Xem mã nguồn của Không gian hàng và cột

[[Tập tin:Matrix_Rows.svg|phải|nhỏ|Các vectơ hàng của một [[Ma trận (toán học)|ma trận]]. Không gian hàng của ma trận này là [[không gian vectơ]] tạo bởi các tổ hợp tuyến tính của các vectơ hàng.]]
[[Tập tin:Matrix_Columns.svg|liên_kết=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Matrix_Columns.svg|phải|nhỏ|Các vectơ cột của một [[Ma trận (toán học)|ma trận]]. Không gian cột của ma trận này là không gian vectơ tạo bởi các tổ hợp tuyến tính của các vectơ cột.]]
Trong [[đại số tuyến tính]], '''không gian cột''' (còn được gọi là '''miền giá trị''' hay '''[[Ảnh (toán học)|ảnh]]''') của một [[ma trận]] ''A'' là [[Span tuyến tính|span]] (tập hợp tất cả các [[tổ hợp tuyến tính]]) của các [[vectơ cột]] của nó. Không gian cột của một ma trận là [[Ảnh (toán học)|ảnh]] hay   [[miền giá trị]] của [[Ma trận của biến đổi tuyến tính|ma trận biến đổi tuyến tính]] tương ứng.

Cho <math>\mathbb{F}</math> là một [[Trường (đại số)|trường]]. Không gian cột của một ma trận {{math|''m'' × ''n''}} với các phần tử trong <math>\mathbb{F}</math> là [[không gian con]] của [[Không gian vectơ|không gian ''m'' chiều]] <math>\mathbb{F}^m</math>. [[Chiều (không gian vectơ)|Số chiều]] của không gian cột được gọi là [[Hạng (đại số tuyến tính)|hạng]] của ma trận và không vượt quá {{math|min(''m'', ''n'')}}.<ref name="ReferenceA">Linear algebra, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. Almost all of the material in this article can be found in Lay 2005, Meyer 2001, and Strang 2005.</ref> Có thể mở rộng định nghĩa này cho ma trận cho các ma trận trên một [[vành]] <math>\mathbb{K}</math>.

'''Không gian hàng''' được định nghĩa tương tự.

Không gian hàng và không gian cột của một ma trận {{mvar|A}} đôi khi cũng được ký hiệu tương ứng là {{math|'''''C'''''(''A''<sup>T</sup>)}} và {{math|'''''C'''''(''A'')}}.<ref>{{chú thích sách|url=https://www.worldcat.org/oclc/956503593|title=Introduction to linear algebra|last=Strang|first=Gilbert|publisher=Wellesley-Cambridge Press|year=2016|isbn=978-0-9802327-7-6|edition=Fifth|location=Wellesley, MA|pages=128,168|oclc=956503593}}</ref>

Bài này chỉ xét các ma trận trên trường [[số thực]]. Các không gian hàng và cột là không gian con của các [[Không gian tọa độ thực|không gian thực]] tương ứng <math>\R^n</math>và <math>\R^m</math><ref>{{harvtxt|Anton|1987|p=179}}</ref>

== Tổng quan ==
Cho {{mvar|A}} là ma trận {{math|''m'' × ''n''}}. Ta có

# {{Math|1=rank(''A'') = dim(rowsp(''A'')) = dim(colsp(''A''))}},<ref>{{Harvard citation text|Anton|1987|p=183}}</ref>
# {{Math|rank(''A'')}} = số [[Hệ số chính|phần tử chính]] trong các dạng bậc thang của {{Mvar|A}},
# {{Math|rank(''A'')}} = số cột hoặc hàng độc lập tuyến tính tối đa của {{Mvar|A}}.<ref>{{Harvard citation text|Beauregard|Fraleigh|1973|p=254}}</ref>

Nếu ta coi ma trận là một [[biến đổi tuyến tính]] từ <math>\mathbb{R}^n</math> vào <math>\mathbb{R}^m</math>, thì không gian cột của ma trận chính là [[Ảnh (toán học)|ảnh]] của biến đổi tuyến tính đó.

