Xem mã nguồn của Lịch sử toán học

[[Tập tin:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|nhỏ|250px|''Cuốn [[The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing]]'']]
{{Lịch sử khoa học}}
Từ ''[[toán học]]'' có nghĩa là "[[khoa học]], [[tri thức]] hoặc [[học tập]]". Ngày nay, thuật ngữ "toán học" chỉ một bộ phận cụ thể của tri thức - ngành nghiên cứu suy luận về [[lạng|lượng]], [[cấu trúc]], và [[sự thay đổi]]; là [[ngôn ngữ]] của [[vũ trụ]].<ref>{{chú thích web
| url = http://math-computer.adelphi.edu
| title = Mathematics
| access-date = ngày 22 tháng 3 năm 2017 | quote = Mathematics is the art and science of abstraction; it is the systematic study of quantity, structure, space, and change; to paraphrase Newton, it is the language in which the universe is written.
| author = Adelphi University
| publisher = [[Adelphi University]]
| language = Tiếng Anh
}}</ref> Lĩnh vực của ngành học về '''Lịch sử Toán học''' phần lớn là sự nghiên cứu [[nguồn gốc]] của những [[phát minh|khám phá]] mới trong toán học, theo nghĩa hẹp hơn là nghiên cứu các [[phương pháp]] và [[ký hiệu]] toán học chuẩn trong [[quá khứ]].

Trước thời kì hiện đại và sự phổ biến rộng rãi tri thức trên toàn [[thế giới]], các ví dụ trên văn bản của các phát triển mới của toán học chỉ tỏa sáng ở những vùng, miền cụ thể. Các [[văn bản toán học]] cổ nhất từ [[Lưỡng Hà]] cổ đại (Mesopotamia) khoảng [[1900 TCN]] (''[[Plimpton 322]]''), [[Ai Cập cổ đại]] khoảng [[1800 TCN]] (''[[Rhind Mathematical Papyrus]]''), [[Ai Cập cổ đại#Thời kỳ Tân vương quốc (1.590 TCN - 1.078 TCN)|Vương quốc Giữa Ai Cập]] khoảng [[1300 TCN|1300]]-[[1200 TCN]] (''[[Berlin papyrus|Berlin 6619]]'') và [[Lịch sử Ấn Độ#Thời kỳ Vệ Đà|Ấn Độ cổ đại]] khoảng [[800 TCN]] (''[[Shulba Sutras]]''). Tất cả các văn tự này có nhắc đến [[Định lý Pytago|Định lý Pythagore]]; đây có lẽ là phát triển toán học rộng nhất và cổ nhất sau [[số học]] cổ đại và [[hình học]].

Những [[cống hiến]] của [[Hy Lạp cổ đại]] với toán học, nhìn chung được coi là một trong những cống hiến quan trọng nhất, đã phát triển rực rỡ cả về phương pháp và chất liệu chủ đề của toán học.<ref>Sir Thomas L. Heath, ''A Manual of Greek Mathematics'', Dover, 1963, p 1, "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."</ref>

Một đặc điểm đáng chú ý của lịch sử toán học cổ và trung đại là theo sau sự bùng nổ của các phát triển toán học thường là sự ngưng trệ hàng thế kỉ. Bắt đầu vào [[Phục Hưng|Thời kì Phục Hưng]] tại [[Ý]] vào thế kỉ 16, các phát triển toán học mới, tương tác với các phát hiện khoa học mới, đã được thực hiện với [[tốc độ]] ngày càng tăng, và điều này còn tiếp diễn cho tới [[hiện tại]].

== Toán học thời sơ khai ==
=== Nguồn gốc ===
Rất lâu trước những văn tự cổ nhất, đã có những bức vẽ cho thấy một kiến thức về toán học và đo [[thời gian]] dựa trên [[sao|sao trời]]. Ví dụ các [[Cổ sinh vật học|nhà cổ sinh vật học]] đã khám phá ra các mảnh [[đất thổ hoàng]] trong một [[hang|hang động]] ở [[Cộng hòa Nam Phi|Nam Phi]] được trang trí bởi các hình khắc hình học với thời gian khoảng 70.000 TCN.<ref>{{Chú thích web | last = Henahan | first = Sean | year = 2002 | url = http://www.accessexcellence.org/WN/SU/caveart.html | title = Art Prehistory | work = Science Updates | publisher = The National Health Museum | access-date = ngày 6 tháng 5 năm 2006}}</ref> Cũng các [[di khảo]] [[thời tiền sử|tiền sử]] được tìm thấy ở châu Phi và [[Pháp]], thời gian khoảng giữa 35000 TCN và 20000 TCN,<ref name="OMO"/> cho thấy các cố gắng sơ khai nhằm [[định lượng]] thời gian.<ref>{{Chú thích thông cáo báo chí
| publisher = Dirk HUYLEBROUCK| date = 2006
| url = http://etopia.sintlucas.be/3.14/Ishango_meeting/Mathematics_Africa.pdf
| title = Mathematics in (central) Africa before colonization
| access-date = ngày 24 tháng 10 năm 2011 | archive-date = ngày 7 tháng 2 năm 2012 | archive-url = https://web.archive.org/web/20120207040200/http://etopia.sintlucas.be/3.14/Ishango_meeting/Mathematics_Africa.pdf
|url-status=dead
}}</ref>

Các [[bằng chứng]] còn tồn tại cho thấy việc đếm thời sơ khai chủ yếu là do phụ nữ, những người giữ các vật đánh dấu [[chu kì sinh học]] hàng tháng; ví dụ hai mươi tám, hai mươi chín, hoặc ba mươi vạch trên [[xương]] hoặc hòn đá, theo sau là một vạch cách biệt khác. Hơn nữa, các [[thợ săn]] đã có khái niệm về ''một'', ''hai'' và ''nhiều'' cũng như ''không'' khi xem xét số bầy [[Lớp Thú|thú]].<ref>{{Chú thích web | last = Kellermeier | first = John | year = 2003 | url = http://www.tacomacc.edu/home/jkellerm/Papers/Menses/Menses.htm | title = How Menstruation Created Mathematics | work = Ethnomathematics | publisher = Tacoma Community College | access-date = ngày 6 tháng 5 năm 2006 | archiveurl = https://web.archive.org/web/20051223112514/http://www.tacomacc.edu/home/jkellerm/Papers/Menses/Menses.htm | archive-date = ngày 23 tháng 12 năm 2005 |url-status=live }}</ref><ref>{{Chú thích web | last = Williams | first = Scott W. | year = 2005 | url = http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/lebombo.html | title = The Oledet Mathematical Object is in Swaziland | work = MATHEMATICIANS OF THE AFRICAN DIASPORA | publisher = SUNY Buffalo mathematics department | access-date = ngày 6 tháng 5 năm 2006}}</ref>
[[Tập tin:Os d'Ishango IRSNB.JPG|nhỏ|220px|Xương Ishango.<br /><small>{{thể loại Commons-inline|Ishango bone|Xương Ishango}}</small>]]
[[Xương Ishango]] được tìm thấy ở [[thượng nguồn]] [[sông Nin|sông Nil]] (phía bắc [[Cộng hòa Dân chủ Congo]]), thuộc thời kì [[Thời đại đồ đá cũ|20.000 TCN]]. [[Bản dịch]] thông dụng nhất của hòn đá cho ta thấy nó là bằng chứng sớm nhất<ref name="OMO">{{Chú thích web | last = Williams | first = Scott W. | year = 2005 | url = http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/ishango.html | title = An Old Mathematical Object | work = MATHEMATICIANS OF THE AFRICAN DIASPORA | publisher = SUNY Buffalo mathematics department | access-date = ngày 6 tháng 5 năm 2006}}</ref> thể hiện một [[dãy]] các [[số nguyên tố]] và [[phép nhân Ai Cập cổ đại]]. Người Ai Cập vào thiên niên kỉ thứ 5 TCN đã vẽ các bức tranh về thiết kế hình học và không gian. Người ta đã khẳng định các hòn đá tế thần ở [[Anh]] và [[Scotland]] từ thiên niên kỉ thứ 3 TCN, bao gồm cả các ý tưởng hình học như [[hình tròn]], [[elíp|hình elíp]] và [[bộ ba số Pythagore|bộ ba Pythagore]] trong thiết kế của nó<ref>Thom, Alexander and Archie Thom, "The metrology and geometry of Megalithic Man", pp 132-151 in C.L.N. Ruggles, ed., ''Records in Stone: Papers in memory of Alexander Thom'', (Cambridge: Cambridge Univ. Pr., 1988) ISBN 0-521-33381-4</ref>.

Nền toán học sớm nhất từng biết trong [[lịch sử Ấn Độ|Ấn Độ cổ đại]] nằm vào khoảng [[3000 TCN]] - [[2600 TCN]] ở [[Văn minh lưu vực sông Ấn|nền văn minh thung lũng Indus]] ([[văn minh lưu vực sông Ấn|nền văn minh Harappan]]) của [[Bắc Ấn Độ]] và [[Pakistan]], đã phát triển một hệ thống [[các đơn vị đo Thung lũng Indus cổ đại]] sử dụng hệ [[cơ số 10]], một công nghệ [[Gạch nung|gạch]] đáng ngạc nhiên sử dụng các [[tỉ lệ]], các đường đi được đặt trên một [[góc vuông]] hoàn hảo, và một số các hình hình học và thiết kế, bao gồm [[hình hộp chữ nhật]], [[thùng phi]], [[hình nón]], [[hình trụ]] và các bức vẽ các [[hình tròn]] và [[tam giác|hình tam giác]] cắt nhau và đồng qui. Các dụng cụ toán học tìm được bao gồm một thước đo cơ số 10 với độ chia nhỏ và chính xác, một dụng cụ vỏ sò hoạt động như một chiếc [[com pa]] để đo góc trên mặt phẳng hoặc theo các bội của 40-360 độ, một dụng cụ vỏ sò để đo 8-12 phần của đường chân trời và bầu trời, và một dụng cụ để đo vị trí của các sao nhằm mục đích định hướng. Bản viết tay Indus vẫn chưa được giải nghĩa; do đó ta biết được rất ít về các dạng viết của toán học Harappan. Các bằng chứng khảo cổ đã làm các nhà sử học tin rằng nền văn minh này đã sử dụng [[hệ đếm]] [[Hệ bát phân|cơ số 8]] và đạt được các kiến thức về tỉ lệ giữa [[chu vi]] của đường tròn đối với [[bán kính]] của nó, do đó tính được số [[Pi|π]].<ref>{{Chú thích web | last = Pearce | first = Ian G. | year = 2002 | url = http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Miscellaneous/Pearce/Lectures/Ch3.html | title = Early Indian culture - Indus civilisation | work = Indian Mathematics: Redressing the balance | publisher = School of Mathematical and Computational Sciences University of St Andrews | access-date = ngày 6 tháng 5 năm 2006 | archive-date = ngày 28 tháng 12 năm 2008 | archive-url = https://web.archive.org/web/20081228060907/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Miscellaneous/Pearce/Lectures/Ch3.html |url-status=dead }}</ref>

=== Toán học của người Maya ===
[[Tập tin:Maya.svg|nhỏ|180px|Chữ số của người Maya, có số 0]]
Cùng phát triển với các nền văn minh Trung Mỹ khác, người Maya sử dụng hệ đếm [[hệ nhị thập phân|nhị thập phân]] (''vigesimal'') và [[hệ ngũ phân]] (xem [[chữ số Maya]]). Hệ ngũ phân trên cơ sở so sánh với số ngón tay của một bàn tay, còn nhị thập phân là toàn bộ số ngón tay và ngón chân. Trong [[tiếng Quiche]], từ chỉ số 20 là ''huvinak'', có nghĩa là "toàn thân". Ngoài ra, người Maya đã phát triển khái niệm "[[0 (số)|số 0]]" vào năm [[357]], sớm hơn châu Âu khoảng gần 900 năm. Văn bản cổ cho thấy, những người Maya, có nhu cầu công việc cộng vào hàng trăm triệu và số ngày lớn đòi hỏi phải có phương cách chính xác để thực hiện chúng. Kết quả tính toán về [[thiên văn học]] theo một không gian và thời gian dài là cực kỳ chính xác; bản đồ về sự vận động của [[Mặt Trăng]] và các [[hành tinh]] là ngang bằng hoặc vượt xa các văn minh khác quan sát vũ trụ bằng mắt thường.
{{xem thêm|Lịch Maya}}
[[Tập tin:MayanCalendar.png|trái|nhỏ|Lịch Maya]]
Người Maya xác định chính xác độ dài của một năm gồm 365 ngày, thời gian [[Trái Đất]] quay hết một vòng quanh [[Mặt Trời]], chính xác hơn rất nhiều lịch được châu Âu sử dụng vào thời đó ([[lịch Gregory]]). Có giả thiết cho rằng người Maya đã kế thừa cách tính lịch từ các nền văn minh cổ Zapotecs (ở Mont Alban) và Olmecs (ở La venta và Tres Zapotes). Tuy thế, người Maya lại không sử dụng độ dài tính toán thời gian một năm vào lịch của họ. Người Maya sử dụng lịch (gọi là [[lịch Maya]]) trên cơ sở năm Mặt Trời với 365 ngày. Một năm Mặt Trời được chia thành 18 tháng, mỗi tháng có 20 ngày (dùng hệ đếm cơ số 20), năm ngày còn lại được đưa vào cuối năm. Các ngày trong tháng được ghi bằng số thứ tự từ 0 đến 19 trước tên tháng (0 đến 4 cho tháng thiếu, cuối năm có 5 ngày). Theo lịch này, các năm nối tiếp nhau không ngừng, không có năm nhuận. Như vậy kết quả là lịch sẽ bị sai lệch lùi về một ngày trong vòng 4 năm. Khi so sánh với [[lịch Julius]], dùng ở châu Âu từ thời [[Đế quốc La Mã]] cho đến tận [[thế kỷ 16]], thì độ sai số cho một ngày là mỗi 128 năm; với lịch Gregory hiện đại, thì sai số sấp xỉ một ngày mỗi 3.257 năm.

