Xem mã nguồn của Hiệu đối xứng

{{short description|Các phần tử chỉ thuộc duy nhất một trong hai tập hợp}}
{{Infobox mathematical statement
| name = Hiệu đối xứng
| image = Venn0110.svg
| caption = [[Biểu đồ Venn]] của <math>A \triangle B</math>.  Hiệu đối xứng là [[Phép hợp|hợp]] [[Phần bù (lý thuyết tập hợp)#Phần bù tương đối|trừ đi]] [[Phép giao|phần giao]]:
{{nowrap|[[File:Venn0111.svg|30px]] <math>~\setminus~</math> [[File:Venn0001.svg|30px]] <math>~=~</math> [[File:Venn0110.svg|30px]]}}
| type = [[Tập hợp (toán học)#Phép toán cơ bản|Phép toán tập hợp]]
| field = [[Lý thuyết tập hợp]]
| statement = Hiệu đối xứng là tập các phần tử thuộc một trong hai tập hợp nhưng không cả hai.
| symbolic statement = <math>A\,\triangle\,B = \left(A \setminus B\right) \cup \left(B \setminus A\right)</math>
}}

Trong [[toán học]], '''hiệu đối xứng''' của hai [[tập hợp (toán học)|tập hợp]], hay còn gọi là '''phép hợp tuyển''', là tập các phần tử thuộc một trong hai tập hợp nhưng không cả hai. Ví dụ, hiệu đối xứng của hai tập <math>\{1,2,3\}</math> và <math>\{3,4\}</math> là <math>\{1,2,4\}</math>.

Hiệu đối xứng của ''A'' và ''B'' thường được ký hiệu bằng <math>A \ominus B,</math> hoặc <math>A\operatorname \triangle B.</math><ref name=":0">{{Cite web|last=Taylor|first=Courtney|date=March 31, 2019|title=What Is Symmetric Difference in Math?|url=https://www.thoughtco.com/what-is-the-symmetric-difference-3126594|access-date=2020-09-05|website=ThoughtCo|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Symmetric Difference|url=https://mathworld.wolfram.com/SymmetricDifference.html|access-date=2020-09-05|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>https://en.wiktionary.org/wiki/symmetric_difference {{User-generated source|date=June 2022}}</ref>

[[Tập lũy thừa]] của bất kỳ tập hợp trở thành [[nhóm abel]] khi đi kèm hiệu đối xứng, trong đó [[tập rỗng]] làm [[phần tử trung hoà]] của nhóm và mọi phần tử trong nhóm này là [[phần tử nghịch đảo|nghịch đảo]]. Tập lũy thừa của bất kỳ tập hợp trở thành [[vành Boole]], trong đó hiệu đối xứng là phép cộng của vành còn [[phép giao]] là phép nhân.

== Tính chất ==
[[File:Venn 0110 1001.svg|thumb|
Biểu đồ Venn của <math>~(A \triangle B) \triangle C</math>

{{nowrap|[[File:Venn 0110 0110.svg|40px]] <math>~\triangle~</math> [[File:Venn 0000 1111.svg|40px]]}} <math>~=~</math> [[File:Venn 0110 1001.svg|40px]]
]]

Hiệu đối xứng tương đương với [[Phép hợp|hợp]] của cả hai [[Phần bù (lý thuyết tập hợp)|phần bù tương đối]], nghĩa là:<ref name=":0" />

:<math>A\,\triangle\,B = \left(A \setminus B\right) \cup \left(B \setminus A\right),</math>

Hiệu đối xứng cũng có thể biểu diễn bằng [[phép tuyển loại trừ|phép XOR]] ⊕ trên [[Vị từ (logic toán học)|các vị từ]] mô tả hai tập hợp trong [[ký pháp xây dựng tập hợp]]:

:<math>A\mathbin{\triangle}B = \{x : (x \in A) \oplus (x \in B)\}.</math>

Nội dung này cũng có thể phát biểu bằng [[hàm chỉ thị]] (được ký hiệu ở đây bằng <math>\chi</math>) của hiệu đối xứng, trong đó ta dùng phép XOR (hoặc phép cộng [[số học mô đun|mod 2]]) trong hàm chỉ thị hai tham số: <math>\chi_{(A\,\triangle\,B)} = \chi_A \oplus \chi_B</math> hoặc trong ký hiệu [[ngoặc vuông Iverson]]: <math>[x \in A\,\triangle\,B] = [x \in A] \oplus [x \in B]</math>

