Xem mã nguồn của Khoảng cách Euclid

[[Tập tin:Euclidean distance 2d.svg|nhỏ|upright=1.35|Áp dụng định lý Pythagoras để tính khoảng cách Euclid trong mặt phẳng]]
Trong [[toán học]], '''khoảng cách Euclid''' ({{lang-en|Euclidean distance}}) giữa hai điểm trong [[không gian Euclid]] là độ dài của [[đoạn thẳng]] nối hai điểm đó. Có thể tính nó từ [[tọa độ Descartes]] của hai điểm bằng cách sử dụng [[định lý Pythagoras]], do đó còn có tên gọi khác là '''khoảng cách Pythagoras''' ({{lang-en|Pythagorean distance}}). Hai danh pháp trên được đặt theo tên của hai nhà toán học Hy Lạp cổ đại [[Euclid]] và [[Pythagoras]], dù Euclid không dùng số để chỉ khoảng cách và mối liên hệ giữa định lý Pythagoras với việc tính khoảng cách chưa được thiết lập cho đến thế kỷ 18.

Khoảng cách giữa hai đối tượng hình học không phải là điểm thường được định nghĩa là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm thuộc hai đối tượng đó. Có một số công thức đã biết để tính khoảng cách giữa các dạng đối tượng khác nhau, chẳng hạn như khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Toán học nâng cao khái quát hóa khái niệm khoảng cách sang [[không gian mêtric]] trừu tượng cũng như nghiên cứu một số loại khoảng cách khác ngoài khoảng cách Euclid. Một số ứng dụng trong thống kê và tối ưu hóa sử dụng bình phương khoảng cách Euclid thay vì chính khoảng cách đó.

== Các công thức khoảng cách ==

=== Một chiều ===
Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên [[trục số]] là [[giá trị tuyệt đối]] của hiệu tọa độ của chúng. Như vậy, với hai điểm <math>p</math> và <math>q</math> trên trục số, khoảng cách giữa chúng được cho bởi:<ref name="smith">{{citation|title=Precalculus: A Functional Approach to Graphing and Problem Solving|first=Karl|last=Smith|publisher=Jones & Bartlett Publishers|year=2013|isbn=978-0-7637-5177-7|page=8|url=https://books.google.com/books?id=ZUJbVQN37bIC&pg=PA8}}</ref>
:<math>d(p,q) = |p-q|.</math>
Một công thức phức tạp hơn, cho cùng kết quả với công thức trên nhưng dễ khái quát hóa hơn sang không gian nhiều chiều, là:<ref name="smith" />
:<math>d(p,q) = \sqrt{(p-q)^2}.</math>
Trong công thức này, phép [[bình phương]] và lấy [[căn bậc hai]] không làm thay đổi giá trị của một số dương, nhưng thay một số âm bất kỳ bằng giá trị tuyệt đối của nó.<ref name="smith" />

=== Hai chiều ===
Trong [[Mặt phẳng (toán học)|mặt phẳng Euclid]], cho điểm <math>p</math> có [[tọa độ Descartes]] là <math>(p_1,p_2)</math> và điểm <math>q</math> có tọa độ <math>(q_1,q_2)</math>. Khi đó khoảng cách giữa <math>p</math> và <math>q</math> được tính bằng:<ref name="cohen">{{citation|title=Precalculus: A Problems-Oriented Approach|first=David|last=Cohen|edition=6th|publisher=Cengage Learning|year=2004|isbn=978-0-534-40212-9|page=698|url=https://books.google.com/books?id=_6ukev29gmgC&pg=PA698}}</ref>
:<math>d(p,q) = \sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2}.</math>
Có thể suy ra công thức trên bằng cách áp dụng [[định lý Pythagoras]] cho một [[tam giác vuông]] có hai cạnh góc vuông song song với hai trục tọa độ và cạnh huyền là đoạn thẳng nối hai điểm <math>p</math> và <math>q</math>. Hai biểu thức bình phương bên trong dấu căn cho giá trị là diện tích [[hình vuông]] dựng từ cạnh góc vuông tương ứng, dấu căn ở ngoài cùng chuyển diện tích hình vuông dựng từ cạnh huyền thành độ dài của cạnh huyền.<ref>{{citation|title=College Trigonometry|first1=Richard N.|last1=Aufmann|first2=Vernon C.|last2=Barker|first3=Richard D.|last3=Nation|edition=6th|publisher=Cengage Learning|year=2007|isbn=978-1-111-80864-8|page=17|url=https://books.google.com/books?id=kZ8HAAAAQBAJ&pg=PA17}}</ref>

