối quan hệ với lực hấp dẫn ===
Tại quy mô của độ dài Planck, độ lớn của lực hấp dẫn được cho là sẽ tương đương với những lực khác, và có lý thuyết cho rằng tất cả lực cơ bản sẽ hợp nhất ở quy mô này, mặc dù cơ chế chính xác cho sự hợp nhất này chưa được biết rõ. Quy mô Planck này là nơi tác động của hấp dẫn lượng tử trở nên đáng kể trong các [[tương tác cơ bản]], và các tính toán và cách tiếp cận hiện nay sụp đổ.<ref name="Shivni">{{chú thích web | last=Shivni | first=Rashmi | title=The Planck scale | website=symmetry magazine | url=https://www.symmetrymagazine.org/article/the-planck-scale | access-date = ngày 12 tháng 6 năm 2020}}</ref><ref name="CERN Courier 2006">{{chú thích web | title=Can experiment access Planck-scale physics? – CERN Courier | website=CERN Courier | date = ngày 4 tháng 10 năm 2006 | url=https://cerncourier.com/a/can-experiment-access-planck-scale-physics/ | access-date = ngày 12 tháng 6 năm 2020}}</ref>

Trong khi các nhà vật lý hiểu biết khá rõ về sự tương tác của các lực cơ bản khác ở mức độ lượng tử, [[lực hấp dẫn]] lại có nhiều vấn đề hơn hẳn và không thể kết hợp với [[cơ học lượng tử]] ở mức năng lượng rất cao sử dụng lý thuyết trường lượng tử. Khi ấy, cần phải có một lý thuyết [[hấp dẫn lượng tử]] để giải quyết vấn đề này. Một số cách tiếp cận khác bao gồm [[lý thuyết dây]] và [[thuyết M]], [[hấp dẫn lượng tử vòng]], [[hình học không giao hoán]], và [[cơ học lượng tử p-adic]].<ref name="Volovich 2010 pp. 77–87">{{chú thích tạp chí | last=Volovich | first=Igor V. | title=Number theory as the ultimate physical theory | journal=P-Adic Numbers, Ultrametric Analysis, and Applications | publisher=Pleiades Publishing Ltd | volume=2 | issue=1 | year=2010 | issn=2070-0466 | doi=10.1134/s2070046610010061 | pages=77–87}}</ref>

=== Trong vũ trụ học ===
{{Main|Lịch sử vũ trụ}}
{{anchor|Kỷ nguyên Planck}}
Trong [[Vụ nổ Lớn|vũ trụ học Big Bang]], '''kỷ nguyên Planck''' hay '''thời kỳ Planck''' là giai đoạn sớm nhất của [[Vụ Nổ Lớn]], trước khi vũ trụ có [[thời gian vũ trụ|tuổi đời]] bằng một thời gian Planck, {{math|''t''<sub>P</sub>}}, xấp xỉ 10<sup>−43</sup> giây.<ref name="Planck-UOregon">{{chú thích web |author=Staff |title=Birth of the Universe |url=http://abyss.uoregon.edu/~js/cosmo/lectures/lec20.html |date= |work=[[University of Oregon]] |access-date=ngày 24 tháng 9 năm 2016 |archive-date=2018-11-28 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181128045313/http://abyss.uoregon.edu/~js/cosmo/lectures/lec20.html |url-status=dead }} - discusses "Planck time" and "[[Planck era]]" at the very beginning of the [[Universe]]</ref> Không có lý thuyết vật lý nào hiện nay có thể mô tả khoảng thời gian ngắn như vậy, và không rõ khái niệm [[thời gian]] có ý nghĩa gì với giá trị nhỏ hơn thời gian Planck. Các nhà vật lý cho rằng [[hấp dẫn lượng tử|hiệu ứng lượng tử của lực hấp dẫn]] thống trị các tương tác vật lý trong trường hợp đó. Ở quy mô này, [[Lý thuyết thống nhất lớn|lực thống nhất]] của [[Mô hình chuẩn]] được xem là [[Thuyết vạn vật|hợp nhất với lực hấp dẫn]]. Cực kỳ nóng và đặc, kỷ nguyên Planck được nối tiếp bởi [[kỷ nguyên thống nhất lớn]], nơi lực hấp dẫn bị tách khỏi lực thống nhất của Mô hình chuẩn, theo sau bởi [[kỷ nguyên lạm phát]], kết thúc sau khoảng 10<sup>−32</sup> giây (hay 10<sup>10</sup>&nbsp;''t''<sub>P</sub>).<ref name="KolbTurner1994">{{chú thích sách |author1=Edward W. Kolb |author2=Michael S. Turner |title=The Early Universe |url=https://books.google.com/?id=l6Z8W33JWGQC&pg=PA447 |access-date = ngày 12 tháng 6 năm 2020 |year=1994 |publisher=Basic Books |isbn=978-0-201-62674-2 |page=447}}</ref>

So với kỷ nguyên Planck, vũ trụ quan sát được hiện nay khi biểu diễn bằng đơn vị Planck trông rất tột cùng:<ref name="John D 2002">[[John D. Barrow]], 2002. ''The Constants of Nature; From Alpha to Omega – The Numbers that Encode the Deepest Secrets of the Universe''. Pantheon Books. {{ISBN|0-375-42221-8}}.</ref><ref>{{BarrowTipler1986}}</ref>

