Xem mã nguồn của Lớp tương đương

[[Tập tin:Congruent non-congruent triangles.svg|thumb|370px|[[Tương đẳng (hình học)|Tương đẳng]] là một ví dụ về lớp tương đương. Hai tam giác bên trái tương đẳng với nhau, trong khi hai tam giác còn lại không tương đẳng với tam giác nào cả. Do đó hai tam giác trái thuộc cùng một lớp tương đương, còn hai tam giác kia, mỗi tam giác nằm trong chính lớp của nó.]]

Trong [[toán học]], khi các phần tử của một [[tập hợp (toán học)|tập hợp]] <math>S</math> có [[Quan hệ tương đương|quan hệ tương đương với nhau]] với nhau, ta có thể tách tập <math>S</math> thành các '''lớp tương đương'''. Các lớp này được xây dựng sao cho hai phần tử <math>a</math> và <math>b</math> thuộc cùng một '''lớp tương đương''' [[khi và chỉ khi]] chúng tương đương với nhau.

Cụ thể hơn, cho tập <math>S</math> và quan hệ tương đương <math>\,\sim\,</math> trên <math>S,</math> {{em|lớp tương đương}} của phần tử <math>a</math> trong <math>S,</math> ký hiệu bởi <math>[a],</math><ref>{{chú thích web|date=2017-09-20|title=7.3: Equivalence Classes|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Mathematical_Logic_and_Proof/Book%3A_Mathematical_Reasoning__Writing_and_Proof_(Sundstrom)/7%3A_Equivalence_Relations/7.3%3A_Equivalence_Classes|access-date=2020-08-30|website=Mathematics LibreTexts|language=en}}</ref> là tập <ref name=":1">{{chú thích web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Equivalence Class|url=https://mathworld.wolfram.com/EquivalenceClass.html|access-date=2020-08-30|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>
<math display=block>\{ x \in S : x \sim a \}</math>
các phần tử tương đương với <math>a.</math> Ta có thể chứng minh từ định nghĩa lớp tương đương rằng các lớp tương đương tạo thành [[phân hoạch tập hợp]] của <math>S.</math> Tập các lớp tương đương này được gọi là '''tập hợp thương''' hay '''không gian thương''' của <math>S</math> bởi <math>\,\sim\,,</math> và ký hiệu bởi <math>S / \sim.</math>

Khi tập hợp <math>S</math> có một số cấu trúc đại số (ví dụ như đi kèm [[nhóm (toán học)|phép toán nhóm]] hay là một [[nhóm topo]] và quan hệ tương đương <math>\,\sim\,</math> tương thích với cấu trúc đó thì tập thương cũng sẽ giữ cấu trúc thêm vào từ tập mẹ. Các ví dụ bao gồm [[không gian thương (đại số tuyến tính)|không gian thương trong đại số tuyến tính]], [[nhóm thương]], [[không gian đồng nhất]], [[vành thương]], [[monoid thương]], và các [[phạm trù thương]].

==Các ví dụ==

* Nếu <math>X</math> là tập tất cả các xe ô tô, and <math>\,\sim\,</math> là [[quan hệ (toán học)|quan hệ]] "có cùng màu với", thì một trong những lớp tương đương sẽ chỉ bao gồm các xe màu hồng, và <math>X / \sim</math> có thể coi là tập của các màu xe.
* Gọi <math>X</math> là tập các hình chữ nhật trên mặt phẳng, và <math>\,\sim\,</math> là quan hệ tương đương "có cùng diện tích với", thì với mỗi số thực dương <math>A,</math> sẽ có lớp tương đương bao gồm các hình chữ nhật có cùng diện tích <math>A.</math><ref>{{harvnb|Avelsgaard|1989|loc=p. 127}}</ref>
* Xét quan hệ đồng dư 2 trên tập các số [[nguyên]], <math>\Z,</math> sao cho <math>x \sim y</math> khi và chỉ khi hiệu <math>x - y</math> là [[số chẵn]]. Quan hệ này sinh ra hai lớp tương đương, một lớp chứa tất cả các số chẵn và lớp còn lại thì chứa tất cả các số lẻ. <ref name="Devlin 2004 loc=p. 123">{{harvnb|Devlin|2004|loc=p. 123}}</ref>
* Xét <math>X</math> là tập các [[cặp được sắp|cặp]] số nguyên được sắp <math>(a, b)</math> với <math>b</math> khác không, và định nghĩa quan hệ tương đương <math>\,\sim\,</math> trên <math>X</math> sao cho <math>(a, b) \sim (c, d)</math> khi và chỉ khi <math>a d = b c,</math> thì tập các lớp tương đương của cặp <math>(a, b)</math> có thể coi ngang với tập các [[số hữu tỷ]] <math>a / b,</math> và quan hệ tương đương cùng với lớp tương đương có thể dùng để đưa ra định nghĩa cho tập các số hữu tỉ.<ref>{{harvnb|Maddox|2002|loc=pp. 77–78}}</ref> Cách xây dựng này có thể tổng quát hóa cho bất cứ [[trường phân thức]] của bất kỳ [[miền nguyên]] nào.

