Xem mã nguồn của Lý thuyết số

{{1000 bài cơ bản}}

{{Thanh bên chủ đề Toán học}}

'''Lý thuyết số''' là một ngành của [[Toán học thuần túy|toán học lý thuyết]] nghiên cứu về tính chất của [[số]] nói chung và [[số nguyên]] nói riêng, cũng như những [[lớp]] rộng hơn các [[toán đố|bài toán]] mà phát triển từ những nghiên cứu của nó.

Lý thuyết số có thể chia thành một vài lĩnh vực dựa theo phương pháp giải và các dạng bài toán được xem xét. (''Xem [[Danh sách các chủ đề của lý thuyết số]]'').

Cụm từ "[[số học]]" cũng được sử dụng để nói đến lý thuyết số. Đây là cụm từ không còn được sử dụng rộng rãi nữa. Tuy nhiên, nó vẫn còn hiện diện trong tên của một số lĩnh vực toán học ([[hàm số học]], [[số học đường cong elliptic]], [[định lý cơ bản của số học]]). Việc sử dụng cụm từ ''số học'' ở đây không nên nhầm lẫn với [[Số học|số học sơ cấp]].

== Các lĩnh vực ==
=== Lý thuyết số sơ cấp ===
Trong '''lý thuyết số sơ cấp''', các số nguyên được nghiên cứu mà không cần các kĩ thuật từ các lĩnh vực khác của toán học. Nó nghiên cứu các vấn đề về [[chia hết]], cách sử dụng [[thuật toán Euclid]] để tìm [[ước chung lớn nhất]], [[Định lý cơ bản của số học|phân tích số nguyên thành thừa số nguyên tố]], việc nghiên cứu các [[số hoàn thiện]] và [[đồng dư]].

Rất nhiều vấn đề trong lý thuyết số có thể phát biểu dưới ngôn ngữ sơ cấp, nhưng chúng cần những nghiên cứu sâu sắc và những tiếp cận mới bên ngoài lĩnh vực lý thuyết số để giải quyết.

Một số ví dụ:
* [[Giả thuyết Goldbach]] nói về việc biểu diễn các số chẵn thành tổng của hai số nguyên tố.
* [[Giả thuyết Catalan]] (bây giờ là định lý Mihăilescu) nói về các lũy thừa nguyên liên tiếp.
* Giả thuyết số nguyên tố sinh đôi nói rằng có thể có vô hạn [[số nguyên tố sinh đôi]]
* [[Giả thuyết Collatz]] nói về một dãy đệ quy đơn giản
* [[Định lý lớn Fermat]] (nêu lên vào năm [[1637]], đến năm [[1994]] mới được chứng minh) nói rằng phương trình <math>x^n + y^n = z^n</math> không có nghiệm nguyên khác không với ''n'' lớn hơn 2.

Lý thuyết về [[phương trình Diophantine]] thậm chí đã được chứng minh là không có phương pháp chung đề giải (Xem [[Các bài toán của Hilbert|Bài toán thứ 10 của Hilbert]])

=== Lý thuyết số giải tích ===
'''[[Lý thuyết số giải tích]]''' sử dụng công cụ [[giải tích]] và [[giải tích phức]] để giải quyết các vấn đề về số nguyên. [[Định lý số nguyên tố]] và [[giả thuyết Riemann]] là các ví dụ. [[Bài toán Waring]] (biểu diễn một số nguyên cho trước thành tổng các [[bình phương]], [[khối lập phương|lập phương]], v.v...), [[giả thuyết số nguyên tố sinh đôi]] và [[giả thuyết Goldbach]] cũng đang bị tấn công bởi các phương pháp giải tích. [[Chứng minh toán học|Chứng minh]] về tính [[Số siêu việt|siêu việt]] của các hằng số toán học, như là [[pi|π]] hay ''[[e]]'', cũng được xếp vào lĩnh vực lý thuyết giải tích số. Trong khi những phát biểu về các [[số siêu việt]] dường như đã bị loại bỏ khỏi việc nghiên cứu về các số nguyên, chúng thực sự nghiên cứu giá trị của các [[đa thức]] với hệ số nguyên tại, ví dụ, ''e''; chúng cũng liên quan mật thiết với lĩnh vực [[xấp xỉ Diophantine]], lĩnh vực nghiên cứu một số thực cho trước có thể xấp xỉ bởi một số hữu tỉ tốt tới mức nào.

=== Lý thuyết số đại số ===
Trong '''[[Lý thuyết số đại số]]''', khái niệm của một số được mở rộng thành các [[số đại số]], tức là các [[nghiệm số|nghiệm]] của các đa thức với hệ số nguyên. Những thứ này bao gồm những thành phần tương tự với các số nguyên, còn gọi là [[số đại số nguyên|số nguyên đại số]]. Với khái niệm này, những tính chất quen thuộc của số nguyên (như phân tích nguyên tố duy nhất) không còn đúng. Lợi thế của những công cụ lý thuyết - [[Lý thuyết Galois]], [[Đối đồng điều nhóm|group cohomology]], [[Lý thuyết trường các lớp|class field theory]], [[biểu diễn nhóm]] và [[L-hàm]] - là nó cho phép lấy lại phần nào trật tự của lớp số mới.

Rất nhiều vấn đề lý thuyết số có thể được giải quyết một cách tốt nhất bởi nghiên cứu chúng theo ''modulo p'' với mọi số nguyên tố ''p'' (xem [[Trường hữu hạn|các trường hữu hạn]]). Đây được gọi là ''địa phương hóa'' và nó dẫn đến việc xây dựng các [[số p-adic]]; lĩnh vực nghiên cứu này được gọi là [[giải tích địa phương]] và nó bắt nguồn từ lý thuyết số đại sô.

=== Lý thuyết số hình học ===
'''[[Lý thuyết số hình học]]''' (cách gọi truyền thống là ([[hình học của các số]]) kết hợp tất cả các dạng hình học. Nó bắt đầu với [[định lý Minkowski]] về các [[điểm nguyên]] trong các [[tập lồi]] và những nghiên cứu về [[sphere packing]].