{| class="wikitable" style="margin:1em auto 1em auto; background:#fff;"
|+Bảng 6: Vũ trụ hiện nay trong hệ đo lường Planck
! Tính chất của<br /> [[vũ trụ quan sát được]]
! Giá trị xấp xỉ<br /> trong đơn vị Planck
! Giá trị tương đương
|- style="text-align:left;"
| [[Tuổi của vũ trụ|Tuổi]]
| 8.08 × 10<sup>60</sup> ''t''<sub>P</sub>
| 4.35 × 10<sup>17</sup> s, hay 13.8 × 10<sup>9</sup> năm
|-
| [[Vũ trụ quan sát được#Kích thước|Đường kính]]
| 5.4 × 10<sup>61</sup> ''l''<sub>P</sub>
| 8.7 × 10<sup>26</sup> m hay 9.2 × 10<sup>10</sup> [[năm ánh sáng|ly]]
|-
| [[Vũ trụ quan sát được#Khối lượng|Khối lượng]]
| khoảng 10<sup>60</sup> ''m''<sub>P</sub>
| 10<sup>53</sup> kg hay 5 × 10<sup>22</sup> [[khối lượng mặt trời]] (chỉ tính sao)<br />[[Vũ trụ quan sát được#Lượng vật chất|10<sup>80</sup> proton]] (còn gọi là [[số Eddington]])
|-
| [[Vũ trụ quan sát được#Xấp xỉ dựa trên mật độ tới hạn|Mật độ tới hạn]]
| 1.8 × 10<sup>−123</sup> ''ρ''<sub>P</sub>
| 9.9 × 10<sup>−27</sup> kg m<sup>−3</sup>
|-
| [[Bức xạ nền vi sóng vũ trụ|Nhiệt độ]]
| 1.9 × 10<sup>−32</sup> ''T''<sub>P</sub>
| 2.725 K<br /> nhiệt độ của [[bức xạ nền vũ trụ]]
|-
| [[Hằng số vũ trụ]]
| 5.6 × 10<sup>−122</sup> ''t''{{su|b=P|p=&nbsp;−2|lh=1em}}
| 1.9 × 10<sup>−35</sup> s<sup>−2</sup>
|-
| [[Hằng số Hubble]]
| 1.18 × 10<sup>−61</sup> ''t''{{su|b=P|p=&nbsp;−1|lh=1em}}
| 2.2 × 10<sup>−18</sup> s<sup>−1</sup>
|}
{{further|Sự thay đổi hằng số vật lý theo thời gian|Giả thuyết số lớn Dirac}}
Sự xuất hiện các con số lớn gần bằng hoặc liên quan tới 10<sup>60</sup> trong bảng trên là một điều ngẫu nhiên làm một số nhà lý thuyết tò mò. Đó là một ví dụ về kiểu [[Giả thuyết số lớn Dirac|số lớn tình cờ]] khiến một số nhà vật lý như [[Arthur Stanley Eddington|Eddington]] và [[Paul Dirac|Dirac]] phát triển một giả thuyết vật lý khác (như là [[vận tốc ánh sáng thay đổi]] hay [[Giả thuyết số lớn Dirac|giả thuyết ''G'' biến thiên của Dirac]]).<ref>{{chú thích tạp chí|author=P.A.M. Dirac|year=1938 |title=A New Basis for Cosmology |journal=[[Proceedings of the Royal Society A]] |volume=165 |issue=921 |pages=199–208 |doi=10.1098/rspa.1938.0053 |bibcode = 1938RSPSA.165..199D |doi-access=free }}</ref> Sau khi [[hằng số vũ trụ]] được đo đạc năm 1998, xấp xỉ bằng 10<sup>−122</sup> trong đơn vị Planck, người ta thấy rằng con số này gần bằng nghịch đảo của bình phương [[tuổi của vũ trụ]].<ref>J.D. Barrow and F.J. Tipler, ''The Anthropic Cosmological'' Principle, Oxford UP, Oxford (1986), chapter 6.9.</ref> Barrow và Shaw (2011) đề xuất một lý thuyết khác mà trong đó [[hằng số vũ trụ|Λ]] là một trường thay đổi sao cho giá trị của nó Λ ~ ''T''<sup>−2</sup> trong suốt lịch sử của vũ trụ.<ref>{{chú thích tạp chí|doi= 10.1007/s10714-011-1199-1|arxiv=1105.3105|title=The value of the cosmological constant|url= https://archive.org/details/sim_general-relativity-and-gravitation_2011-10_43_10/page/2555|journal=General Relativity and Gravitation|volume=43|issue=10|pages=2555–2560|year=2011|last1=Barrow|first1=John D.|last2=Shaw|first2=Douglas J.|bibcode = 2011GReGr..43.2555B }}</ref>

== Các đơn vị ==

=== Diện tích Planck ===
{{main article|Độ dài Planck}}

=== Điện tích Planck ===
{{main article|Điện tích Planck}}

=== Độ dài Planck ===
{{main article|Độ dài Planck}}

=== Động lượng Planck ===
Động lượng Planck bằng [[khối lượng Planck]] nhân với [[vận tốc ánh sáng]]. Không giống như các đơn vị Planck khá, động lượng Planck nằm trong khoảng kích cỡ con người. Ví dụ, chạy với một vật nặng 2&nbsp;kg (10<sup>8</sup> khối lượng Planck) với vận tốc chạy trung bình 3&nbsp;m/s (10<sup>−8</sup> tốc độ ánh sáng trong chân không) khiến vật đó có khoảng 1 động lượng Planck. Một người nặng 70&nbsp;kg đi bộ với vận tốc khoảng {{convert|1,4|m/s|km/h|abbr=on}} sẽ có động lượng vào khoảng 15 <math>m_\text{P} c</math>.

