Xem mã nguồn của Leonhard Euler

{{1000 bài cơ bản}}
{{Đổi hướng|Euler}}
{{thông tin nhà khoa học
|name = Leonhard Euler
|image = Leonhard Euler 2.jpg
|caption = Chân dung Leonhard Euler do [[Johann Georg Brucker]] vẽ (khoảng 1756)
|birth_date = {{Ngày sinh|1707|4|15|df=y}}
|birth_place = [[Basel]], [[Cựu Liên bang Thụy Sĩ|Liên bang Thụy Sĩ]]
|death_date = {{Ngày mất và tuổi|1783|9|18|1707|4|15|df=y}} <small><nowiki>[</nowiki>[[Ngày trong lịch cũ và lịch mới|lịch cũ]] 7 tháng 9<nowiki>]</nowiki></small>
|death_place = [[Sankt-Peterburg]], [[Đế quốc Nga]]
|nationality = 
|ethnicity = 
|field = [[Toán học]], [[vật lý học]]
|work_institutions = [[Viện Hàn lâm Khoa học Nga|Viện Khoa học Đế quốc Nga]]<br /> [[Viện Hàn lâm Khoa học Phổ]]
|alma_mater = [[Đại học Basel]] ([[Cử nhân Triết học|MPhil]])
| thesis_title      = Dissertatio physica de sono (Luận văn vật lý về âm thanh)
| thesis_url        = https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/2/
| thesis_year       = 1726
| doctoral_advisor  = [[Johann Bernoulli]]
|doctoral_students = {{Liệt kê|
* [[Nicolas Fuss]]
* [[Stepan Rumovsky]]
* [[Johann Friedrich Hennert|Johann Hennert]]
* [[Joseph Lagrange]]
}}
|known_for = [[e (số)|Số Euler]], <br /> [[Công thức Euler|Đẳng thức Euler]], <br /> [[Phương pháp Euler]] ([[sai phân]])
|author_abbrev_bot = 
|author_abbrev_zoo = 
|influences = 
|influenced = 
|prizes = 
|footnotes = 
|signature = Euler signature.jpg
|spouse = {{Marriage|[[Katharina Gsell]]|1734|1773|reason=bà mất}}<br>{{Marriage|[[Salome Abigail Gsell]]|1776|1783|reason=ông mất}}
}}
{{E (hằng số toán học)}}
{{Thanh bên giải tích phức}}
'''Leonhard Euler''' ({{IPAc-en|ˈ|ɔɪ|l|ər}} {{respell|OY|lər}},{{efn|Cách phát âm {{IPAc-en|ˈ|juː|l|ər}} {{respell|YOO|lər}} được cho là không chính xác.<ref name="oxford">{{cite encyclopedia|title=Euler|encyclopedia=[[Oxford English Dictionary]]|edition=2nd|publisher=[[Oxford University Press]]|year=1989}}</ref><ref name="merriam">{{cite encyclopedia|url=http://www.merriam-webster.com/dictionary/Euler|title=Euler|encyclopedia=[[Webster's Dictionary|Merriam–Webster's Online Dictionary]]|year=2009|access-date=5 June 2009|archive-date=25 April 2009|archive-url=https://web.archive.org/web/20090425165621/http://www.merriam-webster.com/dictionary/euler|url-status=live}}</ref><ref name="amer heritage">{{cite encyclopedia|url=http://ahdictionary.com/word/search.html?q=Euler%2C+Leonhard&submit.x=40&submit.y=16|title=Euler, Leonhard|encyclopedia=[[The American Heritage Dictionary of the English Language]]|edition=5th|publisher=[[Houghton Mifflin Harcourt|Houghton Mifflin Company]]|location=Boston|year=2011|access-date=30 May 2013|archive-date=4 October 2013|archive-url=https://web.archive.org/web/20131004213455/http://ahdictionary.com/word/search.html?q=Euler%2C+Leonhard&submit.x=40&submit.y=16|url-status=live}}</ref><ref name="nets, puzzles">{{chú thích sách|title=Nets, Puzzles, and Postmen: An Exploration of Mathematical Connections|url=https://archive.org/details/netspuzzlespostm00higg|url-access=limited|last1=Higgins |first1=Peter M. |year=2007|publisher=[[Oxford University Press]]|page=[https://archive.org/details/netspuzzlespostm00higg/page/n51 43]|isbn=978-0-19-921842-4}}</ref>}} {{IPA|de|ˈleːɔnhaʁt ˈɔɪ̯lɐ|lang|De-Leonhard Euler.ogg}}; 15 tháng 4 năm 1707{{spaced ndash}}18 tháng 9 năm 1783) là một [[nhà toán học]], [[nhà vật lý học]], [[nhà thiên văn học]], [[Logic|nhà lý luận]] và [[kỹ sư]] [[Cựu Liên bang Thụy Sĩ|người Thụy Sĩ]]. Ông đã có những khám phá quan trọng và có ảnh hưởng trong nhiều ngành toán học, như [[vi tích phân]] và [[lý thuyết đồ thị]], đồng thời có những đóng góp tiên phong cho một số ngành như [[tô pô]] và [[lý thuyết số giải tích]]. Ông cũng giới thiệu nhiều thuật ngữ và [[Danh sách ký hiệu toán học|ký hiệu toán học]] hiện đại, đặc biệt cho ngành [[giải tích toán học]], nổi bật là khái niệm [[Hàm số|hàm số toán học]].<ref name="function">{{harvnb|Dunham|1999|p=17}}</ref> Ông cũng được biết đến với những nghiên cứu về [[cơ học]], [[Động lực học chất lưu|thủy động lực học]], [[quang học]], [[thiên văn học]] và [[lý thuyết âm nhạc]].<ref>Saint Petersburg (1739). [http://eulerarchive.maa.org/pages/E033.html "Tentamen novae theoriae musicae ex certissimis harmoniae principiis dilucide expositae"].</ref>

Euler là một trong những nhà toán học nổi tiếng nhất của thế kỷ 18 và được coi là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất trong lịch sử. Ông cũng được nhiều người coi là nhà toán học có năng suất nhất mọi thời đại. Sau khi ông qua đời, các công trình của ông được tập hợp lại trong quyển "''Leonhard Euler Opera Omnia"'' gồm 85 quyển cỡ lớn với hơn 40.000 trang,<ref>{{Chú thích web|url=https://baotintuc.vn/giai-mat/leonhard-euler-suc-manh-tri-tue-ky-dieu-20140918094439495.htm |title=Leonhard Euler - Sức mạnh trí tuệ kỳ diệu | publisher = Báo Tin tức | date = ngày 18 tháng 9 năm 2014}}</ref> (ước tính một người phải làm việc khoảng 40 năm mới có thể ghi lại lượng công trình này). Ông đã dành phần lớn cuộc đời của mình ở [[Saint Petersburg]], [[Nga]], và [[Berlin]], khi ấy là thủ đô của nước [[Phổ (quốc gia)|Phổ]]. Một nhận xét của [[Pierre-Simon Laplace]] đã thể hiện ảnh hưởng của Euler đối với toán học: "''Hãy đọc Euler, đọc Euler đi, ông ấy là bậc thầy của tất cả chúng ta.''"<ref>Dunham 1999, p. xiii "Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous."</ref><ref>Gugliemo Libri (1846), trang 51 viết: "(... we would recall that Laplace himself,... never ceased to repeat to young mathematicians these memorable words that we heard from his own mouth: 'Read Euler, read Euler, he is our master in everything.)", tạm dịch: "(... chúng ta sẽ nhớ lại rằng chính Laplace,... miệng ông ấy không bao giờ lặp lại với các nhà toán học trẻ những từ ngữ đáng nhớ ấy:" Hãy đọc Euler, đọc Euler đi, ông ấy là bậc thầy của chúng ta trong mọi lĩnh vực.)"</ref> Tên của ông đã được đặt cho một miệng [[núi lửa]] trên [[Mặt Trăng]] và cho [[tiểu hành tinh]] [[2002 Euler]].

== Tiểu sử ==
=== Thời trẻ ===
Leonhard Euler sinh ngày 15 tháng 4 năm 1707 tại [[Basel]], [[Basel-Stadt]], Thụy Sĩ. Ông là con của Basela Paul III Euler, mục sư [[thần học Calvin]] và Marguerite (nhũ danh Brucker), có tổ tiên là những học giả nổi tiếng trong lĩnh vực cổ điển.{{sfn|Gautschi|2008|p=4}} Ông có hai chị em gái là Anna Maria và Maria Magdalena, và một em trai là Johann Heinrich.{{sfn|Calinger|2016|p=11}}{{sfn|Gautschi|2008|p=4}} Ngay sau khi Leonhard chào đời, cha ông chuyển từ Basel đến thị trấn [[Riehen]], đây là nơi Euler đã dành hầu hết thời thơ ấu của mình. Paul Euler là một người bạn của [[Họ Bernoulli|dòng họ Bernoulli]]; [[Johann Bernoulli]] sau này được coi là nhà toán học hàng đầu của châu Âu, và sẽ là nguồn ảnh hưởng quan trọng nhất đối với cậu bé Leonhard.<ref name="Mathemagicalworld">{{Chú thích web|url=https://mathemagicalworld.weebly.com/leonhard-euler.html|title=Leonhard Euler|quote=Soon after the birth of Leonhard, the Eulers moved from Basel to the town of Riehen, where Euler spent most of his childhood. Paul Euler was a friend of the Bernoulli family—Johann Bernoulli, who was then regarded as Europe's foremost mathematician, would eventually be the most important influence on young Leonhard.|last=Acabal|first=Margie|language=en|date=|website=Mathemagicalworld|archive-url=|archive-date=|url-status=|access-date = ngày 29 tháng 10 năm 2019}}</ref>

Euler thừa hưởng nền giáo dục chính thức bắt đầu tại Basel, nơi ông đến sống với bà ngoại của ông. Năm 1720, lúc 13 tuổi, ông theo học tại [[Đại học Basel]], và năm 1723, ông nhận bằng [[Thạc sĩ Triết học]] với luận văn so sánh các triết luận của [[René Descartes|Descartes]] và [[Isaac Newton|Newton]]. Trong thời gian đó, ông cũng đã được học các bài giảng từ [[Johann Bernoulli]] vào những buổi chiều thứ bảy, người đã nhanh chóng khám phá ra tài năng [[toán học]] lạ thường ở cậu học sinh mới của mình.<ref name="childhood">{{Chú thích sách |last= James |first= Ioan |title= Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann |language=en |publisher= Cambridge |year= 2002|page=2 |isbn= 0-521-52094-0}}</ref> Vào thời điểm đó, các nghiên cứu chính của Euler bao gồm [[thần học]], [[tiếng Hy Lạp]] và [[tiếng Hebrew|Hebrew]] tuân theo sự thúc giục của cha ông để Euler trở thành mục sư, nhưng Bernoulli đã thuyết phục cha của Leonhard rằng cậu bé đã được định để trở thành một [[nhà toán học]] vĩ đại.<ref name="kobotis">{{Chú thích web|url=http://kobotis.net/math/MathematicalWorlds/Fall2015/131/Projects/Biography/Euler.pdf|title=Leonhard Euler|last=|first=|language=en|date=|website=|publisher=kobotis technologies, inc.|archive-url=https://web.archive.org/web/20191029025442/http://kobotis.net/math/MathematicalWorlds/Fall2015/131/Projects/Biography/Euler.pdf|archive-date=2019-10-29|url-status=dead|access-date=ngày 29 tháng 10 năm 2019}}</ref><ref name="bookofdaystales">{{Chú thích web|url=http://www.bookofdaystales.com/euler|title=Euler|last=|first=|date=|website=Book of Days Tales|archive-url=|archive-date=|url-status=|access-date = ngày 29 tháng 10 năm 2019 |quote=The political situation in Russia stabilized after Catherine the Great's accession to the throne, so in 1766 Euler accepted an invitation to return to the St. Petersburg Academy. His conditions were steep – a 3000 ruble annual salary, a pension for his wife, and the promise of high-ranking appointments for his sons. All of these requests were granted. He spent the rest of his life in Russia. However, his second stay in the country was marred by tragedy. A fire in St. Petersburg in 1771 cost him his home, and almost his life. In 1773, he lost his wife Katharina after 40 years of marriage. Three years after his wife's death, Euler married her half-sister, Salome Abigail Gsell (1723–1794). This marriage lasted until his death.}}</ref>