Không gian cột {{math|1=colsp(''A'') = span({{mset|'''a'''<sub>1</sub>, …, '''a'''<sub>''n''</sub>}})}} của một ma trận {{mvar|A}} là tập hợp tất cả tổ hợp tuyến tính của các vectơ cột {{math|1='''a'''<sub>1</sub> ⋯ '''a'''<sub>''n''</sub>}} trong {{mvar|A}}.  Nếu {{math|1=''A'' = ['''a'''<sub>1</sub> ⋯ '''a'''<sub>''n''</sub>]}}, thì {{math|1=colsp(''A'') = span({{mset|'''a'''<sub>1</sub>, …, '''a'''<sub>''n''</sub>}})}}. Tương tự, ta có không gian hàng là {{math|1=rowsp(''A'') = span({{mset|'''r'''<sub>1</sub>, …, '''r'''<sub>''n''</sub>}})}}, với {{math|1='''r'''<sub>1</sub> ⋯ '''r'''<sub>''n''</sub>}} là các vectơ hàng.

Khái niệm không gian hàng có thể được mở rộng cho các ma trận trên trường số phức {{nowrap|<math>\C</math>,}} hay trên một [[Trường (đại số)|trường]] bất kỳ.

Một cách trực quan, cho một ma trận {{mvar|A}}, kết quả của ma trận {{mvar|A}} tác động lên một vectơ {{math|'''x'''}} là một tổ hợp tuyến tính của các cột trong {{mvar|A}} với các hệ số là các thành phần tọa độ trong {{math|'''x'''}}. Một cách hiểu khác là ma trận đó sẽ (1) đầu tiên chiếu vectơ {{math|'''x'''}} lên không gian hàng của {{mvar|A}}, (2) thực hiện một biến đổi khả nghịch và cuối cùng, (3) đặt vectơ kết quả {{math|'''y'''}} vào không gian hàng của của {{mvar|A}}. Vì vậy vectơ kết quả (tích) {{math|1='''y''' = ''A'''''x'''}} phải nằm trong không gian cột của {{mvar|A}}. Xem thêm về điều này trong [[phân tích giá trị suy biến]].{{clarify|date=November 2015|reason=This perspective is not covered on the SVD page.}}

=== Ví dụ ===
Cho một ma trận {{mvar|J}}:

: <math>
  J =
  \begin{bmatrix}
    2 & 4 & 1 & 3 & 2\\
    -1 & -2 & 1 & 0 & 5\\
    1 & 6 & 2 & 2 & 2\\
    3 & 6 & 2 & 5 & 1
  \end{bmatrix}
</math>

các vectơ hàng là <math>\mathbf{r}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}</math>, <math>\mathbf{r}_2 = \begin{bmatrix} -1 & -2 & 1 & 0 & 5 \end{bmatrix}</math>, <math>\mathbf{r}_3 = \begin{bmatrix} 1 & 6 & 2 & 2 & 2 \end{bmatrix}</math>, <math>\mathbf{r}_4 = \begin{bmatrix} 3 & 6 & 2 & 5 & 1 \end{bmatrix}</math>. Vì vậy, không gian hàng của {{mvar|J}} là không gian con của <math>\R^5</math> sinh bởi {{math|{{mset| '''r'''<sub>1</sub>, '''r'''<sub>2</sub>, '''r'''<sub>3</sub>, '''r'''<sub>4</sub> }}}}. Vì bốn không gian hàng này là [[độc lập tuyến tính]], không gian hàng là một không gian 4 chiều. Hơn nữa, trong trường hợp này ta có thể thấy tất cả các vectơ trên đều [[trực giao]] với vectơ {{math|1='''n''' = [6, −1, 4, −4, 0]}}, vì vậy có thể suy ra không gian hàng chứa tất cả các vectơ của <math>\R^5</math> trực giao với {{math|'''n'''}}.

== Không gian cột ==

=== Định nghĩa ===
Cho {{mvar|K}} là một [[Trường (đại số)|trường]] [[Scalar (toán học)|vô hướng]] và {{math|A}} là một ma trận {{math|''m'' × ''n''}}, với các vectơ cột {{math|'''v'''<sub>1</sub>, '''v'''<sub>2</sub>, …, '''v'''<sub>''n''</sub>}}.  Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ trên là bất kỳ vectơ có dạng

: <math>c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n,</math>

trong đó {{math|''c''<sub>1</sub>, ''c''<sub>2</sub>, …, ''c<sub>n</sub>''}} là các vô hướng. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của {{math|'''v'''<sub>1</sub>, …, '''v'''<sub>''n''</sub>}} gọi là '''không gian cột''' của {{mvar|A}}. Tức là không gian cột của {{mvar|A}} là [[Span tuyến tính|span]] của các vectơ {{math|'''v'''<sub>1</sub>, …, '''v'''<sub>''n''</sub>}}.