=== Khối lượng Planck ===
{{main article|Khối lượng Planck}}

=== Khối lượng riêng Planck ===
Khối lượng riêng Planck là một đơn vị rất lớn, bằng khoảng 10<sup>23</sup> [[khối lượng mặt trời]] ép vào một không gian cỡ [[hạt nhân nguyên tử]]. Khối lượng riêng Planck được xem là giá trị [[chặn trên]] của khối lượng riêng.

=== Lực Planck ===
Lực Planck là đơn vị của [[lực]] suy ra từ các đơn vị Planck cơ bản cho thời gian, độ dài và khối lượng. Nó bằng đơn vị tự nhiên của [[động lượng]] chia cho thời gian.

:<math>F_\text{P} = \frac{m_\text{P} c}{t_\text{P}} = \frac{c^4}{G} = 1.210295 \times 10^{44} \mbox{ N.}</math>

Lực Planck liên quan<ref>{{chú thích web |title=Gravity and the Photon |work=HyperPhysics |publisher=Georgia State University |url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/relativ/blahol.html#c2 |access-date = ngày 12 tháng 9 năm 2012}}</ref> tới sự tương quan giữa lực hấp dẫn và lực điện từ: lực hút hấp dẫn giữa hai vật nặng 1 khối lượng Planck cách nhau 1 độ dài Planck là 1 lực Planck; tương tự, lực đểy/hút tĩnh điện giữa hai diện tích Planck cách nhau 1 độ dài Planck có độ lớn bằng 1 lực Planck.

Lực Planck xuất hiện trong [[phương trình trường Einstein]], mô tả tính chất của trường hấp dẫn xung quanh một vật thể bất kỳ:

:<math>G_{\mu\nu}=8\pi\frac{G}{c^4} T_{\mu\nu}</math>

trong đó <math>G_{\mu\nu}</math> là [[tenxơ Einstein]] và <math>T_{\mu\nu}</math> là [[tenxơ ứng suất–năng lượng]]. Lực Planck do đó mô tả mức độ hay khả năng của không-thời gian  bị bẻ cong bởi một khối lượng-năng lượng cho trước.

Từ năm 1993, nhiều tác giả (De Sabbata & Sivaram, Massa, Kostro & Lange, Gibbons, Schiller) cho rằng lực Planck là lực lớn nhất có thể quan sát được trong tự nhiên. Tính chất giới hạn này đúng cho lực hấp dẫn và bất kỳ loại lực nào khác.

=== Năng lượng Planck ===
Hầu hết các đơn vị Planck đều rất nhỏ, như độ dài hay thời gian Planck, hoặc rất lớn, như nhiệt độ hay gia tốc Planck. Để so sánh, năng lượng Planck xấp xỉ bằng năng lượng dự trữ trong một thùng nhiên liệu (57.2 L xăng với 34.2 MJ/L hóa năng). [[Tia vũ trụ năng lượng cực cao]] [[hạt Oh-My-God|quan sát năm 1991]] có mức năng lượng đo được khoảng 50 [[joule]]s, bằng khoảng {{nowrap|2,5 &times; 10<sup>−8</sup>}} {{math|''E''<sub>P</sub>}}.<ref>{{chú thích web|url=http://www.cosmic-ray.org/reading/flyseye.html#SEC10|title=HiRes - The High Resolution Fly's Eye Ultra High Energy Cosmic Ray Observatory|website=www.cosmic-ray.org|access-date=ngày 21 tháng 12 năm 2016|archive-date=2009-08-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20090815102123/http://www.cosmic-ray.org/reading/flyseye.html#SEC10|url-status=dead}}</ref> Về mặt lý thuyết, các photon năng lượng cao nhất mang khoảng 1 {{math|<var>E</var><sub>P</sub>}} năng lượng, trên mức đó nó không khác một [[hạt Planck]] mang cùng năng lượng.

=== Nhiệt độ Planck ===
Một nhiệt độ Planck, bằng khoảng {{physconst|TP}}, được coi là giới hạn cơ bản của nhiệt độ.<ref name="Tyson">{{chú thích web | last=Tyson | first=Peter | title=NOVA - Absolute Zero - Absolute Hot | website=PBS | url=https://www.pbs.org/wgbh/nova/zero/hot.html | access-date = ngày 13 tháng 6 năm 2020}}</ref> Một vật thể với nhiệt độ {{val|1.42|e=32|u=kelvin}} (''T''<sub>P</sub>) sẽ phát ra [[bức xạ vật đen]] with a [[Định luật dịch chuyển Wien|bước sóng tối đa]] là {{val|1.616|e=−35|u=m}} ([[độ dài Planck]]), khi đó mỗi photon và va chạm sẽ có đủ năng lượng để tạo thành [[hạt Planck]]. Hiện không có mô hình vật lý nào mô tả được nhiệt độ lớn hơn hoặc bằng nhiệt độ Planck {{math|''T''<sub>P</sub>}}.

=== Thời gian Planck ===
Một đơn vị thời gian Planck là khoảng [[thời gian]] cần để [[ánh sáng]] di chuyển được quãng đường 1 [[độ dài Planck]] trong chân không, tức bằng khoảng 5.39 × 10<sup>−44</sup> s ([[đơn vị Gauss]]).<ref name="abyss.uoregon.edu">{{chú thích web | title=Early Universe | website=abyss.uoregon.edu | url=http://abyss.uoregon.edu/~js/cosmo/lectures/lec20.html | access-date=ngày 13 tháng 6 năm 2020 | archive-date=2018-11-28 | archive-url=https://web.archive.org/web/20181128045313/http://abyss.uoregon.edu/~js/cosmo/lectures/lec20.html | url-status=dead }}</ref> Tất cả thí nghiệm và trải nghiệm thực tế diễn ra trên khoảng thời gian lớn hơn rất nhiều so với thời gian Planck,<ref>{{cite serial |title=[[How the Universe Works#Season 3|How The Universe Works 3]]|episode=First Second of the Big Bang |network=Discovery Science |year=2014}}</ref> khiến bất kỳ hiện tượng gì diễn tra ở quy mô Planck không thể phát hiện được với trình độ khoa học công nghệ ngày nay. {{As of|2016|11}}, sai số thời gian nhỏ nhất trong đo đạc trực tiếp nằm trong khoảng 850 zepto giây (8.50 × 10<sup>−19</sup> giây).<ref name="Boyle 2016">{{chú thích web | last=Boyle | first=Rebecca | title=Smallest sliver of time yet measured sees electrons fleeing atom | website=New Scientist | date = ngày 11 tháng 11 năm 2016 | url=https://www.newscientist.com/article/2112537-smallest-sliver-of-time-yet-measured-sees-electrons-fleeing-atom/ | access-date = ngày 13 tháng 6 năm 2020}}</ref>

