Xem mã nguồn của Không gian phủ

{{bài cùng tên|Phủ (định hướng)}}
Trong [[tô pô]], đặc biệt là [[tô pô đại số]], không gian phủ là một quan hệ giữa hai không gian tô pô đồng phôi địa phương. Trong số các không gian phủ, không gian phủ phổ dụng là một không gian phủ đặc biệt quan trọng: nó là vật phổ dụng trong phạm trù các không gian phủ liên thông của một không gian tô pô cho trước.[[Tập tin:Covering_space_diagram.svg|phải|nhỏ|278x278px| Một ánh xạ phủ''.'']]

== Định nghĩa ==
Đặt <math>X</math> là một [[Không gian tô pô|không gian tô-pô]]. Một '''không gian phủ''' của <math>X</math> là một không gian tô-pô <math>C</math> cùng với một [[toàn ánh]] [[Hàm liên tục|liên tục]]

: <math>p \colon C \to X\,</math>

sao cho với mọi <math>x \in X</math>, có một [[Lân cận (toán học)|lân cận mở]] <math>U</math> của <math>x</math> mà <math>p^{-1}(U)</math> ([[Ảnh (toán học)|nghịch ảnh]] của <math>U</math> bởi <math>p</math>) là một hợp rời các [[tập mở]] trong <math>C</math>, mà mỗi trong số đó [[Phép đồng phôi|đồng phôi]] với <math>U</math> qua <math>p</math>.<ref name="Chernavskii">{{Harvard citation no brackets|Chernavskii|2001}}</ref><ref name="Munkres p336">{{Harvard citation no brackets|Munkres|2000}}</ref>

Tương đương, một không gian phủ của <math>X</math> có thể được định nghĩa là một [[phân thớ]] <math>p \colon C \to X</math> với các thớ rời rạc.

Ánh xạ <math>p</math> được gọi là '''ánh xạ phủ''',<ref name="Munkres p336"/> không gian <math>X</math> thường được gọi là '''không gian cơ sở''' của phủ và không gian <math>C</math> được gọi là '''không gian toàn thể''' của phủ.

== Ví dụ ==

* <math>\mathbb{R}</math> là không gian phủ phổ dụng của <math>S^1.</math> 
* Mặt cầu <math>S^n</math> phủ không gian xạ ảnh <math>P_n(\mathbb{R})</math>. Với <math>n> 1</math>, đây là một phủ phổ dụng.

== Phủ phổ dụng ==
 Một không gian phủ là một '''không gian phủ phổ dụng''' nếu nó [[Không gian đơn liên|liên thông đơn]] (i.e. nếu nó liên thông và [[nhóm cơ bản]] của nó là nhóm tầm thường). Tên ''[[Thuộc tính phổ quát|phổ dụng]]'' xuất phát từ thuộc tính quan trọng sau: nếu ánh xạ {{Nowrap|''q'': ''D'' → ''X''}} là phủ phổ dụng của không gian ''X'' và ánh xạ {{Nowrap|''p'': ''C'' → ''X''}} là bất kỳ phủ nào của không gian ''X'' với ''C'' liên thông, thì tồn tại một phủ {{Nowrap|''f'': ''D'' → ''C''}} sao cho {{Nowrap|1=''p'' ∘ ''f'' = ''q''}}. Tức là <blockquote> Phủ phổ dụng phủ mọi phủ liên thông.</blockquote>

=== Thuộc tính nâng ===
<blockquote>'''Định lý''' - Đặt <math>p:C\to X</math> là một phủ. Giả sử <math>Y</math> là một không gian liên thông và <math>f:Y\to X</math> là một ánh xạ liên tục. Với mọi nâng <math>g,h:Y\to C</math> của ánh xạ <math>f</math> (i.e. <math>p\circ g=p\circ h=f</math>), ta có <math>g=h</math> hoặc <math>g(y)\neq h(y)</math> với mọi <math>y\in Y</math><ref>Manetti (2014), tr. 208, Theorem 12.25</ref></blockquote>Nói riêng, nếu ta cố định một nghịch ảnh <math>e</math> và một phần tử <math>y\in Y</math> sao cho <math>p(e)=f(y)</math>, có nhiều nhất là một nâng thỏa mãn <math>e=g(y)</math>.<ref>Manetti (2014), tr. 208, Corollary 12.26</ref> Không phải lúc nào nâng cũng tồn tại: một ví dụ là ta không thể nâng ánh xạ đồng nhất <math>\mathrm{id}:\mathbb{S}^1\to \mathbb{S}^1</math> qua phủ <math>\mathbb{R}\to \mathbb{S}^1</math>. Tuy nhiên trong trường hợp <math>Y=[0,1]</math> là một đoạn, nâng tồn tại và là duy nhất.<ref>Manetti (2014), tr. 208, Theorem 12.27</ref>

=== Định lý Galois ===

== Quan hệ với [[groupoid]] ==
Hàm tử [[groupoid cơ bản]] cho ta một [[tương đương phạm trù]]

: <math>\pi_1: \operatorname{TopCov}(X) \to \operatorname{GpdCov}(\pi_1 X)</math>

giữa phạm trù các phủ của một không gian tô-pô ''X'' (giả sử ''X'' thỏa mãn một thuộc tính nào đó) và phạm trù các phủ groupoid của {{Pi}}<sub>1</sub>(''X'').

== Ghi chú ==
{{tham khảo}}
== Tham khảo ==

*{{SpringerEOM|title=Covering|last=Chernavskii|first=A.V.}}
* Manetti, Marco (2014). ''Topology,'' ISBN 978-3-319-16958-3
* {{Chú thích sách|title=Topology|last=Munkres|first=James R.|publisher=Prentice Hall|year=2000|isbn=0131816292|edition=2 |location=Upper Saddle River, NJ|author-link=James Munkres}}
{{sơ khai toán học}}
{{Lý thuyết Galois}}
{{Kiểm soát tính nhất quán}}

[[Thể loại:Lý thuyết đồng luân]]
[[Thể loại:Tô pô đại số]]