Xem mã nguồn của Hệ tiên đề Peano

[[Tập tin:Giuseppe Peano.jpg|nhỏ|[[Giuseppe Peano]]]]
Trong [[Logic toán|logic toán học]], các '''tiên đề Peano''', còn được gọi là các '''tiên đề Peano –''' '''Dedekind''' hay các '''định đề Peano''', là [[Tiên đề|các tiên đề]] cho các [[số tự nhiên]] được trình bày bởi [[nhà toán học]] [[người Ý]] thế kỷ 19 [[Giuseppe Peano]]. Những tiên đề đã được sử dụng gần như không thay đổi trong nhiều nghiên cứu [[siêu toán học]], trong đó có nghiên cứu về vấn đề căn bản như việc liệu [[lý thuyết số]] có [[Định lý nhất quán|nhất quán]] và [[Tính đầy đủ (logic)|hoàn chỉnh]] hay không.

Nhu cầu hình thức hóa [[số học]] không được đánh giá cao cho tới công trình của [[Hermann Grassmann]], người đã chỉ ra vào những năm 1860 rằng nhiều sự thật trong số học có thể được rút ra từ những sự thật cơ bản hơn về [[hàm successor]] và [[Quy nạp toán học|phép quy nạp]].{{Sfn|Grassmann|1861|p=}} Năm 1881, [[Charles Sanders Peirce]] đã lập ra một [[hệ tiên đề]] về số học số tự nhiên.<ref>{{harvnb|Peirce|1881}}, {{harvnb|Shields|1997}}</ref> Trong năm 1888, [[Richard Dedekind]] đề xuất một tiên đề khác về số học số tự nhiên, và trong&nbsp;năm 1889, Peano đã xuất bản một phiên bản đơn giản hơn dưới dạng một tập hợp các tiên đề trong cuốn sách của ông, ''[[Arithmetices Princia, nova methodo exposita|Các nguyên tắc số học được trình bày bởi một phương pháp mới]]'' ({{Lang-la|Arithmetices principia, nova methodo exposita}}).

Các tiên đề Peano chứa ba loại mệnh đề. Tiên đề đầu tiên khẳng định sự tồn tại của ít nhất một phần tử trong tập hợp các số tự nhiên. Bốn tiên đề tiếp theo là những mệnh đề chung về [[Đẳng thức|quan hệ bằng nhau]]; trong các lí thuyết hiện đại, chúng thường không được coi là một phần của tiên đề Peano, mà là của "nền tảng logic" đằng sau nó.{{Sfn|van Heijenoort|1967|p=94}} Ba tiên đề tiếp theo là các mệnh đề [[Logic bậc nhất|bậc nhất]] về số tự nhiên biểu thị các tính chất cơ bản của hàm successor. Tiên đề thứ chín – tiên đề cuối cùng, là một mệnh đề [[Logic bậc hai|bậc hai]] về nguyên tắc quy nạp toán học trên các số tự nhiên. Một hệ thống bậc nhất yếu hơn gọi là '''số học Peano''' có được bằng cách thêm các ký hiệu phép toán cộng và nhân một cách tường minh và thay thế tiên đề [[Số học bậc hai|quy nạp bậc hai]] bằng [[Lược đồ Axiom|sơ đồ tiên đề]] bậc nhất.

== Phát biểu ==
Khi Peano phát biểu các tiên đề của mình, ngôn ngữ của [[Logic toán|logic toán học]] đang ở giai đoạn sơ khai. Hệ thống ký hiệu logic mà ông tạo ra để trình bày các tiên đề đã không trở nên phổ biến, mặc dù đó là nguồn gốc của ký hiệu hiện đại cho [[phần tử|quan hệ liên thuộc]] (∈, xuất phát từ kí tự ε của Peano) và [[Hàm ý logic|bao hàm]] (⊃, xuất phát từ chữ 'C' đảo ngược của Peano). Peano duy trì sự phân biệt rõ ràng giữa các ký hiệu toán học và logic, điều vốn chưa phổ biến trong toán học; một sự tách biệt như vậy lần đầu tiên được giới thiệu trong cuốn ''[[Bắt đầu|Begriffsschrift]]'' bởi [[Gottlob Frege]], xuất bản năm 1879.{{Sfn|van Heijenoort|1967|p=2}} Peano không biết gì về công trình của Frege và đã tái dựng lại bộ máy logic của ông ấy dựa trên công trình của [[George Boole|Boole]] và [[Ernst Schröder|Schröder]].{{Sfn|van Heijenoort|1967|p=83}}

Các tiên đề Peano xác định các tính chất số học của ''[[Số tự nhiên|các số tự nhiên]]'', thường được biểu diễn dưới dạng [[Tập hợp (toán học)|tập]] '''N''' hoặc <math>\mathbb{N}.</math> Các [[ký hiệu phi logic]] cho các tiên đề bao gồm ký hiệu hằng số 0 và ký hiệu hàm một biến ''S.''

Tiên đề đầu tiên nói rằng hằng số 0 là số tự nhiên: {{Ordered list|0 là một số tự nhiên.}} Bốn tiên đề tiếp theo mô tả [[Quan hệ hai ngôi|quan hệ]] [[Đẳng thức|bằng nhau]]. Vì chúng đều đúng về logic trong logic bậc nhất chứa quan hệ bằng nhau, chúng không được coi là một phần của "tiên đề Peano" trong các phương pháp hiện đại.{{Sfn|van Heijenoort|1967|p=83}} {{Ordered list|2=Với mọi số tự nhiên ''x'', {{nowrap|1=''x'' = ''x''}}. Tức là, quan hệ bằng nhau có tính [[quan hệ phản xạ|phản xạ]].|3=Với mọi số tự nhiên ''x'' và ''y'', nếu {{nowrap|1=''x'' = ''y''}}, thì {{nowrap|1=''y'' = ''x''}}. Tức là, quan hệ bằng nhau có tính [[quan hệ đối xứng|đối xứng]].|4=Với mọi số tự nhiên ''x'', ''y'' và ''z'', nếu ''x'' = ''y'' và ''y'' = ''z'', thì {{nowrap|1=''x'' = ''z''}}. Tức là, quan hệ bằng nhau có tính [[quan hệ bắc cầu|bắc cầu]].|5=Với mọi ''a'' và ''b'', nếu ''b'' là một số tự nhiên và {{nowrap|1=''a'' = ''b''}}, thì ''a'' cũng là một số tự nhiên. Tức là, tập số tự nhiên là [[Đóng (toán học)|đóng]] dưới quan hệ bằng nhau.}} Các tiên đề còn lại xác định các tính chất số học của các số tự nhiên. Các số tự nhiên được coi là đóng dưới một [[Hàm số|hàm]] "[[Hàm successor|liền sau]]" (successor) đơn trị ''S.'' {{Ordered list|6=Với mọi số tự nhiên ''n'', ''S''(''n'') là một số tự nhiên. Tức là, tập số tự nhiên là [[Đóng (toán học)|đóng]] dưới ''S''.|7=Với mọi số tự nhiên ''m'' và ''n'', {{nowrap|1=''m'' = ''n''}} khi và chỉ khi {{nowrap|1=''S''(''m'') = ''S''(''n'')}}. Tức là, ''S'' là một [[ánh xạ]].|8=Với mọi số tự nhiên ''n'', {{nowrap|1=''S''(''n'') = 0}} là sai. Tức là, không tồn tại số tự nhiên nào mà số liền sau là 0.}} Công thức ban đầu của Peano về các tiên đề sử dụng 1 thay vì 0 là số tự nhiên "đầu tiên".{{Sfn|Peano|1889|p=1}} Lựa chọn này là tùy ý, vì tiên đề 1 không cung cấp thêm bất kỳ thuộc tính bổ sung nào cho số 0. Tuy nhiên, vì 0 là [[Phần tử đơn vị|phần tử đơn vị của phép cộng]] trong số học, nên hầu hết các phát biểu hiện đại của các tiên đề Peano bắt đầu từ số 0. Tiên đề 1, 6, 7, 8 định nghĩa một cách [[Hệ đơn phân|biểu diễn đơn phân]] của khái niệm trực quan về số tự nhiên: số 1 có thể được định nghĩa là ''S''(0), 2 là ''S''(S(0)), v.v. Tuy nhiên, khi xem xét khái niệm số tự nhiên được xác định bởi các tiên đề này, các tiên đề 1, 6, 7, 8 không ngụ ý rằng hàm liền sau tạo ra tất cả các số tự nhiên khác 0. Nói cách khác, chúng không đảm bảo rằng mọi số tự nhiên khác 0 phải đứng liền sau một số tự nhiên khác.