'''Lịch của thầy bói'''

Ngày xưa, những [[thổ dân châu Mỹ|người da đỏ]] [[Quiche]], [[Ixil]] và [[Mam]] vẫn dùng lịch Maya truyền thống với một năm có 260 ngày để dự đoán tương lai. Để giải thích vì sao bộ lịch lại gồm 260 ngày, người ta đã phỏng vấn nhiều thầy bói ở [[Chichicastenango]] và [[Momstenango]] và phát hiện ra rằng: Việc chọn độ dài của năm này không phải do ngẫu nhiên mà là do phù hợp với thời gian mang thai của [[loài người|con người]]. Hệ đếm 20 cho phép chia một năm 260 ngày thành 13 tháng, mỗi tháng 20 ngày, kết hợp với một trong 20 tên gọi các con vật, các lực lượng tự nhiên, các quan niệm hay khái niệm mà ý nghĩa không còn lưu truyền đến ngày nay.
{{-}}

== Cận Đông cổ đại ==

=== Lưỡng Hà ===
{{Chính|Toán học Babylon}}
[[Tập tin:Ybc7289-bw.jpg|nhỏ|Bảng tính vạch trên đất sét YBC 7289 với chú giải chữ số hiện đại]]
[[Tập tin:YBC 7289 sketch.svg|nhỏ]]
Toán học [[Babylon]] là ám chỉ bất kì nền toán học nào thuộc về cư dân [[Lưỡng Hà]] ([[Iraq]] ngày nay) từ buổi đầu [[Sumer]] cho đến đầu [[thời kì Hy Lạp hóa]]. Nó được đặt tên là toán học Babylon là do vai trò trung tâm của Babylon là nơi nghiên cứu, nơi đã không còn tồn tại sau thời kì Hy Lạp hóa. Các nhà toán học Babylon đã trộn với các nhà toán học Hy Lạp để phát triển [[toán học Hy Lạp]]. Sau đó dưới [[Đế chế Arab]], Iraq/Lưỡng Hà, đặc biệt là [[Bagdad|Baghdad]], một lần nữa trở thành trung tâm nghiên cứu quan trọng cho [[toán học Hồi giáo]].

Đối lập với sự thiếu thốn nguồn tài liệu của toán học Hy Lạp, sự hiểu biết về toán học Babylon của chúng ta là từ hơn 400 miếng đất sét khai quật được từ những năm 1850. Viết bằng [[ký tự Cuneiform]], các miếng đất sét này được viết trong khi đất sét còn ẩm, và được nung cứng trong lò hoặc bằng nhiệt từ [[Mặt Trời]]. Một số trong đó có vẻ là bài tập về nhà.

Bằng chứng sớm nhất về các văn tự toán học là từ thời những người [[Sumer]] cổ đại, những người đã xây nên nền văn minh sớm nhất ở Lưỡng Hà. Họ đã phát triển một hệ [[đo lường]] phức tạp từ 3000 TCN. Khoảng 2500 TCN trở về trước, người Sumer đã viết những [[bảng nhân]] trên đất sét và giải các bài tập hình học và các bài toán [[Phép chia|chia]]. Dấu vết sớm nhất của hệ ghi số Babylon cũng là trong khoảng thời gian này.<ref>Duncan J. Melville (2003). [http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/3Mill/chronology.html Third Millennium Chronology] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180707213616/http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/3Mill/chronology.html |date=2018-07-07 }}, ''Third Millennium Mathematics''. [[St. Lawrence University]].</ref>

Một lượng lớn các tấm đất sét đã được phục hồi là vào khoảng 1800 TCN tới 1600 TCN, và bao gồm các chủ đề về [[phân số]], [[đại số]], [[phương trình bậc ba]] và [[phương trình bậc bốn|bậc bốn]], các tính toán về các [[bộ ba số Pythagore|bộ ba Pythagore]] (xem [[Plimpton 322]]).<ref>{{Chú thích sách | last = Aaboe | first = Asger | title = Episodes from the Early History of Mathematics | year = 1998 | publisher = Random House | location = New York | pages = 30-31}}</ref> Các tấm này cũng bao gồm cả bảng nhân, bảng [[lượng giác]] và các phương pháp giải [[phương trình tuyến tính]] và [[phương trình bậc hai]]. Tấm đất sét YBC 7289 đã đưa ra một xấp xỉ của số √2 chính xác tới năm chữ số thập phân.

Toán học Babylon được viết bằng [[hệ cơ số 60]]. Do việc này mà ngày nay ta sử dụng 60 giây trong một phút, 60 phút trong một giờ và 360 (60 × 6) [[độ (góc)|độ]] trong một vòng tròn. Các tiến bộ của người Babylon trong toán học phát triển dễ dàng bởi số 60 có rất nhiều [[ước số]]. Cũng vậy, không giống người Ai Cập, Hy Lạp và La Mã, người Babylon có một hệ ghi số với cách viết số chia theo hàng, trong đó các chữ số viết ở cột bên trái thể hiện giá trị lớn hơn, giống như [[hệ thập phân]]. Thế nhưng họ lại thiếu một ký hiệu tương đương của [[dấu thập phân]], và do đó hàng trong cách viết số thường được suy ra từ ngữ cảnh.

=== Ai Cập ===
{{Chính|Toán học Ai Cập cổ đại}}
[[Tập tin:Moskou-papyrus.jpg|nhỏ|Giấy cói Moskva]]
[[Tập tin:Egyptian A'h-mosè or Rhind Papyrus (1065x1330).png|nhỏ|Giấy cọ Rhind]]
Toán học Ai Cập là ám chỉ toán học được viết dưới [[tiếng Ả Rập|tiếng Ai Cập]].

Toán học [[Ai Cập cổ đại]] được đánh dấu bởi nhân vật truyền thuyết [[Thoth]], người được coi là đã đặt ra [[mẫu tự Ai Cập]], hệ thống [[chữ số]], toán học và [[thiên văn học]], là vị thần của [[thời gian]].

Từ [[thời kì Hy Lạp hóa]], [[tiếng Hy Lạp]] đã thay thế tiếng Ai Cập trong ngôn ngữ viết của các nhà học giả [[Ai Cập]], và từ thời điểm này, toán học Ai Cập hợp nhất với toán học Hy Lạp và Babylon để phát triển toán học Hy Lạp. Nghiên cứu toán học ở Ai Cập sau đó được tiếp tục dưới [[Đế chế Arab]] như là một phần của [[toán học Hồi giáo Trung Cổ]], khi [[tiếng Ả Rập]] trở thành ngôn ngữ viết của các nhà học giả Ai Cập.

Văn tự toán học cổ nhất tìm được cho tới nay là [[giấy cói Moskva]], một văn tự bằng giấy cói của [[Vương quốc giữa Ai Cập]] vào khoảng 2000—1800 mà ngày nay ta gọi là "bài toán chữ", rõ ràng là chỉ để giải trí. Một bài toán được coi là quan trọng ở mức nói riêng bởi nó đưa ra phương pháp tìm thể tích của một [[hình cụt]]: "Nếu bạn biết: một hình chóp cụt có chiều cao 6, diện tích đáy lớn 4, diện tích đáy nhỏ 2. Bạn sẽ bình phương số 4 này, được 16. Bạn sẽ nhân đôi 4, được 8. Bạn sẽ bình phương 2, được 4. Bạn sẽ cộng 16, 8, và 4 được 28. Bạn sẽ lấy một phần ba của 6, được 2. Bạn nhân 28 với 2 được 56. Và 56 là số bạn cần tìm."
{|
|-
|[[Tập tin:Eratosthenes.jpg|nhỏ|180px|Eratosthenes]] || [[Tập tin:Animation Sieb des Eratosthenes (vi).gif|nhỏ|300px|Sàng Eratosthenes lọc [[số nguyên tố]]]]
|}
[[Giấy cọ Rhind]] (khoảng 1650 TCN) là một văn bản toán học Ai Cập quan trọng khác, một hướng dẫn trong số học và hình học. Cùng với việc đưa ra các công thức diện tích và phương pháp nhân, chia và làm việc với phân số đơn vị, nó cũng chứa các bằng chứng về các kiến thức toán học khác (xem [<!--http://mathpages.com/home/rhind.htm-->http://www.mathpages.com/home/kmath340/kmath340.htm Egyptian Unit Fractions]) bao gồm [[hợp số]] và [[số nguyên tố]]; [[trung bình cộng]], [[trung bình nhân]] và [[trung bình điều hòa]]; và hiểu biết sơ bộ về [[sàng Eratosthenes]] và [[số hoàn thiện|số hoàn hảo]]. Nó cũng chỉ ra cách giải [[phương trình tuyến tính]] bậc một cũng như [[cấp số cộng]] và [[cấp số nhân]].

Cũng vậy, ba thành phần hình học có trong giấy cọ Rhind nói đến những kiến thức đơn giản nhất của [[hình học giải tích]]: (1) Đầu tiên và quan trọng nhất, làm thế nào để xấp xỉ số π chính xác tới dưới một phần trăm; (2) thứ hai, một cố gắng cổ đại trong việc [[cầu phương hình tròn]]; (3) và thứ ba, sự sử dụng sớm nhất từng biết về [[lượng giác]].

Cuối cùng, [[giấy cọ Berlin]] cũng cho thấy người Ai Cập cổ đại có thể giải [[phương trình đại số]] bậc hai.

== Toán học Hy Lạp và Hy Lạp hóa cổ đại (khoảng 550 TCN-300) ==
{{Chính|Toán học Hy Lạp}}
Toán học Hy Lạp là ám chỉ toán học được viết bằng [[tiếng Hy Lạp]] khoảng giữa 600 TCN và 450.<ref>Howard Eves, ''An Introduction to the History of Mathematics'', Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0</ref> Các nhà toán học Hy Lạp sống ở các thành phố rải rác trên toàn bộ [[Địa Trung Hải]], từ Ý tới Bắc Phi, nhưng lại thống nhất về văn hóa và ngôn ngữ. Toán học Hy Lạp đôi khi được gọi là toán học Hellenistic (Hy Lạp hóa).

