Xem mã nguồn của Liên kết (phân thớ véc tơ)

Trong [[toán học]], đặc biệt là trong [[hình học vi phân]], một '''liên kết''' (cũng gọi là '''liên thông''')<ref name="Đoàn Quỳnh 2000">Đoàn Quỳnh (2000), tr. 317</ref> trên một [[phân thớ véc tơ]] là một cách định nghĩa dịch chuyển song song trên phân thớ đó; nói cách khác, là một cách để so sánh các thớ liền kề nhau.

== Định nghĩa ==
Gọi ''E'' → ''M'' là một [[Phân thớ véctơ|phân thớ véc tơ]] trên một đa tạp vi phân ''M''. Kí hiệu không gian các nhát cắt trơn của ''E'' là Γ(''E''). Một '''liên kết''' trên ''E'' là một [[Biến đổi tuyến tính|ánh xạ tuyến tính]]<ref>Lee (1997), tr. 49-50</ref>

: <math>\nabla: \Gamma(E) \to \Gamma(E\otimes T^*M)</math>

sao cho [[Quy tắc nhân|luật Leibniz]] thỏa mãn:

: <math>\nabla(\sigma f) = (\nabla\sigma)f + \sigma\otimes df</math>

với mọi hàm trơn ''f'' trên ''M'' và mọi nhát cắt trơn σ của ''E.''

Trong trường hợp ''E'' là [[phân thớ tiếp tuyến]] ''TM'', một nhát cắt của ''E'' cũng chính là một trường vectơ ''X'' trên ''M.'' Ta có thể định nghĩa '''đạo hàm hiệp biến dọc theo ''X'''''

: <math>\nabla_X: \Gamma(E) \to \Gamma(E)</math>

bằng cách đánh giá tại <math>X:\nabla_X\sigma:=(\nabla\sigma)(X)</math>. Đạo hàm hiệp biến thỏa mãn:

: <math>\begin{align}&\nabla\!_X(\sigma_1{+}\sigma_2) \ =\ \nabla\!_X\sigma_1+\nabla\!_X\sigma_2\\
&\nabla\!_{(X_1{+}X_2)}\sigma \ =\ \nabla\!_{X_1}\sigma + \nabla\!_{X_2}\sigma\\
&\nabla\!_{X}(f\sigma) \ =\ f\,\nabla\!_X\sigma + X(f)\sigma\\
&\nabla\!_{fX}\sigma \ =\ f\,\nabla\!_X\sigma.\end{align}</math>

Ngược lại, bất kỳ toán tử nào thỏa mãn các thuộc tính trên đều xác định một liên kết trên <math>E</math>''.''

== Nhát cắt song song ==
Một '''nhát cắt song song''' (trên một tập mở <math>U\subset M</math>) là một nhát cắt <math>s\in\Gamma(E,U)</math> sao cho <math>\nabla s=0</math>.

== Độ cong ==
'''Độ cong''' của một liên kết ∇ trên ''E'' → ''M'' là một dạng bậc hai ''F'' <sup>∇</sup> trên ''M'' với giá trị trong phân thớ tự đồng cấu End''(E)'' = ''E''⊗''E'' *. Tức là,

: <math>F^\nabla \in \Omega^2(\mathrm{End}\,E) = \Gamma(\mathrm{End}\,E\otimes\Lambda^2T^*M).</math>

''F'' <sup>∇</sup> được định nghĩa bởi biểu thức

: <math>F^\nabla(X,Y)(s) = \nabla_X\nabla_Y s- \nabla_Y\nabla_X s- \nabla_{[X,Y]}s</math>

Trong đó <math>X</math> và <math>Y</math> là các trường vectơ trên <math>M</math> và <math>s</math> là một nhát cắt của <math>E</math>''.''

== Ví dụ ==

* Gắn với một [[đa tạp Riemann]] <math>(M,g)</math>, ta có một liên kết Levi-Civita <math>\nabla^g</math> trên <math>TM\rightarrow M</math>. Đây là liên kết duy nhất thỏa mãn hai tính chất sau đây:
# Tính không xoắn: với mọi trường véc-tơ <math>X, Y</math>, ta có <math>\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]</math>

# Tính bảo toàn metric: với mọi trường véc-tơ <math>X</math>, <math>Y</math> và <math>Z</math>, ta có <math> Z g(X,Y)=g(\nabla_ZX,Y)+g(X,\nabla_ZY)</math> (trong đó vế trái là tác động tự nhiên của trường véc-tơ <math>Z</math> lên hàm số <math>g(X,Y)</math>).
Độ cong <math>F</math> của liên kết này cũng chính là ten-xơ độ cong Riemann (thường được biết đến qua kí hiệu <math>R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}</math> mà, không gì khác hơn, chính là các hệ số của <math>F</math> đối với cơ sở cảm sinh từ một hệ tọa độ địa phương <math>(x^i)</math>).

* Tổng quát hơn, một '''liên kết a-phin''' (hay '''liên thông tuyến tính''')<ref name="Đoàn Quỳnh 2000"/> trên một đa tạp vi phân <math>M</math> là một liên kết trên phân thớ tiếp tuyến <math>TM</math>.<ref>Lee (1997), tr. 51</ref>

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}

== Thư mục ==
* Ambrose, W.; Singer, I.M., {{Chú thích|title=A theorem on holonomy|year=1953}}
* Chern, Shiing-Shen, {{Chú thích|title=Topics in Differential Geometry|year=1951}}
* Darling, R. W. R., {{Chú thích|title=Differential Forms and Connections|year=1994|isbn=0-521-46800-0}} <bdi> </bdi>
* Đoàn Quỳnh, ''Hình học vi phân'', Nhà xuất bản giáo dục, 2000
* Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi, {{Chú thích|title=Foundations of Differential Geometry, Vol. 1|year=1996|isbn=0-471-15733-3}} <bdi> </bdi>
* Koszul, J. L., {{Chú thích|title=Homologie et cohomologie des algebres de Lie|year=1950}}
* Lee, John, 1997, ''Introduction to Riemannian Manifolds,'' Springer, ISBN 0-387-98271-X
* Wells, R. O., {{Chú thích|title=Differential analysis on complex manifolds|year=1973|isbn=0-387-90419-0}} <bdi> </bdi>

[[Thể loại:Hình học vi phân]]