Hiệu đối xứng cũng có thể phát biểu là hợp của hai tập hợp, trừ đi phần giao của chúng:

:<math>A\,\triangle\,B = (A \cup B) \setminus (A \cap B),</math><ref name=":0" />

Cụ thể hơn, <math>A \mathbin{\triangle} B\subseteq A\cup B</math>; dấu bằng trong [[Tập con|phép bao hàm]] không nghiêm ngặt này chỉ xảy ra [[khi và chỉ khi]] <math>A</math> và <math>B</math> [[tập không giao nhau|không giao nhau]]. Hơn nữa, ký hiệu <math>D = A \mathbin{\triangle} B</math> và <math>I = A \cap B</math>, khi đó <math>D</math> và <math>I</math> luôn không giao nhau, nên <math>D</math> và <math>I</math> luôn [[phân hoạch tập hợp|phân hoạch]] <math>A \cup B</math>. Hệ quả thu được, khi coi phép hiệu đối xứng và phép giao là hai phép nguyên thuỷ, thì hợp của hai tập hợp có thể ''định nghĩa'' bằng hai phép toán đó như sau:

:<math>A\,\cup\,B = (A\,\triangle\,B)\,\triangle\,(A \cap B)</math>.

Hiệu đối xứng có tính [[Tính kết hợp|kết hợp]] và [[Tính giao hoán|giao hoán]]:

:<math>\begin{align}
                  A\,\triangle\,B &= B\,\triangle\,A, \\
  (A\,\triangle\,B)\,\triangle\,C &= A\,\triangle\,(B\,\triangle\,C).
\end{align}</math>

Tập rỗng là [[phần tử trung hoà]] và mỗi tập hợp là nghịch đảo của chính nó:
:<math>\begin{align}
  A\,\triangle\,\varnothing &= A, \\
            A\,\triangle\,A &= \varnothing.
\end{align}</math>

Do đó, tập lũy thừa của bất kỳ tập ''X'' trở thành nhóm giao hoán dưới phép hiệu đối xứng. (Tổng quát hơn, bất kỳ [[trường tập hợp]] lập thành một nhóm với hiệu đối xứng là phép toán đi kèm.) Nhóm mà mọi phần tử là nghịch đảo của chính nó (hay nói tương đương, mỗi phần tử đều có [[Cấp (lý thuyết nhóm)|cấp]] 2 đôi khi được gọi là [[nhóm Boole]];<ref name="GivantHalmos2009">{{cite book |last1=Givant |first1=Steven |last2=Halmos |first2=Paul |author-link2=Paul Halmos |year=2009 |title=Introduction to Boolean Algebras |url=https://archive.org/details/introductiontobo0000giva |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-0-387-40293-2 |page=[https://archive.org/details/introductiontobo0000giva/page/n23 6]}}</ref><ref name="Humberstone2011">{{cite book |last=Humberstone |first=Lloyd |year=2011 |title=The Connectives |url=https://archive.org/details/connectives00humb |url-access=limited |publisher=MIT Press |isbn=978-0-262-01654-4 |page=[https://archive.org/details/connectives00humb/page/n800 782]}}</ref> Hiệu đối xứng cho phép định nghĩa một ví dụ mẫu về các nhóm có tính chất như thế và đôi khi nhóm Boole được định nghĩa sử dụng hiệu đối xứng.<ref name="Rotman2010">{{cite book |last=Rotman |first=Joseph J. |year=2010 |title=Advanced Modern Algebra |url=https://archive.org/details/advancedmodernal0114rotm |publisher=American Mathematical Soc. |isbn=978-0-8218-4741-1 |page=19}}</ref> Trong trường hợp tập ''X'' chỉ có hai phần tử, nhóm thu được là [[nhóm bốn Klein]].