Toán học Hy Lạp đã trở nên phức tạp hơn rất nhiều so với các nền văn hóa trước đó. Tất cả các ghi chép còn tồn tại của các nền toán học tiền Hy Lạp đều cho thấy việc sử dụng suy luận quy nạp, nghĩa là, các quan sát liên tục được sử dụng để lập nên các phép đo dựa trên kinh nghiệm. Người Hy Lạp sử dụng lý luận logic để đạt được các kết luận từ các định nghĩa và tiên đề<ref>Martin Bernal, "Animadversions on the Origins of Western Science", pp. 72-83 in Michael H. Shank, ed., ''The Scientific Enterprise in Antiquity and the Middle Ages'', (Chicago: Nhà in Đại học Chicago) 2000, về các chứng minh toán học xem trang 75.</ref>.
{{multiple image
 | footer = Thales và [[định lý Thales]]-cơ sở cho phép đo hình học và [[:Thể loại:Hình học mêtric|toán học mêtric]]: <br /><math>\textstyle \frac{DE}{BC} = \frac{AE}{AC } = \frac{AD}{AB}</math>
 | image1 = Thales.jpg
 | width1 = 154
 | image2 = Thales theorem 1.png
 | width2 = 200
}}
Toán học Hy Lạp dường như bắt đầu với [[Thales]] (khoảng 624 - khoảng 546 TCN) và [[Pythagoras]] (khoảng 582 - khoảng 507 TCN). Mặc dù tầm ảnh hưởng không còn, họ có thể vẫn phát triển ý tưởng từ [[toán học Ai Cập]], [[toán học Babylon|Babylon]], và có thể cả [[toán học Ấn Độ|Ấn Độ]]. Theo truyền thuyết, Pythagoras đã chu du tới Ai Cập để học toán học, hình học, và thiên văn từ các đạo sĩ Ai Cập.

Thales đã sử dụng [[hình học]] để giải các bài toán như là tính chiều cao của các hình chóp và khoảng cách từ các tàu tới bờ biển. Pythagoras được coi là người đầu tiên đưa ra chứng minh cho [[định lý Pytago|định lý Pythagore]], mặc dù phát biểu của định lý đã đi qua một chặng đường lịch sử dài. Trong lời bình luận về [[Euclid]], [[Proclus]] phát biểu rằng Pythagoras đã diễn đạt định lý mang tên ông và dựng nên [[bộ ba số Pythagore|bộ ba Pythagore]] một cách đại số hơn là hình học. [[Trường học]] của [[Platon|Plato]] có câu khẩu hiệu: "Không để những thứ nông cạn trong hình học vào đây."

[[Học thuyết Pythagoras]] đã khám phá ra sự tồn tại của các số hữu tỉ. [[Eudoxus]] (408 - khoảng 355 TCN) đã phát minh ra [[phương pháp vét cạn]], tiền thân của khái niệm hiện đại [[tích phân]]. [[Aristoteles|Aristotle]] (384 - khoảng 322 TCN) đã lần đầu viết ra các luật về [[logic]]. Euclid (khoảng 300 TCN) là ví dụ sớm nhất của một khuôn mẫu mà vẫn còn được sử dụng cho đến ngày nay, định nghĩa, tiên đề, định lý, chứng minh. Ông cũng nghiên cứu về [[các đường conic]]. Cuốn sách của ông, ''Cơ bản'', được tất cả những người có học biết đến ở phương Tây cho đến giữa thế kỉ 20.<ref>Howard Eves, ''An Introduction to the History of Mathematics'', Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0 p. 141 "No work, except [[The Bible]], has been more widely used...."</ref> Thêm vào các định lý quen thuộc của hình học, như [[định lý Pytago|định lý Pythagore]], ''Cơ bản'' còn có cả chứng minh rằng căn bậc hai của hai là số vô tỉ và có vô hạn [[số nguyên tố]]. [[Sàng Eratosthenes]] (khoảng 230 TCN) đã được sử dụng để tìm các số nguyên tố. Với người Hy Lạp, toán học đã vượt lên cả việc ghi chép. Những nhà toán học có tên tuổi tới nay đã để lại những định lý, tiên đề có giá trị khái quát cao trong cuộc sống và đặc biệt đối với lĩnh vực toán học

Một số người nói rằng người vĩ đại nhất trong các nhà toán học Hy Lạp, nếu không muốn nói là mọi thời đại, là [[Archimedes|Archimedes xứ Syracuse]] ([[287 TCN|287]]—[[212 TCN]]) xứ [[Syracuse, Ý|Syracuse]]{{fact}}. Theo như [[Plutarchus|Lucius Mestrius Plutarchus]], ở tuổi 75, trong khi đang vẽ các công thức toán học ở trên cát, ông đã bị một tên lính La Mã dùng giáo đâm chết. Roma cổ đại để lại ít bằng chứng về sự quan tâm vào [[toán học lý thuyết]].

== Toán học Ấn Độ cổ đại (khoảng 1500 TCN-200 CN) ==
{{Chính|Toán học Ấn Độ}}
Toán học Vệ Đà bắt đầu vào đầu thời kì Đồ Sắt, với ''[[Shatapatha Brahmana]]'' (khoảng thế kỉ 9 TCN), trong đó có xấp xỉ số [[pi|π]] chính xác tới 2 chữ số thập phân<ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch4_1.html Indian Mathematics: Redressing the balance - 4: Mathematics in the service of religion: I. Vedas and Vedangas] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090426035326/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch4_1.html |date=2009-04-26 }} Ian G Pearce</ref> và [[Sulba Sutras]] (khoảng 800-500 TCN) là các văn bản [[hình học]] sử dụng [[số vô tỉ]], [[số nguyên tố]], [[luật ba]], và [[căn bậc ba]]; tính [[căn bậc hai]] của 2 tới năm chữ số thập phân; đưa ra phương pháp [[cầu phương hình tròn]], giải [[phương trình tuyến tính]] và [[phương trình bậc hai]]; phát triển [[bộ ba số Pythagore|bộ ba Pythagore]] theo phương pháp đại số, phát biểu và nêu chứng minh cho [[Định lý Pytago|Định lý Pythagore]].

{{Unicode|[[Pāṇini]]}} (khoảng thế kỉ 5 TCN) đã lập công thức cho [[ngữ pháp tiếng Phạn|ngữ pháp]] của [[tiếng Phạn]]. Ký hiệu của ông tương tự với ký hiệu toán học, và sử dụng các ngôn luật, các [[phép biến đổi]], [[đệ quy]] với độ phức tạp đến mức ngữ pháp của ông có sức mạnh [[tính toán]] ngang với [[máy Turing]]. Công trình của Panini cũng đi trước cả lý thuyết hiện đại [[ngữ pháp hình thức]] (''formal grammar'') (có vai trò quan trọng trong điện toán), trong khi [[dạng Panini-Backus]] được sử dụng bởi những [[ngôn ngữ lập trình]] hiện đại nhất lại rất giống với luật ngữ pháp của Panini. [[Pingala]] (khoảng thế kỉ thứ 3 đến thứ nhất TCN) trong bản luận thuyết của mình về [[thi pháp]] đã sử dụng một phương pháp ứng với [[hệ nhị phân]]. Thảo luận của ông về [[tổ hợp (toán học)|tổ hợp]] của các [[phách]], tương ứng với [[định lý nhị thức]]. Công trình của Pingala cũng chứa các ý tưởng cơ bản của các [[dãy Fibonacci|số Fibonacci]] (được gọi là ''mātrāmeru''). Văn bản [[Brāhmī]] được phát triển ít nhất từ thời [[triều Maurya]] vào [[thế kỉ 4 TCN]], với những bằng chứng khảo cổ học cho thấy nó xuất hiện vào khoảng [[600 TCN]]. [[Chữ số Brahmi]] ở vào khoảng thế kỉ 3 TCN.

Giữa năm [[400 TCN]] và [[200 CN]], [[Toán học Ấn Độ|các nhà toán học Jaina]] bắt đầu nghiên cứu toán học với mục đích duy nhất cho toán học. Họ là những người đầu tiên phát triển [[transfinite number]], [[lý thuyết tập hợp]], [[lôgarit|logarit]], các định luật cơ bản của [[lũy thừa]], [[phương trình bậc ba]], [[phương trình bậc bốn]], [[dãy số thực|dãy số]] và dãy cấp số, [[hoán vị]] và [[tổ hợp (toán học)|tổ hợp]], bình phương và lấy xấp xỉ [[căn bậc hai]], và [[hàm mũ]] hữu hạn và [[vô tận|vô hạn]]. ''Bản thảo Bakshali'' được viết giữa [[200 TCN]] và 200 bao gồm cách giải hệ phương trình tuyến tính tới năm ẩn, nghiệm phương trình bậc hai, cấp số cộng và cấp số nhân, dãy phức hợp, phương trình vô định bậc hai, [[phương trình không mẫu mực]], và sự sử dụng [[0 (số)|số 0]] và [[số âm]]. Các tính toán chính xác cho số vô tỉ đã được tìm ra, bao gồm tính căn bậc hai của các số tới bao nhiêu chữ số sau dấu phẩy tùy thích (từ 11 chữ số trở lên).

== Toán học Trung Hoa cổ đại (khoảng 1300 TCN-200 CN) ==
[[Tập tin:九章算術.gif|nhỏ|200px|phải|''Cửu chương toán thuật'']]
{{Chính|Toán học Trung Hoa}}
Bắt đầu từ thời [[nhà Thương]] ([[1600 TCN]]— [[1046 TCN]]), toán học Trung Quốc sớm nhất còn tồn tại bao gồm các số được khắc trên mai rùa.<ref>[https://web.archive.org/web/19980130014115/http://www.saxakali.com/COLOR_ASP/chinamh1.htm Development of Mathematics in Ancient China] bản lưu 30/1/1998</ref><ref>[https://web.archive.org/web/20060826203033/http://www.chinaculture.org/gb/en_madeinchina/2005-08/18/content_71974.htm The use of the decimal system] Jeff</ref>  Các số này sử dụng hệ cơ số 10, vì vậy số 123 được viết (từ trên xuống dưới) bằng một ký hiệu cho số 1 rồi đến một ký hiệu hàng trăm, sau đó là ký hiệu cho số 2 rồi đến ký hiệu hàng chục, sau đó là số 3. Đây là hệ cơ số tiến bộ nhất trên thế giới vào thời điểm đó và cho phép tính toán được thực hiện bởi [[bàn tính]]. Thời điểm phát minh ra bàn tính không rõ, nhưng tài liệu cổ nhất vào [[190]] trong ''Lưu ý về the Art of Figures'' viết bởi Xu Yue. Bàn tính có thể đã được sử dụng trước thời điểm này.

Ở [[Trung Quốc]], vào [[212 TCN]], vua [[Tần Thủy Hoàng]] đã ra lệnh đốt tất cả sách trong nước. Cho dù lệnh này không được tuân thủ hoàn toàn, nhưng ta vẫn biết rất ít về toán học Trung Hoa cổ đại.

Từ [[nhà Chu|triều Tây Chu]] (từ 1046), công trình toán học cổ nhất còn tồn tại sau cuộc đốt sách là [[Kinh Dịch]], trong đó sử dụng 64 [[Kinh Dịch|quẻ]] 6 [[Kinh Dịch|hào]] cho mục đích triết học hay tâm linh. Các hào là các bộ hình vẽ gồm các đường gạch đậm liền hoặc đứt nét, đại diện cho dương và âm.

Sau cuộc đốt sách, [[nhà Hán]] ([[202 TCN]]) - [[220]] đã lập các công trình về toán học có thể là phát triển dựa trên các công trình mà hiện nay đã mất. Phần quan trọng nhất trong số đó là ''[[Cửu chương toán thuật]]'', tiêu đề của nó xuất hiện trước [[179 CN]], nhưng là nằm trong các tiêu đề khác tồn tại trước đó. Nó bao gồm 264 bài toán chữ, chủ yếu là nông nghiệp, thương nghiệp, áp dụng của hình học để đo chiều cao và tỉ lệ trong các [[chùa|chùa chiền]], công trình, [[thăm dò]], và bao gồm các kiến thức về [[tam giác vuông]] và số [[pi|π]]. Nó cũng áp dụng [[nguyên lý Cavalieri]] (''[[Cavalieri's principle]]'') về thể tích hơn một nghìn năm trước khi [[Bonaventura Cavalieri|Cavalieri]] đề xuất ở phương Tây. Nó đặt ra chứng minh toán học cho [[Định lý Pytago|Định lý Pythagore]], và công thức toán học cho [[phép khử Gauss]]. Công trình này đã được chú thích bởi [[Lưu Huy]] (Liu Hui) vào thế kỉ thứ 3 trước Công nguyên.

Ngoài ra, các công trình toán học của nhà thiên văn học, nhà phát minh [[Trương Hành]] (''[[Zhang Heng]]'', [[78]]-[[139]]) đã có công thức cho số [[pi]], khác so với tính toán của Lưu Huy. Trương Hành sử dụng công thức của ông cho số pi để tính [[thể tích]] [[quả cầu|hình cầu]] V theo [[đường kính]] D.
:V=<math>\tfrac{9}{16}</math>D<sup>3</sup> + <math>\tfrac{1}{16}</math>D<sup>3</sup> = <math>\tfrac{5}{8}</math>D<sup>3</sup>
Người Trung Quốc cũng sử dụng biểu đồ tổ hợp phức còn gọi là '[[hình vuông thần kì]]', được mô tả trong các thời kì cổ đại và được hoàn chỉnh bởi [[Dương Huy]] ([[1238]]-[[1398]]).