Năm 1726, Euler hoàn thành luận văn về sự [[sóng âm thanh|truyền âm thanh]] với tiêu đề ''De Sono.''<ref>Ian Bruce. [http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e002tr.pdf "Euler's Dissertation De Sono: E002. Translated & Annotated"] (PDF). 17centurymaths.com. Truy cập ngày 14 tháng 9 năm 2011.</ref> Vào thời điểm đó, ông không thành công khi cố gắng có được một vị trí tại [[Đại học Basel]]. Năm 1727, Leonhard lần đầu tiên tham gia "Cuộc thi giải toán" của [[Viện Hàn lâm Paris]]; câu đố năm đó là tìm cách tốt nhất để đặt cột buồm trên tàu. [[Pierre Bouguer]], người sau này được biết đến như là "cha đẻ của [[Kiến trúc|kiến trúc]] [[hải quân]]", đã chiến thắng và Euler đứng thứ hai. Euler sau đó đã giành chiến thắng cuộc thi hàng năm này đến mười hai lần.<ref name=":0">Calinger 1996, tr. 156</ref>

=== Saint Petersburg ===
Trong khoảng thời gian này, hai con trai của Johann Bernoulli, là [[Daniel Bernoulli|Daniel]] và [[Nicolaus Be|Nicolaus]], đang làm việc tại [[Viện Hàn lâm Khoa học Nga|Viện Hàn lâm Khoa học Đế quốc Nga]] ở [[Saint Petersburg]]. Vào ngày 31 tháng 7 năm 1726, Nicolaus mất do [[viêm ruột thừa]] trong lúc ở Nga dưới một năm,<ref>Ronald Calinger. Leonhard Euler: Những năm ở Saint Petersburg (1727-1741). Historia Mathematica 23, 2 (1996), 121-166, [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086096900154?via%3Dihub đọc tại đây]</ref><ref>O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. [http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bernoulli_Nicolaus(II).html "Nicolaus(II) Bernoulli"]. ''MacTutor History of Mathematics archive''. University of St Andrews. Truy cập ngày 24 tháng 1 năm 2016.</ref> và khi Daniel đảm nhận vị trí của anh trai tại phân viện toán học/[[Vật lý học|vật lý]], ông đã đề nghị rằng vị trí ở phân viện [[sinh lý học]] mà anh trai ông bỏ trống có thể được đảm trách bởi người bạn Euler.<ref name="Mathemagicalworld"/> Vào tháng 11 năm 1726, Euler háo hức chấp nhận lời đề nghị, nhưng trì hoãn chuyến đi đến Saint Petersburg vì trong lúc đó ông đã không thành công khi nộp đơn làm giáo sư vật lý tại Đại học Basel.<ref>{{Harvnb|Calinger|1996|p=125}}</ref>

[[Tập tin:The Soviet Union 1957 CPA 2000 stamp, Portrait of Leonhard Euler (1707-1783).jpg|trái|nhỏ|275x275px|[[Liên Xô]] phát hành tem kỷ niệm sinh nhật lần thứ 250 của Euler năm 1957. Đoạn văn viết: 250 năm sau ngày sinh nhà toán học vĩ đại, nhà hàn lâm Leonhard Euler.]]
Euler đến Saint Petersburg vào ngày 17 tháng 5 năm 1727. Một thời gian sau ông được đề cử từ vị trí nhân viên ở phân viện y học của Viện Hàn lâm chuyển sang vị trí trong phân viện toán học. Ông sống cùng với [[Daniel Bernoulli]], người mà ông đã làm việc chặt chẽ cùng. Euler đã thông thạo tiếng Nga, ổn định cuộc sống tại Saint Petersburg và đảm nhận thêm một công việc là y sĩ trong Hải quân Nga.<ref>{{Harvnb|Calinger|1996|p=127}}</ref>

Viện Hàn lâm Saint Petersburg, được thành lập bởi [[Pyotr I của Nga|Peter Đại đế]], có mục đích cải thiện giáo dục ở Nga và để thu hẹp khoảng cách khoa học với Tây Âu. Kết quả là, hoạt động của Viện đặc biệt hấp dẫn với các học giả nước ngoài như Euler. Viện có nguồn tài chính phong phú và một thư viện toàn diện được trích ra từ chính các thư viện riêng của Peter và của tầng lớp quý tộc. Rất ít học sinh được ghi danh vào Viện Hàn lâm để làm giảm gánh nặng dạy học của giảng viên, và Viện nhấn mạnh vào công tác nghiên cứu và đề nghị các thành viên dành nỗ lực của họ cũng như thời gian và sự tự do để theo đuổi các câu hỏi khoa học.<ref name=":0" />

Người bảo trợ của Học viện, nữ hoàng [[Yekaterina I]], đã tiếp tục các chính sách tiến bộ của người chồng quá cố. Giới quý tộc Nga sau đó đã giành được quyền lực với sự lên ngôi của [[Pyotr II của Nga|Pyotr II]] lúc 12 tuổi. Giới quý tộc đã nghi ngờ các nhà khoa học ngoại quốc của học viện, do vậy họ đã cắt giảm kinh phí hoạt động và gây ra những khó khăn khác cho Euler và các đồng nghiệp của ông.<ref name="Mathemagicalworld"/><ref>{{Chú thích web|url=https://www.geni.com/people/Leonhard-Paul-Euler/6000000003310137473|title=Leonhard Paul Euler|last=|first=|language=en|date=|website=Geni.com|archive-url=|archive-date=|url-status=|access-date = ngày 29 tháng 10 năm 2019}}</ref>

Các điều kiện làm việc được cải thiện nhẹ sau khi Pyotr II băng hà và [[Anna của Nga]], người chịu ảnh hưởng từ Đức, lên ngai vàng.{{sfn|Calinger|1996|p=128}} Euler nhanh chóng thăng tiến trong học viện và được bổ nhiệm làm giáo sư vật lý vào năm 1731. Hai năm sau đó, [[Daniel Bernoulli]], người bị ảnh hưởng nặng bởi việc kiểm duyệt và những thù địch mà ông phải đối mặt tại Saint Petersburg, đã rời Nga đến [[Basel]]. Euler đã kế nhiệm ông làm trưởng phân viện Toán học.<ref>{{Harvnb|Calinger|1996|pp=128-129}}</ref>

Vào ngày 7 tháng 1 năm 1734, ông kết hôn với [[Katharina Gsell]] (1707–1773), con gái của [[Georg Gsell]], một họa sĩ của Học viện giáo dục.<ref name=gekker>{{harvnb|Gekker|Euler|2007|p=[https://books.google.com/books?id=Ta9bz1wv79AC&pg=PA402 402]}}</ref> Cặp vợ chồng trẻ mua một căn nhà bên cạnh [[sông Neva]]. Trong số mười ba đứa con của họ, chỉ có năm người sống đến lúc trưởng thành.<ref>Fuss, Nicolas. [http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Euler_Fuss_Eulogy.html "Eulogy of Euler by Fuss"] [Bài ca ngợi cho Euler bởi Fuss]. Truy cập ngày 30 tháng 8 năm 2006.</ref>

=== Berlin ===
[[Tập tin:Euler GDR stamp.jpg|nhỏ|267x267px|Con tem của cựu [[Cộng hòa Dân chủ Đức]] tôn vinh Euler nhân dịp kỷ niệm 200 năm ngày mất của ông. Ở giữa con tem cho thấy công thức đa diện, trong tiếng Anh viết là "v - e + f = 2".]]
Lo ngại về tình trạng bất ổn đang diễn ra ở Nga, Euler rời St. Petersburg ngày 19 tháng 6 năm 1741 để đảm nhiệm vị trí tại [[Viện Hàn lâm Khoa học Phổ|Viện Hàn lâm Berlin]], theo lời mời của [[Friedrich II của Phổ|Friedrich Đại đế]]. Ông sống 25 năm tại Berlin, nơi ông viết hơn 380 bài báo. Ở [[Berlin]], ông xuất bản hai tác phẩm mà sẽ trở thành nổi tiếng nhất: ''Introductio in analysin infinitorum'', một cuốn về các hàm toán học được xuất bản năm 1748, và cuốn ''Institutiones calculi differentialis'',<ref>[http://eulerarchive.maa.org//pages/E212.html "E212 – Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum"]. Dartmouth.</ref> xuất bản năm 1755 về [[Giải tích toán học|giải tích]] [[vi phân]].<ref name=":1">Dunham 1999, tr. xxiv–xxv</ref> Năm 1755, ông được bầu làm thành viên nước ngoài của [[Viện Hàn lâm Khoa học Hoàng gia Thụy Điển]].

Ngoài ra, Euler được yêu cầu dạy học cho [[Friederike Charlotte vùng Brandenburg-Schwedt]], hay chính là công chúa vùng [[Anhalt-Dessau]] và là cháu gái của Friedrich. Euler đã viết hơn 200 lá thư cho cô vào đầu thập niên 1760, sau đó đã được biên soạn thành một cuốn bán rất chạy với tựa đề đầy đủ là ''Thư của Euler'' ''về các chủ đề triết học tự nhiên khác nhau gửi đến một công chúa Phổ''.<ref>Euler, Leonhard. [[iarchive:letterseulertoa00eulegoog/page/n5|"Letters to a German Princess on Diverse Subjects of Natural Philosophy"]] [Thư gửi công chúa Phổ về các chủ đề về triết học tự nhiên]. Internet Archive, Kỹ thuật hóa bởi Google. Truy cập ngày 15 tháng 4 năm 2013.</ref> Tác phẩm này chứa đựng những giải thích của Euler về nhiều chủ đề liên quan đến vật lý và toán học, cũng như cung cấp thêm hiểu biết có giá trị về tính cách và niềm tin tôn giáo của Euler. Cuốn sách này được đọc rộng rãi hơn bất kỳ tác phẩm toán học nào của ông và được xuất bản trên khắp châu Âu và Hoa Kỳ. Sự phổ biến của cuốn ''Thư của Euler'' chứng minh cho khả năng của Euler trong việc truyền đạt các vấn đề khoa học một cách có hiệu quả đến đối tượng đại chúng (tức không có chuyên môn trong ngành), một khả năng thường ít có ở một nhà khoa học nghiên cứu chuyên sâu.<ref name=":1" />

Mặc dù có đóng góp to lớn của Euler cho uy tín của Viện Hàn lâm Khoa học Phổ, ông lại làm Friedrich nổi giận và cuối cùng phải rời khỏi Berlin. Xung quanh nhà vua Phổ có đông đảo trí thức trong triều đình, và ông đã thấy Euler không tinh tế và không có nhiều kỹ năng ngoài tính toán và con số. Euler là người đơn giản và sùng đạo, cũng như không bao giờ đặt câu hỏi về trật tự xã hội hiện tại hay những niềm tin thông thường; và trong nhiều trường hợp là cực đối nghịch với [[Voltaire]], người thích vị trí cao trong triều đình của Friedrich. Euler không phải là một nhà tranh biện giỏi và thường thể hiện ra khi ông tranh luận về các đối tượng mà ông biết rất ít, khiến ông trở thành đối tượng châm biếm thường xuyên.<ref name=":1" /> Friedrich Đại đế cũng bày tỏ sự thất vọng với kỹ năng thực tiễn của Euler trong lá thư gửi đến Voltaire:<blockquote>Trẫm muốn có một vòi nước trong vườn: Euler tính toán lực của bánh xe nước cần thiết để nâng nước vào một hồ chứa, từ đó nước sẽ chảy tuôn vào các kênh, cuối cùng đến đài nước phụt lên tại [[Sanssouci]]. Vòi nước của ta đã được thiết kế mang tính hình học như thế và không thể đẩy lượng nước nằm gần hơn năm mươi bước vào hồ chứa. Đúng là vớ vẩn của vớ vẩn! Thứ hình học phù phiếm!<ref>Frederick II của Phổ (1927). ''Letters of Voltaire and Frederick the Great, Letter H 7434, ngày 25 tháng 1 năm 1778'' [''Thư từ giữa Friedrich và Voltaire, Lá thư số 7434, 25 Tháng 1 1778'']. Richard Aldington. New York: Brentano's.</ref></blockquote>