Một tổ hợp tuyến tính bất kỳ của các vectơ cột của ma trận {{mvar|A}} có thể được viết dưới dạng tích của {{mvar|A}} với một vectơ cột như sau:

: <math>\begin{array} {rcl}
A \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix} 
& = & \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} c_1 a_{11} + \cdots + c_{n} a_{1n} \\ \vdots \\ c_{1} a_{m1} + \cdots + c_{n} a_{mn} \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix} + \cdots + c_n \begin{bmatrix} a_{1n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix} \\
& = & c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n
\end{array}</math>

Do đó, không gian cột của {{mvar|A}} gồm tất cả các tích {{math|''A'''''x'''}} có thể có, với {{math|'''x''' ∈ '''C'''<sup>''n''</sup>}}.  Điều này tương đương với [[Ảnh (toán học)|ảnh]] (hay [[miền giá trị]]) của [[biến đổi tuyến tính]] tương ứng với [[Ma trận của biến đổi tuyến tính|ma trận]].

; Ví dụ
: Nếu <math>A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}</math> thì các vectơ cột là {{Math|1='''v'''<sub>1</sub> = [1, 0, 2]<sup>T</sup>}} và {{Math|1='''v'''<sub>2</sub> = [0, 1, 0]<sup>T</sup>}}.
: Một tổ hợp tuyến tính của '''v'''<sub>1</sub> và '''v'''<sub>2</sub> là bất kỳ vectơ có dạng
:: <math>c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ 2c_1 \end{bmatrix}\,</math>
: Tập hợp tất cả các vectơ có dạng trên là không gian cột của {{Mvar|A}}. Trong trường hợp này, không gian cột chính là tập hợp các vectơ {{Math|(''x'', ''y'', ''z'') ∈ '''R'''<sup>3</sup>}} thỏa mãn phương trình {{Math|1=''z'' = 2''x''}} (sử dụng [[hệ tọa độ Descartes]], có thể thấy tập hợp này là một [[Mặt phẳng (toán học)|mặt phẳng]] đi qua gốc tọa độ trong [[không gian ba chiều]]).

=== Cơ sở ===
Các cột của {{mvar|A}} sinh không gian cột, nhưng chúng có thể không tạo thành [[Cơ sở (đại số tuyến tính)|cơ sở]] nếu các vectơ cột không [[độc lập tuyến tính]]. Tuy vậy, các [[phép biến đổi hàng sơ cấp]] không ảnh hưởng đến quan hệ phụ thuộc giữa các vectơ cột. Vì thế ta có thể [[Phép khử Gauss|đơn giản hóa hàng]] để tìm [[Cơ sở (đại số tuyến tính)|cơ sở]] cho không gian cột.

Ví dụ, xét ma trận sau

: <math>A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 7 & 3 & 9 \\ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 8 \end{bmatrix}.</math>

Các cột của ma trận này span không gian cột, nhưng chúng có thể không [[độc lập tuyến tính]], khi đó một tập hợp con gồm một số trong chúng sẽ lập thành một cơ sở. Để tìm cơ sở, ta đơn giản ma trận {{mvar|A}} về dạng hàng bậc thang rút gọn:

: <math>\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 7 & 3 & 9 \\ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 8 \end{bmatrix}
\sim \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & 4 \end{bmatrix}
\sim  \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}
\sim  \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.</math>

Đến đây, có thể thấy rõ ràng là các cột thứ nhất, cột thứ hai và cột thứ tư là độc lập tuyến tính, trong khi cột thứ ba là một tổ hợp tuyến tính của hai cột đầu. (Cụ thể là {{math|1='''v'''<sub>3</sub> = −2'''v'''<sub>1</sub> + '''v'''<sub>2</sub>}}.) Vì vậy, các cột thứ nhất, thứ hai và thứ tư của ma trận ban đầu là cơ sở của không gian cột:

: <math>\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix},\;\;
\begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 5 \\ 2\end{bmatrix},\;\;
\begin{bmatrix} 4 \\ 9 \\ 1 \\ 8\end{bmatrix}.</math>

Chú ý là các cột độc lập tuyến tính trong dạng hàng bậc thang rút gọn chính là các cột với [[Hệ số chính|phần tử chính]]. Vì thế có thể xác định các cột nào là độc lập tuyến tính chỉ bằng cách đưa ma trận về [[Dạng hàng bậc thang|dạng bậc thang]].