== Toán học Trung Hoa cổ điển (khoảng 400-1300) ==
{{Chính|Toán học Trung Hoa}}
[[Tổ Xung Chi]] (Zu Chongzhi) (thế kỉ 5) vào thời [[Nam-Bắc triều (Trung Quốc)|Nam Bắc Triều]] đã tính được giá trị của số π chính xác tới bảy chữ số thập phân, trở thành kết quả chính xác nhất của số π trong gần 1000 năm.
[[Tập tin:PascalTriangleAnimated2.gif|nhỏ|Tam giác Pascal]]
Trong hàng nghìn năm sau nhà Hán, bắt đầu từ [[nhà Đường]] và kết thúc vào [[nhà Tống]], toán học Trung Quốc phát triển thịnh vượng, nhiều bài toán phát sinh và giải quyết trước khi xuất hiện ở châu Âu<!-- còn chưa tồn tại{{fact}}-->. Các phát triển trước hết được nảy sinh ở Trung Quốc, và chỉ rất lâu sau mới được biết đến ở [[Thế giới phương Tây|phương Tây]], bao gồm [[số âm]], [[định lý nhị thức]], phương pháp [[Ma trận (toán học)|ma trận]] để giải hệ [[phương trình tuyến tính]] và [[Định lý [[số dư]] Trung Quốc]] về nghiệm của hệ [[phương trình đồng dư]] bậc nhất.
*Số âm được đề cập đến trong bảng cửu chương từ thời nhà Hán, 200TCN<ref name=struik33>Struik, page 32-33. "''"In these matrices we find negative numbers, which appear here for the first time in history."''"</ref>
*Định lý nhị thức và [[tam giác]] Pascal được [[Yang Hui]] nghiên cứu từ thế kỷ 13
*Ma trận được người Trung Quốc nghiên cứu và thành lập bảng ma trận từ những năm 650 TCN<ref name="Swaney">Swaney, Mark. [http://www.arthurmag.com/2004/02/16/ History of Magic Squares], [https://web.archive.org/web/20060116235053/http://www.arthurmag.com/magpie/?p=449 bản lưu] ngày 16/1/2006.</ref>

Người Trung Quốc cũng đã phát triển [[tam giác Pascal]] và [[luật ba (toán học)|luật ba]] rất lâu trước khi nó được biết đến ở châu Âu. Ngoài Tổ Xung Chi ra, một số nhà toán học nổi tiếng ở Trung Quốc thời kì này là [[Nhất Hành]], [[Shen Kuo]], [[Chin Chiu-Shao]], [[Zhu Shijie]], và những người khác. Nhà khoa học Shen Kuo sử dụng các bài toán liên quan đến [[Giải tích toán học|giải tích]], [[lượng giác]], [[khí tượng học]], [[hoán vị]], và nhờ đó tính toán được lượng không gian địa hình có thể sử dụng với các dạng trận đánh cụ thể, cũng như doanh trại giữ được lâu nhất có thể với lượng phu có thể mang lương cho chính họ và binh sĩ.

Thậm chí sau khi toán học châu Âu bắt đầu nở rộ trong [[phục Hưng|thời kì Phục hưng]], toán học châu Âu và Trung Quốc khác nhau về truyền thống, với sự sụt giảm của toán học Trung Quốc, cho tới khi các nhà truyền đạo [[Kitô giáo|Thiên Chúa giáo]] mang các ý tưởng toán học tới và đi giữa hai nền văn hóa từ thế kỉ 16 đến thế kỉ 18.

== Toán học Ấn Độ cổ điển (khoảng 400-1600) ==
{{Chính|Toán học Ấn Độ}}
{{Xem thêm|Hệ ghi số Ấn Độ-Ả Rập}}
[[Tập tin:2064 aryabhata-crp.jpg|nhỏ|[[Aryabhata]]]]
Cuốn ''[[Surya Siddhanta]]'' (khoảng [[400]]) giới thiệu các [[hàm lượng giác]] như [[sin]], [[cosin]], và sin ngược, và đưa ra các luật để xác định chuyển động chính xác của các thiên thể, tuân theo vị trí thật của chúng trên bầu trời. Thời gian vũ trụ tuần hoàn được giải thích trong cuốn sách, được sao chép từ một công trình trước đó, tương ứng với [[năm thiên văn]] với 365,2563627 ngày, chỉ dài hơn 1,4 giây so với giá trị hiện đại. Công trình này đã được dịch ra tiếng Ả Rập và [[Latinh|Latin]] trong thời [[Trung Cổ]].

[[Aryabhata]] vào năm [[499]] giới thiệu hàm [[versin]], đưa ra bản sin đầu tiên, phát triển các kĩ thuật và [[thuật toán]] của [[đại số]], [[vô cùng nhỏ]], [[phương trình vi phân]], và đạt được lời giải hoàn chỉnh cho các phương trình tuyến tính bằng một phương pháp ứng với phương pháp hiện đại, cùng với các tính toán [[thiên văn học|thiên văn]] chính xác dựa trên [[thuyết nhật tâm]]. Một bản dịch [[tiếng Ả Rập]] của cuốn ''Aryabhatiya'' có từ thế kỉ 8, sau đó là bản [[Latinh|Latin]] vào thế kỉ 13. Ông cũng tính giá trị [[pi|π]] chính xác tới bốn chữ số sau dấu phẩy. [[Madhava xứ Sangamagrama|Madhava]] sau đó vào thế kỉ 14 đã tính giá tị của số π chính xác tới chữ số thập phân thứ mười một là 3.14159265359.
[[Tập tin:Brahmaguptra's theorem.svg|nhỏ|trái|Chứng minh của Brahmagupta rằng <math>AF = FD</math>]]
Vào [[thế kỷ 7|thế kỉ 7]], [[Brahmagupta]] đã đưa ra [[định lý Brahmagupta]], [[đẳng thức Brahmagupta]] và [[công thức Brahmagupta]] lần đầu tiên, trong cuốn ''[[Brahmasphutasiddhanta|Brahma-sphuta-siddhanta]]'', ông đã giải thích một cách rõ ràng cách sử dụng [[0 (số)|số 0]] vừa là [[ký hiệu thay thế]] vừa là [[chữ số thập phân]] và giải thích [[hệ ghi số Hindu-Arabic]]. Theo một bản dịch của văn bản tiếng Ấn về toán học này (khoảng [[770]]), các nhà toán học [[Hồi giáo]] đã được giới thiệu hệ ghi số này, mà họ gọi là [[hệ ghi số Ả Rập]]. Các nhà học giả Hồi giáo đã mang kiến thức về hệ ghi số này tới châu Âu trước thế kỉ 12, và nó đã thay thế toàn bộ các hệ ghi số cũ hơn trên toàn thế giới. Vào thế kỉ 10, bình luận của [[Halayudha]] về công trình của [[Pingala]] bao gồm một nghiên cứu về [[dãy Fibonacci]] và [[tam giác Pascal]], và mô tả dạng của một [[Ma trận (toán học)|ma trận]].

Vào thế kỉ 12, [[Bhaskara]] lần đầu tiên đặt ra ý tưởng về ''giải tích vi phân'', cùng với khái niệm về [[đạo hàm và vi phân của hàm số|đạo hàm]], hệ số [[đạo hàm và vi phân của hàm số|vi phân]] và [[phép lấy vi phân]]. Ông cũng đã chứng minh [[định lý Rolle]] (một trường hợp đặc biệt của [[định lý giá trị trung bình]]), nghiên cứu [[phương trình Pell]], và xem xét đạo hàm của hàm sin. Từ thế kỉ 14, [[Madhava xứ Sangamagrama|Madhava]] và các nhà toán học khác của [[Trường phái Kerala]], phát triển thêm các ý tưởng của ông. Họ đã phát triển các khái niệm về [[thống kê toán học]] và số [[dấu phẩy động]], và khái niệm căn bản cho việc phát triển của toàn bộ [[Giải tích toán học|giải tích]], bao gồm định lý giá trị trung bình, [[tích phân]] từng phần, quan hệ giữa diện tích dưới một đường cong và nguyên hàm của nó, [[kiểm tra tích phân về tính hội tụ|kiểm tra tính hội tụ]], [[phương pháp lặp]] để giải nghiệm [[phương trình phi tuyến]], và một số [[chuỗi vô hạn]], [[chuỗi hàm mũ]], [[chuỗi Taylor]] và chuỗi lượng giác. Vào thế kỉ 16, [[Jyeshtadeva]] đã củng cố thêm rất nhiều định lý và phát triển của Trường Kerala trong cuốn ''Yuktibhasa'', văn bản về đạo hàm đầu tiên trên thế giới, cũng đưa ra khái niệm [[tích phân]]. Phát triển toán học ở Ấn Độ chững lại từ cuối thế kỉ 16 do các rắc rối về chính trị.

== Toán học Ả Rập và đạo Hồi (khoảng 800-1500) ==
[[Tập tin:1983 CPA 5426 (1).png|nhỏ|[[Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī]] ]]
{{Chính|Toán học Hồi giáo Trung Cổ}}
{{Xem thêm|Hệ ghi số Ấn Độ-Ả Rập}}
[[Đế chế Ả Rập]] [[Hồi giáo|Đạo Hồi]] được thiết lập trên toàn bộ [[Trung Đông]], [[Trung Á]], [[Bắc Phi]], [[Bán đảo Iberia|Iberia]], và một số phần của [[Lịch sử Ấn Độ|Ấn Độ]] trong thế kỉ 8 đã tạo nên những cống hiến quan trọng cho toán học. Mặc dù phần lớn các văn bản Đạo Hồi được viết bằng [[tiếng Ả Rập]], chúng không hoàn toàn được viết bởi những người [[Người Ả Rập|Ả Rập]], rất có thể do vị thế của Hy Lạp trong thế giới Hellenistic, tiếng Ả Rập được sử dụng như là ngôn ngữ viết của các học giả không phải người Ả Rập trong thế giới Đạo Hồi thời bấy giờ. Một số trong những nhà toán học Đạo Hồi quan trọng nhất là [[người Ba Tư]].

{{Unicode|[[Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī]]}}, một nhà toán học và thiên văn học Ba Tư [[thế kỷ 9|thế kỉ thứ 9]], đã viết một vài cuốn sách quan trọng về hệ ghi số Hindu-Arabic và về các phương pháp [[giải phương trình]]. Cuốn sách của ông ''Về tính toán với hệ ghi số Hindu'', được viết khoảng năm 825, cùng với công trình của nhà toán học Ả Rập Al-Kindi, là những công cụ trong việc truyền bá [[toán học Ấn Độ]] và [[hệ ghi số Hindu-Arabic]] tới phương Tây. Từ ''algorithm'' ([[thuật toán]]) bắt nguồn từ sự Latin hóa của tên ông, Algoritmi, và từ ''algebra'' ([[đại số]]) từ tên của một trong những công trình của ông, ''[[Al-Jabr wa-al-Muqabilah|Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala]]'' (''Cuốn cẩm nang về tính toán bằng hoàn thiện và cân đối''). Al-Khwarizmi thường được gọi là "cha đẻ của đại số", bởi sự bảo tồn các phương pháp đại số cổ đại của ông và các cống hiến của ông đối với lĩnh vực này.<ref>[http://www.ucs.louisiana.edu/~sxw8045/history.htm The History of Algebra] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141009100628/http://www.ucs.louisiana.edu/~sxw8045/history.htm |date = ngày 9 tháng 10 năm 2014}}. [[Louisiana State University]].</ref> Các phát triển thêm của [[đại số]] được thực hiện bởi [[Abu Bakr al-Karaji]] (953—1029) trong học thuyết của ông ''al-Fakhri'', ở đó ông mở rộng các quy tắc để thêm cả lũy thừa số nguyên và nghiệm nguyên vào các đại lượng chưa biết. Vào [[thế kỷ 10|thế kỉ 10]], [[Abul Wafa]] đã dịch công trình của [[Diofantos|Diophantus]] thành tiếng Ả Rập và phát triển hàm [[hàm lượng giác|tang]].