=== Lý thuyết số tổ hợp ===
'''[[Lý thuyết số tổ hợp]]''' giải quyết các bài toán về lý thuyết số mà có tư tưởng [[tổ hợp (toán học)|tổ hợp]] trong công thức hoặc cách chứng minh của nó. [[Paul Erdős]] là người khởi xướng chính của ngành lý thuyết số này. Những chủ đề thông thường bao gồm [[hệ bao]], [[bài toán tổng-zero]], rất nhiều [[restricted sumset]] và [[cấp số cộng]] trong một tập số nguyên. Các phương pháp đại số hoặc giải tích rất mạnh trong những lĩnh vực này.

=== Lý thuyết số máy tính ===
'''[[Lý thuyết số máy tính]]''' nghiên cứu các [[thuật toán]] liên quan đến lý thuyết số. Những thuật toán nhanh chóng để [[kiểm tra tính nguyên tố]] và [[Phân tích số nguyên|phân tích thừa số nguyên tố]] có những ứng dụng quan trọng trong [[mã hóa]].

== Lịch sử ==
=== Lý thuyết số thời kì Vedic ===
Các nhà toán học [[Ấn Độ]] đã quan tâm đến việc tìm nghiệm nguyên của [[phương trình Diophantine]] từ [[thời kì Vedic]]. Những ứng dụng sớm nhất vào hình học của phương trình Diophantine có thể tìm thấy trong [[kinh Sulba]], được viết vào khoảng giữa thế kỉ thứ 8 và thế kỉ thứ 6 trước [[Công nguyên]]. [[Baudhayana]] (năm 800 TCN) tìm thấy hai tập nghiệm nguyên dương của một hệ các phương trình Diophantine, và cũng sử dụng hệ phương trình Diophantine với tới bốn ẩn. [[Apastamba]] (năm 600) sử dụng hệ phương trình Diophantine với tới năm ẩn.

=== Lý thuyết số của người Jaina ===
Ở Ấn Độ, các nhà toán học Jaina đã phát triển lý thuyết số có hệ thống đầu tiên từ thế kỉ thứ 4 trước Công Nguyên tới thế kỉ thứ 2. Văn tự ''Surya Prajinapti'' (năm 400 TCN) phân lớp tất cả các số thành ba tập: đếm được, không đếm được và vô hạn. Mỗi tập này lại được phân thành ba cấp:

* Đếm được: thấp nhất, trung bình, và cao nhất.
* Không đếm được: gần như không đếm được, thật sự không đếm được, và không đếm được một cách không đếm được.
* Vô hạn: gần như vô hạn, thật sự vô hạn, vô hạn một cách vô hạn

Những người Jain là những người đầu tiên không chấp nhận ý tưởng các vô hạn đều như nhau. Họ nhận ra năm loại vô hạn khác nhau: vô hạn theo một hoặc hai hướng (một [[chiều]]), vô hạn theo diện tích (hai chiều), vô hạn mọi nơi (ba chiều), và vô hạn liên tục (vô số chiều).

Số đếm được cao nhất ''N'' của người Jain tương ứng với khái niệm hiện đại [[aleph-không]] <math>\aleph_0</math> ([[Lực lượng (tập hợp)|cardinal number]] của tập vô hạn các số nguyên 1,2,...), the smallest cardinal [[transfinite number]]. Người Jain cũng định nghĩa toàn bộ hệ thống các cardinal number, trong đó <math>\aleph_0</math> là nhỏ nhất.

Trong công trình của người Jain về [[lý thuyết tập hợp]], họ phân biệt hai loại [[transfinite number]] cơ bản. Ở cả lĩnh vực vật lý và [[bản thể luận|bản thể học]] (ontology), sự khác nhau được tạo ra giữa ''asmkhyata'' và ''ananata'', giữa vô hạn bị chặn ngặt và vô hạn bị chặn lỏng.

=== Lý thuyết số Hellenistic ===
Lý thuyết số là một đề tài ưa thích của các [[nhà toán học Hellenistic]] ở [[Alexandria]], [[Ai Cập]] từ thế kỉ thứ 3 sau Công Nguyên. Họ đã nhận thức được khái niệm [[phương trình Diophantine]] trong rất nhiều trường hợp đặc biệt. Nhà toán học Hellenistic đầu tiên nghiên cứu những phương trình này là [[Diofantos|Diophantus]].

Diophantus cũng đã tìm kiếm một phương pháp để tìm nghiệm nguyên của các [[phương trình vô định]] [[tuyến tính]], những phương trình mà thiếu điều kiện đủ để có một tập duy nhất các nghiệm phân biệt. Phương trình <math>x + y = 5</math> là một phương trình như vậy. Diophantus đã khám phá ra nhiều phương trình vô định có thể biến đổi thành các dạng đã biết mặc dù thậm chí còn không biết được nghiệm cụ thể.

=== Lý thuyết số Ấn Độ cổ điển ===
Phương trình Diophantine đã được nghiên cứu một cách sâu sắc bởi các nhà toán học Ân Độ trung cổ. Họ là những người đầu tiên nghiên cứu một cách có hệ thống các phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trình Diophantine. [[Aryabhata]] (499) là người đầu tiên tìm ra dạng nghiệm tổng quát của phương trình Diophantine tuyến tính <math>ay + bx = c</math>, được ghi trong cuốn ''Aryabhatiya'' của ông. Thuật toán ''kuttaka'' này được xem là một trong những cống hiến quan trọng nhất của Aryabhata trong toán học lý thuyết, đó là tìm nghiệm của phương trình Diophantine bằng [[phân số liên tục|liên phân số]]. Aryabhata đã dùng kĩ thuật này để tìm nghiệm nguyên của các hệ phương trình Diophantine, một bài toán có ứng dụng quan trọng trong [[thiên văn học]]. Ông cũng đã tìm ra nghiệm tổng quát đối với [[phương trình tuyến tính]] [[vô định]] bằng phương pháp này.