Thuật toán trên có thể được sử dụng để xét sự độc lập hay phụ thuộc tuyến tính của một tập hợp vectơ bất kỳ và để chọn ra một cơ sở từ một hệ span. Ngoài ra, việc tìm cơ sở cho không gian cột của {{mvar|A}} tương đương với tìm cơ sở cho không gian hàng của ma trận chuyển vị của nó {{math|''A''<sup>T</sup>}}.

Trên thực tế (như đối với các ma trận cỡ lớn), để tìm cơ sở, người ta thường sử dụng [[Phân tích giá trị suy biến|phép phân tích giá trị suy biến]].

=== Số chiều ===
[[Chiều (không gian vectơ)|Số chiều]] của không gian cột được gọi là '''[[Hạng (đại số tuyến tính)|hạng]]''' (''rank'') của ma trận. Hạng của ma trận bằng số vị trí chính trong dạng cột bậc thang rút gọn, cũng là số cột độc lập tuyến tính tối đa có thể được chọn ra từ ma trận. Ví dụ, ma trận 4&nbsp;×&nbsp;4 ở ví dụ trên có hạng bằng 3.

Vì không gian cột là [[Ảnh (toán học)|ảnh]] của [[Ma trận của biến đổi tuyến tính|ma trận biến đổi]] tương ứng nên hạng của của ma trận bằng số chiều của ảnh. Ví dụ, biến đổi <math>\R^4 \to \R^4</math> biểu diễn bởi ma trận trên ánh xạ toàn bộ không gian <math>\R^4</math> vào một [[không gian con]] ba chiều.

'''Số vô hiệu''' (''nullity'') của ma trận là số chiều của [[Hạt nhân (đại số tuyến tính)|hạt nhân]], và bằng số cột không có phần tử chính trong dạng hàng bậc thang rút gọn.<ref>Các cột không có hệ số chính biểu diễn cho các biến tự do trong [[hệ phương trình tuyến tính]] thuần nhất tương ứng.</ref> Hạng và số vô hiệu của một ma trận {{mvar|A}} với {{mvar|n}} cột được liên hệ bởi phương trình sau:

: <math>\operatorname{rank}(A) + \operatorname{nullity}(A) = n.\,</math>

Đây là [[định lý về hạng]].

=== Liên hệ với hạt nhân trái ===
[[Hạt nhân (đại số tuyến tính)#Không gian hạt nhân trái|Hạt nhân trái]] của {{mvar|A}} là tập hợp các vectơ {{math|'''x'''}} sao cho {{math|1='''x'''<sup>T</sup>''A'' = '''0'''<sup>T</sup>}}, cũng là hạt nhân của ma trận chuyển vị của {{mvar|A}}. Tích của ma trận {{math|''A''<sup>T</sup>}} và vectơ {{math|'''x'''}} có thể được viết dưới dạng tích vô hướng của các vectơ như sau:

: <math>A^\mathsf{T}\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{x} \\ \mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{x} \\ \vdots \\ \mathbf{v}_n \cdot \mathbf{x} \end{bmatrix},</math>

vì các [[vectơ hàng]] của {{math|''A''<sup>T</sup>}} là chuyển vị của các vectơ cột {{math|'''v'''<sub>''k''</sub>}} của {{mvar|A}}. Vì vậy {{math|1=''A''<sup>T</sup>'''x''' = '''0'''}} khi và chỉ khi {{math|'''x'''}} [[trực giao]] (vuông góc) với mỗi cột trong {{mvar|A}}.

Từ đó ta có hạt nhân trái (hay hạt nhân của {{math|''A''<sup>T</sup>}}) là [[phần bù trực giao]] của không gian cột của {{mvar|A}}.

Các không gian hàng, không gian cột, hạt nhân và hạt nhân trái là các không gian cơ bản của một ma trận.

