Xem mã nguồn của Không gian tích trong

{{For|khái niệm tích vô hướng của các vectơ tọa độ|Tích vô hướng}}
[[Tập_tin:Inner-product-angle.png|nhỏ|300x300px|Biểu diễn hình học của góc giữa hai vectơ, được định nghĩa bởi tích trong.]]
[[Tập_tin:Product_Spaces_Drawing_(1).png|thế=Scalar product spaces, inner product spaces, Hermitian product spaces.|nhỏ|300x300px|Các không gian tích vô hướng trên một trường bất kỳ có trang bị các "tích vô hướng" đối xứng và tuyến tính với đối số thứ nhất. Không gian tích Hermite được giới hạn trong trường số phức và có "tích Hermite" đối xứng liên hợp và tuyến tính với đối số thứ nhất. Không gian tích trong có thể được định nghĩa trên một trường bất kỳ và có các "tích trong" tuyến tính với đối số thứ nhất, đối xứng liên hợp và xác định dương. Không giống như các tích trong, tích vô hướng và tích Hermite không nhất thiết phải có tính xác định dương.]]

Trong [[toán học]], một '''không gian tích trong''' hay '''[[không gian Hausdorff]] tiền Hilbert'''{{sfn|Trèves|2006|pp=112-125}}{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=40-45}} là một [[không gian vectơ]] được trang bị một [[phép toán hai ngôi]] gọi là '''tích trong.''' Phép toán này liên kết mỗi cặp vectơ trong không gian với một đại lượng [[Scalar (toán học)|vô hướng]] gọi là tích trong của các vectơ, thường được ký hiệu bởi dấu [[Ký hiệu bra-ket|bra-ket]] (ví dụ <math>\langle a, b \rangle</math>.)<ref>{{chú thích web|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/|title=Compendium of Mathematical Symbols|date = ngày 1 tháng 3 năm 2020 |website=Math Vault|language=en-US|access-date = ngày 25 tháng 8 năm 2020}}</ref> Tích trong cho phép định nghĩa các khái niệm trực quan [[hình học]] như độ dài của một vectơ hay góc giữa hai vectơ. Chúng cũng cung cấp các cách định nghĩa tính [[trực giao]] giữa hai vectơ (tích trong bằng 0). Không gian tích trong tổng quát hóa [[không gian Euclid]] (trong đó tích trong chính là [[tích vô hướng]]<ref name=":0">{{chú thích web|url=https://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html|title=Inner Product|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date = ngày 25 tháng 8 năm 2020}}</ref>) cho các không gian vectơ với [[Chiều (không gian vectơ)|số chiều]] bất kỳ (có thể vô hạn), và được nghiên cứu trong [[giải tích hàm]]. Không gian tích trong trên [[Trường (đại số)|trường]] [[số phức]] đôi khi được gọi là '''không gian unita'''. Khái niệm không gian vectơ với một tích trong lần đầu tiên được sử dụng bởi [[Giuseppe Peano]], vào năm 1898.<ref>{{chú thích tạp chí|last1=Moore|first1=Gregory H.|date=1995|title=The axiomatization of linear algebra: 1875-1940|journal=Historia Mathematica|volume=22|issue=3|pages=262–303|doi=10.1006/hmat.1995.1025}}</ref>