== Các phương trình vật lý ==
Bảng 6 cho thấy việc sử dụng đơn vị Planck đơn giản hóa nhiều phương trình cơ bản trong vật lý, do nó chuẩn hóa năm hằng số phổ quát (và tích của chúng) thành giá trị là '''1'''. Trong hệ SI, ta cần xem xét đơn vị của các hằng số. Trong hệ đo lường Planck, ta không cần phải viết chúng nếu đã được hiểu trước.

{| class="wikitable mw-collapsible" style="margin:1em auto 1em auto; min-width: 50%;"
|+Bảng 7: Các phương trình vật lý viết trong hệ đo lường Planck
!
! Dạng đơn vị SI
! Dạng đơn vị Planck
|-
| [[Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton]]
| <math> F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} </math>
| <math> F = \frac{m_1 m_2}{r^2} </math>
|-
| [[Phương trình trường Einstein]] trong [[thuyết tương đối rộng]]
| <math>{ G_{\mu \nu} = 8 \pi {G \over c^4} T_{\mu \nu} } \ </math>
| <math>{ G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu} } \ </math>
|-
| [[Sự tương đương khối lượng–năng lượng]] trong [[thuyết tương đối hẹp]]
| <math>{ E = m c^2} \ </math>
| <math>{ E = m } \ </math>
|-
| [[Quan hệ năng lượng–động lượng]]
| <math> E^2 = m^2 c^4 + p^2 c^2 \;</math>
| <math> E^2 = m^2 + p^2 \;</math>
|-
| [[Nhiệt năng]] trên hạt trên [[Bậc tự do (lý hóa)|bậc tự do]]
| <math>{ E = \tfrac12 k_\text{B} T} \ </math>
| <math>{ E = \tfrac12 T} \ </math>
|-
| [[Công thức entropy Boltzmann]]
| <math>{ S = k_\text{B} \ln \Omega } \ </math>
| <math>{ S = \ln \Omega } \ </math>
|-
| [[Liên hệ Planck–Einstein]] cho năng lượng và [[tần số góc]]
| <math>{ E = \hbar \omega } \ </math>
| <math>{ E = \omega } \ </math>
|-
| [[Định luật Planck]] cho [[vật đen]] tại [[nhiệt độ]] {{mvar|T}}
| <math> I(\omega,T) = \frac{\hbar \omega^3 }{4 \pi^3 c^2}~\frac{1}{e^{\frac{\hbar \omega}{k_\text{B} T}}-1} </math>
| <math> I(\omega,T) = \frac{\omega^3 }{4 \pi^3}~\frac{1}{e^{\omega/T}-1} </math>
|-
| Định nghĩa [[hằng số Stefan–Boltzmann]] {{mvar|σ}}
| <math> \sigma = \frac{\pi^2 k_\text{B}^4}{60 \hbar^3 c^2} </math>
| <math> \sigma = \frac{\pi^2}{60} </math>
|-
| [[Nhiệt động lực học lỗ đen|Entropy lỗ đen]] [[Jacob Bekenstein|Bekenstein]]–[[Stephen Hawking|Hawking]]
| <math>S_\text{BH} = \frac{A_\text{BH} k_\text{B} c^3}{4 G \hbar} = \frac{4\pi G k_\text{B} m^2_\text{BH}}{\hbar c}</math>
| <math>S_\text{BH} = \frac{A_\text{BH}}{4} = 4\pi m^2_\text{BH}</math>
|-
| [[Phương trình Schrödinger]]
| <math>- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}, t) \psi(\mathbf{r}, t) = i \hbar \frac{\partial \psi(\mathbf{r}, t)}{\partial t}</math>
| <math>- \frac{1}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}, t) \psi(\mathbf{r}, t) = i \frac{\partial \psi(\mathbf{r}, t)}{\partial t}</math>
|-
| [[Phương trình Schrödinger]] dạng [[Toán tử Hamilton|Hamilton]]
| <math> H \left| \psi_t \right\rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \left| \psi_t \right\rangle</math>
| <math> H \left| \psi_t \right\rangle = i \frac{\partial}{\partial t} \left| \psi_t \right\rangle</math>
|-
| [[Phương trình Dirac]] dạng hiệp biến
| <math>\ (i\hbar \gamma^\mu \partial_\mu - mc) \psi = 0</math>
| <math>\ (i\gamma^\mu \partial_\mu - m) \psi = 0</math>
|-
| [[Hiệu ứng Unruh|Nhiệt độ Unruh]]
| <math>T=\frac{\hbar a}{2\pi c k_B}</math>
| <math>T=\frac{a}{2\pi}</math>
|-
| [[Định luật Coulomb]]
| <math> F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} </math>
| <math> F = \frac{q_1 q_2}{r^2} </math>
|-
| [[Phương trình Maxwell]]
| <math>\begin{align}
&\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{\varepsilon_0} \rho\\
&\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \\
&\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\\
&\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c^2} \left(\frac{1}{\varepsilon_0} \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} \right)
\end{align}
</math>
| <math>\begin{align}
&\nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho \\
&\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \\
&\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \\
&\nabla \times \mathbf{B} = 4 \pi \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}
\end{align}</math>
|-
|[[Phương trình trạng thái khí lý tưởng]]
| <math>PV = nRT</math>
| <math>PV = N T</math>
|}

