Xem mã nguồn của ISO 31-11

'''ISO 31-11''' là một phần của các [[ISO|tiêu chuẩn quốc tế]] [[ISO 31]] định nghĩa các ký hiệu toán học sử dụng trong vật lý và kỹ thuật.

==Nội dung ISO 31-11==
===Logíc  toán===

{| class="wikitable"
|-
! Ký hiệu
! Ví dụ
! Tên
! Ý nghĩa và các từ tương đương
! Ghi chú
|- valign=top
|∧||''p'' ∧ ''q''||ký hiệu phép hội||''p'' và ''q''||
|- valign=top
|∨||''p'' ∨ ''q''||ký hiệu phép tuyển||''p'' hoặc ''q'' (hoặc cả hai)||
|- valign=top
|¬||¬ ''p''||ký hiệu phủ định||phủ định của ''p''; không ''p''||
|- valign=top
|<math>\Rightarrow</math>||''p'' <math>\Rightarrow</math> ''q''||ký hiệu kéo theo||nếu ''p'' thì ''q''; ''p'' kéo theo ''q''||Có thể viết: ''q'' <math>\Leftarrow</math> ''p''. Đôi khi dùng <math>\Leftarrow</math>.
|- valign=top
|<math>\forall</math>||<math>\forall</math>''x''∈''A'' ''p''(''x'')<br>(<math>\forall</math>''x''∈''A'') ''p''(''x'')||lượng tử phổ dụng||với mọi ''x'' thuộc ''A'', khẳng định ''p''(''x'') đúng||điều kiện "∈''A''" đôi khi có thể bỏ qua. 
|-| valign=top
|<math>\exist</math>||<math>\exist</math>''x''∈''A'' ''p''(''x'')<br>(<math>\exist</math>''x''∈''A'') ''p''(''x'')||lượng tử riêng||có ít nhất một ''x'' thuộc ''A'' để khẳng định''p''(''x'') là đúng||phần "∈''A''" đôi khi có thể bỏ qua.<br><math>\exist</math>! được dùng khi có đúng một ''x'' để ''p''(''x'') là đúng.
|}