Khái niệm trực quan rằng mỗi số tự nhiên có thể đạt được bằng cách tìm ''số liền sau'' từ số 0 đủ nhiều lần đòi hỏi một tiên đề bổ sung, đôi khi được gọi là ''[[Quy nạp toán học|tiên đề quy nạp]]''. {{Ordered list|9=Nếu ''K'' là một tập hợp thỏa mãn:
* 0 thuộc ''K'', và
* với mỗi số tự nhiên ''n'', ''n'' thuộc ''K'' suy ra ''S''(''n'') thuộc ''K'',
thì ''K'' chứa mọi số tự nhiên.}} Tiên đề quy nạp đôi khi được nêu ở dạng sau: {{Ordered list|9=Nếu ''φ'' là một [[vị từ (toán học)|vị từ]] sao cho:
* ''φ''(0) đúng, và
* với mọi số tự nhiên ''n'', ''φ''(''n'') đúng bao hàm rằng ''φ''(''S''(''n'')) cũng đúng,
thì ''φ''(''n'') đúng với mọi số tự nhiên ''n''.}} Trong công thức ban đầu của Peano, tiên đề quy nạp là một tiên đề [[Logic bậc hai|bậc hai]]. Hiện nay người ta thường thay thế nguyên tắc bậc hai này bằng sơ đồ quy nạp [[Logic bậc nhất|bậc nhất]] yếu hơn. Có sự khác biệt quan trọng giữa các công thức bậc hai và bậc nhất, như được thảo luận trong phần {{Section link||Mô hình}} dưới đây.

== Số học ==
Các tiên đề Peano có thể được bổ sung bằng các phép toán [[Phép cộng|cộng]] và [[Phép nhân|nhân]] và [[Thứ tự toàn phần|quan hệ thứ tự toàn phần (hay tuyến tính)]] thông thường trên [[Số tự nhiên|'''N.''']] Các hàm và quan hệ tương ứng được xây dựng theo [[lý thuyết tập hợp]] hoặc [[logic bậc hai]], và có thể được cho thấy là duy nhất bằng cách sử dụng các tiên đề Peano.

=== Phép cộng ===
[[Phép cộng]] là một hàm [[ánh xạ]] hai số tự nhiên (hai phần tử của '''N''') sang một số khác. Nó được định nghĩa đệ quy là:

: <math>\begin{align}
a + 0   &= a,    & \textrm{(1)}\\
a + S (b) &= S (a + b). & \textrm{(2)}
\end{align}</math>

Ví dụ:

: <math>\begin{align}
a + 1 &= a + S(0)   & \mbox{bằng định nghĩa} \\
   &= S(a + 0)   & \mbox{áp dụng (2)} \\
   &= S(a),    & \mbox{áp dụng (1)} \\
\\
a + 2 &= a + S(1)   & \mbox{bằng định nghĩa} \\
   &= S(a + 1)   & \mbox{áp dụng (2)} \\
   &= S(S(a))   & \mbox{áp dụng } a + 1 = S(a) \\
\\
a + 3 &= a + S(2)   & \mbox{bằng định nghĩa} \\
   &= S(a + 2)   & \mbox{áp dụng (2)} \\
   &= S(S(S(a)))  & \mbox{áp dụng } a + 2 = S(S(a)) \\
\text{v.v.} & \\
\end{align}</math>

[[Cấu trúc (logic toán học)|Cấu trúc]] {{Nowrap|('''N''', +)}} là một [[monoid]] [[Tính giao hoán|giao hoán]] với phần tử đơn vị 0. {{Nowrap|('''N''', +)}} cũng là một [[Magma (toán học)|magma]] [[Tính triệt tiêu|triệt tiêu]], và do đó [[Nhúng|nhúng được]] trong một [[Nhóm (toán học)|nhóm]]. Nhóm nhỏ nhất nhúng '''N''' là [[số nguyên|tập hợp số nguyên]].

=== Phép nhân ===
Tương tự, [[phép nhân]] là một hàm ánh xạ hai số tự nhiên sang số khác. Ngoài ra, nó được định nghĩa đệ quy là:

: <math>\begin{align}

a \cdot 0 &= 0, \\
a \cdot S (b) &= a + (a \cdot b).
\end{align}</math>

Dễ dàng thấy rằng ''S'' (0) (hoặc "1", trong ngôn ngữ quen thuộc của [[biểu diễn thập phân]]) là [[Phần tử đơn vị|đơn vị phải]] của phép nhân:

: ''a'' · ''S'' (0) = ''a'' + (''a'' · 0) = ''a'' + 0 = ''a''

Để chỉ ra rằng ''S''(0) cũng là phần tử đơn vị trái của phép nhân cần có tiên đề quy nạp do cách định nghĩa phép nhân:

* ''S''(0) là phần tử đơn vị bên trái của 0: ''S''(0) · 0 = 0. 
* Nếu S(0) là phần tử đơn vị bên trái của ''a'' (tức là ''S''(0) · ''a'' = ''a''), thì ''S''(0) cũng là phần tử đơn vị bên trái của ''S''(''a''): ''S''(0) · ''S''(''a'') = ''S''(0) + ''S''(0) · ''a'' = ''S''(0) + ''a'' = ''a'' + ''S''(0) = ''S''(''a''+0) = ''S''(''a'').

Do đó, bởi tiên đề quy nạp ''S'' (0) là phần tử đơn vị trái của phép nhân của tất cả các số tự nhiên. Hơn nữa, có thể chỉ ra rằng phép nhân [[Thuộc tính phân phối|có tính phân phối]] trên phép cộng:

: ''a'' · (''b +'' ''c'') = (''a''·''b'') + (''a'' ·''c'').