[[Brahmagupta]] vào năm 628 đã nắm được những phương trình Diophantine phức tạp hơn. Ông sử dụng ''[[phương pháp chakravala]]'' để [[giải phương trình]] Diophantine bậc hai, bao gồm cả các dạng của [[phương trình Pell]], như là <math>61 x^2 +1= y^2</math>. Cuốn ''[[Brahma Sphuta Siddhanta]]'' của ông đã được dịch sang [[tiếng Ả Rập]] vào năm 773 và sau đó được dịch sang [[latinh|tiếng Latin]] vào năm 1126. Phương trình <math>61 x^2 +1= y^2</math> sau đó đã được chuyển thành một bài toán vào năm 1657 bởi nhà toán học người [[Pháp]] [[Pierre de Fermat]]. [[Leonhard Euler]] hơn 70 năm sau đã tìm được nghiệm tổng quát đối với trường hợp riêng này của phương trình Pell, trong khi nghiệm tổng quát của phương trình Pell đã được tìm ra hơn 100 năm sau đó bởi [[Joseph Louis Lagrange]] vào 1767. Trong khi đó, nhiều thế kỉ trước, nghiệm tổng quát của phương trình Pell đã được ghi lại bởi [[Bhaskara II]] vào 1150, sử dụng một dạng khác của phương pháp ''chakravala''. Ông cũng đã sử dụng nó để tìm ra nghiệm tổng quát đối với các phương trình vô định bậc hai và phương trình Diophantine bậc hai khác. Phương pháp ''chakravala'' của Bhaskara dùng để tìm nghiệm phương trình Pell đơn giản hơn nhiều so với phương pháp mà Lagrange sử dụng 600 năm sau đó. Bhaskara cũng đã tìm được nghiệm của các phương trình vô định bậc hai, bậc ba, bốn và cao hơn. [[Narayana Pandit]] đã cải tiến phương pháp ''chakravala'' và tìm thêm được các nghiệm tổng quát hơn đối với các phương trình vô định bậc hai và cao hơn khác.

=== Lý thuyết số của người Hồi giáo ===
Từ thế kỉ 9, các [[nhà toán học Hồi giáo]] đã rất quan tâm đến lý thuyết số. Một trong những nhà toán học đầu tiên này là nhà toán học [[Ả Rập]] [[Thabit ibn Qurra]], người đã khám phá ra một định lý cho phép tìm các cặp [[số bạn bè]], tức là các số mà tổng các ước thực sự của số này bằng số kia. Vào thế kỉ 10, [[Al-Baghdadi]] đã nhìn vào một ít biến đổi trong định lý của Thabit ibn Qurra.

Vào thế kỉ 10, [[al-Haitham]] có thể là người đầu tiên phân loại các [[số hoàn thiện|số hoàn hảo]] chẵn (là các số mà tổng các ước thực sự của nó bằng chính nó) thành các số có dạng <math>2^{k-1} (2^k -1)</math> trong đó <math>2^k -1</math> là số nguyên tố. Al-Haytham cũng là người đầu tiên phát biểu [[định lý Wilson]] (nói rằng p là số nguyên tố thì <math>1 + (p-1)!</math> chia hết cho p). Hiện không rõ ông ta có biết cách chứng minh nó không. Định lý có tên là định lý Wilson vì căn cứ theo một lời chú thích của [[Edward Waring]] vào năm 1770 rằng [[John Wilson]] là người đầu tiên chú ý đến kết quả này. Không có bằng chứng nào chứng tỏ John Wilson đã biết cách chứng minh và gần như hiển nhiên là Waring cũng không. Lagrange đã đưa ra chứng minh đầu tiên vào 1771.

Các số bạn bè đóng vai trò quan trọng trong toán học của người Hồi giáo. Vào thế kỉ 13, nhà toán học [[Iran|Ba Tư]] [[Al-Farisi]] đã đưa ra một chứng minh mới cho định lý của Thabit ibn Qurra, giới thiệu một ý tưởng mới rất quan trọng liên quan đến phương pháp phân tích thừa số và tổ hợp. Ông cũng đưa ra cặp số bạn bè 17296, 18416 mà người ta vẫn cho là của Euler, nhưng chúng tao biết rằng những số này còn được biết đến sớm hơn cả al-Farisi, có thể bởi chính Thabit ibn Qurra. Vào thế kỉ 17, [[Muhammad Baqir Yazdi]] đưa ra cặp số bạn bè 9.363.584 và 9.437.056 rất nhiều năm trước khi Euler đưa ra.

=== Lý thuyết số châu Âu ban đầu ===
Lý thuyết số bắt đầu ở [[Châu Âu]] vào thế kỉ 16 và 17, với [[François Viète]], [[Bachet de Meziriac]], và đặc biệt là [[Pierre de Fermat|Fermat]], mà phương pháp [[lùi vô hạn]] của ông là chứng minh tổng quát đầu tiên của phương trình Diophantine. [[Định lý lớn Fermat]] được nêu lên như là một bài toán vào năm 1637, và không có lời giải cho đến năm 1994. Fermat cũng nêu lên bài toán <math>61x^2 + 1 =y^2</math> vào năm 1657.

Vào thế kỉ 18, Euler và Lagrange đã có những cống hiến quan trọng cho lý thuyết số. Euler đã làm một vài công trình về [[lý thuyết số giải tích]], và tình được một nghiệm tổng quát của phương trình <math>61x^2 + 1 =y^2</math>, mà Fermat nêu thành bài toán. Lagrange đã tìm được một nghiệm của phương trình Pell tổng quát hơn. Euler và Lagrange đã giải những phương trình Pell này bằng phương pháp [[phân số liên tục|liên phân số]], mặc dù nó còn khó hơn [[phương pháp chakravala]] của [[Ấn Độ]].

=== Mở đầu lý thuyết số hiện đại ===
Khoảng đầu thế kỉ 19 các cuốn sách của [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] (1798), và [[Gauß|Gauss]] kết hợp thành những lý thuyết có hệ thống đầu tiên ở châu Âu. Cuốn ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' (1801) có thể nói là đã mở đầu lý thuyết số hiện đại.