== Các cách chuẩn hóa khác ==
Như đã nói ở trên, hệ đo lường Planck được suy ra bằng cách "chuẩn hóa" giá trị của một số hằng số phổ quát thành 1. Cách chuẩn hóa này không phải là duy nhất hay tốt nhất. Hơn nữa, việc chọn thừa số nào để chuẩn hóa trong số các hằng số trong vật lý không rõ ràng, và giá trị của hệ đo lường Planck phụ thuộc vào sự chọn lựa này.

Hệ số 4{{pi}} rất phổ biến trong [[vật lý lý thuyết]] vì diện tích bề mặt của một [[mặt cầu]] với bán kính {{mvar|r}} là {{math|4''πr''<sup>2</sup>}}. Điều này, cùng với khái niệm của [[thông lượng]], là cơ sở của [[định luật nghịch đảo bình phương]], [[định luật Gauss]], và [[toán tử div]] cho [[mật độ thông lượng]]. Ví dụ, [[trường hấp dẫn]] và [[điện trường]] tạo bởi điện tích điểm có tính đổi xứng hình cầu.<ref name="Barrow 2002 p. 214-215">{{chú thích sách | last=Barrow | first=John | title=The constants of nature: from Alpha to Omega--the numbers that encode the deepest secrets of the universe | url=https://archive.org/details/constantsnature00barr | publisher=Pantheon Books | publication-place=New York | year=2002 | isbn=978-0-375-42221-8 | oclc=50028687 | pages=[https://archive.org/details/constantsnature00barr/page/n228 214]-215}}</ref> Ví dụ, hệ số {{math|4{{pi}}''r''<sup>2</sup>}} xuất hiện trong mẫu số của định luật Coulomb trong đơn vị Lorentz–Heaviside, là do thông lượng của điện trường được phân phối đều khắp bề mặt của hình cầu. Tương tự với định luật hấp dẫn của Newton. (Nếu không gian có nhiều hơn ba chiều, hệ số 4{{pi}} sẽ phải được chỉnh sửa theo hình học của [[Mặt cầu n chiều|mặt cầu trong không gian nhiều chiều]].)

Do đó một số nhà vật lý sau Planck đề xuất không chuẩn hóa {{mvar|G}} mà là {{math|4{{pi}}''G''}} (hoặc {{math|8{{pi}}''G''}} hay {{math|16{{pi}}''G''}}) thành 1. Làm thế sẽ tạo ra hệ số {{math|{{sfrac|4{{pi}}}}}} (hoặc {{math|{{sfrac|8{{pi}}}}}} hay {{math|{{sfrac|16{{pi}}}}}}) trong phương trình của định luật vạn vật hấp dẫn, tương đồng với định luật Coulomb viết theo [[độ điện thẩm chân không]]. Khi việc này được áp dụng cho hằng số điện từ {{math|''ε''<sub>0</sub>}}, hệ đơn vị này được gọi là [[hệ đo lường Lorentz–Heaviside]] dạng ''hợp lý hóa''. Khi áp dụng cho cả đơn vị Planck và hằng số hấp dẫn, người ta gọi đó là '''hệ đo lường Planck hợp lý hóa'''<ref>{{chú thích tạp chí|title=Kaluza-Klein Monopole|journal=Physical Review Letters|volume=51|issue=2|pages=87–90|year=1983|last=Sorkin|first=Rafael|doi=10.1103/PhysRevLett.51.87|bibcode=1983PhRvL..51...87S}}</ref> và được dùng trong vật lý hạt.<ref name="Ferrero van der Merwe 1995 p. ">{{chú thích sách | last=Ferrero | first=M. | last2=van der Merwe | first2=A. | title=Fundamental Problems in Quantum Physics | publisher=Springer Netherlands | series=Fundamental Theories of Physics | year=1995 | isbn=978-0-7923-3670-9 | url=https://books.google.com.vn/books?id=1wUFoP7HC38C | access-date = ngày 13 tháng 6 năm 2020 | page=}}</ref>

Nói cách khác, hệ đo lường Planck hợp lý hóa được định nghĩa sao cho <math>c=4\pi G=\hbar=\varepsilon_0=k_\text{B}=1</math>.

=== Lực hấp dẫn ===
<!-- [[Reduced Planck units]], [[Planck mass]] and [[Cosmological constant]] link to this section -->
Năm 1899, định luật vạn vật hấp dẫn của Newton vẫn được coi là chính xác, khi mà [[thuyết tương đối rộng]] vẫn chưa ra đời. Do đó Planck chuẩn hóa [[hằng số hấp dẫn]] {{mvar|G}} trong định luật của Newton thành 1. Trong những lý thuyết sau đó, {{mvar|G}} hầu như luôn xuất hiện trong công thức cùng hệ số 4{{pi}} hoặc một hệ số nguyên nào khác. Do đó, một số đề xuất cho rằng nên chuẩn hóa {{math|4{{pi}}''G''}} thay vì chỉ {{mvar|G}}.