Do đó, {{Nowrap|('''N''', +, 0, ·, ''S''(0))}} là một [[nửa vành]] giao hoán.

=== Bất đẳng thức ===
Quan hệ [[thứ tự toàn phần]] thông thường trên các số tự nhiên có thể được định nghĩa như sau: giả sử 0 là số tự nhiên

: Với mọi {{Nowrap|''a'', ''b'' ∈ '''N'''}}, {{Nowrap|''a'' ≤ ''b''}} khi và chỉ khi tồn tại một số {{Nowrap|''c'' ∈ '''N'''}} sao cho {{Nowrap|1=''a'' + ''c'' = ''b''}}.

Mối quan hệ này ổn định dưới phép cộng và nhân: cho <math> a, b, c \in \mathbf{N} </math>, nếu {{Nowrap|''a'' ≤ ''b''}}, thì:

* ''a'' + ''c'' ≤ ''b'' + ''c'' và 
* ''a'' · ''c'' ≤ ''b'' · ''c''.

Do đó, cấu trúc {{Nowrap|('''N''', +, ·, 1, 0, ≤)}} là một nửa vành có thứ tự; bởi vì không có số tự nhiên trong khoảng từ 0 đến 1, nên nó là một nửa vành có thứ tự rời rạc.

Tiên đề quy nạp đôi khi được nêu ở dạng sau sử dụng giả thuyết mạnh hơn, sử dụng quan hệ thứ tự "≤":

: Đối với bất kỳ [[Vị từ (toán học)|vị từ]] ''φ,'' nếu 
:* ''φ''(0) đúng, và 
:* cho mỗi {{Nowrap|''n'', ''k'' ∈ '''N'''}} nếu {{Nowrap|''k'' ≤ ''n''}} suy ra rằng ''φ(k)'' đúng, thì ''φ(S(n))'' là đúng, 
: thì với mọi {{Nowrap|''n'' ∈ '''N'''}}, ''φ(n)'' đúng.

Dạng tiên đề quy nạp này, được gọi là ''quy nạp mạnh'', là hệ quả của cách phát biểu chuẩn mực, nhưng thường phù hợp hơn cho việc lí giải về quan hệ thứ tự ≤. Ví dụ, để chỉ ra rằng tập hợp các số tự nhiên [[Thứ tự tốt|được sắp tốt]] — mọi [[Tập hợp rỗng|tập]] [[Tập hợp con (toán học)|hợp con]] [[Tập hợp rỗng|không rỗng]] của '''N''' có một [[Yếu tố ít nhất|phần tử nhỏ nhất]], ta có thể lý giải như sau. Cho {{Nowrap|''X'' ⊆ '''N'''}} không rỗng và giả sử ''X'' không có phần tử nhỏ nhất.

* Vì 0 là phần tử nhỏ nhất của '''N''', nên {{Nowrap|0 ∉ ''X''}} 
* Với mọi {{Nowrap|''n'' ∈ '''N'''}}, giả sử với mọi {{Nowrap|''k'' ≤ ''n''}}, {{Nowrap|''k'' ∉ ''X''}} Khi đó {{Nowrap|''S''(''n'') ∉ ''X''}}, bởi nếu không nó sẽ là phần tử nhỏ nhất của ''X.''

Do đó, theo nguyên lý quy nạp mạnh, với mọi {{Nowrap|''n'' ∈ '''N'''}}, {{Nowrap|''n'' ∉ ''X''}} Do đó, {{Nowrap|1=''X'' ∩ '''N''' = ∅}}, [[mâu thuẫn]] với giả thiết rằng ''X'' là tập con không rỗng của '''N'''. Do đó ''X'' có phần tử nhỏ nhất.

== Lý thuyết số học bậc nhất ==
Tất cả các tiên đề Peano ngoại trừ tiên đề thứ chín (tiên đề quy nạp) là các mệnh đề trong [[logic bậc nhất]].{{sfn|Partee|Ter Meulen|Wall|2012|p=215}} Các phép toán số học của phép cộng và phép nhân và quan hệ thứ tự cũng có thể được xác định bằng các tiên đề bậc nhất. Tiên đề quy nạp có [[Logic bậc hai|bậc hai]], vì nó [[Lượng từ|định lượng]] trên các vị từ (theo nghĩa tương đương, trên các tập hợp số tự nhiên chứ không phải trên các số tự nhiên), nhưng nó có thể được chuyển đổi thành ''[[sơ đồ tiên đề]]'' bậc nhất cho phép quy nạp. Một sơ đồ như vậy bao gồm một tiên đề cho mỗi vị ngữ định nghĩa được trong ngôn ngữ bậc nhất của số học Peano, khiến cho nó yếu hơn tiên đề bậc hai.{{sfnp|Harsanyi|1983}} Lý do nó yếu hơn là vì số lượng vị từ trong ngôn ngữ bậc nhất là có thể đếm được, trong khi số lượng các tập hợp số tự nhiên là không đếm được. Do đó, tồn tại các tập hợp không thể được mô tả bằng ngôn ngữ bậc nhất (trên thực tế, hầu hết các tập hợp đều có thuộc tính này).

Các tiên đề bậc nhất của số học Peano có một hạn chế kỹ thuật khác. Trong logic bậc hai, có thể định nghĩa các phép toán cộng và nhân từ hàm [[Hàm successor|liền sau]], nhưng điều này không thể được thực hiện trong cấu trúc hạn chế hơn của logic bậc một. Do đó, các phép toán cộng và nhân được bao gồm trực tiếp trong [[Signature (toán học)|signature]] của số học Peano và các tiên đề được đưa vào có liên quan đến ba phép toán với nhau.

Danh sách các tiên đề sau (cùng với các tiên đề thông thường về quan hệ bằng nhau), chứa sáu trong số bảy tiên đề của [[số học Robinson]], là đủ cho mục đích này: {{Sfn|Mendelson|1997|p=155}}

* <math>\forall x \ (0 \neq S (x))</math>
* <math>\forall x, y \ (S(x) = S(y) \Rightarrow x = y)</math>
* <math>\forall x \ (x + 0 = x)</math>
* <math>\forall x, y \ (x + S(y) = S(x + y))</math>
* <math>\forall x \ (x \cdot 0 = 0)</math>
* <math>\forall x, y \ (x \cdot S (y) = x \cdot y + x)</math>

Ngoài danh sách các tiên đề số này, số học Peano còn chứa sơ đồ quy nạp, bao gồm một tập hợp các [[tiên đề]] đếm được đệ quy. Đối với mỗi công thức {{Nowrap|''φ''(''x'', ''y''<sub>1</sub>,..., ''y''<sub>''k''</sub>)}} trong ngôn ngữ của Peano số học, '''tiên đề quy nạp bậc nhất''' cho ''φ'' là mệnh đề

: <math>\forall \bar{y} ((\varphi(0,\bar{y}) \land \forall x (\varphi(x,\bar{y})\Rightarrow\varphi(S(x),\bar{y}))) \Rightarrow \forall x \varphi(x,\bar{y}))</math>

Ở đâu <math>\bar{y}</math> là viết tắt của ''y'' <sub>1</sub>,..., ''y'' <sub>''k''</sub>. Sơ đồ quy nạp bậc nhất bao gồm tất cả các dạng của tiên đề quy nạp bậc nhất, có nghĩa là, nó bao gồm các tiên đề quy nạp cho mỗi công thức ''φ''.