=== Suy giảm thị lực ===
[[Tập tin:Leonhard Euler.jpg|thumb|Chân dung Euler năm 1753 của [[Emanuel Handmann]], cho thấy lông mi phải của Euler có vấn đề, có thể là [[mắt lé|lác]]. Mắt trái của Euler, tuy trông bình thường, sau đó bị mắc bệnh [[cườm khô]].<ref name="blind">{{harvnb|Calinger|1996|pp=154–5}}</ref>]]
[[Thị giác]] của Euler ngày càng tệ hơn trong sự nghiệp toán học của ông. Năm 1738, ba năm sau khi gần khỏi [[sốt]], mắt phải của ông trở nên gần như bị mù, nhưng Euler lại đổ lỗi tình trạng này là do công việc [[bản đồ học|vẽ bản đồ]] cho Viện Hàn lâm St Petersburg. Thị lực của Euler ngày càng tệ hơn trong suốt thời gian ông ở Đức, thậm chí lúc đó Friedrich còn gọi ông là "[[Cyclops|Một mắt]]". Mắt trái Euler sau đó còn xuất hiện [[cườm khô]] ở [[thủy tinh thể]] mà được được phát hiện vào năm 1766. Chỉ vài tuần sau khi phát hiện ra nó, ông đã gần như bị mù hoàn toàn.<ref name="kobotis"/> Tuy nhiên, tình trạng đó dường như ít ảnh hưởng đến khả năng làm việc của ông, vì ông có thiên bẩm về kỹ năng tính nhẩm và trí nhớ siêu phàm - bù lại cho thị lực kém. Khi cả hai mắt đều không nhìn được, Euler nói: "Bây giờ tôi sẽ ít xao nhãng hơn".<ref>[https://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=38586 Leonhard Euler] tại ''Mathematics Genealogy Project''</ref> Ví dụ, Euler có thể đọc thuộc lòng sử thi ''[[Aeneis|Aeneid]]'' của [[Vergilius|Publius Vergilius]] từ đầu đến cuối mà không vấp, và ông cũng có thể chỉ ra dòng nào là đầu tiên và là cuối cùng của mỗi trang trong bản in. Với sự trợ giúp của các phụ tá ghi chép, năng suất của Euler trên nhiều lĩnh vực nghiên cứu lại thực sự tăng lên. Trong năm 1775, trung bình, ông viết một trang toán học mỗi tuần.<ref name="volumes">{{Chú thích tạp chí |last = Finkel |first = B. F. |year = 1897 |title = Biography—Leonard Euler |url = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1897-12_4_12/page/297 |trans-title=Tiểu sử—Leonard Euler |journal = The American Mathematical Monthly |volume = 4 | issue = 12 |jstor = 2968971|pages = 297–302|doi=10.2307/2968971  |issn=0002-9890}}</ref> Gia đình dòng họ Euler còn mang một cái tên kép, Euler-Schölpi, phần sau của nó có nguồn gốc từ ''schelb'' và ''schief'', có nghĩa là mờ mắt, hoặc tàn tật. Điều này cho thấy một số người trong dòng họ Euler từng có những vấn đề liên quan đến mắt.<ref>Calinger, Ronald (2016). [https://press.princeton.edu/books/hardcover/9780691119274/leonhard-euler ''Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment''] Leonhard Euler nhà toán học khai sáng. Ronald S. Calinger. Princeton University Press. p. 8. <nowiki>ISBN 9781400866632</nowiki>.</ref>

=== Trở về Nga và qua đời ===
[[Tập tin:Euler Grave at Alexander Nevsky Monastry.jpg|thumb|left|Mộ của Euler tại [[Tu viện Alexander Nevsky]]]]
Năm 1760, trong [[chiến tranh Bảy Năm]], trang trại của Euler ở [[Charlottenburg-Wilmersdorf|Charlottenburg]], Berlin bị cướp phá bởi lính Nga khi họ tràn qua. Khi biết được sự việc này, tướng [[Ivan Petrovich Saltykov]] đã bồi thường thiệt hại tài sản cho Euler, sau đó Nữ hoàng [[Elizaveta của Nga|Elizaveta]] đã đền bù thêm 4000 rúp, một khoản tiền rất lớn vào thời đó.<ref>Gindikin, S.G., Гиндикин С. Г., МЦНМО, НМУ, 2001, tr. 217.</ref> Tình hình chính trị ở Nga đã ổn định sau khi [[Ekaterina II của Nga|Ekaterina II Đại đế]] lên ngôi, vì vậy, năm 1766 Euler chấp nhận lời mời trở lại Viện Hàn lâm St. Petersburg. Các điều kiện của ông khá là cao - với mức lương hàng năm đến 3000 rúp, tiền trợ cấp cho vợ ông, và những hứa hẹn sẽ bổ nhiệm các vị trí danh giá cho các con trai ông. Tất cả những điều kiện này đều được chấp thuận. Ông đã sống những năm tháng cuối đời ở Nga. Tuy nhiên, một bi kịch đã xảy đến. Một trận hỏa hoạn tại St. Petersburg năm 1771 khiến ông mất nhà và suýt nữa là mạng sống. Năm 1773, vợ ông, Katharina, mất sau gần 40 năm chung sống.<ref name="bookofdaystales"/>

Ba năm sau cái chết của Katharia, Euler kết hôn với người em (không cùng cha/mẹ) của vợ mình, [[Salome Abigail Gsell]] (1723–1794).<ref name=gekker2>{{Harvard citation no brackets|Gekker|Euler|2007|p=[https://books.google.com/books?id=Ta9bz1wv79AC&pg=PA405 405]}}</ref> Cuộc hôn nhân này kéo dài đến khi ông qua đời. Năm 1782, ông được bầu làm Thành viên Danh dự ngoại quốc của [[Viện Hàn lâm Khoa học và Nghệ thuật Hoa Kỳ|Viện Hàn lâm Nghệ thuật và Khoa học Hoa Kỳ]].<ref>[https://www.amacad.org/sites/default/files/academy/multimedia/pdfs/publications/bookofmembers/ChapterE.pdf "Book of members, 1780–2010: Chapter E"] [Kỷ yếu thành viên, 1780–2010: Chương E"] (PDF). American Academy of Arts and Sciences. Truy cập ngày 28 tháng 7 năm 2014.</ref>

Tại Saint Petersburg vào ngày 18 tháng 9 năm 1783, sau bữa ăn trưa với gia đình, khi Euler đang thảo luận về hành tinh mới được khám phá sao [[Sao Thiên Vương|Thiên vương]] và quỹ đạo của nó với viện sĩ [[Anders Johan Lexell]], người ông đổ sụp xuống do xuất huyết não. Ông qua đời vài giờ sau đó.<ref>A. Ya. Yakovlev (1983). ''Leonhard Euler''. M.: Prosvesheniye.</ref> [[Jacob von Staehlin-Storcksburg]] đã viết một bài cáo phó ngắn cho [[Viện Hàn lâm Khoa học Nga]]. Sau đó, nhà toán học người Nga [[Nicolas Fuss]], một trong các học trò của Euler, đã viết điếu văn chi tiết hơn,<ref>"Eloge de M. Leonhard Euler. Par M. Fuss". ''Nova Acta Academia Scientarum Imperialis Petropolitanae''. '''1''': 159–212. 1783.</ref> và chính ông đọc tại buổi lễ tưởng niệm. Trong bài viết tưởng niệm gửi đến Viện Hàn lâm Pháp, nhà toán học và triết gia người Pháp [[Marquis de Condorcet]], đã viết:<blockquote>''il cessa de calculer et de vivre -... ông đã ngừng tính và ngừng sống''.<ref>Marquis de Condorcet. [http://eulerarchive.maa.org//historica/condorcet.html ''Eulogy to Mr. Euler'' "Điếu văn Euler – Marquis de Condorcet"]. Truy cập ngày 30 tháng 8 năm 2006.</ref></blockquote>

Euler được chôn bên cạnh người vợ Katharina tại nghĩa trang [[Smolensk Lutheran]] trên đảo Goloday. Vào năm 1785, Viện Hàn lâm Khoa học Nga đã đặt bức tượng bán thân bằng đá cẩm thạch của Leonhard Euler trên một bệ, ngay cạnh ghế Chủ tịch viện. Năm 1837, Viện đã đặt bia mộ cho huyệt của ông. Để tưởng nhớ 250 năm ngày sinh của Euler vào năm 1956, ngôi mộ của ông được cải táng đến [[Nghĩa trang Lazarevskoe]] tại [[Tu viện Alexander Nevsky]].<ref name="bookofdaystales"/>

== Đóng góp ==
Euler đã làm việc trong hầu hết các lĩnh vực của toán học, như [[hình học]], [[số vô cùng bé]] (infinitesimal), [[vi tích phân]], [[lượng giác]], [[đại số]], [[lý thuyết số]], cũng như [[cơ học môi trường liên tục]], [[thuyết mặt trăng]] và các lĩnh vực khác của [[vật lý học]]. Ông là một nhân vật tiêu biểu trong [[lịch sử toán học]]; nếu được in, các tác phẩm của ông, đa số đều là các tác phẩm cơ bản, sẽ chiếm từ 60 đến 80 pho sách.<ref name="volumes"/> Tên gọi Euler được gắn cùng rất nhiều chủ đề toán học, đến nổi trong ngành toán học có câu nói rằng các khám phá và định lý được đặt tên theo người chứng mình chúng ''sau'' Euler.<ref>{{Chú thích| year=2008 | title=Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology |authors=David S. Richeson| edition=illustrated | publisher=Princeton University Press | isbn=978-0-691-12677-7 | page=86 | url=https://books.google.com/?id=LB_6VogerHIC&pg=PA86&dq=%22person+after+Euler%22}}</ref><ref>{{Chú thích| year=2004 | title=Differential equations and boundary value problems: |authors=C. H. Edwards; David E. Penney| publisher=清华大学出版社 | isbn=978-7-302-09978-9 | page=443 | url=https://books.google.com/?id=51KTl4Fmh2wC&pg=PA443&dq=%22person+after+Euler%22}}</ref>

Euler là nhà toán học duy nhất có hai số mang theo tên của ông: [[e (số)|Số e]] trong vi tích phân, ''e'', xấp xỉ 2,71828, và [[hằng số Euler–Mascheroni]] γ ([[gamma]]) đôi khi được gọi là "hằng số Euler", xấp xỉ 0.57721. Các nhà toán học vẫn chưa biết được số γ là [[số hữu tỉ]] hay [[số vô tỉ]].<ref name=derbysh>{{Chú thích sách|last=Derbyshire|first=John|title=Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics|url=https://archive.org/details/primeobsessionbe00derb_046|year=2003|publisher=Joseph Henry Press|location=Washington, D.C.|page=[https://archive.org/details/primeobsessionbe00derb_046/page/n438 422]}}</ref>