[[Chứng minh Toán học|Chứng minh]] đầu tiên bằng [[quy nạp toán học]] xuất hiện trong một cuốn sách viết bởi [[Al-Karaji]] khoảng [[1000]] CN, người đã sử dụng nó để chứng minh [[định lý nhị thức]], [[tam giác Pascal]], và tổng của các [[khối lập phương|lập phương]] [[Số nguyên|nguyên]].<ref>Victor J. Katz (1998). ''History of Mathematics: An Introduction'', p. 255-259. [[Addison-Wesley]]. ISBN 0-321-01618-1.</ref> Nhà [[nghiên cứu lịch sử]] toán học, F. Woepcke,<ref>F. Woepcke (1853). ''Extrait du Fakhri, traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi''. [[Paris]].</ref> đã ca ngợi Al-Karaji là "người đầu tiên giới thiệu các [[định lý]] của [[các phép tính]] [[đại số]]."

[[Ibn al-Haytham]] là người đầu tiên bắt nguồn sử dụng các công thức tính tổng của lũy thừa bậc bốn sử dụng phương pháp quy nạp, từ đó phát triển thành phương pháp tính tích phân<!--was the first mathematician to derive the formula for the sum of the [[fourth power]]s, and using the method of induction, he developed a method for determining the general formula for the sum of any integral [[Exponentiation|powers]], which was fundamental to the development of [[integral]] [[calculus]]-->.<ref>Victor J. Katz (1995). "Ideas of Calculus in Islam and India", ''Mathematics Magazine'' '''68''' (3), p. 163-174.</ref>

[[Omar Khayyám|Omar Khayyam]], [[văn học Ba Tư|nhà thơ]] thế kỉ 12, cũng là một nhà toán học, viết ''Bàn luận về những khó khăn của Euclid'', một cuốn sách về các thiếu sót của cuốn [[Cơ sở (Euclid)|''Cơ sở'' của Euclid]], đặc biệt là [[tiên đề về đường thẳng song song]], và do đó ông đặt ra nền móng cho [[hình học giải tích]] và [[hình học phi Euclid]]. Ông cũng là người đầu tiên tìm ra nghiệm hình học của [[phương trình bậc ba]]. Ông cũng có ảnh hưởng lón trong việc [[cải tổ lịch]].
{{multiple image

 | image1 = Akhlaq-i Nasiri.jpg
 | width1 = 250
 | alt1 = 
 | caption1 = Nasir al-Din Tusi và bảng Ilkhanic

 | image2 = Resaleye mohitiye end.jpg
 | width2 = 115
 | alt2 = 
 | caption2 = Bút tích của Jamshīd al-Kāshī
}}
Nhà toán học [[Iran|Ba Tư]] [[Nasir al-Din Tusi]] (Nasireddin) vào thế kỉ 13 đã tạo nên những bước tiến trong [[lượng giác]] [[quả cầu|hình cầu]]. Ông cũng viết các công trình có ảnh hưởng lớn tới [[tiên đề về đường thẳng song song]] của [[Euclid]].

Vào thế kỉ 15, [[Ghiyath al-Kashi]] đã tính giá trị số [[pi|π]] tới chữ số thập phân thứ 16. Kashi cũng có một thuật toán cho phép tính căn bậc ''n'', là trường hợp đặc biệt của các phương pháp đã đưa ra hàng thế kỉ sau bởi [[Ruffini]] và [[Horner]]. Các nhà toán học Hồi giáo đáng lưu ý khác bao gồm [[al-Samawal]], [[Abu'l-Hasan al-Uqlidisi]], [[Jamshid al-Kashi]], [[Thabit ibn Qurra]], [[Abu Kamil]] và [[Abu Sahl al-Kuhi]].

Đến thời [[Đế quốc Ottoman|Đế chế Ottoman]] (từ thế kỉ 15), sự phát triển của toán học Hồi giáo bị chững lại. Điều này song song với sự chững lại của toán học khi người Roma chinh phục được thế giới Hellenistic.

John J. O'Connor và Edmund F. Robertson viết trong cuốn ''[[MacTutor History of Mathematics archive]]'':

:"Những nghiên cứu gần đây vẽ ra một bức tranh mới về những thứ mà ta nợ toán học Đạo Hồi. Hiển nhiên rất nhiều các ý tưởng nghĩ ra trước đó đã trở thành những khái niệm tuyệt vời do toán học châu Âu của thế kỉ mười sáu, mười bảy, mười tám theo ta biết là đã được phát triển bởi các nhà toán học Ả Rập/Đạo Hồi bốn thế kỉ trước đó. Trong nhiều khía cạnh, toán học được nghiên cứu ngày nay còn gần hơn về phong cách đối với những thứ đó của toán học Đạo Hồi hơn là những thức của toán học [[Hellenistic]]."

{{-}}

== Toán học châu Âu Trung cổ (khoảng 300-1400) ==
Mối quan tâm đến toán học của châu Âu Trung cổ là do nhiều lý do rất khác so với của các nhà toán học hiện đại. Một lý do đó là niềm tin rằng toán học là chìa khóa để hiểu được thứ bậc trong tự nhiên, thường được đánh giá trong cuộc đối thoại [[Timaeus]] của [[Platon|Plato]] và chuyến đi lớn mà Chúa đã "sắp xếp tất cả mọi thứ theo kích thước, số lượng, và cân nặng" (''Wisdom'' 11:21).

=== Thời kì Trung cổ sơ khai (khoảng 300-1100) ===
[[Tập tin:Boethius initial consolation philosophy.jpg|nhỏ|Boethius và các học trò]]
[[Boethius]] (480–524) đã dành một nơi cho toán học trong môn học khi ông đưa ra khái niệm "quadrivium" (tiếng Latinh: bốn con đường) để chỉ các môn số học, hình học, thiên văn học, và âm nhạc. Ông viết ''De institutione arithmetica'', dịch thoáng nghĩa từ tiếng Hy Lạp tiêu đề của cuốn ''Introduction to Arithmetic'' của [[Nicomachus]]; ''De institutione musica'', cũng phát triển từ gốc Hy Lạp; và một loạt các đoạn lấy từ cuốn ''[[Cơ sở (Euclid)|Cơ sở]]'' của [[Euclid]]. Công trình của ông mang tính lý thuyết hơn là thực hành, và là công trình nền tảng của toán học cho đến khi các công trình toán học của Hy Lạp và A Rập được phục hồi.<ref>Caldwell, John (1981) "The ''De Institutione Arithmetica'' and the ''De Institutione Musica''", pp. 135-154 in Margaret Gibson, ed., ''Boethius: His Life, Thought, and Influence,'' (Oxford: Basil Blackwell).</ref><ref>Folkerts, Menso, ''"Boethius" Geometrie II'', (Wiesbaden: Franz Steiner Verlag, 1970).</ref>

=== Sự hồi sinh của toán học tại châu Âu (1100-1400) ===
[[Tập tin:Fibonacci2.jpg|nhỏ|trái|Fibonacci]]
Vào thế kỉ 12, các nhà học giả châu Âu đã chu du đến Tây Ban Nha và Sicilia để tìm các văn bản tiếng A Rập, trong số chúng là cuốn [[Al-Jabr wa-al-Muqabilah]] của Al-Khwarizmi, được dịch thành tiếng Latinh bởi [[Robert of Chester]] và văn bản đầy đủ của cuốn ''Cơ sở'' của Euclid, được dịch thành rất nhiều phiên bản bởi [[Adelard of Bath]], [[Herman of Carinthia]], và [[Gerard of Cremona]].<ref>Marie-Thérèse d'Alverny, "Translations and Translators", pp. 421-462 in Robert L. Benson and Giles Constable, ''Renaissance and Renewal in the Twelfth Century'', (Cambridge: Harvard Univ. Pr., 1982)</ref><ref>Guy Beaujouan, The Transformation of the Quadrivium", pp. 463-487 in Robert L. Benson and Giles Constable, ''Renaissance and Renewal in the Twelfth Century'', (Cambridge: Harvard Univ. Pr., 1982)</ref>

Những nguồn mới này lóe lên một thời kì hồi sinh của toán học. [[Fibonacci]], vào đầu thế kỉ 13, đưa ra công trình toán học quan trọng đầu tiên ở châu Âu kể từ thời của [[Eratosthenes]], một khoảng thời gian hơn một nghìn năm. Thế kỉ mười bốn đã chứng kiến sự phát triển của các khái niệm toán học mới để giải quyết một loạt bài toán.<ref>Grant, Edward and John E. Murdoch (1987), eds., ''Mathematics and its applications to science and natural philosophy in the Middle Ages,'' (Cambridge: Cambridge University Press) ISBN 0-521-32260-X.</ref> Một lĩnh vực quan trọng cống hiến cho sự phát triển của toán học đó là phân tích các chuyển động địa phương.

[[Thomas Bradwardine]] đưa ra rằng vận tốc (V) tăng theo tỉ lệ số học khi tỉ số của lực (F) với lực cản (R) tăng theo số mũ. Bradwardine diễn tả điều này bằng một loạt các ví dụ cụ thể, nhưng mặc dù [[lôgarít]] thời đó chưa xuất hiện, ta có thể biểu diễn kết luận của ông dưới dạng V = log (F/R).<ref>Clagett, Marshall (1961) ''The Science of Mechanics in the Middle Ages,'' (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.), pp. 421-440.</ref> Phân tích của Bradwardine là một ví dụ của việc chuyển đổi kĩ thuật toán học được sử dụng bởi [[al-Kindi]] và [[Arnald of Villanova]] để định tính bản chất của thuốc trộn thành một bài toán vật lý khác.<ref>Murdoch, John E. (1969) "''Mathesis in Philosophiam Scholasticam Introducta:'' The Rise and Development of the Application of Mathematics in Fourteenth Century Philosophy and Theology", pp. 215-254 in ''Arts libéraux et philosophie au Moyen Âge'' (Montréal: Institut d'Études Médiévales), at pp. 224-227.</ref>

Là một người trong nhóm [[Oxford Calculators]] vào [[thế kỷ 14|thế kỉ 14]], [[William Heytesbury]], thiếu [[giải tích vi phân]] và khái niệm [[Giới hạn (toán học)|giới hạn]], đã đưa ra việc đo vận tốc tức thời "bằng con đường mà '''có thể''' được mô tả bởi một [[vật thể]] '''nếu'''... nó được dịch chuyển đi theo cùng một tốc độ mà với điều đó nó được di chuyển trong thời khắc đã cho".<ref>Clagett, Marshall (1961) ''The Science of Mechanics in the Middle Ages,'' (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.), pp. 210, 214-15, 236.</ref>

Heytesbury và những người khác đã xác định bằng toán học khoảng cách đi được của một vật thể chuyển động có gia tốc không đổi (mà ta có thể giải dễ dàng bằng [[Tích phân]]), nói rằng "một vật thể chuyển động mà nhận vận tốc giảm hoặc tăng không đổi sẽ đi trong một thời gian nào đó cho trước một [[khoảng cách]] hoàn toàn bằng với khoảng cách ấy mà sẽ đi được nếu nó đang chuyển động liên tục trong cùng một thời gian với tốc độ trung bình".<ref>Clagett, Marshall (1961) ''The Science of Mechanics in the Middle Ages,'' (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.), p. 284.</ref>
{|
| [[Tập tin:Oresme.jpg|nhỏ|trái|300px|Nicole Oresme]] || [[Tập tin:Galileo-1638-173.jpg|nhỏ|trái|160px|Oresme đã đi trước Galileo trong việc nghiên cứu tích phân]]
|}
[[Nicole Oresme]] tại [[Đại học Paris]] và [[Giovanni di Casali]] người Italia độc lập với nhau đưa ra biểu diễn đồ thị của quan hệ này, thêm vào diện tích dưới đường thẳng biểu thị gia tốc không đổi, thể hiện tổng quãng đường đi được.<ref>Clagett, Marshall (1961) ''The Science of Mechanics in the Middle Ages,'' (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.), pp. 332-45, 382-91.</ref> Trong một buổi thảo luận sau đó về cuốn ''Hình học'' của Euclid, Oresme đưa ra một phân tích chi tiết tổng quát trong đó ông nói rằng một vật thể sẽ nhận được trong mỗi số gia của thời gian một số gia của bất kì tính chất nào mà tăng như số lẻ. Do Euclid đã chứng minh tổng của các số lẻ là các số chính phương, tổng các tính chất đạt được bởi vật thể tăng theo bình phương thời gian.<ref>Nicole Oresme, "Questions on the ''Geometry'' of Euclid" Q. 14, pp. 560-5 in Marshall Clagett, ed., ''Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions,'' (Madison: Univ. of Wisconsin Pr., 1968).</ref>

== Toán học hiện đại sơ khai châu Âu ==
{{multiple image

 | image1 = Sir Isaac Newton by Sir Godfrey Kneller, Bt.jpg
 | width1 = 200
 | alt1 = 
 | caption1 = [[Isaac Newton]]

 | image2 = Peuerbach-Theoricarum-1515.png
 | width2 = 157
 | alt2 = 
 | caption2 = Cuốn sách của [[:de:Georg von Peuerbach|Georg von Peuerbach]]
}}
Ở châu Âu vào buổi bình minh của [[phục Hưng|thời kì Phục Hưng]], toán học vẫn còn bị hạn chế bởi các ký hiệu cồng kềnh sử dụng [[hệ ghi số La Mã]] và diễn đạt các quan hệ bằng từ ngữ, hơn là bằng ký hiệu: không có dấu cộng, không có dấu bằng, và không sử dụng ''x'' thay cho đại lượng chưa biết.