Ngoài ra, cũng có thể tính khoảng cách giữa hai điểm khi biết [[Hệ tọa độ cực|tọa độ cực]] của chúng. Nếu tọa độ cực của <math>p</math> là <math>(r,\theta)</math> và tọa độ cực của <math>q</math> là <math>(s,\psi)</math>, thì khoảng cách giữa chúng là:<ref name="cohen" />
:<math>d(p,q)=\sqrt{r^2 + s^2 - 2rs\cos(\theta-\psi)}.</math>
Khi <math>p</math> và <math>q</math> là hai điểm biểu diễn [[số phức]] trên [[mặt phẳng phức]], có thể dùng công thức đã áp dụng cho hai điểm trên trục số:<ref>{{citation|title=Complex Numbers from A to... Z|first1=Titu|last1=Andreescu|first2=Dorin|last2=Andrica|publisher=Birkhäuser|year=2014|edition=2nd|isbn=978-0-8176-8415-0|contribution=3.1.1 The Distance Between Two Points|pages=57–58}}</ref>
:<math>d(p,q) = |p-q|.</math>

=== Nhiều chiều ===
[[Tập tin:Euclidean distance 3d 2 cropped.png|nhỏ|upright=1.2|Áp dụng nhiều lần định lý Pythagoras để suy ra công thức khoảng cách Euclid trong không gian <math>n</math> chiều]]
Trong không gian ba chiều, với hai điểm bất kỳ có tọa độ Descartes cho trước, khoảng cách giữa chúng là:
:<math>d(p,q)=\sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2 + (p_3-q_3)^2}.</math>
Tổng quát, với hai điểm bất kỳ có tọa độ Descartes cho trước trong không gian Euclid <math>n</math> chiều, khoảng cách giữa chúng là:<ref>{{citation|title=Geometry: The Language of Space and Form|series=Facts on File math library|first=John|last=Tabak|publisher=Infobase Publishing|year=2014|isbn=978-0-8160-6876-0|page=150|url=https://books.google.com/books?id=r0HuPiexnYwC&pg=PA150}}</ref>
:<math>d(p,q) = \sqrt{(p_1- q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+\cdots+(p_i - q_i)^2+\cdots+(p_n - q_n)^2}.</math>

=== Đối tượng hình học khác ===
Với hai đối tượng hình học không phải đều là điểm, khoảng cách thường được định nghĩa một cách đơn giản là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai đối tượng đó, mặc dù một vài dạng khái quát hóa từ điểm sang tập hợp cũng được sử dụng phổ biến, chẳng hạn như [[khoảng cách Hausdorff]].<ref>{{citation|title=Metric Spaces|series=Springer Undergraduate Mathematics Series|first=Mícheál|last=Ó Searcóid|publisher=Springer|year=2006|isbn=978-1-84628-627-8|contribution=2.7 Distances from Sets to Sets|pages=29–30|url=https://books.google.com/books?id=aP37I4QWFRcC&pg=PA29}}</ref> Một số công thức tính khoảng cách giữa các đối tượng hình học khác nhau bao gồm:
* [[Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng]] trong mặt phẳng Euclid<ref name="baljer">{{citation|last1=Ballantine|first1=J. P.|last2=Jerbert|first2=A. R.|date=April 1952|department=Classroom notes|doi=10.2307/2306514|issue=4|journal=[[American Mathematical Monthly]]|jstor=2306514|pages=242–243|title=Distance from a line, or plane, to a point|volume=59}}</ref>
* [[Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng]] trong không gian Euclid ba chiều<ref name="baljer" />
* [[Hai đường thẳng chéo nhau|Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau]] trong không gian Euclid ba chiều<ref>{{citation|last=Bell|first=Robert J. T.|edition=2nd|contribution=49. The shortest distance between two lines|contribution-url=https://archive.org/details/elementarytreati00bell/page/56/mode/2up|pages=57–61|publisher=Macmillan|title=An Elementary Treatise on Coordinate Geometry of Three Dimensions|year=1914}}</ref>
<gallery>
Tập tin:Point-to-line2.svg|Minh họa khoảng cách giữa điểm P(x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) và đường thẳng Ax&nbsp;+&nbsp;By&nbsp;+&nbsp;C&nbsp;=&nbsp;0
Tập tin:DistancePlan.svg|Minh họa khoảng cách điểm A và mặt phẳng P
</gallery>