===Tập hợp===

{| class="wikitable"
|-
! Ký hiệu
! Ví dụ
! Ý nghĩa và các phát biểu tương đương
! Ghi chú
|- valign=top
|∈||''x'' ∈ ''A''||''x'' thuộc ''A''; ''x'' là phần tử của tập ''A''||
|- valign=top
|<math>\notin</math>||''x'' <math>\notin</math> ''A''||''x'' không thuộc ''A''; ''x'' không là phần tử của tập ''A''||
|- valign=top
|<math>\ni</math>||''A'' <math>\ni</math> ''x''||tập ''A'' chứa ''x'' (như một phần tử)||ý nghĩa giống như ''x'' ∈ ''A''
|- valign=top
|<math>\notin</math>||''A'' <math>\notin</math> ''x''||tập ''A'' không chứa ''x'' (như một phần tử||có ý nghĩa như ''x'' <math>\notin</math> ''A''
|- valign=top
|{ }||{x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,..., x<sub>''n''</sub>}||tập hợp gồm các phần tử x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,..., x<sub>''n''</sub>||có ý nghĩa như {x<sub>''i''</sub>: ''i'' ∈ ''I''}, trong đó ''I'' ký hiệu tập các chỉ số
|- valign=top
|{ ∣ }||{''x'' ∈ ''A'' ∣ ''p''(''x'')}||tập các phần tử thuộc ''A'' sao cho khẳng định ''p''(''x'') là đúng||Ví dụ: {''x'' ∈ <math>\mathbb R</math> ∣ ''x'' > 5}<br>ký hiệu ∈''A'' có thể bỏ qua khi ý nghĩa đã rõ ràng.
|- valign=top
|card||card(''A'')||số các phần tử của tập ''A''; lực lượng của tập ''A''||
|- valign=top
|∅|| ||tập hợp rỗng||
|- valign=top
|<math>\mathbb N</math>|| ||tập các số tự nhiên; tập các số nguyên dương và số không||<math>\mathbb N</math> = {0, 1, 2, 3,...}<br>Tập số tự nhiên không tính số không được ký hiệu thêm dấu "*":<br><math>\mathbb N</math><sup>*</sup> = {1, 2, 3,...}<br><math>\mathbb N</math><sub>''k''</sub> = {0, 1, 2, 3,..., ''k'' − 1}
|- valign=top
|<math>\mathbb Z</math>|| ||tập các [[số nguyên]]||<math>\mathbb Z</math> = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,...}<br>
<math>\mathbb Z</math><sup>*</sup> = <math>\mathbb Z</math> \ {0} = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3,...}
|- valign=top
|<math>\mathbb Q</math>|| ||tập các [[số hữu tỉ]] ||<math>\mathbb Q</math><sup>*</sup> = <math>\mathbb Q</math> \ {0}
|-
|I
|
|tập các số vô tỉ
|- valign=top
|<math>\mathbb R</math>|| ||tập các số thực|<math>\mathbb R</math><sup>*</sup> = <math>\mathbb R</math> \ {0}
|- valign=top
|<math>\mathbb C</math>|| ||tập các [[số phức]]||<math>\mathbb C</math><sup>*</sup> = <math>\mathbb C</math> \ {0}
|- valign=top
|[,]||[''a'',''b'']||[[khoảng (toán học)|khoảng]] đóng trong <math>\mathbb R</math> từ ''a'' đến ''b'' ||[''a'',''b''] = {''x'' ∈ <math>\mathbb R</math> ∣ ''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b''}
|- valign=top
|],]<br>(,]||]''a'',''b'']<br>(''a'',''b'']||khoảng nửa mở trái trong <math>\mathbb R</math> từ ''a'' tới ''b'' ||]''a'',''b''] = {''x'' ∈ <math>\mathbb R</math> ∣ ''a'' < ''x'' ≤ ''b''}
|- valign=top
|[,[<br>[,)||[''a'',''b''[<br>[''a'',''b'')||khoảng nửa mở phải trong <math>\mathbb R</math> tính từ ''a'' tới ''b'' (không chứa ''b'')||[''a'',''b''[ = {''x'' ∈ <math>\mathbb R</math> ∣ ''a'' ≤ ''x'' < ''b''}
|- valign=top
|],[<br>(,)||]''a'',''b''[<br>(''a'',''b'')||khoảng mở trong <math>\mathbb R</math> từ ''a'' đến ''b'' ||]''a'',''b''[ = {''x'' ∈<math>\mathbb R</math> ∣ ''a'' < ''x'' < ''b''}
|- valign=top
|<math>\subset</math> ||''B''<math>\subset</math> ''A''||''B'' bao hàm trong ''A''; ''B'' là tập con của ''A''||Mọi phần tử của ''B'' đều thuộc ''A''. Ký hiệu ⊂ cũng được sử dụng.
|- valign=top
|∪||''A'' ∪ ''B''||hợp của ''A'' và ''B''||Tập hợp các phần tử thuộc ''A'' hoặc thuộc ''B'' hoặc thuộc cả ''A'' và ''B''.<br>''A'' ∪ ''B'' = { ''x'' ∣ ''x'' ∈ ''A'' ∨ ''x'' ∈ ''B'' }
|- valign=top
|<math>\bigcup_{i=1}^n</math>||<math>\bigcup_{i=1}^n A_i</math>||hợp của họ các tập||<math>\bigcup_{i=1}^n A_i=A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n</math>, tập các phần tử thuộc ít nhất một trong các tập ''A''<sub>1</sub>, …, ''A''<sub>n</sub>. <math>\bigcup{}_{i=1}^n</math> và <math>\bigcup_{i\in I}</math>, cũng có thể dùng <math>\bigcup</math><sub>''i''∈''I''</sub>. 
|- valign=top
|∩||''A'' ∩ ''B''||giao của ''A'' và ''B''||Tập các phần tử thuộc cả ''A'' và ''B''.<br>''A'' ∩ ''B'' = { ''x'' ∣ ''x'' ∈ ''A'' ∧ ''x'' ∈ ''B'' }
|- valign=top
|<math>\bigcap_{i=1}^n</math>||<math>\bigcap_{i=1}^n A_i</math>||giao của họ các tập||<math>\bigcap_{i=1}^n A_i=A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n</math>, tập các phần tử thuộc tất cả các tập ''A''<sub>1</sub>, …, ''A''<sub>n</sub>. <math>\bigcap{}_{i=1}^n</math> và <math>\bigcap_{i\in I}</math> 
|- valign=top
|\||''A'' \ ''B''||hiệu giữa ''A'' và ''B''; ''A'' trừ ''B''||Tập các phần tử thuộc ''A'' nhưng không thuộc ''B''.<br>''A'' \ ''B'' = { ''x'' ∣ ''x'' ∈ ''A'' ∧ ''x'' <math>\notin</math> ''B'' }<br>Cũng có thể dùng ''A'' − ''B''.
|- valign=top
|C||C<sub>''A''</sub>''B''||phần bù của tập con ''B'' của ''A''||Tập tất cả các phần tử thuộc ''A'' nhưng không thuộc ''B''. Ký hiệu ''A'' thường được bỏ qua nếu tập ''A'' được hiểu tường minh. Tương tự C<sub>''A''</sub>''B'' = ''A'' \ ''B''.
|- valign=top
|(,)||(''a'', ''b'')||cặp có thứ tự ''a'', ''b''; cặp ''a'', ''b''||(''a'', ''b'') = (''c'', ''d'') nếu và chỉ nếu ''a'' = ''c'' và ''b'' = ''d''.
|- valign=top
|(,…,)||(''a''<sub>1</sub>,&nbsp;''a''<sub>2</sub>,&nbsp;…,&nbsp;''a''<sub>n</sub>)||bộ-''n'' có thứ tự||ký hiệu ⟨''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, …, ''a''<sub>n</sub>⟩ cũng được sử dụng.
|- valign=top
|×||''A'' × ''B''||Tích Descartes của ''A'' và ''B''||Tập các cặp (''a'', ''b'') trong đó ''a'' ∈ ''A'' và ''b'' ∈ ''B''.<br>''A'' × ''B'' = { (''a'', ''b'') ∣ ''a'' ∈ ''A'' ∧ ''b'' ∈ ''B'' }<br>''A'' × ''A'' ×... × ''A'' được ký hiệu là ''A''<sup>''n''</sup>, trong đó ''n'' là số nhân tử của tích.
|- valign=top
|Δ||Δ<sub>''A''</sub>||tập các cặp (''x'', ''x'') ∈ ''A'' × ''A'' trong đó ''x'' ∈ ''A''; đường chéo của tập ''A'' × ''A''||Δ<sub>''A''</sub> = { (''x'', ''x'') ∣ ''x'' ∈ ''A'' }<br>Cũng có thể dùng ký hiệu id<sub>''A''</sub>.
|}