=== Ký hiệu toán học ===
Euler đã giới thiệu và phổ biến một vài khái niệm và [[Danh sách ký hiệu toán học|ký hiệu]] quy ước thông qua các cuốn sách được lưu truyền rộng rãi của ông. Nổi bật nhất, ông giới thiệu khái niệm [[hàm số]]<ref name="function"/> và là người đầu tiên viết ''f''(''x'') để ký hiệu hàm ''f'' áp dụng cho đối số ''x''. Ông cũng đưa ra các ký hiệu hiện đại cho các [[hàm lượng giác]], chữ cái {{math|''e''}} cho cơ số của [[logarit tự nhiên]] (mà ngày nay còn gọi là [[số e|số Euler]]), chữ cái Hy Lạp [[Sigma|Σ]] viết hoa cho ký hiệu tổng và chữ {{math|''i''}} ký hiệu cho [[đơn vị ảo]].<ref name=Boyer>{{Chú thích sách|title = A History of Mathematics|url = https://archive.org/details/historymathemati00boye_328|last= Boyer|first=Carl B.|author2=Merzbach, Uta C. |publisher= [[John Wiley & Sons]]|isbn= 0-471-54397-7|pages = [https://archive.org/details/historymathemati00boye_328/page/n458 439]–445|year = 1991}}</ref> Việc sử dụng chữ cái Hy Lạp ''[[pi (chữ cái)|π]]'' ký hiệu cho [[pi|tỷ số giữa chu vi và đường kính của hình tròn]] cũng được phổ biến bởi Euler, mặc dù nguồn gốc của nó được nhà toán học [[người Wales|xứ Wales]] [[William Jones (nhà toán học)|William Jones]] đưa ra.<ref name="pi">{{Chú thích web|url=http://www.stephenwolfram.com/publications/mathematical-notation-past-future/|title=Mathematical Notation: Past and Future|last=Wolfram|first=Stephen|date=|website=|archive-url=|archive-date=|url-status=}}</ref>

=== Hình học ===
{{Hình học}}
[[Tập tin:Eulerangles.svg|right|thumb|250px|Định nghĩa [[góc Euler]]. Hệ tọa độ ''xyz'' (cố định) màu xanh lam, hệ tọa độ ''XYZ'' (quay) màu đỏ. [[điểm nút quỹ đạo|Đường nút]] (''N'') màu xanh lục.]]
Các nghiên cứu của Euler về [[hình học]] trên phạm vi rộng lớn bao gồm trong [[hình học phẳng]] lẫn [[hình học không gian]]. Ông tìm hiểu tính chất các đường trong [[tam giác]] với các kết quả như: định lý [[đường thẳng Euler]],<ref>{{mathworld | title = Euler Line | urlname = EulerLine}}</ref> [[Định lý Euler (hình học)|định lý Euler]] liên hệ giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp,<ref>{{mathworld | title = Euler Triangle Formula | urlname = EulerTriangleFormula}}</ref> [[đường tròn Euler|đường tròn chín điểm]] trong một tam giác.<ref>{{mathworld | title = Nine-Point Circle | urlname = Nine-PointCircle}}</ref> Ông cũng [[định lý về các cạnh tứ giác của Euler|khám phá]] ra mối liên hệ giữa [[Phép cộng|tổng]] [[bình phương]] các cạnh một [[tứ giác]] với tổng bình phương hai [[đường chéo]] của nó.<ref>Lokenath Debnath: ''The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute''. World Scientific, 2010, {{ISBN|9781848165267}}, pp. [https://books.google.com/books?id=dDfICgAAQBAJ&pg=PA105 105–107]</ref> Về hình học không gian, ông đưa ra định nghĩa [[góc Euler]]<ref>{{mathworld | title = Euler Angles | urlname = EulerAngles}}</ref> nhằm miêu tả [[phương hướng]] của [[vật rắn]] trong không gian 3 chiều và [[định lý quay Euler|định lý quay vật rắn]].<ref>{{mathworld | title = Euler's Rotation Theorem | urlname = EulersRotationTheorem}}</ref>

Euler cũng tìm hiểu mối liên hệ giữa hình học và số học thông qua [[hình hộp Euler|bài toán]] tìm các [[hình hộp chữ nhật]] mà cả ba cạnh và 3 đường chéo của mỗi mặt đều là các [[số tự nhiên]].<ref>{{mathworld | title = Euler Brick | urlname = EulerBrick}}</ref>

=== Giải tích ===
Sự phát triển của ngành [[Giải tích toán học|giải tích]] vô cùng bé (infinitesimal calculus) là lĩnh vực được các nhà toán học thế kỷ 18 ưu tiên nghiên cứu hàng đầu, và các nhà toán học trong [[gia đình Bernoulli]]—những người bạn gia đình của Euler—có vai trò chính trong sự tiến triển đầu tiên của lĩnh vực. Nhờ ảnh hưởng của họ, việc nghiên cứu giải tích trở thành trọng tâm chính của Euler. Trong khi một số chứng minh của Euler không được chấp nhận nếu dựa theo các tiêu chuẩn hiện đại về mức độ chặt chẽ toán học<ref name = "Basel"/> (ông đặc biệt dựa trên nguyên tắc tính tổng quát của đại số, generality of algebra), các ý tưởng của ông đã đưa đến nhiều đột phá lớn. Euler còn nổi tiếng trong ngành [[giải tích toán học|giải tích]] với việc sử dụng thường xuyên và phát triển các [[chuỗi lũy thừa]], trong đó các hàm số được biểu diễn dưới dạng tổng vô hạn các số hạng,<ref name="Dave Armstrong">{{Chú thích sách|title=Science and Christianity: Close Partners or Mortal Enemies?|last=Armstrong|first=Dave|publisher=|year=2012|language=en|isbn=|location=|pages=}}</ref> như

:<math>e^x = \sum_{n=0}^\infty {x^n \over n!} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{0!} + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right).</math>

Đặc biệt, Euler đã chứng minh trực tiếp công thức khai triển thành chuỗi lũy thừa cho {{math|''e''}} và [[hàm lượng giác ngược|hàm tang lượng giác ngược]] (chứng minh gián tiếp thông qua kỹ thuật chuỗi lũy thừa ngược đưa ra bởi [[Isaac Newton|Newton]] và [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] trong giai đoạn từ 1670 đến 1680). Việc táo bạo sử dụng chuỗi lũy thừa cho phép ông giải được bài toán nổi tiếng [[vấn đề Basel]] vào năm 1735 (và ông đưa ra các lập luận kỹ lưỡng hơn vào năm 1741), tính tổng các nghịch đảo bình phương các số tự nhiên:<ref name="Basel">{{Chú thích sách|authors=Gerhard Wanner & Harrier, Ernst| title = Analysis by its history|edition=1 | year = 2005| publisher = Springer| page = 62}}</ref>

:<math>\zeta(2) = \sum_{n=1}^\infty {1 \over n^2} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{\pi ^2}{6}.</math>
ở đó <math>\zeta(s)</math> là [[hàm Euler zeta]] (không nên lầm lẫn với hàm Riemann zeta vốn không hoàn toàn giống nhau ở miền giá trị của x).

[[Tập tin:Euler's formula.svg|nhỏ|Ý nghĩa [[hình học]] của [[công thức Euler]]]]

Euler giới thiệu cách sử dụng các [[hàm mũ]] và [[logarit]] trong các chứng minh giải tích. Ông khám phá ra cách biểu diễn nhiều hàm logarit khác nhau dưới dạng các chuỗi lũy thừa, và ông đã định nghĩa thành công logarit cho các [[số âm]] và [[số phức]], do đó giúp mở rộng xa hơn phạm vi ứng dụng toán học của logarit.<ref name=Boyer/> Ông cũng nêu định nghĩa hàm mũ cho các số phức, và khám phá ra mối liên hệ của nó với các hàm lượng giác. Đối với một [[số thực]] [[φ|{{math|φ}}]] bất kỳ (đơn vị đo theo [[radian]]), [[công thức Euler]] về hàm mũ phức được viết như sau

:<math>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi.</math>

Một trường hợp đặc biệt của công thức trên đó là [[đồng nhất thức Euler]],
:<math>e^{i \pi} +1 = 0 </math>
được nhà vật lý [[Richard P. Feynman]] coi là "công thức đáng chú ý nhất trong toán học", vì trong một công thức có xuất hiện của các phép toán [[phép cộng|cộng]], [[phép nhân|nhân]], [[lũy thừa]], và dấu bằng, cũng như thể hiện mối liên hệ giữa các hằng số quan trọng 0, 1, {{math|''e''}}, {{math|''i''}} và {{pi}}.<ref name="Feynman">
{{Chú thích sách |last= Feynman|first= Richard|title= The Feynman Lectures on Physics: Volume I|page=10 |chapter= Chapter 22: Algebra |date=tháng 6 năm 1970}}</ref> Năm 1988, bạn đọc của tạp chí ''[[Mathematical Intelligencer]]'' bầu chọn đây là "công thức toán học đẹp nhất từ trước đến nay". Trong số công thức được bình chọn, có 3 công thức của Euler trong tổng số 5 công thức dẫn đầu ở cuộc bình chọn này.<ref name=MathInt>{{Chú thích tạp chí | last= Wells | first= David | year= 1990 | title = Are these the most beautiful? | url= https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_summer-1990_12_3/page/37 | journal = Mathematical Intelligencer | volume = 12 | issue = 3 | pages= 37–41 | doi= 10.1007/BF03024015 }}<br />{{Chú thích tạp chí | last= Wells | first= David | year= 1988 | title = Which is the most beautiful? | url= https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_fall-1988_10_4/page/30 | journal = Mathematical Intelligencer | volume = 10 | issue = 4 | pages= 30–31 | doi= 10.1007/BF03023741 }}</ref>

Ngoài ra, [[công thức de Moivre]] do [[Abraham de Moivre]] khám phá ra trước đó vào năm 1707 trở thành hệ quả trực tiếp của công thức Euler.

Thêm vào đó, Euler đã nghiên cứu sâu hơn lý thuyết các [[hàm siêu việt]] (transcendental functions) bằng đưa ra [[hàm gamma]] và phương pháp mới để giải các [[phương trình bậc bốn]]. Ông cũng tìm ra một cách tính các [[tích phân]] biến [[số phức]] giúp khai phá sơ bộ cho sự phát triển của [[giải tích phức]] hiện đại. Ông phát minh ra [[phép tính biến phân]] với kết quả nổi tiếng trong ngành này, đó là [[phương trình Euler–Lagrange]].<ref name="Reynaldo Wijaya">{{Chú thích web|url=https://www.academia.edu/23827159/Biography|title=Biography|last=Wijaya|first=Reynaldo|date=|website=Academia.edu|archive-url=|archive-date=|url-status=|access-date = ngày 29 tháng 10 năm 2019}}</ref>

Euler là người tiên phong sử dụng phương pháp giải tích để giải các vấn đề trong [[lý thuyết số]]. Với phương pháp này, ông đã kéo gần lại hai lĩnh vực dường như tách biệt của toán học và giới thiệu ra một ngành nghiên cứu mới, [[lý thuyết số giải tích]]. Các đột phát trong lĩnh vực này của Euler có thể liệt kê ra bao gồm [[chuỗi siêu hình học]] (hypergeometric series), q-series, [[Hàm hypebolic|hàm lượng giác hypebolic]] và lý thuyết giải tích [[liên phân số]] tổng quát hóa.<ref name="Reynaldo Wijaya"/> Ví dụ, ông chứng minh định lý có vô hạn [[số nguyên tố]] bằng cách sử dụng tính phân kỳ của các chuỗi điều hòa (harmonic series), và ông sử dụng phương pháp giải tích để thu thêm hiểu biết về sự phân bố của các số nguyên tố. Công trình của Euler trong lĩnh vực này dẫn đến sự phát triển của [[định lý số nguyên tố]] (prime number theorem, định lý phát biểu về sự phân bố của số nguyên tố giữa hai số nguyên dương cho trước).<ref name="analysis">{{harvnb|Dunham|1999|loc=Ch. 3, Ch. 4}}</ref>