Một không gian tích trong thường tạo ra một [[Chuẩn (toán học)|chuẩn]] liên hệ với nó, (trong ảnh, |''x''| và |''y''| là các chuẩn của {{mvar|x}} và {{mvar|y}}), một cách chính tắc nó làm cho mọi không gian tích trong là [[không gian vectơ định chuẩn]]. Nếu không gian định chuẩn này cũng là một [[không gian Banach]] thì không gian tích trong được gọi là '''[[không gian Hilbert]]'''.{{sfn|Trèves|2006|pp=112-125}} Nếu một không gian tích trong {{math|(''H'', {{Ngoặc nhọn|·, ·}})}} không là không gian Hilbert thì nó có thể được "bổ sung" để trở thành không gian Hilbert {{math|({{overline|''H''}}, {{Ngoặc nhọn|·, ·}}<sub>{{overline|''H''}}</sub>)}}, gọi là làm [[Không gian vectơ tô pô đầy đủ|đầy đủ]] hóa. Nói một cách rõ ràng, điều này nghĩa là {{math|''H''}} được [[Phép nhúng (toán học)|nhúng]] [[Biến đổi tuyến tính|tuyến tính]] và [[Phép đẳng cự|đẳng cự]] vào một không gian con [[Tập trù mật|trù mật]] của {{math|{{overline|''H''}}}} và sao cho tích trong {{math|{{Ngoặc nhọn|·, ·}}<sub>{{overline|''H''}}</sub>}} trên {{math|{{overline|''H''}}}} là sự bổ sung liên tục của không gian tích trong ban đầu {{math|{{Ngoặc nhọn|·, ·}}}}.{{sfn|Trèves|2006|pp=112-125}}{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=36-72}}

== Định nghĩa ==
Trong bài này, [[Trường (đại số)|trường]] [[vô hướng]], ký hiệu {{math|𝔽}} là trường [[số thực]] <math>\mathbb{R}</math> hoặc trường [[số phức]] <math>\mathbb{C}</math>.

'''Không gian tích trong''', một cách chính thức là một [[không gian vectơ]] {{math|''V''}} [[Đại số trên một trường|trên trường]] {{math|𝔽}} cùng với một ánh xạ

: <math>\langle \cdot, \cdot \rangle: V \times V \to \mathbb{F}</math>

gọi là một '''tích trong''' nếu nó thỏa mãn các điều kiện tiên đề (1), (2), và (3) sau đây{{sfn|Trèves|2006|pp=112-125}} đối với mọi vectơ {{math|''x'', ''y'', ''z'' ∈ ''V''}} và mọi vô hướng {{math|''a'' ∈ 𝔽}}:<ref name="Jain">{{chú thích sách|title=Functional Analysis|last1=Jain|first1=P. K.|last2=Ahmad|first2=Khalil|publisher=New Age International|year=1995|isbn=81-224-0801-X|edition=2nd|page=203|chapter=5.1 Definitions and basic properties of inner product spaces and Hilbert spaces|chapter-url=https://books.google.com/books?id=yZ68h97pnAkC&pg=PA203}}</ref><ref name="Prugovec̆ki">{{chú thích sách|title=Quantum Mechanics in Hilbert Space|last=Prugovec̆ki|first=Eduard|publisher=Academic Press|year=1981|isbn=0-12-566060-X|edition=2nd|pages=18ff|chapter=Definition 2.1|chapter-url=https://books.google.com/books?id=GxmQxn2PF3IC&pg=PA18}}</ref><ref>{{chú thích web|url=https://brilliant.org/wiki/inner-product-space/|title=Inner Product Space {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|website=brilliant.org|language=en-us|access-date = ngày 25 tháng 8 năm 2020}}</ref>