===Các ký hiệu khác===

{| class="wikitable"
|-
! Ký hiệu
! Ví dụ
! Ý nghĩa
! Ghi chú
|- valign=top
|=||''a'' = ''b''||''a'' bằng ''b''||Có thể dùng ≡ để biểu đạt rằng đẳng thức là hằng đúng.
|- valign=top
|≠||''a'' ≠ ''b''||''a'' không bằng ''b''||<math>a \not\equiv b</math> có thể sử dụng để nói rằng ''a'' không luôn luôn bằng ''b''.
|- valign=top
|<math>\leftarrow</math>||''a'' <math>\leftarrow</math> ''b''||''a'' được gán bằng ''b''||Cũng còn dùng:= 
|- valign=top
|≙||''a'' ≙ ''b''||''a'' tương đương với ''b''||On a 1:10<sup>6</sup> map: 1&nbsp;cm ≙ 10&nbsp;km.
|- valign=top
|≈||''a'' ≈ ''b''||''a'' xấp xỉ ''b''||
|- valign=top
|∼<br>∝||''a'' ∼ ''b''<br>''a'' ∝ ''b''||''a'' tương ứng với ''b''||
|- valign=top
|<||''a'' < ''b''||''a'' nhỏ hơn ''b''||
|- valign=top
|>||''a'' > ''b''||''a'' lớn hơn ''b''||
|- valign=top
|≤||''a'' ≤ ''b''||''a'' lớn hơn hoặc bằng ''b''||Có thể dùng ≦.
|- valign=top
|≥||''a'' ≥ ''b''||''a nhỏ hơn'' hoặc bằng ''b''||Có thể dùng ≧.
|- valign=top
|∞|| ||vô cực||
|- valign=top
|∥||AB ∥ CD||đường thẳng AB song song với đường thẳng CD||
|- valign=top
|<math>\perp</math> ||AB <math>\perp</math> CD||đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD<ref>If the perpendicular symbol, &#x27C2h;, does not display correctly, it is similar to  &#x22A5h; (up tack: sometimes meaning orthogonal to) and it also appears similar to &#x23CAh; (the dentistry: symbol light up and horizontal)</ref> || ||
|}

===Các phép toán===

{| class="wikitable"
|-
! Ký hiệu
! Ví dụ
! Ý nghĩa 
! Ghi chú
|- valign=top
| +||''a'' + ''b''||''a'' cộng ''b''||
|- valign=top
|−||''a'' − ''b''||''a'' trừ ''b''||
|- valign=top
|±||''a'' ± ''b''||''a'' cộng hoặc trừ ''b''||
|- valign=top
|∓||''a'' ∓ ''b''||''a'' trừ hoặc cộng ''b''||−(''a'' ± ''b'') = −''a'' ∓ ''b''
|-
|^
|a^b
|lũy thừa
|
|- valign="top"
|√||...||căn bậc||...
|- valign=top
|colspan=4 halign=center|⋮
|}