==Định nghĩa và ký hiệu==

[[Quan hệ tương đương]] trên tập <math>X</math> là [[quan hệ hai ngôi]] <math>\,\sim\,</math> trên <math>X</math> thỏa mãn ba tính chất sau:<ref>{{harvnb|Devlin|2004|loc=p. 122}}</ref><ref>{{chú thích web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Equivalence Relation|url=https://mathworld.wolfram.com/EquivalenceRelation.html|access-date=2020-08-30|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>
* <math>a \sim a</math> với mọi <math>a \in X</math> ([[Quan hệ phản xạ|phản xạ]]),
* <math>a \sim b</math> thì <math>b \sim a</math> với mọi <math>a, b \in X</math> ([[Quan hệ đối xứng|đối xứng]]),
* Nếu <math>a \sim b</math> và <math>b \sim c</math> thì <math>a \sim c</math> với mọi <math>a, b, c \in X</math> ([[Quan hệ bắc cầu|bắc cầu]]).

{{anchor|Notation and formal definition}}Lớp tương đương <math>a</math> thường được ký hiệu <math>[a]</math>, <math>\overline{a}</math>, <math>cl(a)</math> hoặc <math>[a]_{\sim},</math> và được định nghĩa là tập <math>\{ x \in X : a \sim x \}</math> của các phần tử có quan hệ với <math>a</math> bởi&nbsp;<math>\,\sim.</math><ref name=":1" />.

Tập các lớp tương đương của <math>X</math> với quan hệ tương đương <math>R</math> được ký hiệu bởi <math>X / R,</math> và được gọi là '''{{vanchor|tập thương}}''' của <math>X</math> bởi <math>R</math>.<ref>{{harvnb|Wolf|1998|loc=p. 178}}</ref> Phép [[toàn ánh]] <math>x \mapsto [x]</math> từ <math>X</math> tới <math>X / R,</math> ánh xạ từng phần tử sang lớp tương đương của chính nó được gọi là '''phép chiếu chính tắc'''.

{{anchor|representative}}Mỗi phần tử của mỗi lớp tương đương đều là đặc trưng của lớp đó, và do đó có thể ''đại diện'' cho lớp đó. Khi một phần tử trong lớp được chọn, nó được gọi là '''đại diện''' của lớp đó. Phép chọn đại diện của mỗi lớp là một [[đơn ánh]] từ <math>X / R</math> sang {{mvar|X}}. 

==Các tính chất==

Mỗi phần tử <math>x</math> thuộc <math>X</math> là phần tử của lớp tương đương <math>[x].</math> Bất cứ hai lớp tương đương <math>[x]</math> và <math>[y]</math> hoặc bằng nhau hoặc [[không giao nhau]]. Do đó, tập các lớp tương đương của <math>X</math> tạo thành [[phân hoạch tập hợp]] của <math>X</math>: mỗi phần tử thuộc <math>X</math> chỉ thuộc duy nhất một lớp tương đương.<ref>{{harvnb|Maddox|2002|loc=p. 74, Thm. 2.5.15}}</ref> Ngược lại, mỗi phân hoạch của <math>X</math> đến từ quan hệ tương đương theo cách đó thì, <math>x \sim y</math> khi và chỉ khi <math>x</math> và <math>y</math> thuộc chung một tập phân hoạch.<ref>{{harvnb|Avelsgaard|1989|loc=p. 132, Thm. 3.16}}</ref>

Từ tính chất của quan hệ tương đương, ta có
<math>x \sim y</math> khi và chỉ khi <math>[x] = [y].</math>