== Tính chất ==
Khoảng cách Euclid là một ví dụ cơ bản về khoảng cách trong [[không gian mêtric]],<ref>{{citation|title=Easy as π?: An Introduction to Higher Mathematics|first=Oleg A.|last=Ivanov|publisher=Springer|year=2013|isbn=978-1-4612-0553-1|page=140|url=https://books.google.com/books?id=reALBwAAQBAJ&pg=PA140}}</ref> và thỏa mãn các tính chất sau đây của một không gian mêtric:<ref name="strichartz">{{citation|title=The Way of Analysis|first=Robert S.|last=Strichartz|publisher=Jones & Bartlett Learning|year=2000|isbn=978-0-7637-1497-0|page=357|url=https://books.google.com/books?id=Yix09oVvI1IC&pg=PA357}}</ref>

* Nó có ''tính đối xứng'', nghĩa là với mọi điểm <math>p</math> và <math>q</math> bất kỳ thì <math>d(p,q)=d(q,p)</math>. Điều đó có nghĩa là khoảng cách giữa hai điểm không phụ thuộc vào việc điểm nào là điểm đầu và điểm nào là điểm cuối.<ref name="strichartz" />
* Nó có ''tính phân biệt dương'', nghĩa là khoảng cách giữa hai điểm phân biệt bất kỳ luôn là một [[số dương]], trong khi khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến chính nó bằng 0.<ref name="strichartz" />
* Nó thỏa mãn [[bất đẳng thức tam giác]]: với ba điểm <math>p</math>, <math>q</math> và <math>r</math> bất kỳ thì <math>d(p,q)+d(q,r)\ge d(p,r)</math>. Về mặt trực quan, độ dài của đường đi từ điểm <math>p</math> đến điểm <math>r</math> qua điểm <math>q</math> không thể ngắn hơn so với độ dài đường đi trực tiếp từ <math>p</math> đến <math>r</math>.<ref name="strichartz" />

Một tính chất khác, [[bất đẳng thức Ptolemy]], có liên quan đến khoảng cách Euclid giữa bốn điểm <math>p</math>, <math>q</math>, <math>r</math> và <math>s</math>. Theo đó
:<math>d(p,q)\cdot d(r,s)+d(q,r)\cdot d(p,s)\geq d(p,r)\cdot d(q,s).</math>
Với bốn điểm trên mặt phẳng, có thể diễn đạt lại bất đẳng thức trên như sau: với một [[tứ giác]] bất kỳ, tổng của tích giữa mỗi cặp cạnh đối tương ứng luôn là một số không nhỏ hơn tích độ dài hai đường chéo của nó. Tuy nhiên, có thể áp dụng bất đẳng thức Ptolemy một cách tổng quát cho các điểm trong không gian Euclid với số chiều bất kỳ, không phụ thuộc vào sự sắp xếp của chúng.<ref>{{citation|title=Rays, Waves, and Scattering: Topics in Classical Mathematical Physics|series=Princeton Series in Applied Mathematics|first=John A.|last=Adam|publisher=Princeton University Press|year=2017|isbn=978-1-4008-8540-4|pages=26–27|chapter-url=https://books.google.com/books?id=DnygDgAAQBAJ&pg=PA26|chapter=Chapter 2. Introduction to the "Physics" of Rays|doi=10.1515/9781400885404-004}}</ref> [[Hình học khoảng cách]] Euclid nghiên cứu các tính chất của khoảng cách Euclid, gồm bất đẳng thức Ptolemy và ứng dụng của chúng trong việc kiểm tra xem một tập khoảng cách cho trước có đến từ những điểm trong một không gian Euclid hay không.<ref>{{citation|title=Euclidean Distance Geometry: An Introduction|series=Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology|first1=Leo|last1=Liberti|first2=Carlile|last2=Lavor|publisher=Springer|year=2017|isbn=978-3-319-60792-4|page=xi|url=https://books.google.com/books?id=jOQ2DwAAQBAJ&pg=PP10}}</ref>