# [[Tuyến tính]] đối với đối số thứ nhất<ref group="note">By combining the {{em|linear in the first argument}} property with the {{em|conjugate symmetry}} property you get {{em|conjugate-linear in the second argument}}: <math display="inline"> \langle x,by \rangle = \langle x,y \rangle \overline{b}.</math>  This is how the inner product was originally defined and is still used in some old-school math communities. However, all of engineering and computer science, and most of physics and modern mathematics now define the inner product to be {{em|linear in the second argument}} and {{em|conjugate-linear in the first argument}} because this is more compatible with several other conventions in mathematics. Notably, for any inner product, there is some hermitian, positive-definite matrix <math display="inline">M</math> such that <math display="inline"> \langle x,y \rangle = x^* M y.</math> (Here, <math display="inline">x^*</math> is the conjugate transpose of <math display="inline">x.</math>)</ref>
#: <math>\begin{align}
     \langle ax, y \rangle &= a \langle x, y \rangle \\
  \langle x + y, z \rangle &= \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle
\end{align}</math>
#* Nếu điều kiện (1) được thỏa mãn và nếu tích <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> cũng là [[phản tuyến tính]] (còn gọi là ''tuyến tính liên hợp'') đối với đối số thứ hai<ref group="note">This means that <math>\langle x, y + z \rangle = \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle</math> and <math>\langle x, a y \rangle = \overline{a} \langle x, y \rangle</math> for all vectors {{mvar|x}}, {{mvar|y}}, and {{mvar|z}} and all scalars {{mvar|a}}.</ref> thì <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> được gọi là '''''[[dạng nửa tuyến tính]]''''' (''sesquilinear form'').{{sfn|Trèves|2006|pp=112-125}}
# {{em|Đối xứng [[liên hợp phức|liên hợp]]}} hay {{em|đối xứng Hermite}}:<ref group="note">A bar over an expression denotes complex conjugation; e.g., <math display="inline">\overline{x}</math> is the complex conjugation of <math display="inline">x.</math> For real values, <math display="inline">x = \overline{x}</math> and conjugate symmetry is just symmetry.</ref>
#: <math>\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}</math>
#* Điều kiện (1) và (2) là các tính chất định nghĩa một dạng Hermite, là một loại đặc biệt của dạng nửa tuyến tính.{{sfn|Trèves|2006|pp=112-125}} Một dạng nửa tuyến tính là Hermite khi và chỉ khi <math>\langle x, x \rangle</math> là thực với mọi {{mvar|x}}.{{sfn|Trèves|2006|pp=112-125}} Cụ thể, từ điều kiện (2) suy ra rằng<ref group="note">Recall that for any complex number {{mvar|c}}, {{mvar|c}} is a real number if and only if {{math|1=''c'' = {{overline|''c''}}}}. Using {{mvar|1=''y'' = ''x''}} in condition (2) gives <math>\langle x, x \rangle = \overline{\langle x, x \rangle},</math> which implies that <math>\langle x, x \rangle</math> is a real number.</ref> <math>\langle x, x \rangle</math> là một số thực với mọi {{mvar|x}}.
# {{em|[[Dạng song tuyến tính xác định|Tính xác định dương]]}}:{{sfn|Trèves|2006|pp=112-125}}
#: <math>\langle x, x \rangle > 0,\quad \text{ nếu } x \ne 0.</math>

Ba điều kiện trên là các tính chất định nghĩa một tích trong, đó là lý do tại sao tích trong đôi khi được định nghĩa (một cách tương đương) là một ''dạng Hermite xác định dương''. Một tích trong có thể được định nghĩa một cách tương đương là một dạng nửa tuyến tính xác định dương.{{sfn|Trèves|2006|pp=112-125}}<ref group="note">This is because condition (1) and positive-definiteness implies that <math>\langle x, x \rangle</math> is always a real number. And as mentioned before, a sesquilinear form is Hermitian if and only if <math>\langle x, x \rangle</math> is real for all {{mvar|x}}.</ref>

Giả thiết rằng (1) được thỏa mãn, điều kiện (3) cũng sẽ được thỏa mãn khi và chỉ khi hai điều kiện thêm (4) và (5) dưới đây được thỏa mãn:{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|pp=36-72}}{{sfn|Trèves|2006|pp=112-125}}

# {{em|[[Dạng toàn phương xác định|Tính nửa xác định dương]]}} hay {{em|xác định không âm}}:{{sfn|Trèves|2006|pp=112-125}}
#: <math>\langle x, x \rangle \ge 0</math>
#* Các điều kiện (1), (2), và (4) là các tính chất định nghĩa một '''{{em|[[Dạng toàn phương xác định|dạng Hermite nửa xác định dương]]}}''', cho phép ta định nghĩa một [[nửa chuẩn]] trên {{mvar|V}} được cho bởi {{math|''v'' ↦ {{sqrt|{{Ngoặc nhọn|''v'', ''v''}}}}}}. Nửa chuẩn này là một chuẩn khi và chỉ khi điều kiện (5) được thỏa mãn.
# {{em|Tính tách điểm}} hay {{em|[[Dạng toàn phương xác định|xác định]]}}:
#: <math>\langle x, x \rangle = 0 \quad \text{ suy ra } \quad x = 0.</math>

Các điều kiện (1) đến (5) được thỏa mãn bởi mọi tích trong.