Sự hình thành lý thuyết [[đồng dư]] bắt đầu với cuốn ''Disquisitiones'' của Gauss. Ông giới thiệu ký hiệu

:<math>a \equiv b \pmod c,</math>

và đã khám phá ra hầu hết trong lĩnh vực này. [[Pafnuty Lvovich Chebyshev|Chebyshev]] đã xuất bản vào năm 1847 một công trình bằng [[tiếng Nga]] về chủ đề này, và ở Pháp [[Serret]] đã phổ biến nó.

Bên cạnh những công trình tổng kết trước đó, [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] đã phát biểu [[luật tương hỗ bậc hai]]. Định lý này, được khám phá ra bởi [[quy nạp]] và được diễn đạt bởi Euler, đã được chứng minh lần đầu tiên bởi Legendre trong cuốn ''Théorie des Nombres'' của ông ([[1798]]) trong những trường hợp đặc biệt. Độc lập với Euler và Legendre, Gauss đã khám phá ra định luật này vào khoảng năm [[1795]], và là người đầu tiên đưa ra chứng minh tổng quát. Những người cũng có cống hiến quan trọng: [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]; [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] với cuốn ''[[Vorlesungen über Zahlentheorie]]'' kinh điển; [[Jacobi]], người đã đưa ra [[ký hiệu Jacobi]]; [[Liouville]], [[Zeller]] (?), [[Eisenstein]], [[Kummer]], và [[Leopold Kronecker|Kronecker]]. Lý thuyết này đã được mở rộng để bao gồm [[Luật tương hỗ bậc hai|biquadratic reciprocity]] (Gauss, Jacobi những người đầu tiên chứng minh luật [[tương hỗ bậc ba]], và Kummer).

Gauss cũng đã đưa ra biểu diễn các số thành các [[Dạng toàn phương|dạng bậc hai]] cơ số hai.

=== Lý thuyết số về số nguyên tố ===
Một chủ đề lớn và lặp đi lặp lại trong lý thuyết số đó là nghiên cứu về sự phân bố số nguyên tố. [[Gauß|Carl Fiedrich Gauss]] đã dự đoán kết quả của [[định lý số nguyên tố]] khi còn là học sinh trung học.

Chebyshev (1850) đưa ra các chặn cho số số nguyên tố giữa hai giới hạn cho trước. Riemann giới thiệu [[giải tích phức]] thành lý thuyết về [[hàm zeta Riemann]]. Điều này đã dẫn đến mối quan hệ giữa các số không của hàm zeta và sự phân bố số nguyên tố, thậm chí dẫn tới một chứng minh cho định lý số về số nguyên tố độc lập với [[Hadamard]] và [[de la Vallée Poussin]] vào năm [[1896]]. Tuy nhiên, một chứng minh sơ cấp đã được đưa ra sau đó bởi [[Paul Erdős]] và [[Atle Selberg]] vào năm [[1949]]. Ở đây sơ cấp nghĩa là không sử dụng kĩ thuật giải tích phức; tuy nhiên chứng minh vẫn rất đặc biệt và rất khó. [[Giả thuyết Riemann]], đưa ra những thông tin chính xác hơn, vẫn còn là một câu hỏi mở.

=== Các thành tựu trong thế kỉ 19 ===

[[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]], [[Pointsot]] ([[1845]]), [[Lebesgue]] ([[1859]], 1868) và đặc biệt là [[Hermite]] đã có những cống hiến đối với lĩnh vực này. Trong lý thuyết về các ternary form Eisenstein đã trở thành người đi đầu, và với ông và [[H. J. S. Smith]] đó đúng là một bước tiến quan trọng trong lý thuyết về các dạng. Smith đã đưa ra một sự phân loại hoàn chỉnh về các ternary form bậc hai, và mở rộng những nghiên cứu của Gauss về các dạng bậc hai thực (real quadratic form) thành các dạng phức (complex form). Những nghiên cứu về biểu diễn các số thành tổng của 4, 5, 6, 6, 8 bình phương đã được phát triển bởi Eisenstein và lý thuyết này đã được hoàn chỉnh bởi Smith.

Dirichlet là người đầu tiên thuyết trình về lĩnh vực này ở một trường đại học ở Đức. Một trong những cống hiến của ông là sự mở rộng của [[Định lý lớn Fermat]]:

:<math>x^n + y^n \neq z^n, (x, y, z \neq 0, n>2)</math>

mà Euler và Legendre đã chứng minh cho ''n = 3, 4'' (và từ đó suy ra cho các bội của 3 và 4). Dirichlet đã chỉ ra rằng:<math>x^5 + y^5 \neq a z^5</math>. Một số nhà toán học Pháp là [[Borel]], [[Poincaré]], những hồi ký của họ rất lớn và có giá trị; [[Tannery]] và [[Stieltjes]]. Một số người có những cống hiến hàng đầu ở Đức là [[Leopold Kronecker|Kronecker]], [[Kummer]], [[Schering]], [[Bachmann]], và [[Dedekind]]. Ở Austria cuốn ''Vorlesungen über allgemeine Arithmetik'' của [[Stolz]] (1885-86) và ở Anh cuốn Lý thuyết số của [[Mathew]] (Phần I, 1892) là các công trình tổng quát rất có giá trị. [[Genocchi]], [[Sylvester]], và [[J. W. L. Glaisher]] cũng đã có những cống hiến cho lý thuyết này.

=== Các thành tựu trong thế kỉ 20 ===

Những nhà toán học lớn trong lý thuyết số thế kỉ 20 bao gồm [[Paul Erdős]], [[Gerd Faltings]], [[G. H. Hardy]], [[Edmund Landau]], [[John Edensor Littlewood]], [[Srinivasa Ramanujan]] và [[André Weil]].