=== Các hệ tiên đề tương đương ===
Có nhiều tiên đề khác nhau, nhưng tương đương, của số học Peano. Trong khi một số tiên đề, chẳng hạn như mô tả vừa mô tả, sử dụng signature chỉ có số 0 và các phép toán nhân, phép cộng, phép nhân; các hệ tiên đề khác sử dụng ngôn ngữ về [[Vành được sắp|nửa vành có thứ tự]], và bổ sung thêm ký hiệu quan hệ thứ tự. Một hệ tiên đề như vậy bắt đầu với các tiên đề sau đây mô tả một nửa cung có thứ tự rời rạc.{{sfn|Kaye|1991|pp=16–18}}

# <math>\forall x, y, z \ ((x + y) + z = x + (y + z))</math>, tức là phép cộng có tính [[Tính kết hợp|kết hợp]]. 
# <math>\forall x, y \ (x + y = y + x)</math>, tức là phép cộng có tính [[Tính giao hoán|giao hoán]]. 
# <math>\forall x, y, z \ ((x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z))</math>, tức là phép nhân có tính kết hợp. 
# <math>\forall x, y \ (x \cdot y = y \cdot x)</math>, tức là phép nhân có tính giao hoán. 
# <math>\forall x, y, z \ (x \cdot (y + z) = (x \cdot y) + (x \cdot z))</math>, tức là phép nhân [[Tính phân phối|phân phối]] trên phép cộng. 
# <math>\forall x \ (x + 0 = x \land x \cdot 0 = 0)</math>, tức là số 0 là một [[phần tử đơn vị]] cho phép cộng và là một [[phần tử hấp thụ]] cho phép nhân (thực ra là thừa thãi {{NoteTag|"<math> \forall x \ (x \cdot 0 = 0) </math>" có thể được chứng minh từ các tiên đề khác (trong logic bậc nhất) như sau. Thứ nhất, <math> x \cdot 0 + x \cdot 0 = x \cdot (0+0) = x \cdot 0 = x \cdot 0 + 0 </math> bởi luật phân phối và phần tử đơn vị trên phép cộng. Thứ hai, <math> x \cdot 0 = 0 \lor x \cdot 0 > 0 </math> theo tiên đề 15. Nếu <math> x \cdot 0 > 0 </math> thì <math> x \cdot 0 + x \cdot 0 > x \cdot 0 + 0 </math> bởi phép cộng với cùng một phần tử và tính giao hoán, và vì thế <math> x \cdot 0 + 0 > x \cdot 0 + 0 </math> bằng phép thay thế, mâu thuẫn với tính không phản xạ. Vậy <math> x \cdot 0 = 0 </math>.}}). 
# <math>\forall x \ (x \cdot 1 = x)</math>, tức là, một là một [[phần tử đơn vị]] cho phép nhân. 
# <math>\forall x, y, z \ (x < y \land y < z \Rightarrow x < z)</math>, tức là toán tử ' &#x3C; ' mang tính [[Quan hệ bắc cầu|bắc cầu]]. 
# <math>\forall x \ (\neg (x < x))</math>, tức là toán tử ' &#x3C; ' là [[Quan hệ phản xạ|không phản xạ]]. 
# <math>\forall x, y \ (x < y \lor x = y \lor y < x)</math>, tức là, quan hệ thứ tự thỏa mãn [[Luật tam phân (toán học)|luật tam phân]]. 
# <math>\forall x, y, z \ (x < y \Rightarrow x + z < y + z)</math>, tức là quan hệ thứ tự được bảo toàn khi cộng thêm cùng phần tử vào hai vế. 
# <math>\forall x, y, z \ (0 < z \land x < y \Rightarrow x \cdot z < y \cdot z)</math>, tức là quan hệ thứ tự được bảo toàn dưới phép nhân hai vế bởi cùng một phần tử dương. 
# <math>\forall x, y \ (x < y \Rightarrow \exists z \ (x + z = y))</math>, cho hai phần tử khác nhau, phần tử lớn hơn là tổng của phần tử nhỏ hơn với một phần tử khác. 
# <math>0 < 1 \land \forall x \ (x > 0 \Rightarrow x \ge 1)</math>, tức là không và một khác nhau và không có phần tử nào nằm giữa chúng. 
# <math>\forall x \ (x \ge 0)</math>, tức là 0 là phần tử nhỏ nhất.

Lý thuyết được định nghĩa bởi các tiên đề này được gọi là '''PA<sup>−</sup>'''; lý thuyết '''PA''' thu được bằng cách thêm sơ đồ quy nạp bậc nhất. Một tính chất quan trọng của PA'''<sup>−</sup>''' là bất kỳ cấu trúc nào <math>M</math> thỏa mãn lý thuyết này có một đoạn mở đầu (được sắp bởi <math>\le</math>) đẳng cấu với <math>\mathbf{N}</math>. Các phần tử trong đoạn đó được gọi là phần tử '''chuẩn mực''', trong khi các phần tử khác được gọi là các phần tử '''không chuẩn mực'''.

== Mô hình ==
Một mô hình của các tiên đề Peano là một bộ ba {{Nowrap|('''N''', 0, ''S'')}}, trong đó '''N''' là một tập hợp (nhất thiết là vô hạn), {{Nowrap|0 ∈ '''N'''}} và {{Nowrap|''S'': '''N''' → '''N'''}} thỏa mãn các tiên đề ở trên. [[Richard Dedekind|Dedekind]] đã chứng minh trong cuốn sách năm 1888 của mình, ''Bản chất và ý nghĩa của những con số'' ({{Lang-de|Was sind und was sollen die Zahlen?}}, tức là, "Số là gì và chúng có công dụng gì?") rằng hai mô hình bất kì của tiên đề Peano (bao gồm cả tiên đề quy nạp bậc hai) là [[Phép đẳng cấu|đẳng cấu]]. Đặc biệt, với hai mô hình {{Nowrap|('''N'''<sub>''A''</sub>, 0<sub>''A''</sub>, ''S''<sub>''A''</sub>)}} và {{Nowrap|('''N'''<sub>''B''</sub>, 0<sub>''B''</sub>, ''S''<sub>''B''</sub>)}} của các tiên đề Peano, có một phép [[đồng hình]] duy nhất {{Nowrap|''f'': '''N'''<sub>''A''</sub> → '''N'''<sub>''B''</sub>}} thỏa mãn

: <math>\begin{align}

f(0_A) &= 0_B \\
f(S_A (n)) &= S_B (f (n))
\end{align}</math>

và nó là một [[song ánh]]. Điều này có nghĩa là các tiên đề Peano bậc hai là [[Định lý phân loại của Morley|có tính phạm trù]]. Tuy nhiên, điều này không áp dụng với bất kỳ cách xây dựng lại bậc nhất nào của các tiên đề Peano.