=== Tính chất sơ cấp ===
Tính xác định dương và tuyến tính tương ứng đảm bảo rằng:

: <math>\begin{align}
                    \langle x, x \rangle &= 0 \Rightarrow x = \mathbf{0} \\
  \langle \mathbf{0}, x \rangle &= \langle 0x, x \rangle = 0 \langle x, x \rangle = 0
\end{align}</math>

Từ tính đối xứng liên hợp suy ra {{math|{{Ngoặc nhọn|''x'', ''x''}}}} là thực với mọi {{math|''x''}}, bởi vì

: <math>\langle x, x \rangle = \overline{\langle x, x \rangle} \,.</math>

Tính đối xứng liên hợp và tuyến tính đối với đối số thứ nhất dẫn đến

: <math>\begin{align}
    \langle x, a y \rangle &= \overline{\langle a y, x \rangle} = \overline{a} \overline{\langle y, x \rangle} = \overline{a} \langle x, y \rangle \\
  \langle x, y + z \rangle &= \overline{\langle y + z, x \rangle} = \overline{\langle y, x \rangle} + \overline{\langle z, x \rangle} = \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle \,
\end{align}</math>

đây tức là tính [[Ánh xạ phản tuyến tính|tuyến tính liên hợp]] đối với đối số thứ hai. Vì vậy, một không gian tích trong là một [[dạng nửa tuyến tính]].

Có thể suy ra tổng quát hóa sau đây của [[Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ|khai triển bình phương của tổng]]:

: <math>\langle x + y, x + y \rangle = \langle x, x \rangle + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle + \langle y, y \rangle \,.</math>

Các tính chất sau đây hợp thành tính tuyến tính đối với đối số thứ nhất và thứ hai:

: <math>\begin{align}
  \langle x + y, z \rangle &= \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle \,, \\
  \langle x, y + z \rangle &= \langle x, y\rangle + \langle x, z \rangle
\end{align}</math>

còn được gọi là ''[[Hàm cộng tính|tính cộng]]''.

Với trường hợp <math>\mathbb{F} = \mathbb{R},</math> tính đối xứng liên hợp được đơn giản về tính đối xứng, còn tính nửa tuyến tính trở thành tính song tuyến. Vì thế một tích trong trên một không gian vectơ thực là một {{em|dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương}}. Tức là,

: <math>\begin{align}
               \langle x, y \rangle &= \langle y, x \rangle \\
  \Rightarrow \langle -x, x \rangle &= \langle x, -x \rangle \,,
\end{align}</math>

và [[Định lý nhị thức|khai triển nhị thức]] trở thành:

: <math>\langle x + y, x + y \rangle = \langle x, x \rangle + 2\langle x, y \rangle + \langle y, y \rangle \,.</math>

=== Định nghĩa, ký hiệu khác và chú thích ===
Một trường hợp đặc biệt thường gặp của tích trong là [[tích vô hướng]] của hai vectơ, thường được ký hiệu bởi dấu chấm ở giữa <math>a \cdot b.</math>

Một số tác giả, đặc biệt trong lĩnh vực [[vật lý]] và [[đại số ma trận]] thường định nghĩa tích trong và dạng nửa tuyến tính nhưng với tính tuyến tính của nó là ở đối số thứ hai thay vì thứ nhất. Vậy đối số thứ nhất có tính tuyến tính liên hợp thay vì thứ hai. Trong các ngành này chúng ta thường viết tích trong <math>\langle x, y \rangle</math> là <math>\langle y \mid x \rangle</math> ([[ký hiệu bra-ket]] của [[cơ học lượng tử]]), tương ứng là {{math|''y''<sup>†</sup>''x''}} (tích vô hướng với [[Vectơ hàng và cột|quy ước]] lập tích ma trận {{math|''AB''}}, lấy hàng của {{mvar|A}} nhân cột của {{mvar|B}}).