Vào thế kỉ 16 các nhà toán học châu Âu bắt đầu tạo nên những bước tiến mới mà không cần biết đến những nơi khác trên thế giới, tới mức như ngày nay. Bước tiến đầu tiên trong số đó là nghiệm tổng quát của [[phương trình bậc ba]], thông thường được ghi công cho [[Scipione del Ferro]] vào khoảng [[1510]], nhưng xuất bản lần đầu tiên bởi [[Johannes Petreius]] ở [[Nürnberg]] trong cuốn ''Ars magna'' của [[Gerolamo Cardano]], trong đó cũng có nghiệm tổng quát của [[phương trình bậc bốn]] từ học trò của Cardano [[Lodovico Ferrari]].

Từ thời điểm này, toán học phát triển nhanh chóng, bổ trợ cho và lấy lợi ích từ các tiến bộ mới cùng thời của [[vật lý học]]. Quá trình này càng được thúc đẩy bởi những tiến bộ trong [[in ấn|ngành in]]. Cuốn sách toán học sớm nhất được in là cuốn [[Theoricae nova planetarum]] của [[:de:Georg von Peuerbach|G. v. Peuerbach]] vào [[1472]], theo sau là một cuốn sách về số học thương mại [[Treviso Arithmetic]] năm 1478 và cuốn sách toán học thực sự của [[Euclid]], cuốn ''[[Cơ sở (Euclid)|Cơ sở]]'' được in và xuất bản bởi [[Ratdolt]] năm [[1482]].

Do nhu cầu cấp thiết về định hướng và vẽ bản đồ chính xác cho những khu vực rộng lớn, [[lượng giác]] đã phát triển thành một ngành lớn của toán học. [[Bartholomaeus Pitiscus]] là người đầu tiên sử dụng từ ''Trigonometria'' (lượng giác) trong cuốn sách cùng tên của ông vào năm 1595. Bảng [[sin]] và [[cosin]] của Regiomontanus được xuất bản vào 1533.<ref>{{Chú thích sách | last = Grattan-Guinness | first = Ivor | year = 1997 | title = The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences | publisher = W.W. Norton | id = ISBN 0-393-32030-8}}</ref>
<gallery>
Image:Johannes Regiomontanus.jpg|Regiomontanus, Đức
Image:Francois Viete.jpg|François Viète, Pháp
</gallery>
Đến cuối thế kỉ, nhờ có [[:de:Regiomontanus|Johannes Müller von Königsberg]] (1436-1476) và [[François Viète]] (1540-1603), cùng với những người khác, mà toán học đã được viết bằng hệ ghi số Hindu-Arabic và theo một dạng mà không quá khác xa so với các ký hiệu sử dụng ngày nay.

== Thế kỉ 17 ==
Thế kỉ 17 chứng kiến sự bùng nổ chưa từng thấy của các ý tưởng toán học và khoa học trên toàn châu Âu.

[[Galileo Galilei|Galileo]], một người Italia, đã quan sát các [[Sao Mộc#Vệ tinh|Mặt Trăng của Sao Mộc]] trên quỹ đạo quanh hành tinh đó, sử dụng kính viễn vọng dựa trên một đồ chơi nhập khẩu từ Hà Lan.
[[Tập tin:Tychonian system.svg|nhỏ|Mô tả của Tychoo về quỹ đạo của Mặt Trăng, Mặt Trời và các hành tinh]]
[[Tycho Brahe]], ở vương quốc Đan Mạch, đã thu thập một lượng lớn các dữ liệu toán học mô tả các vị trí của các hành tinh trên bầu trời. Học trò của ông, nhà toán học người Đức [[Johannes Kepler]], bắt đầu làm việc với các dữ liệu này. Một phần bởi vì muốn giúp Kepler trong việc tính toán, [[John Napier]], ở Scotland, là người đầu tiên nghiên cứu [[logarit tự nhiên]]. Kepler thành công trong việc lập công thức toán học các định luật của chuyển động hành tinh. [[Hình học giải tích]] được phát triển bởi [[René Descartes]] (1596-1650), một nhà toán học và triết học người Pháp, đã cho phép những quỹ đạo này có thể vẽ được trên đồ thị, trong [[hệ tọa độ Descartes|hệ toạ độ Descartes]]. Xây dựng dựa trên những công trình đi trước bởi rất nhiều nhà toán học, [[Isaac Newton]], người Anh, đã khám phá ra các định luật của vật lý để giải thích [[những định luật của Kepler về chuyển động thiên thể|định luật Kepler]], và cùng đưa đến một khái niệm bây giờ ta gọi là [[Giải tích toán học|giải tích]]. Một cách độc lập, [[Gottfried Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz]], ở Đức, đã phát triển giải tích và rất nhiều các ký hiệu giải tích vẫn còn được sử dụng cho đến ngày nay. Khoa học và toán học đã trở thành một nỗ lực quốc tế, nhanh chóng lan ra toàn thế giới.<ref>Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0, p. 379, "...the concepts of calculus...(are) so far reaching and have exercised such an impact on the modern world that it is perhaps correct to say that without some knowledge of them a person today can scarcely claim to be well educated."</ref>

Thêm vào ứng dụng của toán học đối với ngành thần học, [[toán học ứng dụng]] bắt đầu mở rộng ra các lĩnh vực mới khác, với các lá thư giữa [[Pierre de Fermat]] và [[Blaise Pascal]]. Pascal và Fermat đã đặt nền móng cho việc nghiên cứu [[lý thuyết xác suất]] và các định luật [[Toán học tổ hợp|tổ hợp]] tương ứng trong các thảo luận của họ về trò [[đánh bạc]]. Pascal, với [[Sự đánh cuộc Pascal]], đã cố gắng sử dụng lý thuyết xác suất mới của mình để tranh luận về một cuộc sống theo tôn giáo, thực tế là dù xác suất thành công có nhỏ đi nữa, phần lợi vẫn là vô cùng. Trong hoàn cảnh này, điều đó đã dự báo trước sự phát triển của [[Thỏa dụng|lý thuyết thỏa dụng]] ở nửa sau thế kỉ 18-19

{{-}}

== Thế kỉ 18 ==
[[Tập tin:Leonhard Euler.jpg|nhỏ|200px|[[Leonhard Euler]] <br />hình vẽ của [[:de:Jakob Emanuel Handmann|J. E. Handmann]].]]
Như ta đã thấy, sự hiểu biết về các số tự nhiên 1, 2, 3,... còn trước bất kì văn bản viết nào. Những nền văn minh sớm nhất - ở Lưỡng Hà, Ai Cập, Ấn Độ và Trung Quốc - đều đã biết đến số học.

Một cách để xem xét sự phát triển của rất nhiều hệ toán học hiện đại khác nhau là xem các hệ mới được nghiên cứu để trả lời các câu hỏi về số học của các hệ cũ hơn. Trong thời tiền sử, phân số trả lời được câu hỏi: số nào, khi nhân với 3, thì được kết quả là 1. Ở Ấn Độ và Trung Quốc, và rất lâu sau ở Đức, các số âm được phát triển đề trả lời câu hỏi: bạn nhận được kết quả là gì khi lấy một số nhỏ trừ đi số lớn. Việc phát minh ra số không có thể là để trả lời câu hỏi: bạn nhận được kết quả là gì khi trừ một số cho chính nó.

Một câu hỏi tự nhiên khác là: căn bậc hai của số hai là kiểu số gì? Người Hy Lạp đã biết rằng nó không phải một phân số, và câu hỏi này đã đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển [[phân số liên tục|liên phân số]]. Nhưng một câu trả lời tốt hơn xuất hiện cùng với sự phát minh ra chữ số thập phân, phát triển bởi [[John Napier]] (1550-1617) và được hoàn chỉnh sau đó bởi [[Simon Stevin]]. Sử dụng các chữ số thập phân, và một ý tưởng mà tiên đoán trước được khái niệm về [[Giới hạn (toán học)|giới hạn]], Napier cũng đã nghiên cứu một hằng số mới, mà [[Leonhard Euler]] (1707-1783) đã đặt tên là <font style="font-family:times new Roman;">[[số e]]</font>.<ref>{{chú thích web
| url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html
| title = History topic: The number e
| access-date = ngày 22 tháng 3 năm 2017 | quote = The number e first comes into mathematics in a very minor way. This was in 1618 when, in an appendix to Napier's work on logarithms, a table appeared giving the natural logarithms of various numbers
| author = [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~john/ J J O'Connor] & [[Edmund F. Robertson|E F Robertson]]
| date = 2001-09
| work = 
| publisher = [[MacTutor History of Mathematics archive]]
| language = Tiếng Anh
}}</ref>

{{xem thêm|Công thức Euler}}
Euler có rất nhiều ảnh hưởng tới việc chuẩn hóa các ký hiệu và thuật ngữ toán học. Ông đã đặt tên [[căn bậc hai]] của [[Số âm|âm]] [[−1|một]] bằng ký hiệu [[Đơn vị ảo|<span style="font-family:times new Roman;">''i''</span>]]. Ông cũng phổ biến việc sử dụng chữ cái Hy Lạp [[Pi|<math>\pi</math>]] để chỉ tỉ số của [[chu vi]] một [[đường tròn]] đối với [[đường kính]] của nó. Sau đó ông còn phát triển thêm một trong những [[Công thức Euler|công thức đáng chú ý nhất của toán học]]:
:<math>e^{i \pi} +1 = 0 \,</math>
{{-}}

== Thế kỉ 19 ==
[[Tập tin:Carl Friedrich Gauss.jpg|phải|nhỏ|[[Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauss]]]]
Xuyên suốt thế kỉ 19 toán học nhanh chóng trở nên trừu tượng. Trong thế kỉ này đã sống một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, [[Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855). Không kể đến rất nhiều cống hiến cho khoa học, trong toán học lý thuyết ông đã làm nên các công trình có tính cách mạng về [[hàm số]] với [[Giải tích phức|biến phức]] trong [[hình học]] và về sự hội tụ của các [[Chuỗi (toán học)|chuỗi]]. Ông đã đưa ra chứng minh đầu tiên của [[định lý cơ bản của đại số]] và của [[luật tương hỗ bậc hai]].

Thế kỉ này chứng kiến sự phát triển của hai dạng [[hình học phi Euclid]], trong đó [[Tiên đề Euclid về đường thẳng song song|tiên đề về đường thẳng song song]] của [[hình học Euclid]] không còn đúng nữa. Trong hình học Euclid, cho một đường thẳng và một điểm không nằm trên đường thẳng đó, thì chỉ có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho và đi qua điểm đó mà thôi.
<gallery>
Tập tin:Nikolay Ivanovich Lobachevsky.jpeg|Lobachevsky
Tập tin:JanosBolyai.jpg|Janos Bolyai
Tập tin:Georg Friedrich Bernhard Riemann.jpeg|Riemann
</gallery>
Nhà toán học Nga [[Nikolai Ivanovich Lobachevsky]] và đối thủ của ông, nhà toán học Hungary [[Janos Bolyai]], độc lập với nhau sáng lập ra [[hình học hyperbolic]], trong đó sự duy nhất của các đường thẳng song song không còn đúng nữa, mà qua một điểm ngoài đường thẳng có thể kẻ được vô số đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Trong hình học này tổng các góc của một [[tam giác]] có thể nhỏ hơn 180°. 
[[Tập tin:Noneuclid.png|nhỏ|500px|giữa|Các hình học mới xuất hiện thế kỷ 19:<br />Hình học Hyperbolic của Lobachevsky<br />Hình học cổ điển Euclid<br />Hình học Elliptic]]

[[Hình học Elliptic]] đã được phát triển sau đó vào thế kỉ 19 bởi nhà toán học người Đức [[Bernhard Riemann]]; ở đây không thể tìm thấy đường thẳng song song và tổng các góc của một [[tam giác]] có thể lớn hơn 180°. Riemann cũng phát triển [[hình học Riemann]], trong đó hợp nhất và tổng quát hóa cao độ ba loại hình học, và ông định nghĩa khái niệm một [[đa tạp]], trong đó tổng quát hóa khái niệm về [[Đường (toán học)|đường]] và [[mặt]]. Các khái niệm này rất quan trọng trong [[Thuyết tương đối]] của [[Albert Einstein]].