=== Các mô hình lý thuyết tập hợp ===
Các tiên đề Peano có thể được rút ra từ [[Lý thuyết tập hợp|các]] cấu trúc được xây dựng bởi [[lý thuyết tập hợp]] của các [[số tự nhiên]] và các tiên đề của lý thuyết tập hợp như [[Lý thuyết tập hợp Zermelo đỉnh Fraenkel|ZF]].<ref>{{harvnb|Suppes|1960}}, {{harvnb|Hatcher|1982}}</ref> Cấu trúc chuẩn mực của số tự nhiên, theo [[John von Neumann]], bắt đầu từ định nghĩa 0 là tập rỗng, ∅, và một toán tử ''s'' trên các tập hợp với định nghĩa:

: <math>s(a) = a \cup \{a\}</math>

Tập hợp các số tự nhiên '''N''' được định nghĩa là giao của tất cả các tập [[Đóng (toán học)|đóng]] dưới ''s'' mà có chứa tập rỗng. Mỗi số tự nhiên bằng (dưới dạng tập hợp) với tập hợp số tự nhiên nhỏ hơn số đó:

: <math>\begin{align}

0 &= \emptyset \\
1 &= s(0) = s(\emptyset) = \emptyset \cup \{ \emptyset \} = \{ \emptyset \} = \{ 0 \} \\
2 &= s(1) = s(\{ 0 \}) = \{ 0 \} \cup \{ \{ 0 \} \} = \{ 0, \{ 0 \} \} = \{ 0, 1 \} \\
3 &= s(2) = s(\{ 0, 1 \}) = \{ 0, 1 \} \cup \{ \{ 0, 1 \} \} = \{ 0, 1, \{ 0, 1 \} \} = \{ 0, 1, 2 \}
\end{align}</math>

và cứ thế. Tập '''N''' cùng với 0 và [[Hàm successor|hàm kế tiếp]] {{Nowrap|''s'': '''N''' → '''N'''}} thỏa mãn các tiên đề Peano.

Số học Peano có tính [[nhất quán tương đương]] với một số hệ thống yếu của lý thuyết tập hợp.{{Sfn|Tarski|Givant|1987|loc=Section 7.6}} Một ví dụ là hệ thống ZFC với [[tiên đề vô cùng]] được thay thế bằng phủ định của nó. Một ví dụ khác bao gồm [[lý thuyết tập hợp tổng quát]] ([[Lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel#1. Tiên đề quảng tính|tiên đề quảng tính]] sự tồn tại của [[tập hợp rỗng]] và [[Lý thuyết tập hợp tổng quát|tiên đề về tập phụ thêm]]) được bổ sung thêm một sơ đồ tiên đề nói rằng một thuộc tính đúng với tập rỗng và đúng với tập phụ thêm bất cứ khi nào nó đúng với phần phụ thêm thì đúng với tất cả các tập hợp.

=== Diễn giải trong lý thuyết phạm trù ===
Các tiên đề Peano cũng có thể được hiểu bằng [[lý thuyết phạm trù]]. Đặt ''C'' là một [[Phạm trù (toán học)|phạm trù]] với đối tượng đầu cuối 1<sub>''C''</sub> và định nghĩa phạm trù của các [[Cấu trúc đại số|hệ thống đơn phân nhọn]], US<sub>1</sub>(''C'') như sau:

* Các đối tượng của US<sub>1</sub>(''C'') là bộ ba {{Nowrap|(''X'', 0<sub>''X''</sub>, ''S''<sub>''X''</sub>)}} trong đó ''X'' là đối tượng của ''C'' và {{Nowrap|0<sub>''X''</sub>: 1<sub>''C''</sub> → ''X''}} và {{Nowrap|''S''<sub>''X''</sub>: ''X'' → ''X''}} là một ''C-cấu xạ.'' 
* Một cấu xạ ''φ'': ''(X,'' 0<sub>''X,''</sub> ''S''<sub>''X''</sub>'')''→ ''(Y,'' 0<sub>''Y,''</sub> ''S''<sub>''Y''</sub>'')''là một ''C-cấu xạ'' {{Nowrap|''φ'': ''X'' → ''Y''}} với {{Nowrap|1=''φ'' 0<sub>''X''</sub> = 0<sub>''Y''</sub>}} và {{Nowrap|1=''φ'' ''S''<sub>''X''</sub> = ''S''<sub>''Y''</sub> ''φ''}}

Sau đó, ''C'' được cho là thỏa mãn các tiên đề Peano của Dedekind, nếu US<sub>1</sub>(''C'') có một đối tượng mở đầu; đối tượng mở đầu này được gọi là [[đối tượng số tự nhiên]] trong ''C.'' Nếu {{Nowrap|('''N''', 0, ''S'')}} là đối tượng mở đầu này và {{Nowrap|(''X'', 0<sub>''X''</sub>, ''S''<sub>''X''</sub>)}} là bất kỳ đối tượng nào khác, thì ánh xạ duy nhất {{Nowrap|''u'': ('''N''', 0, ''S'') → (''X'', 0<sub>''X''</sub>, ''S''<sub>''X''</sub>)}} là

: <math>\begin{align}

u 0 &= 0_X, \\
u (S x) &= S_X (u x).
\end{align}</math>

Đây chính xác là định nghĩa đệ quy của 0<sub>''X''</sub> và ''S''<sub>''X.''</sub>

== Mô hình không chuẩn mực ==
Mặc dù các [[số tự nhiên]] thông thường thỏa mãn các tiên đề của PA, nhưng cũng có các mô hình khác (được gọi là " [[mô hình không chuẩn mực]] "); [[định lý compact]] cho thấy rằng sự tồn tại của các phần tử không chuẩn mực là không thể loại trừ được trong logic thứ nhất.{{Sfn|Hermes|1973|loc=VI.4.3|ps=, presenting a theorem of [[Thoralf Skolem]]}} [[Định lý Löwenheim–Skolem]] đi lên cho thấy rằng có những mô hình PA không chuẩn mực cho tất cả các số đếm vô hạn. Điều này không áp dụng với hệ tiên đề Peano nguyên gốc (bậc hai), mô hình của nó là duy nhất sai khác đẳng cấu.{{Sfn|Hermes|1973|loc=VI.3.1}} Điều này minh họa một mặt mà hệ thống PA bậc một yếu hơn hệ tiên đề Peano bậc hai.

Khi được diễn giải như một định lý trong [[lý thuyết tập hợp]] bậc nhất, chẳng hạn như [[Lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel|ZFC]], định lí phạm trù của Dedekind cho PA cho thấy mỗi mô hình của lý thuyết tập hợp có một mô hình duy nhất của các tiên đề Peano, cho đến đẳng cấu, là một phân đoạn ban đầu của tất cả các mô hình PA khác có trong mô hình lý thuyết tập hợp đó. Trong mô hình chuẩn của lý thuyết tập hợp, mô hình PA nhỏ nhất này là mô hình chuẩn của PA; tuy nhiên, trong một mô hình không chuẩn mực của lý thuyết tập hợp, nó có thể là một mô hình không chuẩn mực của PA. Tình trạng này không thể tránh được với bất kỳ cách hình thức hóa bậc nhất nào của lý thuyết tập hợp.