== Một số ví dụ ==

=== Số thực ===

Ví dụ đơn giản nhất là các [[số thực]] với tích thông thường giữa các số là tích trong<ref name=":0" />

: <math>\langle x, y \rangle = x y.</math>

=== Không gian vectơ Euclid ===

Tổng quát, [[Không gian tọa độ thực|không gian thực {{math|''n''}} chiều]] <math>\mathbb{R}^{n}</math> với [[tích vô hướng]] là một không gian tích trong,<ref name=":0" /> là một ví dụ của [[Không gian Euclid|không gian vectơ Euclid]].

: <math>
  \left\langle
    \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix},
    \begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}
  \right\rangle =
  x^\textsf{T} y = \sum_{i=1}^n x_i y_i = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n,
</math>

trong đó {{math|''x''{{isup|{{font|T}}}}}} là [[Ma trận chuyển vị|chuyển vị]] của {{math|''x''}}.

=== Không gian tọa độ phức ===

Dạng tổng quát của một tích trong trên <math>\mathbb{C}^{n}</math> được gọi là [[dạng Hermite]] và được cho bởi

: <math>\langle x, y \rangle = y^\dagger\mathbf{M}x = \overline{x^\dagger\mathbf{M}y},</math>

trong đó {{math|'''M'''}} là một [[Ma trận xác định đối xứng|ma trận Hermite nửa xác định dương]] và {{math|''y''<sup>†</sup>}} là [[chuyển vị liên hợp]] của {{math|''y''}}.

Tích trong phức thường gặp nhất là tích vô hướng chính tắc phức, trong đó ma trận {{math|'''M'''}} được chọn là [[Ma trận (toán học)|ma trận đơn vị]].

=== Không gian Hilbert ===

Bài viết về [[không gian Hilbert]] có một số ví dụ về không gian tích trong, trong đó metric được tạo bởi tích trong tạo ra không gian metric [[Không gian đầy đủ|đầy đủ]]. Một ví dụ của không gian tích trong tạo ra một metric không đầy đủ là không gian <math>C([a, b])</math> của các hàm giá trị phức liên tục <math>f</math> và <math>g</math> trên đoạn <math>[a, b].</math> Tích trong của chúng là

: <math>\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t) \overline{g(t)} \, \mathrm{d}t.</math>

Không gian này là không đầy đủ; lấy ví dụ, trên đoạn [−1; 1] với dãy hàm "bước" liên tục{{math|{&thinsp;''f''<sub>''k''</sub>}<sub>''k''</sub>}} được xác định bởi:

: <math>f_k(t) = \begin{cases} 0 & t \in [-1, 0] \\ 1 & t \in \left [\tfrac{1}{k}, 1 \right] \\ kt & t \in \left (0, \tfrac{1}{k} \right) \end{cases}</math>

Dãy này là một [[dãy Cauchy]] với chuẩn tạo bởi tích trong trước không hội tụ thành ''hàm liên tục''.

=== Biến ngẫu nhiên ===

Với hai [[biến ngẫu nhiên]] {{math|''X''}} và {{math|''Y''}}, [[giá trị kỳ vọng]] của tích của chúng là một tích trong.<ref>{{cite thesis|last1=Bigoni|first1=Daniele|title=Uncertainty Quantification with Applications to Engineering Problems|date=2015|type=PhD|publisher=Technical University of Denmark|chapter-url=http://orbit.dtu.dk/files/106969507/phd359_Bigoni_D.pdf|access-date = ngày 5 tháng 9 năm 2017 |chapter=Appendix B: Probability theory and functional spaces}}</ref><ref>{{chú thích web|url=http://users.aims.ac.za/~pouw/Lectures/Lecture_Spaces_Random_Variables.pdf|title=Spaces of Random Variables|last1=Ouwehand|first1=Peter|date=November 2010|website=AIMS|access-date=ngày 5 tháng 9 năm 2017|archive-date = ngày 5 tháng 9 năm 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170905225616/http://users.aims.ac.za/~pouw/Lectures/Lecture_Spaces_Random_Variables.pdf}}</ref><ref>{{chú thích web|url=http://www.math.uah.edu/stat/expect/Spaces.html|title=không gian vectơ of Random Variables|last1=Siegrist|first1=Kyle|date=1997|website=Random: Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes|access-date = ngày 5 tháng 9 năm 2017}}</ref>