Chuẩn hóa {{math|4{{pi}}''G''}} thành 1:
* [[Định luật hấp dẫn Gauss]] trở thành {{math|1=''Φ''<sub>'''g'''</sub> = −''M''}} (thay vì {{math|1=''Φ''<sub>'''g'''</sub> = −4{{pi}}''M''}} trong đơn vị Planck).
* Loại bỏ {{math|4{{pi}}''G''}} khỏi [[phương trình Poisson]].
* Loại bỏ {{math|4{{pi}}''G''}} trong phương trình [[điện từ hấp dẫn]]. Những phương trình này, đúng trong [[trường hấp dẫn]] yếu hoặc [[Không gian Minkowski|không-thời gian phẳng]], có dạng giống với phương trình Maxwell (và phương trình [[lực Lorentz]]) của [[điện từ]], với [[khối lượng riêng]] thay vì [[mật độ điện tích]], và {{math|{{sfrac|4{{pi}}''G''}}}} thay cho {{math|''ε''<sub>0</sub>}}.
* Chuẩn hóa [[trở kháng đặc trưng]] {{math|''Z''<sub>0</sub>}} của [[sóng hấp dẫn]] trong chân không thành 1. (Thường được biểu diễn là {{math|{{sfrac|4{{pi}}''G''|''c''}}}})
* Loại bỏ {{math|4{{pi}}''G''}} khỏi công thức Bekenstein–Hawking (cho [[Nhiệt động lực học lỗ đen|entropy của một lỗ đen]] theo khối lượng {{mvar|m}} và diện tích [[chân trời sự kiện]] {{mvar|A}}), trở thành {{math|1=''S''<sub>BH</sub> = {{pi}}''A'' = ''m''<sup>2</sup>}}.

Chuẩn hóa {{math|1=8{{pi}}''G'' = 1}} sẽ loại bỏ {{math|8{{pi}}''G''}} khỏi [[phương trình trường Einstein]], [[tác động Einstein–Hilbert]], và [[phương trình Friedmann]], cho lực hấp dẫn. Hệ đơn vị Planck sửa đổi sao cho {{math|1=8{{pi}}''G'' = 1}} được gọi là ''hệ đo lường Planck thu gọn'', do [[Khối lượng Planck thu gọn|khối lượng Planck]] được chia cho {{math|{{sqrt|8{{pi}}}}}}. Ngoài ra, công thức Bekenstein–Hawking cho entropy của lỗ đen trở thành {{math|1=''S'' = ''m''<sup>2</sup>/2 = 2{{pi}}''A''}}.

Chuẩn hóa {{math|1=16{{pi}}''G'' = 1}} sẽ loại bỏ hằng số {{math|{{sfrac|''c''<sup>4</sup>|16{{pi}}''G''}}}} khỏi tác động Einstein–Hilbert. Phương trình trường Einstein dạng sử dụng [[hằng số vũ trụ]] {{mvar|Λ}} trở thành {{math|1=''R<sub>μν</sub>'' + ''Λg<sub>μν</sub>'' = {{sfrac|2}}(''Rg<sub>μν</sub>'' + ''T<sub>μν</sub>'')}}.

=== Lực điện từ ===
Hệ đơn vị Planck chuẩn hóa [[hằng số Coulomb]] {{math|1=''k''<sub>e</sub> = {{sfrac|4{{pi}}''ε''<sub>0</sub>}}}} thành 1 (giống hệ đo lường [[CGS]]). Điều này khiến cho đơn vị Planck cho trở kháng, {{math|''Z''<sub>P</sub>}} bằng {{math|{{sfrac|''Z''<sub>0</sub>|4{{pi}}}}}}, trong đó {{math|''Z''<sub>0</sub>}} là [[trở kháng đặc trưng của chân không]].
Chuẩn hóa [[độ điện thẩm chân không]] {{math|''ε''<sub>0</sub>}} thành 1:
* Chuẩn hóa [[độ từ thẩm chân không]] {{math|1=''μ''<sub>0</sub> = 1}} (vì {{math|1=''c'' = 1}}).
* Chuẩn hóa trở kháng đặc trưng của chân không {{math|1=''Z''<sub>0</sub> = 1}}.
* Loại bỏ {{math|4{{pi}}}} khỏi dạng không thứ nguyên của [[phương trình Maxwell]].
* Loại bỏ {{math|''ε''<sub>0</sub>}} khỏi dạng không thứ nguyên của [[định luật Coulomb]], nhưng hệ số {{math|4{{pi}}''r''{{i sup|2}}}} vẫn nằm trong mẫu số.

=== Nhiệt độ ===
Planck chuẩn hóa [[hằng số Boltzmann]] {{math|''k''<sub>B</sub>}} thành 1.

Chuẩn hóa {{math|{{sfrac|2}}''k''<sub>B</sub>}} thành 1:
* Loại bỏ hệ số {{sfrac|2}} trong dạng không thứ nguyên của phương trình [[nhiệt năng]] trên hạt trên [[Bậc tự do (lý hoá)|bậc tự do]].
* Không ảnh hưởng gì đến các đơn vị Planck cơ bản hay suy ra trong Bảng 3 và 4

== Sự thay đổi bất biến của tự nhiên ==
Một số nhà vật lý như [[Paul Dirac|Dirac]] và [[Edward Arthur Milne|Milne]] đề xuất ý kiến cho rằng các "hằng số" vật lý có thể thay đổi theo thời gian (ví dụ như [[tốc độ ánh sáng biến thiên]] hay [[Giải thuyết số lớn Dirac|giả thuyết ''G'' thay đổi của Dirac]]). Những lý thuyết này chưa được chấp nhận và còn nhiều ẩn số xung quanh việc "hằng số" vật lý có thể thay đổi. Một câu hỏi quan trọng là: Một sự thay đổi như thế có làm thay đổi kết quả của các thí nghiệm vật lý, hay thậm chí là nhận thức của chúng ta về hiện thực hay không? Nếu một [[hằng số vật lý]] [[Đại lượng không thứ nguyên|không có thứ nguyên]], như [[tốc độ ánh sáng]], thay đổi, liệu ta có cảm nhận hay đo đạc được nó không?<ref name="hep-th0208093">{{cite arXiv|author=Michael Duff |title=Comment on time-variation of fundamental constants|eprint=hep-th/0208093|year=2002|author-link=Michael Duff (physicist)}}</ref>