=== Lý thuyết số ===
Mối quan tâm của Euler về [[lý thuyết số]] có thể lần lại từ ảnh hưởng của nhà toán học [[Christian Goldbach]], một người bạn của ông ở Viện hàn lâm St. Petersburg. Nhiều tác phẩm ban đầu của Euler về lý thuyết số dựa trên các nghiên cứu của [[Pierre de Fermat]]. Euler đã phát triển một số ý tưởng của Fermat và bác bỏ một số phỏng đoán của nhà toán học này.<ref name="Mathemagicalworld"/><ref name="Reynaldo Wijaya"/><ref name="M. B. W. Tent">{{Chú thích sách|title=Leonhard Euler and the Bernoullis: Mathematicians from Basel|last=Tent|first=M. B. W.|publisher=|year=2009|isbn=|location=|pages=}}</ref>

Euler đã liên hệ bản chất của sự phân bố các số nguyên tố với các ý tưởng trong lĩnh vực giải tích. Ông chứng minh được [[sự phân kỳ của tổng nghịch đảo các số nguyên tố]] (xem [[Divergence of the sum of the reciprocals of the primes|Wikipedia tiếng Anh]]). Trong quá trình nghiên cứu tổng này, ông đã phát hiện ra mối liên hệ giữa [[hàm zeta Riemann]] và các số nguyên tố; mà kết quả được biết dưới dạng chứng minh của Euler về công thức tích cho hàm zeta Riemann<ref>{{Chú thích web|url=https://www.scirp.org/journal/paperinformation.aspx?paperid=72855|title=Approach to a Proof of the Riemann Hypothesis by the Second Mean-Value Theorem of Calculus|last=Wünsche|first=Alfred|date=2016-12|website=SCIRP|archive-url=|archive-date=|url-status=|access-date = ngày 30 tháng 10 năm 2019}}</ref><ref>{{Chú thích tạp chí|last=|first=|date=|title=Some Analytical and Computational Aspects of Prime Numbers, Prime Number Theorems and Distribution of Primes with Applications|url=https://link.springer.com/article/10.1007/s40819-014-0014-6|journal=International Journal of Applied Mathematics and Computer Science|volume=|pages=|via=}}</ref> (xem [[Proof of the Euler product formula for the Riemann zeta function|Wikipedia tiếng Anh]]).

Euler chứng minh được [[đồng nhất thức Newton]] (xem [[:en:Newton's identities|Wikipedia tiếng Anh]]), [[định lý nhỏ Fermat]], [[định lý Fermat về tổng của hai số chính phương]], và có đóng góp quan trọng cho [[định lý Lagrange về tổng bốn bình phương]] (xem [[:en:Lagrange's four-square theorem|Wikipedia tiếng Anh]]). Ông phát minh ra [[hàm phi Euler|hàm phi]] φ(''n''), số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng [[số nguyên]] ''n'' mà [[nguyên tố cùng nhau]] với ''n''. Sử dụng các tính chất của hàm này, ông đã tổng quát hóa định lý nhỏ Fermat thành dạng mà ngày nay biết đến là [[định lý Euler]]. Ông có đóng góp đặc biệt quan trọng cho lý thuyết [[số hoàn hảo]], lý thuyết đã làm say mê các nhà toán học từ thời [[Euclid]]. Euler đã chứng minh mối liên hệ tường minh giữa số hoàn hảo và [[số nguyên tố Mersenne]] được chứng minh trước đó bởi Euclid là quan hệ một - một, kết quả ngày nay được biết đến với [[định lý Euclid–Euler]] (mỗi số nguyên tố Mersenne sẽ cho tương ứng một số hoàn hảo, và ngược lại). Euler cũng nêu ra phỏng đoán về [[luật tương hỗ bậc hai]]. Khái niệm này được coi như là định lý cơ bản của lý thuyết số, và ý tưởng của ông đặt cơ sở cho công trình của [[Carl Friedrich Gauss]] về luật tương hỗ bậc hai sau này.<ref name="numbertheory">{{harvnb|Dunham|1999|loc=Ch. 1, Ch. 4}}</ref> Năm 1772, Euler chứng minh được 2<sup>31</sup>&nbsp;−&nbsp;1 = [[2147483647 (số)|2,147,483,647]] là số nguyên tố Mersenne. Nó là [[số nguyên tố lớn nhất được biết]] cho đến tận năm 1867.<ref name=caldwell>Caldwell, Chris. [http://primes.utm.edu/notes/by_year.html ''The largest known prime by year'']</ref>

=== Lý thuyết đồ thị ===
[[Tập tin:Konigsberg bridges.png|nhỏ|phải|Bản đồ thành phố Königsberg thời Euler cho thấy bố trí thực tế của bảy cây cầu bắc qua sông Pregel.]]
Năm 1735, Euler trình bày lời giải về bài toán nổi tiếng [[Bài toán bảy cây cầu Euler|bảy cây cầu ở Königsberg]].<ref name="bridge"/> Thành phố [[Königsberg]], khi ấy thuộc Vương quốc Phổ nằm bên bờ [[sông Pregel]], trong đó có hai đảo lớn được nối với nhau và với đất liền bằng 7 cây cầu. Bài toán đặt ra là liệu có con đường nào để đi liền một mạch mà mỗi lần chỉ đi qua đúng một cầu và quay trở lại điểm xuất phát. Câu trả lời là không tồn tại con đường như vậy: hay không tồn tại một [[đường đi Euler]]. Lời giải này được coi như là định lý đầu tiên trong lĩnh vực [[lý thuyết đồ thị]], đặc biệt là lý thuyết [[đồ thị phẳng]].<ref name="bridge">{{Chú thích tạp chí| last = Alexanderson| first = Gerald |date=tháng 7 năm 2006| title = Euler and Königsberg's bridges: a historical view| journal = Bulletin of the American Mathematical Society| doi = 10.1090/S0273-0979-06-01130-X| volume = 43| page = 567| issue = 4}}</ref>

Euler cũng khám phá ra [[Đồ thị phẳng#Công thức Euler cho đồ thị phẳng|công thức]] <math>V - E + F = 2</math> liên hệ giữa số đỉnh, số cạnh và số mặt của một [[đa diện lồi]],<ref name=cromw>{{Chú thích sách |first=Peter R. |last=Cromwell |title=Polyhedra |url=https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&pg=PA189 |year=1999 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-66405-9 |pages=189–190}}</ref> và cũng được áp dụng cho đồ thị phẳng. Hằng số trong công thức này về sau được gọi là [[đặc trưng Euler]] của đồ thị (hoặc cho những đối tượng toán học), và có liên hệ với [[giống (toán học)|giống]] của đối tượng.<ref name=gibbons>{{Chú thích sách |first=Alan |last=Gibbons |title=Algorithmic Graph Theory |url=https://books.google.com/books?id=Be6t04pgggwC&pg=PA72 |year=1985 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-28881-1 |page=72}}</ref> Các công trình nghiên cứu tổng quát hóa công thức này, đặc biệt bởi [[Augustin-Louis Cauchy|Cauchy]]<ref name="Cauchy">{{Chú thích tạp chí|author=Cauchy, A. L.|year=1813|title=Recherche sur les polyèdres—premier mémoire|journal=Journal de l'École Polytechnique|volume= 9 (Cahier 16)|pages=66–86}}</ref> và [[Simon Antoine Jean L'Huilier|L'Huilier]],<ref name="Lhuillier">{{Chú thích tạp chí|author=L'Huillier, S.-A.-J.|title=Mémoire sur la polyèdrométrie|journal=Annales de Mathématiques|volume=3|year=1861|pages=169–189}}</ref> cùng nhiều nhà toán học khác đặt cơ sở cho sự phát triển của lĩnh vực [[tô pô|tô-pô học]] sau này.

=== Toán ứng dụng ===
Một vài thành công lớn nhất của Euler là ở giải quyết những vấn đề thực tiễn bằng phương pháp giải tích, và nghiên cứu nhiều ứng dụng của [[số Bernoulli]], [[chuỗi Fourier]], [[số Euler]], hằng số [[số e|{{math|e}}]] và [[pi|{{pi}}]], liên phân số và tích phân. Ông kết hợp phép tính vi tích phân của [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] với phương pháp [[đạo hàm]] của Newton, và phát triển các công cụ giúp nó dễ dàng sử dụng hơn khi áp dụng giải tích vào các vấn đề thực.<ref name="Dave Armstrong"/><ref>{{Chú thích sách|url=https://books.google.com.vn/books?id=R_3SAgAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=vi#v=onepage&q&f=false|title=Ecuaciones diferenciales ordinarias y en diferencias finitas: Curso Práctico|last=Josep Maria Franquet i Bernis|first=|publisher=|year=2013|isbn=|location=|pages=}}</ref><ref>{{Chú thích web|url=https://www.storyofmathematics.com/18th_euler.html|title=Euler|last=|first=|date=|website=The Story of Mathematics|archive-url=|archive-date=|url-status=|access-date = ngày 30 tháng 10 năm 2019 |quote=the integration of Leibniz's differential calculus with Newton's Method of Fluxions into a form of calculus we would recognize today, as well as the development of tools to make it easier to apply calculus to real physical problems}}</ref> Ông đã có cải thiện lớn trong việc tính tích phân bằng phương pháp xấp xỉ số, phát minh ra [[phương pháp Euler|xấp xỉ Euler]] như được biết ngày nay. Nổi bật nhất trong những xấp xỉ này đó là [[phương pháp Euler]] và [[công thức Euler–Maclaurin]]. Ông cũng làm đơn giản hóa cách sử dụng [[phương trình vi phân]], đặc biệt giới thiệu ra [[hằng số Euler–Mascheroni]]:

:<math>\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left(1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln(n) \right).</math>

Một trong những mối quan tâm kỳ lạ của Euler đó là áp dụng các ý tưởng toán học vào trong âm nhạc. Năm 1739 ông viết cuốn ''Tentamen novae theoriae musicae,'' với hy vọng có thể đưa [[lý thuyết âm nhạc]] trở thành một bộ phận của toán học. Tuy nhiên, lĩnh vực nghiên cứu này của ông không nhận được sự quan tâm rộng rãi và từng được miêu tả như là mang quá nhiều nội dung toán học đối với các nhạc sĩ và quá nhiều nội dung âm nhạc đối với các nhà toán học.<ref name="music">{{harvnb|Calinger|1996|pp=144–5}}</ref>

=== Vật lý và thiên văn học ===
{{Cơ học cổ điển|cTopic=Các nhà khoa học tên tuổi}}
{{Cơ học môi trường liên tục}}
Euler giúp phát triển [[phương trình dầm Euler–Bernoulli]], sau này trở thành nền tảng của [[vật lý kỹ thuật]]. Bên cạnh việc ông áp dụng thành công các công cụ giải tích của mình vào các bài toán của [[cơ học cổ điển]], Euler cũng áp dụng các kỹ thuật này cho các vấn đề của [[cơ học thiên thể]].<ref>{{Chú thích web|url=https://www.academia.edu/9995916/Euler_Newton_and_Foundations_for_Mechanics|title=Euler, Newton, and Foundations for Mechanics|họ=Stan|tên=Marius|ngôn ngữ=tiếng Anh|ngày=|website=Academia.edu|url lưu trữ=|ngày lưu trữ=|url hỏng=|ngày truy cập=2019-10-31}}</ref> Nghiên cứu của ông trong thiên văn học đã được nhận một số giải thưởng từ [[Viện Hàn lâm Khoa học Pháp|Viện hàn lâm khoa học Pháp]] trong sự nghiệp của mình. Thành tựu của ông bao gồm xác định độ chính xác cao [[quỹ đạo]] của các [[sao chổi]] và các thiên thể khác, tìm hiểu bản chất của [[sao chổi]], và tính toán [[thị sai]] của [[Mặt Trời]].<ref>{{Chú thích arXiv|title=Euler: Genius Blind Astronomer Mathematician|trans-title=Euler: nhà toán học và thiên văn mù thiên tài|last=Musielak|first=Dora E.|date=ngày 28 tháng 6 năm 2014|eprint=1406.7397|language=en|url-access=2019-10-31}}</ref> Các tính toán của ông cũng đóng góp cho sự phát triển của việc lập bảng kinh độ chính xác sau này.<ref name="Dave Armstrong"/><ref name="Reynaldo Wijaya"/><ref name=yousch>{{Chú thích sách |url= |title=Dictionary of Scientific Biography |first=A P |last=Youschkevitch |year=1970–1990 |publisher=New York |isbn= |page= }}</ref>