Cũng trong thế kỉ 19 [[William Rowan Hamilton]] đã phát triển [[noncommutative algebra]], nền móng của [[lý thuyết vòng]].

Thêm vào những hướng mới trong toán học, các nền toán học cũ hơn được đưa vào các nền tảng logic mạnh hơn, đặc biệt là trong trường hợp của [[Giải tích toán học|giải tích]] với các công trình của [[Augustin Louis Cauchy]] và [[Karl Weierstrass]].
<gallery>
Image:WilliamRowanHamilton.jpeg|William Rowan Hamilton
Image:Augustin Louis Cauchy.jpg|Cauchy
Image:Karl Weierstrass.jpg|Karl Weierstrass
</gallery>

Một dạng đại số mới được phát triển vào thế kỉ 19 gọi là [[Đại số Boole]], được phát minh bởi nhà toán học người Anh [[George Boole]]. Nó là một hệ chỉ gồm các số 0 và 1, một hệ mà ngày nay có những ứng dụng quan trọng trong [[khoa học máy tính]].

<gallery>
Hình:Niels Henrik Abel.jpg|Niels Henrik Abel
Hình:Evariste galois.jpg|Évariste Galois
</gallery>
Cũng lần đầu tiên, các giới hạn của toán học đã được khám phá. [[Niels Henrik Abel]], một người Na Uy, và [[Évariste Galois]], một người Pháp, đã chứng minh được rằng không có [[phương pháp đại số]] để giải [[phương trình đại số]] với [[Bậc của phương trình đại số|bậc]] lớn hơn bốn. Các nhà toán học thế kỉ 19 khác áp dụng kết quả này trong chứng minh của họ rằng [[thước kẻ]] và '''compa''' là không đủ để [[bài toán chia ba một góc|chia ba một góc]], để dựng cạnh của một hình lập phương mà thể tích của nó gấp đôi thể tích một hình lập phương cho trước, hay để dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích hình tròn cho trước (còn gọi là phép [[cầu phương hình tròn]]). Các nhà toán học đã tốn công vô ích để giải tất cả các bài toán này từ thời Hy Lạp cổ đại.

Các nghiên cứu của Abel và Galois về nghiệm của rất nhiều loại phương trình đa thức khác nhau đã đặt nền móng cho các phát triển sâu hơn về [[lý thuyết nhóm]], và các lĩnh vực liên quan của [[đại số trừu tượng]]. Trong thế kỉ 20 các nhà vật lý va các nhà khoa học khác đã thấy lý thuyết nhóm là một cách lý tưởng để nghiên cứu [[symmetry]].

Thế kỉ 19 cũng chứng kiến sự thành lập của các hội toán học đầu tiên: [[Hội toán học London]] vào năm 1865, [[Hội toán học Pháp]] vào năm 1872, [[Hội toán học Palermo]] vào năm 1884, [[Hội toán học Edinburgh]] vào năm 1864 và [[Hội Toán học Hoa Kỳ|Hội toán học Mỹ]] vào năm 1888.

Trước thế kỉ 20, có rất ít các nhà toán học thật sự sáng tạo trên thế giới ở bất kì thời điểm nào. Phần lớn vì các nhà toán học hoặc sinh ra trong gia đình giàu có, như [[John Napier|Napier]], hoặc được hậu thuẫn bởi các nhân vật giàu có, như Gauss. Có rất ít người cảm thấy cuộc sống nghèo nàn dạy học ở trường đại học, như [[Joseph Fourier|Fourier]]. [[Niels Henrik Abel]], không thể nhận được một vị trí nào, đã chết với tài sản là sự suy dinh dưỡng.

== Thế kỉ 20 ==
[[Tập tin:Hilbert.jpg|nhỏ|120px|David Hilbert]]
Tính chuyên nghiệp của nhà toán học ngày càng trở nên quan trọng vào thế kỉ 20. Mỗi năm, hàng trăm bằng tiến sĩ trong toán học được trao, và các ngành nghề đều có trong giảng dạy và công nghiệp. Phát triển toán học đã tăng với một tốc độ cực nhanh, với quá nhiều phát triển mới về khảo sát để thậm chí động chạm tới hầu hết các lĩnh vực quan trọng nhất.

Vào 1900, [[David Hilbert]] đưa ra danh sách [[Các bài toán của Hilbert|23 bài toán]] chưa có lời giải trong toán học tại [[Hội nghị các nhà toán học quốc tế]]. Các bài toán này bao trùm rất nhiều lĩnh vực của toán học và đã tạo nên sự chú ý đặc biệt trong toán học thế kỉ 20. Hiện nay mười bài toán đã có lời giải, bảy đã giải được một phần và hai bài vẫn còn mở. Bốn bài còn lại quá lỏng để nói rằng liệu đã giải được chưa. Hilbert cũng đã đặt nền móng cho việc tiên đề hóa hình học với cuốn sách "''Grundlagen der Geometrie''" (Nền tảng của Hình học) bao gồm 21 tiên đề, thay cho các tiên đề Euclid truyền thống. Chúng tránh đi những điểm yếu đã được chỉ ra trong các tiên đề Euclid, mà các tác phẩm của ông (Euclid) lúc đó vẫn được xem như sách giáo khoa. Ông mong muốn hệ thống hóa toán học trên một nền tảng logic vững chắc và đầy đủ, tin rằng:
#Tất cả toán học có thể suy ra từ một hệ thống hữu hạn các tiên đề được chọn ra một cách đúng đắn
#Rằng một hệ thống tiên đề như vậy là có thể chứng minh được [[tính nhất quán]] (tính không [[mâu thuẫn]]) của nó
Cũng chính Hilbert đã đưa ra khái niệm [[không gian Hilbert]], một cơ sở cho [[giải tích hàm]].
{{multiple image
 | image1 = Kurt Gödel.jpg
 | width1 = 96
 | caption1 = Kurt Gödel
 | image2 =
 | width2 = 120
 | caption2 = Ramanujan
}}
[[Thập niên 1930|Những năm 1930]], [[Kurt Gödel]] đã đưa ra định lý bất toàn (''[[Gödel's incompleteness theorems]]'') khẳng định rằng bất kì một hệ tiên đề hình thức độc lập nào đủ mạnh để miêu tả số học cũng hàm chứa những mệnh đề không thể khẳng định mà cũng không thể phủ định; tính nhất quán của một [[hệ thống tiên đề]] không thể được chứng minh bên trong hệ thống đó. Mở rộng ra, không thể đi tìm tính [[chân lý của toán học]] (và của [[khoa học]] nói chung) bên trong cấu trúc duy lý của bản thân toán học hay của khoa học đó; cái đúng của toán học phải tìm ngoài toán học.

Trong [[Thập niên 1900|những năm 1900]], [[Srinivasa Ramanujan|Srinivasa Aiyangar Ramanujan]] (1887-1920) đã phát triển hơn 3000 định lý, bao gồm lý thuyết về tính chất của các [[siêu hợp số]] (''highly composite number''), [[Phân hoạch (lý thuyết số)|hàm phần chia]] (''partition function'') và [[tiệm cận|các tiệm cận]] của nó, rồi các [[hàm theta Ramanujan]]. Ông cũng tạo nên những đột phá và phát hiện trong lĩnh vực [[hàm gamma]], [[dạng modular]], [[chuỗi phân kì]], [[chuỗi siêu hình học]] và [[lý thuyết số nguyên tố]].

Năm 1947, tác phẩm "Cơ sở phân tích kinh tế" của [[Paul Samuelson]] công bố được xem là khởi đầu của [[toán kinh tế]] đương đại.<ref>[http://vietsciences.free.fr/lichsu/lichsu_toantrongkinhtrhoc.htm "Lịch sử của toán trong kinh tế học" của Trần Nam Bình]</ref>

Năm 1952, [[John Pople|Sir John Anthony Pople]] (31/10/1925-15/3/2004) nhà hóa học người Anh tại [[đại học Cambridge]] đã vận dụng toán học trong hóa học, lập ra công thức cho một sơ đồ cơ bản để phát triển những mô hình toán học phục vụ nghiên cứu phân tử mà không cần tiến hành thí nghiệm. Ông đã sử dụng máy tính phục vụ cho việc kiểm tra và xác định cấu trúc hóa học cũng như các chi tiết của vật chất. [[Walter Kohn]] người Áo (9/3/1923-19/4/2016), làm việc tại [[đại học Santa Barbara]] (Mỹ) người nghiên cứu [[lý thuyết về mật độ]], đã đơn giản hóa mô tả toán học về sự liên kết giữa các nguyên tử tạo nên phân tử.

Những năm 60-70 của thế kỷ 20, việc giáo dục toán học đã bắt đầu sử dụng các phương pháp mới, trong đó nghiên cứu toán được bắt đầu từ những lĩnh vực cơ sở như lý thuyết tập hợp, logic sơ cấp, hệ thống số và hệ thống đếm, số học đồng nhất mô-đun (''[[Modular arithmetic|modular consistency arithmetic]]'').<ref>[http://vietsciences.free.fr/vongtaylon/giaoduc/daytoan.htm Dạy toán - suy nghĩ từ kinh nghiệm của các nước] Phạm Việt Hưng 11/05/2007</ref>

Các phỏng đoán nổi tiếng trong quá khứ tạo nên các kĩ thuật mới và mạnh. [[Wolfgang Haken]] và [[Kenneth Appel]] đã sử dụng một chiếc máy tính để chứng minh [[định lý bốn màu]] vào năm 1976.<ref>[http://press.princeton.edu/titles/7495.html Four Colors Suffice: How the Map Problem Was Solved] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120102053229/http://press.princeton.edu/titles/7495.html |date=2012-01-02 }} Robin Wilson, 11/6/2011</ref>
{|align=right
| [[Tập tin:FourColorMapEx.png|135px|trái]] || [[Tập tin:Andrew wiles1-3.jpg|120px|trái]]<br />[[Tập tin:Phuong trinh Fermat-Fermat equation.jpg|120px|trái]]
|-
| Minh họa <br />[[Định lý bốn màu]] || Andrew Wiles và <br />[[Định lý lớn Fermat|phương trình Fermat]]
|}
[[Andrew Wiles]], làm việc một mình trong văn phòng trong nhiều năm trời, cuối cùng đã chứng minh được [[Định lý lớn Fermat]] vào năm 1995, kết thúc hơn 300 năm đi tìm lời giải.

Toàn bộ các lĩnh vực mới của toán học như [[logic toán]], [[tô pô|topo học]], [[lý thuyết độ phức tạp]], và [[lý thuyết trò chơi]] đã thay đổi các thể loại câu hỏi mà có thể trả lời được bởi các phương pháp toán học.

[[Nicolas Bourbaki|Nhóm Bourbaki]] của Pháp đã cố gắng đưa toàn bộ toán học thành một thể thống nhất chung, xuất bản dưới [[bút danh]] ''Nicolas Bourbaki''. Công trình khổng lồ của họ đã gây rất nhiều tranh luận trong giáo dục toán học.

Đến cuối thế kỉ, toán học đã thậm chí thâm nhập vào nghệ thuật, như hình học [[phân dạng|fractal]] đã tạo nên [[nghệ thuật fractal|những hình thù đẹp đẽ]] chưa từng thấy bao giờ.

== Thế kỉ 21 ==
Vào buổi bình minh của thế kỉ 21, rất nhiều nhà giáo dục đã bày tỏ quan ngại về một lớp người nghèo, không được học hành về toán học và khoa học.<ref>Estela A. Gavosto, Steven G. Krantz, William McCallum, Editors, ''Contemporary Issues in Mathematics Education'', Cambridge University Press, 1999, ISBN 0-521-65471-8</ref> Trong khi đó toán học, khoa học, công trình sư và công nghệ đã cùng nhau tạo nên những tri thức, kết nối, và tài sản mà các triết gia cổ đại không dám mơ đến.