Nói cách khác, nếu <math>\,\sim\,</math> là quan hệ tương đương trên tập <math>X,</math> <math>x</math> và <math>y</math> là hai phần tử thuộc <math>X,</math> thì các phát biểu sau là tương đương:

* <math>x \sim y</math>
* <math>[x] = [y]</math>
* <math>[x] \cap [y] \ne \emptyset.</math>

==Biểu diễn đồ thị==

[[Tập tin:Equivalentie.svg|thumb|160px|Đồ thị với 7 lớp tương đương]]
[[Đồ thị vô hướng]] có thể dùng với bất cứ [[quan hệ đối xứng]] trên tập <math>X,</math> với các đỉnh là các phần tử thuộc <math>X,</math> và mỗi hai đỉnh <math>s</math> và <math>t</math> được nối với nhau khi và chỉ khi <math>s \sim t.</math> Đồ thị của quan hệ tương đương là đồ thị mà các [[thành phần liên thông]] là các [[clique]].<ref name="Devlin 2004 loc=p. 123"/>

==Xem thêm==
* {{annotated link|Quan hệ tương đương riêng phần}}

==Chú thích==

{{tham khảo|30em}}

==Tham khảo==

* {{citation|first=Carol|last=Avelsgaard|title=Foundations for Advanced Mathematics|publisher=Scott Foresman|year=1989|isbn=0-673-38152-8}}
* {{citation|last=Devlin|first=Keith|title=Sets, Functions, and Logic: An Introduction to Abstract Mathematics|year=2004|publisher=Chapman & Hall/ CRC Press|edition=3rd|isbn=978-1-58488-449-1}}
* {{citation|last=Maddox|first=Randall B.|title=Mathematical Thinking and Writing|year=2002|publisher=Harcourt/ Academic Press|isbn=0-12-464976-9}}
* {{citation|last=Wolf|first=Robert S.|title=Proof, Logic and Conjecture: A Mathematician's Toolbox|year=1998|publisher=Freeman|isbn=978-0-7167-3050-7}}

==Đọc thêm==
* {{citation|last=Sundstrom|title=Mathematical Reasoning: Writing and Proof|year=2003|publisher=Prentice-Hall}}
* {{citation|last1=Smith|last2=Eggen|last3=St.Andre|title=A Transition to Advanced Mathematics |edition=6th |year=2006|publisher=Thomson (Brooks/Cole)}}
* {{citation|last=Schumacher|first=Carol|author-link= Carol Schumacher |title=Chapter Zero: Fundamental Notions of Abstract Mathematics|year=1996|publisher=Addison-Wesley|isbn=0-201-82653-4}}
* {{citation|last=O'Leary|title=The Structure of Proof: With Logic and Set Theory|year=2003|publisher=Prentice-Hall}}
* {{citation|last=Lay|title=Analysis with an introduction to proof|year=2001|publisher=Prentice Hall}}
* {{citation|last=Morash|first=Ronald P.|title=Bridge to Abstract Mathematics|publisher=Random House|year=1987|isbn=0-394-35429-X}}
* {{citation|last1=Gilbert|last2=Vanstone|title=An Introduction to Mathematical Thinking|year=2005|publisher=Pearson Prentice-Hall}}
* {{citation|last1=Fletcher|last2=Patty|title=Foundations of Higher Mathematics|publisher=PWS-Kent}}
* {{citation|last1=Iglewicz|last2=Stoyle|title=An Introduction to Mathematical Reasoning|publisher=MacMillan}}
* {{citation|last1=D'Angelo|last2=West|title=Mathematical Thinking: Problem Solving and Proofs|year=2000|publisher=Prentice Hall}}
* {{citation|last=Cupillari|author-link= Antonella Cupillari |title=The Nuts and Bolts of Proofs|publisher=Wadsworth}}
* {{citation|last=Bond|title=Introduction to Abstract Mathematics|publisher=Brooks/Cole}}
* {{citation|last1=Barnier|last2=Feldman|title=Introduction to Advanced Mathematics|year=2000|publisher=Prentice Hall}}
* {{citation|last=Ash|title=A Primer of Abstract Mathematics|publisher=MAA}}

==Liên kết ngoài==
*{{Thể loại Commons nội dòng|Equivalence classes}}

{{Authority control}}

[[Thể loại:Quan hệ tương đương]]
[[Thể loại:Đại số]]
[[Thể loại:Quan hệ hai ngôi]]
[[Thể loại:Lý thuyết tập hợp]]