Hiển nhiên là có câu hỏi liệu một mô hình không chuẩn mực đếm được có thể được xây dựng rõ ràng hay không. Vào năm 1933, [[Skolem]] khẳng định là có thể khi đưa ra một cấu trúc rõ ràng của một mô hình phi tiêu chuẩn như trên. Mặt khác, [[Định lý Tennenbaum|định lý của Tennenbaum]], đã được chứng minh vào năm 1959, cho thấy rằng không có mô hình PA không chuẩn mực đếm được nào trong đó phép cộng hoặc nhân là [[Hàm tính toán được|có thể tính toán được]].{{sfn|Kaye|1991|loc=Section 11.3}} Kết quả này cho thấy rất khó để làm rõ ràng hoàn toàn trong việc mô tả các phép cộng và nhân của một mô hình PA không chuẩn mực có thể đếm được. Chỉ có một [[Hình thái thứ tự|kiểu số đếm]] khả dĩ cho một mô hình không chuẩn mực có thể đếm được. Cho ''ω'' là kiểu thứ tự của các số tự nhiên, ''ζ'' là kiểu thứ tự của các số nguyên, và ''η'' là kiểu thứ tự của số hữu tỉ, kiểu thứ tự của bất cứ mô hình không chuẩn mực đếm được của PA là {{Nowrap|''ω'' + ''ζ''·''η''}} có thể hình dung như một bản sao của các số tự nhiên theo sau là một thứ tự tuyến tính dày đặc của các bản sao của các số nguyên.

=== Overspill ===
Một '''lát cắt''' trong mô hình không chuẩn mực ''M'' là tập con khác rỗng ''C'' của ''M'' sao cho ''C'' đóng theo chiều xuống (''x'' < ''y'' và ''y'' &#x2208; ''C'' ⇒ ''x'' &#x2208; ''C'') và ''C'' đóng dưới hàm kế tiếp. Một '''lát cắt thực sự''' là một lát cắt là tập con thực sự của ''M.'' Mỗi mô hình không chuẩn mực có nhiều lát cắt thực sự, bao gồm một mô hình tương ứng với các số tự nhiên chuẩn mực. Tuy nhiên, sơ đồ quy nạp trong số học Peano ngăn không cho bất kì lát cắt thực sự nào có thể được định nghĩa. Bổ đề overspill, lần đầu tiên được chứng minh bởi Abraham Robinson, hình thức hóa điều này.

: '''Bổ đề Overspill'''{{Sfn|Kaye|1991|pp=70ff.}} Gọi ''M'' là mô hình không chuẩn của PA và cho ''C'' là một phép cắt ''M'' thích hợp. Giả sử rằng <math>\bar a</math> là một bộ các phần tử của ''M'' và <math>\phi(x, \bar a)</math> là một công thức trong ngôn ngữ số học sao cho 
:: <math>M \vDash \phi(b, \bar a)</math> với mọi ''b'' &#x2208; ''C.'' 
: Khi đó có một ''c'' trong ''M'' lớn hơn mọi phần tử của ''C'' sao cho 
:: <math>M \vDash \phi(c, \bar a).</math>

== Tính nhất quán ==
Khi các tiên đề Peano lần đầu tiên được đề xuất, [[Bertrand Russell]] và những người khác đã đồng ý rằng các tiên đề này ngầm định nghĩa những gì chúng ta muốn nói là "số tự nhiên".<ref>{{harvnb|Fritz|1952|loc=[https://books.google.ca/books?id=Yl_XAwAAQBAJ&pg=PA137, p. 137]}}An illustration of 'interpretation' is Russell's own definition of 'cardinal number'. The uninterpreted system in this case is Peano's axioms for the number system, whose three primitive ideas and five axioms, Peano believed, were sufficient to enable one to derive all the properties of the system of natural numbers. Actually, Russell maintains, Peano's axioms define any progression of the form <math>x_0,x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots</math> of which the series of the natural numbers is one instance.</ref> [[Henri Poincaré]] thận trọng hơn, nói rằng chúng chỉ định nghĩa số tự nhiên nếu chúng ''nhất quán''; nếu có một bằng chứng bắt đầu chỉ từ những tiên đề này và tạo ra mâu thuẫn như 0 = 1, thì các tiên đề không nhất quán và không định nghĩa bất cứ điều gì.<ref>{{harvnb|Gray|2013|loc=[https://archive.org/details/henripoincaresci0000gray/page/133 p. 133]}}So Poincaré turned to see whether logicism could generate arithmetic, more precisely, the arithmetic of ordinals. Couturat, said Poincaré, had accepted the Peano axioms as a definition of a number. But this will not do. The axioms cannot be shown to be free of contradiction by finding examples of them, and any attempt to show that they were contradiction-free by examining the totality of their implications would require the very principle of mathematical induction Couturat believed they implied. For (in a further passage dropped from S&M) either one assumed the principle in order to prove it, which would only prove that if it is true it is not self-contradictory, which says nothing; or one used the principle in another form than the one stated, in which case one must show that the number of steps in one's reasoning was an integer according to the new definition, but this could not be done (1905c, 834).</ref> Năm 1900, [[David Hilbert]] đặt ra vấn đề chứng minh tính nhất quán của chúng chỉ sử dụng phương pháp [[Chủ nghĩa hữu hạn|hữu hạn]] như vấn đề [[Vấn đề thứ hai của Hilbert|thứ hai]] trong số [[Các bài toán của Hilbert|hai mươi ba vấn đề]] của ông ấy.{{Sfn|Hilbert|1902}} Năm 1931, [[Kurt Gödel]] đã chứng minh [[Các định lý bất toàn của Gödel|định lý bất hoàn chỉnh thứ hai]] của mình, điều này cho thấy một định lý nhất quán như vậy không thể được hình thức hóa bởi chính số học Peano.{{Sfn|Gödel|1931}}