=== Ma trận trên một vành ===
Tương tự, đối với một ma trận trên một [[vành]] {{mvar|K}}, ta có định nghĩa:

: <math>\sum\limits_{k=1}^n \mathbf{v}_k c_k</math>

cho bất kỳ các {{math|''c''<sub>1</sub>, …, ''c<sub>n</sub>''}}, ở đây không gian vectơ ''m'' chiều được thay bằng "mô đun tự do phải", và đảo thứ tự trong phép [[nhân với vô hướng]] của vectơ {{math|'''v'''<sub>''k''</sub>}} với vô hướng {{math|''c<sub>k</sub>''}} (thứ tự là ''vectơ'' nhân ''vô hướng'' thay vì ngược lại như thường)

== Không gian hàng ==

=== Định nghĩa ===
Cho {{mvar|K}} là một [[Trường (đại số)|trường]] [[vô hướng]]. Cho {{mvar|A}} là ma trận {{math|''m'' × ''n''}}, với các vectơ hàng {{math|'''r'''<sub>1</sub>, '''r'''<sub>2</sub>, …, '''r'''<sub>''m''</sub>}}.  Một [[tổ hợp tuyến tính]] của các vectơ trên là bất kỳ vectơ có dạng

: <math>c_1 \mathbf{r}_1 + c_2 \mathbf{r}_2 + \cdots + c_m \mathbf{r}_m,</math>

trong đó {{math|''c''<sub>1</sub>, ''c''<sub>2</sub>, …, ''c<sub>m</sub>''}} là các vô hướng. Tập hợp các tổ hợp tuyến tính của {{math|'''r'''<sub>1</sub>, …, '''r'''<sub>''m''</sub>}} được gọi là '''không gian hàng''' của {{mvar|A}}. Tức là không gian hàng của {{mvar|A}} là [[Span tuyến tính|span]] của các vectơ {{math|'''r'''<sub>1</sub>, …, '''r'''<sub>''m''</sub>}}.

Ví dụ, xét ma trận

: <math>A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix},</math>

các vectơ hàng là {{math|1='''r'''<sub>1</sub> = [1, 0, 2]}} và {{math|1='''r'''<sub>2</sub> = [0, 1, 0]}}. Một tổ hợp tuyến tính của {{math|'''r'''<sub>1</sub>}} và {{math|'''r'''<sub>2</sub>}} là một vectơ có dạng

: <math>c_1 \begin{bmatrix}1 & 0 & 2\end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix}0 & 1 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_1 & c_2 & 2c_1\end{bmatrix}.</math>

Tập hợp các vectơ như vậy là không gian hàng của {{mvar|A}}. Trong trường hợp này, không gian hàng chính là tập hợp các vectơ {{math|(''x'', ''y'', ''z'') ∈ ''K''<sup>3</sup>}} thỏa mãn phương trình {{math|1=''z'' = 2''x''}} (trong tọa độ Descartes, tập hợp này là một [[Mặt phẳng (toán học)|mặt phẳng]] qua gốc tọa độ trong [[không gian ba chiều]]).

Đối với ma trận biểu diễn cho một [[hệ phương trình tuyến tính]], không gian hàng chứa toàn bộ các phương trình tuyến tính có thể được rút ra từ các phương trình trong hệ.

Không gian cột của {{mvar|A}} là không gian hàng của {{math|''A''<sup>T</sup>}}.

=== Cơ sở ===
Các [[biến đổi hàng sơ cấp]] không ảnh hưởng tới không gian hàng. Vì thế, có thể thực hiện [[Phép khử Gauss|đơn giản hóa hàng]] để tìm [[Cơ sở (đại số tuyến tính)|cơ sở]] của không gian hàng.

Ví dụ, xét ma trận

: <math>A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 7 & 4 \\ 1 & 5 & 2\end{bmatrix}.</math>

Các hàng của ma trận này sinh không gian hàng, nhưng chúng có thể không [[độc lập tuyến tính]], do đó cơ sở có thể không phải là toàn bộ chúng. Để tìm các vectơ hàng nào là cơ sở, ta đơn giản hóa {{mvar|A}} về [[dạng hàng bậc thang]].

{{Math|'''r'''<sub>1</sub>}}, {{Math|'''r'''<sub>2</sub>}}, {{Math|'''r'''<sub>3</sub>}} là các vectơ hàng.