===Các hàm ===

{| class="wikitable"
|-
! Ví dụ
! Ý nghĩa
! Ghi chú
|- valign=top
|''f''||hàm ''f''||...
|- valign=top
|...||...||...
|- valign=top
|colspan=3 halign=center|⋮
|}

===Hàm mũ và hàm lôgarit===

{| class="wikitable"
|-
! Ví dụ
! Ý nghĩa
! Ghi chú
|- valign=top
|''a''<sup>''x''</sup>||[[hàm mũ]] với [[cơ số (toán học)|cơ số]] ''a'' của ''x''||...
|- valign=top
|e||cơ số của lôgarit tự nhiên||e = 2.718 281 8...
|- valign=top
|...||...||...
|- valign=top
|colspan=3 halign=center|⋮
|}

===Các hàm đường tròn và hyperbol===

{| class="wikitable"
|-
! Ví dụ
! Ý nghĩa
! Ghi chú
|- valign=top
|π||Tỷ lệ giữa [[chu vi]] của một [[đường tròn]] với [[đường kính]] của nó||π = 3.141 592 6...
|- valign=top
|...||...||...
|- valign=top
|colspan=3 halign=center|⋮
|}

===Các số phức===

{| class="wikitable"
|-
! Ví dụ
! Ý nghĩa
! Ghi chú
|- valign=top
|i &nbsp; j||[[đơn vị ảo]]; i² = −1||Trong kỹ thuật, thường dùng j.
|- valign=top
|Re ''z''||[[phần thực]] của ''z''
|rowspan=2|''z'' = ''x'' + i''y'', ở đây ''x'' = Re ''z'' và ''y'' = Im ''z''
|- valign=top
|Im ''z''||[[phần ảo]] của ''z''
|- valign=top
|∣''z''∣||[[giá trị tuyệt đối]] của ''z''; môđun của ''z''||mod ''z'' 
|- valign=top
|arg ''z''||''argument'' của ''z''; ''phase'' của ''z''||''z'' = ''r''e<sup>i''φ''</sup>, trong đó ''r'' = ∣''z''∣ và ''φ'' = arg ''z'', nghĩa là Re ''z'' = ''r'' cos ''φ'' và Im ''z'' = ''r'' sin ''φ''
|- valign=top
|''z''<sup>*</sup>||(số phức) [[số phức liên hợp|liên hợp]] của ''z''||có thể dùng <math>\bar z</math> thay cho ''z''<sup>*</sup>
|- valign=top
|sgn ''z''||[[signum]] ''z''||sgn ''z'' = z / ∣''z''∣ = exp(i arg ''z'') với z ≠ 0, sgn 0 = 0
|}

===Matrận===

{| class="wikitable"
|-
! ví dụ
! Ý nghĩa
! Ghi chú
|- valign=top
|'''''A'''''=<math>\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & 
\ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}</math>
||[[ma trận (toán học)|ma trận]] '''''A'''''||...
|- valign=top
|...||...||...
|- valign=top
|colspan=3 halign=center|⋮
|}

===Các hệ toạ độ===

{| class="wikitable"
|-
! Các toạ độ
! vị trí vecto 
! Tên hệ toạ độ
! Ghi chú
|- valign=top
|''x'', ''y'', ''z''||...||[[Toạ độ Đê-cac]]||...
|- valign=top
|''ϱ'', ''φ'', ''z''||...||[[Toạ độ trụ]]||...
|- valign=top
|''r'', ''ϑ'', ''φ''||...||[[Toạ độ cầu]]||...

|}

===Vec-tơ và ten-xơ===

{| class="wikitable"
|-
! Ví dụ
! Ý nghĩa! Ghi chú
|- valign=top
|'''''a'''''<br><math>\vec a</math>||[[vec-tơ (spatial)|vec-tơ]] '''''a'''''||.
|- valign=top
|...||...||...
|- valign=top
|colspan=3 halign=center|⋮
|}

==Soát xét ISO 31-11==
Năm [[2009]], ISO 31-11 đã được thay thế bởi tiêu chuẩn [[ISO 80000-2]]. Tiêu chuẩn này đã được nhiều nước chấp nhận thành tiêu chuẩn quốc gia, tại [[Việt Nam]] là TCVN 7870-2:2010 (ISO&nbsp;80000-2:2009) ''Đại lượng và đơn vị - Phần 2: Dấu và ký hiệu toán học dùng trong khoa học tự nhiên và công nghệ.

==Xem thêm==
* [[Danh sách ký hiệu toán học|Ký hiệu toán học]]
* [[Ký pháp toán học]]

==Chú thích==
{{Tham khảo}}

{{Các tiêu chuẩn ISO}}

[[Thể loại:Tiêu chuẩn ISO|#00031-11]]
[[Thể loại:Ký hiệu toán học]]