Nói tương đương, nhóm Boole là [[Nhóm giao hoán sơ cấp|nhóm giao hoán sơ cấp 2 phần tử]]. Hệ quả là, nhóm cảm sinh từ hiệu đối xứng là [[Không gian vectơ định chuẩn|không gian vectơ]] trên [[Trường hữu hạn|trường hai phần tử]] '''Z'''<sub>2</sub>. Nếu ''X'' hữu hạn, thì các [[Đơn điểm (toán học)|tập đơn điểm]] trở thành [[Cơ sở (đại số tuyến tính)|cơ sở]] của không gian vectơ này, và số [[Chiều Hamel|chiều]] của nó bằng với số phần tử của ''X''. Phương pháp xây dựng này được dùng trong [[lý thuyết đồ thị]],và được dùng để định nghĩa [[không gian chu trình]] của một đồ thị..

Từ tính chất nghịch đảo của nhóm Boole, suy ra rằng hiệu đối xứng của hai hiệu đối xứng có lặp lại một tập hợp tương đương với hiệu đối xứng có lặp của [[Đa tập#Phép toán|nối]] của hai [[đa tập]], trong đó tập bị lặp có thể bị bỏ đi. Tức là:

:<math>(A\,\triangle\,B)\,\triangle\,(B\,\triangle\,C) = A\,\triangle\,C.</math>

Từ đây suy ra bất đẳng thức tam giác:<ref>{{cite book |last1=Rudin |first1=Walter |date=January 1, 1976 |title=Principles of Mathematical Analysis |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi |url-access=registration |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill Education |isbn=978-0070542358 |page=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/306 306]}}</ref> Hiệu đối xứng của ''A'' và ''C'' nằm trong hợp của hiệu đối xứng của ''A'' và ''B'' và hiệu đối xứng của ''B'' và ''C''.

Phép giao [[Tính phân phối|phân phối]] trên hiệu đối xứng:
:<math>A \cap (B\,\triangle\,C) = (A \cap B)\,\triangle\,(A \cap C),</math>

và điều cho thấy bất kỳ tập luỹ thừa của bất kỳ tập ''X'' đều có trở thành một [[vành]], với hiệu đối xứng làm phép cộng và phần giao làm phép nhân. Đây là ví dụ mẫu cho [[vành Boole]].

Các tính chất khác của hiệu đối xứng bao gồm:

* <math>A \mathbin{\triangle} B = \emptyset</math> khi và chỉ khi <math>A = B</math>.
* <math>A \mathbin{\triangle} B = A^c \mathbin{\triangle} B^c</math>, trong đó <math>A^c</math>, <math>B^c</math> là phần bù của <math>A</math> và phần bù của <math>B</math>, tương ứng với một tập cố định nào đó chứa chúng.
* <math>\left(\bigcup_{\alpha\in\mathcal{I}}A_\alpha\right)\triangle\left(\bigcup_{\alpha\in\mathcal{I}}B_\alpha\right)\subseteq\bigcup_{\alpha\in\mathcal{I}}\left(A_\alpha \mathbin{\triangle} B_\alpha\right)</math>, trong đó <math>\mathcal{I}</math> là tập chỉ số bất kỳ khác rỗng.
* Cho bất kỳ hàm số <math>f : S \rightarrow T</math> và <math>A, B \subseteq T</math> là bất kỳ tập hợp trong ảnh của <math>f</math>, khi đó <math>f^{-1}\left(A \mathbin{\triangle} B\right) = f^{-1}\left(A\right) \mathbin{\triangle} f^{-1}\left(B\right).</math>

Hiệu đối xứng có thể định nghĩa trong bất kỳ [[đại số Boole]], bằng cách viết
:<math> x\,\triangle\,y = (x \lor y) \land \lnot(x \land y) = (x \land \lnot y) \lor (y \land \lnot x) = x \oplus y.</math>

Phép toán này có cùng các tính chất với phép toán trên tập hợp
<!--
==Hiệu đối xứng ''n''-ngôi==
The repeated symmetric difference is in a sense equivalent to an operation on a [[multiset]] of sets giving the set of elements which are in an odd number of sets.{{clarify|date=April 2015}}

As above, the symmetric difference of a collection of sets contains just elements which are in an odd number of the sets in the collection:
<math display="block">\triangle M = \left\{ a \in \bigcup M: \left|\{A \in M:a \in A\}\right| \text{ is odd}\right\}.</math>

Evidently, this is well-defined only when each element of the union <math display="inline">\bigcup M</math> is contributed by a finite number of elements of <math>M</math>.