Mặc dù người ta cho rằng định lý của Gödel loại trừ khả năng chứng minh tính nhất quán hữu hạn cho số học Peano, nhưng điều này phụ thuộc vào ý nghĩa chính xác của một định lý hữu hạn. Chính Gödel đã chỉ ra khả năng đưa ra một định lý nhất quán hữu hạn về số học Peano hoặc các hệ thống mạnh hơn bằng cách sử dụng các phương pháp hữu hạn không hình thức hóa được trong số học Peano, vào năm 1958, Gödel đã xuất bản một phương pháp chứng minh tính nhất quán của số học sử dụng [[lý thuyết hình thái|lý thuyết kiểu]].<ref>{{harvnb|Gödel|1958}}</ref> Năm 1936, [[Gerhard Gentzen]] đã đưa ra một định lý về tính nhất quán của các tiên đề của Peano, sử dụng [[Cảm ứng xuyên|quy nạp siêu hạn]] cho tới một [[số thứ tự]] gọi là [[Epsilon (toán học)|ε<sub>0</sub>]].<ref>{{harvnb|Gentzen|1936}}</ref> Gentzen giải thích: "Mục đích của bài viết hiện tại là chứng minh tính nhất quán của lý thuyết số cơ bản hay nói đúng hơn là rút gọn câu hỏi về tính nhất quán về các nguyên lí cơ bản nhất định". Định lí của Gentzen được cho là có tính hữu hạn, vì số thứ tự siêu hạn ε<sub>0</sub> có thể được mã hóa bằng các đối tượng hữu hạn (ví dụ, như một [[máy Turing]] mô tả một trật tự phù hợp trên các số nguyên, hoặc trừu tượng hơn là bao gồm các [[Cây (lý thuyết tập hợp)|cây]] hữu hạn, được sắp xếp tuyến tính phù hợp). Việc định lí của Gentzen có đáp ứng các yêu cầu mà Hilbert đã hình dung hay không vẫn chưa rõ ràng: không có định nghĩa được chấp nhận chung về nghĩa chính xác của định lý hữu hạn là gì, và bản thân Hilbert không bao giờ đưa ra một định nghĩa chính xác.

Đại đa số các nhà toán học đương đại tin rằng các tiên đề của Peano là nhất quán, dựa vào trực giác hoặc chấp nhận một định lý nhất quán như [[Định lý nhất quán của Gentzen|định lý của Gentzen]]. Một số ít các nhà triết học và toán học, trong số họ cũng ủng hộ [[chủ nghĩa hữu hạn cực đoan]], từ chối các tiên đề của Peano vì việc chấp nhận các tiên đề cũng có nghĩa là chấp nhận tập hợp vô hạn của các số tự nhiên. Ví dụ như, phép cộng (bao gồm cả hàm liền sau) và phép nhân được coi là [[Hàm bộ phận|toàn ánh]]. Kì lạ là, tồn tại [[Lý thuyết tự kiểm chứng|các lý thuyết tự kiểm chứng]] tương tự như PA nhưng có phép trừ và phép chia thay vì phép cộng và phép nhân, mà được tiên đề hóa theo cách để tránh chứng minh các mệnh đề tương ứng với tính toàn xạ của cộng và nhân, nhưng vẫn có thể chứng minh tất cả định lý đúng lớp <math>\Pi_1</math> của PA, và vẫn có thể được mở rộng thành một lý thuyết nhất quán chứng minh tính nhất quán của chính nó (rằng không tồn tại một định lí "0 = 1" theo kiểu Hilbert).{{Sfn|Willard|2001}}

== Xem thêm ==
{{Portal|Triết học|Toán học}}

*[[Nền tảng của toán học]]
*[[Định lý Frege]]
*[[Định lý Goodstein]]
*[[Chủ nghĩa logic cách tân]]
*[[Mô hình số học không chuẩn mực]]
*[[Định lý Paris–Harrington]]
*[[Số học Presburger]]
*[[Số học Robinson]]
*[[Số học bậc hai]]
*[[Lý thuyết số đánh máy]]