Các cột mốc trong lý thuyết số thế kỉ 20 bao gồm việc chứng minh [[Định lý lớn Fermat]] bởi [[Andrew Wiles]] vào năm 1994 và chứng minh [[Định lý Taniyama-Shimura|Giả thuyết Taniyama–Shimura]] vào năm 1999

== Danh ngôn ==

* ''Toán học là nữ hoàng của các khoa học và lý thuyết số là nữ hoàng của toán học.'' — [[Gauß|Gauss]]
* ''Chúa sinh ra các số nguyên, và phần việc còn lại là của con người.'' — [[Leopold Kronecker|Kronecker]]
* ''Tôi biết các con số rất đẹp đẽ. Nếu chúng không đẹp, thì chẳng có thứ gì đẹp.''— [[Paul Erdős|Erdős]]

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}
* Đỗ Đức Giáo, Toán Rời rạc, Nhà xuất bản Giáo dục, 2005.
{{refbegin|30em}} <!--Small font-->
* {{chú thích sách
 |last=Apostol
 |first=Tom M.
 |author-link=Tom M. Apostol
 |year=1976
 |title=Introduction to analytic number theory
 |series=Undergraduate texts in mathematics
 |publisher=Springer
 |isbn=978-0-387-90163-3
 |url=http://books.google.co.uk/books?id=Il64dZELHEIC
 }}
* {{chú thích tạp chí
 |last=Apostol
 |first=Tom M.
 |author-link=
 |year=n.d.
 |title=An introduction to the theory of numbers
 |series=(Review of Hardy & Wright.) Mathematical Reviews (MathSciNet) MR0568909
 |publisher=American Mathematical Society
 |isbn=
 |url=http://www.ams.org/mathscinet/
 }} (Subscription needed)
* {{chú thích tạp chí
 |last=Becker
 |first=Oskar
 |year=1936
 |author-link=Oskar Becker
 |author2-link=
 |language=de
 |title=Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente
 |journal=Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik
 |series=Abteilung B:Studien
 |volume=3
 |pages=533&ndash;53
 |location=Berlin
 |publisher=J. Springer Verlag
 |isbn=
 |url=
 }}
* {{chú thích sách
 |last=Boyer
 |first=Carl Benjamin
 |last2=Merzbach
 |first2=Uta C.
 |year=1991
 |author-link=Carl Benjamin Boyer
 |author2-link=
 |title=A History of Mathematics
 |edition=2 |origyear=1968
 |location=New York
 |publisher=Wiley
 |isbn=978-0-471-54397-8
 |url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye
 }} [http://www.archive.org/details/AHistoryOfMathematics 1968 edition] at Google books
* {{chú thích sách
 |last1=Clark
 |first1=Walter Eugene (trans.) <!--|last2=Aryabhata
 |author2-link=Aryabhata-->
 |year=1930
 |title=The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: An ancient Indian work on mathematics and astronomy
 |publisher=University of Chicago Press
 |url=http://www.archive.org/details/The_Aryabhatiya_of_Aryabhata_Clark_1930
 }}
* {{chú thích sách
 |last=Colebrooke
 |first=Henry Thomas
 |year=1817
 |author-link=Henry Thomas Colebrooke
 |title=Algebra, with arithmetic and mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara.
 |location=London
 |publisher=J. Murray
 |url=http://www.archive.org/details/algebrawitharith00brahuoft
 }}
* {{chú thích sách
 |last=Davenport
 |first=Harold
 |author-link=Harold Davenport
 |year=2000
 |last2=Montgomery
 |first2=Hugh L.
 |author2-link=Hugh Montgomery (mathematician)
 |title=Multiplicative number theory
 |edition=3 |series=Graduate texts in mathematics
 |volume=74
 |location=
 |publisher=Springer
 |isbn=978-0-387-95097-6
 |url=
 }}
* {{chú thích tạp chí
 |last=Edwards
 |first=Harold M.
 |author-link=Harold Edwards (mathematician)
 |date=November 1983
 |year=1983
 |title=Euler and quadratic reciprocity
 |url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1983-11_56_5/page/285
 |journal=Mathematics Magazine
 |volume=56
 |issue=5
 |pages=285–291
 |publisher=Mathematical Association of America
 |isbn=
 |jstor=2690368
 |doi=10.2307/2690368}}
* {{chú thích sách
 |last=Edwards
 |first=Harold M.
 |year=2000
 |origyear=1977
 |title=Fermat's Last Theorem: a genetic introduction to algebraic number theory
 |journal=
 |edition=1977 |series=Graduate texts in mathematics
 |volume=50
 |publisher=Springer Verlag
 |isbn=978-0-387-95002-0
 |url=http://books.google.co.uk/books?id=_IxN-5PW8asC
 }}
* {{chú thích sách
 |last=Fermat
 |first=Pierre de
 |year=1679
 |authorlink=Pierre de Fermat
 |language=fr & Latin
 |title=Varia Opera Mathematica
 |location=Toulouse
 |publisher=Joannis Pech
 |url=http://books.google.co.uk/books?id=fvZaAAAAQAAJ
 }}
* {{chú thích tạp chí
 |last=Friberg
 |first=Jöran
 |year=1981
 |date=August 1981
 |author-link=
 |author2-link=
 |title=Methods and traditions of Babylonian mathematics: Plimpton 322, Pythagorean triples and the Babylonian triangle parameter equations
 |journal=Historia Mathematica
 |volume=8
 |issue=3
 |publisher=Elsevier
 |isbn=
 |pages=277–318
 |doi=10.1016/0315-0860(81)90069-0}}
* {{chú thích sách
 |last=von Fritz
 |first=Kurt
 |editor1-last=Christianidis
 |editor1-first=J.
 |year=2004
 |chapter=The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum
 |title=Classics in the History of Greek Mathematics
 |location=Berlin
 |publisher=Kluwer (Springer)
 |isbn=978-1-4020-0081-2
 |url=
 }}
* {{chú thích sách