== Bình phương khoảng cách Euclid ==
{{multiple image
| image1 = 3d-function-5.svg
| caption1 = [[Mặt nón]], [[Đồ thị của hàm số|đồ thị]] của khoảng cách Euclid từ gốc tọa độ trong mặt phẳng
| image2 = 3d-function-2.svg
| caption2 = [[Paraboloid]], đồ thị của bình phương khoảng cách Euclid từ gốc tọa độ
}}Trong nhiều trường hợp, đặc biệt là khi so sánh khoảng cách, một cách thuận tiện hơn là bỏ qua bước lấy căn bậc hai trong phép tính khoảng cách Euclid. Khi đó, kết quả thu được là [[bình phương]] khoảng cách Euclid.<ref name="spencer">{{citation|title=Essentials of Multivariate Data Analysis|first=Neil H.|last=Spencer|publisher=CRC Press|year=2013|isbn=978-1-4665-8479-2|contribution=5.4.5 Squared Euclidean Distances|page=95|contribution-url=https://books.google.com/books?id=EG3SBQAAQBAJ&pg=PA95}}</ref> Có thể biểu diễn nó dưới dạng [[tổng các bình phương]]:
:<math>d^2(p,q) = (p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+\cdots+(p_i - q_i)^2+\cdots+(p_n - q_n)^2.</math>
Ngoài ứng dụng trong so sánh khoảng cách, bình phương khoảng cách Euclid còn đóng vai trò quan trọng trong [[thống kê]], cụ thể là áp dụng trong phương pháp [[bình phương tối thiểu]], một phương pháp để xác định đường khớp với dữ liệu bằng cách tìm giá trị nhỏ nhất của bình phương khoảng cách trung bình giữa giá trị quan sát và giá trị ước lượng.<ref>{{citation|title=Basic Statistics in Multivariate Analysis|series=Pocket Guide to Social Work Research Methods|first1=Karen A.|last1=Randolph|first2=Laura L.|last2=Myers|publisher=Oxford University Press|year=2013|isbn=978-0-19-976404-4|page=116|url=https://books.google.com/books?id=WgSnudjEsrMC&pg=PA116}}</ref> Phép cộng giữa các bình phương khoảng cách với nhau, giống như khi áp dụng trong phương pháp bình phương tối thiểu, tương ứng với một phép toán trên khoảng cách (chưa bình phương) gọi là [[phép cộng Pythagoras]].<ref>{{citation|author=Moler, Cleve and Donald Morrison|title=Replacing Square Roots by Pythagorean Sums|journal=IBM Journal of Research and Development|volume=27|issue=6|pages=577–581|year=1983|url=http://www.research.ibm.com/journal/rd/276/ibmrd2706P.pdf|doi=10.1147/rd.276.0577|citeseerx=10.1.1.90.5651}}</ref> Trong [[phân tích cụm]], có thể áp dụng bình phương khoảng cách để làm tăng độ ảnh hưởng đối với khoảng cách dài hơn.<ref name="spencer" />