Thêm vào đó, Euler đã có những đóng góp quan trọng cho lĩnh vực [[quang học]]. Ông không tán thành lý thuyết hạt ánh sáng của Newton nêu trong cuốn ''[[Opticks]]'', mà ở thời điểm ấy là một lý thuyết nổi bật chiếm ưu thế.<ref>{{Chú thích web|url=https://www.spaceandmotion.com/mathematical-physics/mathematics-music-waves-vibrating-space.htm|title=On Mathematics and Music and The Wave Structure of Matter (WSM) in Space|họ=|tên=|ngày=|website=Space and Motion|ngôn ngữ=en|url lưu trữ=|ngày lưu trữ=|url hỏng=|ngày truy cập=2019-10-31}}</ref> Các bài báo của ông trong thập niên 1740 đã giúp đảm bảo rằng lý thuyết sóng ánh sáng do [[Christiaan Huygens]] đề xuất trở lại thành một lý thuyết được chấp thuận rộng hơn, cho đến tận khi có sự phát triển của [[lưỡng tính sóng hạt|lý thuyết lượng tử về ánh sáng]].<ref name="optics">{{Chú thích tạp chí| author = Home, R. W.| year = 1988| title = Leonhard Euler's 'Anti-Newtonian' Theory of Light| url = https://archive.org/details/sim_annals-of-science_1988-09_45_5/page/521| journal = Annals of Science| volume = 45| issue = 5| pages = 521–533 | doi = 10.1080/00033798800200371}}</ref>

Năm 1757 ông công bố một hệ phương trình quan trọng miêu tả dòng chất lưu không nhớt (inviscid flow), mà ngày nay được biết đến là [[phương trình Euler (cơ học chất lưu)|phương trình Euler của cơ học chất lưu]] (nó là trường hợp đặc biệt của [[phương trình Navier-Stokes]]).<ref name=euler2>{{Chú thích tạp chí|last=Euler|first=Leonhard|title=Principes généraux de l'état d'équilibre d'un fluide|trans-title=General principles of the state of equilibrium of a fluid|journal=Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, Mémoires|year=1757|volume=11|pages=217–273|url=http://eulerarchive.maa.org//docs/originals/E225.pdf}}</ref> Ở dạng vi phân, các phương trình này là:
:<math>
\begin{align}
&{\partial\rho\over\partial t}+
\nabla\cdot(\rho\mathbf u)=0\\[1.2ex]
&{\partial(\rho{\mathbf u})\over\partial t}+
\nabla\cdot(\mathbf u\otimes(\rho \mathbf u))+\nabla p=\mathbf{0}\\[1.2ex]
&{\partial E\over\partial t}+
\nabla\cdot(\mathbf u(E+p))=0,
\end{align}
</math>

với
* ''ρ'' là [[khối lượng riêng]] chất lưu,
* '''''u''''' là [[vectơ]] [[vận tốc]] chất lưu, với các thành phần ''u'', ''v'', và ''w'',
* ''E'' = ''ρ e'' + ½ ''ρ'' (''u''<sup>2</sup> + ''v''<sup>2</sup> + ''w''<sup>2</sup>) là tổng năng lượng trên đơn vị [[thể tích]], với ''e'' là [[nội năng]] trên đơn vị khối lượng chất lưu,
* ''p'' là [[áp suất]],
* ⊗ ký hiệu [[tích tenxơ]], và
* '''0''' là vectơ-không.

Euler cũng được biết đến trong [[cơ học kết cấu]] với công thức tính lực tới hạn tác dụng lên thanh đứng thẳng lý tưởng, mà tính chất chỉ phụ thuộc vào độ dài và độ cứng kháng uốn của nó:<ref>{{Chú thích web|url=https://www.sciencedirect.com/topics/engineering/euler-load|title=Euler Load - an overview|ngày=|website=ScienceDirect|url lưu trữ=|ngày lưu trữ=|url hỏng=|ngày truy cập=2019-11-02}}</ref>

:<math>F=\frac{\pi^2 EI}{(KL)^2}</math>

với
* ''F'' = [[lực]] tới hạn hay lớn nhất (lực tác dụng dọc trục của cột lý tưởng),
* ''E'' = [[mô đun đàn hồi]],
* ''I'' = [[mô men quán tính diện tích]] của tiết diện cột,
* ''L'' = [[chiều dài]] tự do của cột,
* ''K'' = hệ số độ dài hữu hiệu, mà giá trị phụ thuộc vào điều kiện liên kết của hai điểm đầu cuối cột, xác định trên lý thuyết như sau:
::Hai đầu khớp (như bản lề, quay tự do), ''K'' = 1,0
::Hai đầu ngàm cố định, ''K'' = 0,50
::Một đầu ngàm, một đầu khớp, ''K'' = 0,699...
::Một đầu ngàm, một đầu tự do, ''K'' = 2,0
* ''K L'' là độ dài hữu hiệu của cột
* ''E I'' là độ cứng kháng uốn của cột.

===Logic ===
Euler cũng sử dụng [[đường cong|đường cong kín]] để minh họa các lý giải [[tam đoạn luận]] (1768). Các sơ đồ này ngày nay gọi là [[sơ đồ Euler]].<ref name="logic">{{Chú thích tạp chí |last=Baron |first=M. E. |title=A Note on The Historical Development of Logic Diagrams |journal=The Mathematical Gazette |volume=LIII |issue=383 |pages=113–125 |date=tháng 5 năm 1969 |jstor=3614533}}</ref>
[[Tập tin:Euler Diagram.svg|thumb|169x169px|Một ví dụ về sơ đồ Euler biểu thị tội [[phản quốc]], bao gồm hai tập hợp con nhỏ hơn là "gián điệp chống lại quốc gia trong đó mình là công dân" và "âm mưu lật đổ chính phủ".]]

Sơ đồ Euler là một cách biểu diễn bằng [[sơ đồ]] về các [[Tập hợp (toán học)|tập hợp]] và mối liên hệ giữa chúng. Sơ đồ Euler bao gồm các đường cong kín đơn giản (thường là hình tròn) trong mặt phẳng và biểu diễn cho các tập hợp. Mỗi đường cong kín Euler chia mặt phẳng ra thành hai vùng hoặc "miền": miền trong chứa các [[phần tử (toán học)|phần tử]] của tập hợp, và miền ngoài là những phần tử không thuộc tập hợp. Kích thước hoặc hình dạng của các đường cong kín không mang tính quan trọng; ý nghĩa quan trọng của sơ đồ là ở chỗ các [[đường cong]] có chung một miền. Mối liên hệ không gian giữa các miền bị chặn bởi các đường cong kín (chung một miền, chứa trong hoặc tách rời) tương ứng với các quan hệ của [[lý thuyết tập hợp]] ([[phép giao|giao]], [[tập con]] và [[Các tập hợp không giao nhau|không giao nhau]]). Các đường con kín mà các miền trong không giao nhau gọi là các tập không giao nhau. Hai đường cong kín có chung một miền trong biểu diễn hai tập hợp có chung các phần tử; một miền nằm bên trong hai miền khác biểu diễn các phần tử chung nhau của hai tập hợp (giao của hai tập hợp). Một đường cong kín nằm hoàn toàn bên trong một đường cong kín khác biểu diễn [[tập con]] của một tập hợp.<ref>{{Chú thích sách|title=Graphical Concepts in Set Theory: Venn Diagram, Euler Diagram, Carroll Diagram|last=|first=|publisher=|year=|isbn=|location=|pages=}}</ref><ref>{{Chú thích web|url=https://www.eskesthai.com/2012/05/euler-diagram.html|title=Euler Diagram|ngày=2012-05-16|website=Dialogos of Eide|ngôn ngữ=en|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20191031143946/https://www.eskesthai.com/2012/05/euler-diagram.html|ngày lưu trữ=2019-10-31|url hỏng=|ngày truy cập=2019-10-31}}</ref> Sơ đồ Euler cùng với [[sơ đồ Venn]] được đưa vào nội dung giảng dạy của [[lý thuyết tập hợp]] như là một phần trong chương trình toán học mới của thập niên 1960. Kể từ đó, sơ đồ biểu diễn tập hợp đã được chấp nhận và sử dụng cho cả các lĩnh vực khác.<ref name="Reynaldo Wijaya"/><ref name=quest>{{Chú thích web|url=http://www.readingquest.org/venn.html|author=Raymond Jones|title=Strategies for Reading Comprehension Venn Diagrams|publisher=|date=|access-date =12 tháng 4 năm 2018|url-status=|archive-url=|archive-date=}}</ref>

=== Âm nhạc ===
Ngay cả khi nghiên cứu [[âm nhạc]], cách tiếp cận của Euler chủ yếu dựa trên mô hình toán học. Các bài luận của ông về âm nhạc không quá nhiều (chỉ dày vài trăm trang, trong tổng số khoảng 30 nghìn trang giấy), nhưng chúng phản ánh mối bận tâm từ sớm và không rời khỏi tâm trí trong suốt cuộc đời của ông.<ref>Peter Pesic, ''Music and the Making of Modern Science'', p.&nbsp;133.</ref>

Điểm đầu tiên trong lý thuyết âm nhạc của Euler là định nghĩa "[[thể loại nhạc|thể loại]]", hay số khả năng chia một [[quãng tám]] sử dụng các số nguyên tố 3 và 5. Euler miêu tả 18 thể loại này, với định nghĩa tổng quát 2<sup>m</sup>A, trong đó A là "số biểu diễn" của thể loại (hay tổng lũy thừa các cơ số 3 và 5) và 2<sup>m</sup> (với "m là một số tùy ý, lớn hoặc nhỏ, cho đến khi vẫn còn cảm nhận được âm thanh"<ref>Leonhard Euler, ''Tentamen novae theoriae musicae'', St Petersburg, 1739, p.&nbsp;115</ref>), biểu diễn các liên hệ thỏa mãn độc lập với các số quãng tám được xét. Thể loại đầu tiên, với A = 1, chính là quãng tám (hay bản sao của nó); thể loại thứ hai, 2<sup>m</sup>.3, là quãng tám chia bởi quãng 5 (5 + 4, C–G–C); thể loại thứ 3 là 2<sup>m</sup>.5, quãng 3 trưởng + quãng 6 thứ (C–E–C); thể loại 4 là 2<sup>m</sup>.3<sup>2</sup>, hai quãng 4 và một âm (C–F–B{{music|b}}–C); thể loại 5 là 2<sup>m</sup>.3.5 (C–E–G–B–C); vv.<ref name="M. B. W. Tent"/> Các thể loại 12 (2<sup>m</sup>.3<sup>3</sup>.5), 13 (2<sup>m</sup>.3<sup>2</sup>.5<sup>2</sup>) và 14 (2<sup>m</sup>.3.5<sup>3</sup>) là những loại chỉnh cho tương ứng âm giai 7 nốt (diatonic), nửa cung (chromatic) và trùng âm của người cổ đại. Thể loại 18 (2<sup>m</sup>.3<sup>3</sup>.5<sup>2</sup>) là thể loại "diatonico-chromatic", "thường sử dụng trong mọi hợp âm",<ref>Eric Emery, ''Temps et musique'', Lausanne, L'Âge d'homme, 2000, pp. 344–45.</ref> mà trở thành đồng nhất với hệ thống miêu tả bởi Johann Mattheson.<ref>Johannes Mattheson, ''Grosse General-Baß-Schule'', Hamburg, 1731, Vol. I, p.&nbsp;104-106, mentioned by Euler; and ''Exemplarische Organisten-Probe'', Hamburg, 1719, p.&nbsp;57-59.</ref> Euler sau đó thử tới khả năng miêu tả các thể loại bằng việc thêm vào số nguyên tố 7.<ref>{{chú thích web|work=Wilfrid Perret|title=What is an Euler-Fokker genus?|url=http://www.huygens-fokker.org/microtonality/efg.html|access-date =19 tháng 4 năm 2017}} Some Questions of Musical Theory, Cambridge, 1926, p. 60-62</ref>