[[George Gamow]] trong quyển sách ''[[Mr Tompkins|Mr. Tompkins trong vương quốc kỳ diệu]]'' cho rằng một sự thay đổi đủ lớn của một hằng số vật lý có thứ nguyên, như tốc độ ánh sáng trong chân không, sẽ dẫn đến sự thay đổi trong nhận thức. [[John D. Barrow]] thách thức quan điểm này:

{{quote|[Một] bài học quan trọng từ việc những số thuần túy như ''α'' định nghĩa thế giới là một thế giới khác thật sự là như thế nào. Con số thuần túy mà ta gọi là hằng số cấu trúc tính tế và ký hiệu bằng ''α'' là một sự kết hợp của điện tích ''e'', tốc độ ánh sáng, ''c'', và hằng số Planck ''h''. Ban đầu ta có thể cho rằng thế giới mà tốc độ ánh sáng chậm hơn là một thế giới khác. Nhưng điều đó là sai lầm. Nếu ''c'', ''h'', và ''e'' cùng thay đổi sao cho giá trị của chúng trong hệ metric (hay bất kỳ hệ nào khác) trông khác đi khi ta tìm chúng trong bảng các hằng số vật lý, nhưng giá trị của ''α'' vẫn giữ nguyên, thì thế giới mới này là ''giống hoàn toàn về mặt quan sát'' với thế giới của chúng ta. Thứ duy nhất định nghĩa thế giới là giá trị của các hằng số không thứ nguyên của Tự nhiên. Nếu tất cả khối lượng đều nhân đôi về mặt giá trị [bao gồm cả khối lượng Planck ''m''<sub>P</sub>] bạn không thể biết vì tất cả số thuần túy định nghĩa bởi tỉ số giữa hai cặp khối lượng bất kỳ đều không đổi.|Barrow 2002<ref name="John D 2002" />}}

Ta có thể biết được nếu một đại lượng vật lý không thứ nguyên như là [[hằng số cấu trúc tinh tế]] {{mvar|a}} hoặc [[tỉ lệ khối lượng proton-electron]] {{math|''m''<sub>p</sub>/''m''<sub>e</sub>}} thay đổi, nhưng nếu tất cả đại lượng không thứ nguyên (bao gồm tỉ số giữa hai đại lượng cùng thứ nguyên) không thay đổi, thì ta không thể biết nếu một đại lượng có thứ nguyên, như là vận tốc ánh sáng {{mvar|c}} đã thay đổi hay chưa.

Nếu tốc độ ánh sáng {{mvar|c}} bị giảm đi một nửa, thành {{math|{{sfrac|2}}''c''}} (với điều kiện tất cả đại lượng không thứ nguyên không đổi), thì độ dài Planck sẽ ''tăng'' lên gấp 2{{sqrt|2}} lần từ góc nhìn của một quan sát viên từ bên ngoài không bị ảnh hưởng. Trong góc nhìn của những người trong vũ trụ đó, vận tốc ánh sáng vẫn sẽ là 1 độ dài Planck mới trên 1 thời gian Planck mới – không thay đổi so với ban đầu. Tuy nhiên, với điều kiện đã cho, tỉ số giữa kích cỡ của nguyên tử (xấp xỉ bằng [[bán kính Bohr]]) và độ dài Planck là một hằng số không thứ nguyên:

: <math>a_0 = \frac{4 \pi \epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} = \frac{m_\text{P}}{m_e \alpha} l_\text{P}. </math>

Do đó đối với người quan sát từ bên ngoài, nguyên tử sẽ lớn gấp 2{{sqrt|2}} lần ban đầu, chúng ta sẽ cao hơn 2{{sqrt|2}} lần, cây thước dài một mét sẽ dài hơn gấp 2{{sqrt|2}} lần. Cảm nhận của chúng ta về khoảng cách và độ dài so với độ dài Planck hay so với bất kỳ đơn vị nào khác vẫn không đổi.