Năm 2005, [[Peter Lax|Peter David Lax]] (1/5/1926, Viện Khoa học Toán Courant, [[Đại học New York]]) đã nghiên cứu thành công lý thuyết và ứng dụng của [[phương trình vi phân riêng phần]] cũng như tính toán nghiệm của chúng.

Vào giữa tháng 3 năm 2007, một đội các nhà nghiên cứu khắp Bắc Mĩ và châu Âu đã sử dụng các mạng máy tính để vẽ sơ đồ [[E8 (Toán học)|E8]] thuộc [[nhóm Lie]].<ref>{{Chú thích thông cáo báo chí 
| publisher = Harminka, Hareyan Publishing LLC
| date = ngày 20 tháng 3 năm 2007 | url = http://www.huliq.com/15695/mathematicians-map-e8
| title = Mathematicians Map E8
| access-date =
}}</ref> Mặc dù ta chưa thể biết chính xác việc này có ứng dụng gì, nhưng khám phá này đánh dấu một mốc quan trọng về cả tinh thần hợp tác và công nghệ máy tính trong toán học hiện đại, khi xây dựng mô hình vật thể phức tạp nhất mà con người từng biết đến với 248 chiều, với dung lượng thể hiện lớn hơn cả bộ gen con người.<ref>[http://aimath.org/E8/ Mathematicians Map E8]</ref>
<gallery>
Image:E8 graph.svg|Cấu trúc E8 hai chiều, thực hiện bởi Peter McMullen
Image:E8a.JPG|E8 ba chiều
Image:E8.png|E8
</gallery>

== Những vấn đề toán học còn chờ đợi trong tương lai ==
=== Bảy bài toán thiên niên kỷ ===
Ngày 24/5/2000, [[Viện Toán học Clay]] công bố danh sách bảy bài toán chưa giải được với giải thưởng cho việc giải quyết mấu chốt trong việc giải mỗi bài là 1 [[triệu]] [[đô la Mỹ]]:<ref>{{Chú thích web |url=http://www.claymath.org/annual_meeting/2000_Millennium_Event/Video/ |ngày truy cập=2011-10-22 |tựa đề=Videos of 2000 Millennium Event |archive-date = ngày 24 tháng 10 năm 2011 |archive-url=https://web.archive.org/web/20111024055823/http://www.claymath.org/annual_meeting/2000_Millennium_Event/Video/ }}</ref>
#[[Giả thuyết Poincaré]]
#[[Bài toán P=NP]]
#[[Giả thuyết Hodge]]
#[[Phương trình Navier-Stokes]]
#[[Giả thuyết Riemann]]
#[[Giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer]]
#[[Lý thuyết Yang-Mill]]
=== Các bài toán của Hilbert ===
{{Chính| Các bài toán của Hilbert}}
[[Các bài toán của Hilbert|23 bài toán]] được nhà toán học người Đức [[David Hilbert]] đưa ra trong Hội nghị Quốc tế về Toán học ([[International Congress of Mathematicians|''International Congress of Mathematicians '''ICM''''']]) lần thứ hai năm 1900 tại [[Paris]], trong đó một số đã được giải quyết trong thế kỷ 20.<ref>[http://mathacademy.com/pr/prime/articles/hilbert_prob/index.asp Hilbert’s Problems] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120406132949/http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/hilbert_prob/index.asp |date = ngày 6 tháng 4 năm 2012}} mathacademy.com</ref>

== Xem thêm ==
*[[Toán học Việt Nam]]
*[[Timeline of mathematics|Niên biểu toán học]] {{en}}
*[[Danh sách các xuất bản toán học quan trọng]]
*[[Lịch sử đại số]]
*[[Lịch sử hình học]]
*[[Lịch sử các ký hiệu toán học]]
*[[Lịch sử các hàm lượng giác]]
*[[Lịch sử chữ số]]
*[[Bartel Leendert van der Waerden]]
*[[Danh sách nhà toán học|Danh sách các nhà toán học]]
*[[Lịch sử hình học]]
*[[Lịch sử số học]]
*[[Lịch sử đại số]]
*[[Vẻ đẹp của toán học]]

== Tham khảo ==
{{tham khảo|30em}}

== Đọc thêm ==
*{{Chú thích sách
 | last = Aaboe
 | first = Asger
 | year = 1964
 | title = Episodes from the Early History of Mathematics
 | url = https://archive.org/details/episodesfromearl0000asge
 | publisher = Random House
 | location = New York
}}
* Boyer, C. B., ''A History of Mathematics'', 2nd ed. rev. by Uta C. Merzbach. New York: Wiley, 1989 ISBN 0-471-09763-2 (1991 pbk ed. ISBN 0-471-54397-7).
* Eves, Howard, ''An Introduction to the History of Mathematics'', Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0,
* [[Paul Hoffman|Hoffman, Paul]], ''The Man Who Loved Only Numbers: The Story of [[Paul Erdős]] and the Search for Mathematical Truth''. New York: Hyperion, 1998 ISBN 0-7868-6362-5.
*{{Chú thích sách|first=Ivor|last=Grattan-Guinness|title=Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences|url=https://archive.org/details/companionencyclo0000unse_w7v1|publisher=The Johns Hopkins University Press|year=2003|id=ISBN 0-8018-7397-5}}
* van der Waerden, B. L., ''Geometry and Algebra in Ancient Civilizations'', Springer, 1983, ISBN 0-387-12159-5.
* O'Connor, John J. and Robertson, Edmund F. ''[http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/ The MacTutor History of Mathematics Archive] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070927231020/http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/ |date=2007-09-27 }}''. (See also [[MacTutor History of Mathematics archive]].) This website contains biographies, timelines and historical articles about mathematical concepts; at the School of Mathematics and Statistics, [[University of St. Andrews]], Scotland. (Or see the [http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/Hist_Topics_alph.html alphabetical list of history topics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110809094906/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/Hist_Topics_alph.html |date = ngày 9 tháng 8 năm 2011}}.)
*{{Chú thích sách| last = Stigler| first = Stephen M.| authorlink = Stephen Stigler| year = 1990| title = The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900| publisher = Belknap Press | id = ISBN 0-674-40341-X}}
*{{Chú thích sách
 | last = Bell
 | first = E.T.
 | title = Men of Mathematics
 | url = https://archive.org/details/menofmathematics0041bell
 | publisher = Simon and Schuster
 | year = 1937
}}
*{{Chú thích sách
 | last = Gillings
 | first = Richard J.
 | title = Mathematics in the time of the pharaohs
 | url = https://archive.org/details/mathematicsintim0000gill_o9t9
 | publisher = M.I.T. Press
 | location = Cambridge, MA
 | year = 1972
}}
*{{Chú thích sách
 | last = Heath
 | first = Sir Thomas
 | title = A History of Greek Mathematics
 | url = https://archive.org/details/historyofgreekma0001heat
 | publisher = Dover
 | year = 1981
 | id = ISBN 0-486-24073-8
}}
*{{Chú thích sách
 | last = Menninger
 | first = Karl W.
 | year = 1969
 | title = Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers
 | url = https://archive.org/details/numberwordsnumbe00menn
 | publisher = MIT Press
 | id = ISBN 0-262-13040-8
}}
* Burton, David M. ''The History of Mathematics: An Introduction''. McGraw Hill: 1997.
* Katz, Victor J. ''A History of Mathematics: An Introduction'', 2nd Edition. [[Addison-Wesley]]: 1998.
* '''Toán học là gì?''' của [[Richard Courant]] và [[Herbert Robbins]] xuất bản năm 1941, tái bản năm 1996 có sửa chữa của [[Ian Stewart]]

== Liên kết ngoài ==
{{thể loại Commons|History of mathematics}}
{{chủ đề|Toán học|Lịch sử}}
=== Tiếng nước ngoài ===
* {{Britannica|369194|Mathematics}}
* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/ MacTutor History of Mathematics archive] (John J. O'Connor and Edmund F. Robertson; University of St Andrews, Scotland). Một website đã đạt một số giải thưởng có chứa các tiểu sử chi tiết về rất nhiều nhà toán học lịch sử và cùng thời, cũng như các thông tin về các đường cong nổi tiếng và rất nhiều chủ để về lịch sử toán học.
* [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/ History of Mathematics Home Page] (David E. Joyce; Clark University). Bài báo về rất nhiều chủ đề trong lịch sử toán học với một danh sách tài liệu liên quan phong phú.
* [http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/ The History of Mathematics] (David R. Wilkins; Trinity College, Dublin). Tập hợp các bài về toán học giữa thế kỉ 17 và 19.
* [http://www.math.sfu.ca/history_of_mathematics History of Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130827153709/http://www.math.sfu.ca/history_of_mathematics |date = ngày 27 tháng 8 năm 2013}} (Simon Fraser University). [https://web.archive.org/web/20010429022010/http://www.math.sfu.ca/histmath/ Bản lưu trữ 29/4/2001]
* [http://jeff560.tripod.com/ Mathematics Pages] (Jeff Miller). Chứa các thông tin về sự sử dụng các ký hiệu và thuật ngữ thời kì sơ khai trong toán học cũng như tập hợp các tem thư có hình các nhà toán học. [https://web.archive.org/web/20010518231216/http://members.aol.com/jeff570/ Bản lưu]
* [http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/women.htm Biographies of Women Mathematicians] (Larry Riddle; Agnes Scott College).
* [http://www.math.buffalo.edu/mad/ Mathematicians of the African Diaspora] (Scott W. Williams; University at Buffalo).
* [http://www.dean.usma.edu/math/people/rickey/hm/ Fred Rickey's History of Mathematics Page] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120912162648/http://www.dean.usma.edu/math/people/rickey/hm/ |date = ngày 12 tháng 9 năm 2012}}
* [http://mathematics.library.cornell.edu/additional/Collected-Works-of-Mathematicians A Bibliography of Collected Works and Correspondence of Mathematicians] (Steven W. Rockey; Cornell University Library). [https://web.archive.org/web/20070317034718/http://astech.library.cornell.edu/ast/math/find/Collected-Works-of-Mathematicians.cfm Bản lưu]
* [http://www.dcs.warwick.ac.uk/bshm/resources.html Links to Web Sites on the History of Mathematics] (The British Society for the History of Mathematics)
* [http://archives.math.utk.edu/topics/history.html History of Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20061004065105/http://archives.math.utk.edu/topics/history.html |date=2006-10-04 }} Math Archives (University of Tennessee, Knoxville)
* [http://mathforum.org/library/topics/history/ History/Biography] The Math Forum (Drexel University)
* [https://web.archive.org/web/20020716102307/http://www.otterbein.edu/resources/library/libpages/subject/mathhis.htm History of Mathematics] (Courtright Memorial Library).
* [http://homepages.bw.edu/~dcalvis/history.html History of Mathematics Web Sites] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090525100502/http://homepages.bw.edu/~dcalvis/history.html |date=2009-05-25 }} (David Calvis; Baldwin-Wallace College)
* [http://www.dmoz.org/Science/Math/History/ Science: Math: History] (DMOZ)
* [http://sectormatematica.cl/historia.htm Historia de las Matemáticas] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121112111346/http://www.sectormatematica.cl/historia.htm |date=2012-11-12 }} (Universidad de La Laguna) [https://web.archive.org/web/20110722065705/http://webpages.ull.es/users/jbarrios/hm/ bản lưu 22/7/2011]
* [http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/indexhm.html História da Matemática] (Universidade de Coimbra)
* [<!--http://www.math.ilstu.edu/marshall/-->http://math.illinoisstate.edu/marshall/ Using History in Math Class] [http://web.archive.org/web/20110719211825/http://math.illinoisstate.edu/marshall/ bản lưu 19/7/2011]
* [https://web.archive.org/web/20000830084844/http://www.abc.se/~m9847/matre/history.html Mathematical Resources: History of Mathematics] (Bruno Kevius)

=== Tiếng Việt ===
*[http://www.maths.vn/forums/forumdisplay.php?f=736 Lịch sử toán học trên Diễn đàn toán học VN] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090218094230/http://www.maths.vn/forums/forumdisplay.php?f=736 |date = ngày 18 tháng 2 năm 2009}}
*[http://www.nxbgd.vn/toanhoctuoitre/?p=7&id=16 Lịch sử toán học trên tạp chí Toán học và Tuổi trẻ]{{Liên kết hỏng|date = ngày 10 tháng 5 năm 2021 |bot=InternetArchiveBot }}
* {{TĐBKVN|1038|Toán học}}
{{Toán}}
{{Kiểm soát tính nhất quán}}

[[Thể loại:Lịch sử toán học| ]]