 |last=Gauss
 |ref={{harvid|Gauss, Disqu. Arith.||}}
 |first=Carl Friedrich
 |last2=Waterhouse
 |first2=William C. (trans.)
 |year=1966
 |author-link=Carl Friedrich Gauss
 |author2-link=
 |title=Disquisitiones Arithmeticae
 |origyear=1801
 |location=
 |publisher=Springer
 |isbn=978-0-387-96254-2
 |url=http://books.google.co.uk/books?id=8LcK_CwzMpQC}}
* {{chú thích web
 |last=Goldfeld
 |first=Dorian M.
 |authorlink=Dorian M. Goldfeld
 |year=2003
 |title=Elementary proof of the prime number theorem: a historical perspective
 |url=http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ErdosSelbergDispute.pdf
 }}
* {{chú thích sách
 |last=Goldstein
 |first=Catherine
 |author-link=
 |last2=Schappacher
 |first2=Norbert
 |author2-link=
 |year=2007
 |editor1-last=Goldstein
 |editor1-first=C.
 |editor2-last=Schappacher
 |editor2-first=N.
 |editor3-last=Schwermer
 |editor3-first=Joachim
 |chapter=A book in search of a discipline
 |title=The Shaping of Arithmetic after Gauss' "Disquisitiones Arithmeticae"
 |location=Berlin & Heidelberg
 |publisher=Springer
 |isbn=978-3-540-20441-1
 |url=http://books.google.co.uk/books?id=IUFTcOsMTysC
 |pages=3–66
 }}
* {{chú thích sách
 |last=Granville
 |first=Andrew
 |author-link=Andrew Granville
 |year=2008
 |editor1-last=Gowers
 |editor1-first=Timothy
 |editor1-link=Timothy Gowers
 |editor2-last=Barrow-Green
 |editor2-first=June
 |editor3-last=Leader
 |editor3-first=Imre
 |editor3-link=Imre Leader
 |chapter=Analytic number theory
 |title=The Princeton Companion to to Mathematics
 |publisher=Princeton University Press
 |isbn=978-0-691-11880-2
 |url=http://books.google.co.uk/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA332
 }}
* {{chú thích sách
 |ref={{harvid|Guthrie|1920}}
 |last2=Guthrie
 |first2=K. S. (trans.)
 |author1-link=Kenneth Sylvan Guthrie
 |year=1920
 |last1=Porphyry
 |first1=
 |author1-link=Porphyry (philosopher)
 |chapter=
 |title=Life of Pythagoras
 |location=Alpine, New Jersey
 |publisher=Platonist Press
 |url=http://www.tertullian.org/fathers/porphyry_life_of_pythagoras_02_text.htm}}
* {{chú thích sách
 |last=Guthrie
 |first=Kenneth Sylvan
 |year=1987
 |author-link=Kenneth Sylvan Guthrie
 |title=The Pythagorean Sourcebook and Library
 |location=Grand Rapids, Michigan
 |publisher=Phanes Press
 |isbn=978-0-933999-51-0
 |url=https://archive.org/details/pythagoreansourc0000guth
 }}
*{{chú thích sách
 | last1=Hardy
 | first1=Godfrey Harold
 | author1-link=G. H. Hardy
 | last2=Wright
 | first2=E. M.
 | title=An introduction to the theory of numbers
 | origyear=1938
 | url=http://books.google.com/books?id=rey9wfSaJ9EC&dq | publisher=[[Oxford University Press]]
 | edition=Sixth
 | isbn=978-0-19-921986-5
 | mr=2445243
 | year=2008
 }}
* {{chú thích sách
 |last=Heath
 |first=Thomas L.
 |year=1921
 |authorlink=Thomas Little Heath
 |title=A History of Greek Mathematics, Volume 1: From Thales to Euclid
 |location=Oxford
 |publisher=Clarendon Press
 |url=http://www.archive.org/details/historyofgreekma01heat
 }}
<!-- Alternative Info - Google limited preview
 |year=1981
 |publisher=Courier Dover Publications
 |url=http://books.google.co.uk/books?id=drnY3Vjix3kC
 |isbn=0-486-24073-8, 9780486240732 -->
* {{chú thích sách
<!--|ref={{harvid|Hopkins|1990| -->
 |last=Hopkins
 |first=J. F. P.
 |editor1-last=Young
 |editor1-first=M. J. L.
 |editor2-last=Latham
 |editor2-first=J. D.
 |editor3-last=Serjeant
 |editor3-first=R. B.
 |year=1990
 |author-link=
 |author2-link=
 |chapter=Geographical and navigational literature
 |title=Religion, learning and science in the `Abbasid period
 |series=The Cambridge history of Arabic literature
 |publisher=Cambridge University Press
 |isbn=978-0-521-32763-3
 }}
* {{chú thích web
 |last=Huffman
 |first=Carl A.
 |editor1-last=Zalta
 |editor1-first=Edward N.
 |date=ngày 8 tháng 8 năm 2011
 |title=Pythagoras
 |work=Stanford Encyclopaedia of Philosophy
 |edition=2011 |url=http://plato.stanford.edu/archives/fall2011/entries/pythagoras/
 |access-date =ngày 7 tháng 2 năm 2012
 }}
* {{chú thích sách
 |last=Iwaniec
 |first=Henryk
 |author-link=Henryk Iwaniec
 |last2=Kowalski
 |first2=Emmanuel
 |author2-link=
 |year=2004
 |title=Analytic number theory
 |series=American Mathematical Society Colloquium Publications
 |volume=53
 |location=Providence, RI|publisher=American Mathematical Society
 |isbn=0-8218-3633-1
 |url=
 }}
* {{chú thích sách
 |ref={{harvid|Jowett|1871}}
 |last2=Jowett
 |first2=Benjamin (trans.)
 |author1-link=Benjamin Jowett
 |year=1871
 |last1=Plato
 |author1-link=Plato
 |title=Theaetetus
 |url=http://classics.mit.edu/Plato/theatu.html}}
* {{chú thích sách
 |last=Lam
 |first=Lay Yong
 |last2=Ang
 |first2=Tian Se
 |year=2004
 |author-link=Lam Lay Yong
 |author2-link=
 |title=Fleeting Footsteps: Tracing the conception of arithmetic and algebra in ancient China
 |edition=revised