Tính bất biến của thang đo tương đối với hệ đo lường Planck, hay bất kỳ hệ đo lường tự nhiên nào khác, khiến một số nhà vật lý kết luận rằng một sự thay đổi của hằng số vật lý chỉ có thể được biết qua sự thay đổi của [[hằng số vật lý không thứ nguyên]]. Một hằng số vật lý không thứ nguyên là [[hằng số cấu trúc tinh tế]]. Một số nhà vật lý thực nghiệm khẳng định đã đo được sự thay đổi trong hằng số này,<ref>{{chú thích tạp chí | last1 = Webb | first1 = J. K. | display-authors = etal | year = 2001 | title = Further evidence for cosmological evolution of the fine structure constant | arxiv=astro-ph/0012539v3 | journal = [[Physical Review Letters|Phys. Rev. Lett.]] | volume = 87 | issue = 9| page = 884 |bibcode = 2001PhRvL..87i1301W |doi = 10.1103/PhysRevLett.87.091301 | pmid=11531558}}</ref> dẫn đến nhiều tranh luận về việc đo đạc hằng số vật lý. Vài nhà vật lý lý thuyết cho rằng trong một số trường hợp rất đặc biệt, thay đổi trong hằng số cấu trúc tinh tế ''có thể'' được đo đạc qua thay đổi trong các hằng số vật lý có thứ nguyên.<ref>{{chú thích tạp chí | last1 = Davies | first1 = Paul C. | authorlink = Paul C. Davies | last2 = Davis | first2 = T. M. | last3 = Lineweaver | first3 = C. H. | year = 2002 | title = Cosmology: Black Holes Constrain Varying Constants | url = | journal = [[Nature (journal)|Nature]] | volume = 418 | issue = 6898| pages = 602–3 | doi=10.1038/418602a | pmid=12167848|bibcode = 2002Natur.418..602D }}</ref> Những người khác bác bỏ khả năng này dưới bất kỳ trường hợp nào.<ref name="hep-th0208093" /> Khó khăn trong việc phát hiện sự thay đổi của các hằng số vật lý có thứ nguyên dẫn đến tranh luận về việc liệu một hằng số vật lý thứ nguyên có ý nghĩa thực tế nào không.<ref name="DOV">{{chú thích tạp chí | last1 = Duff | first1 = Michael | authorlink = Michael Duff (physicist) | authorlink3 = Gabriele Veneziano | last2 = Okun | first2 = Lev | last3 = Veneziano | first3 = Gabriele | year = 2002 | title = Trialogue on the number of fundamental constants | arxiv=physics/0110060 | journal = [[Journal of High Energy Physics]] | volume = 2002 | issue = 3| page = 023 |bibcode = 2002JHEP...03..023D |doi = 10.1088/1126-6708/2002/03/023 }}</ref>

== Xem thêm ==
* [[Vật lý cGh]]
* [[Phân tích thứ nguyên]]
* [[Hạt Planck]]
* [[Năng lượng điểm không]]

== Tham khảo ==
=== Chú thích ===
{{tham khảo}}

=== Nguồn ===
{{refbegin}}
* {{chú thích sách |title=The Constants of Nature; From Alpha to Omega – The Numbers that Encode the Deepest Secrets of the Universe |url=https://archive.org/details/constantsofnatur0000barr |url-access=registration |last=Barrow |first=John D. |author-link=John D. Barrow |year=2002 |publisher=Pantheon Books |location=New York |isbn=978-0-375-42221-8 }} Easier.
* {{chú thích sách |title=The Anthropic Cosmological Principle |last1=Barrow |first1=John D. |author1-link=John D. Barrow |last2=Tipler |first2 = Frank J. |year=1986 |publisher=Claredon Press |location=Oxford |isbn = 978-0-19-851949-2 |title-link=Anthropic Principle#The Anthropic Cosmological Principle |author2-link=Frank J. Tipler }} Harder.
* {{chú thích sách |title=The Road to Reality |last=Penrose |first=Roger |author-link=Roger Penrose |year=2005 |publisher=Alfred A. Knopf |location=New York |isbn=978-0-679-45443-4 |section = Section 31.1 |no-pp=true |title-link=The Road to Reality }}
* {{chú thích tạp chí |last=Planck |first=Max |author-link=Max Planck |year=1899 |title=Über irreversible Strahlungsvorgänge |journal=Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin |volume=5 |pages=440–480 |url = https://www.biodiversitylibrary.org/item/93034#page/498/mode/1up |language = de }} pp.&nbsp;478–80 contain the first appearance of the Planck base units other than the [[Planck charge]], and of [[Planck's constant]], which Planck denoted by ''b''. ''a'' and ''f'' in this paper correspond to ''[[Boltzmann's constant|k]]'' and ''[[gravitation constant|G]]'' in this entry.
* {{chú thích sách |last=Tomilin |first=K. A. |title=Natural Systems of Units: To the Centenary Anniversary of the Planck System |pages=287–296 |year=1999 |url = http://dbserv.ihep.su/~pubs/tconf99/ps/tomil.pdf  |series=Proceedings Of The XXII Workshop On High Energy Physics And Field Theory |url-status=dead |archive-url = https://web.archive.org/web/20060617063055/http://dbserv.ihep.su/~pubs/tconf99/ps/tomil.pdf |archive-date=ngày 17 tháng 6 năm 2006 }}
{{refend}}

== Liên kết ngoài ==
* [http://physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html Giá trị của các hằng số cơ bản], bao gồm các đơn vị Planck cơ bản, bởi [[Viện Tiêu chuẩn và Kỹ thuật Quốc gia Hoa Kỳ]] (NIST).
* [http://abyss.uoregon.edu/~js/cosmo/lectures/lec20.html "Kỷ nguyên Planck" và "Thời gian Planck"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181128045313/http://abyss.uoregon.edu/~js/cosmo/lectures/lec20.html |date=2018-11-28 }} (tới 10<sup>−43</sup> giây sau [[Big Bang|sự ra đời]] [[vũ trụ]]) ([[Đại học Oregon]]).
* [http://einsteinsintuition.com/what-is-qst/constants-of-nature/ Hằng số của Tự nhiên: Lý thuyết Không gian lượng tử] đưa ra một tập các đơn vị Planck khác và định nghĩa 31 hằng số vật lý theo chúng.
* [http://www.phys.unsw.edu.au/einsteinlight/jw/module6_Planck.htm The Planck scale: relativity meets quantum mechanics meets gravity] từ 'Einstein Light' tại UNSW
* [http://math.ucr.edu/home/baez/planck/ Đại số nhiều chiều và Vật lý quy mô Planck] bởi [[John C. Baez]]

{{-}}
{{Hệ thống đo lường Planck}}
{{Hệ thống đo lường}}
{{Portal bar|Vật lý|Khoa học}}