: <math>
\begin{align}
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 7 & 4 \\ 1 & 5 & 2\end{bmatrix}
&\xrightarrow{\mathbf{r}_2-2\mathbf{r}_1 \to \mathbf{r}_2}
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 2\end{bmatrix}
\xrightarrow{\mathbf{r}_3-\,\,\mathbf{r}_1 \to \mathbf{r}_3}
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0\end{bmatrix} \\
&\xrightarrow{\mathbf{r}_3-2\mathbf{r}_2 \to \mathbf{r}_3}
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}
\xrightarrow{\mathbf{r}_1-3\mathbf{r}_2 \to \mathbf{r}_1}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}.
\end{align}
</math>

Một khi ma trận được đưa về dạng bậc thang, các hàng khác zero là cơ sở của không gian hàng. Trong trường hợp này, cơ sở là {{math|{{mset| [1, 3, 2], [2, 7, 4] }}}}. Một cơ sở có thể khác là {{math|{{mset| [1, 0, 2], [0, 1, 0] }}}}, có được sau khi tiếp tục đơn giản.<ref name="example">Ví dụ này là đúng với trường [[số thực]], [[số hữu tỉ]] và các [[trường số]] khác. Nó không nhất thiết đúng với các trường vành với [[đặc số]] khác 0.</ref>

Thuật toán này còn thường được sử dụng để tìm một cơ sở cho span của một tập hợp vectơ. Nếu ma trận tiếp tục được đơn giản hơn nữa về [[dạng hàng bậc thang rút gọn]] thì cơ sở thu được xác định duy nhất bởi không gian hàng.

Thay vào đó, đôi khi cũng thuận tiện nếu ta tìm cơ sở cho không gian hàng từ các hàng của ma trận ban đầu (ví dụ, kết quả này hữu ích trong một chứng minh đơn giản rằng [[Hạng (đại số tuyến tính)|hạng định thức]] bằng hạng của một ma trận). Vì các biến đổi trên hàng có thể ảnh hưởng đến sự phụ thuộc tuyến tính giữa các vectơ hàng, một cơ sở như vậy được tính một cách gián tiếp nhờ kết quả không gian cột của {{math|''A''<sup>T</sup>}} chính là không gian hàng của {{mvar|A}}. Trong ví dụ ma trận {{mvar|A}} ở trên, ta tìm {{math|''A''<sup>T</sup>}} và đơn giản nó về dạng hàng bậc thang:

: <math>
A^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 7 & 5 \\ 2 & 4 & 2\end{bmatrix} \sim 
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}. 
</math>

Các vị trí chính cho thấy rằng hai cột đầu tiên của {{math|''A''<sup>T</sup>}} tạo thành một cơ sở cho không gian cột của {{math|''A''<sup>T</sup>}}. Vì vậy hai cột đầu tiên của {{mvar|A}} (ban đầu khi chưa thực hiện biến đổi) cũng là một cơ sở cho không gian hàng của {{mvar|A}}.

=== Số chiều ===
{{main|Hạng (đại số tuyến tính)}}[[Chiều (không gian vectơ)|Số chiều]] của không gian hàng cũng được gọi là '''[[Hạng (đại số tuyến tính)|hạng]]''' của ma trận. Đây cũng bằng số hàng độc lập tuyến tính tối đa có thể được chọn ra từ ma trận, hay một cách tương đương, là số vị trí chính. Chẳng hạn, ma trận 3&#x202F;×&#x202F;3 ở ví dụ trên có hạng bằng 2.<ref name="example" />

Hạng của ma trận cũng là số chiều của [[Không gian hàng và cột#Không gian cột|không gian cột]]. Số chiều của hạt nhân của ma trận gọi là '''số vô hiệu''', liên hệ với hạng bởi phương trình sau:

: <math>\operatorname{rank}(A) + \operatorname{nullity}(A) = n,</math>

trong đó {{mvar|n}} là số cột của ma trận {{mvar|A}}.  Phương trình trên được gọi là [[định lý về hạng]].

=== Liên hệ với hạt nhân ===
[[Hạt nhân]] của ma trận {{mvar|A}} là tập hợp các vectơ {{math|'''x'''}} sao cho {{math|1=''A'''''x''' = '''0'''}}.  Tích của ma trận {{mvar|A}} với vectơ {{math|'''x'''}} có thể được viết dưới dạng [[tích vô hướng]]:

: <math>A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_1 \cdot \mathbf{x} \\ \mathbf{r}_2 \cdot \mathbf{x} \\ \vdots \\ \mathbf{r}_m \cdot \mathbf{x} \end{bmatrix},</math>

trong đó {{math|'''r'''<sub>1</sub>, …, '''r'''<sub>''m''</sub>}} là các vectơ hàng của {{mvar|A}}. Vì vậy {{math|1=''A'''''x''' = '''0'''}} khi và chỉ khi {{math|'''x'''}} trực giao (vuông góc) với từng vectơ hàng trong {{mvar|A}}.