 |location=Singapore
 |publisher=World Scientific
 |isbn=978-981-238-696-0
 |url=http://books.google.co.uk/books?id=fGYmpWE5UZgC
 }}
* {{chú thích sách
 |last=Mahoney
 |first=M. S.
 |year=1994
 |author-link=
 |title=The mathematical career of Pierre de Fermat, 1601–1665
 |edition=Reprint, 2nd
 |publisher=Princeton University Press
 |isbn=978-0-691-03666-3
 |url=http://books.google.co.uk/books?id=My19IcewAnoC
 }}
* {{chú thích sách
 |last=Montgomery
 |first=Hugh L.
 |author-link=Hugh Montgomery (mathematician)
 |year=2007
 |last2=Vaughan
 |first2=Robert C.
 |author2-link=Bob Vaughan
 |title=Multiplicative number theory: I, Classical Theory|publisher=Cambridge University Press
 |isbn=978-0-521-84903-6
 |url=http://books.google.co.uk/books?id=nGb1NADRWgcC
 }}
* {{chú thích sách
 |ref={{harvid|Morrow|1992}}
 |last=Morrow
 |first=Glenn Raymond (trans., ed.)
 |year=1992
 |author-link=
 |last2=Proclus
 |author2-link=Proclus
 |title=A commentary on Book 1 of Euclid's Elements
 |publisher=Princeton University Press
 |isbn=978-0-691-02090-7
 |url=http://books.google.co.uk/books?id=JZEHj2fEmqAC&pg=PA52}}
* {{chú thích tạp chí
 |last=Mumford
 |first=David
 |title=Mathematics in India: reviewed by David Mumford
 |journal=Notices of the American Mathematical Society
 |date=March 2010
 |volume=57
 |issue=3
 |page=387
 |issn=1088-9477
 |url=http://www.ams.org/notices/201003/rtx100300385p.pdf
 }}
* {{chú thích sách
 |last=Neugebauer
 |first=Otto E.
 |year=1969
 |author-link=Otto E. Neugebauer
 |title=The exact sciences in antiquity
 |edition=1957 |location=New York
 |publisher=Dover Publications
 |isbn=978-0-486-22332-2
 |url=http://books.google.co.uk/books?id=JVhTtVA2zr8C
 }}
* {{chú thích sách
 |ref={{harvid|Neugebauer & Sachs|1945}}
 |last=Neugebauer
 |first=Otto E.
 |last2=Sachs
 |first2=Abraham Joseph
 |last3=Götze
 |first3= Albrecht
 |year=1945
 |author-link=Otto E. Neugebauer
 |author2-link=Abraham Sachs
 |title=Mathematical cuneiform texts
 |series=American Oriental Series
 |volume=29
 |location=
 |publisher=American Oriental Society etc.
 |isbn=
 |url=}}
* {{chú thích web
 |last=O'Grady
 |first=Patricia
 |year=2004
 |date=September 2004
 |title=Thales of Miletus
 |url=http://www.iep.utm.edu/thales/
 |publisher=The Internet Encyclopaedia of Philosophy
 |access-date =ngày 7 tháng 2 năm 2012}}
* {{chú thích tạp chí
 |ref={{harvid|Pingree|1968}}
 |last=Pingree
 |first=David
 |last2=Ya'qub
 |first2=ibn Tariq
 |author1-link=David Pingree
 |author2-link=Yaʿqūb ibn Ṭāriq
 |year=1968
 |title=The fragments of the works of Ya'qub ibn Tariq
 |journal=Journal of Near Eastern Studies
 |publisher=University of Chicago Press
 |volume=26
 |isbn=
 |url=}}
* {{chú thích tạp chí
 |ref={{harvid|Pingree|1970}}
 |last=Pingree
 |first=D.
 |last2=al-Fazari
 |first2=
 |year=1970
 |author-link=
 |author2-link=al-Fazari
 |title=The fragments of the works of al-Fazari
 |journal=Journal of Near Eastern Studies
 |publisher=University of Chicago Press
 |volume=28
 |isbn=
 |url=}}
*{{chú thích sách
 |last=Plofker
 |first=Kim
 |year=2008
 |title=Mathematics in India
 |publisher=Princeton University Press
 |isbn=978-0-691-12067-6
 }}
* {{chú thích sách
 |editor1-last=Qian
 |editor1-first=Baocong
 |year=1963
 |language=zh
 |title=Suanjing shi shu (Ten mathematical classics)
 |location=Beijing
 |publisher=Zhonghua shuju
 |isbn=
 |url=http://www.scribd.com/doc/53797787/Jigu-Suanjing%E3%80%80%E7%B7%9D%E5%8F%A4%E7%AE%97%E7%B6%93-Qian-Baocong-%E9%8C%A2%E5%AF%B6%E7%90%AE
 }}
* {{chú thích tạp chí
 |last=Rashed
 |first=Roshdi
 |last2=
 |first2=
 |year=1980
 |author-link=
 |author2-link=
 |chapter=
 |title=Ibn al-Haytham el le théorème de Wilson
 |url=https://archive.org/details/sim_archive-for-history-of-exact-sciences_1980_22_4/page/305
 |journal=Archive for History of Exact Sciences
 |volume=22
 |issue=4
 |pages=305–321
 |doi=10.1007/BF00717654
 }}
* {{chú thích tạp chí
 |last=Robson
 |first=Eleanor
 |year=2001
 |title=Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322
 |volume=28
 |journal=Historia Mathematica
 |issue=28
 |pages=167–206
 |location=
 |publisher=Elsevier
 |isbn=
 |doi=10.1006/hmat.2001.2317
 |url=http://www.hps.cam.ac.uk/people/robson/neither-sherlock.pdf
 |access-date = ngày 30 tháng 10 năm 2013 |archive-date = ngày 21 tháng 10 năm 2014 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141021070742/http://www.hps.cam.ac.uk/people/robson/neither-sherlock.pdf
 |url-status=dead
 }}
* {{chú thích sách
 |last=Sachau
 |first=Eduard
 |author-link=Eduard Sachau
 |last2=
 |first2=̄Muḥammad ibn Aḥmad, Bīrūni
 |author2-link= Abū Rayḥān al-Bīrūnī
 |year=1888
 |title=Alberuni's India: An account of the religion, philosophy, literature, geography, chronology, astronomy and astrology of India, Vol. 1
 |location=London
 |publisher=Kegan, Paul, Trench, Trübner & Co.