Euler nghĩ ra một đoạn nhạc đặc biệt, ''Speculum musicum'',<ref>Leonhard Euler,''Tentamen novae theoriae musicae'', St Petersburg, 1739, p.&nbsp;147; ''De harmoniae veris principiis'', St Petersburg, 1774, p.&nbsp;350.</ref> để minh họa thể loại diatonico-chromatic,và thảo luận các con đường trong đồ thị này cho mỗi quãng nhạc cụ thể, gợi lại sự quan tâm của ông tới bài toán Bảy cây cầu Königsberg (xem [[Leonhard Euler#Lý thuyết đồ thị|ở trên]]). Công cụ này được áp dụng vào khái niệm [[Tonnetz]] trong lý thuyết mới của Hugo Riemann (xem thêm [[Dàn (âm nhạc)]]).<ref>Edward Gollin, "Combinatorial and Transformational Aspects of Euler's ''Speculum Musicum''", ''Mathematics and Computation in Music'', T. Klouche and Th. Noll eds, Springer, 2009, pp. 406–411.</ref>

Euler tiếp tục sử dụng nguyên lý biểu diễn số "lũy thừa" để đề xuất cách tìm ra ''gradus suavitatis'' (độ dễ chịu) của quãng và cung nhạc từ các hệ số nguyên tố – lưu ý rằng ông chỉ xem xét đến âm điệu, ví dụ chỉ số 1 và các số nguyên tố 3 và 5.<ref>Mark Lindley and Ronald Turner-Smith, ''Mathematical Models of Musical Scales'', Bonn, Verlag für systematische Musikwissenschaft, 1993, pp. 234–239. See also Catherine Nolan, "Music Theory and Mathematics", ''The Cambridge History of Western Music Theory'', Th. Christensen ed., New York, CUP, 2002, pp. 278–79.</ref> Các công thức được đề xuất mở rộng từ hệ này cho hệ chứa các số nguyên tố bất kỳ, ví dụ có dạng
:''ds'' = Σ ''(k<sub>i</sub>p<sub>i</sub> – k<sub>i</sub>)'' + 1

với ''p<sub>i</sub>'' là các số nguyên tố và ''k<sub>i</sub>'' là các số mũ của chúng.<ref name="Reynaldo Wijaya"/><ref>{{chú thích web|work=Patrice Bailhache|title=La Musique traduite en Mathématiques: Leonhard Euler|url= http://patrice.bailhache.free.fr/thmusique/euler.html|date=17 tháng 1 năm 1997|access-date =19 tháng 4 năm 2018}}</ref>

== Triết học và đức tin ==
Euler và người bạn [[Daniel Bernoulli]] là những người chống đối [[chủ nghĩa đơn tử]] (monadism) của Leibniz và [[triết học]] của [[Christian Wolff (nhà triết học)|Christian Wolff]]. Euler quả quyết rằng kiến thức hiểu biết là một phần nền tảng của cơ sở của các định luật miêu tả định lượng chính xác, một số thứ mà chủ nghĩa đơn tử và triết học Wolff không nhắc đến. Những định hướng tôn giáo của Euler cũng có thể có ảnh hưởng đến sự không thích giáo lý; ông đi đến cho rằng các ý tưởng của Wolff là "ngoại đạo và vô thần".<ref name="wolff">{{harvnb|Calinger|1996|pp=153–4}}</ref>

Những hiểu biết về [[Đức tin|niềm tin tôn giáo]] của Euler có thể dựa theo cuốn ''[[Lá thư gửi đến công chúa Đức]]'' và một công trình trước đó, ''[[Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister]]'' [[(Bảo vệ Khải Huyền của Thiên Chúa chống lại Phản đối của Người tự do|(''Bảo vệ Khải Huyền của Thiên Chúa chống lại Phản đối của Người tự do'']]). Những tác phẩm này cho thấy Euler là một [[Kitô hữu]] mộ đạo, người tin rằng Kinh thánh sẽ được truyền cảm hứng; ''Rettung'' chủ yếu là một luận cứ cho cảm hứng thiêng liêng của thánh thư.<ref name="theology">{{Chú thích tạp chí| last = Euler| first = Leonhard | editor = Orell-Fussli| year = 1960| title = Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister| journal = Leonhardi Euleri Opera Omnia (series 3)| volume = 12 }}</ref>

Có một huyền thoại nổi tiếng<ref name="diderot">{{Chú thích tạp chí| last = Brown | first = B. H.|date=tháng 5 năm 1942| title = The Euler–Diderot Anecdote| journal =The American Mathematical Monthly| volume = 49| issue = 5| pages = 302–303| doi = 10.2307/2303096| jstor = 2303096}}; {{Chú thích tạp chí| last = Gillings | first = R. J.|date=tháng 2 năm 1954| title = The So-Called Euler–Diderot Incident| journal =The American Mathematical Monthly| volume = 61| issue = 2| pages = 77–80| doi = 10.2307/2307789| jstor = 2307789}}</ref> lấy cảm hứng từ lập luận của Euler với các [[triết gia]] thế tục về tôn giáo, đặt trong thời gian Euler làm việc tại Viện hàn lâm St Petersburg lần thứ hai. Nhà triết học người Pháp [[Denis Diderot]] đã đến thăm Nga với lời mời của Ekaterina II Đại đế. Tuy nhiên, Hoàng hậu đã được cảnh báo rằng các luận cứ của nhà triết học cho thuyết vô thần có thể ảnh hưởng đến các thành viên của tòa án của bà, và do đó Euler đã được yêu cầu phải tranh luận với nhà triết Pháp. Diderot được thông báo rằng một nhà toán học đã đưa ra chứng minh về sự tồn tại của Chúa: ông đồng ý đến tòa án để xem chứng minh này. Euler xuất hiện, tiến đến Diderot, và với giọng nói mang đầy tính thuyết phục tự tin tuyên bố: "Thưa ngài  <math>\frac{a+b^n}{n}=x</math>, do đó [[Thiên Chúa|Chúa]] tồn tại—ông đáp lại!" Diderot, (theo như câu chuyện) người không hiểu gì về toán học, đứng chết lặng trong khi những người xung quanh tòa án cười vang. Cảm thấy bối rối, ông đề nghị rời khỏi nước Nga, một lời yêu cầu được Nữ hoàng chấp thuận ngay lập tức. Tuy nhiên đây có thể là một giai thoại [[Hài hước|gây cười]], bởi vì thực tế Diderot cũng là một [[nhà toán học]].<ref name=persee>{{Chú thích web|last=Marty|first=Jacques|title=Quelques aspects des travaux de Diderot en Mathematiques Mixtes.|url=https://www.persee.fr/doc/rde_0769-0886_1988_num_4_1_954}}</ref> Giai thoại này đã được [[Dieudonné Thiébault]] kể lần đầu tiên<ref name="brown">{{Chú thích tạp chí | journal = American Mathematical Monthly | volume=49 | issue=5 | last1 = Brown | first1 = B.H. | title = The Euler–Diderot Anecdote | pages = 302–303 |date=tháng 5 năm 1942 | doi=10.2307/2303096}}</ref> với những thông tin thêm thắt vào từ phía [[Augustus De Morgan]].<ref name="Struik">{{Chú thích sách | title = A Concise History of Mathematics | url = https://archive.org/details/concisehistoryof0000stru_m6j1 |edition=3 | last1 = Struik | first1 = Dirk J. | publisher = Dover Books | year = 1967 | page = [https://archive.org/details/concisehistoryof0000stru_m6j1/page/129 129] | isbn = 0486602559 }}</ref><ref name="gillings">{{Chú thích tạp chí | journal = American Mathematical Monthly | volume=61 | issue=2 | last1 = Gillings | first1 = R.J. | title = The So-Called Euler-Diderot Anecdote | pages = 77–80 |date=tháng 2 năm 1954 | doi=10.2307/2307789}}</ref>

== Tưởng niệm ==
{{Xem thêm|Danh sách những vật đặt tên theo Leonhard Euler}}
[[Tập tin:Euler-10 Swiss Franc banknote (front).jpg|nhỏ|Euler trên đồng 10 [[Franc Thụy Sĩ]] cũ (phát hành 1976)]]
Hình ảnh Euler đã được thiết kế trên đồng 10 [[Franc Thụy Sĩ]] cũng như ở nhiều con tem Thụy Sĩ, Đức, và Nga. [[Tiểu hành tinh]] [[2002 Euler]] được đặt tên để vinh danh ông. Ông cũng được tổ chức tưởng nhớ bởi [[giáo hội Luther]] vào ngày Thánh lễ của họ tức ngày 24 tháng 5 (cũng là ngày tưởng niệm [[Mikołaj Kopernik|Nikolaus Kopernikus]] của giáo hội)—ông là một người Kitô hữu sùng tín (người tin tưởng vào sự bất khả sai lầm trong Kinh thánh), người đã viết biện giải và lập luận mạnh mẽ chống lại các nhà vô thần nổi tiếng thời ông.<ref name="theology"/>

[[Lý thuyết dầm Euler–Bernoulli]] do Leonhard Euler và Daniel Bernoulli là những người đầu tiên nêu ra, là lý thuyết đàn hồi tuyến tính được đơn giản hóa để tính toán dầm chịu tải và độ võng của dầm trong thiết kế xây dựng.<ref>{{Chú thích tạp chí|author=Seon M. Han, Haym Benaroya và Timothy Wei|date=22 tháng 3 năm 1999|title=Dynamics of Transversely Vibrating Beams using four Engineering Theories|url=http://csxe.rutgers.edu/research/vibration/51.pdf|url-status=dead|format=PDF|journal=|version=bản cuối|publisher=Academic Press|volume=|pages=|archive-url=https://web.archive.org/web/20110720040107/http://csxe.rutgers.edu/research/vibration/51.pdf|archive-date=20 tháng 7 năm 2011|access-date = ngày 15 tháng 4 năm 2019 |via=}}</ref>

[[Công thức Euler]] liên hệ giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ phức <math> e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x) \ </math> với dạng suy biến là [[đồng nhất thức Euler]] <math>e^{i \pi} + 1 = 0</math> khi <math>x = \pi</math>.

== Tác phẩm nổi tiếng ==
Euler có khối lượng sách viết đồ sộ nhưng những cuốn sách nổi tiếng nhất của ông bao gồm:
* ''[[Mechanica]]'' (1736).
*''[[Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti]]'' (1744). Tạm dịch là ''Phương pháp tìm những đường cong có tính chất cực đại hoặc cực tiểu, hoặc lời giải cho bài toán đẳng cấu trong chừng mực chấp nhận rộng rãi nhất''.<ref>[http://eulerarchive.maa.org//pages/E065.html E65 — Methodus… entry at Euler Archives]</ref>
* ''[[Introductio in analysin infinitorum]]'' (1748).
* Hai cuốn sách có ảnh hưởng tới vi tích phân: ''[[Institutiones calculi differentialis]]'' (1755) và ''[[Institutiones calculi integralis]]'' (1768–1770).
* ''[[Principia motus fluidorum]]'' (''Nguyên lý chuyển động của chất lưu''; 1761):; cuốn sách trình bày [[phương trình liên tục]] và [[phương trình Euler]].
*''[[Vollständige Anleitung zur Algebra]]'' (''Nhập môn Đại số học''; 1765). Cuốn sách về [[đại số sơ cấp]] này bắt đầu bằng một lời bàn luận về bản chất các con số và một lời giới thiệu tổng quan về đại số, bao gồm các công thức dành cho cách [[giải phương trình]] [[đa thức]].
* ''[[Lettres à une Princesse d'Allemagne]]'' (''Những lá thư gửi một công chúa Đức''; 1768–1772).