: <math>\langle X, Y \rangle = \operatorname{E}(XY)</math>

Trong trường hợp này, {{math|{{Ngoặc nhọn|''X'', ''X''}} {{=}} 0}} khi và chỉ khi {{math|[[xác suất|Pr]](''X'' {{=}} 0) {{=}} 1}} (tức là [[gần như chắc chắn]] {{math|''X'' {{=}} 0}}). Định nghĩa tích trong dưới dạng giá trị kỳ vọng này còn có thể được mở rộng đối với các [[vectơ tự do]].

=== Ma trận thực ===

Với hai ma trận thực vuông cùng cỡ, {{math|{{Ngoặc nhọn|''A'', ''B''}} ≝ tr(''AB''{{sup|{{font|T}}}})}} với chuyển vị chính là phép liên hợp, tức là

: <math>\left( \langle A, B \rangle = \left\langle B^\textsf{T}, A^\textsf{T} \right\rangle \right)</math>

là một tích trong.

== Chuẩn ==
Không gian tích trong là [[không gian vectơ định chuẩn]] với [[Chuẩn (toán học)|chuẩn]] (''norm'') được định nghĩa bởi<ref name=":0" />

: <math>\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}.</math>

Vì với mọi không gian vectơ định chuẩn, không gian tích vô hướng là [[không gian metric]] với khoảng cách được định nghĩa bởi

: <math>d(x, y) = \| y - x \|.</math>

Các tiên đề của tích trong đảm bảo rằng ánh xạ trên tạo ra một chuẩn, có các tính chất sau.{{glossary}}
{{term|[[Hàm thuần nhất|Tính thuần nhất]]}}{{defn|Đối với một vectơ  {{math|''x''}} thuộc {{math|''V''}} và một vô hướng {{math|''r''}} ta có
:<math>\|rx\| = |r| \, \| x\|.</math>}}
{{term|[[Bất đẳng thức tam giác]]}}{{defn|Cho các vectơ  <math>x</math> và <math>y</math> thuộc {{math|''V''}}
:<math>\|x + y\| \leq \|x \| + \|y\|.</math>

Hai tính chất trên cho thấy ta đã có một chuẩn.}}
{{term|[[Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz]]}}{{defn|Cho {{math|''x''}}, {{math|''y''}} là các phần tử của {{math|''V''}}
:<math>|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \, \|y\|</math>

với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi {{math|''x''}} và {{math|''y''}} [[độc lập tuyến tính|phụ thuộc tuyến tính]]. Trong các tài liệu toán tiếng Nga, bất đẳng thức này còn được gọi là {{em|bất đẳng thức Cauchy–Bunyakovsky}} hay {{em|bất đẳng thức Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz}}.}}
{{term|[[Công thức phân cực]]}}{{defn|Tích trong có thể được rút ra từ chuẩn bởi công thức phân cực
:<math>\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 + 2\operatorname{Re}\langle x, y \rangle,</math>
đây là một dạng của [[định lý cosin]].}}
{{term|[[Trực giao]]}}{{defn|Hai vectơ là {{em|trực giao}} khi tích trong của chúng bằng 0.<br />
Trong trường hợp [[không gian Euclid|không gian vectơ Euclid]], là các không gian tích trong hữu hạn chiều trên trường số thực, tích vô hướng cho phép định nghĩa góc (không có chiều) của hai vectơ khác vectơ không bởi
:<math>\angle(x, y) = \arccos \frac{\langle x, y \rangle}{\|x\| \, \|y\|},</math>
và
:<math>0\le\angle(x, y)\le \pi.</math>}}
{{term|[[Định lý Pythagoras]]}}{{defn|Khi {{math|''x''}}, {{math|''y''}} thuộc {{math|''V''}} và {{math|1={{Ngoặc nhọn|''x'', ''y''}} = 0}}, ta có
:<math>\|x\|^2 + \|y\|^2 = \|x + y\|^2.</math>