 |url=http://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/book/lookupname?key=Sachau%2C%20Eduard%2C%201845-1930
 }}
* {{chú thích sách
 |last=Serre
 |first=Jean-Pierre
 |year=1996
 |origyear=1973
 |author-link=Jean-Pierre Serre
 |author2-link=
 |title=A course in arithmetic
 |series=Graduate texts in mathematics
 |volume=7
 |publisher=Springer
 |isbn=978-0-387-90040-7
 |url=
 }}
* {{chú thích sách
 |last=Smith
 |first=D. E.
 |author-link=
 |year=1958
 |title=History of Mathematics, Vol I
 |location=New York
 |publisher=Dover Publications
 |isbn=
 |url=
 }}
* {{chú thích sách
 |ref={{harvid|Tannery|Henry|1891}}
 |last=Tannery
 |first=Paul
 |author1-link=Paul Tannery
 |last2=Henry
 |first2=Charles (eds.)
 |author2-link=Charles Henry (librarian)
 |year=1891
 |last3=Fermat
 |first3=Pierre de
 |author3-link=Pierre de Fermat
 |language=fr & Latin
 |chapter=
 |title=Oeuvres de Fermat
 |series=(4 Vols.)
 |volume=
 |location=Paris
 |publisher=Imprimerie Gauthier-Villars et Fils
 |url=}} [http://www.archive.org/details/oeuvresdefermat01ferm Volume 1] [http://www.archive.org/details/oeuvresdefermat02ferm Volume 2] [http://www.archive.org/details/oeuvresdefermat03ferm Volume 3] [http://www.archive.org/details/oeuvresdefermat04ferm Volume 4 (1912)]
* {{chú thích sách
 |ref={{harvid|Taylor|1818}}
 |last2=Taylor
 |first2=Thomas (trans.)
 |author2-link=Thomas Taylor (neoplatonist)
 |year=1818
 |last1=Iamblichus
 |first1=
 |author1-link=Iamblichus
 |title=Life of Pythagoras or, Pythagoric life
 |location=London
 |publisher=J. M. Watkins
 |isbn=
 |url=http://www.aurumsolis.info/index.php?option=com_phocadownload&view=category&download=1%3Aiamblichus-the-pythagorean-life&id=19%3Awritings-from-the-founders&Itemid=143&lang=en
 |access-date = ngày 30 tháng 10 năm 2013 |archive-date = ngày 21 tháng 7 năm 2011 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110721184914/http://www.aurumsolis.info/index.php?option=com_phocadownload&view=category&download=1%3Aiamblichus-the-pythagorean-life&id=19%3Awritings-from-the-founders&Itemid=143&lang=en
 |url-status=dead
 }} For other editions, see [[Iamblichus#List of editions and translations]]
* {{chú thích sách
 |last=Truesdell
 |first=C. A.
 |author-link=Clifford Truesdell
 |year=1984
 |last2=
 |first2=
 |author2-link=
 |editor1-last=Hewlett
 |editor1-first=John (trans.)
 |editor1-link=
 |chapter=Leonard Euler, supreme geometer
 |title=Leonard Euler, Elements of Algebra
 |series=
 |edition=1840 5th
 |volume=
 |issue=
 |location=New York
 |publisher=Springer-Verlag
 |isbn=978-0-387-96014-2
 |url=http://books.google.co.uk/books?id=mkOhy6v7kIsC
 }} This Google books preview of ''Elements of algebra'' lacks Truesdell's intro, which is reprinted (slightly abridged) in the following book:
* {{chú thích sách
 |last=Truesdell
 |first=C. A.
 |author-link=Clifford Truesdell
 |year=2007
 |last2=
 |first2=
 |author2-link=
 |editor1-last=Dunham
 |editor1-first=William
 |editor1-link=
 |chapter=Leonard Euler, supreme geometer
 |title=The Genius of Euler: reflections on his life and work
 |series=Volume 2 of MAA tercentenary Euler celebration
 |location=New York
 |publisher=Mathematical Association of America
 |isbn=978-0-88385-558-4
 |url=http://books.google.co.uk/books?id=M4-zUnrSxNoC
 }}
* {{chú thích sách
 |last=Varadarajan
 |first=V. S.
 |author-link=
 |year=2006
 |title=Euler through time: a new look at old themes
 |location=
 |publisher=American Mathematical Society
 |isbn=978-0-8218-3580-7
 |url=http://books.google.co.uk/books?id=CYyKTREGYd0C
 }}
* {{chú thích tạp chí
 |last=Vardi
 |first=Ilan
 |title=Archimedes' cattle problem
 |date=April 1998
 |journal=American Mathematical Monthly
 |volume=105
 |issue=4
 |pages=305–319
 |isbn=
 |url=https://www.cs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/Cattle/cattle_vardi.pdf
 |doi=10.2307/2589706}}
* {{chú thích sách
 |ref={{harvid|van der Waerden|1961}}
 |last=van der Waerden
 |first=Bartel L.
 |last2=Dresden
 |first2=Arnold (trans)
 |year=1961
 |author-link=Bartel Leendert van der Waerden
 |author2-link=
 |title=Science Awakening
 |volume=1 or Vol 2
 |location=New York
 |publisher=Oxford University Press
 |isbn=
 |url=}}
<!-- Alternative Google books limited preview
url=http://books.google.co.uk/books?id=S_T6Pt2qZ5YC&
Translated by Peter Huber
Publisher Springer, 1974
ISBN 90-01-93103-0, ISBN 978-90-01-93103-2 -->
* {{chú thích sách
 |last=Weil
 |first=André
 |year=1984
 |author-link=André Weil
 |title=Number theory: an approach through history – from Hammurapi to Legendre|location=Boston
 |publisher=Birkhäuser
 |isbn=978-0-8176-3141-3
 |url=http://books.google.co.uk/books?id=XSV0hDFj3loC
 }}
{{refend}}
{{Citizendium}}

== Liên kết ngoài ==
*[http://www.numbertheory.org/|Number Theory Web]

{{thể loại Commons|Number theory}}
{{Toán}}
{{Khoa học Máy tính}}

[[Thể loại:Lý thuyết số|*]]
[[Thể loại:Toán học rời rạc]]