== Chú thích ==
{{NoteFoot}}
<references group="chú thích" ></references>

== Tham khảo ==

=== Trích dẫn ===
<references responsive="1"></references>

=== Nguồn ===
{{refbegin}}
* {{chú thích sách|title=Computability. Notes by Barry Jacobs.|last=Davis|first=Martin|publisher=[[Courant Institute of Mathematical Sciences]], [[New York University]]|year=1974|author-link=Martin Davis (mathematician)}}
* {{chú thích sách|url=http://digisrv-1.biblio.etc.tu-bs.de:8080/docportal/servlets/MCRFileNodeServlet/DocPortal_derivate_00005731/V.C.125.pdf|title=Was sind und was sollen die Zahlen?|last=Dedekind|first=Richard|publisher=Vieweg|year=1888|trans-title=What are and what should the numbers be?|author-link=Richard Dedekind|access-date=ngày 4 tháng 7 năm 2016|archive-date=ngày 20 tháng 10 năm 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20161020135148/http://digisrv-1.biblio.etc.tu-bs.de:8080/docportal/servlets/MCRFileNodeServlet/DocPortal_derivate_00005731/V.C.125.pdf}} 
** Two English translations:
*** {{chú thích sách|url=http://www.gutenberg.org/files/21016/21016-pdf.pdf|title=Essays on the Theory of Numbers|last=Beman|first=Wooster, Woodruff|publisher=[[Dover]]|year=1901}}
*** {{chú thích sách|url=https://books.google.ca/books?id=Nt_uAAAAMAAJ|title=From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics|last=Ewald|first=William B.|publisher=[[Oxford University Press]]|isbn=9780198532712|pages=787–832}}
* {{chú thích sách|url=https://archive.org/details/bertrandrussells0000frit|title=Bertrand Russell's construction of the external world|last1=Fritz|first=Charles A., Jr.|year=1952|url-access=registration}}
* {{chú thích tạp chí|last=Gentzen|first=Gerhard|author-link=Gerhard Gentzen|year=1936|others=Reprinted in English translation in his 1969 ''Collected works'', M. E. Szabo, ed.|title=Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie|url=https://archive.org/details/sim_mathematische-annalen_1936_112/page/132|journal=[[Mathematische Annalen]]|volume=112|pages=132–213|doi=10.1007/bf01565428}}
* {{chú thích tạp chí|last=Gödel|first=Kurt|author-link=Kurt Gödel|year=1931|others=See [[On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems]] for details on English translations.|title=Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I|url=http://www.w-k-essler.de/pdfs/goedel.pdf|journal=Monatshefte für Mathematik|volume=38|pages=173–198|doi=10.1007/bf01700692}}
* {{chú thích tạp chí|last=Gödel|first=Kurt|author-link=Kurt Gödel|year=1958|others=Reprinted in English translation in 1990. Gödel's ''Collected Works'', Vol II. [[Solomon Feferman]] et al., eds.|title=Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes|journal=[[Dialectica]]|publisher=[[Oxford University Press]]|volume=12|pages=280–287|doi=10.1111/j.1746-8361.1958.tb01464.x}}
* {{chú thích tạp chí|last=Grassmann|first=Hermann|author-link=Hermann Grassmann|year=1861|title=Lehrbuch der Arithmetik|trans-title=A tutorial in arithmetic|url=http://www.uni-potsdam.de/u/philosophie/grassmann/Werke/Hermann/Lehrbuch_der_Arithmetik_1861.pdf|publisher=Enslin}}
* {{chú thích sách|title=Henri Poincaré: A scientific biography|last=Gray|first=Jeremy|publisher=[[Princeton University Press]]|year=2013|isbn=0-691-15271-3|page=133|chapter=The Essayist|author-link=Jeremy Gray|chapter-url=https://books.google.com/books?id=w2Tya9gOKqEC&pg=PA133}}
* {{chú thích tạp chí|last=Harsanyi|first=John C.|authorlink=John C. Harsanyi|year=1983|title=Mathematics, the empirical facts and logical necessity|journal=Erkenntniss|volume=19|pages=167 ff.|doi=10.1007/978-94-015-7676-5_8}}
* {{chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=wf3iBQAAQBAJ&pg=PP1|title=The Logical Foundations of Mathematics|last=Hatcher|first=William S.|date=2014|publisher=Elsevier|isbn=978-1-4831-8963-5|origyear=1982}} Derives the Peano axioms (called '''S''') from several [[axiomatic set theories]] and from [[Thể loại theory]].
* {{chú thích sách|title=Introduction to Mathematical Logic|url=https://archive.org/details/introductiontoma0000herm|last=Hermes|first=Hans|publisher=Springer|year=1973|isbn=3540058192|series=Hochschultext (Springer-Verlag)|issn=1431-4657}} 
* {{chú thích tạp chí|last=Hilbert|first=David|year=1902|title=Mathematische Probleme|trans-title=Mathematical Problems|url=http://www.ams.org/journals/bull/1902-08-10/S0002-9904-1902-00923-3/home.html|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=8|pages=437–479|doi=10.1090/s0002-9904-1902-00923-3|doi-access=free|translator-first=Maby|translator-last=Winton}}
* {{chú thích sách|title=Models of Peano arithmetic|last=Kaye|first=Richard|publisher=[[Oxford University Press]]|year=1991|isbn=0-19-853213-X}}
* {{chú thích sách|title=Grundlagen Der Analysis|last=Landau|first=Edmund|publisher=[[American Mathematical Society|AMS Chelsea Publishing]]|others=Derives the basic number systems from the Peano axioms. English/German vocabulary included.|year=1965|isbn=978-0-8284-0141-8|author-link=Edmund Landau}}
* {{chú thích sách|title=Introduction to Mathematical Logic|last=Mendelson|first=Elliott|publisher=Taylor & Francis|year=2009|isbn=9781584888765|edition=5 }}
* {{chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=d5xrCQAAQBAJ|title=Mathematical Methods in Linguistics|last1=Partee|first1=Barbara|last2=Ter Meulen|first2=Alice|last3=Wall|first3=Robert|publisher=Springer|year=2012|isbn=978-94-009-2213-6}}
* {{chú thích tạp chí|last=Peirce|first=C.&nbsp;S.|authorlink=Charles Sanders Peirce|year=1881|title=On the Logic of Number|url=https://archive.org/details/jstor-2369151|journal=American Journal of Mathematics|volume=4|pages=85–95|doi=10.2307/2369151|jstor=2369151|mr=1507856}} 
* {{chú thích sách|url=https://archive.org/details/studiesinlogicof00nath|title=Studies in the Logic of Charles Sanders Peirce|last=Shields|first=Paul|publisher=Indiana University Press|year=1997|isbn=0-253-33020-3|editor1-last=Houser|editor1-first=Nathan|pages=43–52|chapter=3. Peirce's Axiomatization of Arithmetic|editor2-last=Roberts|editor2-first=Don D.|editor3-last=Van Evra|editor3-first=James|chapter-url=https://books.google.com/books?id=pWjOg-zbtMAC&pg=PA43|url-access=registration}}
* {{chú thích sách|url=https://archive.org/details/axiomaticsettheo00supp_0|title=Axiomatic Set Theory|last=Suppes|first=Patrick|publisher=[[Dover]]|others=|year=1960|ISBN=0-486-61630-4|author-link=Patrick Suppes|url-access=registration}} Derives the Peano axioms from [[ZFC]]
* {{chú thích sách|url=https://archive.org/details/formalizationofs0000tars|title=A Formalization of Set Theory without Variables|last1=Tarski|first1=Alfred|last2=Givant|first2=Steven|publisher=[[American Mathematical Society]]|year=1987|isbn=978-0-8218-1041-5|series=AMS Colloquium Publications|volume=41|author-link1=Alfred Tarski|url-access=registration}}
* {{chú thích sách|title=From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931|url=https://archive.org/details/fromfregetogodel0000vanh|author-last=van Heijenoort|author-first=Jean|publisher=Harvard University Press|year=1967|isbn=9780674324497|author-link=Jean van Heijenoort}} 
** Contains translations of the following two papers, with valuable commentary:
*** {{chú thích sách|title=Letter to Keferstein.|last=Dedekind|first=Richard|others=On p.&nbsp;100, he restates and defends his axioms of 1888.|year=1890|pages=98–103|author-link=Richard Dedekind}}
*** {{chú thích sách|url=https://archive.org/details/arithmeticespri00peangoog|title=Arithmetices principia, nova methodo exposita|last=Peano|first=Giuseppe|others=An excerpt of the treatise where Peano first presented his axioms, and recursively defined arithmetical operations.|year=1889|pages=83–97|trans-title=The principles of arithmetic, presented by a new method|author-link=Giuseppe Peano}}
*{{chú thích tạp chí|last=Willard|first=Dan E.|authorlink=Dan Willard|year=2001|title=Self-verifying axiom systems, the incompleteness theorem and related reflection principles|url=https://www.cs.albany.edu/~dew/m/jsl1.pdf|journal=The Journal of Symbolic Logic|volume=66|issue=2|pages=536–596|doi=10.2307/2695030|mr=1833464|access-date=2020-04-25|archive-date=2020-11-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20201109033211/http://www.cs.albany.edu/~dew/m/jsl1.pdf}}
{{refend}}

== Đọc thêm ==

* {{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=xUapAAAAQBAJ|title=The Godelian Puzzle Book: Puzzles, Paradoxes and Proofs|last=Raymond M. Smullyan|date=ngày 19 tháng 9 năm 2013|publisher=Courier Corporation|isbn=978-0-486-49705-1|author-link=Raymond M. Smullyan}}

== Liên kết ngoài ==

* {{Chú thích web|url=http://www.utm.edu/research/iep/p/poincare.htm|tựa đề=Henri Poincaré|tác giả=Murzi|tên=Mauro|website=[[Internet Encyclopedia of Philosophy]]|ngày truy cập=2020-04-25|archive-date=2004-02-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20040202060803/http://www.utm.edu/research/iep/p/poincare.htm|url-status=dead}} Gồm có một cuộc tranh luận về nhận xét của Poincaré về các tiên đề Peano.
* {{Chú thích sách|url=https://dspace.lu.lv/dspace/handle/7/5306|title=What is Mathematics: Gödel's Theorem and Around|last=Podnieks|first=Karlis|date = ngày 25 tháng 1 năm 2015 |pages=93–121|chapter=3. First Order Arithmetic}}
* {{SpringerEOM|title=Peano axioms}}
* {{PlanetMath reference|title=Peano arithmetic}}
* {{MathWorld|title=Peano's Axioms}}
* {{Chú thích web|url=http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/scav/dedek/dedek.html|tựa đề=What are numbers, and what is their meaning?: Dedekind|tác giả=Burris|tên=Stanley N.|năm=2001|ngày truy cập=2020-04-25|archive-date=2022-10-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20221026225838/https://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/scav/dedek/dedek.html|url-status=dead}} Bình luận về công trình của Dedekind.

[[Thể loại:Logic toán]]
[[Thể loại:Logic trong khoa học máy tính]]
[[Thể loại:Hệ tiên đề]]
[[Thể loại:Giới thiệu năm 1889]]