Bình phương khoảng cách Euclid không tạo thành không gian mêtric vì nó không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.<ref>{{citation|last1=Mielke|first1=Paul W.|last2=Berry|first2=Kenneth J.|editor1-last=Brown|editor1-first=Timothy J.|editor2-last=Mielke|editor2-first=Paul W. Jr.|contribution=Euclidean distance based permutation methods in atmospheric science|doi=10.1007/978-1-4757-6581-6_2|pages=7–27|publisher=Springer|title=Statistical Mining and Data Visualization in Atmospheric Sciences|year=2000}}</ref> Tuy nhiên, nó là [[hàm lồi]] hoàn toàn và trơn của hai điểm, không giống với khoảng cách, vốn là một hàm không trơn (gần các cặp điểm bằng nhau) và là hàm lồi nhưng không phải là hàm lồi hoàn toàn. Do đó, [[Tối ưu hóa (toán học)|lý thuyết tối ưu hóa]] ưu tiên áp dụng bình phương khoảng cách, vì nó cho phép sử dụng [[giải tích lồi]]. Vì hàm bình phương là một [[hàm số đơn điệu]] cho giá trị không âm, việc tìm giá trị nhỏ nhất của bình phương khoảng cách cũng giống với việc tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách Euclid, nên bài toán tối ưu hóa về mặt cách giải nào cũng đều tương đồng nhau, nhưng sẽ dễ giải hơn khi sử dụng bình phương khoảng cách.<ref>{{citation|title=Maxima and Minima with Applications: Practical Optimization and Duality|volume=51|series=Wiley Series in Discrete Mathematics and Optimization|first=Wilfred|last=Kaplan|publisher=John Wiley & Sons|year=2011|isbn=978-1-118-03104-9|page=61|url=https://books.google.com/books?id=bAo6KNZcUP0C&pg=PA61}}</ref>

Tập hợp tất cả bình phương khoảng cách giữa các cặp điểm từ một tập hữu hạn có thể được lưu trữ trong [[ma trận khoảng cách Euclid]] và thường được sử dụng dưới dạng này trong hình học khoảng cách.<ref>{{citation|title=Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory|first=Abdo Y.|last=Alfakih|publisher=Springer|year=2018|isbn=978-3-319-97846-8|page=51|url=https://books.google.com/books?id=woJyDwAAQBAJ&pg=PA51}}</ref>

== Khái quát hóa ==
Trong toán học cao cấp, khi xem không gian Euclid là một [[không gian vectơ]], khoảng cách của nó có liên hệ tương ứng với một [[Chuẩn (toán học)|chuẩn]] gọi là chuẩn Euclid, được định nghĩa là khoảng cách của một vectơ từ gốc tọa độ. Một trong những tính chất quan trọng của chuẩn này, có quan hệ với các chuẩn khác trong toán học, là nó vẫn không đổi ngay cả khi quay không gian theo một góc bất kỳ quanh điểm gốc.<ref>{{citation|title=Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System|first1=Sergei|last1=Kopeikin|first2=Michael|last2=Efroimsky|first3=George|last3=Kaplan|publisher=John Wiley & Sons|year=2011|isbn=978-3-527-63457-6|page=106|url=https://books.google.com/books?id=uN5_DQWSR14C&pg=PA106}}</ref> Theo [[định lý Dvoretzky]], với một [[không gian định chuẩn]] với số chiều hữu hạn, tồn tại một không gian con với số chiều lớn mà chuẩn của nó gần bằng với chuẩn Euclid; chuẩn Euclid là chuẩn duy nhất có tính chất này.<ref>{{citation|last=Matoušek|first=Jiří|isbn=978-0-387-95373-1|page=349|publisher=Springer|series=Graduate Texts in Mathematics|title=Lectures on Discrete Geometry|url=https://books.google.com/books?id=K0fhBwAAQBAJ&pg=PA349|year=2002}}</ref> Có thể mở rộng nó sang không gian vectơ vô hạn chiều, chẳng hạn như [[Không gian Lp|không gian L<sup>2</sup>]] hoặc khoảng cách L<sup>2</sup>.<ref>{{citation|title=Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications|first=Philippe G.|last=Ciarlet|publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics|year=2013|isbn=978-1-61197-258-0|page=173|url=https://books.google.com/books?id=AUlWAQAAQBAJ&pg=PA173}}</ref>