Suppose <math>M = \left\{M_1, M_2, \ldots, M_n\right\}</math> is a [[multiset]] and <math>n \ge 2</math>. Then there is a formula for <math>|\triangle M|</math>, the number of elements in <math>\triangle M</math>, given solely in terms of intersections of elements of <math>M</math>:
<math display="block">|\triangle M| = \sum_{l=1}^n (-2)^{l-1} \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \ldots < i_l \leq n} \left|M_{i_1} \cap M_{i_2} \cap \ldots \cap M_{i_l}\right|.</math>
-->
==Hiệu đối xứng trên không gian độ đo==
Miễn là còn khái niệm tập hợp "lớn cỡ nào",thì hiệu đối xứng giữa hai tập hợp có thể coi là độ đo "khoảng cách" giữa chúng

Đầu tiên xét tập hữu hạn ''S'' và [[độ đo đếm]] trên các tập con của nó. Sau đó, xét hai tập con của ''S'' và đặt khoảng cách giữa chúng là kích thước của hiệu đối xứng. Khoảng cách này quả thật là một [[mêtric (toán học)|mêtric]], và do đó khiến [[tập luỹ thừa]] trên ''S'' là [[không gian mêtric]]. Nếu ''S'' có ''n'' phần tử thì khoảng cách từ [[tập rỗng]] đến ''S'' là ''n'', và đây là khoảng cách lớn nhất cho bất kỳ cặp tập con.<ref>Claude Flament (1963) ''Applications of Graph Theory to Group Structure'', page 16, [[Prentice-Hall]] {{mr|id=0157785}}</ref>

Sử dụng các ý tưởng trong [[lý thuyết độ đo]], sự phân rã của các tập đo được có thể định nghĩa bằng độ đo của hiệu đối xứng của chúng. Nếu μ là một [[không gian độ đo|độ đo]] [[sigma-hữu hạn|σ-hữu hạn]] được định nghĩa trên [[sigma-đại số|σ-đại số]] Σ, thì hàm số
:<math>d_\mu(X, Y) = \mu(X\,\triangle\,Y)</math>

là [[không gian giả mêtric|giả mêtric]] trên Σ.  ''d<sub>μ</sub>'' trở thành [[không gian mêtric|mêtric]] nếu Σ được xét mô đun [[quan hệ tương đương]] ''X'' ~ ''Y'' khi và chỉ khi <math>\mu(X\,\triangle\,Y) = 0</math>. Đôi khi nó được gọi là mêtric [[Fréchet]]-[[Nikodym]]. Không gian mêtric thu được [[không gian khả ly|khả ly]] khi và chỉ khi [[L^2|L<sup>2</sup>(μ)]] cũng khả ly.

Nếu <math>\mu(X), \mu(Y) < \infty</math>, ta có: <math>|\mu(X) - \mu(Y)| \leq \mu(X\,\triangle\,Y)</math>. Thật vậy,
:<math>\begin{align}
  |\mu(X) - \mu(Y)|
    &=    \left|\left(\mu\left(X \setminus Y\right) + \mu\left(X \cap Y\right)\right) - \left(\mu\left(X \cap Y\right) + \mu\left(Y \setminus X\right)\right)\right| \\
    &=    \left|\mu\left(X \setminus Y\right) - \mu\left(Y \setminus X\right)\right| \\
    &\leq \left|\mu\left(X \setminus Y\right)\right| + \left|\mu\left(Y \setminus X\right)\right| \\
    &=    \mu\left(X \setminus Y\right) + \mu\left(Y \setminus X\right) \\
    &=    \mu\left(\left(X \setminus Y\right) \cup \left(Y \setminus X\right)\right) \\
    &=    \mu\left(X\, \triangle \, Y\right)
\end{align}</math>

Nếu <math>S = \left(\Omega, \mathcal{A},\mu\right)</math> là không gian độ đo và <math>F, G \in \mathcal{A}</math> là các tập đo được, thì hiệu đối xứng của nó cũng đo được: <math>F \triangle G \in \mathcal{A}</math>.  Ta có thể định nghĩa quan hệ tương đương trên các tập đo được bằng cách gọi <math>F</math> và <math>G</math>  
có quan hệ với nhau nếu <math>\mu\left(F \triangle G\right) = 0</math>.  Quan hệ này được ký hiệu <math>F = G\left[\mathcal{A}, \mu\right]</math>.