Từ đây suy ra hạt nhân của {{mvar|A}} là [[phần bù trực giao]] của không gian hàng. Ví dụ, nếu không gian hàng là một mặt phẳng qua gốc tọa độ thì không gian hạt nhân là một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với mặt phẳng trên (trong không gian ba chiều). Điều này gợi ý cho một chứng minh của [[định lý về hạng]] (xem trong phần [[Không gian hàng và cột#Số chiều|Số chiều]] ở trên).

=== Liên hệ với đối ảnh ===
Nếu {{mvar|V}} và {{mvar|W}} là các [[không gian vectơ]] thì [[Hạt nhân (đại số tuyến tính)|hạt nhân]] của một [[biến đổi tuyến tính]] {{math|''T'': ''V'' → ''W''}} là tập hợp các vectơ  {{math|'''v''' ∈ ''V''}} sao cho {{math|1=''T''('''v''') = '''0'''}}. Hạt nhân của biến đổi tuyến tính tương tự như không gian hạt nhân của một ma trận.

Nếu {{mvar|V}} là [[không gian tích trong]] thì phần bù trực giao của hạt nhân của biến đổi trên có thể được coi là tổng quát hóa của không gian hàng, và đôi khi còn được gọi là [[đối ảnh]] (''coimage'') của biến đổi {{mvar|T}}.  Biến đổi {{mvar|T}} là một đơn ánh trên đối ảnh của nó, và đối ảnh ánh xạ [[đẳng cấu]] vào [[Ảnh (toán học)|ảnh]] của {{mvar|T}}.

Khi {{mvar|V}} không là không gian tích trong, đối ảnh của {{mvar|T}} được định nghĩa là [[Không gian thương (đại số tuyến tính)|không gian thương]] {{math|''V'' / ker(''T'')}}.

== Xem thêm ==

* [[Không gian con Euclid]]

== Tham khảo và chú thích ==
{{Tham khảo}}

== Đọc thêm ==

* {{Chú thích|title=Elementary Linear Algebra|isbn=0-471-84819-0}}
* {{Chú thích|title=Linear Algebra Done Right|isbn=0-387-98259-0}}
* {{Chú thích|title=Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics|isbn=978-1-42-009538-8}}
* {{Chú thích|title=A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields|isbn=0-395-14017-X}}
* {{Chú thích|title=Linear Algebra and Its Applications|isbn=978-0-321-28713-7}}
* {{Chú thích|title=Linear Algebra With Applications}}
* {{Chú thích|title=Matrix Analysis and Applied Linear Algebra|isbn=978-0-89871-454-8}}
* {{Chú thích|title=Linear Algebra: A Modern Introduction|isbn=0-534-99845-3}}
* {{Chú thích|title=Linear Algebra and Its Applications|isbn=978-0-03-010567-8}}

== Liên kết ngoài ==

* {{MathWorld|title=Row Space|urlname=RowSpace}}
* {{MathWorld|title=Column Space|urlname=ColumnSpace}}
* {{Chữ hoa nhỏ|[[Gilbert Strang]]}}, [http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/VideoLectures/detail/lecture10.htm MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100419123024/http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/VideoLectures/detail/lecture10.htm |date=2010-04-19 }} at Google Video, from [[MIT OpenCourseWare]]
* [http://www.khanacademy.org/video/column-space-of-a-matrix?playlist=Linear+Algebra Khan Academy video tutorial]
* [http://mfile.akamai.com/7870/rm/mitstorage.download.akamai.com/7870/18/18.06/videolectures/strang-1806-lec06-20sep1999-80k.rm Lecture on column space and nullspace by Gilbert Strang of MIT]
* [http://wps.prenhall.com/am_leon_linearalg_7/53/13727/3514210.cw/content/index.html Row Space and Column Space] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211004133252/https://wps.prenhall.com/am_leon_linearalg_7/53/13727/3514210.cw/content/index.html |date=2021-10-04 }}
{{Đại số tuyến tính}}

[[Thể loại:Ma trận]]
[[Thể loại:Đại số tuyến tính]]
[[Thể loại:Đại số trừu tượng]]