Tập các tác phẩm của Euler đầu tiên được tạo bởi [[Paul Heinrich von Fuss]] vào năm 1862.<ref>{{Chú thích sách|title=Opera postuma mathematica et physica anno 1844 detecta quae Academiae scientiarum petropolitanae obtulerunt ejusque auspicus ediderunt auctoris pronepotes Paulus Henricus Fuss et Nicolaus Fuss.|last1=Euler|first1=Leonhard|last2=Fuss|first2=Nikola Ivanovich|last3=Fuss|first3=Paul|publisher=Imperatorskaia akademīia nauk (Nga)|year=1862|isbn=|location=|pages=}}</ref> Tập hợp các tác phẩm của Euler, tiêu đề ''[[Opera Omnia]]'', đã được xuất bản từ 1911 bởi Hội đồng Euler thuộc [[Viện hàn lâm Khoa học và Nghệ thuật Thụy Sĩ]]. Danh sách đầy đủ liệt kê các tác phẩm của Euler có thể xem tại ''[http://eulerarchive.maa.org//docs/translations/enestrom/Enestrom_Index.pdf Chỉ mục Eneström] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190819112904/http://eulerarchive.maa.org/docs/translations/enestrom/Enestrom_Index.pdf |date = ngày 19 tháng 8 năm 2019}}'' (PDF).

== Xem thêm ==
* [[Danh sách nhà toán học]]
* [[e (số)|Số Euler]]
* [[Công thức Euler]]
*''Câu chuyện toán học'' ([[The Story of Maths#"The Frontiers of Space"|''The Story of Maths'']])

== Chú thích ==
{{tham khảo|30em}}

== Ghi chú ==
{{Notelist}}

== Sách tham khảo ==
{{Đầu tham khảo|60em}}
* ''Lexikon der Naturwissenschaftler'', (2000), Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.
* {{Chú thích sách |first1=Nikolaĭ Nikolaevich |last1=Bogolyubov |first2=G. K. |last2=Mikhaĭlov |first3=Adolph Pavlovich |last3=Yushkevich |title=Euler and Modern Science |url=https://books.google.com/books?id=Ta9bz1wv79AC |year=2007 |publisher=Mathematical Association of America |isbn=978-0-88385-564-5 }}
* {{Chú thích sách |first1=Robert E. |last1=Bradley |first2=Lawrence A. |last2=D'Antonio |first3=Charles Edward |last3=Sandifer |title=Euler at 300: An Appreciation |url=https://books.google.com/books?id=tK_KRmTf9nUC |year=2007 |publisher=Mathematical Association of America |isbn=978-0-88385-565-2}}
* {{Chú thích tạp chí |last= Calinger |first=Ronald | year = 1996| title = Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)| journal = Historia Mathematica| volume = 23| issue = 2| pages= 121–166 | doi = 10.1006/hmat.1996.0015 }}
* Ronald Calinger, ''Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment'', [[Princeton University Press]], 2016.
* {{Chú thích sách |first=S. S. |last=Demidov |chapter=Treatise on the differential calculus |chapter-url=https://books.google.com/books?id=UdGBy8iLpocC&pg=PA191 |editor1-first=Ivor |editor1-last=Grattan-Guinness |title=Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940 |url=https://books.google.com/books?id=UdGBy8iLpocC |year=2005 |publisher=Elsevier |isbn=978-0-08-045744-4 |pages=191–8 |ref={{SfnRef|Grattan-Guinness|2005}}}}
* {{Chú thích sách |first=William |last=Dunham |title=Euler: The Master of Us All |url=https://books.google.com/books?id=uKOVNvGOkhQC |year=1999 |publisher=Mathematical Association of America |isbn=978-0-88385-328-3 }}
* {{Chú thích sách |first=William |last=Dunham |title=The Genius of Euler: Reflections on his Life and Work |url=https://books.google.com/books?id=A6by_UpQikIC |year=2007 |publisher=Mathematical Association of America |isbn=978-0-88385-558-4}}
* {{Chú thích tạp chí |last=Fraser |first=Craig G. |title=Leonhard Euler's 1744 book on the calculus of variations |url=https://books.google.com/books?id=UdGBy8iLpocC&pg=PA168|isbn=9780080457444 |date = ngày 11 tháng 2 năm 2005}} In {{harvnb|Grattan-Guinness|2005|pp=168–80}}
* Hascher, Xavier and Papadopoulos, Athanase (editors). 2015. '' Leonhard Euler: Mathématicien, physicien et théoricien de la musique', Paris, CNRS Editions, 2015, 516 p. ({{ISBN|978-2-271-08331-9}})
* Heimpell, Hermann, Theodor Heuss, Benno Reifenberg (editors). 1956. ''Die großen Deutschen'', volume 2, Berlin: Ullstein Verlag.
* {{Chú thích tạp chí | last1 = Krus | first1 = D. J. | date = November 2001 | title = Is the normal distribution due to Gauss? Euler, his family of gamma functions, and their place in the history of statistics | url = http://www.visualstatistics.net/Statistics/Euler/Euler.htm | journal = Quality & Quantity | volume = 35 | issue = 4 | pages = 445–6 | doi = 10.1023/A:1012226622613 | url-status=dead | archive-url = https://web.archive.org/web/20060210125807/http://www.visualstatistics.net/Statistics/Euler/Euler.htm | archive-date = ngày 10 tháng 2 năm 2006 }}
* {{Chú thích sách |first=Paul J. |last=Nahin |title=Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills |url=https://books.google.com/books?id=46oBiMZ7aZMC |year=2006 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11822-2}}
* {{Chú thích sách |last=du Pasquier |first=Louis-Gustave |title=Leonhard Euler And His Friends |publisher=CreateSpace |year=2008 |isbn=1-4348-3327-5 }}
* {{Chú thích tạp chí |last=Reich |first=Karin |title='Introduction' to analysis |url=https://books.google.com/books?id=UdGBy8iLpocC&pg=PA181 |isbn=9780080457444 |date = ngày 11 tháng 2 năm 2005}} In {{harvnb|Grattan-Guinness|2005|pp=181–90}}
* {{Chú thích sách |first=David S. |last=Richeson |title=Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology |url=https://books.google.com/books?id=KUYLhOVkaV4C |year=2011 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-12677-7 }}
* {{Chú thích sách |first=C. Edward |last=Sandifer |title=The Early Mathematics of Leonhard Euler |url=https://books.google.com/books?id=CvBxLr_0uBQC |year=2007 |publisher=Mathematical Association of America |isbn=978-0-88385-559-1}}
* {{Chú thích sách |first=C. Edward |last=Sandifer |title=How Euler Did It |url=https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC |year=2007 |publisher=Mathematical Association of America |isbn=978-0-88385-563-8}}
* {{Chú thích sách |last=Simmons |first=J. |title=The giant book of scientists: The 100 greatest minds of all time |publisher=The Book Company |location=Sydney |year=1996 |isbn=1863096477 }}
* {{Chú thích sách |last=Singh |first=Simon |title=Fermat's Last Theorem|url=https://archive.org/details/fermatslasttheor0000unse |publisher=Fourth Estate |location=New York |year=1997 |isbn=1-85702-669-1 }}
* {{Chú thích sách |last=Thiele |first=Rüdiger |chapter=The mathematics and science of Leonhard Euler |editor1-first=Michael |editor1-last=Kinyon |editor2-first=Glen |editor2-last=van Brummelen |title=Mathematics and the Historian's Craft: The Kenneth O. May Lectures |chapter-url=https://books.google.com/books?id=3ZTedZtwYMoC&pg=PA81+ |year=2005 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-25284-1 |pages=81–140}}
* {{Chú thích tạp chí |date=tháng 11 năm 1983 | title = A Tribute to Leohnard Euler 1707–1783 | journal = Mathematics Magazine | volume = 56 | issue = 5}}
* {{Chú thích sách |first=John |last=Derbyshire |title=Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics |url=https://archive.org/details/primeobsessionbe00derb_0 |location=Washington, DC |publisher=John Henry Press |year=2003 |isbn=0-309-08549-7}}.
* {{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=Ta9bz1wv79AC|title=Euler and Modern Science|last=Gekker|first=I. R.|last2=Euler|first2=A. A.|publisher=Mathematical Association of America|year=2007|isbn=978-0-88385-564-5|editor-last=Bogolyubov|editor-first=Nikolaĭ Nikolaevich|editor-link=Nikolay Bogolyubov|location=|pages=|chapter=Leonhard Euler's family and descendants|trans-chapter=Gia đình và hậu duệ của Leonhard Euler|editor-last2=Mikhaĭlov|editor-first2=G. K.|editor-last3=Yushkevich|editor-first3=Adolph Pavlovich|editor-link3=Adolph P. Yushkevich}}
{{Cuối tham khảo}}

== Liên kết ngoài ==
{{wikiquote}}
{{wikisource-en|Author:Leonhard Euler}}
* {{thể loại Commons nội dòng}}
* {{TĐBKVN|20401|Ơle L.}}
* [https://leonhardeuler.com/ LeonhardEuler.com]
* {{Britannica|195201|Leonhard Euler}}
* [http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euler.html Leonhard Euler (1707 - 1783)] MacTutor
* [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/7050452 Leonhard Euler.] - [[PubMed]] - [[Trung tâm Thông tin Công nghệ sinh học Quốc gia (Hoa Kỳ)|NCBI]] 1982 Sep 3;248(9):1072
* [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/17798216 THE LEONHARD EULER SOCIETY] PubMed, NCBI 1913 Jul 4;38(966):26. {{DOI|10.1126/science.38.966.26-a}}
* Tiểu sử [https://diendantoanhoc.net/topic/403-leonhard-euler/ Leonhard Euler] trên Diễn đàn toán học
* [http://tiasang.com.vn/-khoa-hoc-cong-nghe/leonhard-euler-nguoi-thay-vi-dai-9552 Leonhard Euler - Người thầy vĩ đại], trên tiasang.com.vn ngày 12 tháng 4 năm 2016.
* {{Imdb name|5996380}}

{{Thanh chủ đề|Toán học|Vật lý|Thiên văn học|Âm nhạc|Thiên nhiên}}
{{Kiểm soát tính nhất quán}}
{{Tensor}}
{{Chủ đề vi tích phân}}
{{Thời gian sống|sinh=1707|mất=1783|tên=Euler, Leonhard}}
{{Sao chọn lọc|phiên bản chọn lọc=56254391|thời gian=10 tháng 11 năm 2019}}

[[Thể loại:Nhà toán học Thụy Sĩ]]
[[Thể loại:Nhà vật lý Thụy Sĩ]]
[[Thể loại:Nhà toán học thế kỷ 18]]
[[Thể loại:Bài cơ bản dài trung bình]]
[[Thể loại:Nhà lý thuyết số]]
[[Thể loại:Chuyên gia thuật phóng]]
[[Thể loại:Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Pháp]]
[[Thể loại:Nhà thiên văn học Thụy Sĩ]]
[[Thể loại:Kỹ sư]]
[[Thể loại:Leonhard Euler| ]]
[[Thể loại:Hội viên Hội Vương thất]]
[[Thể loại:Tử vong do đột quỵ]]
[[Thể loại:Thành viên Học viện Mỹ thuật và Khoa học Mỹ]]
[[Thể loại:Nhà khoa học Nga]]
[[Thể loại:Cựu sinh viên Đại học Basel]]