Một số loại khoảng cách khác trên không gian Euclid và không gian vectơ ít chiều bao gồm:<ref>{{citation|last=Klamroth|first=Kathrin|contribution=Section 1.1: Norms and Metrics|doi=10.1007/0-387-22707-5_1|pages=4–6|publisher=Springer|series=Springer Series in Operations Research|title=Single-Facility Location Problems with Barriers|year=2002}}</ref>

* [[Khoảng cách Chebyshev]], đo khoảng cách với giả thiết rằng chỉ xét chiều có nghĩa nhất.
* [[Khoảng cách Manhattan]], đo khoảng cách chỉ theo hướng trục tọa độ.
* [[Khoảng cách Minkowski]], một dạng khái quát hóa liên hệ khoảng cách Euclid, khoảng cách Chebyshev và khoảng cách Manhattan.

Với những điểm trong một bề mặt ở không gian ba chiều, khoảng cách Euclid cần phải được phân biệt với khoảng cách [[trắc địa]], độ dài của một đường cong ngắn nhất thuộc bề mặt đó. Đặc biệt, để đo khoảng cách cung vòng lớn trên Trái Đất hoặc [[mặt cầu]] hay mặt tựa cầu khác, một số loại khoảng cách được sử dụng bao gồm [[khoảng cách haversine]] cho biết khoảng cách cung vòng lớn giữa hai điểm trong mặt cầu khi biết kinh độ và vĩ độ của chúng và [[công thức Vincenty]] còn gọi là "khoảng cách Vincenty" đối với khoảng cách trong một hình phỏng cầu.<ref>{{citation|title=Computing in Geographic Information Systems|first=Narayan|last=Panigrahi|publisher=CRC Press|year=2014|isbn=978-1-4822-2314-9|contribution=12.2.4 Haversine Formula and 12.2.5 Vincenty's Formula|pages=212–214|url=https://books.google.com/books?id=kjj6AwAAQBAJ&pg=PA212}}</ref>

== Lịch sử ==

Khoảng cách Euclid là khoảng cách trong [[không gian Euclid]]; cả hai danh pháp này đều được đặt tên theo nhà toán học Hy Lạp cổ đại [[Euclid]], tác giả của bộ ''[[Cơ sở (Euclid)|Cơ sở]]'' vốn đã trở thành sách giáo khoa hình học tiêu chuẩn trong nhiều thế kỷ.<ref name=":0">{{citation|title=Visualization for Information Retrieval|first=Jin|last=Zhang|publisher=Springer|year=2007|isbn=978-3-540-75148-9}}</ref> Khái niệm về [[độ dài]] và [[khoảng cách]] rất phổ biến qua các nền văn hóa, có thể xuất hiện sớm nhất trong các tài liệu quan liêu thời kỳ Protoliterate từ [[Sumer]] vào thiên niên kỷ thứ tư trước Công Nguyên (rất xa trước thời Euclid).<ref>{{citation|last=Høyrup|first=Jens|editor1-last=Jones|editor1-first=Alexander|editor2-last=Taub|editor2-first=Liba|contribution=Mesopotamian mathematics|contribution-url=http://akira.ruc.dk/~jensh/Publications/2018%7Bj%7D_Mesopotamian%20Mathematics_S.pdf|pages=58–72|publisher=Cambridge University Press|title=The Cambridge History of Science, Volume 1: Ancient Science|year=2018}}</ref> Có giả thuyết cho rằng hai khái niệm này phát triển ở trẻ sớm hơn so với hai khái niệm liên quan là tốc độ và thời gian.<ref>{{citation|last1=Acredolo|first1=Curt|last2=Schmid|first2=Jeannine|doi=10.1037/0012-1649.17.4.490|issue=4|journal=Developmental Psychology|pages=490–493|title=The understanding of relative speeds, distances, and durations of movement|volume=17|year=1981}}</ref> Nhưng khái niệm về khoảng cách, dưới dạng một số được xác định từ hai điểm, không thực sự xuất hiện trong bộ ''Cơ sở'' của Euclid. Thay vào đó, Euclid tiếp cận khái niệm này theo cách gián tiếp, thông qua tính [[tương đẳng]] của các đoạn thẳng, thông qua việc so sánh độ dài đoạn thẳng và thông qua khái niệm [[tỉ lệ thuận]].<ref>{{citation|last=Henderson|first=David W.|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|pages=563–571|title=Review of ''Geometry: Euclid and Beyond'' by Robin Hartshorne|url=https://www.ams.org/journals/bull/2002-39-04/S0273-0979-02-00949-7|volume=39|year=2002|doi=10.1090/S0273-0979-02-00949-7|doi-access=free}}</ref>