Chứng minh đẳng thức này yêu cầu chỉ cần biểu diễn định nghĩa chuẩn theo tích trong và thực hiện nhân, sử dụng tính cộng cho từng thành phần.

Tên gọi {{em|Định lý Pythagoras}} bắt nguồn từ cách diễn giải trong [[hình học Euclid]].}}
{{term|Đẳng thức Parseval}}{{defn|Sử dụng [[quy nạp toán học|quy nạp]] với định lý Pythagoras ta có: nếu {{math|''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>}} là các vectơ [[trực giao]], tức là {{math|{{Ngoặc nhọn|''x<sub>j</sub>'', ''x<sub>k</sub>''}} {{=}} 0}} với các chỉ số phân biệt {{math|''j''}}, {{math|''k''}}, thì
:<math>\sum_{i=1}^n \|x_i\|^2 = \left\|\sum_{i=1}^n x_i \right\|^2.</math>}}
{{term|[[Quy tắc hình bình hành]]}}{{defn|Cho các phần tử {{math|''x''}}, {{math|''y''}} thuộc {{math|''V''}}, ta có
:<math>\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2.</math>

Quy tắc hình bình hành thực chất là một điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại một tích trong ứng với một chuẩn cho trước.}}
{{term|[[Bất đẳng thức Ptolemy]]}}{{defn|Cho các phần tử {{math|''x''}}, {{math|''y''}}, {{math|''z''}} thuộc {{math|''V''}}, ta có
:<math>\|x - y\| \|z\| + \|y - z\| \|x\| \ge \|x - z\| \|y\|.</math>

Bất đẳng thức Ptolemy thực chất cũng là một điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại một tích trong tương ứng với một chuẩn cho trước. Cụ thể, [[Isaac Jacob Schoenberg]] đã chứng minh vào năm 1952 rằng, cho một không gian thực xác định [[nửa chuẩn]] bất kỳ, nếu nửa chuẩn của nó thỏa mãn bất đẳng thức Plotemy thì nửa chuẩn đó chính là chuẩn liên kết với một tích trong.<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Apostol|first=Tom M.|date=1967|title=Ptolemy's Inequality and the Chordal Metric|url=https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/0025570X.1967.11975804|journal=Mathematics Magazine|volume=40|issue=5|pages=233–235|language=en|doi=10.2307/2688275|jstor=2688275}}</ref>}}
{{glossary end}}

== Xem thêm ==

* [[Dạng song tuyến tính]]
*[[Không gian Hilbert]]
* [[Không gian đối ngẫu]]

== Chú thích ==
{{tham khảo|group=note}}

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}

== Tham khảo sách ==

* {{chú thích sách|title=Linear Algebra Done Right|last1=Axler|first1=Sheldon|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1997|isbn=978-0-387-98258-8|edition=2nd|location=Berlin, New York}}
* {{chú thích sách|title=Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory|url=https://archive.org/details/algebraicmethods0000emch|last1=Emch|first1=Gerard G.|publisher=[[Wiley-Interscience]]|year=1972|isbn=978-0-471-23900-0}}
* {{chú thích sách|title=An Introduction to Hilbert Space|url=https://archive.org/details/introductiontohi0000youn|last1=Young|first1=Nicholas|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=1988|isbn=978-0-521-33717-5}}
{{tham khảo|group=Note}}{{Đại số tuyến tính}}

[[Thể loại:Không gian định chuẩn]]
[[Thể loại:Dạng song tuyến tính]]
[[Thể loại:Đại số tuyến tính]]