Cho <math>\mathcal{D}, \mathcal{E} \subseteq \mathcal{A}</math>, viết <math>\mathcal{D}\subseteq\mathcal{E}\left[\mathcal{A}, \mu\right]</math> nếu với mỗi <math>D\in\mathcal{D}</math> tồn tại một số <math>E \in \mathcal{E}</math> sao cho <math>D = E\left[\mathcal{A}, \mu\right]</math>. Quan hệ "<math>\subseteq\left[\mathcal{A}, \mu\right]</math>" là [[thứ tự riêng phần]] trên họ các tập con của <math>\mathcal{A}</math>.

Ta viết <math>\mathcal{D} = \mathcal{E}\left[\mathcal{A}, \mu\right]</math> nếu <math>\mathcal{D}\subseteq\mathcal{E}\left[\mathcal{A}, \mu\right]</math> và <math>\mathcal{E} \subseteq \mathcal{D}\left[\mathcal{A}, \mu\right]</math>.  Quan hệ "<math>= \left[\mathcal{A}, \mu\right]</math>" là quan hệ tương đương giữa các tập con của <math>\mathcal{A}</math>.

''Bao đóng đối xứng'' của <math>\mathcal{D}</math> là họ tất cả các tập <math>\mathcal{A}</math>-đo được mà <math>= \left[\mathcal{A}, \mu\right]</math> với một số <math>D \in \mathcal{D}</math>. Bao đóng phản xạ của <math>\mathcal{D}</math> chứa <math>\mathcal{D}</math>. Nếu <math>\mathcal{D}</math> là <math>\sigma</math>-đại số con của <math>\mathcal{A}</math>, thì bao đóng đối xứng của <math>\mathcal{D}</math> cũng vậy.

<math>F = G\left[\mathcal{A}, \mu\right]</math> khi và chỉ khi <math>\left|\mathbf{1}_F - \mathbf{1}_G\right| = 0</math> <math>\left[\mathcal{A}, \mu\right]</math> [[gần như mọi nơi]].

== Khoảng cách Hausdorff ==
[[File:HausdorffVsSymmetric.png|thumb|right]]
[[Khoảng cách Hausdorff]] và (tích của) hiệu đối xứng đều là giả mêtric trên tập các hình học đo được. Song, chúng hoạt động hoàn toàn khác nhau. Hình trong vế phải cho thấy hai dãy hình học, "Đỏ" và "Đỏ ∪ Xanh". Khi khoảng cách Hausdorff giữa chúng càng nhỏ hơn thì diện tích phần hiệu đối xứng càng lớn hơn, và ngược lại. Bằng việc tiếp tục dãy này theo cả hai hướng, ta có thể tìm ra hai dãy trong đó khoảng cách Hausdorff giữa chúng hội tụ về 0 và hiệu đối xứng giữa chúng phân kỳ, và ngược lại.

== Xem thêm ==
{{div col|colwidth=22em}}
* [[Đại số tập hợp]]
* [[Hàm Boole]]
* [[Phần bù (lý thuyết tập hợp)]]
* [[Hiệu (lý thuyết tập hợp)]]
* [[Tuyển loại trừ]]
* [[Tập mù]]
* [[Phép giao|Giao (lý thuyết tập hợp)]]
* [[Chỉ số Jaccard]]
* [[Danh sách các định thức và quan hệ tập hợp]]
* [[Đồ thị logic]]
* [[Sigma-algebra#Separable .CF.83-algebras|Đại số sigma khả ly]]
* [[Lý thuyết tập hợp]]
* [[Đối xứng]]
* [[Phép hợp|Hợp (lý thuyết tập hợp)]]
* [[Nguyên lý bao hàm-loại trừ]]
{{div col end}}

==Tham khảo==
{{Reflist}}

== Thư mục ==
*{{cite book |last=Halmos |first=Paul R. |author-link=Paul Halmos |year=1960 |title=[[Naive Set Theory (book)|Naive set theory]] |series=The University Series in Undergraduate Mathematics |publisher=van Nostrand Company |zbl=0087.04403}}
*[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Symmetric_difference_of_sets ''Symmetric difference of sets'']. In [[Encyclopaedia of Mathematics]]

{{Lý thuyết tập hợp}}

[[Category:Khái niệm cơ bản trong lý thuyết tập hợp]]
[[Category:Phép toán tập hợp]]
[[Category:Phép trừ]]