[[Định lý Pythagoras]] cũng là một [[định lý toán học]] cổ đại, nhưng nó chỉ đóng vai trò quan trọng trong việc đo khoảng cách sau khi [[René Descartes]] phát minh [[tọa độ Descartes]] vào năm 1637. Công thức khoảng cách do [[Alexis Clairaut]] xuất bản lần đầu tiên vào năm 1731.<ref>{{citation|last=Maor|first=Eli|isbn=978-0-691-19688-6|pages=133–134|publisher=Princeton University Press|title=The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History|url=https://books.google.com/books?id=XuWZDwAAQBAJ&pg=PA133|year=2019}}</ref> Do công thức này nên khoảng cách Euclid đôi khi còn gọi là khoảng cách Pythagoras.<ref>{{citation|last1=Rankin|first1=William C.|last2=Markley|first2=Robert P.|last3=Evans|first3=Selby H.|date=March 1970|doi=10.3758/bf03210143|issue=2|journal=Perception & Psychophysics|pages=103–107|title=Pythagorean distance and the judged similarity of schematic stimuli|volume=7|s2cid=144797925|doi-access=free}}</ref> Mặc dù các phép đo khoảng cách lớn trên bề mặt Trái Đất, vốn không phải là khoảng cách Euclid, đã qua nghiên cứu một lần nữa tại nhiều nền văn hóa từ sau thời cổ đại, ý tưởng rằng khoảng cách Euclid có thể không phải là cách duy nhất để đo khoảng cách giữa các điểm trong không gian toán học xuất hiện muộn hơn, với sự hình thành của [[hình học phi Euclid]] vào thế kỷ 19.<ref>{{citation|last=Milnor|first=John|author-link=John Milnor|doi=10.1090/S0273-0979-1982-14958-8|issue=1|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|mr=634431|pages=9–24|title=Hyperbolic geometry: the first 150 years|volume=6|year=1982|doi-access=free}}</ref> Định nghĩa về chuẩn Euclid và khoảng cách Euclid đối với hình học nhiều hơn ba chiều cũng xuất hiện lần đầu vào thế kỷ 19 trong công trình của [[Augustin-Louis Cauchy]].<ref>{{citation|title=Foundations of Hyperbolic Manifolds|volume=149|series=Graduate Texts in Mathematics|first=John G.|last=Ratcliffe|edition=3rd|publisher=Springer|year=2019|isbn=978-3-030-31597-9|page=32|url=https://books.google.com/books?id=yMO4DwAAQBAJ&pg=PA32}}</ref>

== Tham khảo ==
{{Tham khảo|30em}}

== Liên kết ngoài ==
* {{Britannica|1368783|Distance formula (mathematics)}}
* {{MathWorld |title=Distance |urlname=Distance}}
{{Thanh chủ đề|Vật lý|Toán học}}
{{Kiểm soát tính nhất quán}}
{{Sao bài viết tốt|phiên bản được chọn=65023991|thời gian=17 tháng 6 năm 2021}}

{{DEFAULTSORT:Khoảng cách Euclid}}
[[Thể loại:Hình học mêtric]]
[[Thể loại:Chiều dài]]
[[Thể loại:Định lý Pythagoras]]
[[Thể loại:Khoảng cách]]